Esercizio (logica proposizionale) Dimostrare che se Γ |= P allora

Esercizio (logica proposizionale) Dimostrare che se Γ |= P allora, per ogni
atomo A e formula Q, vale
Γ[Q/A] |= P [Q/A],
dove Γ[Q/A] = {R[Q/A] : R ∈ Γ}.
Iniziamo dimostrando la seguente proprietà, dalla quale il risultato desiderato segue immediatamente:
P1. Siano Q una formula, A un atomo e v una interpretazione. Se consideriamo v ′ : F BF → {0, 1} definita sugli atomi come segue:
v ′ (B) =
v(B)
v(Q)
se B 6= A
se B = A
allora per ogni formula P , vale v ′ (P ) = v(P [Q/A]).
Dim. Per induzione sulla struttura di P .
• (P = B) Distinguiamo due casi. Se B = A, allora v(A[Q/A]) = v(Q) =
v ′ (A). Altrimenti, se B 6= A, si ha che v(B[Q/A]) = v(B) = v ′ (B).
• (P = ¬P ′ ) Si ha che v((¬P ′ )[Q/A]) = v(¬(P ′ [Q/A])) = 1 − v(P ′ [Q/A]) =
1 − v ′ (P ′ ) = v ′ (¬P ′ ), dove il penultimo passaggio è giustificato dall’ipotesi
induttiva.
• Gli altri casi si trattano in modo analogo.
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A questo punto possiamo dimostrare il risultato desiderato
P2. Se Γ |= P allora, per ogni atomo A e formula Q, vale Γ[Q/A] |= P [Q/A].
Dim. Sia v una generica interpretazione tale che v |= Γ[Q/A]. Per concludere,
dovremmo dimostrare che v |= P [Q/A].
Si noti che, se definiamo v ′ come in P1, ovvero
′
v (B) =
v(B)
v(Q)
se B 6= A
se B = A
per quanto dimostrato in P1, varrà v ′ |= Γ. Dato che Γ |= P , ne segue che
v ′ |= P e pertanto, ancora grazie a P1, possiamo concludere che v |= P [Q/A],
come desiderato.
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