Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale

Corso di Idraulica
ed Idrologia Forestale
Docente: Prof. Santo Marcello Zimbone
Collaboratori: Dott. Giuseppe Bombino - Ing. Demetrio Zema
Lezione n. 16: Le precipitazioni (parte seconda)
Anno Accademico 2008-2009
Indice
Le analisi elementari delle osservazioni pluviometriche
La distribuzione spaziale delle precipitazioni
Tecniche per il calcolo dell’altezza di pioggia ragguagliata
La curva di possibilità pluviometrica
Il tempo di ritorno e la probabilità di superamento
La linea segnalatrice di probabilità pluviometrica
Analisi statistica delle piogge
La curva di possibilità pluviometrica
La distribuzione di Gumbel
La distribuzione TCEV
La determinazione della curva di probabilità pluviometrica
ragguagliata
Gli ietogrammi (ietogrammi storici e sintetici)
Tipi di ietogrammi sintetici
Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale - Lezione 16
Materiale didattico
Slides delle lezioni frontali
Greppi M.: Idrologia. Il ciclo dell’acqua e i suoi effetti, Ed.
Hoepli, Milano, 1999
Moisello U.: Idrologia tecnica, Ed. La Goliardica Pavese, Pavia,
1999
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Le analisi elementari
delle osservazioni pluviometriche
Per poter conseguire gli obiettivi che l’idrologo si
prefigge le osservazioni pluviometriche devono essere
opportunamente elaborate
Periodi di osservazioni di 20-30 anni sono in generale
sufficienti per estrapolare a periodi più lunghi stime dei
valori medi annui di precipitazione
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Le analisi elementari
delle osservazioni pluviometriche
A seconda dei volumi di precipitazione gli anni si
possono classificare in secchi ed umidi dopo
l’ordinamento in classi dei totali annui:
anni molto secchi (15% delle osservazioni)
anni secchi (20%)
normali (30%)
umidi (20%)
molto umidi (15%)
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Le analisi elementari
delle osservazioni pluviometriche
Si definisce indice di umidità dell’anno il rapporto tra il
totale annuo e la media dei totali annui
Anche i totali mensili possono essere classificati sulla
base del coefficiente pluviometrico del mese, pari al
rapporto fra la precipitazione media di ciascun mese ed
1/12 della precipitazione media annua
Se tale coefficiente è maggiore di 0,6, il mese viene
considerato piovoso
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La distribuzione spaziale delle precipitazioni
La precipitazione su un’area non puntuale, ma avente
una determinata estensione superficiale, non è mai
costante
Per calcolare l’afflusso meteorico su un bacino
imbrifero, occorre passare dalle misure puntuali,
eseguite in corrispondenza delle stazioni pluviometriche
ricadenti all’interno del bacino e supposte coincidenti
con il centro di scroscio dell’evento, a quelle
ragguagliate all’intero bacino
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La distribuzione spaziale delle precipitazioni
Si definisce solido di pioggia quel
prismoide che ha come base
inferiore la proiezione orizzontale
dell’area in esame e come base
superiore una superficie che si trova
in ogni punto a una distanza dalla
base inferiore pari all’altezza di
pioggia caduta in quel punto
Il solido di pioggia definisce
l’afflusso meteorico ad un bacino (si
deve
tuttavia
tenere
conto
dell’influenza del vento e della
pendenza dei versanti)
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La distribuzione spaziale delle precipitazioni
L’afflusso meteorico ad un bacino è anche pari al prodotto
della sua area A per l’altezza media della precipitazione ad
esso affluita, detta altezza di pioggia ragguagliata hr
E’ possibile passare dall’altezza di pioggia puntuale a
quella ragguagliata con diverse tecniche, che consentono
di tener conto della variabilità spaziale della precipitazione
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Tecniche per il calcolo
dell’altezza di pioggia ragguagliata
Media aritmetica → wi = 1/N (per N stazioni interne
all’area)
Pesatura in funzione della distanza (griglia regolare) →
wi = f(di)
Metodo delle isoiete → wi = ai/A, dove: ai = superficie
compresa fra due isoiete
Metodo dei topoieti (Thiessen) → wi = ai/A, dove: ai =
area di influenza della stazione pluviometrica
Metodi geostatistici (Kriging) → wi: minima varianza di
stima
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Tecniche per il calcolo
dell’altezza di pioggia ragguagliata
Metodo della media aritmetica
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Tecniche per il calcolo
dell’altezza di pioggia ragguagliata
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Tecniche per il calcolo
dell’altezza di pioggia ragguagliata
Metodo delle isoiete: si definisce isoieta il luogo dei
punti cui compete lo stesso valore di altezza di pioggia in
un intervallo di tempo di determinata lunghezza (evento,
giorno, mese, anno)
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Tecniche per il calcolo
dell’altezza di pioggia ragguagliata
Metodo delle isoiete
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Tecniche per il calcolo
dell’altezza di pioggia ragguagliata
Metodo delle isoiete
Esempio
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Tecniche per il calcolo
dell’altezza di pioggia ragguagliata
Metodo dei topoieti di Thiessen
I singoli pluviografi (A) vengono assegnati alle aree più
vicine a essi, dopo avere tracciato le linee congiungenti
le stazioni e bisezionato tali linee, costruendone le
mediane
Ogni poligono è formato da tali linee e, se periferico, dai
limiti del bacino
Il volume della pioggia media è dato dalla somma delle
altezze di pioggia pesata sull’area
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Tecniche per il calcolo
dell’altezza di pioggia ragguagliata
Metodo dei topoieti di Thiessen
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Tecniche per il calcolo
dell’altezza di pioggia ragguagliata
Metodo dei topoieti di Thiessen
ESEMPIO ANIMATO SUL SITO INTERNET
www.piercecollege.com/offices/weather/flash/Thiessen.swf
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Tecniche per il calcolo
dell’altezza di pioggia ragguagliata
Fattore di riduzione areale
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La curva di possibilità pluviometrica
Supponiamo di disporre di un periodo sufficientemente
lungo di osservazioni pluviografiche (20-30 anni) per
una determinata località
Per ognuna di 5 durate (1, 3, 6 ,12 e 24 ore) ordiniamo
gli N valori in ordine decrescente e rappresentiamoli in
un diagramma cartesiano avente in ascissa la durata t
(ore) ed in ordinata le altezze di pioggia
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La curva di possibilità pluviometrica
La curva che interpola le altezze maggiori è denominata
curva dei primi casi critici (rappresenta gli eventi di
pioggia raggiunti o superati una sola volta nel periodo di
osservazione)
Tali eventi hanno una frequenza empirica
raggiungimento o superamento pari ad 1/N
di
Analogamente è possibile definire le curve dei secondi,
terzi ed n-esimi casi critici
Tali curve sono
pluviometrica
denominate
curve
di
possibilità
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La curva di possibilità pluviometrica
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La curva di possibilità pluviometrica
Tali curve sono con buona precisione rappresentabili
con la seguente espressione esponenziale:
h = at
n
dove a ed n sono due parametri caratteristici della
stazione pluviografica in esame; il loro valore numerico
è determinabile con il metodo dei minimi quadrati,
ricorrendo all’espressione lineare che si ottiene
estraendo il logaritmo della relazione precedente:
n
h = at → log h = log a + n log t
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Il tempo di ritorno e la probabilità di superamento
L’altezza di precipitazione h si tratta in idrologia come
una variabile casuale, facendo corrispondere ad ogni suo
valore un valore della probabilità di non superamento
(associato ad un certo evento idrologico) è spesso
associato a quello di tempo di ritorno T
1
T=
P( X ≥ xT )
dove xT è la variabile caratterizzata da un tempo di ritorno T
⇒ se P = 0.01, T = 100 anni
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Il tempo di ritorno e la probabilità di superamento
Il tempo di ritorno di un evento di assegnata intensità è
quindi interpretabile come:
il numero di anni che in media separa il verificarsi di
due eventi di intensità eguale o superiore a quella
assegnata
il numero di anni in cui l’evento di intensità assegnata
viene eguagliato o superato in media una volta
La probabilità di non superamento P è legata al tempo di
ritorno T dalla seguente relazione:
1
T=
1− P
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Il tempo di ritorno e la probabilità di superamento
Quando si deve valutare il rischio intrinseco associato ad
un certo evento, si calcola la probabilità che l’evento
temibile (evento che eguaglia o supera una assegnata
soglia progettuale) si verifichi almeno una volta durante la
vita presunta dell’opera
Per scopi progettuali (ad esempio quando si voglia
determinare le caratteristiche dell’evento che portano
all’esondazione di un corso d’acqua e quindi insufficienza
idraulica della sua sezione), si definisce un evento critico,
caratterizzato da un tempo di ritorno Tc, da una portata
critica Qc, da una durata critica dc e da un’altezza di
precipitazione critica hc
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La curva di probabilità pluviometrica
Per la determinazione delle curve di probabilità
pluviometrica ci si basa sull’analisi delle curve di
frequenza cumulata (CDF), costruite per le serie storiche
dei massimi annuali delle piogge di durata 1, 3, 6, 12, 24
ore, adattando a ciascuna di esse, attraverso la stima dei
parametri, un predefinito modello probabilistico (TCEV,
Gumbel, ecc.)
Dalle curve di frequenza, fissato il tempo di ritorno T
(tipicamente 10, 20, 50, 100, 200, 1000 anni) e per ogni
durata t è possibile, quindi, ricavare il valore ht,T
I valori così determinati vengono riportati su un
diagramma (h, t) ed interpolati mediante delle curve
caratterizzate dall’espressione
ht ,T = at n
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La curva di probabilità pluviometrica
Per la stima dei parametri a ed n di ciascuna curva
conviene considerare la trasformata logaritmica dei
valori delle precipitazioni e delle durate ed applicare il
metodo dei minimi quadrati
Una volta stimati i parametri è possibile entrare nella
curva di probabilità pluviometrica caratterizzata da un
certo tempo di ritorno e ricavare l’altezza di pioggia
corrispondente a durate differenti da quelle considerate
dal servizio idrografico
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La curva di probabilità pluviometrica
Gli eventi di pioggia aventi durata compresa fra 1 e 24 ore
vengono denominati eventi lunghi, mentre quelli di durata
inferiore ad 1 h sono denominati eventi brevi
Seguendo questi ultimi dinamiche meteorologiche
differenti da quelli lunghi, la curva di probabilità
pluviometrica non può essere estrapolata per durate
inferiori ad 1 h
Si può dimostrare che il rapporto tra l’altezza di pioggia
ht,T (con t < 60 minuti) e l’altezza di pioggia h60,T (con
durata 60 minuti), entrambe di tempo di ritorno T, è pari a:
ht ,T
 t 
= f (T ) =  
h60 ,T
 60 
s
con s variabile in funzione della regione in esame
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Analisi statistica delle piogge
La curva di probabilità pluviometrica serve ad esprimere
in modo sintetico, per:
la località a cui si riferiscono
un dato tempo di ritorno T
ad una data durata di pioggia d
le informazioni relative alle:
massime altezze di pioggia h
massime intensità di pioggia i
allo scopo di elaborare poi ietogrammi sintetici che siano
significativi per problemi di progetto e di verifica
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La curva di probabilità pluviometrica
L’obiettivo è l’interpretazione delle registrazioni degli
eventi verificatisi in passato in termini di probabilità di
futuro accadimento
Può avere espressioni:
a 2 parametri (es. h = a · dn; i = a · dn-1)
a 3 parametri (es. h = a · d/(b+d)c; i = a/(b+d)c)
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La curva di probabilità pluviometrica
L’analisi di frequenza si sviluppa secondo i seguenti
passi:
1. scelta di una serie campionaria (casuale, indipendente e
stazionaria)
2. adattamento della legge di distribuzione di probabilità
teorica al campione con l’utilizzo del più idoneo metodo di
stima dei parametri
3. uso della distribuzione di probabilità adattata al
campione in studio per un’analisi di inferenza statistica
(stima del valore del quantile xT di assegnato tempo di
ritorno T)
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La distribuzione di Gumbel
Le massime altezze di pioggia annue per assegnata
durata possono seguire un legame probabilistico di tipo
Gumbel o di tipo log-normale
In base alla distribuzione di Gumbel si ha:
P(hd) = exp(– exp(– (hd – ud)/ad))
dove:
hd = altezza di pioggia di durata d
ad = 0.779 · σ(hd)
ud = µ(hd) – 0.45 · σ(hd)
µ(hd), σ(hd) = media e s.q.m. della variabile hd
Per ogni durata “d” i parametri “ad” ed “ud” della
distribuzione di probabilità P(hd) di Gumbel sono diversi
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La distribuzione di Gumbel
In generale, trattandosi di un legame biunivoco, la
distribuzione di probabilità P(hd) può essere esplicitata
rispetto ad hd
Nel caso specifico della distribuzione di Gumbel si
ottiene con semplici passaggi l’espressione di hd per
una generica durata d e per una generica probabilità di
non superamento P(hd):
hd = ud – ad · ln(– ln(P(hd)))
Sostituendo al posto di ud ed ad le loro espressioni in
funzione di µ(hd) e σ(hd) e ricordando che V(hd) = σ/µ si
ha che:
hd = µ(hd) · {1 – V(hd) · [0.45 + 0.779 · ln(– ln(P(hd)))]}
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La distribuzione di Gumbel
In generale la probabilità di non superamento P è legata
al tempo di ritorno T dalla relazione: P = 1 – 1/T
Così la precedente espressione:
hd = µ(hd) · {1 – V(hd) · [0.45 + 0.779 · ln(– ln(P(hd)))]}
può essere quindi riscritta come:
hd,T = µ(hd) · {1 – V(hd) · [0.45 + 0.779 · ln(– ln(1 – 1/T ))]}
Curva di probabilità pluviometrica
di tempo di ritorno T
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La distribuzione di Gumbel
Stazione pluviografica di Trento - 1932-1990
Cartogramma probabilistico di GUMBEL
.05
.01
.25 .45 .65
.15 .35 .55
.75
.85
.99
.95
50
massimi annuali (1 ora)
45
40
35
30
25
20
15
10
5
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Extr.Val
Expected
Observed
y: variabile ridotta
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La distribuzione TCEV
Una migliore interpretazione probabilistica di serie
caratterizzate dalla presenza di valori eccezionali
(outliers) si ha con il modello a doppia componente
denominato “TCEV” (acronimo di Two Component
Extreme Value distribution), che si rappresenta con una
funzione di probabilità cumulata del tipo:
dove:
FX(x) = funzione di probabilità cumulata (probabilità di
non superamento) della variabile x nel tempo X
x = variabile altezza di pioggia di durata d (hd)
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La distribuzione TCEV
Questa distribuzione, in cui si possono distinguere
formalmente una componente base (pedice 1), relativa
agli eventi normali e più frequenti, ed una componente
straordinaria (pedice 2), relativa ad eventi più gravosi e
rari, permette di interpretare fisicamente il processo dei
massimi annuali tramite due popolazioni distinte
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La distribuzione TCEV
I quattro parametri del modello TCEV hanno un chiaro
significato fisico, dal momento che Λ1 e Λ2 esprimono il
numero medio annuo di eventi della componente base e
della straordinaria e θ1 e θ2 esprimono il valore medio di
tali eventi
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La distribuzione TCEV
L’espressione della TCEV si può mettere nella forma:
equivalendo formalmente al prodotto di due funzioni di
distribuzione cumulata di Gumbel, avendo posto:
e
con i =1, 2
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La distribuzione TCEV
La funzione di probabilità cumulata è esprimibile in altra
forma effettuando la trasformazione di variabili:
In questo caso, in modo del tutto equivalente, la si può
scrivere:
e i quattro parametri che caratterizzano il modello
diventano Λ1, Λ*, θ1 e θ*
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La distribuzione TCEV
Per la determinazione di x occorre avere in definitiva
una stima dei quattro parametri Λ1, Λ*, θ1 e θ* (ad
esempio con il metodo della massima verosimiglianza)
con i quali si può ricostruire integralmente la funzione di
probabilità cumulata
Per ridurre l’incertezza si utilizzano tecniche di analisi
regionale che consentono di stimare almeno alcuni dei
parametri sulla base di tutte le serie storiche ricadenti
all’interno di vaste aree indicate come zone e sottozone
omogenee
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La distribuzione TCEV
Al 1° livello di regionalizzazione per i due parametri di
forma del modello, Λ* e θ*, si può assumere un valore
costante all’interno di ampie zone omogenee
La stima dei valori che tali parametri assumono nella
singola zona omogenea risulta pertanto molto affidabile,
perché si può ottenere utilizzando tutti i dati delle serie
ricadenti all’interno di essa
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La distribuzione TCEV
Al 2° livello di regionalizzazione, oltre ai valori costanti dei
parametri Λ* e θ* nelle zone omogenee, all’interno di
queste è possibile identificare sottozone omogenee, entro
cui si può ritenere costante anche il parametro di scala Λ1
Anche in questo caso, utilizzando per la stima di Λ1 tutti i
dati delle serie ricadenti all’interno della singola
sottozona, risulta essere accresciuta l’affidabilità della
stima di questo parametro
In totale quindi per questo livello di analisi sono tre i
parametri di cui si può assumere a priori un valore
regionale
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La distribuzione TCEV
Al 3° livello di regionalizzazione, oltre ai tre parametri Λ1,
Λ* e θ* di cui si può assumere un valore regionale,
identificato al livello precedente, si ottiene anche una
stima regionale del quarto parametro θ1
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La determinazione della curva di probabilità
pluviometrica ragguagliata
Si procede alla determinazione dell’altezza di
precipitazione ragguagliata hr relativa ad un’assegnata
durata t ed ad un assegnato tempo di ritorno T,
moltiplicando l’altezza di precipitazione puntuale h
relativa alla stessa durata ed allo stesso tempo di
ritorno per un opportuno coefficiente di riduzione R (o
coefficiente di ragguaglio all’area), funzione del tempo
di ritorno T, dell’area A e della durata t
hr (t , T , A) = R(t , T , A)h (t , T )
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La determinazione della curva di probabilità
pluviometrica ragguagliata
Tale concetto implica che l’intera zona alla quale si
riferiscono le osservazioni sperimentali sia soggetta
ad un identico regime delle precipitazioni
La precipitazione puntuale viene misurata nel centro di
scroscio
In linea generale R:
è pressochè costante con il tempo di ritorno T
decresce all’aumentare dell’area A
cresce
all’aumentare
della
durata
della
precipitazione t
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Gli ietogrammi
Il grafico che rappresenta l’andamento nel tempo
dell’intensità di precipitazione (che in pratica è sempre
un’intensità media, calcolata su intervalli di tempo di
una certa durata), prende il nome di ietogramma
Per la sua costruzione si procede alla discretizzazione
della durata totale della pioggia in intervalli di durata
idonea d, in cui si misura l'altezza di pioggia h
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Gli ietogrammi
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Gli ietogrammi
Il rapporto fra l’altezza e la durata fornisce l'intensità
media nell'intervallo di discretizzazione
A piccoli intervalli corrisponde un dettaglio maggiore
dell'informazione, ma la quantità di dati da gestire
aumenta
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Gli ietogrammi
La serie precedente può discretizzarsi in intervalli di 10',
secondo la seguente tabella, cui fa fronte il grafico
corrispondente
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Gli ietogrammi
I singoli ietogrammi e le serie possono essere:
storici, costruiti mediante serie storiche di piogge
sintetici, costruiti secondo schemi concettuali di
diversa natura
Ietogrammi storici
Derivano da precipitazioni effettivamente registrate,
utilizzate per ricostruire gli ietogrammi di eventi reali
per:
tarare un modello afflussi-deflussi, noto l'idrogramma
storico alla sezione di chiusura
valutare la portata nella sezione di chiusura, quando
l'idrogramma storico non è noto
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Gli ietogrammi
Ietogrammi sintetici
Per verificare o dimensionare un'opera, bisogna far
riferimento a condizioni critiche
Quando queste non possono esser rappresentate da un
singolo ietogramma storico, si ricorre allo ietogramma
sintetico
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Tipi di ietogrammi sintetici
Ietogramma rettangolare
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Tipi di ietogrammi sintetici
Ietogramma triangolare
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Tipi di ietogrammi sintetici
Ietogramma Chicago
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Tipi di ietogrammi sintetici
Ietogramma Chicago
Nella sua forma generale lo ietogramma ha il picco ad un
generico tempo Tr, minore della durata complessiva Tc: r
= Tr/Tc
La posizione del picco è determinata sulla base delle
caratteristiche degli eventi pluviometrici intensi della
località che interessa
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