Astronomia
Lezione 28/11/2014
Docente: Alessandro Melchiorri
e.mail:[email protected]
Slides delle lezioni:
oberon.roma1.infn.it/alessandro/astro2014
L’interno delle Stelle
Equilibrio Idrostatico
Consideriamo un volumetto di base A, altezza dr e
massa infinitesimale dm dentro la stella e distante r
dal centro. Per questo volumetto la seconda legge di
Newton si scrive come:
Definendo:
Si ha:
Considerando che:
Possiamo riscrivere:
Equilibrio Idrostatico
Considerando:
Abbiamo:
Che dividendo per A fornisce:
Ponendo il primo membro a zero (equilibrio)
Otteniamo infine l’equazione per l’equilibrio idrostatico:
Deve esistere un gradiente di pressione
per controbilanciare la forza di gravita’
Prima equazione fondamentale della
struttura stellare..
Equilibrio Idrostatico
Calcoliamo in modo molto approssimato la pressione al centro del Sole.
I parametri del Sole sono :
Una stima rozza del gradiente di pressione puo’ essere data facendo il rapporto
incrementale tra la pressione sulla superficie ed al centro del Sole:
Sostituendo nell’equazione dell’equilibrio idrostatico si ottiene (
Per un conto piu’ preciso dovremmo integrare l’equazione:
pero’ questo richiede una conoscenza tra M e la densita’ che non abbiamo.
Sono necessari modelli del Sole, da cui otteniamo:
):
Conservazione della Massa
Per una stella a simmetria sferica, consideriamo un
guscio di spessore dr a distanza r dal centro.
Se dr << r allora il volume del guscio sara’ dato da:
La massa nel guscio sara’:
Dove la densita’ e’ la densita’ a distanza r dal centro.
Riarrangiando si ottiene:
Che stabilisce come la massa vari allontandosi dal centro.
Questa e’ la seconda equazione fondamentale della struttura stellare.
Equazione di stato
Deriviamo la legge dei gas perfetti PV=NkT.
Consideriamo un volumetto di base A e lunghezza Dx.
La forza esercitata da una particella sara’ tale da:
Mentre il tempo tra due urti sulla stessa parete e’ dato da:
La forza media esercitata sulla parete da una particella e’ quindi data da:
Equazione di stato
Deriviamo la legge dei gas perfetti PV=NkT.
Consideriamo un volumetto di base A e lunghezza Dx.
La forza esercitata da una particella sara’ tale da:
Mentre il tempo tra due urti sulla stessa parete e’ dato da:
La forza media esercitata sulla parete da una particella e’ quindi data da:
L’impulso p lungo x e’ proporzionale a vx quindi a numeratore abbiamo un quadrato
delle velocita’. Dato che
Allora possiamo scrivere f in funzione del modulo della velocita’:
Definendo ora una funzione di distribuzione Np che fornisce il numero di particelle con
impulso compreso tra p e p+dp e tale che:
Si ha che la forza sulla parete data da tutte le particelle e’:
Dividendo per l’area A, e dato che ADx=DV otteniamo l’integrale di pressione:
dove:
Equazione di stato
Conoscendo la distribuzione np possiamo ricavarci l’equazione di stato.
Ad esempio per particelle di massa m e non-relativistiche (v<<c) si ha p=mv e:
Ma come distribuzione delle velocita’ possiamo utilizzare quella di Maxwell-Boltzmann:
Integrando (dimostrare per esercizio) si ottiene l’usuale legge dei gas perfetti:
Che puo’ essere espressa in funzione della densita’:
Dove la massa al denominatore e’ la massa media delle particelle.
Equazione di stato
Introducendo il peso molecolare medio:
equivalente alla massa media di una particella libera in unita’ della massa dell’atomo
di idrogeno:
Possiamo riscrivere la legge per i gas perfetti come:
Che e’ la terza equazione fondamentale per la struttura stellare.
Peso Molecolare Medio
La massa media delle particelle di un gas non e’ facile da calcolare perche’ tiene conto
Anche degli elettroni ed e’ quindi necessario sapere quali sono gli atomi ionizzati o meno
Il calcolo si semplifica quando tutti gli atomi sono neutri o tutti ionizzati.
Quando sono neutri possiamo scrivere:
Dividendo per la massa dell’atomo di idrogeno e definendo
Si ha:
Mentre se gli atomi sono tutti ionizzati:
Dove zj tiene conto degli elettroni tutti strappati ad ogni atomo (si assumono con massa nulla
al numeratore).
Quindi nel caso neutro abbiamo:
Ricordando che A e’ la massa della particella diviso la massa dell’idrogeno:
Per il Sole:
Nel caso completamente ionizzato abbiamo invece:
Che possiamo scrivere come:
Ora dato che per elementi pesanti z>>1 e che gli atomi hanno lo stesso numero di
neutroni e protoni (ed elettroni strappati) si ha:
Nel caso di stelle con abbondanze
Si ha
Equazione di stato
L’equazione di stato trovata e’ valida per i gas ideali. Se pero’ andiamo in limite
relativistico (m<<T) allora non e’ piu’ chiaramente valida.
In quel caso la distribuzione segue o una statistica di Bose-Einstein (per i cosidetti
Bosoni quali i fotoni) o una statistica di Fermi-Dirac (per i fermioni quali elettroni, protoni,
neutroni, etc). Per i fermioni vale il principio di esclusione di Pauli, per i bosoni no.
Nel caso in cui si considerino fotoni abbiamo che l’integrale di pressione si puo’
scrivere come:
Considerando che l’impulso di un fotone e’ dato da
come velocita’ delle particelle nell’integrale. Si ha quindi:
e avendo preso c
e utilizzando la
distribuzione di corpo nero:
Quello che si ha normalmente e’ quindi la somma di due componenti:
Sorgenti di Energia per le Stelle
Cosa fornisce alle Stelle l’energia necessaria per mantenere l’equilibrio ?
Proviamo prima con solo l’energia potenziale gravitazionale:
Se prendiamo un guscio di massa dm distante r dal centro si ha:
E quindi l’energia potenziale e’ data da:
Assumendo una densita’ costante si ha
Da cui (ricordarsi che per il teorema del viriale l’energia totale e’ meta’ di quella potenziale)
Scala di Kelvin-Helmholtz
Consideriamo ad esempio il Sole e supponiamo che questo sia nato da una nube molto
Piu’ grande con
l’energia rilasciata e’ dell’ordine di:
Supponendo che avvenga con luminosita’ costante, tutto questo deve essere avvenuto
In un tempo:
Detto scala temporale di Kelvin-Helmholtz.
Questo fissa un limite superiore all’eta’ del Sole che e’ ovviamente sbagliato dato
che, ad esempio, la luna sarebbe 100 volte piu’ vecchia.
Quindi non e’ solo l’energia gravitazionale quella responsabile.
Questo tempo di vita della stella è invece paragonabile a quello di pre-sequenza principale.
Energia Nucleare
Chiaramente la forma di energia che sostiene le stelle e’ di tipo nucleare.
Le energie in gioco nella fusione dei nuclei sono dell’ordine del MeV , quindi
molto maggiori rispetto a quelle delle orbite degli elettroni (eV).
Per i nuclei Z indica il numero di protoni, N il numero di neutroni (isotopi) e
A il numero di nucleoni A=Z+N.
Per l’idrogeno N=0, il deuterio N=1, il trizio N=2. Z=1.
Le masse delle particelle sono:
Dove
In un processo di fusione, quattro nuclei di idrogeno posso produrre un nucleo di
Elio. La massa del nucleo di Elio e’ minore della somma delle masse dei nuclei di
Idrogeno per il 0.7%. Una energia di circa 26.731 MeV detta energia di legame del
nucleo di Elio. Questa e’ l’energia che serve alla struttura della stella.
Temperatura per fusione nucleare: Caso Classico
Che temperatura e’ necessaria per avere la fusione ?
I nuclei devono essere vicini a sufficienza ma
c’e’ la forza di Coulomb che li respinge.
Si deve avere una agitazione termica tale
da superare la barriera coulombiana
In prossimità del nucleo.
Si ha quindi:
Vale a dire, semplificando per T:
e ponendo la distanza di 1 fm (femtobarn=10^-15 m)
Si ha
T
che e’ troppo alta per il centro di una stella !!
Temperatura per fusione nucleare: Caso Quantistico
Passare al caso quantistico significa considerare due aspetti: il principio di indeterminazione:
E la lunghezza d’onda di De Broglie. Vale a dire che anche particelle massive possono mostrare
una interferenza come la luce (ma su scale più piccole, 0.242 nm per un elettrone a 10^6 m/s !):
usando:
Possiamo trovare l dalla relazione:
Da cui:
Ottenendo
temperatura al centro.
che va molto meglio ! Le stelle possono raggiungere questa
Picco di Gamow
Ci dice a quale energia si ha la massima probabilita’ di una fusione. E’ la moltiplicazione
Tra la distribuzione di Maxwell (in energia) e l’energia necessaria a superare la barriera
coulombiana dei nuclei.
George Gamow (1904-1968)
Nato in Ucraina, naturalizzato americano. Uno dei piu’ grandi fisici del 20simo secolo.
Guardate il libretto di Mr. Tompkins sulla relativita’ ristretta.
Quali sono i processi nucleari ?
Nucleosintesi: processo di formazione dei nuclei piu’ pesanti dell’idrogeno.
Nucleosintesi primordiale: e’ un processo in funzione nei primi tre minuti di vita
del nostro universo dopo il Big Bang. Porta essenzialmente alla formazione di Elio.
(75% Idrogeno, 25% Elio). Vi sono anche tracce di Deuterio ed altri elementi
Leggeri (Litio). La studierete il prossimo anno.
Nucleosintesi stellare: porta alla formazione di tutti gli elementi piu’ pesanti.
Leggi di Conservazione
•
Nei processi che andremo a studiare si devono
conservare:
–
La carica totale
–
Il numero di leptoni (leptoni: elettroni e neutrini)
contando come positiva la materia e negativa
l’antimateria. (elettroni, neutrini materia; positroni e
antineutrini sono antimateria)
I nuclei andremo a scriverli come:
A numero di massa (protoni e neutroni), Z numero di protoni, X specie chimica.
Gradiente di Luminosita’
Lr e’ la luminosita’ interna.
L’equazione connette la densita’ di energia emessa per unita’ di tempo
con la distanza dal centro.
Fusione Nucleare e Catena pp
Catena Protone-Protone
Quattro nuclei di Idrogeno vanno a formare un nucleo di Elio, due positroni,
due neutrini elettronici e due fotoni:
Come ci si arriva ? Catena protone-protone. (PPI)
Lo step piu’ lento nella catena e’ il primo perche’ coinvolge il decadimento di un
protone:
Catena Protone-Protone
Quattro nuclei di Idrogeno vanno a formare un nucleo di Elio, due positroni,
due neutrini elettronici e due fotoni:
Come ci si arriva ? Catena protone-protone. (PPI)
Lo step piu’ lento nella catena e’ il primo perche’ coinvolge il decadimento di un
protone:
Catena Protone-Protone
Quattro nuclei di Idrogeno vanno a formare un nucleo di Elio, due positroni,
due neutrini elettronici e due fotoni:
Come ci si arriva ? Catena protone-protone. (PPI)
Lo step piu’ lento nella catena e’ il primo perche’ coinvolge il decadimento di un
protone:
Energia nucleare emessa da catena
PP e temperatura
La formula per l’energia emessa dalla catena PP e’ di questa forma:
Dove
Fattore di screening:
Fattore che tiene
Conto dei vari rami:
Correzioni varie:
Esprimendo il tutto a legge di potenza intorno ad una temperatura di
(temperatura alla quale si ha il picco di Gamow) si ha:
con
Quindi una dipendenza dalla temperatura alla quarta potenza (vedremo che non e’
molto).
Catena CNO
Scoperta da Hans Bethe (1906-2005) nel 1938, produce Elio a partire dal carbonio.
Anche qui abbiamo due rami, il primo e’:
Mentre il secondo ramo (che parte dal secondo processo della catena) accade solo lo 0.04%
delle volte ed e’:
Andamento dalla Temperatura
Dipende molto di piu’ dalla temperatura.
Bassa temperatura: domina il PP.
Alta temperatura: domina il CNO.
Mano a mano che l’idrogeno viene convertito, aumenta il peso molecolare medio,
diminuisce la pressione, la stella collassa, la temperatura incrementa e la stella «brucia»
l’elemento sempre di piu’.
Come si propaga l’energia
all’interno di una stella ?
•
Vi sono tre meccanismi possibili:
- Irraggiamento (attraverso fotoni)
- Convezione (materia che si muove, bolle)
- Conduzione (scattering fra particelle)
Le prime due sono le piu’ importanti (la terza e’
valida solo per nane bianche, come vedremo).
L'interno di una stella stabile si trova in uno stadio di equilibrio sia idrostatico sia termico ed è caratterizzato
da un gradiente di temperatura che origina un flusso energetico in direzione dell'esterno.
La struttura interna di una stella di sequenza principale dipende in primo luogo dalla sua massa, che è all'origine
della diversa disposizione delle strutture all'interno del corpo celeste.
La zona radiativa è quella regione all'interno della stella in cui il trasferimento dell'energia per irraggiamento è
sufficientemente efficiente per mantenere il flusso energetico. In questa zona il plasma non subisce né
perturbazioni né spostamenti di massa; se però il plasma inizia a dare manifestazioni di instabilità e
compie movimenti di tipo convettivo, la regione assume le caratteristiche di zona convettiva.
La posizione della zona radiativa e di quella convettiva di una stella di sequenza principale dipende dalla sua classe spettrale e dalla massa. Nelle stelle con una massa diverse volte quella solare la zona convettiva è posta
in profondità, adiacente al nucleo, mentre la zona radiativa è posta subito al di sopra della zona convettiva.
Nelle stelle meno massicce, come il Sole, le due zone sono invertite, ovvero la zona radiativa è adiacente al nucleo. In gran parte delle stelle la zona convettiva tende a variare nel corso del tempo man mano che la stella procede
nella sua evoluzione e viene modificata la sua composizione interna.
Ciclo tre-alfa
Produciamo Carbonio a partire da Elio:
Dipendenza enorme
dalla temperatura !!
Combustione Carbonio e Ossigeno:
Energia di Legame per Nucleone
Dopo il Ferro tutti gli
elementi successivi nascono
da reazioni endotermiche
vale a dire che necessitano
di energia ulteriore per
avvenire (mentre
prima rilasciavano energia
ed erano esotermiche).
Quindi non si possono
produrre elementi oltre
il Ferro nelle stelle.
Gli elementi successivi
sono prodotti ad esempio
tramite esplosioni in
Supernovae…
Vedremo in seguito…
