CORSO DI PREPARAZIONE AI GIOCHI DI ARCHIMEDE 2015
Lezione del 3 NOVEMBRE 2015
GEOMETRIA
CRITERI DI CONGRUENZA FRA TRIANGOLI
IL SIMBOLO ≡ indica la congruenza
PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA: Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti
due lati e l’angolo tra essi compreso, allora sono congruenti.
SECONDO CRITERIO DI CONGRUENZA: Se due triangoli hanno rispettivamente
congruenti due angoli e il lato tra essi compreso, allora sono congruenti.
TERZO CRITERIO DI CONGRUENZA: Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti tutti e
tre i lati, allora sono congruenti.
CRITERI DI SIMILITUDINE FRA TRIANGOLI
PRIMO CRITERIO DI SIMILITUDINE: Due triangoli sono simili se hanno rispettivamente
due angoli congruenti.
SECONDO CRITERIO DI SIMILITUDINE: Due triangoli sono simili se:
- due lati del primo triangolo sono proporzionali ad altri due lati del secondo, con lo stesso rapporto;
- l’angolo compreso tra i due lati del primo triangolo è congruente all’angolo compreso tra i due lati
dell’altro triangolo.
TERZO CRITERIO DI SIMILITUDINE: Due triangoli sono simili se hanno i tre lati
rispettivamente proporzionali
TEOREMA DI PITAGORA: Dato un triangolo
rettangolo ABC come in figura, allora vale la relazione
dove c è l’ipotenusa del triangolo e b,a sono i cateti.
Da questo teorema si possono ricavare le seguenti formule,
che permettono di ricavare la misura di un lato a partire
dagli altri due:
PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE: In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito su uno
dei due cateti è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la proiezione del cateto
sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa.
Facendo riferimento alla figura a fianco,
abbiamo quindi che
Una formulazione analoga del teorema può
essere data utilizzando il linguaggio delle
proporzioni: ovvero, ogni cateto di un triangolo
rettangolo è medio proporzionale tra l’ipotenusa
e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.
Con una formula, questa affermazione si scrive
SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE: In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito
sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei
cateti sull’ipotenusa.
Facendo riferimento alla figuraa fianco, si ha
quindi
Con le proporzioni, il teorema può essere
riformulato in questo modo: l’altezza
relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo
è medio proporzionale tra le due proiezioni dei
cateti sull’ipotenusa. Esprimiamo questo concetto con una formula:
ANGOLI FORMATI DA DUE RETTE PARALLELE TAGLIATE DA UNA
TRASVERSALE
Disegniamo due rette parallele a e b, e una terza retta r
che le interseca entrambe. La retta r incontrando a e b
forma otto angoli che abbiamo numerato come in figura.
Osserviamo che le rette a e b dividono il piano in due
semipiani ed una striscia interna fra le due rette.
Chiameremo :
INTERNI gli angoli che si trovano dentro la striscia
ESTERNNI quelli che si trovano fuori della striscia
CONIUGATI gli angoli che si trovano dalla stessa parte rispetto a r. Questi angoli sono
SUPPLEMENTARI tra loro ( la loro somma è 180°)
ALTERNI gli angoli che si trovano in parti opposte rispetto alla retta r. Questi angoli sono tra loro
UGUALI.
CORRISPONDENTI gli angoli che si trovano contemporaneamente sopra oppure sotto le rette a e b
(Ovvero 1-5, 2-6, 3-7, 4-8). Questi angoli sono tra loro UGUALI.
TRIANGOLI CON ANGOLI DI 30°, 45° E 60°
Un triangolo equilatero ha tre lati uguali e tre angoli interni uguali
(ciascuno di 60°).
In un triangolo equilatero un’altezza (cioè un segmento condotto da un
vertice e perpendicolare al lato opposto) è anche mediana (interseca il
lato opposto nel punto medio) e bisettrice (divide l’angolo interno in due
angoli uguali, di 30°). Nella figura a lato la lunghezza del lato è
AB=AC=CB=l; di conseguenza si ha
Ciò permette di calcolare la lunghezza dell’altezza CH
Triangolo rettangolo con angoli di 30° e 60°
Un triangolo rettangolo con un angolo di 30° e uno di 60° è la metà di un
triangolo equilatero (figura a lato). Se indichiamo con l la lunghezza
dell’ipotenusa, valgono le seguenti proprietà:
• il cateto opposto all’angolo di 30° è lungo
• il cateto opposto all’angolo di 60° è lungo
Triangolo rettangolo isoscele
Un triangolo rettangolo isoscele (cioè con i cateti uguali tra loro) è la metà di
un quadrato (figura a lato) e ha due angoli di 45°. Se indichiamo con l la
lunghezza dei cateti, per il teorema di Pitagora l’ipotenusa risulta:
Nel triangolo rettangolo isoscele l’ipotenusa è uguale a un cateto
moltiplicato per 2 .
CERCHIO E CIRCONFERENZA
Raggio r
Diametro d = 2 r
Circonferenza C = 2 л r
Area A = л r²
Pi greco л ≈ 3, 14
AREA CORONA CIRCOLARE
A=л(R–r)²
