Esercizi sui Campi Magnetici nel Vuoto

Esercizi sui Campi Magnetici nel Vuoto
Problema 1
In un filo rettilineo infinitamente lungo, diposto in posizione orizzontale, scorre una corrente di intensità I. Sul piano verticale passante per il filo è diposta una spira conduttrice
quadrata, indeformabile, di massa m e lato a, con i lati superiore e inferiore paralleli al
filo, come mostrato in Figura 1. Nella spira scorre una corrente di intensità I (pari a quella
del filo): determinare il valore di I necessario affinché la spira si mantenga in posizione di
equilibrio con il lato superiore ad una distanza a rispetto al filo infinito, verificando che
in questo particolare problema il valore di I non dipende dal valore di a. In quale verso
dovrà scorrere la corrente nella spira?
Figura 1: Problema 1
Soluzione
La corrente che scorre nel filo produce un campo magnetico, che sul piano della spira ha
direzione pependicolare al piano stesso: il verso è uscente nel semipiano al di sopra del
filo, ed entrante nel semipiano inferiore. La spira è dunque immersa in questo campo
magnetico; quando in essa scorre una corrente, sui suoi lati si produrranno delle forze: la
risultante delle forze agenti su ciascuno dei lati darà la risultante F~mag delle forze di origine
magnetica agenti sulla spira. Affinché la spira si mantenga in equilibrio, sarà necessario
che F~mag equilibri esattamente la forza peso agente sulla spira.
Per calcolare F~mag consideriamo separatamente i vari contributi, dati dalle quattro
forze agenti rispettivamente su ciascuno dei lati. Ciascun elementino di filo del lato
superiore, posto a distanza a dal filo infinito, sente per tutta la sua lunghezza un campo
magnetico di intensità
µ0 I
,
(1)
B1 =
2πa
data dalla legge che governa l’intensità del campo magnetico prodotto da un filo rettilineo
infinito percorso da una corrente I. Ciascun elementino di filo del lato superiore è soggetto
al medesimo campo magnetico ed è percorso dalla medesima corrente I: per valutare la
forza agente su di esso, occorre ricordare l’espressione della forza agente su un segmentino
~
infinitesimo di filo d~l, percorso da corrente I, sul quale agisca un campo magnetico B:
~
dF~ = Id~l × B
(2)
Nel nostro caso, in cui il campo magnetico è perpendicolare al filo ed ha intensità data
dalla (1), si trova che su ciascun elementino del lato superiore agisce una forza di intensità:
dF1 = IB1 dl =
2
µ0 I 2 dl
,
2πa
(3)
con direzione perpendicolare al lato superiore della spira e giacente sul piano della spira
stessa. Il verso di dF~1 è dato dalla regola della mano destra, una volta che sia noto il
verso di d~l: quest’ultimo corrisponde al verso della corrente che scorre nel segmentino
di filo, ed è una delle incognite del problema. L’integrazione di dF1 in dl è immediata,
conseguenza del fatto che ciascun elementino del filo superiore sente la medesima forza.
Si trova quindi:
Z a
µ0 I 2
µ0 I 2 a
=
.
(4)
F1 =
IB1 dl =
2πa
2π
0
F~1 sarà diretta verso l’alto se la corrente nella spira circola in senso orario; verso il basso
se la corrente nella spira circola in senso antiorario.
Per quanto riguarda il lato inferiore della spira, il ragionamento è del tutto analogo,
con la differenza che, in questo caso, il campo magnetico agente su ciascun segmentino di
filo ha intensità pari a
µ0 I
,
(5)
B1 =
4πa
perché il segmento è posto a distanza 2a dal filo infinito. Dunque la forza agente sul lato
inferiore della spira avrà intensità
µ0 I 2
F1
µ0 I 2 a
=
=
.
(6)
4πa
4π
2
Il verso di F~2 sarà opposto a quello di F~1 , perché nei due lati la corrente scorre in versi
opposti. In particolare, F~2 sarà diretta verso il basso se la corrente nella spira circola in
senso orario; verso l’alto se la corrente nella spira circola in senso antiorario.
Per quanto riguarda infine i rimanenti due lati della spira, è facile notare come su
ciascun segmentino del lato di destra e di sinistra agisca una forza lungo la direzione
perpendicolare ai lati stessi, giacente sul piano della spira. In questo caso il campo
magnetico varierà a seconda del punto del lato, perché cambia la distanza dal filo infinito.
In ogni caso, dal momento che sui due lati scorrono correnti dirette in versi opposti, è
immediato notare che per ciascun segmentino del lato di destra ve n’è uno nel lato di
sinistra sul quale agisce una forza uguale e contraria. Le forze complessive agenti sui
due lati saranno dunque uguali e opposte, e si equilibreranno producendo una risultante
nulla. Non andranno dunque considerate nella discussione della condizione di equilibrio
della spira.
F2 =
La condizione di equilibrio della spira richiede che la risultante delle forze magnetiche
agenti sui lati superiore e inferiore sia uguale e contraria alla forza peso agente sulla spira,
di intensità mg e diretta verso il basso. Dal momento che l’intensità della forza F~2 agente
sul lato inferiore della spira è pari alla metà dell’intensità della forza F~1 agente sul lato
superiore, è chiaro che la risultante delle due forze avrà il verso di F~1 : bisogna quindi
scegliere il verso della corrente in circolo nella spira facendo in modo che F~1 (e quindi
anche F~1 + F~2 ) sia diretta verso l’alto. Per quanto detto in precedenza, sarà dunque
necessario che la corrente scorra nella spira in verso orario: cioè, in particolare, che scorra
nel verso tale che nel lato superiore sia concorde alla corrente del filo infinito.
Per quanto riguarda l’intensità della corrente, occorre eguagliare i moduli della forza
peso e della risultante F~1 + F~2 :
r
4πmg
µ0 I 2
⇒
I=
.
(7)
mg = F1 − F2 =
4π
µ0
3
Problema 2 (Bobine di Helmholtz)
Due bobine conduttrici circolari di raggio R, identiche, ciascuna formata da n avvolgimenti
percorsi da una corrente di intensità I, sono allineate lungo lo stesso asse su due piani
paralleli fra loro separati da una distanza a. Determinare il campo di induzione magnetica
prodotto in un generico punto situato lungo l’asse comune, ad una distanza x dal punto
medio fra le due bobine (vedi Figura 2). Quale valore deve assumere a per fare in modo
che l’uniformità del campo lungo l’asse delle bobine sia massima in prossimità del punto
medio? [Suggerimento: la condizione di uniformità si traduce nella richiesta che per
piccoli spostamenti attorno a x = 0 il campo magnetico si mantenga pressoché costante.
Questo è possibile se in x = 0 si annullano le derivate dn B/dxn fino al massimo ordine
possibile. . . ]
Figura 2: Bobine di Helmholtz
Soluzione
Il campo magnetico lungo l’asse di una spira circolare di raggio R percorsa da una corrente
di intensità I è diretto come l’asse stesso, con verso dato dalla regola della mano destra.
L’intensità varia in funzione della distanza r considerata fra il punto sull’asse e il centro
della spira:
R2
µ0 I
B(r) =
.
(8)
2 (R2 + r2 )3/2
Nel caso di una bobina composta da n spire ciascuna percorsa dalla medesima corrente
di intensità I, l’intensità del campo andrà moltiplicata per n, perché i campi prodotti da
ciascuna delle spire si sommano linearmente:
B(r) =
µ0 nI
R2
.
2 (R2 + r2 )3/2
(9)
Nel problema in questione, i campi prodotti dalle due bobine lungo un punto del loro asse
comune saranno paralleli e concordi: il problema si riduce dunque al calcolo dell’intensità
di B.
4
Seguendo le indicazioni in Figura 2, identifichiamo la posizione di un generico punto
sull’asse delle bobine tramite la sua coordinata x, dove l’asse x coincide con l’asse delle
bobine e la sua origine è assunta nel punto medio fra le bobine stesse. Indicando con
a la distanza fra le bobine, l’intensità del campo magnetico prodotto nel generico punto
dell’asse dalla bobina di sinistra sarà pari a:
Bsx (x) =
R2
µ0 nI
,
2 (R2 + (x + a/2)2 )3/2
(10)
Bdx (x) =
R2
µ0 nI
.
2 (R2 + (x − a/2)2 )3/2
(11)
e per la bobina di destra:
Il campo magnetico totale, in un punto lungo l’asse delle bobine distante x dal centro,
avrà quindi intensità:
"
#
2 −3/2 2 −3/2
a
a
µ0 nIR2
R2 + x +
+ R2 + x −
.
(12)
B(x) =
2
2
2
Cerchiamo ora il valore che deve assumere a affinché il campo lungo l’asse delle bobine
sia massimamente uniforme attorno a x = 0. Come suggerito nel testo, la condizione di
unformità lungo x in x = 0 si traduce nella richiesta che si annullino le derivate del campo
B rispetto a x, in x = 0. Iniziamo dalla derivata prima: dalla eqn:campoB otteniamo
"
#
2 −5/2 2 −5/2
3µ0 nIR2 a
dB
a
a
a
=−
x+
R2 + x +
+ x−
R2 + x −
dx
2
2
2
2
2
(13)
Da questa espressione è facile verificare che dB/dx si annulla in x = 0 per qualsiasi
valore di a. Questo doveva peraltro essere un risultato atteso: il campo magnetico deve
essere infatti simmetrico rispetto alla destra/sinistra del centro del sistema, cioè B(x)
dev’essere una funzione pari di x (come è facile verificare, infatti, dalla (12)). Ma se B(x)
è simmetrico rispetto alla destra/sinistra del centro del sistema, nel centro del sistema
(cioè in x = 0) ci sarà un punto di massimo o di minimo, cioè un punto con derivata
del campo lungo x pari a zero, esattamente come trovato; d’altra parte, se B(x) è una
funzione pari di x, allora la sua derivata prima è una funzione dispari di x (verificare
nella (13)).
Una volta verificato che la derivata prima del campo si annulla in x = 0, consideriamo
il valore in x = 0 della derivata seconda. Derivando la (13) si trova:
"
−5/2
2
−7/2
3µ0 nIR2
d2 B
a 2
a 2
a 2
2
−5 x+ 2
R + x+ 2
+
=−
R + x+ 2
dB 2
2
#
(14)
−5/2
−7/2
2
2
2
R2 + x − a2
− 5 x − a2
R2 + x − a2
La condizione che d2 B/dx2 si annulli in x = 0 ora non è automaticamente soddisfatta per
qualsiasi valore del parametro a. Imponendola, si ottiene:
−5/2
−7/2
d2 B a2
5a2
a2
2
2
=0
⇒
R +
=
R +
(15)
dB 2 x=0
4
4
4
5
da cui immediatamente si trova:
R2 +
a2
5a2
=
4
4
⇒
a=R.
(16)
Abbiamo dunque trovato che la derivata seconda si annulla solamente per a = R: questo
è dunque il valore di a che massimizza l’uniformità del campo magnetico prodotto fra le
bobine: in questo caso, il sistema considerato prende il nome di “bobine di Helmholtz”.
La configurazione delle “bobine di Helmholtz” è in effetti piuttosto utilizzata per produrre
campi magnetici uniformi: si può dimostrare − anche se non in maniera elementare − che
il campo rimane uniforme in buona parte del volume di spazio compreso fra le bobine.
6
Problema 3 (Spira poligonale)
Si consideri un filo piegato a forma di poligono regolare di n lati, tale da essere inscritto
in un cerchio di raggio R. Si mostri che, se nel filo scorre una corrente di intensità I, il
campo magnetico nel centro del cerchio è dato da
B=
µ0 nI
tan(π/n) .
2πR
(17)
Si verifichi inoltre che per n → ∞ questo risultato tende all’espressione per il campo
magnetico al centro di una spira circolare.
Soluzione
Iniziamo a notare che, per la legge di Biot-Savart, ogni elementino di ciascuno dei lati
darà un contributo infinitesimo al campo magnetico totale diretto in senso perpendicolare
al piano della spira. Per il principio di sovrapposizione, dunque, il campo prodotto da
ciascuno dei lati del poligono sarà anch’esso perpendicolare al piano della spira, e cosı̀
anche il campo totale.
Il fatto che il campo totale e quello prodotto da ciascun segmento siano diretti lungo
la normale al piano della spira, permette di sfruttare al meglio la simmetria del sistema:
considerati dal punto di vista della normale al piano della spira, infatti, tutti i lati sono
del tutto equivalenti fra di loro. Basterà allora considerare il contributo al campo dato
da uno di questi lati, per trovare il campo totale semplicemente moltiplicando questo
contributo per il numero n di lati del poligono.
Concentriamoci dunque sul calcolo dell’intensità del campo magnetico prodotto dalla
corrente che scorre in uno dei lati del poligono, come illustrato in Figura 3. Un’ulteriore
semplificazione del ragionamento può essere trovata considerando che le due metà del
filo (rispettivamente alla sinistra e alla destra dell’apotema) danno contributi equivalenti
all’intensità del campo: il problema si riduce dunque al calcolo dell’intensità B del campo
prodotto al centro della spira da una metà di uno dei lati. Moltiplicando B per 2n si
otterrà il campo totale prodotto al centro della spira.
Figura 3: Calcolo del campo magnetico prodotto da un lato di una spira poligonale
7
Risulta abbastanza chiaro che per calcolare B occorrerà integrare lungo una metà
del lato (per esempio la metà indicata in figura dal segmento HB) i contributi dati da
ciascun segmento infinitesimo d~l percorso dalla corrente I. In Figura 3 è mostrato un
elemento infinitesimo di lato, indicato come d~l, orientato secondo il verso della corrente
scelto arbitrariamente (la scelta del verso della corrente cambia il verso del campo totale
prodotto al centro della spira, non la sua intensità).
Il segmentino d~l, percorso da una corrente di intensità I, sottende un angolo φ rispetto
al centro della spira. Per la legge di Biot-Savart, il campo prodotto dal segmentino d~l nel
punto O ha intensità:
µ0 Idl sin φ
µ0 I|d~l × ~r|
=
,
(18)
dB =
4π
r3
4π
r2
dove ~r è il raggio vettore condotto dal punto O fino al segmentino. L’espressione di dB
deve ora essere integrata lungo il segmento HB, per ottenere l’intensità del campo risultante B. Per poter effettuare l’integrazione, occorre scegliere una variabile di integrazione
(scalare) mediante la quale possano essere espresse tutte le altre variabili presenti nella
(18). Una buona scelta può essere quella dell’angolo indicato in Figura 3 come α: è
l’angolo complementare a (π − φ), e varia da α = 0 a α = π/n al variare di d~l lungo il
segmento HB (si noti che l’angolo fra HO e OB è ampio per costruzione π/n).
Cominciamo ora a esprimere le variabili presenti nella (18) in funzione di α. Per
quanto riguarda il segmento infinitesimo dl, esso può essere espresso come
dl =
r · dα
.
cos α
(19)
Come è evidenziato dalla Figura 4, infatti, il “segmento” r · dα forma con il segmentino
di lato d~l un triangolino rettangolo del quale è semplice calcolare gli angoli interni, per
similitudine con gli altri triangoli del problema. Questo triangolo rettangolo ha il cateto
maggiore lungo r · dα e l’angolo ad esso adiacente ampio α: la sua ipotenusa varrà dunque
r·dα
dl = cos
.
α
Il termine sin φ può essere facilmente espresso in termini di α considerando che sin φ =
sin(π − φ); dal momento che α e (π − φ) sono complementari, si ha allora che:
sin φ = sin(π − φ) = cos α .
(20)
Figura 4: Calcolo del campo magnetico prodotto da un lato di una spira poligonale:
dettaglio del calcolo di d~l
8
Per esmprimere r in funzione di α, infine, notiamo che r = OH/ cos α. Per calcolare
OH è sufficiente risolvere il triangolo rettangolo OHB ricordando che l’angolo in O è ampio
π/n: questo comporta che OH = R cos(π/n), da cui:
r=
R cos(π/n)
.
cos α
(21)
Sostituendo tutte queste espressioni nella (18) si può trovare l’espressione di dB in
funzione della solo variabile α (e del suo differenziale):
dB =
µ0 I cos α dα
,
4π R cos(π/n)
(22)
e dunque l’espressione per l’intensità del campo B prodotto dall’intera metà del lato potrà
essere trovata integrando in dα fra 0 e π/n:
µ0 I
B=
4πR cos(π/n)
π/n
Z
cos α dα =
0
µ0 I sin(π/n)
µ0 I
π
=
tan .
4πR cos(π/n)
4πR
n
(23)
Ulteriormente, moltiplicando per 2n, si otterrà l’intensità del campo totale nel punto O:
Btot =
µ0 nI
π
tan ,
2πR
n
(24)
come previsto.
Per verificare come nel caso n → ∞ questa espressione si riconduca a quella nel caso
della spira circolare, è sufficiente considerare che, per n → ∞, l’argomento della tangente
tende a zero, ed è dunque possibile utilizzare l’espansione in serie di Taylor:
tan x = x +
x3 2x5
+
+ ...
3
15
(25)
per cui si ha, fermandosi al primo termine:
tan
π
π
' .
n
n
(26)
Sostituendo nella (24), si trova allora che per n → ∞
µ0 nI
π
µ0 I
tan =
.,
n→∞ 2πR
n
2R
lim
che è l’espressione nota per il caso della spira circolare.
9
(27)
Problema 4
Un lungo conduttore cilindrico di raggio a (mostrato in sezione in Figura 5) contiene
lungo tutta la sua estensione una cavità cilindrica di raggio b. Gli assi dei due cilindri
sono paralleli e separati da una distanza d. Una corrente di intensità I è distribuita
uniformemente nel conduttore. Usando il principio di sovrapposizione, si dimostri che il
campo lungo l’asse della cavità è dato da
B=
µ0 Id
2π(a2 − b2 )
(28)
e si discutano i due casi particolari b = 0 e d = 0. Si calcoli inoltre il campo nel punto
P situato sulla congiungente gli assi del conduttore e della cavità, posto ad una distanza
2a dall’asse del conduttore. [Suggerimento: Si consideri la cavità come se fosse percorsa
da due correnti, uguali in modulo ed opposte in verso, di densità uguale alla densità di
corrente presente nel conduttore, e si usi il principio di sovrapposizione.]
Figura 5: Conduttore cilindrico con cavità
Soluzione
La densità di corrente che scorre nel conduttore è data dal rapporto fra l’intensità di
corrente e la superficie trasversa del conduttore coinvolta nel flusso:
j=
π(a2
I
.
− b2 )
(29)
Per calcolare il campo magnetico indotto in un qualunque punto del sistema, conviene
dividere il calcolo in due parti, come suggerito nel testo:
1. calcolo del campo magnetico nel caso in cui nel conduttore scorra una corrente di
densità j diretta come la corrente I in tutta la superficie πa2 ;
10
2. calcolo del campo magneitco nel caso in cui nella cavità scorra una corrente di
densità j diretta in senso opposto alla corrente I, e nel resto del conduttore non
scorra alcuna corrente.
Il vantaggio di dividere il calcolo in queste due parti consiste nel fatto che in entrambi i casi
il sistema presenta simmetria clindrica, rispettivamente rispetto all’asse del conduttore di
raggio a e all’asse della cavità di raggio b. La simmetria cilindrica permette di calcolare
il campo magnetico con il teorema di Ampère:
I
ZZ
~ · d~s = µ0
~
~j · dS
B
(30)
C
SC
dove C è un cammino chiuso che racchiude la superficie S; d~s è il cammino infinitesimo
~ è l’elemento infinitesimo di superficie
lungo C, diretto secondo la tangente a C, e dS
vettorializzato (vettore infinitesimo di modulo dS e verso normale all’infinitesimo di superficie). La convenienza nell’utilizzo del teorema di Ampère consiste nel fatto che si ha
spesso a che fare con correnti confinate in conduttori di simmetria cilindrica, ed è dunque
possibile considerare cammini chiusi C di forma circolare e concentrici ai conduttori: lun~ è sempre diretto come d~s, e in più il
go un cammino di questo tipo il campo magnetico B
suo modulo si mantiene costante: questo semplifica notevolmente il calcolo dell’integrale
lungo C, e risulta anche piuttosto evidente quale sia il valore della corrente concatenata
ad esso, ovvero il risultato dell’integrale di superficie.
Consideriamo dunque un punto lungo l’asse della cavità: esso è posto a una distanza
d dall’asse del conduttore di raggio a, e a una distanza nulla dall’asse della cavità. Per il
calcolo del campo magnetico con il teorema di Ampère consideriamo dunque, dapprima,
la situazione in cui scorre una corrente di densità j in tutto il conduttore, compresa la
cavità: in questo caso il cammino da considerare è quello circolare centrato sull’asse del
conduttore e passante per il centro della cavità. La circuitazione del campo magnetico
lungo questo cammino è semplicemente 2πdB, e la corrente concatenata con il cammino
è jπd2 . Secondo il teorema di Ampère si ha dunque:
2πdB = µ0 jπd2
⇒
B=
µ0 Id
µ0 jd
=
.
2
2π(a2 − b2 )
(31)
Questa componente va sommata a quella che si origina nella configurazione in cui all’interno della cavità scorra una corrente di densità j in verso opposto, e nessuna corrente
scorra nel resto del conduttore. Questa seconda componente è nulla, come è facile notare
scegliendo un cammino chiuso centrato sull’asse della cavità, con raggio infinitesimo: con
il tendere del raggio a zero, il cammino comprenderà il centro della cavità (nel quale vogliamo calcolare il campo) e al contempo la corrente ad esso concatenata tenderà a zero.
Dal momento che la corrente concatenata tende a zero più velocemente della lunghezza
del cammino (la prima è proporzionale a r2 e il secondo a r), il campo B converge regolarmente a zero. In definitiva, il campo in un punto lungo l’asse della cavità è dato
solamente dal primo contributo:
B=
µ0 Id
.
2π(a2 − b2 )
(32)
Il caso b = 0 si riconduce a quello del calcolo del campo in un punto distante d < a
dall’asse di un conduttore pieno, di raggio a, percorso da una corrente di intensità I. Il
risultato è semplicemente:
µ0 Id
B=
.
(33)
2πa2
11
Il caso d = 0 è invece quello di un conduttore a simmetria cilindrica, avente la sezione
di una corona circolare. In questo caso, l’applicazione del teorema di Ampère lungo
un qualsiasi cammino circolare di raggio minore di b, centrato sull’asse del conduttore,
permette di verificare che il campo all’interno della cavità è uguale a zero; lo sarà dunque
anche per un punto nel centro della cavità, caso limite in cui il raggio del cammino usato
per l’applicazione del teorema di Ampère tende a zero.
Anche per quanto riguarda il calcolo del campo nel punto P esterno al conduttore, il
procedimento può essere diviso in due parti. Come prima, consideriamo innanzitutto una
situazione in cui nel conduttore privo di cavità scorra una corrente di densità j. In questo
caso, applichiamo il teorema di Ampère considerando un percorso circolare di raggio 2a
centrato sull’asse del conduttore e passante dunque per P. La circuitazione del campo
lungo questo cammino sarà 4πaB, e la corrente ad esso concatenata sarà data da jπa2 .
Dunque:
µ0 ja
µ0 Ia
=
(34)
4πaB1 = µ0 jπa2
⇒
B1 =
4
4π(a2 − b2 )
Consideriamo ora il campo indotto da una corrente di densità j, diretta in verso opposto,
presente all’interno della cavità, senza alcuna corrente nel resto del conduttore. In questo
caso, il cammino più conveniente è quello circolare centrato nell’asse della cavità e passante
per il punto P: questo cammino avrà raggio pari a 2a − d, e l’applicazione del teorema di
Ampère darà come risultato:
2π(2a − d)B2 = µ0 jπb2
⇒
B2 =
µ0 Ib2
µ0 jb2
=
.
2(2a − d))
2π(2a − d)(a2 − b2 ))
(35)
~1 e B
~ 2 sono paralleli e controversi, il modulo della loro
Dal momento che i campi B
risultante sarà:
2
a
b
µ0 Ia
−
.
(36)
B = |B1 − B2 | =
2π(a2 − b2 ) 2 2a − d 12
Problema 5
Una bobina rettangolare di larghezza l = 15 mm è costituita da n spire di filo conduttore
ed è sospesa ad un braccio di una bilancia come illustrato in Figura 6. In assenza di
campo magnetico, si aggiunge una massa M sul piatto sospeso all’altro braccio della
bilancia, per equilibrare la massa della bobina. Quando nella bobina circola una corrente
di intensità I = 4 A, la parte inferiore viene immersa in un campo magnetico B = 0.7 T,
perpendicolare al piano della spira (attivo nella regione ombreggiata in figura). Si scopre
che è necessario aggiungere una massa m = 0.3 kg per ristabilire l’equilibrio. Si determini:
• il verso del campo magnetico
• il numero di spire della bobina
Figura 6: Problema 5
Soluzione
All’accensione del campo magnetico, sui lati di ciascuna spira di cui è composta la bobina
percorsa da corrente si produrranno delle forze: la risultante delle forze agente su ciascuna
spira, moltiplicata per il numero di spire, darà la forza complessiva, di origine magnetica,
agente sulla bobina. Questa forza dovrà equilibrare esattamente la forza peso aggiuntiva
di intensità mg applicata al piatto opposto.
Considerando la configurazione del sistema descritta nel testo, si deduce che sul lato
superiore di ciascuna spira non si produrrà alcuna forza, essendo questo lato esterno
alla regione dove si sviluppa il campo di induzione magnetica applicato. D’altra parte,
le forze agenti sui lati verticali si cancellano reciprocamente: su di essi agisce infatti lo
stesso campo magnetico, ma essendo percorsi da correnti dirette in verso opposto, le forze
magnetiche agenti su di essi avranno pure versi opposti.
13
Rimane solamente da considerare il lato inferiore. Per una singola spira, occorre
integrare il contributo infinitesimo
~
dF~ = Id~l × B
(37)
lungo l’estensione del lato. Prima di effettuare l’integrazione, notiamo che la forza che
cerchiamo deve essere rivolta verso il basso, per equilibrare la forza peso aggiuntiva applicata sul piatto opposto della bilancia. Dunque, in particolare, ogni contributo dF~ dovrà
essere diretto verso il basso: considerando il verso della corrente indicato in figura, questo
~ sia diretto in verso entrante
comporta che, per la regola della mano destra, il campo B
rispetto al piano della figura.
Consideriamo ora il modulo della forza totale agente sul lato inferiore di ciascuna spira:
~ e ciascuno dei segmenti infinitesimi di lato
tenendo conto dell’ortogonalità fra il campo B
~
dl, l’integrale assumerà la forma:
Z l
dl = IBl ,
(38)
F = IB
0
~ lungo il lato. La forza agente
dove si è ulteriormente tenuto conto dell’uniformità di B
sulla bobina, composta da n spire, avrà naturalmente intensità
Ftot = nF = nIBl .
(39)
Imponendo la condizione di equilibrio, cioè Ftot = mg, si trova:
nIBl = mg
⇒
La bobina è dunque composta da 70 spire.
14
n=
mg
= 70 .
IBl
(40)