La rivelazione delle onde gravitazionali per via

La rivelazione delle onde gravitazionali per via Interferometrica
Una piccola introduzione
Nel 1916 Albert Einstein pubblicò l’articolo “ Die Grundlage der allgemeinen
Relativita ts theorie” (“I fondamenti della relatività generale”) nel quale
enunciò la teoria della Relatività Generale.
1. Tale teoria asserisce che lo spazio-tempo può essere deformato dagli
oggetti massivi presenti al suo interno.
2. Le variazioni nella distribuzione della massa si traducono quindi in
perturbazioni della metrica. Da queste perturbazioni si originano le
onde gravitazionali (OG).
Nella Relatività Generale (RG) la gravità assume un ruolo completamente
diverso da quello che rivestiva nella teoria della gravitazione universale
elaborata da Newton, ovvero la gravità non è una forza, ma la geometria
dello spazio-tempo.
Immagine 1 galassia smile
Immagine 2 lenti gravitazionali
Ciò comporta
a) Le onde gravitazionali previste dalla Relatività Generale sono molto
diverse dalle onde elettromagnetiche. Infatti le onde elettromagnetiche
vengono emesse da cariche in accelerazione, mentre le onde gravitazionali
sono emesse da masse accelerate aventi momento di quadrupolo non nullo.
b) A differenza delle onde elettromagnetiche, le onde gravitazionali sono
rivelabili solo se emesse da oggetti astrofisici. D’altra parte, le onde
elettromagnetiche emesse da sorgenti astrofisiche vengono assorbite e
diffuse dalle nubi di polvere interposte tra l’osservatore e l’oggetto
contrariamente a quanto accade alle onde gravitazionali che invece le
attraversano senza subire alterazioni significative. Proprietà davvero
interessante per gli sviluppi futuri dell'osservazione dell'universo.
c) Il successo nella rivelazione di OG perciò non sarebbe circoscritto alla
verifica della teoria einsteiniana, ma avrebbe ampi risvolti nell’ambito
dell’astrofisica: rivelare onde gravitazionali permetterebbe di indagare sulla
natura di oggetti compatti quali stelle di neutroni e buchi neri, da un punto di
vista diverso da quello finora raggiunto, e questo significherebbe aver trovato
una nuova chiave di lettura dell’universo non più “ elettromagnetica”, ma
“gravitazionale”.
d) l’onda gravitazionale incidente agisce con un effetto di tipo oscillante
sulla distanza tra le particelle libere.
Tale comportamento nel tempo viene mostrato in oscillazioni della distanza
dal centro delle particelle poste su di una circonferenza dovute al passaggio
di un’onda gravitazionale incidente in direzione ortogonale al piano formato
dalla particelle.
L’immagine in alto rappresenta la polarizzazione +, quella in basso invece
mostra la polarizzazione ×.
La distanza dal centro delle particelle poste sulla circonferenza, aumenta e
diminuisce alternativamente.
Introduciamo il parametro adimensionale h che misura la variazione relativa
della distanza tra due punti materiali.
Conseguentemente, prima di affrontare le tecniche di rivelazione delle onde
gravitazionali, cercheremo di fornire una stima approssimativa della
variazione di lunghezza che un’onda gravitazionale può provocare al suo
passaggio o meglio una stima del parametro h.
Scrivendo la soluzione all'equazione dell'onda di Einstein in termini di
momento di quadrupolo, Q, che descrive la distribuzione delle masse della
sorgente che emette, si ottiene:
dove r è la distanza tra la sorgente e l’osservatore e
è il momento di quadrupolo ridotto associato alla densità di energia della
sorgente
tale che :
e dove δjk è la delta di Dirac.
A questo punto è importante sottolineare che la quantità
è una quantità molto piccola il che significa che solo eventi che
coinvolgono grandi masse emettono onde gravitazionali di ampiezza
non trascurabile.
Si consideri ad esempio una sorgente sferica rotante di massa M e di raggio
R, in cui è presente un’asimmetria nella massa, in questo caso si può
dimostrare che in prima approssimazione
dove
è la frazione di energia cinetica convertita in OG per effetto dell’asimmetria
espressa dal parametro e .
Sostituendo nell’equazione precedente si ottiene:
Se si suppone che la frazione di energia cinetica convertita sia pari ad una
massa solare
MS = 2 * 10^30 Kg
e che la sorgente si trovi ad una distanza di
r ≈ 15 Mpc
(1 parsec = 3,086 *10^16 m) ,
si ottiene:
h ≈ 10^(- 21)
In conclusione ricavando la variazione di lunghezza ∆l supposto che l sia
dell'ordine di 10^4 m si ha:
∆l ≈ 10 ^(-17) m
valore che impone l'uso di tecniche di rilevazione estreme e
tecnologicamente avanzate.
I rivelatori
Dopo i tentativi effettuati tra gli anni '60 e gli anni '70 mediante l'uso
pionieristico di dispositivi ad antenne risonanti
negli anni ’80 è iniziato lo studio della rivelazione di onde gravitazionali
mediante l’uso di interferometri di Michelson modificati opportunamente per
raggiungere la sensibilità richiesta dalla misura.
Principio generale di funzionamento di un interferometro.
Un interferometro osserva mediante la misura della variazione di fase del
segnale in uscita, il ritardo accumulato dal fascio laser nei tempi di transito in
un braccio rispetto all'altro . Questo ritardo dipende, come avrete capito,
spero, dalle variazioni di lunghezza dei due bracci indotte dal passaggio di
una OG. Un interferometro è quindi uno strumento in grado di apprezzare
piccolissime variazioni di lunghezza.
Tra gli interferometri gravitazionali attualmente operanti i due progetti con
dimensioni e sensibilità maggiori sono LIGO e Virgo.
Per l’esperimento LIGO sono stati costruiti due interferometri con bracci di
lunghezza pari a 4 km con banda di sensibilità compresa tra
10 Hz e 104 Hz
Virgo è l’interferometro collocato in Italia nel territorio del comune di Cascina
(Pisa). Ha dei bracci lunghi 3 km e banda di sensibilità nello stesso intervallo
di frequenze di Ligo.
Il futuro ci prospetta la realizzazione di LISA, il progetto ESA-NASA di un
interferometro situato nello spazio con bracci di lunghezza 5 * 10^6 Km !!
Come funziona un interferometro
Qualche cenno alla fisica di un interferometro di Michelson.
Sicuramente tutti voi avete visto almeno una volta una figura di questo tipo
Un fascio laser proveniente da sinistra incide su uno specchio semi-argentato
(splitter beam) e lo separa in due componenti nelle due direzioni ortogonali x
e y. I due fasci che emergono dallo splitter proseguono e vengono riflessi su
due specchi posti all'estremità dei bracci dell'interferometro. I due raggi
riflessi tornano allo splitter e quindi vengono deviati verso lo strumento di
raccolta.
Se gli specchi sono perfettamente perpendicolari il sistema produce gli stessi
effetti che si osserverebbero se un raggio incidesse su uno strato d'aria,
compreso tra due vetri, di spessore uniforme
l1– l2 .
Se si spostasse avanti e indietro lo specchio M2, si cambia lo spessore della
lamina equivalente di aria.
Supponiamo che il centro dell'insieme di frange circolari sia luminoso e che
M2 venga spostato esattamente di quanto necessario perché la prima frangia
luminosa si sposti al centro del sistema. Vuol dire che il cammino di andata e
ritorno del fascio è cambiato di una lunghezza d'onda e questo significa che,
poiché il raggio attraversa due volte la lamina equivalente d'aria, lo specchio
M2 si è sposato di mezza lunghezza d'onda.
Per cui contando il numero di frange che attraversano il campo visivo,
quando lo specchio M2 si muove, è possibile misurare in modo molto preciso
variazioni di lunghezza. E' inutile ricordare che Michelson usò il suo
interferometro per misurare il metro campione in termini di lunghezze d'onda
della luce rossa del cadmio e quindi insieme a Morley per allestire la misura
più famosa e cioè la verifica dell'esistenza dell'etere.
Per quanto riguarda Ligo e Virgo la situazione è del tutto simile tranne per il
fatto che a loro si richiede una sensibilità mai vista prima.
Adesso vediamo l’effetto di un’onda gravitazionale sull’interferometro di
Michelson.
Sia l’onda gravitazionale hµν(z, t) piana, monocromatica e progressiva
h(z, t) = h+(z, t),
con frequenza ν, che si propaghi nella direzione dell’asse z, ortogonale al
piano dell’interferometro i cui bracci sono orientati con gli assi x e y
rispettivamente:
Siano l1 ed l2 i bracci dell’interferometro. Lo sfasamento temporale ∆, con cui
i due fasci di luce si ricombinano sul beam splitter è dato da:
∆ = ∆x − ∆y,
ove ∆x è il tempo di percorrenza della luce nel braccio x e analogamente ∆y
quello per il braccio y. La quantità ∆ è quindi legata alla differenza di
cammino ottico
∆Ltot
∆Ltot = ∆l + ∆lOG
dove ∆l = l1 − l2 e ∆lOG è invece la differenza di lunghezza dei due bracci
accumulata al passaggio dell’ OG.
Una volta determinato ∆Ltot lo sfasamento ∆φL è dato da:
Essendo il tempi ∆x e ∆y la somma dei tempi di andata e ritorno
rispettivamente sui bracci x e y e avendo supposto il periodo dell'onda
gravitazionale molto più grande del tempo impiegato dalla luce ad andare e
venire lungo i bracci, si ha :
e
Il segno meno nel secondo tempo è dovuto al fatto che se l'onda
gravitazionale allunga il braccio x allora si riduce il braccio y. Ne segue che lo
sfasamento temporale tra i transiti sui due bracci dei fasci laser è
e per il ∆Ltot si ha :
cioè
che rappresenta la componente della differenza della lunghezza dei due
bracci dovuta al passaggio dell'onda gravitazionale.
Per quanto riguarda lo sfasamento
Si osserva che tanto più sono lunghi i bracci maggiore è lo sfasamento
indotto dall’ OG
L’analisi fin qui fatta è riferita ad una OG che nel tempo di attraversamento
dei due bracci rimane quasi costante. Se così non fosse assumendo che le
lunghezze dei bracci siano uguali
l1=l2=l0
si avrebbe che l'interferometro non risponde allo stesso modo alle varie
frequenze. Esiste infatti una frequenza di taglio al di sopra della quale la
risposta è attenuata. Questa frequenza di taglio è data da:
che corrisponde al tempo impiegato dalla luce per percorrere i bracci.
Lo sfasamento si annulla per tutti i multipli interi della frequenza di taglio;
questo significa che l’interferometro è cieco di fronte a segnali aventi queste
frequenze.
Rumori intrinseci di un Interferometro
Il progetto Virgo prende il proprio nome dall’ammasso della Vergine, un
gruppo di circa 2000 galassie a 15 Mpc dalla Terra.
Se ad esempio si considera la coalescenza di due stelle di neutroni
nell’ammasso della Vergine, l’intensità aspettata è di h ≈ (10^−21 ÷ 10^−22)
1/√Hz.
L’obiettivo perciò è quello di raggiungere una sensibilità dell’ordine di 10^−21
1/√Hz in una banda di frequenze che va da 10 Hz ad alcuni kHz. (radio
frequenze)
Esistono tuttavia diverse fonti di rumore intrinseco che limitano la sensibilità
dello strumento proprio nella banda di frequenze che sono oggetto della
misura.
Ne prenderemo in considerazione solo 4 le principali omettendo tutte le altre
problematiche.
Esse sono:
1) Shot noise
2) Pressione di radiazione
3) Rumore termico
4) Rumore sismico
In un interferometro, ogni rumore si manifesta come una variazione
apparente o effettiva della posizione degli specchi, producendo un segnale in
uscita dal rivelatore.
Per poterlo confrontare e distinguere dal segnale gravitazionale si definisce la

densità spettrale equivalente h () che rappresenta l’ampiezza relativa dello
spostamento prodotto da una OG i cui effetti sono equivalenti a quelli indotti
dalla sorgente di rumore considerata, alla frequenza a cui è avvenuta la
osservazione.
Dove l0 è la lunghezza comune dei bracci dello strumento e
è la densità spettrale di spostamento dovuta al rumore.
Rumore di shot (Shot noise)
Uno dei rumori intrinseci più rilevanti nelle misure di tipo interferometrico è
dovuto all’uso dei laser e al carattere quantistico dei fotoni. Nel caso ideale di
un fascio laser perfettamente stabile in frequenza ( lunghezza d'onda
costante) ed in potenza, le fluttuazioni di fase sono limitate dal principio di
indeterminazione di Heisenberg come segue:
Infatti partendo dalla relazione xp > h/2 si ha che x =ed
essendo  = 2e p = h/ ne segue che p= (h/ 2per un fotone. Se
consideriamo N fotoni incidenti sul rivelatore, si ha p = N (h/ 2 da cui
p = N (h/ 2Sostituendo otteniamo la relazione attesa.
A causa della natura corpuscolare della luce il conteggio dei fotoni subisce
delle fluttuazioni da cui trae origine il rumore shot. Le fluttuazioni sono di tipo
poissoniano, la deviazione standard risulta essere perciò:
Per dare un'idea:
E' come se osservassimo ripetutamente il lancio di una moneta per
determinare la percentuale di testa e croce su un certo numero di lanci
sapendo che la percentuale di riferimento è 50% per ognuno dei risultati. E'
evidente che se il numero di lanci è molto grande le percentuali determinate
si discosteranno poco da quelle teoriche, ma se il numero di lanci è piccolo
vedremo variazioni delle percentuali molto pronunciate e i risultati
fluttueranno moltissimo. Anche in questo caso ci troviamo di fronte a un
fenomeno di tipo poissoniano e le fluttuazioni relative sono descritte da una
analoga deviazione standard dipendente questa volta dalla radice quadrata
del numero N di lanci effettuato.
La fluttuazione riguarderà la potenza in uscita verso il fotodiodo di raccolta.
Prendendo a prestito il calcolo di questa potenza dalle specifiche di Virgo e
Ligo si ha :
dove le quantità tBS e rBS sono i coefficienti di trasmissione e riflessione del
beam splitter e r1 e r2 sono i coefficienti di riflessione degli specchi. Se
chiamiamo C la quantità
che rappresenta il contrasto nella figura di interferenza in uscita dallo
strumento, si ha (rel. $$):
dove si tenga conto che per un buon interferometro C ≈ 1.
La potenza in uscita dal fotodiodo dipende dall’energia media E trasportata
nell’intervallo di tempo ∆t da N fotoni:
con fattore di efficienza del fotodiodo.Tenuto conto che la fluttuazione del
numero di fotoni rispetto al valore medio di N è descritta, come già anticipato
dalla deviazione standard dove adesso N è il valore medio
si ha
e quindi la fluttuazione di potenza determinata dallo shot noise è: (eseguendo
qualche semplice calcolo)
Se consideriamo ad esempio valori dei coefficienti nella rel. $$ tipici per uno
strumento come Virgo o Ligo cioè rBS e tBS ≈ 2 e r1 e r2 ≈ 1 e C ≈ 1 la
relazione stessa diventa, ponendo per semplicità L =  in tutte le
espressioni che seguono,
che è la potenza in assenza di OG.
Se una OG fosse incidente allora essa provocherebbe una variazione di
potenza in uscita
da cui si evince facilmente che
=
e che quindi se calcolassimo il rapporto segnale – rumore nel nostro caso si
otterrebbe
Le condizioni iniziali di funzionamento dell'interferometro sono scelte in modo
tale che  caratteristico di una interferenza distruttiva (frangia scura) e in
queste condizioni il rapporto vale 1 e il limite goniometrico per  vale
1/2 quindi si ha ricavando OG
che è la differenza di fase indotta dalla OG che attraversa lo strumento. Da
essa facilmente possiamo ricavare
dove
con l0 la lunghezza dei bracci dell'interferometro.
Di conseguenza se confrontiamo teniamo conto dell'ampiezza hshot ˜ e della
differenza di fase minima che lo strumento può rivelare
si ottiene la densità spettrale equivalente del rumore di shot
Se ad esempio volessimo valutare questa quantità ponendo ∆t = 1 s
nella formula precedente si ha che lo shot noise dipende in modo
inversamente proporzionale dal prodotto
se per noi il valore di Pin = 17 W e l0 =3000 m, η = 1 ( caso di Virgo) si
ottiene
che rappresenta il valore limite di h dovuto al rumore di shot e come è
evidente tale rumore è in linea giusto con i valori di h attesi per il passaggio di
una OG vera.
Pertanto è importantissimo ridurre il rumore di shot.
Il rumore determinato dalla pressione di radiazione
Le fluttuazioni statistiche dei fotoni determinano anche un altro tipo di rumore,
quello di pressione di radiazione dovuto al fatto che i fotoni, incidendo sullo
specchio, trasferiscono a questo un impulso provocandone lo spostamento..
Per uno specchio di massa m e potenza del fascio in ingresso Pin la densità
spettrale dello spostamento dovuto alla pressione di radiazione è della forma
cui corrisponde una densità spettrale equivalente
Si osserva come la pressione di radiazione si riduce aumentando l0 e
diminuendo Pin, e invece, lo stesso effetto, per il rumore shot, viene raggiunto
aumentando l0 e Pin. Quindi, riguardo alla potenza in ingresso è necessario
cercare un valore ottimale per la potenza del fascio laser in ingresso Pott che
si ottiene eguagliando h ˜rad e h ˜shot. Il risultato è:
per cui sostituendo nelle precedenti espressioni si ha che la minima densità
spettrale equivalente è:
detta anche di limite quantistico poiché rappresenta la massima precisione
con cui è possibile conoscere la posizione degli specchi senza violare il
principio di Heisenberg.
Nel caso specifico di Virgo dove L = 1 µm si ottiene:
Pott() ≈ 104 2 W
Per  = 10 Hz si ottiene
Pott ≈ 1 MW !!!.
In Virgo si ha una potenza pari ad 20 kW.
A questo punto trascuriamo per ragioni di tempo le fluttuazioni della potenza
in uscita dovute alle fluttuazione della potenza in ingresso del laser.
Diciamo solo che per eludere questo tipo di problematiche si usa la tecnica di
modulazione frontale onde evitare che gli effetti siano troppo grandi alle
basse frequenze.
Essa è un’opportuna tecnica di modulazione-demodulazione per isolare il
segnale di interesse da ogni tipo di disturbo esterno alla cavità
interferometrica e consiste nel traslare le informazioni a frequenze più alte (in
Virgo sono le radio frequenze). Il segnale acquisito è pertanto non nullo solo
in presenza di variazioni reali del cammino ottico della luce dovuto a segnali
gravitazionali o allo spostamento reale degli elementi ottici.
Rimedi per accrescere la sensibilità
Uno dei parametri che, aumentato, renderebbe il rumore quantico meno
efficace è, come abbiamo visto nella trattazione precedente, la lunghezza dei
bracci l0. Questo equivale ad accrescere il cammino ottico del fascio e
conseguentemente incrementare la sensibilità dello strumento. Una soluzione
a questa esigenza non è costruire bracci molto più lunghi di quelli già in uso
in quanto sulla Terra questo comporterebbe numerose problematiche
difficilmente risolvibili ed economicamente non convenienti, ma utilizzare
delle cavità ottiche risonanti e in particolare quelle che sono note come
cavità di Fabry – Pérot.
I bracci degli interferometri Virgo e Ligo sono cavità ottiche di questo tipo.
Le Cavità di Fabry-Pérot
Una cavità ottica di Fabry-Pérot o anche etalon ( figura seguente) è costituita
da due specchi con riflettività r1 ed r2 posti a distanza l0 tra di loro.
Grosso modo la cavità funziona così:
sul primo specchio viene fatto incidere il fascio laser che in parte entra nella
cavità ( teniamo conto che r1 < r2). Se la distanza tra gli specchi è giusta la
cavità risuona ossia si ha interferenza positiva al suo interno e il fascio viene
fuori rafforzato in ampiezza. Viceversa se l'interferenza fosse distruttiva dalla
cavità non viene fuori nulla.
Nelle due immagini precedenti un raggio penetra nella cavità attraverso il
primo specchio che per semplicità è stato scelto piano. Nella seconda
immagine si ha una descrizione più dettagliata di ciò che avviene.
Ricordiamoci che ogni volta che il raggio subisce una riflessione su una
superficie di separazione tra due mezzi, di cui il primo ha indice di rifrazione
minore di quello del secondo, si ha uno sfasamento nell'onda di che
equivale a una differenza di cammino ottico di  Nel punto C' in figura si
sovrappongono due onde quella proveniente da B' e quella proveniente da C.
La differenza di cammino ottico tra le due onde è con un po’ di calcoli :
BC + CC' -A'B' essendo in figura BC = CC' = d / cos() e A'B' = AB' sin( )
Ma AB’ = BC’ = 2d tg( )  2BC -A'B'= 2 d / cos() - 2d sin2( )/ cos() =
= 2 d / cos() ( 1 - sin2( ) )
e si ha
2BC -A'B' = 2d cos()
Se quindi
2d cos() = m 
avremo interferenza costruttiva e le due onde in E e E' in figura risulteranno
in fase e sommeranno le loro ampiezze.
Se invece
2d cos() = (m +1/2) 
l'interferenza sarà distruttiva e non avremo raggi uscenti dalla cavità.
Quando  = 0, cioè quando le onde incidono perpendicolarmente alle
superfici delle due lastre la differenza di cammino diventa 2d, pari ad
un’andata e ritorno all’interno della cavità, per cui avremo interferenza
costruttiva solo se
2d = ml
relazione che nel nostro caso equivale a una condizione di risonanza.
Questo significa che solo le lunghezze d’onda in risonanza con la cavità
possono essere trasmesse praticamente con la stessa intensità incidente.
Le lunghezze d’onda che non soddisfano la relazione scritta, attraverso varie
riflessioni, tendono ad annullarsi reciprocamente, per cui non avremo onde
uscenti dalla cavità diverse da quelle fissate dai modi in cui la cavità risuona.
Un parametro caratteristico della cavità è il coefficiente di finesse
esso determina con quanta precisione si possono separare due diverse
lunghezze d'onda. Alti valori di F indicano strumenti di alta qualità.
In una cavità Fabry-Pérot il cammino ottico della luce viene amplificato del
fattore
2F/
per cui definendo Leff = (2F/) l0 si ha
La cavità Fabry-Pérot si comporta come un filtro passa basso cioè un filtro
che consente il passaggio solo ai segnali di frequenza più bassa della
frequenza di taglio.
La frequenza di taglio nel nostro caso è legata al tempo di permanenza dei
fotoni tra i due specchi.
Un fotone che entri all’interno della cavità, vi permane un tempo (storage
time) pari a:
Ts = (2 F/ π) l0 /c
Lo storage time è il tempo necessario affinché la luce riflessa dalla cavità
diminuisca di 1/e una volta spento il laser di alimentazione.
Dal tempo di permanenza si può quindi calcolare la frequenza limite della
cavità data da :
Nell’interferometro Virgo si hanno due cavità di Fabry-Pérot formate ciascuna
da due specchi posti a 3 km tra loro. Per ogni cavità gli specchi hanno due
diversi coefficienti di riflessione con gli specchi di ingresso r1 = 0.88 e r2 =
0.99, quindi si ottiene F = 140 e quindi
2F/ ≈ 90 .
Poiché l0 = 3 km, la lunghezza efficace risulta pari a Leff = 270 km. Quindi con
l’ausilio di una cavità ottica Fabry-Pérot il cammino ottico effettivo nei bracci
dell’interferometro diventa 270 km!
Per cercare di avere la Potenza in ingresso Pin prossima alla potenza ottimale
Pott è stata introdotta anche una cavità di recycling. Essa opera sulla parte di
fascio che viene riflessa sul beam splitter, reintroducendo lo stesso con una
ampiezza accresciuta di un certo fattore di guadagno che dipende dalle
caratteristiche della cavità di ricircolo.
Di seguito riportiamo un' immagine dello schema ottico dello strumento in cui
si riconoscono le varie parti descritte
Il laser utilizzato è del tipo Nd:YAG con lunghezza d’onda 1064 nm. La
potenza del laser è di circa 20 W. Le masse di test sono costituite da quattro
specchi collocati a formare le due cavità Fabry-Pérot.
Essi sono dei cilindri di silice fusa (Suprasil 312) del diametro di 35 cm e
massa 20 kg. Sulla superficie degli specchi è applicato uno strato altamente
riflettente (coating = rivestimento) costituito da strati alternati di silice e Ta2O5
(pentossido di Tantalio).
Rumore sismico e newtoniano
Un’altra sorgente di rumore intrinseco nella rivelazione interferometrica è il
rumore sismico dovuto ai movimenti della crosta terrestre. Accurati studi di
geofisica hanno consentito di determinare una densità spettrale di
spostamento dovuta al rumore data dalla espressione
dividendo per la lunghezza l0 del braccio si ha che la densità spettrale
equivalente è a 10 Hz corrisponde a
h ˜sism(10) ∼ 10−11 1/√Hz.
Questo valore è un grosso problema in quanto molto maggiore della
sensibilità che si spera di ottenere per lo strumento.
Inoltre a causa delle fluttuazioni della distribuzione delle masse in prossimità
dello strumento, si hanno fluttuazioni anche del campo gravitazionale il cui
contributo è
Queste variazioni, che determinano il rumore newtoniano, sono in grado di
modificare lo stato di quiete dello specchio; su di esso la fluttuazione del
campo gravitazionale locale incide direttamente senza che qualsiasi sistema
di attenuazione riesca a filtrarlo. Nel caso di Virgo la densità spettrale
equivalente associata al rumore newtoniano è piccola rispetto alla attuale
sensibilità di Virgo e quindi meno fastidiosa, ma con i rivelatori futuri si dovrà
tener conto anche di questa fonte .
Riduzione del rumore sismico
Si può ridurre il rumore sismico sospendendo una massa ad un pendolo. Se
ne consideri uno avente lunghezza l, costante elastica k = mg/l, dove  è il
coefficiente di dissipazione assunto di tipo viscoso.
Sia F (t) una sollecitazione applicata dall’esterno che modifica la posizione di
equilibrio della massa sospesa m. L’equazione del moto dello specchio ( la
nostra massa di test) è :
L’equazione dell’oscillatore smorzato e forzato non è omogenea. La soluzione
generale è somma di una parte transitoria, che si smorza in un tempo che
dipende dal coefficiente e di una parte di oscillazione permanente di
pulsazione uguale a quella della forza esterna ω =ωF :
Senza entrare nella soluzione dell'equazione del moto possiamo dire che se 
 è la pulsazione di risonanza
per ω = ω0 siamo nella condizione di risonanza, l’ampiezza sarà massima e
anche il trasferimento di energia.
per ω>> ω0, le vibrazioni sono attenuate di un fattore,
e quindi per un pendolo a N stadi si ha un fattore di attenuazione pari a
Poiché con Virgo si ha l'obiettivo di ottenere una sensibilità h ∼ 10−21 1/√Hz
abbiamo calcolato che se la frequenza fosse di 10 Hz il fattore di
attenuazione dovrà coprire 10 ordini di grandezza cioè 1010 e per un pendolo
di lunghezza l =1 m sappiamo che
e quindi la frequenza di risonanza è di 0,5 Hz.
Questo significa che per ottenere il fattore di attenuazione voluto deve essere
N=5.
In Virgo e Ligo sono utilizzati dei superattenuatori a 5 filtri, dove ogni filtro è
un cilindro d'acciaio sospeso al precedente per mezzo di un unico cavo di
1.14 m con frequenza di pendolo di 440 mHz.
Come esempio semplice di pendolo a più stadi analizziamo il caso del
pendolo doppio
Il superattenuatore è a sua volta sospeso ad una struttura verticale detta
pendolo invertito. Questa struttura è stata concepita per ridurre i movimenti a
bassissima frequenza non controllati dagli stadi successivi e che, pur non
introducendo direttamente rumori sulle misure, impedirebbero di mantenere
l’interferometro nel punto di lavoro poiché potrebbero compromettere la
condizione di risonanza nelle due cavità Fabry-Pérot e nella cavità di ricircolo
di potenza.
Essa è composta da tre barre lunghe 6 m vincolate tramite giunti meccanici
flessibili alla base della torre che contiene il sistema di sospensioni. Ed infine
il sistema di payload che è di seguito in figura.
Esso consente di correggere le rotazioni dello specchio sui tre gradi di libertà
rotazionali possibili e di mantenere lo specchio perfettamente allineato con il
laser e protetto da eventuali rotture dei fili di sospensione.
Attuatori bobina-magnete completano la procedura di allineamento degli
specchi. Infatti per ridurre il moto angolare residuo degli specchi al livello di ∼
1 nrad si ricorre perciò alla procedura di allineamento automatico (automatic
alignment). Il sistema di allineamento automatico controlla gli angoli θx e θy. Per
esigenze di tempo trascuriamo questi aspetti molto tecnici.
Tuttavia mi sento di aggiungere una constatazione personale e cioè : tutta la
struttura si ispira ai progetti di edifici antisismici. Infatti la mancanza di una
frequenza di risonanza nel pendolo doppio si presta a immaginare l'intero
edificio come un pendolo invertito a cui si aggiunge una massa secondaria
sospesa al suo interno che quindi trasforma la struttura proprio in un
pendolo doppio. Ed è proprio questa la strategia che si usa nel nostro caso.
Rumore termico
1. rappresenta uno dei limiti alla sensibilità più importanti
2. in Virgo e Ligo esso dipende dalla somma di tre contributi
E' la forma di rumore dominante nella gamma di frequenze 5 - 300 Hz
come è evidente nell'immagine della sensibilità teorica.
Si evince che
 il rumore sismico è dominante fino a 3 Hz, dove sono confinate le
risonanze dei superattenuatori.
 Al di sopra dei 3 Hz fino a circa 30 Hz il rumore dominante è quello
termico di pendolo (∝  ^ − 5/2),
 nell’intervallo (30 ÷ 300) Hz il contributo principale viene dal rumore
termico degli specchi (∝  ^− 1/ 2)
 infine a frequenze maggiori di 300 Hz domina il rumore shot.

I picchi presenti oltre i 100 Hz sono dovuti al rumore termico alle
risonanze dei modi di violino dei fili di sospensione che vengono filtrati
ed esclusi dalla banda di rivelazione.
In un sistema all’equilibrio termodinamico con temperatura T, il teorema di
equipartizione dell’energia assegna a ciascun grado di libertà un’energia
media pari a kbT/2 con kb costante di Boltzmann.
A causa delle interazioni tra gli elementi microscopici tale energia è soggetta
a fluttuazioni temporali, l’effetto di queste fluttuazioni si traduce in oscillazioni
casuali delle osservabili macroscopiche del sistema; il meccanismo appena
descritto è noto come rumore termico. termodinamico.
Il Moto browniano
Un tipo di rumore termico è il moto browniano di una particella immersa in un
fluido in equilibrio termodinamico. R Brown (1828) quasi due secoli fa
osservò al microscopio spore di polline sospese nell'acqua e notò che queste
si muovevano in modo rapido e discontinuo. Le sue prime ipotesi che i grani
di polline fossero dotati di vita propria furono smentite dalle verifiche
successive che il botanico approntò usando stavolta sospensioni di materiale
inorganico come granelli di vetro. Il risultato fu che anche in questo secondo
caso era osservato lo stesso tipo di comportamento delle spore di polline.
Brown ipotizzò allora che vi fosse una relazione tra il comportamento dei
grani e la termodinamica. Infatti il moto caotico aumentava al crescere della
temperatura e al diminuire della dimensione dei granelli confermando che il
fenomeno aveva molte caratteristiche che ricollegavano alla teoria cinetica
del calore.
Fu Einstein che formalizzò tale relazione attribuendo il moto dei grani di
polline alle continue collisioni tra essi e le molecole costituenti il fluido per
effetto dell'agitazione termica.
La spiegazione del fenomeno è contenuta nell'articolo pubblicato nel 1905.
“Il moto delle particelle sospese in fluidi a riposo secondo la
teoria cinetica-molecolare del calore”
Si consideri una particella di massa m, immersa in un fluido all’equilibrio
termodinamico a temperatura T. La particella in esame è soggetta a due
forze, la prima quella di attrito viscoso con il fluido, F = − β v , avendo definito
β il coefficiente di attrito viscoso e v la velocità della particella, e la seconda,
quella aleatoria f (t), risultante degli urti della particella con le molecole che
costituiscono il fluido. Si assume che
1. La forza appena definita si assume isotropa ( media < f (t)> = 0)
cioè non vi sono direzioni privilegiate
2. δ-correlata o scorrelata, cioè tale da assumere ad ogni istante un
valore indipendente da quello assunto precedentemente
(<f (t) f (t ' )>= F0 2 δ(t − t' ))
3. Gaussiana.
L’ipotesi di gaussianità è ragionevole poiché si suppone che la
particella abbia massa molto più grande delle molecole , questo implica
che la forza f (t) sia il risultato di un numero molto elevato di eventi
indipendenti.
Dal teorema del limite centrale si può perciò assumere una distribuzione
gaussiana avente varianza < f (t)2 > # 0. Il moto della particella è descritto
dall’equazione di Langevin :
e integrando una prima volta la soluzione è
dove m  è detto tempo di rilassamento.
Integrando ancora una volta si ottiene lo spostamento e se consideriamo
tempi molto lunghi rispetto a la velocità quadratica media è
e lo spostamento quadratico medio dalla posizione iniziale dopo il tempo t è
Quindi Albert Einstein scoprì che la fluttuazione casuale (cioè la forza
stocastica necessaria a spostare la particella) di una particella all'equilibrio
termodinamico aveva la stessa origine della forza di attrito dissipativa.
In altri termini, egli dimostrò che una particella soggetta al un moto browniano
subisce, in un tempo infinitesimo δ t, uno spostamento δr distribuito come
una Gaussiana con media nulla e varianza 2Dt.
 Questo risultato è vero per ogni sistema macroscopico all'equilibrio
termico con l'ambiente.
 In questo caso l'energia interna di tale sistema è condivisa tra tutti i
suoi gradi di libertà o, equivalentemente, tra tutti i suoi modi normali di
vibrazione, ciascuno con energia media kbT.
 L’intensità del rumore termico di un sistema macroscopico è
strettamente legata ai processi dissipativi presenti in esso.
 Il moto di sistemi oscillanti come molle, pendoli, all'equilibrio termico è
sempre affetto dal rumore termico.
 Esso si manifesta con le fluttuazioni casuali dell'osservabile
macroscopico che caratterizza il sistema, e ne limita quindi la
sensibilità.
il Teorema di Fluttuazione Dissipazione per un qualsiasi sistema fisico,
fornisce un’analisi del legame tra un generico meccanismo dissipativo e le
sue fluttuazioni termiche.
La densità spettrale di potenza del rumore termico può essere ricavata
attraverso questo importante risultato della meccanica statistica. Infatti sia
Sia X(t) la coordinata di osservazione; Nel dominio delle frequenze possiamo
sempre scrivere la risposta di un sistema lineare ad una forza esterna F()
come:
X =  
dove  è la funzione di trasferimento.
Allora lo spettro di potenza del rumore termico è pari a
e ad es. se considerassimo i modi normali di vibrazione relativi al modo di
pendolo avremmo che la densità spettrale equivalente delle oscillazioni
orizzontali, cioè l’ampiezza del segnale gravitazionale che produrrebbe uno
spostamento pari a quello indotto dal modo di pendolo è
mentre per quelle verticali è
dove è l’angolo di accoppiamento tra i gradi di libertà orizzontale e verticale
dovuto alla curvatura della superficie terrestre. Infatti a causa di quest’ultima,
Commento [carmelo m1]: la
funzione di trasferimento è una
funzione che caratterizza il
comportamento di un sistema dinamico
tempo-invariante nel dominio della
frequenza, mettendo in relazione
l'ingresso e l'uscita
le verticali locali delle sospensioni degli specchi di ingresso e di quelli
terminali, distanti tra loro 3 km, non sono ortogonali all’asse ottico del laser,
ma se ne discostano di un angolo pari a θ0 = l0/(2RT ) = 2.35×10^−4 rad .
Questo fa sì che un movimento verticale degli specchi sia trasmesso sul
piano orizzontale.
varie armoniche sono descritte dalla relazione
dove l, r, ρ e Λ sono rispettivamente la lunghezza, il raggio, la densità e la
tensione del filo.
Rumore termico degli specchi
Nell’interferometro Virgo gli specchi sono sospesi con fili dello stesso
materiale di cui essi stessi sono costituiti. Questo è il motivo per cui le
sospensioni di Virgo+ sono dette monolitiche.
In Virgo+ i fili sono realizzati in silice fusa (SiO2), e gli specchi in Suprasil
312, un tipo di silice fusa caratterizzato da un maggior grado di purezza; che
ha il vantaggio di avere basse perdite ottiche, proprietà richiesta nel caso
delle ottiche di Virgo (1 ppm). Le principali caratteristiche della silice fusa
sono i bassi coefficienti di dilatazione termica, di conducibilità termica e
l’elevato calore specifico.
dove i Φn sono gli angoli di perdite dissipative nel modo n, ωn è la pulsazione
di risonanza del modo n, Il parametro mn è la massa efficace del modo che si
sta considerando, cioè la massa del sistema che si muove nel modo
risonante n.
Le immagini seguenti ricordano i modi di vibrazione d membrane circolari
tese e vibranti descritti da Chladni
la cui frequenza di risonanza è descritta dalla legge dello stesso Clhadni
f = C (n+ 2 m) p
e dove m è il numero di nodi diametrali e n è quello dei nodi circolari, C e p
parametri che dipendono dalle caratteristiche del materiale di cui è fatta la
lastra o la membrana vibrante. Valori tipici di p variano tra 1,4 e 2,4.
Per i modi a farfalla si distinguono per ogni ordine quelli di tipo “+” e “×”; sono
presenti entrambi poiché lo specchio non è simmetrico a causa delle superfici
laterali realizzate per l’ancoraggio delle sospensioni.
I modi interni degli specchi :
Immagine del modo a tamburo (0, 1).
I colori codificano lo spostamento della superficie dalla posizione di equilibrio:
la parte rossa è quella soggetta alla massima vibrazione, quella indicata con il
colore verde invece indica la minima vibrazione cioè la cosiddetta
circonferenza nodale.
Immagine del modo a farfalla (2, 0) [+]. I colori codificano lo spostamento
della superficie dalla posizione di equilibrio: la parte verde che forma una ’+’
indica i due diametri nodali.
Immagine del modo a farfalla (2, 0) [×]. I colori codificano lo spostamento
della
superficie dalla posizione di equilibrio: la parte verde che forma una ’×’ indica
i due diametri nodali.
Immagine del modo a farfalla (3, 0) [|]. I colori codificano lo spostamento della
superficie dalla posizione di equilibrio: la parte verde indica i tre diametri
nodali.
Immagine del modo a farfalla (3, 0) [\]. I colori codificano lo spostamento della
superficie dalla posizione di equilibrio: la parte verde indica i tre diametri
nodali.
Altre immagini degli stessi modi visti lateralmente
Ridurre il rumore termico
Ridurre le dissipazioni (Virgo Advanced e Ligo Advanced)
 intervenire sui Pendoli
 sospensioni monolitiche (silice fusa)

termoelastico ridotto

dissipazioni superficiali ridotte
 intervenire sugli Specchi

coating meno dissipativi

substrati meno dissipativi
Ridurre la temperatura degli specchi(Virgo criogenico)

Criogenia
video onda gravitazionale
Grazie, sono un po' stanchino.
Fine