Scarica file

Principali Definizioni e Teoremi di Geometria
 Segmento (definizione)
Si dice segmento di estremi A e B l’insieme costituito dai punti A e B e da tutti
i punti della retta AB compresi tra A e B.
 Angolo (definizione)
Si dice angolo ciascuna delle due parti di piano individuate da due semirette
aventi la stessa origine, semirette incluse.
 Segmenti consecutivi (definizione)
Due segmenti si dicono consecutivi quando hanno un estremo in comune.
 Segmenti adiacenti (definizione)
Due segmenti si dicono adiacenti quando sono consecutivi e appartengono
alla stessa retta.
 Angoli consecutivi (definizione)
Due angoli si dicono consecutivi quando hanno il vertice e un lato in comune.
 Angoli adiacenti (definizione)
Due angoli si dicono adiacenti quando sono consecutivi e i lati non in comune
appartengono alla stessa retta.
 Punto medio di un segmento (definizione)
Si dice punto medio di un segmento il punto, interno al segmento, che lo
divide in due segmenti congruenti.
 Bisettrice di un angolo (definizione)
Si dice bisettrice di un angolo la semiretta che ha per origine il vertice
dell’angolo, interna all’angolo, che lo divide in due angoli congruenti.
 Angoli complementari di uno stesso angolo (o di angoli congruenti) sono
congruenti.
 Angoli opposti al vertice sono congruenti.
Ovvero: angoli supplementari di uno stesso angolo (o di angoli congruenti)
sono congruenti.
 Bisettrice di un triangolo (definizione)
In un triangolo ABC, si dice bisettrice relativa al vertice C il segmento giacente
sulla bisettrice dell’angolo C che congiunge il vertice C con il lato opposto.
 Mediana di un triangolo (definizione)
In un triangolo ABC, si dice mediana relativa al lato AB il segmento che ha per
estremi il punto medio di AB e il vertice C opposto a quel lato.
 Altezza di un triangolo (definizione)
In un triangolo ABC, si dice altezza relativa al lato AB il segmento che, partendo dal vertice C opposto al lato, incontra il lato stesso (o il suo prolungamento) formando con esso due angoli retti.
 Primo criterio di congruenza dei triangoli
Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti due lati e l’angolo tra essi
compreso, allora sono congruenti.
 Secondo criterio di congruenza dei triangoli
Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e i due angoli ad
esso adiacenti, allora sono congruenti.
 Terzo criterio di congruenza dei triangoli
Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti i tre lati, allora sono congruenti.
 Teorema del triangolo isoscele
Un triangolo è isoscele se e solo se i suoi angoli alla base sono congruenti.
 Teorema del triangolo equilatero
Un triangolo è equilatero se e solo se tutti i suoi angoli sono congruenti.
 In un triangolo isoscele, coincidono:
la bisettrice dell’angolo al vertice,
l’altezza relativa alla base,
la mediana relativa alla base.
 In un triangolo, all’angolo maggiore si oppone il lato maggiore e viceversa.
 Disuguaglianza triangolare
In un triangolo, ciascun lato è minore della somma degli altri due.
In un triangolo, ciascun lato è maggiore della differenza degli altri due.
AB < BC + CA
AB > CA - BC
BC < CA + AB
BC > AB - CA
CA < AB + BC
CA > AB - BC
 Rette perpendicolari (definizione)
Due rette si dicono perpendicolari se si incontrano formando quattro angoli retti.
 Per un punto esterno ad una retta r, passa una e una sola perpendicolare ad r.
 Segmento di distanza di un punto da una retta (definizione)
Si dice segmento di distanza di un punto P da una retta r quel segmento che ha per
estremi il punto P e il piede della perpendicolare condotta dal punto alla retta.
 Rette parallele (definizione)
Due rette si dicono parallele se non hanno alcun punto in comune, oppure coincidono.
 Quinto postulato di Euclide
Per un punto esterno ad una retta r, passa una e una sola parallela ad r.
 Teorema delle rette parallele
Due rette parallele tagliate da una trasversale individuano:
 coppie di angoli alterni (interni o esterni) congruenti;
 coppie di angoli corrispondenti congruenti;
 coppie di angoli coniugati (interni o esterni) supplementari.
1 e 8, oppure 2 e 7 si dicono alterni esterni
3 e 6, oppure 4 e 5 si dicono alterni interni
1 e 5, oppure 2 e 6, oppure 3 e 7, oppure 4 e 8 si dicono corrispondenti
1 e 7, oppure 2 e 8 si dicono coniugati esterni
3 e 5, oppure 4 e 6 si dicono coniugati interni
 Teorema inverso delle rette parallele
Due rette, tagliate da una terza, sono parallele se individuano almeno una delle seguenti:
 una coppia di angoli alterni (interni o esterni) congruenti;
 una coppie di angoli corrispondenti congruenti;
 una coppia di angoli coniugati (interni o esterni) supplementari.
 Angolo esterno di un triangolo (definizione)
Si dice angolo esterno di un triangolo ciascuno dei due angoli adiacenti ad ogni
angolo interno del triangolo.
 Teorema dell’angolo esterno
In un triangolo, ogni angolo esterno è congruente alla somma dei due angoli non
adiacenti ad esso.
 In un triangolo, la somma degli angoli interni è congruente ad un angolo piatto.
 In un poligono di n lati, la somma degli angoli interni è congruente a (n-2) angoli piatti.
 In un triangolo equilatero, ogni angolo è congruente alla terza parte di un angolo piatto.
 In un triangolo rettangolo, gli angoli acuti sono complementari.
 Quarto criterio di congruenza dei triangoli (o secondo generalizzato)
Se due triangoli hanno ordinatamente congruenti un lato e due angoli qualsiasi,
allora sono congruenti.
 Criterio di congruenza dei triangoli rettangoli
Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti, oltre all’angolo retto, due lati oppure un lato e un angolo.
 In un triangolo rettangolo, la mediana relativa all’ipotenusa è congruente a metà
dell’ipotenusa stessa.
 Luogo geometrico (definizione)
Si dice luogo geometrico l’insieme di tutti e solo i punti che godono di una data
proprietà.
 Asse di un segmento (definizione)
Si dice asse di un segmento la retta perpendicolare al segmento e passante per il
suo punto medio.
 Il luogo dei punti di un piano equidistanti da due punti dati è l’asse del segmento
che ha per estremi quei due punti.
 Il luogo dei punti di un piano equidistanti dai lati di un angolo è la bisettrice di
quell’angolo.
 Parallelogramma (definizione)
Si dice parallelogramma un quadrilatero avente i lati opposti paralleli.
 Proprietà dei parallelogrammi
In ogni parallelogramma:
 i lati opposti sono congruenti;
 gli angoli opposti sono congruenti
e gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari;
 le diagonali si dimezzano scambievolmente a metà.
 Criteri per stabilire quando un quadrilatero è un parallelogramma
Un quadrilatero è un parallelogramma se vale almeno uno dei seguenti:
 ha due coppie di lati opposti congruenti;
 ha due coppie di angoli opposti congruenti;
 ha due coppie di angoli adiacenti allo stesso lato supplementari;
 ha le diagonali che si dimezzano scambievolmente a metà;
 ha una coppia di lati opposti paralleli e congruenti.
 Rettangolo (definizione)
Si dice rettangolo un parallelogramma avente i quattro angoli retti.
 Proprietà dei rettangoli
In ogni rettangolo le diagonali sono congruenti.
 Criteri per stabilire quando un parallelogramma è un rettangolo
Un parallelogramma è un rettangolo se ha le diagonali congruenti.
 Rombo (definizione)
Si dice rombo un parallelogramma avente i quattro lati congruenti.
 Proprietà dei rombi
In ogni rombo:
 le diagonali sono perpendicolari tra loro;
 le diagonali sono bisettrici dei vertici.
 Criteri per stabilire quando un parallelogramma è un rombo
Un parallelogramma è un rombo se vale almeno uno dei seguenti:
 ha le diagonali perpendicolari tra loro;
 ha almeno un angolo che ha per bisettrice una diagonale.
 Quadrato (definizione)
Si dice quadrato un parallelogramma che è sia rettangolo che rombo.
 Trapezio (definizione)
Si dice trapezio un quadrilatero avente due lati opposti paralleli.
 Trapezio isoscele (definizione)
Un trapezio si dice isoscele se ha i lati obliqui congruenti.
 Proprietà dei trapezi isosceli
In ogni trapezio isoscele:
 gli angoli alla base sono congruenti
e gli angoli adiacenti ai lati obliqui sono supplementari;
 le diagonali sono congruenti.
 Criteri per stabilire quando un trapezio è isoscele
Un trapezio è isoscele se vale almeno uno dei seguenti:
 ha gli angoli alla base congruenti;
 ha gli angoli adiacenti ai lati obliqui supplementari;
 ha le diagonali congruenti.
 Diagramma dei quadrilateri
QUADRILATERI
TRAPEZI
PARALLELOGRAMMI
ROMBI
QUADRATI
RETTANGOLI