I moti dei pianeti
Le leggi del moto dei pianeti nel Sistema Solare sono note sin dal XVII secolo,
quando Kepler enunció le sue tre leggi.
Ció che vogliamo fare non é studiare dal punto di vista fisico il moto di
un corpo del Sistema Solare, bensı́ predirne la sua posizione in cielo, sulla
base di proprietá osservative note, che chiaramente devono trovare riscontro
nell’applicazione delle leggi di Keplero e della gravitazione universale in generale.
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
May 17, 2015
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La gravità e i moti orbitali
Per completezza, enunciamo le leggi dei moti planetari, stabilite
da Johannes Kepler (1571-1630), basandosi sulle osservazioni
molto accurate del maestro Tycho Brahe (1546-1601).
Prima legge di Keplero: un pianeta descrive un’orbita ellittica di cui il Sole
occupa uno dei due fuochi.
Seconda legge di Keplero: il raggio vettore che unisce il pianeta al Sole
spazza aree uguali in tempi uguali.
Terza legge di Keplero: il quadrato dei tempi di rivoluzione è proporzionale
al cubo del semiasse maggiore dell’orbita:
P2 ∝ a3
.
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
May 17, 2015
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La gravitazione universale
Il tentativo di trovare una spiegazione fisica per le leggi di Keplero, unitamente ai risultati di Galileo sullo studio del moto dei
corpi, portarono alla nascita della meccanica di Newton.
Egli postulò che due masse M e m si attraggono con una forza diretta secondo
la congiungente delle due masse e di intensità pari a:
F=
GMm
r2
dove G = 6.6. × 10−11 N m2 kg−2 è la costante di gravitazione universale.
La legge di gravitazione universale assieme ai principi della dinamica permise
di spiegare tutte le caratteristiche dei moti planetari, e quindi tutte le tre leggi di
Keplero.
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
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Calcolo della posizione di un pianeta
Passi per il calcolo di una posizione planetaria
dati iniziali: elementi orbitali ad una certa epoca;
calcolo della posizione sul piano orbitale del pianeta;
proiezione della posizione calcolata sul piano dell’eclittica (longitudine eliocentrica);
traslazione del riferimento dal Sole alla Terra;
eventuale cambiamento di coordinate da eclittiche a equatoriali o altazimutali.
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
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Calcolo della posizione di un pianeta
Passi per il calcolo di una posizione planetaria
dati iniziali: elementi orbitali ad una certa epoca;
calcolo della posizione sul piano orbitale del pianeta;
proiezione della posizione calcolata sul piano dell’eclittica (longitudine eliocentrica);
traslazione del riferimento dal Sole alla Terra;
eventuale cambiamento di coordinate da eclittiche a equatoriali o altazimutali.
A
: posizione del perielio;
sulla sfera celeste;
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
A′ proiezione di A
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Calcolo della posizione di un pianeta
Passi per il calcolo di una posizione planetaria
dati iniziali: elementi orbitali ad una certa epoca;
calcolo della posizione sul piano orbitale del pianeta;
proiezione della posizione calcolata sul piano dell’eclittica (longitudine eliocentrica);
traslazione del riferimento dal Sole alla Terra;
eventuale cambiamento di coordinate da eclittiche a equatoriali o altazimutali.
A
: posizione del perielio;
sulla sfera celeste;
A′ proiezione di A
N1 − N2 : linea dei nodi (N1 ascendente, N2
N1′ e N2′ intersezioni con a sfera;
discendente);
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
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Calcolo della posizione di un pianeta
Passi per il calcolo di una posizione planetaria
dati iniziali: elementi orbitali ad una certa epoca;
calcolo della posizione sul piano orbitale del pianeta;
proiezione della posizione calcolata sul piano dell’eclittica (longitudine eliocentrica);
traslazione del riferimento dal Sole alla Terra;
eventuale cambiamento di coordinate da eclittiche a equatoriali o altazimutali.
A
: posizione del perielio;
sulla sfera celeste;
A′ proiezione di A
N1 − N2 : linea dei nodi (N1 ascendente, N2
N1′ e N2′ intersezioni con a sfera;
γ: Punto Vernale (equinozio di Primavera);
discendente);
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
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Calcolo della posizione di un pianeta
Passi per il calcolo di una posizione planetaria
dati iniziali: elementi orbitali ad una certa epoca;
calcolo della posizione sul piano orbitale del pianeta;
proiezione della posizione calcolata sul piano dell’eclittica (longitudine eliocentrica);
traslazione del riferimento dal Sole alla Terra;
eventuale cambiamento di coordinate da eclittiche a equatoriali o altazimutali.
A
: posizione del perielio;
sulla sfera celeste;
A′ proiezione di A
N1 − N2 : linea dei nodi (N1 ascendente, N2
N1′ e N2′ intersezioni con a sfera;
γ: Punto Vernale (equinozio di Primavera);
Ω: longitudine del nodo ascendente;
discendente);
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
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Calcolo della posizione di un pianeta
Passi per il calcolo di una posizione planetaria
dati iniziali: elementi orbitali ad una certa epoca;
calcolo della posizione sul piano orbitale del pianeta;
proiezione della posizione calcolata sul piano dell’eclittica (longitudine eliocentrica);
traslazione del riferimento dal Sole alla Terra;
eventuale cambiamento di coordinate da eclittiche a equatoriali o altazimutali.
A
: posizione del perielio;
sulla sfera celeste;
A′ proiezione di A
N1 − N2 : linea dei nodi (N1 ascendente, N2
N1′ e N2′ intersezioni con a sfera;
γ: Punto Vernale (equinozio di Primavera);
Ω: longitudine del nodo ascendente;
ω̃: argomento del perielio, ovvero angolo tra il
′
nodo ascendente e il punto A .
discendente);
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
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Calcolo della posizione di un pianeta
Posizione sull’orbita.
La posizione generica del pianeta sulla sua orbita é individuata dall’angolo ω + ν.
Le longitudini rispetto a γ del perielio e della posizione generica del pianeta sono
date dalle somme (di angoli non sullo stesso piano): ω + Ω e ω + ν + Ω.
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
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Calcolo della posizione di un pianeta
Dati iniziali: Sette elementi orbitali.
Table:
Pianeta
Mercurio
Venere
Terra
Marte
Giove
Saturno
Urano
Nettuno
Plutone
Elementi delle orbite planetarie, all’epoca 1980.0.
Periodo
T0
(anni tropici)
Longitudine
ε
(gradi)
Longitudine
ω̃
(gradi)
Eccentricità
dell’orbita e
Semiasse
maggiore a
(AU)
Inclinazione
dell’orbita i
(gradi)
Longitudine
nodo asc. Ω
(gradi)
0.24085
0.61521
1.00004
1.88089
11.86224
29.45771
84.01247
164.79558
250.9
231.2973
355.73352
98.833540
126.30783
146.966365
165.322242
228.0708551
260.3578998
209.439
77.1442128
131.2895792
102.596403
335.6908166
14.0095493
92.6653974
172.7363288
47.8672148
222.972
0.2056306
0.0067826
0.016718
0.0933865
0.0484658
0.0556155
0.0463232
0.0090021
0.25387
0.3870986
0.7233316
1.000000
1.5236883
5.202561
9.554747
19.21814
30.10957
39.78459
7.0043579
3.394435
–
1.8498011
1.3041819
2.4893741
0.7729895
1.7716017
17.137
48.0941733
76.4997524
–
49.4032001
100.2520175
113.4888341
73.8768642
131.5606494
109.941
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Calcolo della posizione di un pianeta
Dati iniziali: Sette elementi orbitali.
Table:
Pianeta
Mercurio
Venere
Terra
Marte
Giove
Saturno
Urano
Nettuno
Plutone
Elementi delle orbite planetarie, all’epoca 1980.0.
Periodo
T0
(anni tropici)
Longitudine
ε
(gradi)
Longitudine
ω̃
(gradi)
Eccentricità
dell’orbita e
Semiasse
maggiore a
(AU)
Inclinazione
dell’orbita i
(gradi)
Longitudine
nodo asc. Ω
(gradi)
0.24085
0.61521
1.00004
1.88089
11.86224
29.45771
84.01247
164.79558
250.9
231.2973
355.73352
98.833540
126.30783
146.966365
165.322242
228.0708551
260.3578998
209.439
77.1442128
131.2895792
102.596403
335.6908166
14.0095493
92.6653974
172.7363288
47.8672148
222.972
0.2056306
0.0067826
0.016718
0.0933865
0.0484658
0.0556155
0.0463232
0.0090021
0.25387
0.3870986
0.7233316
1.000000
1.5236883
5.202561
9.554747
19.21814
30.10957
39.78459
7.0043579
3.394435
–
1.8498011
1.3041819
2.4893741
0.7729895
1.7716017
17.137
48.0941733
76.4997524
–
49.4032001
100.2520175
113.4888341
73.8768642
131.5606494
109.941
T 0 : periodo orbitale in anni tropici (anno tropico: intervallo di tempo tra due passaggi del Sole all’equinozio);
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Calcolo della posizione di un pianeta
Dati iniziali: Sette elementi orbitali.
Table:
Pianeta
Mercurio
Venere
Terra
Marte
Giove
Saturno
Urano
Nettuno
Plutone
Elementi delle orbite planetarie, all’epoca 1980.0.
Periodo
T0
(anni tropici)
Longitudine
ε
(gradi)
Longitudine
ω̃
(gradi)
Eccentricità
dell’orbita e
Semiasse
maggiore a
(AU)
Inclinazione
dell’orbita i
(gradi)
Longitudine
nodo asc. Ω
(gradi)
0.24085
0.61521
1.00004
1.88089
11.86224
29.45771
84.01247
164.79558
250.9
231.2973
355.73352
98.833540
126.30783
146.966365
165.322242
228.0708551
260.3578998
209.439
77.1442128
131.2895792
102.596403
335.6908166
14.0095493
92.6653974
172.7363288
47.8672148
222.972
0.2056306
0.0067826
0.016718
0.0933865
0.0484658
0.0556155
0.0463232
0.0090021
0.25387
0.3870986
0.7233316
1.000000
1.5236883
5.202561
9.554747
19.21814
30.10957
39.78459
7.0043579
3.394435
–
1.8498011
1.3041819
2.4893741
0.7729895
1.7716017
17.137
48.0941733
76.4997524
–
49.4032001
100.2520175
113.4888341
73.8768642
131.5606494
109.941
T 0 : periodo orbitale in anni tropici (anno tropico: intervallo di tempo tra due passaggi del Sole all’equinozio);
ε: longitudine eliocentrica ad una certa epoca;
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Calcolo della posizione di un pianeta
Dati iniziali: Sette elementi orbitali.
Table:
Pianeta
Mercurio
Venere
Terra
Marte
Giove
Saturno
Urano
Nettuno
Plutone
Elementi delle orbite planetarie, all’epoca 1980.0.
Periodo
T0
(anni tropici)
Longitudine
ε
(gradi)
Longitudine
ω̃
(gradi)
Eccentricità
dell’orbita e
Semiasse
maggiore a
(AU)
Inclinazione
dell’orbita i
(gradi)
Longitudine
nodo asc. Ω
(gradi)
0.24085
0.61521
1.00004
1.88089
11.86224
29.45771
84.01247
164.79558
250.9
231.2973
355.73352
98.833540
126.30783
146.966365
165.322242
228.0708551
260.3578998
209.439
77.1442128
131.2895792
102.596403
335.6908166
14.0095493
92.6653974
172.7363288
47.8672148
222.972
0.2056306
0.0067826
0.016718
0.0933865
0.0484658
0.0556155
0.0463232
0.0090021
0.25387
0.3870986
0.7233316
1.000000
1.5236883
5.202561
9.554747
19.21814
30.10957
39.78459
7.0043579
3.394435
–
1.8498011
1.3041819
2.4893741
0.7729895
1.7716017
17.137
48.0941733
76.4997524
–
49.4032001
100.2520175
113.4888341
73.8768642
131.5606494
109.941
T 0 : periodo orbitale in anni tropici (anno tropico: intervallo di tempo tra due passaggi del Sole all’equinozio);
ε: longitudine eliocentrica ad una certa epoca;
ω̃: longitudine del perielio
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
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Calcolo della posizione di un pianeta
Dati iniziali: Sette elementi orbitali.
Table:
Pianeta
Mercurio
Venere
Terra
Marte
Giove
Saturno
Urano
Nettuno
Plutone
Elementi delle orbite planetarie, all’epoca 1980.0.
Periodo
T0
(anni tropici)
Longitudine
ε
(gradi)
Longitudine
ω̃
(gradi)
Eccentricità
dell’orbita e
Semiasse
maggiore a
(AU)
Inclinazione
dell’orbita i
(gradi)
Longitudine
nodo asc. Ω
(gradi)
0.24085
0.61521
1.00004
1.88089
11.86224
29.45771
84.01247
164.79558
250.9
231.2973
355.73352
98.833540
126.30783
146.966365
165.322242
228.0708551
260.3578998
209.439
77.1442128
131.2895792
102.596403
335.6908166
14.0095493
92.6653974
172.7363288
47.8672148
222.972
0.2056306
0.0067826
0.016718
0.0933865
0.0484658
0.0556155
0.0463232
0.0090021
0.25387
0.3870986
0.7233316
1.000000
1.5236883
5.202561
9.554747
19.21814
30.10957
39.78459
7.0043579
3.394435
–
1.8498011
1.3041819
2.4893741
0.7729895
1.7716017
17.137
48.0941733
76.4997524
–
49.4032001
100.2520175
113.4888341
73.8768642
131.5606494
109.941
T 0 : periodo orbitale in anni tropici (anno tropico: intervallo di tempo tra due passaggi del Sole all’equinozio);
ε: longitudine eliocentrica ad una certa epoca;
ω̃: longitudine del perielio
e: eccentricitá dell’orbita;
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
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10 / 10
Calcolo della posizione di un pianeta
Dati iniziali: Sette elementi orbitali.
Table:
Pianeta
Mercurio
Venere
Terra
Marte
Giove
Saturno
Urano
Nettuno
Plutone
Elementi delle orbite planetarie, all’epoca 1980.0.
Periodo
T0
(anni tropici)
Longitudine
ε
(gradi)
Longitudine
ω̃
(gradi)
Eccentricità
dell’orbita e
Semiasse
maggiore a
(AU)
Inclinazione
dell’orbita i
(gradi)
Longitudine
nodo asc. Ω
(gradi)
0.24085
0.61521
1.00004
1.88089
11.86224
29.45771
84.01247
164.79558
250.9
231.2973
355.73352
98.833540
126.30783
146.966365
165.322242
228.0708551
260.3578998
209.439
77.1442128
131.2895792
102.596403
335.6908166
14.0095493
92.6653974
172.7363288
47.8672148
222.972
0.2056306
0.0067826
0.016718
0.0933865
0.0484658
0.0556155
0.0463232
0.0090021
0.25387
0.3870986
0.7233316
1.000000
1.5236883
5.202561
9.554747
19.21814
30.10957
39.78459
7.0043579
3.394435
–
1.8498011
1.3041819
2.4893741
0.7729895
1.7716017
17.137
48.0941733
76.4997524
–
49.4032001
100.2520175
113.4888341
73.8768642
131.5606494
109.941
T 0 : periodo orbitale in anni tropici (anno tropico: intervallo di tempo tra due passaggi del Sole all’equinozio);
ε: longitudine eliocentrica ad una certa epoca;
ω̃: longitudine del perielio
e: eccentricitá dell’orbita;
a: semiasse maggiore dell’orbita, in unitá di quello terrestre (Unitá Astronomica);
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
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Calcolo della posizione di un pianeta
Dati iniziali: Sette elementi orbitali.
Table:
Pianeta
Mercurio
Venere
Terra
Marte
Giove
Saturno
Urano
Nettuno
Plutone
Elementi delle orbite planetarie, all’epoca 1980.0.
Periodo
T0
(anni tropici)
Longitudine
ε
(gradi)
Longitudine
ω̃
(gradi)
Eccentricità
dell’orbita e
Semiasse
maggiore a
(AU)
Inclinazione
dell’orbita i
(gradi)
Longitudine
nodo asc. Ω
(gradi)
0.24085
0.61521
1.00004
1.88089
11.86224
29.45771
84.01247
164.79558
250.9
231.2973
355.73352
98.833540
126.30783
146.966365
165.322242
228.0708551
260.3578998
209.439
77.1442128
131.2895792
102.596403
335.6908166
14.0095493
92.6653974
172.7363288
47.8672148
222.972
0.2056306
0.0067826
0.016718
0.0933865
0.0484658
0.0556155
0.0463232
0.0090021
0.25387
0.3870986
0.7233316
1.000000
1.5236883
5.202561
9.554747
19.21814
30.10957
39.78459
7.0043579
3.394435
–
1.8498011
1.3041819
2.4893741
0.7729895
1.7716017
17.137
48.0941733
76.4997524
–
49.4032001
100.2520175
113.4888341
73.8768642
131.5606494
109.941
T 0 : periodo orbitale in anni tropici (anno tropico: intervallo di tempo tra due passaggi del Sole all’equinozio);
ε: longitudine eliocentrica ad una certa epoca;
ω̃: longitudine del perielio
e: eccentricitá dell’orbita;
a: semiasse maggiore dell’orbita, in unitá di quello terrestre (Unitá Astronomica);
i: inclinazione dell’orbita, rispetto al piano dell’eclittica;
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
May 17, 2015
10 / 10
Calcolo della posizione di un pianeta
Dati iniziali: Sette elementi orbitali.
Table:
Pianeta
Mercurio
Venere
Terra
Marte
Giove
Saturno
Urano
Nettuno
Plutone
Elementi delle orbite planetarie, all’epoca 1980.0.
Periodo
T0
(anni tropici)
Longitudine
ε
(gradi)
Longitudine
ω̃
(gradi)
Eccentricità
dell’orbita e
Semiasse
maggiore a
(AU)
Inclinazione
dell’orbita i
(gradi)
Longitudine
nodo asc. Ω
(gradi)
0.24085
0.61521
1.00004
1.88089
11.86224
29.45771
84.01247
164.79558
250.9
231.2973
355.73352
98.833540
126.30783
146.966365
165.322242
228.0708551
260.3578998
209.439
77.1442128
131.2895792
102.596403
335.6908166
14.0095493
92.6653974
172.7363288
47.8672148
222.972
0.2056306
0.0067826
0.016718
0.0933865
0.0484658
0.0556155
0.0463232
0.0090021
0.25387
0.3870986
0.7233316
1.000000
1.5236883
5.202561
9.554747
19.21814
30.10957
39.78459
7.0043579
3.394435
–
1.8498011
1.3041819
2.4893741
0.7729895
1.7716017
17.137
48.0941733
76.4997524
–
49.4032001
100.2520175
113.4888341
73.8768642
131.5606494
109.941
T 0 : periodo orbitale in anni tropici (anno tropico: intervallo di tempo tra due passaggi del Sole all’equinozio);
ε: longitudine eliocentrica ad una certa epoca;
ω̃: longitudine del perielio
e: eccentricitá dell’orbita;
a: semiasse maggiore dell’orbita, in unitá di quello terrestre (Unitá Astronomica);
i: inclinazione dell’orbita, rispetto al piano dell’eclittica;
Ω: longitudine del nodo ascendente.
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
May 17, 2015
10 / 10
Semplici calcoli per orientarci in cielo
Pochi calcoli ma buoni ...
Per orientarci in cielo e trovare un oggetto celeste, a volte sono sufficienti
pochi calcoli.
Se ci accontentiamo di una precisione modesta, possiamo predire la posizione in cielo di un pianeta entro qualche grado, oppure possiamo
conoscere gli istanti del sorgere e tramontare di una stella con l’incertezza
di un quarto d’ora.
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
May 17, 2015
11 / 10
Semplici calcoli per orientarci in cielo
Pochi calcoli ma buoni ...
Per orientarci in cielo e trovare un oggetto celeste, a volte sono sufficienti
pochi calcoli.
Se ci accontentiamo di una precisione modesta, possiamo predire la posizione in cielo di un pianeta entro qualche grado, oppure possiamo
conoscere gli istanti del sorgere e tramontare di una stella con l’incertezza
di un quarto d’ora.
l=
D
× 360 + ǫ
365.2422 × T p
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
May 17, 2015
11 / 10
Semplici calcoli per orientarci in cielo
Pochi calcoli ma buoni ...
Per orientarci in cielo e trovare un oggetto celeste, a volte sono sufficienti
pochi calcoli.
Se ci accontentiamo di una precisione modesta, possiamo predire la posizione in cielo di un pianeta entro qualche grado, oppure possiamo
conoscere gli istanti del sorgere e tramontare di una stella con l’incertezza
di un quarto d’ora.
T p : periodo orbitale del
pianeta in anni tropici;
l=
D
× 360 + ǫ
365.2422 × T p
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
May 17, 2015
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Semplici calcoli per orientarci in cielo
Pochi calcoli ma buoni ...
Per orientarci in cielo e trovare un oggetto celeste, a volte sono sufficienti
pochi calcoli.
Se ci accontentiamo di una precisione modesta, possiamo predire la posizione in cielo di un pianeta entro qualche grado, oppure possiamo
conoscere gli istanti del sorgere e tramontare di una stella con l’incertezza
di un quarto d’ora.
T p : periodo orbitale del
pianeta in anni tropici;
D: numero di giorni trascorso
da una data in cui sia nota la
sua longitudine eliocentrica ǫ;
D
× 360 + ǫ
l=
365.2422 × T p
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
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Semplici calcoli per orientarci in cielo
Pochi calcoli ma buoni ...
Per orientarci in cielo e trovare un oggetto celeste, a volte sono sufficienti
pochi calcoli.
Se ci accontentiamo di una precisione modesta, possiamo predire la posizione in cielo di un pianeta entro qualche grado, oppure possiamo
conoscere gli istanti del sorgere e tramontare di una stella con l’incertezza
di un quarto d’ora.
T p : periodo orbitale del
pianeta in anni tropici;
D: numero di giorni trascorso
da una data in cui sia nota la
sua longitudine eliocentrica ǫ;
D
× 360 + ǫ
l=
365.2422 × T p
l: nuovo valore di longitudine
alla data desiderata.
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Semplici calcoli per orientarci in cielo
Di cosa abbiamo bisogno per sapere a quale distanza dal punto γ osserveró il
pianeta da Terra (longitudine geocentrica λ)?
l: longitudine del pianeta;
L longitudine della Terra.
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Semplici calcoli per orientarci in cielo
Longitudine geocentrica per un pianeta esterno:
λ = tan−1
h
sin(l−L)
a−cos(l−L)
+l
i
P
ρ
a
S
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λ
l R L T
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γ
γ
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Semplici calcoli per orientarci in cielo
Longitudine geocentrica per un pianeta interno:
λ = 180 + L + tan−1
h
a sin(l−L)
1−a cos(l−L)
i
+l
P
a
l
γ
S
L
R
ρ
λ
γ
T
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Semplici calcoli per orientarci in cielo
Esempio pratico
Posizione di Giove il giorno 15 Maggio 2015
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
May 17, 2015
15 / 10
Semplici calcoli per orientarci in cielo
Esempio pratico
Posizione di Giove il giorno 15 Maggio 2015
giorni trascorsi: D = 12919;
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
May 17, 2015
15 / 10
Semplici calcoli per orientarci in cielo
Esempio pratico
Posizione di Giove il giorno 15 Maggio 2015
giorni trascorsi: D = 12919;
periodo: T 0 = 11.86224 anni tropici;
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
May 17, 2015
15 / 10
Semplici calcoli per orientarci in cielo
Esempio pratico
Posizione di Giove il giorno 15 Maggio 2015
giorni trascorsi: D = 12919;
periodo: T 0 = 11.86224 anni tropici;
longitudine iniziale: l = 146.966365 gradi.
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
May 17, 2015
15 / 10
Semplici calcoli per orientarci in cielo
Esempio pratico
Posizione di Giove il giorno 15 Maggio 2015
giorni trascorsi: D = 12919;
periodo: T 0 = 11.86224 anni tropici;
longitudine iniziale: l = 146.966365 gradi.
lJ =
12919
× 360 + 146.966365 = 1220.42 = 140.42 gradi
365.2422 × 11.86224
L=
12919
× 360 + 98.833540 = 12008.92 = 231.90 gradi
365.2422 × 1.00004
Si osservi che l’anno tropico dura 365.2422 giorni solari medi, mentre l’anno
siderale dura un po’ di piú, 365,2564 giorni solari medi, per via della
precessione degli equinozi.
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Semplici calcoli per orientarci in cielo
Prima di ilustrare il metodo grafico, calcoliamo la longitudine geocentrica di
Giove con l’uso della relazione per la longitudne geocentrica:
λ J = tan
−1
"
#
sin(140.42 − 231.90)
+ 140.42 = 129.59 gradi
5.20 − cos(140.42 − 231.90)
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Semplici calcoli per orientarci in cielo
Prima di ilustrare il metodo grafico, calcoliamo la longitudine geocentrica di
Giove con l’uso della relazione per la longitudne geocentrica:
λ J = tan
−1
"
#
sin(140.42 − 231.90)
+ 140.42 = 129.59 gradi
5.20 − cos(140.42 − 231.90)
in molti casi possiamo approssimare la longitudine geocentrica con
l’ascensione retta, λ = α;
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
May 17, 2015
16 / 10
Semplici calcoli per orientarci in cielo
Prima di ilustrare il metodo grafico, calcoliamo la longitudine geocentrica di
Giove con l’uso della relazione per la longitudne geocentrica:
λ J = tan
−1
"
#
sin(140.42 − 231.90)
+ 140.42 = 129.59 gradi
5.20 − cos(140.42 − 231.90)
in molti casi possiamo approssimare la longitudine geocentrica con
l’ascensione retta, λ = α;
convertendo in ore e minuti abbiamo allora α = 8h 38m ;
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
May 17, 2015
16 / 10
Semplici calcoli per orientarci in cielo
Prima di ilustrare il metodo grafico, calcoliamo la longitudine geocentrica di
Giove con l’uso della relazione per la longitudne geocentrica:
λ J = tan
−1
"
#
sin(140.42 − 231.90)
+ 140.42 = 129.59 gradi
5.20 − cos(140.42 − 231.90)
in molti casi possiamo approssimare la longitudine geocentrica con
l’ascensione retta, λ = α;
convertendo in ore e minuti abbiamo allora α = 8h 38m ;
dalle effemeridi di Stellarium, per il 15 Maggio abbiamo
α = 9h 9m
,
δ = 17o 18′
Non abbiamo sbagliato di molto in ascensione retta: circa 7.5 gradi. Se facessimo una vera conversione alle coordinate
equatoriali, miglioreremmo la precisione, arrivando a sbagliare di cira 4.8 gradi. Se considerassimo l’effetto della
precessione sull’ascensione retta a partire dal 1980, potremmo stimare di aver perso un paio di minuti, che andrebbero
quindi aggiunti, e comunque sono trascurabili.
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Cambio di coordinate
Confronto con le effemeridi pubblicate
Possiamo esprimere il nostro risultato in coordinate equatoriali, usando le
seguenti formule di trasformazione:
α = tan−1 (tan λ cos ǭ)
δ = sin−1 (sin ǭ sin λ)
dove ǭ = 23o 27′ é l’obliquitá dell’eclittica.
Otteniamo:
α = 8h 48m
,
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δ = 17o 52′
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Metodo grafico
Possiamo ovviare al calcolo delle equazioni di cui prima utilizzando un metodo
grafico, istruttivo in quanto permette di visualizzare il problema.
Riportiamo i valori delle longitudini l J e L su delle circonferenze scalate secondo le dimensioni orbitali;
iniziamo a contare gli angoli in senso antiorario, partendo dalla direzione del Punto Vernale;
prolunghiamo la congiungente Giove-Terra fino a incontrare la linea degli equinozi;
utilizziamo un goniometro centrato sul punto d’intersezione con la linea degli equinozie e misuriamo l’angolo
formato dalle due rette.
questa é la longitudine geocentrica, ovvero l’angolo di cui dovremo spostarci (in senso antioriario se positivo,
orario se negativo) per trovare in cielo il corpo celeste.
Gemini
Tau
rus
r
ce
Leo
ies
Ar
n
Ca
ariu
s
Aqu
Virg
o
Pisces
γ
Ca
p
or
ric
a
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s
Sagit
tarius
Ophiucu
s
orpio
Sc
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Metodo grafico
Tau
Gemini
rus
r
e
nc
λ
ies
Ar
Ca
Leo
71.21
γ
s
ariu
Aqu
Virg
o
Pisces
130.89
C
ap
r
ic
o
a
br
rn
Li
us
Sagit
tarius
s
Ophiucu
rpio
Sco
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20 / 10
Calcolo approssimato del Tempo Siderale
Il tempo siderale ci permette di conoscere la posizione del Punto Vernale sulla
sfera celeste a un dato istante. Il moto delle stelle é regolato sul tempo siderale.
Giorno siderale: intervallo di tempo tra due successivi passaggi di una
stella (avviene in un tempo inferiore a quello impiegato dal Sole);
Tempo medio di Greenwich. É regolato dal moto del Sole medio: il giorno
medio é l’intervallo tra due passaggi successivi del Sole medio in
meridiano.
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Astronomia Pratica
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21 / 10
Calcolo approssimato del Tempo Siderale
Il tempo siderale ci permette di conoscere la posizione del Punto Vernale sulla
sfera celeste a un dato istante. Il moto delle stelle é regolato sul tempo siderale.
Giorno siderale: intervallo di tempo tra due successivi passaggi di una
stella (avviene in un tempo inferiore a quello impiegato dal Sole);
Tempo medio di Greenwich. É regolato dal moto del Sole medio: il giorno
medio é l’intervallo tra due passaggi successivi del Sole medio in
meridiano.
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
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21 / 10
Calcolo approssimato del Tempo Siderale
Il tempo siderale ci permette di conoscere la posizione del Punto Vernale sulla
sfera celeste a un dato istante. Il moto delle stelle é regolato sul tempo siderale.
Giorno siderale: intervallo di tempo tra due successivi passaggi di una
stella (avviene in un tempo inferiore a quello impiegato dal Sole);
Tempo medio di Greenwich. É regolato dal moto del Sole medio: il giorno
medio é l’intervallo tra due passaggi successivi del Sole medio in
meridiano.
Nel tempo impiegato dal Sole a ritornare nella stessa posizione rispetto a
un riferimento in cielo (Punto Vernale), sono trascorsi circa 365 41 giorni
solari medi;
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Astronomia Pratica
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21 / 10
Calcolo approssimato del Tempo Siderale
Il tempo siderale ci permette di conoscere la posizione del Punto Vernale sulla
sfera celeste a un dato istante. Il moto delle stelle é regolato sul tempo siderale.
Giorno siderale: intervallo di tempo tra due successivi passaggi di una
stella (avviene in un tempo inferiore a quello impiegato dal Sole);
Tempo medio di Greenwich. É regolato dal moto del Sole medio: il giorno
medio é l’intervallo tra due passaggi successivi del Sole medio in
meridiano.
Nel tempo impiegato dal Sole a ritornare nella stessa posizione rispetto a
un riferimento in cielo (Punto Vernale), sono trascorsi circa 365 41 giorni
solari medi;
la Terra ha compiuto circa 366 41 rotazioni;
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
May 17, 2015
21 / 10
Calcolo approssimato del Tempo Siderale
Il tempo siderale ci permette di conoscere la posizione del Punto Vernale sulla
sfera celeste a un dato istante. Il moto delle stelle é regolato sul tempo siderale.
Giorno siderale: intervallo di tempo tra due successivi passaggi di una
stella (avviene in un tempo inferiore a quello impiegato dal Sole);
Tempo medio di Greenwich. É regolato dal moto del Sole medio: il giorno
medio é l’intervallo tra due passaggi successivi del Sole medio in
meridiano.
Nel tempo impiegato dal Sole a ritornare nella stessa posizione rispetto a
un riferimento in cielo (Punto Vernale), sono trascorsi circa 365 41 giorni
solari medi;
la Terra ha compiuto circa 366 41 rotazioni;
365.25
= 23.93 = 23h56m di tempo siderale
il giorno siderale dura circa 24 × 366.25
medio (0.066 ore solari medie di anticipo al giorno);
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Astronomia Pratica
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21 / 10
Calcolo approssimato del Tempo Siderale
GMT e GST coincidono all’istante dell’equinozio d’autunno.
Le ore 0 di Tempo Siderale Locale corrispondono al passaggio del punto
vernale in meridiano.
Da tempo civile a Tempo Siderale Locale. Calcolo approssimato per le ore 22
civili a Bard, il giorno 15 Maggio 2015.
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
May 17, 2015
22 / 10
Calcolo approssimato del Tempo Siderale
GMT e GST coincidono all’istante dell’equinozio d’autunno.
Le ore 0 di Tempo Siderale Locale corrispondono al passaggio del punto
vernale in meridiano.
Da tempo civile a Tempo Siderale Locale. Calcolo approssimato per le ore 22
civili a Bard, il giorno 15 Maggio 2015.
Passiamo dal tempo civile (ora legale) a GMT: sottraiamo due ore;
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
May 17, 2015
22 / 10
Calcolo approssimato del Tempo Siderale
GMT e GST coincidono all’istante dell’equinozio d’autunno.
Le ore 0 di Tempo Siderale Locale corrispondono al passaggio del punto
vernale in meridiano.
Da tempo civile a Tempo Siderale Locale. Calcolo approssimato per le ore 22
civili a Bard, il giorno 15 Maggio 2015.
Passiamo dal tempo civile (ora legale) a GMT: sottraiamo due ore;
dal 22 Settembre alla mezzanotte tra il 15 e il 16 Maggio sono trascorsi 235
giorni (piú una frazione di giorno); il tempo siderale sará quindi
235 × 0.066 = 15.51 ore
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
May 17, 2015
22 / 10
Calcolo approssimato del Tempo Siderale
GMT e GST coincidono all’istante dell’equinozio d’autunno.
Le ore 0 di Tempo Siderale Locale corrispondono al passaggio del punto
vernale in meridiano.
Da tempo civile a Tempo Siderale Locale. Calcolo approssimato per le ore 22
civili a Bard, il giorno 15 Maggio 2015.
Passiamo dal tempo civile (ora legale) a GMT: sottraiamo due ore;
dal 22 Settembre alla mezzanotte tra il 15 e il 16 Maggio sono trascorsi 235
giorni (piú una frazione di giorno); il tempo siderale sará quindi
235 × 0.066 = 15.51 ore
coordinate di Bard: 45o 37′ 0′′ N, 7o 45′ 0′′ E;
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
May 17, 2015
22 / 10
Calcolo approssimato del Tempo Siderale
GMT e GST coincidono all’istante dell’equinozio d’autunno.
Le ore 0 di Tempo Siderale Locale corrispondono al passaggio del punto
vernale in meridiano.
Da tempo civile a Tempo Siderale Locale. Calcolo approssimato per le ore 22
civili a Bard, il giorno 15 Maggio 2015.
Passiamo dal tempo civile (ora legale) a GMT: sottraiamo due ore;
dal 22 Settembre alla mezzanotte tra il 15 e il 16 Maggio sono trascorsi 235
giorni (piú una frazione di giorno); il tempo siderale sará quindi
235 × 0.066 = 15.51 ore
coordinate di Bard: 45o 37′ 0′′ N, 7o 45′ 0′′ E;
aggiungiamo il GMT convertito in unitá siderali e la longitudine di Bard in
ore
LS T = 15.51 + 20 × 1.0027 +
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
7.75
= 12.08 ore
15
May 17, 2015
22 / 10
Sorgere e tramontare degli astri
Vogliamo conoscere gli istanti del sorgere e del tramontare di Giove a Bard, per
il giorno 15 Maggio 2015.
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
May 17, 2015
23 / 10
Sorgere e tramontare degli astri
Vogliamo conoscere gli istanti del sorgere e del tramontare di Giove a Bard, per
il giorno 15 Maggio 2015.
Abbiamo bisogno di conoscere:
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
May 17, 2015
23 / 10
Sorgere e tramontare degli astri
Vogliamo conoscere gli istanti del sorgere e del tramontare di Giove a Bard, per
il giorno 15 Maggio 2015.
Abbiamo bisogno di conoscere:
coordinate (equatoriali) dell’oggetto;
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
May 17, 2015
23 / 10
Sorgere e tramontare degli astri
Vogliamo conoscere gli istanti del sorgere e del tramontare di Giove a Bard, per
il giorno 15 Maggio 2015.
Abbiamo bisogno di conoscere:
coordinate (equatoriali) dell’oggetto;
coordinate geografiche del luogo di osservazione;
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
May 17, 2015
23 / 10
Sorgere e tramontare degli astri
Vogliamo conoscere gli istanti del sorgere e del tramontare di Giove a Bard, per
il giorno 15 Maggio 2015.
Abbiamo bisogno di conoscere:
coordinate (equatoriali) dell’oggetto;
coordinate geografiche del luogo di osservazione;
Le semplici equazioni per il tempo siderale di levata e tramonto (LSTr e LST s )
sono:
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
May 17, 2015
23 / 10
Sorgere e tramontare degli astri
Vogliamo conoscere gli istanti del sorgere e del tramontare di Giove a Bard, per
il giorno 15 Maggio 2015.
Abbiamo bisogno di conoscere:
coordinate (equatoriali) dell’oggetto;
coordinate geografiche del luogo di osservazione;
Le semplici equazioni per il tempo siderale di levata e tramonto (LSTr e LST s )
sono:
LSTr = 24 −
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
1
cos−1 (− tan ϕ tan δ) + α
15
Astronomia Pratica
May 17, 2015
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Sorgere e tramontare degli astri
Vogliamo conoscere gli istanti del sorgere e del tramontare di Giove a Bard, per
il giorno 15 Maggio 2015.
Abbiamo bisogno di conoscere:
coordinate (equatoriali) dell’oggetto;
coordinate geografiche del luogo di osservazione;
Le semplici equazioni per il tempo siderale di levata e tramonto (LSTr e LST s )
sono:
LSTr = 24 −
LST s =
1
cos−1 (− tan ϕ tan δ) + α
15
1
cos−1 (− tan ϕ tan δ) + α
15
Le relazioni per l’azimut (da N in senso orario e da 0 a 360 gradi):
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
May 17, 2015
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Sorgere e tramontare degli astri
Vogliamo conoscere gli istanti del sorgere e del tramontare di Giove a Bard, per
il giorno 15 Maggio 2015.
Abbiamo bisogno di conoscere:
coordinate (equatoriali) dell’oggetto;
coordinate geografiche del luogo di osservazione;
Le semplici equazioni per il tempo siderale di levata e tramonto (LSTr e LST s )
sono:
LSTr = 24 −
LST s =
1
cos−1 (− tan ϕ tan δ) + α
15
1
cos−1 (− tan ϕ tan δ) + α
15
Le relazioni per l’azimut (da N in senso orario e da 0 a 360 gradi):
Ar = 360 − cos
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
−1
sin δ
cos ϕ
!
,
Astronomia Pratica
−1
A s = cos
sin δ
cos ϕ
!
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Sorgere e tramontare degli astri
LSTr = 2h .63
,
LSTr = 14h .97
Per semplificare il calcolo, che puó essere fatto con maggior rigore, sottraiamo
l’anticipo del tempo siderale su quello medio che abbiamo calcolato in
precedenza, ovvero15h .51, sottraiamo ancora la longitudine di Bard in ore
(7.75/15). Aggiungiamo 2 ore per passare da GMT a tempo civile, ottenendo
12h 36m (anziché 11h 50m ) per il sorgere. Il tramonto invece lo avremo alle ore
00h 56m (anziché 2h 24m ).
Luca Zangrilli (INAF-Arcetri)
Astronomia Pratica
May 17, 2015
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