DIVISIONE DEI TERRENI

B
M
S1
Â
A
N
B
DIVISIONE DEI TERRENI
Prerequisiti
Per affrontare questo argomento sono necessarie conoscenze in:
. Matematica di base
. Risoluzione di triangoli e quadrilateri
. Calcolo delle aree
. Tecniche di rilievo topografico
Indice
Concetti generali
Progetto di frazionamento
Prima di iniziare alcune informazioni che possono risultare utili
Divisione terreni di forma triangolare con uguale valore unitario
. Caso 1°
1°
dividente uscente da uno dei vertici
. Caso 2°
2°
dividente uscente da un punto M in posizione nota sul perimetro
. Caso 3°
3°
dividente MN parallela ad uno dei lati
. Caso 4°
4°
dividente MN perpendicolare ad uno dei lati
. Caso 5°
5°
dividente MN che forma un angolo dato con uno dei lati
Divisione terreni di forma quadrilatera con uguale valore unitario
. Caso 1°
1°
dividente uscente da uno dei vertici
. Caso 2°
2°
dividente uscente da un punto M in posizione nota sul perimetro
. Caso 3°
3°
dividente MN parallela ad uno dei lati
. Caso 4°
4°
dividente MN perpendicolare ad uno dei lati
Concetti generali
La divisione dei terreni consiste nel frazionare
particelle
di
terreno
mediante
una
o
più
dividenti che soddisfino particolari condizioni
geometriche
La divisione dei terreni riveste una notevole
importanza pratica nell’attività professionale del
geometra in quanto trova applicazione nelle
divisioni
per
compravendita
o
successione
ereditaria e nelle espropriazioni parziali
Concetti generali
I terreni da dividere possono avere uguale
valore unitario o valore unitario diverso
diverso..
Nel primo caso, la divisione viene effettuata
attraverso la ripartizione della sua area.
area.
Nel
secondo,
invece,
per
realizzare
la
divisione occorre ripartire il valore totale
dell’appezzamento
Concetti generali
I terreni possono avere forma
forma::
triangolare
quadrilatera
poligonale
Le dividenti rettilinee possono
possono::
passare per un punto dato
avere una direzione assegnata
Progetto di frazionamento
Le divisioni dei terreni sono definiti dalla
circ.. 2/88 come atti di aggiornamento
circ
geometrico
(tipi
di
frazionamento
frazionamento)).
La
divisione delle particelle, modifica il foglio di
mappa e quindi la mappa particellare
particellare,, uno
degli atti fondamentali del catasto definiti
dal DPR 650/
650/72
Progetto di frazionamento
Poichè la posizione di una dividente è definita da
quella dei punti in cui essa taglia i confini
dell’appezzamento, le incognite sono le distanze
dei punti di intersezione dai vertici del confine
A
1
S1
S2
B
Progetto di frazionamento
eventuale rilievo planimetrico dell’appezzamento
definizione delle quote di divisione in area o valore
definizione della direzione della dividente
individuazione grafo analitica della posizione della dividente
posizionamento degli estremi della dividente sul terreno
rilievo topografico
redazione atto di aggiornamento geometrico (tipo di frazionamento)
Prima di iniziare alcune informazioni che possono risultare utili
C
D
triangoli aventi stessa base e uguale altezza
relativa hanno stessa area
h
h
B
A
triangoli aventi stessa altezza hanno le aree
B
proporzionali alle base e viceversa
E
poligoni simili hanno tra loro le aree proporzionali
e le aree di poligoni simili sono proporzionali al
F
A
quadrato dei lati omologhi
C
SABC : SEBF = AB2 : EB2
DIVISIONE DI TERRENI DI FORMA TRIANGOLARE
AVENTI UGUALE VALORE UNITARIO
CASO 1°
1°
Dividente uscente da uno dei vertici
Il problema consiste nel dividere l’appezzamento di
S
area totale S in due aree parziali note S1 e S2 con
S1 S2
AM
uscente dal vertice A
S1 prossima al lato AC
una dividente rettilinea AM uscente da uno dei
vertici, in questo caso il vertice A. Solo nel caso in
B
cui le due aree parziali risultino diverse tra loro
dovrà essere data la loro posizione, ad esempio se
S1 è vicina al vertice B o al lato AB.
AB. Poichè per
S2
dividere l’appezzamento in due parti M deve cadere
necessariamente su BC, il problema si risolve
calcolando le due distanze BM e CM
CM.. La distanza di
M
dai
due
vertici
dipende
ovviamente
A
M
S1
dalla
dimensione delle due aree parziali S1 e S2 e dalla
forma dell’appezzamento
C
CASO 1°
1°
Dividente uscente da uno dei vertici
S
Il problema, noti i lati AB e AC e l’angolo nel vertice
S1
A, si risolve come segue:
S2
AM
uscente dal vertice A
St = 0,5 x AB x AC x sen A
S1 prossima al lato AC
B
S1 = S2 = 0,5 St
BC = √ ( AB2 + AC2 – 2 x AB x AC x cos A )
C = sen -1 ( AB x sen A/BC )
e sapendo che
S1 = 0,5 x AC x CM x sen C
S2
A
Â
M
S1
si ottiene
CM = 2 x S1 / ( AC x sen C )
C
CASO 2°
2°
Dividente uscente da un punto M posto in posizione nota sul perimetro
Il vertice N della dividente può cadere sui lati
S
S1
AC o BC e la sua posizione dipende dalle
dimensioni delle aree parziali.
parziali. Per risolvere il
S2
MN
M in posizione nota sul perimetro (distanza AM)
S1 prossima al lato AC
problema si deve calcolare un’area
un’area di paragone
B
da confrontare con S1 e S2. L’area di paragone è
quella
del
triangolo
MAC
che
si
ottiene
M
congiungendo M con il vertice C
Sp = 0,5 x AM x AC x sen A
Possono verificarsi tre distinte situazioni:
Se S1 ‹ Sp
N è su AC
Se S1 › SP
N è su BC
Se S1 = Sp N coincide con C
A
S2
Â
S1
C
CASO 2°
2°
Dividente uscente da un punto M posto in posizione nota sul perimetro
S
Nel caso in cui S1 ‹ Sp
S1
S2
il problema di determinare la posizione di N
MN
su AC si può risolvere come nel primo caso.
M in posizione nota sul perimetro (distanza AM)
Infatti sappiamo che
S1 prossima al lato AC
B
S1 = 0,5 x AM x AN x sen A
con la formula inversa si ottiene
M
S2
AN = 2 x S1 / ( AM x sen A )
Nel caso invece che S1 › SP
N è su BC
A
Â
S1
N’
in questo caso è conveniente lavorare nel
triangolo MBN di area S2 e dopo aver
calcolato gli elementi necessari, determinare
la distanza BN
N
C
CASO 3°
3°
Dividente MN parallela ad uno dei lati
È sicuramente il caso più semplice perchè si
S
S1
può risolvere considerando che i due triangoli
S2
MN
parallela al lato AC
ABC di area totale St e BMN di area parziale
S1 prossima al vertice B
S1 sono tra loro simili
simili.. Sappiamo infatti che
B
le aree di figure simili sono proporzionali ai
quadrati dei lati omologhi e quindi
St : S1 = BA 2 : BM 2
BM = BA x √ (S1 / St )
M
S1
A
S2
N
St : S1 = BC 2 : BN 2
BN = BC x √ (S1 / St )
C
CASO 4°
4°
Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati
In questo caso torna di nuovo il confonto con
S
S1
un’area di paragone
paragone.. Infatti la posizione di MN può
S2
MN
essere alla sinistra o alla destra del vertice B e la
perpendicolare al lato AC
sua posizione dipende dalle dimensioni dell’area
S1 prossima al vertice A
parziale S1 e dalla forma del terreno
terreno.. L’area di
paragone più conveniente è quella che si ottiene
B
tracciando da B l’altezza del triangolo BB’ parallela
alla
dividente
MN
MN..
Il
confronto
può
quindi
N
N’
effettuarsi dopo aver calcolato l’area del triangolo
rettangolo ABB’
ABB’..
se: S1 < SP MN è alla sinistra di BB’
S1
S1 > SP MN e alla destra di BB’
S1 = SP MN coincide con BB’
A
S2
M
B‘
M‘
C
CASO 4°
4°
Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati
Nel caso siano noti i due lati AB e AC e
S
S1
l’angolo nel vertice A il problema può
S2
MN
risolversi come segue
perpendicolare al lato AC
S1 prossima al vertice A
ST = 0,5 x AB x AC x sen A
B
SP = 0.,5 x AB’ x BB’
Le due incognite AB’ e BB’ possono essere
M
calcolate applicando le funzioni seno e coseno
al triangolo rettangolo ABB’
BB’ = AB x sen A
AB’ = AB x cos A
Nota l’area SP ipotizziamo per il momento che
S1
l’area S1 sia inferiore e che MN si trovi alla
sinistra del vertice B
Â
A
N
B‘
CASO 4°
4°
Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati
Il problema può risolversi in due modi con la:
S
S1
S2
MN
perpendicolare al lato AC
similitudine tra due triangoli rettangoli
S1 prossima al vertice A
funzione tangente in AMN di area S1
B
M
con la similitudine
S1 : SP = AM 2 : AB 2
AM = AB x √ (S1 / SP )
S1 : SP = AN 2 : AB’ 2
AN = AB’ x √ (S1 / SP )
S1
Â
A
N
B‘
CASO 4°
4°
Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati
con la funzione tangente
S
S1
Sappiamo che l’area del triangolo rettangolo
S2
MN
AMN è data da
perpendicolare al lato AC
S1 = 0,5 x AN x MN
S1 prossima al vertice A
Poichè AN e MN sono incognite è necessario
B
che una delle due sia sostituita, ad esempio
l’altezza MN non necessaria. Utilizzando la
M
tangente di A si ottiene
tang A = MN /AN ---- > MN = AN x tang A
sostituendo in S1
S1 = 0,5 x AN 2 x tang A
AN = √ (2 x S1 / tang A)
S1
con la funzione coseno e possibile calcolare
AM = AN / cos A
Â
A
N
B‘
CASO 5°
5°
Dividente MN che forma un angolo dato con uno dei lati
In questo caso l’area di paragone si ottiene tracciando
S
S1
la dividente provvisoria BB’ parallela alla dividente MN
MN..
L’area di paragone in questo caso è quella del triangolo
S2
MN
che forma con AC un angolo dato (noto AMN)
qualunque AB’B che può essere risolto applicando il t. dei
S1 prossima al vertice A
seni e di Carnot
Carnot.. L’area di paragone si ottiene dalla
dalla::
B
Sp = 0,5 x AB x AB’ x sen A
N
Ipotizzando che S1 risulti minore di Sp (MN alla sinistra
di BB’ il problema può essere risolto imponendo la
similitudine tra i due triangoli AMN (di area S1 e AB’B
S2
(di area Sp):
Sp):
S1 : SP = AM
2
: AB’
S1
2
C
AM = AB’ x √ (S1 / SP )
S1 : SP = AN
2
: AB
2
AN = AB x √ (S1 / SP )
A
M B’
DIVISIONE DI TERRENI DI FORMA QUADRILATERA
AVENTI UGUALE VALORE UNITARIO
CASO 1°
1°
Dividente uscente da uno dei vertici
La posizione dell’estremo M della dividente (se sul lato BC o
S
sul lato CD), dipende dalla forma dell’appezzamento e dalla
S1 S2
AM
uscente dal vertice A
S1 prossima al lato AB
dimensione delle aree parziali.
parziali. Per risolvere il problema è
utile determinare l’area di paragone del triangolo ABC
ABC..
Ipotizzando noti tutti gli elementi del quadrilatero possiamo
scrivere:: Sp = 0.5 x AB x BC x sen B. È possibile quindi
scrivere
D
confrontare l’area S1 con l’area di paragone Sp.
Sp. Se risulta
S1 < Sp, l’estremo M della dividente è sul lato BC e la sua
S2
M’
posizione si determina
determina::
C
S1 = 0.5 x AB x BM x sen B → BM = 2 x S1/(AB x sen B)
Nel caso in cui risulti S1 > Sp, l’estremo M della dividente è
M
A
S1
su CD
CD.. In questo caso, per risolvere il problema, è meglio
utilizzare l’area triangolare di area S2, scrivendo:
scrivendo:
S2 = 0.5 x AD x DM’ x sen D → DM’ = 2 x S2/(AD x sen D)
B
CASO 2°
2°
Dividente uscente da un punto M posto in posizione nota sul perimetro
In questo secondo caso, per determinare la posizione di N è
S
S1
necessario calcolare due aree di paragone
paragone.. La prima è quella
del triangolo MAB, la seconda quella del quadrilatero MABC
MABC..
S2
MN
M in posizione nota sul perimetro (distanza AM)
Ipotizzando noti tutti gli elementi, l’area del quadrilatero
S1 prossima al vertice A
MABC può essere calcolata, dividendolo in due triangoli
D
oppure con la formula di camminamento
camminamento.. Note le due aree di
paragone è possibile il confronto con l’area parziale S1. Se
S2
risulta S1 < SMAM allora N è su AB da cui
cui::
S1 = 0.5 x MA x AN x sen A → AN = 2 x S1/(MA x sen A)
Se invece S1 >
SMABC
N’’
M
C
allora N è su CD
CD.. In questo caso è
meglio lavorare con S2 imponendo
imponendo::
A
N’
S1
S2 = 0.5 x MD x DN
DN’’’’ x sen D → DN
DN’’’’ = 2 x S2/(MD x sen D)
in cui ovviamente risulta MD = AD - AM
N
B
CASO 2°
2°
Dividente uscente da un punto M posto in posizione nota sul perimetro
S
S1
Nel caso in cui risulti invece:
S2
MN
SMAB < S1 < SMABC
M in posizione nota sul perimetro (distanza AM)
allora N è sul lato BC
S1 prossima al vertice A
in questa terza ipotesi il problema può risolversi in due maniere
maniere:: - la
prima consiste nel risolvere il quarilatero MABN di area S1 dividendolo in
D
due triangoli e determinando la distanza di N rispetto al vertice B; - la
seconda consiste nell’applicare la formula di camminamento con incognita
S2
M
il lato BN:
BN:
C
S1 = 0.5 x [MA x AB x sen A + AB x BN x sen B – MA x BN x sen (A + B)]
BN = (2 x S1 – MA x AB x sen A)/[(AB x sen B – MA x sen (A+B)]
A
S1
N
B
CASO 3°
3°
Dividente MN parallela ad uno dei lati
Noti tutti gli elementi del quadrilatero e la sua area
è
necessario
preliminarmente
determinare
S
la
S1
posizione della dividente MN (se N si muove su DC, M
S2
MN
può trovarsi sul lato AB o sul lato BC) . Per far
parallela al lato AD
questo è necessario confrontare l’area S1 con l’area
S1 prossima al lato AD
di paragone corrispondente al trapezio ABB’D, che si
ottiene tracciando la dividente provvisoria BB’ avente
le stesse caratteristiche di quella definitiva MN
(parallela al lato AD).
AD). L’area del trapezio può essere
C
calcolata direttamente, oppure per differenza tra
l’area del quadrilatero e quella del triangolo BB’C
BB’C.. Se
risulta S1 < SABB’D allora M è su AB e per determinare
B
la posizione della dividente possono essere utilizzati i
B’
M
metodi::
metodi
Del trapezio
Dei triangoli simili
N
S1
A
D
CASO 3°
3°
Dividente MN parallela ad uno dei lati
METODO DEL TRAPEZIO
S1 = SAMND = 0.5 x (AD + MN) x h
S
S1
in questa equazione sono presenti due incognite MN e h.
S2
MN
Ma:
parallela al lato AD
MN = AD – (AM’ + N’D)
S1 prossima al lato AD
tan  = h/AM’ ----->> AM’ = h/tan Â
tan D̂ = h/N’D ----->> N’D = h/tan D̂
sostituendo:
MN = AD – h x (1/tang  + 1/tang D̂ )
e sostituendo in S1 otteniamo:
C
S1 = 0.5 x [AD + AD – h x (1/tan  + 1/tan D̂ )] x h
ordinando otteniamo una equazione di 2°
2° grado avente
come incognita l’altezza h del trapezio:
B
h2 x (1/tan  +1/tan D̂ ) – 2 x AD x h + 2 x S1 = 0
M
Delle due soluzioni dell’equazione si sceglie quella positiva;
positiva;
se lo sono entrambe la soluzione è quella che più si avvicina
due incognite del problema, AM e DN
N
h
al rapporto S1/AD
/AD.. Nota h, nei due triangoli rettangoli
MAM’ e NDN’, con la funzione seno è possibile calcolare le
B’
Â
A
M’
S1
h
D̂
N’
D
CASO 3°
3°
Dividente MN parallela ad uno dei lati
TRIANGOLI SIMILI
S
S1
Prolungando i lati AB e CD si traforma il quadrilatero nel
S2
MN
triangolo ADE
ADE.. Per risolvere il problema è necessario
parallela al lato AD
calcolare tutti gli elementi del triangolo BCE
BCE::
S1 prossima al lato AD
Angolo B1 = 200c – B
Angolo C1 = 200c – C
Angolo E = 200c – (B1 + C1)
E
Noto il lato BC è possibile calcolare con il t. dei seni i lati
BE e EC
EC.. Noti lati e angoli è possibile il calcolo dell’area σ
C
σ
del triangolo
triangolo.. Per determinare la posizione di M e N può
essere impostata la similitudine tra i due triangoli EBB’ (di
area σ + area di paragone CBB’) e EMN (di area σ + S2)
B
SEBB’ : SEMN = EB2 : EM2
M
SEBB’ : SEMN = EB’2 : EN2
N
S1
Calcolati EM e EN, per differenza con i lati EB e EC si
ottengono le due incognite BM e CN
S2
B’
A
D
CASO 3°
3°
Dividente MN parallela ad uno dei lati
S
S1
S2
MN
parallela al lato AD
Se risulta S1 > SABB’D allora M è su BC e per determinare
S1 prossima al lato AD
la posizione della dividente MN e possibile utilizzare la
similitudine tra i due triangoli CMN (S2) e CBB’ (area di
paragone) impostando le proporzioni:
proporzioni:
C
S2 : SCBB’ = CM2 : CB2
S2 : SCBB’ = CN2 : CB’2
M
Con le quali è possibile calcolare le due distanze CM e CN
S2
B
N
B’
S1
A
D
CASO 4°
4°
Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati
Anche questo caso può risolversi con le aree di paragone
S
S1
da confrontare con le aree parziali in cui deve essere
S2
MN
diviso l’appezzamento
l’appezzamento.. Per determinare le aree di
perpendicolare al lato AB
paragone devono essere tracciate dai vertici D e C due
S1 prossima al vertice A
dividenti provvisorie perpendicolari al lato BC, aventi
cioè le stesse caratteristiche di quella definitiva MN
MN.. Si
ricordi ovviamente che la posizione di MN dipende dalla
C
forma dell’appezzamento e dalla dimensione delle due
N’
aree parziali.
parziali. La prima area di paragone è quella del
D
triangolo rettangolo ADD’, la seconda quella del poligono
N
ADCC’A (composto dal triangolo rettangolo ADD’ e dal
trapezio rettangolo D’DCC’)
D’DCC’).. Calcolate le aree di
paragone si procede nel confronto con l’area S1
S2
S1
A
M
D’
M’
C’
B
CASO 4°
4°
Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati
S
Nel caso in cui S1 < SADD’ la dividente MN è alla sinistra di DD’
DD’.. Il
S1
problema può essere risolto in due modi
modi:: - per similitudine tra i
S2
MN
due triangoli AMN (di area S1) e SADD’; - applicando la funzione
perpendicolare al lato AB
tangente dell’angolo in A nel triangolo AMN (vedi caso 4° della
S1 prossima al vertice A
divisione dei terreni triangolari
triangolari)). In maniera del tutto analoga si
procede nel caso in cui S1 > SADCC’A. In questo caso la dividente
MN è alla destra di CC’ e conviene lavorare con i triangol BCC’ e
BM’’N’’ (di area S2), applicando i due procedimenti precedenti
precedenti.. Più
C
complessa risulta la risoluzione nel caso in cui
cui::
N’
SADD’ < S1 < SADCC’A
D
N’’
N
In questo terzo caso la dividente MN è posta tra le due dividenti
provvisorie DD’ e CC’ e per determinare la sua posizione il
quadrilatero può essere trasformato in un triangolo
S2
S1
A
M
D’
M’
C’
M’’
B
CASO 4°
4°
Dividente MN perpendicolare ad uno dei lati
La traformazione in triangolo può effettuarsi prolungando i lati
S
S1
convergenti CD e AB in E. Risolto il triangolo EAD e calcolata la sua area σ
S2
MN
è possibile imporre la similitudine tra il triangolo EDD’ (di area σ + SADD’) e
perpendicolare al lato AB
il triangolo ENM (di area σ + S1):
S1 prossima al vertice A
(σ + SADD’) : (σ
(σ + S1) = ED2 : EN2
(σ + SADD’) : (σ
(σ + S1) = ED’2 : EM2
Calcolate EN e EM
EM,, dalle due proporzioni precedenti, per differenza di
ottengono le due distanze DN e AM dai vertici dell’appezzamento
dell’appezzamento.. Il
problema può anche essere risolto applicando la funzione tangente
C
dell’angolo in E, nel triangolo rettangolo ENM (di area σ + S1), calcolando il
cateto EM e l’ipotenusa EN
EN.. Sempre per differenza si ottengono le due
N
D
distanze dai vertici dell’appezzamento
dell’appezzamento..
S1
S2
σ
E
A
D’
M
C’
B