I TRIANGOLI
Il triangolo è un poligono formato da tre angoli e da tre lati: rappresenta la figura più semplice in assoluto, in quanto 3
è il numero minimo di segmenti necessari per delimitare una superficie chiusa.
Il triangolo è caratterizzato dalle seguenti PROPRIETA’:
1.
TEOREMA DELLA FORMA - è una figura indeformabile, a differenza degli altri poligoni con quattro o più lati;
2.
TEOREMA DELLE DIAGONALI - il triangolo non ha diagonali;
dtot = n(n − 3) : 2 = 3(3 − 3) : 2 = 0
3.
TEOREMA DEI 2 LATI - il lato maggiore deve essere minore della somma degli altri due.
AB < AC + BC
4.
TEOREMA DEI TRE PUNTI - la definizione dice: per tre punti passa sempre una e una sola circonferenza;
i tre punti possono sia coincidere con i tre vertici di un triangolo, che coincidere con punti sui lati. Nel primo
caso il triangolo è inscritto, nel secondo è circoscritto.
Questo teorema dimostra che tutti i triangoli sono sempre circoscrivibili e inscrivibili ad un cerchio.
5.
TEOREMA DEGLI ANGOLI INTERNI - la somma degli angoli interni è uguale a un angolo piatto, ossia 180°;
(n − 2) ⋅180° = (3 − 2) ⋅180° = 180°
6.
TEOREMA DELL’ANGOLO ESTERNO - ciascun angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni non
adiacenti a esso.
B̂esterno = Â + Ĉ
7.
TEOREMA DEGLI ANGOLI ACUTI - due angoli interni sono sempre acuti ed il terzo angolo classifica il triangolo,
(non essendo possibile che più di un angolo interno sia retto o ottuso).
8.
TEOREMA DEL LATO E DELL’ANGOLO OPPOSTO - a lato maggiore sta sempre opposto l’angolo maggiore e
viceversa.
(ES: all’ipotenusa è opposto l’angolo retto)
CLASSIFICAZIONE:
1.
2.
I triangoli possono essere classificati in base alla LUNGHEZZA RELATIVA DEI LATI :
•
In un triangolo equilatero tutti i lati hanno lunghezza uguale. Un triangolo equilatero si può definire
equivalentemente come triangolo equiangolo, ovvero un triangolo avente i suoi angoli interni di uguale
ampiezza, pari a 60°.
•
In un triangolo isoscele due lati hanno lunghezza uguale chiamati lati obliqui. Il terzo lato è detto base. Un
triangolo isoscele si può definire equivalentemente come triangolo avente due angoli interni di uguale ampiezza
chiamati angoli alla base. L’angolo opposto al lato definito base viene detto angolo al vertice.
•
In un triangolo scaleno tutti i lati hanno lunghezze differenti. Un triangolo scaleno si può definire
equivalentemente come triangolo avente i tre angoli interni di diverse ampiezze.
I triangoli possono essere classificati anche in base alle DIMENSIONI DEL LORO ANGOLO INTERNO PIÙ AMPIO ; sono
descritti di seguito usando i gradi:
•
Un triangolo rettangolo (o triangolo retto) ha un angolo interno di 90°. Il lato opposto all'angolo retto è detto
ipotenusa ed è il lato più lungo del triangolo rettangolo. Gli altri due lati del triangolo sono detti cateti.
•
Un triangolo ottusangolo (o triangolo ottuso) ha un angolo interno maggiore di 90°, cioè ha 2 angoli acuti e
uno ottuso.
•
Un triangolo acutangolo (o triangolo acuto) ha tutti gli angoli interni minori di 90°, cioè ha tre angoli acuti.
Problema 1: Un triangolo scaleno ha l’angolo esterno in B che misura 112° e l’angolo interno A è 2/3 dell’angolo interno in C.
Calcola la misura dell’angolo esterno in A e l’angolo esterno in C.
Problema 2: Un triangolo rettangolo ha l’angolo esterno in B che misura 123°. Calcola la misura dei tre angoli interni.
Problema 3: Un triangolo isoscele ha gli angoli acuti che sono uno i 2/3 dell’altro. Calcola la misura dei tre angoli interni.
Problema 4: In un triangolo isoscele l’angolo alla base è i 9/2 di quello al vertice. Calcola la misura dei tre angoli interni.
Problema 5: Il perimetro di un triangolo isoscele è 66 cm e la base è 5/3 del lato obliquo. Calcola i tre lati del triangolo.
CRITERI DI CONGRUENZA
1. PRIMO CRITERIO LAL (Lato-Angolo-Lato)
Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti due lati e l'angolo compreso tra essi equivalente.
AB = A' B'
BC = B'C '
 = Â'
2. SECONDO CRITERIO ALA (Angolo-Lato-Angolo)
Due triangoli sono congruenti se hanno congruenti un lato e i due angoli a esso adiacenti.
BC = B'C '
B̂ = B̂'
Ĉ = Ĉ '
3. TERZO CRITERIO LLL (Lato-Lato-Lato)
Due triangoli sono congruenti se hanno tutti i lati ordinatamente congruenti
AB = A' B'
BC = B'C '
AC = A'C '
PUNTI NOTEVOLI
1. O RTOCENTRO
E’ l’incontro delle ALTEZZE del triangolo.
L’altezza è quel segmento che unisce un vertice con il lato opposto in maniera tale da formare un angolo da
90°. Ogni altezza è infatti perpendicolare al lato su cui cade, perciò si parla di “altezza relativa al lato”
Ogni triangolo ha 3 altezze.
ACUTANGOLO
RETTANGOLO
OTTUSANGOLO
(interno)
(sul vertice dell’angolo retto)
(esterno all’angolo ottuso)
TEOREMA DELLE 3 ALTEZZE
In ogni triangolo ogni lato ha la sua altezza, per cui il prodotto di ciascun lato per la propria
altezza è sempre uguale.
(se moltiplichiamo ogni lato per la propria altezza otteniamo sempre lo stesso valore)
a ⋅ ha = b ⋅ hb = c ⋅ hc
2. B ARICENTRO
E’ l’incontro delle MEDIANE del triangolo.
La mediana è quel segmento che unisce un vertice con il lato opposto nel suo punto medio.
Ogni mediana divide il lato in due parti uguali. Ogni triangolo ha 3 mediane.
ACUTANGOLO
RETTANGOLO
OTTUSANGOLO
(sempre interno al triangolo di qualsiasi tipo sia)
TEOREMA DELLE 3 PARTI
In ogni triangolo il baricentro divide ogni mediana in due parti che sono una il doppio dell’altra.
(se dividiamo la mediana in 3 segmenti unitari, il baricentro li separa in due parti da 1 segmento unitari e da 2
segmenti unitari)
3. I NCENTRO
E’ l’incontro delle BISETTRICI del triangolo.
La bisettrice è quel segmento che unisce un vertice con il lato opposto dividendo l’angolo in due parti uguali.
Ogni triangolo ha 3 bisettrici.
ACUTANGOLO
RETTANGOLO
OTTUSANGOLO
(sempre interno al triangolo di qualsiasi tipo sia)
PRIMO TEOREMA DELL’EQUIDISTANZA
In un qualsiasi triangolo l’incentro è equidistante dai 3 lati e coincide con il centro della
circonferenza inscritta
4. C IRCOCENTRO
E’ l’incontro degli ASSI del triangolo.
L’asse è quel segmento perpendicolare ad ogni lato nel punto medio (non esce da nessun vertice).
Ogni triangolo ha 3 assi
ACUTANGOLO
RETTANGOLO
(interno)
(sul punto medio dell’ipotenusa)
OTTUSANGOLO
(esterno ma opposto all’angolo ottuso)
SECONDO TEOREMA DELL’EQUIDISTANZA
In un qualsiasi triangolo il circocentro è equidistante dai 3 vertici e coincide con il centro della
circonferenza circoscritta
TEOREMA DELGLI ANGOLI AL CENTRO E ALLA CIRCONFERENZA
In un qualsiasi triangolo l’angolo che si forma nel circocentro è detto angolo al centro ed è il doppio
dell’angolo che si forma sulla circonferenza circoscritta ed avente gli estremi in comune
nel triangolo ABV ho:
AOB = 2AVB
oppure
AVB =
AOB
2
PARTICOLARI PROPRIETA’ DEI TRIANGOLI
1. T RIANGOLO I SOSCELE
L’altezza relativa alla base è sia mediana, che altezza, che asse della base, nonché bisettrice dell’angolo al
vertice opposto alla base.
Per tale motivo la base è suddivisa in due parti congruenti (CH = HB), il segmento AH è perpendicolare ad HB
e i triangolo isoscele è suddiviso in due triangoli rettangoli uguali CAH e HAB
Tutti i punti notevoli, anche se non coincidenti tra loro, coincidono però in tale segmento.
2. T RIANGOLO E QUILATERO
Tutti i punti notevoli sono concentrati in un unico punto detto CENTRO, che è il centro anche delle due
circonferenze (inscritta e circoscritta).
Per ciascun lato la mediana, l’asse, la bisettrice e l’altezza coincidono in un unico segmento.
3. T RIANGOLO RETTANGOLO
TEOREMA DELLA MEDIANA RELATIVA ALL’IPOTENUSA
In ogni triangolo rettangolo la mediana relativa al lato maggiore (ipotenusa) divide tale lato in due
parti uguali alla mediana stessa.(la mediana è uguale alla metà dell’ipotenusa)
AM = CM = MB
Questo teorema permette sempre di inscrivere
il triangolo rettangolo in una semicirconferenza
poiché la mediana sarebbe congruente al raggio
CONSEGUENZA DEL SECONDO TEOREMA DELL’EQUIDISTANZA
In un qualsiasi triangolo il circocentro è equidistante dai vertici e coincide con il centro della
circonferenza circoscritta
Questo teorema permette sempre di inscrivere il triangolo rettangolo in
una semicirconferenza poiché il circocentro coincide con il centro del
cerchio circoscritto e l’ipotenusa va a coincidere con il diametro.
TEOREMA DEGLI ANGOLI PARTICOLARI
In un qualsiasi triangolo rettangolo gli angoli acuti sono complementari (la loro somma è 90°).
Questo teorema permette di considerare due tipi di angoli acuti:
• due angoli da 45° - metà di un quadrato avente la diagonale congruente all’ipotenusa e i due cateti
uguali tra loro essendo i lati del quadrato. Si ottiene un triangolo rettangolo isoscele
• un angolo da 30° e un angolo da 60° - metà di un triangolo equilatero avente il lato congruente
all’ipotenusa. Il cateto opposto all’angolo da 30° misura metà dell’ipotenusa.
