Lezione4

VARIABILITÀ
Per valutare correttamente un collettivo statistico occorre conoscere non solo il valore medio ma
anche la variazione dei dati, cioè la dispersione dei dati.
Nella variabilità può interessare conoscere sia di quanto i dati differiscono da un valore medio sia di
quanto i dati differiscono tra di loro.
Gli indici di variabilità dovrebbero soddisfare queste proprietà:
1) essere nulli se e solo se sono uguali i termini della serie;
2) crescere all’ammontare della disuguaglianza dei termini.
Gli indici di variabilità sono chiamati di :
DISPERSIONE
se misurano la variabilità rispetto alla media
DISUGUAGLIANZA se misurano la variabilità rispetto a tutti i termini
I principali indici di variabilità sono:
1) campo di variazione;
2) differenza interquartilica;
3) scostamenti semplici medi;
4) scostamenti quadratici medi;
5) coefficiente di variazione;
6) concentrazione.
differenza tra il valore più grande e quello più
piccolo; esso viene applicato per il controllo
CAMPO DI VARIAZIONE
della qualità di un prodotto, per misurare
l’escursione termica.
Esempio : temperatura registrata durante il mese: il valore più grande è 25, quello più piccolo è 2;
pertanto il coefficiente di variazione è uguale
20; 25; 2; 18 ; 7; 14
alla differenza tra questi valori : 25-2=23
DIFFERENZA INTERQUARTILICA
Q3 − Q1
differenza all’interno della quale si
trovano il 50% dei valori della distribuzione.
Lo scostamento semplice medio della media è un
indice di variabilità e, nel caso di distribuzione di
frequenza con valori distribuiti per classe , è dato
dalla formula:
−
n
SCOSTAMENTO SEMPLICE MEDIO
DELLA MEDIA ARITMETICA
SM =
∑ x − x ⋅n
'
i
i
i =1
N
Per calcolare lo scostamento occorre calcolare
preliminarmente la media della distribuzione e
poi impostare un’unica tabella secondo la
formula
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STATISTICA Anno Accademico 2010-2011 Prof . Annibale ROCCO
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Lo scostamento semplice medio della mediana è
un indice di variabilità e, nel caso di
distribuzione di frequenza, è dato dalla formula:
n
SCOSTAMENTO SEMPLICE MEDIO
DELLA MEDIANA
S Me =
∑x −M
i
i =1
e
× ni
N
L’indice di dispersione gode della proprietà di
essere un minimo rispetto a qualsiasi valore
diverso dalla mediana.
Per calcolare lo scostamento occorre calcolare
preliminarmente la mediana della distribuzione e
poi impostare la tabella secondo la formula.
SCARTO QUADRATICO MEDIO
media quadratica degli scarti
N
distribuzione semplice
∑(x
σ=
i =1
N
n
distribuzione di frequenza
∑ (x
σ=
i =1
VARIANZA
− x ) 2 ⋅ ni
i
N
n
distribuzione di frequenza con classi
∑(x
− x )2 ⋅ ni
'
i
σ=
i =1
N
quadrato dello scarto quadratico medio
la varianza dà più risalto agli scarti maggiori
N
distribuzione semplice
σ2 =
∑(x
i =1
σ =
2
∑ (x
i =1
σ =
2
− x)2
− x ) 2 ⋅ ni
i
N
n
distribuzione di frequenza con classi
i
N
n
distribuzione di frequenza
− x) 2
i
∑(x
i =1
'
i
− x ) 2 ⋅ ni
N
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E’ un indice di variabilità relativo alla media ed
esprime la variabilità in termini della media.
La formula è : CV =
σ
_
× 100
x
dove σ è lo scostamento quadratico medio
_
COEFFICIENTE DI VARIAZIONE
rispetto alla media aritmetica e x è la media
aritmetica della distribuzione .
Basterà pertanto impostare la tabella per il
calcolo dello scostamento quadratico medio .
Il coefficiente di variazione è un numero puro e
permette il confronto con altre distribuzioni
aventi unità di misura diverse.
ABBREVIAZIONE DEL CALCOLO DELLA VARIANZA
Sviluppando la formula si ottiene:
N
distribuzione
semplice
σ2 =
∑(x
i =1
i
N
− x)2
N
=
N
∑x
i =1
2
i
N
−
2∑ x i ⋅ x
i =1
N
N
−2
+
∑x
=
N
∑x
N
2
i
i =1
N
2
2
− 2x + x =
∑x
2
i
i =1
N
−x
2
il quadrato della media quadratica meno il quadrato della media aritmetica
n
distribuzione di
frequenza
σ =
2
∑ ( x i − x ) 2 ⋅ ni
i =1
N
n
=
∑x
i =1
2
i
N
⋅ ni
−x
2
L’indice di variabilità più utilizzato è lo scostamento quadratico medio σ oppure la varianza σ 2 ;
l’indice è tanto più piccolo quanto più i valori osservati sono addensati al proprio valore medio, è
nullo quando i valori osservati sono uguali.
Se il carattere è suddiviso in classi si segue il procedimento di calcolo dei valori centrali :
n
∑x
'2
i
i =1
N
⋅ ni
2
−x .
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indicata con la lettera a una costante, con la lettera X la variabile statistica e con la
lettera σ 2 la varianza si considerino le seguenti espressioni :
• a + X somma di una costante e di una variabile
• a ⋅ X prodotto di una costante per una variabile,
valgono le seguenti proprietà:
2
1) σ ( a ) = 0 la varianza di una costante è uguale a zero;
2
2
2) σ ( a + X ) = σ ( X ) la varianza della somma di una costante e della variabile è
uguale alla varianza della variabile;
2
2
2
3) σ ( a ⋅ X ) = a ⋅ σ ( X ) la varianza del prodotto di una costante per la variabile è
uguale al prodotto del quadrato della costante per la varianza della variabile.
PROPRIETÀ
esempio:
a=3
DELLA
VARIANZA
1°
valore
2°
valore
totale
media
varianza
2
a⋅ x
(a ⋅ x ) − x
−
(

 a + x ) − x 
1
6
-3
9
+1
1
12
+3
9
0
2
18
9
a+x
(a + x ) − x
(a + x ) − x− 


1
5
-1
+1
1
7
0
2
12
6
x
xì − x
−


 xì − x 


2
-1
4
6
3
1
−
−
2
−
1
2
18
9
Applicando le proprietà si ottengono gli stessi risultati :
σ 2 (a + X ) = σ 2 ( X ) = 1
σ 2 (a ⋅ X ) = a 2 ⋅ σ 2 ( X ) = 9 ⋅ 1 = 9
Bibliografia : Leti, Statistica descrittiva; Girone-Salvemini , Lezioni di Statistica; Maffè, Statistica; Probabilità e statistica descrittiva
Bergamini,Trifone,Barozzi, Zanichelli; La Matematica nell’economia e nella finanza 2 Coeli, Falamischia, Minerva.
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