Corso di Tecnica ed Economia dei Trasporti
Docente: Michele Ottomanelli
POLITECNICO DI BARI
II FACOLTA’ DI INGEGNERIA
CORSO DI TECNICA ED ECONOMIA DEI TRASPORTI
A.A. 2006-07
DIAGRAMMI DEL MOTO SEMPLIFICATI
Diagrammi del moto semplificati
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DESCRIZIONE DEL MOTO DI UN VEICOLO ISOLATO
Il moto di un veicolo isolato viene descritto mediante
DIAGRAMMI DEL MOTO
Essi servono a rappresentare le variazioni nel tempo delle grandezze
cinematiche caratterizzanti in moto del veicolo
Spazio, Velocità, Accelerazione
I diagrammi da individuare e di interesse sono:
•
•
•
•
s = s(t)
v = v(t)
a = a(t)
j = j(t)
diagramma dello spazio percorso
diagramma della velocità
diagramma dell’accelerazione
diagramma del contraccolpo
Diagrammi del moto semplificati
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DETERMINAZIONE DEI DIAGRAMMI DEL MOTO
I diagrammi del moto possono essere definiti seguendo due approcci
1) MEDIANTE LE EQUAZIONI DELLA CINEMATICA
(diagrammi semplificati o diagrammi “tipo”)
2) SOLUZIONE DELL’EQUAZIONE GENERALE DEL MOTO
F- R = Me dv/dt
(diagrammi reali del moto)
Diagrammi del moto semplificati
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DIAGRAMMI DEL MOTO
Diamo preventivamente delle definizioni atte ad individuare il significato delle
grandezze cinematiche rappresentative del moto di un veicolo isolato.
Siano:
-t
il generico istante di tempo in cui si osserva un dato veicolo (misurato
rispetto ad un tempo iniziale di riferimento)
- s(t)
l’ascissa curvilinea che individua la posizione del veicolo all’istante di
tempo t (misurata rispetto ad una ascissa zero di riferimento)
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PARAMETRI CARATTERISTICI DEL MOTO
VELOCITA’
Si definisce velocità istantanea la velocità posseduta dal veicolo all’ istante
t:
v(t) = ds(t)
dt
Siano t1 e t2 due istanti di tempo (con t2 > t1), si definisce velocità media
nell’intervallo di tempo (t1, t2):
vM(t1, t2)= [s(t2) - s(t1)]
(t2 - t1)
La stessa relazione indica la velocità commerciale media se nell’intervallo
di tempo (t1, t2) il veicolo si è arrestato per un certo periodo di tempo (v=0, ad
es. arresto al semaforo o arresto di un autobus alle fermate).
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PARAMETRI CARATTERISTICI DEL MOTO
ACCELERAZIONE
Si definisce accelerazione istantanea (all’istante t):
a(t) = dv(t)
dt
Si definisce accelerazione media:
aM(t1, t2) = [v(t2) - v(t1)]
(t2 - t1)
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PARAMETRI CARATTERISTICI DEL MOTO
CONTRACCOLPO
Si definisce contraccolpo j (jerk) la variazione istantanea dell’accelerazione:
j(t) = da(t)
dt
contraccolpo istantaneo
jM(t1, t2) = [a(t2) - a(t1)]
(t2 - t1)
contraccolpo medio
Le variazioni di accelerazione sono da evitare nei sistemi di trasporto
collettivo, per cui si cerca di mantenerle a livelli minimi.
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I DIAGRAMMI DEL MOTO SEMPLIFICATI o DIAGRAMMI “TIPO”
Sono diagrammi del moto che rappresentano in maniera approssimata (per
valori medi) i parametri caratteristici del moto di un veicolo isolato,
ovvero vengono determinati sotto ipotesi semplificative
I diagrammi del moto “tipo” consentono un rapido, anche se approssimato
calcolo, delle prestazioni di un veicolo isolato.
-
velocità massime;
tempi di percorrenza;
tempi di avviamento;
accelerazione massima
etc.
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I DIAGRAMMI DEL MOTO SEMPLIFICATI
Di seguito vengono esaminati 3 diagrammi tipo, che possono essere utilizzati
in luogo diagrammi del moto reali, con un grado di approssimazione sempre
migliore:
– diagramma del moto a velocità uniforme (tipo rettangolare);
– diagramma del moto con variazione lineare della velocità (tipo
trapezio);
– diagramma del moto con variazione lineare della accelerazione
(diagramma a contraccolpi costanti).
In ciascuno dei tre casi calcoleremo varie grandezze utili a descrivere il moto,
tra cui il tempo di percorrenza complessivo.
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I DIAGRAMMI DEL MOTO SEMPLIFICATI
Diagramma rettangolare
Ipotesi: il veicolo viaggia a velocità uniforme per l’intera tratta;
E’ un diagramma molto approssimato: può essere usato, per un calcolo di
massima, se e soltanto se i tempi di avviamento e di frenatura sono
trascurabili rispetto al tempo totale di viaggio.
Siano:
LAB
vM
lo spazio da percorrere (lunghezza della tratta)
la velocità media (costante)
A
LAB
B
Il tempo di percorrenza totale è dato da: tAB = LAB/vM
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I DIAGRAMMI DEL MOTO SEMPLIFICATI - RETTANGOLO
L’accelerazione a(t) è teoricamente infinita negli istanti di tempo iniziale e
finale. La velocità è costante (per ipotesi), per cui il diagramma della velocità
è rettangolare e lo spazio percorso ha andamento lineare:
v(t) = vM
s(t) = vM t
V
vM
t
s
L AB
t
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I DIAGRAMMI DEL MOTO SEMPLIFICATI - TRAPEZIO
DIAGRAMMA TRAPEZIO
Il moto del veicolo si assume composto di 3 fasi:
– avviamento intervallo di tempo (0, t1)
– regime intervallo di tempo (t1, t2)
– frenatura intervallo di tempo (t2, tAB)
V
Vm
0
Diagrammi del moto semplificati
t1
t2
tAB
t
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I DIAGRAMMI DEL MOTO SEMPLIFICATI - TRAPEZIO
Fase di avviamento
Si ipotizza un moto uniformemente accelerato
(a=costante=aM, velocità lineare):
v(t) = a(t)• t= aM t
Lo spazio percorso nell’intervallo [0, t] è pari all’integrale tra 0 e t della
velocità istantanea :
s(t) = ∫0,t v(t) dt = ∫0,t aM t dt = (aM t2)/2
Al termine della fase di avviamento (t=t1) si ha:
v(t1) = vMAX = aM (t1 − t0) = aM t1
(1)
da cui aM= vMAX / t1
s(t1) = (aM t12)/2 = v2MAX/(2 aM)
(2)
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I DIAGRAMMI DEL MOTO SEMPLIFICATI - TRAPEZIO
Fase di regime
il moto è uniforme e valgono le seguenti relazioni:
a(t) = 0 ;
v(t) = vMAX = cost. ;
s(t) = s(t1) + vMAX (t - t1)
Lo spazio percorso alla fine della fase di regime è:
s(t2) = s(t1) + vMAX (t2 − t1)
Fase di frenatura [t2, tAB]
E’ analoga a quella di avviamento, con valore dell’accelerazione a(t)<0:
a(t) = - a’M = cost.
v(t) = vMAX − a’M (t − t2) (variazione lineare)
s(t) = s(t2) + (a’M (t−t2)2)/2 = s(t1) + vMAX (t2 − t1) + (a’M (t−t2)2)/2
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Lo spazio di frenatura è dato da:
s(t2, tAB) = [a’M (tAB−t2) 2]/2 = v2MAX/(2 a’M)
Lo spazio totale percorso è pari a:
LAB = v2 MAX/(2 aM) + vMAX (t2 − t1) + v2MAX/(2 a’M)
(1)
spazio percorso - s(t)
L AB
0
t1
t2
t
tAB
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I DIAGRAMMI DEL MOTO SEMPLIFICATI - TRAPEZIO
Il tempo totale di percorrenza è dato dalla somma di:
– durata della fase di avviamento
– durata della fase a regime
– t durata della fase di frenatura
t1 = vMAX/aM
(t2 - t1)
(tAB – t2)= vMAX/a’M
tAB = vMAX/aM + (t2 - t1)+ vMAX/a’M
(2)
Ricavando (t2 - t1) dalla formula (1), si ottiene:
(t2 - t1)= LAB/vMAX − vMAX/(2 aM) − vMAX/(2 a’M)
da cui, sostituendo in (2), il tempo di percorrenza totale risulta pari a:
tAB = LAB/vMAX + vMAX/(2 aM) +vMAX/(2 a’M)
Diagrammi del moto semplificati
(3)
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I DIAGRAMMI DEL MOTO SEMPLIFICATI - TRAPEZIO
I due termini nella (3)
vMAX/(2 aM)
e
vMAX/(2 a’M)
sono detti perditempo, rispettivamente in avviamento ed in frenatura.
Se i perditempo sono per ipotesi uguali
aM = a’M
si ha:
tAB = LAB/vMAX + vMAX /aM
Il diagramma trapezio degenera in un diagramma triangolare quando è
assente la fase di regime (diagramma sistema metropolitano).
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I DIAGRAMMI DEL MOTO SEMPLIFICATI
DIAGRAMMA AD ACCELERAZIONE LINEARE E CONTRACCOLPI COSTANTI
Un veicolo per raggiungere una data accelerazione impiega un tempo non
nullo. Pertanto si assume che l'accelerazione abbia una fase iniziale e
finale con incremento e decremento lineare.
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I DIAGRAMMI DEL MOTO SEMPLIFICATI
La pendenza dell'incremento o del decremento viene definito contraccolpo
(variazione di accelerazione nel tempo).
Sotto tali ipotesi, viene considerata la presenza di 4 differenti contraccolpi:
j1 il contraccolpo per l'incremento di accelerazione nella fase [0, t3];
j2 il contraccolpo per il decremento di accelerazione nella fase [t4, t1];
j3 il contraccolpo per il decremento di accelerazione nella fase [t2, t5];
j4 il contraccolpo per l'incremento di accelerazione nella fase [t6, tAB].
Per semplicità di calcolo nel seguito si suppone che:
aM = aM1 = aM2
j = j1 = j2 = j3 = j4
Anche in questo caso si individuano le tre fasi: avviamento, regime e
frenatura.
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I DIAGRAMMI DEL MOTO SEMPLIFICATI
La fase di avviamento e la fase di frenatura sono divise in tre intervalli di
tempo ognuna.
Durante il primo ed il terzo intervallo di ogni fase si assume il contraccolpo
costante e diverso da zero, ovvero l’accelerazione variabile linearmente:
j(t) = jM
a(t) = jM · t
Nella fase intermedia il contraccolpo è nullo e l’accelerazione è costante (vedi
caso precedente).
2
1,5
a (m/sec )
aM1
t (sec)
0,5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
-0,5
t AB
aM2
-1,5
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I DIAGRAMMI DEL MOTO SEMPLIFICATI
Nell’ipotesi semplificativa in cui si assume che:
- i contraccolpi (4 in totale) siano in valore assoluto uguali tra loro
- siano uguali i valori dell’accelerazione decelerazione massima
Allora, trascurando un termine infinitesimo di ordine superiore, il tempo di
percorrenza della tratta è pari a:
tAB = LAB/vMAX + vMAX/aM + aM/jM
Rispetto al caso precedente c’è l’ulteriore perditempo aM/jM.
Questo diagramma è quello che più si avvicina alla realtà.
Diagrammi del moto semplificati
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