Polinomi - Gare Matematiche by Rosanna Tupitti

Polinomi ed equazioni
Ercole Suppa e Rosanna Tupitti
10 novembre 2011
Sommario
In questa lezione vengono ricordate le principali definizioni sui polinomi e vengono presentati alcuni significativi problemi.
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Polinomi
Definizione. Si dice polinomio di grado n un’espressione del tipo
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ,
an 6= 0
I numeri ai sono detti i coefficienti del polinomio. Se i coefficienti ai appartengono a K (dove K
è uguale ad uno degli insiemi numerici Z, Q, R, C), il polinomio viene detto a coefficienti in K e
scriviamo p(x) ∈ K[x]. I coefficienti an , a0 sono chiamati rispettivamente coefficiente direttore
e termine noto del polinomio. Se an = 1 il polinomio di dice monico.
Definizione. Dato un polinomio p(x) si dice funzione polinomiale associata al polinomio la
funzione p : R → R definita da:
p(α) = an αn + an−1 αn−1 + · · · + a1 α + a0 ,
∀α ∈ R
Definizione. Dato un polinomio p(x), l’equazione p(x) = 0 si dice equazione (polinomiale)
associata a p(x). Un numero reale α si dice una radice del polinomio p(x) (o una soluzione
dell’equazione p(x) = 0) se p(α) = 0.
Teorema 1. (Principio di identità dei polinomi) Dati due polinomi p(x), q(x) le loro funzioni
polinomiali associate coincidono se e solo se i polinomi hanno gli stessi coefficienti (e lo stesso
grado).
Teorema 2. (Divisione fra polinomi) Dati due polinomi a coefficienti reali f (x) e g(x) esistono
due (unici) polinomi q(x) e r(x) tali che:
• f (x) = g(x) · q(x) + r(x)
• r(x) = 0 oppure deg (r(x)) ≤ deg (g(x))
Definizione. I polinomi q(x) ed r(x) si chiamano rispettivamente quoziente e resto della divisione. Se r(x) = 0 diciamo che il polinomio g(x) divide il polinomio f (x).
Teorema 3. (Teorema del resto) Dato un polinomio a coefficienti reali p(x) e un numero reale
a il resto della divisione di p(x) per (x − a) è dato da p(a).
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Teorema 4. (Teorema di Ruffini) Un polinomio p(x) ∈ R[x] è divisibile per un binomio del tipo
x − a se e solo se p(a) = 0.
Teorema 5. (Teorema fondamentale dell’algebra) Un polinomio p(x) ∈ R[x] di grado n
ammette n radici nel campo complesso (contate con le rispettive molteplicità).
Osservazione 1. Se x1 , x2 , . . . , xn sono le radici del polinomio p(x), contate con la rispettiva
molteplicità, allora p(x) si può scomporre in fattori lineari nel modo seguente
p(x) = (x − x1 ) (x − x2 ) · · · (x − xn )
Teorema 6. (Formule di Viète) Sia p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 un polinomio a
coefficienti reali di grado n e siano x1 , x2 , . . . , xn le sue radici (in generale complesse), ripetute con
la loro molteplicità. Allora
an−1
an
an−2
x1 x2 + x1 x3 + · · · + xn−1 xn =
an
x1 + x2 + · · · + xn = −
x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + · · · + xn−2 xn−1 xn = −
an−3
an
···························
a0
x1 x2 · · · xn = (−1)n
an
Anche le somme di potenze di radici hanno delle regolarità particolari; infatti se poniamo:
Sk = xk1 + xk2 + · · · + xkn
avremo che:
Teorema 7. (Formule di Girard-Newton) Sia p(x) = xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + · · · + an−1 x + an un
polinomio a coefficienti reali di grado n e siano x1 , x2 , . . . , xn le sue radici (in generale complesse),
ripetute con la loro molteplicità. Allora per ogni k > 0 abbiamo:
sk + a1 sk−1 + a2 sk−2 + · · · + ak−1 s1 + kak = 0
avendo posto aj = 0 per j > n.
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Esercizi
1. Quanto vale la somma delle potenze quattordicesime delle radici dell’equazione x7 − x − 1 = 0.
2. Dato il polinomio p(x) = x4 + 3x3 − x2 − 9x + 6, dette λ1 , λ2 , λ3 , λ4 le sue radici, calcolare il
valore dell’espressione
1
1
1
1
+
+
+
λ1 λ2 λ3 λ1 λ2 λ4 λ1 λ3 λ4 λ2 λ3 λ4
2
3. Qual è il minimo valore dell’espressione x2 − 8xy + 19y 2 − 6y + 14 al variare di x e y fra i
numeri reali?
4. Trova la somma algebrica dei coefficienti del polinomio:
(x21 + 4x2 − 3)2001 − (x21 + 4x2 + 3)667 + x21 + 4x2
5. Risolvere il sistema di equazioni

 x+y+z =4
x2 + y 2 + z 2 = 14
 3
x + y 3 + z 3 = 34
6. Trova m e risolvi la seguente equazione sapendo che le sue radici formano una progressione
geometrica
x4 − 15x3 + 70x2 − 120x + m = 0
7. Se p e q sono due numeri reali soddisfacenti le relazioni 2p2 − 3p − 1 = 0 e q 2 + 3q − 2 = 0,
con pq 6= 1, trovare il valore di
pq + p + 1
q
(China MO 2005)
8. Determinare per quali valori di n tutte le soluzioni dell’equazione x3 − 3x + n = 0 sono numeri
interi.
(Cesenatico 2002)
9. Sia p(x) un polinomio cubico con radici α, β, γ. Supposto che
p 12 + p − 12
= 1000
p(0)
trovare il valore di
1
1
1
+
+
αβ βγ γα
(Australian MO 1996)
10. Siano a, b, c le lunghezze dei lati di un triangolo 4ABC con a > b > c e 2b = a + c, e b intero
positivo. Se a2 + b2 + c2 = 84, trovare il valore di b.
Riferimenti bibliografici
[1] Massimo Gobbino, Schede olimpiche, U.M.I, Bologna (2010)
[2] A. Astolfi G. Audrito A. Carignano F. Tanturri, Dispense di matematica olimpionica, (2010)
[3] Todev, Functions and polynomials, problems and solutions, (2010)
[4] Xu Jiagu, Lecture Notes on Mathematical Olympiad Courses-vol.2, World Scientific (2010)
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