L`algebra Antiriflettente con applicazioni alla ricostruzione di immagini

L’algebra Antiriflettente con applicazioni alla
ricostruzione di immagini
M. Donatelli e S. Serra Capizzano
Collaboratori:
A. Aricò, C. Estatico, A. Martinelli, and J. Nagy
http://scienze-como.uninsubria.it/mdonatelli/
Outline
1 Ricostruzione di immagini sfuocate
Condizioni al contorno 1D: segnali
Condizioni al contorno 2D: immagini
2 L’algebra Antiriflettente
Definizione dell’algebra Antiriflettente
Regolarizzazione mediante re-blurring
3 Risultati numerici
4 Conclusioni
M. Donatelli (Università dell’Insubria)
L’algebra Antiriflettente e applicazioni
2 / 29
Ricostruzione di immagini sfuocate
Outline
1 Ricostruzione di immagini sfuocate
Condizioni al contorno 1D: segnali
Condizioni al contorno 2D: immagini
2 L’algebra Antiriflettente
Definizione dell’algebra Antiriflettente
Regolarizzazione mediante re-blurring
3 Risultati numerici
4 Conclusioni
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L’algebra Antiriflettente e applicazioni
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Ricostruzione di immagini sfuocate
Il problema modello
L’immagine ricostruita f è ottenuta “risolvendo”:
Af = g
• g = vec(G ) dove G è
immagine osservata = immagine sfuocata + rumore
• A = matrice bilivello associata alla point spread function (PSF).
• La PSF è l’osservazione di un singolo punto (e.g., una stella in
astronomia) ed è assunta spazio invariante.
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Ricostruzione di immagini sfuocate
Obiettivi della ricostruzione
Requisiti
• Buona qualità dell’immagine ricostruita
• Possibilità di ricondurre il calcolo a trasformate veloci stile FFT
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L’algebra Antiriflettente e applicazioni
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Ricostruzione di immagini sfuocate
Obiettivi della ricostruzione
Requisiti
• Buona qualità dell’immagine ricostruita
• Possibilità di ricondurre il calcolo a trasformate veloci stile FFT
Come soddisfare i requisiti
1
Modellisticamente nella formalizzazione del problema
2
Computazionalmente nella definizione di metodi regolarizzanti
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Ricostruzione di immagini sfuocate
Condizioni al contorno 1D: segnali
Condizioni al contorno 1D: segnali
Signal
Zero Dirichlet
Periodic
Reflective
Anti−Reflective
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Ricostruzione di immagini sfuocate
Condizioni al contorno 1D: segnali
Struttura della matrice dei coefficienti 1D
Condizioni al
contorno (CC)
Zero Dirichlet
Periodiche
Riflettenti
Struttura della matrice A
Toeplitz: costante lungo le diagonali
Circolante: A = FDF H con F matrice di Fourier
e D diagonale
Toeplitz + Hankel e se la PSF è simmetrica A = CDC T
con C trasformata di coseni (DCT-III)
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Ricostruzione di immagini sfuocate
Condizioni al contorno 1D: segnali
Struttura della matrice dei coefficienti 1D
Condizioni al
contorno (CC)
Zero Dirichlet
Periodiche
Riflettenti
Struttura della matrice A
Toeplitz: costante lungo le diagonali
Circolante: A = FDF H con F matrice di Fourier
e D diagonale
Toeplitz + Hankel e se la PSF è simmetrica A = CDC T
con C trasformata di coseni (DCT-III)
Costo computazionale
• Il prodotto matrice vettore costa O(n log(n)) ops sempre,
• L’inversione costa O(n log(n)) ops solo per CC periodiche e CC
riflettenti con PSF simmetrica.
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Ricostruzione di immagini sfuocate
Condizioni al contorno 1D: segnali
Condizioni al contorno antiriflettenti 1D
• Si opera un’antiriflessione rispetto ai punti del bordo f1 e fn
f1−j
= 2f1 − fj+1
fn+j
= 2fn − fn−j
per j = 1, 2, . . . .
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Ricostruzione di immagini sfuocate
Condizioni al contorno 1D: segnali
Condizioni al contorno antiriflettenti 1D
• Si opera un’antiriflessione rispetto ai punti del bordo f1 e fn
f1−j
= 2f1 − fj+1
fn+j
= 2fn − fn−j
per j = 1, 2, . . . .
Osservazione
Le CC riflettenti garantiscono la continuità al bordo mentre le CC
antiriflettenti garantiscono la continuità anche della derivata normale.
[S. Serra Capizzano, SISC 2004]
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Ricostruzione di immagini sfuocate
Condizioni al contorno 1D: segnali
Proprietà strutturali di A
PSF generica
• A = Toeplitz + Hankel + rango 2.
• Prodotto matrice-vettore in O(n log(n)) ops.
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Ricostruzione di immagini sfuocate
Condizioni al contorno 1D: segnali
Proprietà strutturali di A
PSF generica
• A = Toeplitz + Hankel + rango 2.
• Prodotto matrice-vettore in O(n log(n)) ops.
PSF fortemente simmetrica
• Per S ∈ R(n−2)×(n−2) diagonalizzabile mediante trasformate discrete
di seni (DST-I)

1
∗
..
.



A=

 ∗
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S
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∗
..
.






∗ 
1
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Ricostruzione di immagini sfuocate
Condizioni al contorno 2D: immagini
Condizioni al contorno 2D: immagini
zero Dirichlet
Periodiche
Riflettenti
Antiriflettenti
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Ricostruzione di immagini sfuocate
Condizioni al contorno 2D: immagini
Struttura della matrice dei coefficienti 2D
• Si opera lo stesso tipo di estensione dell’immagine prima lungo una
direzione e poi lungo l’altra
⇓
la matrice A ha una struttura a due livelli, dove ogni livello ha la
stessa struttura del caso 1D.
• Esempio: zero Dirichlet 7→ A è Toeplitz a blocchi con blocchi
Toeplitz.
• La generalizzazione al caso 3D segue in modo naturale applicando la
stessa estensione anche lungo la terza dimensione ottenendo A con
una struttura a 3 livelli.
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L’algebra Antiriflettente
Outline
1 Ricostruzione di immagini sfuocate
Condizioni al contorno 1D: segnali
Condizioni al contorno 2D: immagini
2 L’algebra Antiriflettente
Definizione dell’algebra Antiriflettente
Regolarizzazione mediante re-blurring
3 Risultati numerici
4 Conclusioni
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L’algebra Antiriflettente
Definizione dell’algebra Antiriflettente
L’algebra AR
L’algebra AR è composta dalle matrici della forma


h(0)
ARn (h) =  vn−2 (h) τn−2 (h) Jvn−2 (h)  ,
h(0)
dove
• h è un polinomio di coseni a coefficienti reali di grado al più n − 3
• J è la matrice di flip,
jπ
• τn−2 (h) = Qdiagj=1,...,n−2 (h( n−1
))Q, dove Q è la DST-I,
• vn−2 (h) = τn−2 (φ(h))e1 with [φ(h)](x) =
h(x)−h(0)
2 cos(x)−2 .
[A. Aricò, M. D., S. Serra Capizzano, LAA, 2007]
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L’algebra Antiriflettente
Definizione dell’algebra Antiriflettente
Proprietà dell’algebra AR
• Imponendo CC antiriflettenti con una PSF simmetrica generata da h
si ottiene A = ARn (h).
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L’algebra Antiriflettente
Definizione dell’algebra Antiriflettente
Proprietà dell’algebra AR
• Imponendo CC antiriflettenti con una PSF simmetrica generata da h
si ottiene A = ARn (h).
Proprietà computazionali:
• αARn (h1 ) + βARn (h2 ) = ARn (αh1 + βh2 ),
• ARn (h1 )ARn (h2 ) = ARn (h1 h2 ).
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L’algebra Antiriflettente
Definizione dell’algebra Antiriflettente
Proprietà dell’algebra AR
• Imponendo CC antiriflettenti con una PSF simmetrica generata da h
si ottiene A = ARn (h).
Proprietà computazionali:
• αARn (h1 ) + βARn (h2 ) = ARn (αh1 + βh2 ),
• ARn (h1 )ARn (h2 ) = ARn (h1 h2 ).
Risultati negativi per AR:
• non è chiusa per trasposizione,
• se A ∈ AR, allora A non è normale.
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L’algebra Antiriflettente
Definizione dell’algebra Antiriflettente
Forma canonica di Jordan di ARn (·)
Teorema
Sia h un polinomio di coseni di grado al più n-3, allora
ARn (h) = Tn diagy ∈G (h(y ))Tn−1 ,
jπ
dove G = { n−1
| j = 0, . . . , n − 1} e
h
y
y i
Tn = 1 − , sin(y ), . . . , sin((n − 2)y ),
.
π
π y ∈G
[A. Aricò, M. D., J. Nagy, S. Serra Capizzano, 2007, sottomesso]
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L’algebra Antiriflettente
Definizione dell’algebra Antiriflettente
Trasformata antiriflettente
• Tn è detta trasformata antiriflettente.
• Il prodotto matrice vettore con Tn e Tn−1 richiede O(n log(n))
operazioni.
• Quando h è la funzione generatrice di una PSF i due autovettori
corrispondenti al campionamento di due funzioni lineari sono associati
ai due autovalori più grandi h(0) = h(π) = 1
⇓
come per le altre CC autovalori grandi sono associati a basse
frequenze mentre autovalori piccoli sono associati ad alte frequenze.
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L’algebra Antiriflettente
Regolarizzazione mediante re-blurring
Re-blurring: risultati preliminari
• Nel caso senza rumore le CC forniscono ricostruzioni qualitativamente
migliori rispetto alle altre CC.
• Nel caso di rumore è necessario ricorrere alla regolarizzazione (e.g.
Tikhonov: minz∈Rn {||Az − g||2 + µ||z||2 }). In tal caso le CC
antiriflettenti possono essere peggiori delle altre CC (almeno rispetto
alle CC riflettenti).
• AT ∈
/ AR anche quando la PSF è simmetrica.
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L’algebra Antiriflettente e applicazioni
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L’algebra Antiriflettente
Regolarizzazione mediante re-blurring
Re-blurring: risultati preliminari
• Nel caso senza rumore le CC forniscono ricostruzioni qualitativamente
migliori rispetto alle altre CC.
• Nel caso di rumore è necessario ricorrere alla regolarizzazione (e.g.
Tikhonov: minz∈Rn {||Az − g||2 + µ||z||2 }). In tal caso le CC
antiriflettenti possono essere peggiori delle altre CC (almeno rispetto
alle CC riflettenti).
• AT ∈
/ AR anche quando la PSF è simmetrica.
Una prima motivazione
Se la PSF è simmetrica per le CC classiche AT = A mentre per CC
antiriflettenti AT 6= A e non è più un operatore di sfocamento.
[M. D., S. Serra Capizzano, IP, 2005]
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L’algebra Antiriflettente e applicazioni
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L’algebra Antiriflettente
Regolarizzazione mediante re-blurring
Re-blurring
Proposta: Sostituire AT con A′ ottenuta imponendo le CC alla PSF
ribaltata rispetto a ogni direzione.
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L’algebra Antiriflettente e applicazioni
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L’algebra Antiriflettente
Regolarizzazione mediante re-blurring
Re-blurring
Proposta: Sostituire AT con A′ ottenuta imponendo le CC alla PSF
ribaltata rispetto a ogni direzione.
• Con il re-blurring si risolve A′ Af = A′ g invece di AT Af = AT g.
• Il re-blurring sostituisce l’operatore di trasposizione con quello di
correlazione.
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L’algebra Antiriflettente e applicazioni
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L’algebra Antiriflettente
Regolarizzazione mediante re-blurring
Re-blurring
Proposta: Sostituire AT con A′ ottenuta imponendo le CC alla PSF
ribaltata rispetto a ogni direzione.
• Con il re-blurring si risolve A′ Af = A′ g invece di AT Af = AT g.
• Il re-blurring sostituisce l’operatore di trasposizione con quello di
correlazione.
• Nel caso 1D: A′ = JAJ e quindi:
• A′ = AT per CC zero Dirichlet e periodiche,
• A′ 6= AT per CC riflettenti con PSF non simmetrica (per PSF
simmetrica A′ = AT ) e CC antiriflettenti anche per PSF simmetrica.
• Se la PSF è simmetrica A′ = A e quindi si superano i problemi
computazionali!
[M. D., C. Estatico, A. Martinelli, S. Serra Capizzano, IP, 2006]
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L’algebra Antiriflettente e applicazioni
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L’algebra Antiriflettente
Regolarizzazione mediante re-blurring
L’origine del re-blurring
Il modello continuo
g (x) = (Kf )(x) =
M. Donatelli (Università dell’Insubria)
Z
k(x − y )f (y )dy
L’algebra Antiriflettente e applicazioni
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L’algebra Antiriflettente
Regolarizzazione mediante re-blurring
L’origine del re-blurring
Il modello continuo
g (x) = (Kf )(x) =
Z
k(x − y )f (y )dy
Equazioni normali
1
Discretizzazione e imposizione delle CC
2
Determinazione della soluzione ai minimi quadrati
M. Donatelli (Università dell’Insubria)
L’algebra Antiriflettente e applicazioni
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L’algebra Antiriflettente
Regolarizzazione mediante re-blurring
L’origine del re-blurring
Il modello continuo
g (x) = (Kf )(x) =
Z
k(x − y )f (y )dy
Equazioni normali
1
Discretizzazione e imposizione delle CC
2
Determinazione della soluzione ai minimi quadrati
Re-blurring (1 ↔ 2)
1
Determinazione della soluzione ai minimi quadrati
2
Discretizzazione e imposizione delle CC
M. Donatelli (Università dell’Insubria)
L’algebra Antiriflettente e applicazioni
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L’algebra Antiriflettente
Regolarizzazione mediante re-blurring
Alternativa al re-blurring
• Proposta da M. Christiansen e M. Hanke, SISC, in stampa.
• Caso 1D:
1 si ricostruiscono esattamente le due frequenze relative all’autovalore 1,
2 la parte restante (n − 2) × (n − 2) è diagonalizzabile mediante DST-I e
viene regolarizzata con le tecniche classiche.
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L’algebra Antiriflettente e applicazioni
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L’algebra Antiriflettente
Regolarizzazione mediante re-blurring
Alternativa al re-blurring
• Proposta da M. Christiansen e M. Hanke, SISC, in stampa.
• Caso 1D:
1 si ricostruiscono esattamente le due frequenze relative all’autovalore 1,
2 la parte restante (n − 2) × (n − 2) è diagonalizzabile mediante DST-I e
viene regolarizzata con le tecniche classiche.
• Caso 2D:
1 si ricostruiscono esattamente i quattro angoli,
2 si regolarizzano i 4 problemi 1D dei bordi,
3 si regolarizza l’immagine interna (senza bordo) mediante DST-I
bidimensionali.
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L’algebra Antiriflettente e applicazioni
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L’algebra Antiriflettente
Regolarizzazione mediante re-blurring
Alternativa al re-blurring
• Proposta da M. Christiansen e M. Hanke, SISC, in stampa.
• Caso 1D:
1 si ricostruiscono esattamente le due frequenze relative all’autovalore 1,
2 la parte restante (n − 2) × (n − 2) è diagonalizzabile mediante DST-I e
viene regolarizzata con le tecniche classiche.
• Caso 2D:
1 si ricostruiscono esattamente i quattro angoli,
2 si regolarizzano i 4 problemi 1D dei bordi,
3 si regolarizza l’immagine interna (senza bordo) mediante DST-I
bidimensionali.
• Per valori di rumore non troppo elevati si hanno risultati
qualitativamente comparabili al re-blurring.
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L’algebra Antiriflettente e applicazioni
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L’algebra Antiriflettente
Regolarizzazione mediante re-blurring
Implementazione del re-blurring con l’algebra AR
Data la seguente decomposizione spettrale di A
A = Tn Dn Tn−1 ,
Tn =
t1 t2 · · ·
tn
,
Tn−1

t̃T
1


=  ... 
t̃T
n

la soluzione regolarizzata mediante tecniche di filtraggio è
freg =
n
X
i =1
φi
t̃T
i g
ti ,
di
dove i fattori di filtro φi sono
1
if di ≥ δ,
tsvd
φi
=
0
if di < δ
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Dn = diag(di )
e
φtik
i =
L’algebra Antiriflettente e applicazioni
di2
, λ > 0,
di2 + λ
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L’algebra Antiriflettente
Regolarizzazione mediante re-blurring
Osservazioni
• Ponendo φ1 = φn = 1 si ottiene la tecnica precedente.
• Per la TSVD entrambe calcolano la stessa soluzione, mentre per
Tikhonov le due soluzioni saranno tanto più vicine quanto più λ è
piccolo.
• L’estensione multidimensionale segue direttamente mediante prodotto
di Kronecker come per le CC periodiche e quelle riflettenti.
• I vettori ti e t̃i non sono le colonne di una matrice unitaria ma
“quasi” ⇒ la trasformata antiriflettente e la sua inversa sono stabili.
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L’algebra Antiriflettente e applicazioni
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Risultati numerici
Outline
1 Ricostruzione di immagini sfuocate
Condizioni al contorno 1D: segnali
Condizioni al contorno 2D: immagini
2 L’algebra Antiriflettente
Definizione dell’algebra Antiriflettente
Regolarizzazione mediante re-blurring
3 Risultati numerici
4 Conclusioni
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L’algebra Antiriflettente e applicazioni
23 / 29
Risultati numerici
Regolarizzazione alla Tikhonov
Tikhonov classico per CC riflettenti:
(AT A + µI )f = AT g
e la sua versione con re-blurring per le CC antiriflettenti:
(A′ A + µI )f = A′ g.
20
10
50
40
60
20
100
80
30
100
150
120
40
140
200
160
50
180
250
60
50
100
150
200
Immagine vera
M. Donatelli (Università dell’Insubria)
250
10
20
30
40
50
60
PSF Gaussiana
L’algebra Antiriflettente e applicazioni
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Immagine sfocata
24 / 29
Risultati numerici
Errore di ricostruzione
Errore di ricostruzione relativo (RRE) definito come kf̂ − fk2 /kfk2 ,
dove f̂ è l’approssimazione calcolata della soluzione vera f.
SNR
∞
50
40
30
20
10
Riflettenti
0.1974
0.1974
0.1980
0.2056
0.2174
0.2458
Antiriflettenti
0.1815
0.1839
0.1900
0.2031
0.2175
0.2500
SNR = 20 log10 kgb k2 /||ν||2 , dove gb è l’immagine sfocata senza rumore e
ν è il rumore
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L’algebra Antiriflettente e applicazioni
25 / 29
Risultati numerici
Ricostruzione con SNR = 40.
Immagini
ricostruite
=⇒
Residui
scalati
=⇒
20
20
40
40
60
60
80
80
100
100
120
120
140
140
160
160
180
180
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Riflettenti
M. Donatelli (Università dell’Insubria)
L’algebra Antiriflettente e applicazioni
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Antiriflettenti
26 / 29
Risultati numerici
RRE vs µ
CC − Antiriflettenti e −− Riflettenti
−0.3
10
−0.3
10
−0.4
−0.4
10
10
−0.5
10
−0.5
10
−0.6
10
−0.6
10
−0.7
10
−6
10
−5
10
−4
10
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
−4
10
−3
10
SNR= 50
M. Donatelli (Università dell’Insubria)
−2
10
−1
10
0
10
SNR= 30
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27 / 29
Conclusioni
Outline
1 Ricostruzione di immagini sfuocate
Condizioni al contorno 1D: segnali
Condizioni al contorno 2D: immagini
2 L’algebra Antiriflettente
Definizione dell’algebra Antiriflettente
Regolarizzazione mediante re-blurring
3 Risultati numerici
4 Conclusioni
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28 / 29
Conclusioni
Conclusioni
• Le CC antiriflettenti con reblurring hanno le stesse proprietà
computazionali delle CC riflettenti ma permettono di ottenere
ricostruzioni qualitativamente migliori.
• L’importanza di avere buone CC aumenta quando la PSF ha un
supporto largo e il rumore non è troppo elevato.
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