Programma di ANALISI MATEMATICA

Programma di ANALISI MATEMATICA
Corso di Laurea Ingegneria Elettronica ed Informatica (D.M. 270) – a.a. 2009/10
Argomenti
TEOREMI
DA
DIMOSTRARE
1) Cenni di logica
Proposizioni – Predicati – Connettivi logici - Dimostrazioni - Quantificatori
2) Insiemi numerici
Gli insiemi N, Z e Q - Definizione assiomatica dell’insieme dei numeri reali Valore assoluto di un numero reale e proprietà -L’insieme esteso dei numeri reali
– Intervalli – Insiemi limitati – Massimo e minimo di un insieme di numeri reali
– Estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme di numeri reali - Insiemi
aperti, insiemi chiusi e proprietà - Derivato, chiusura e frontiera di un insieme Caratterizzazione degli insiemi chiusi - Teorema di BOLZANO- WEIERSTRASS.
3) Le funzioni reali
Teorema di
BOLZANOWEIERSTRASS
Richiami sulle funzioni: dominio, codominio, immagine - Funzioni iniettive,
funzioni surgettive - Funzione composta - Funzione inversa - Funzioni monotone
- Funzioni elementari e loro grafici – Funzioni iperboliche. Funzioni arcsin,
arccosin, arctan.
Teorema di
4) Limiti di funzioni
unicità del limite
Limite per le funzioni – Unicità del limite – Limitatezza locale – Permanenza del
segno – Confronto – Limite destro e sinistro – Algebra dei limiti - Forme Teorema del
indeterminate - Limiti fondamentali – Limite di funzioni monotone – Infinitesimi confronto
e infiniti.
Teoremi sui
limiti di funzioni
monotone
Teorema: limite
5) Successioni numeriche
e successioni
Definizione di successione – Limite di una successione - Successioni limitate
convergenti, divergenti, indeterminate, regolari – Unicità del limite – Limitatezza
delle successioni convergenti – Confronto – Permanenza del segno – Algebra dei Teorema sul
limiti – Successioni monotone –Successioni di CAUCHY– Criterio di CAUCHY per limite di
successioni
le successioni - Limiti notevoli.
monotone
Criterio di
Cauchy
Teorema di
6) Funzioni continue
esistenza degli
Continuità di una funzione in un punto e in un intervallo – Discontinuità – zeri
Algebra delle funzioni continue – Continuità delle funzioni composte – Teorema
di esistenza degli zeri – Teorema di WEIERSTRASS –Teorema di esistenza dei Teorema di
valori intermedi – Continuità delle funzioni inverse - Funzioni uniformemente esistenza dei
valori intermedi
continue.
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Argomenti
TEOREMI
DA
DIMOSTRARE
7) Calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale
Definizione di derivata e suo significato geometrico – Derivabilità e continuità –
Algebra delle derivate – Derivate di ordine superiore – Derivate delle funzioni
composte e delle funzioni inverse – Differenziale – Massimi e minimi relativi e
assoluti – Teorema di FERMAT – Teoremi di ROLLE, CAUCHY, LAGRANGE –
Conseguenze del Teorema di LAGRANGE – Teoremi di DE L’HOPITAL ––
Funzioni convesse e concave, flessi - Grafico di funzione.
Teorema:
derivabilità
implica
continuità
Teorema:
derivata di una
somma
Teorema di
Fermat
Teorema di
Rolle
Teorema di
Cauchy
8) Calcolo integrale per funzioni di una variabile reale
Integrale secondo RIEMANN – Significato geometrico - Criterio di integrabilitàClassi di funzioni integrabili - Proprietà degli integrali: linearità positività,
monotonia, additività - Tereoma della Media integrale – Funzione integrale Primitive - Teorema fondamentale del calcolo integrale – Formula fondamentale
del calcolo integrale - Integrale indefinito - Integrazione per parti e per
sostituzione – Integrazione delle funzioni razionali – Integrazione di alcune
funzioni trascendenti – Integrali impropri – Criteri di convergenza- Funzioni
assolutamente integrabili.
9) Calcolo differenziale per funzioni di più variabili
Elementi di topologia in Rn - Funzioni di più variabili: limiti e continuità Derivate parziali - Derivate direzionali – Differenziale e funzioni differenziabili –
Teorema del differenziale totale – Funzioni composte – Teorema del valor medio
- Derivate successive - Teorema di Schwarz – Differenziale 2o – Matrice
Hessiana - Massimi e minimi relativi per funzioni di più variabili – Forme
quadratiche – Funzioni convesse - Estremi vincolati.
Conseguenze del
Teorema di
Lagrange
Criterio di
integrabilità
Teorema:
continuità
implica
integrabilità
Teorema della
media e
corollario
Teorema
fondamentale
del calcolo int.
Teorema del
differenziale
totale
Teorema del
valor medio
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DIMOSTRARE
10) Integrali curvilinei e forme differenziali
Curve regolari – Lunghezza di una curva – Ascissa curvilinea - Integrale
curvilineo di una funzione – Forme differenziali - Integrale curvilineo di una
forma differenziale.
Teorema di
integrabilità di
forme diff.
Esatte
Criterio di
integrabilità
11) Equazioni differenziali
Il problema di CAUCHY - Esistenza e unicità della soluzione del problema di
CAUCHY - Vari tipi di equazioni differenziali del primo ordine: a variabili
separabili, lineari, di BERNOULLI omogenee - Equazioni differenziali lineari a
coefficienti costanti.
12) Serie numeriche
Carattere di una serie – Criterio di convergenza di CAUCHY – Condizione
necessaria per la convergenza – Serie a termini non negativi – Criterio del
confronto, del rapporto, della radice – Serie geometrica – Serie di MENGOLI –
Serie armonica – Serie armonica generalizzata – Serie esponenziale - Serie a
termini di segno alterno – Criterio di LEIBNIZ – Serie assolutamente convergenti.
13) Successioni e serie di funzioni
Successioni di funzioni - Convergenza puntuale e convergenza uniforme Teorema di continuità – Teorema del passaggio al limite sotto il segno di
integrale – Teorema del passaggio al limite sotto il segno di derivata - Serie di
funzioni - Convergenza puntuale, assoluta, uniforme e totale - Teorema di
continuità, di derivabilità e di integrabilità - Serie di potenze – Serie di TAYLOR
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Il docente del corso
Beatrice Di Bella