+ r - UnivPM

FISICA SPERIMENTALE II
Esercitazione n° 7
(C.L. Ing. Mecc. A/L)
(Prof. Gabriele Fava) A.A. 2010/2011
Campi magnetici e forze magnetiche nel vuoto
1.
Due fili rettilinei indefiniti, fissi e paralleli, posti a distanza d, sono percorsi dalle
correnti i1 e i2 rispettivamente. Nel piano che li contiene e fra essi si trova un terzo
filo indefinito, parallelo ai primi due, libero di spostarsi sul piano stesso, nel quale
fluisce la corrente i3 . Discutere le condizioni di equilibrio del terzo filo.
Le correnti i1 e i2 debbono essere equiverse, in caso
contrario il terzo filo non potrebbe mai essere in
equilibrio: sarebbe, infatti, attratto dal filo 1 e
respinto dal 2, o viceversa.
Stabilito ciò, occorre considerare:
CASO (a): i3 è equiversa con i1 e i2
CASO (b): i3 è controversa rispetto a i1 e i2
d-x
x
d
1
3
2
CASO (a): i3 è equiversa con i1 e i2
F13
i1
F23
i3
F13 
 0 i1i3
l3
2 x
F23 
0 i2i3
l3
2 d  x
i2
d-x
x
d
Per l’equilibrio: F13 = F23
i1
i
 2
x dx
(1) L’equilibrio del filo 3 non dipende da i3
d i1
x

da cui:
i1  i2
(2) L’equilibrio del filo 3 non dipende da l3
(3) L’equilibrio del filo 3 è instabile
1
CASO (b): i3 è controversa rispetto a i1 e i2
F23
i1
F13
i3
F13 
 0 i1i3
l3
2 x
F23 
0 i2i3
l3
2 d  x
i2
d-x
x
d
Per l’equilibrio: F13 = F23
x
d i1
i1  i2
L’unica differenza con il caso precedente è che ora l’equilibrio del filo 3 è
stabile.
2.
Una spira quadrata di lato a è vincolata sul piano del foglio a distanza y 0 da un filo
rettilineo indefinito, percorso dalla corrente i 1 , situato sullo stesso piano
parallelamente a un lato della spira stessa. Quando la spira è percorsa da una
corrente i2 essa è attratta con una forza F dal filo. Trascurando il peso della spira,
determinare valore e verso di i2 . Calcolare il lavoro necessario per traslare la spira
a una distanza doppia dal filo.
FPQ
P
Q
a
FSP
FRQ
i2
S
R
y0
FSR
i1
 Dal testo si sa che la forza è attrattiva, quindi in SR la corrente i2 deve
essere concorde con i1;
 per ragioni di simmetria le quattro forze sono applicate nei punti medi di
ciascun lato; inoltre le forze FSP e FRQ, formanti una coppia di braccio a,
farebbero ruotare la spira se essa non fosse vincolata sul piano;
2
 si ha:
FSR 
 0 i1i2
a
2 y 0
 per cui R  FSR  FPQ
FPQ 
 0 i1i2
a
2 y0  a ;
 0 i1i2  1
 0 i1i2
1 
a2
 
a 

 F;
2  y 0 y 0  a 
2 y 0  y 0  a 
2 y 0  y 0  a 
i

F
 la corrente i2 vale: 2
.
 0 i1
a2
 Infine il lavoro fatto per allontanare la spira vale:
L
2 y0

y0
 0 i1i2 a 2
F dy 
2
2 yo

y0
 0 i1i2 a 2 1 
 i i a 2 y0  a 
dy
y 

ln
 0 1 2 ln


y y  a 
2 a  y  a  y0
2
2 y0  a
2 y0
3. In un piano verticale si trovano una spira quadrata di lato l, percorsa da una
corrente i1 = 1 A ed un filo rettilineo indefinito, fisso e percorso, come indicato in
figura, dalla corrente i2 = 2 A. (a) Sapendo che la spira è in equilibrio nella
posizione indicata, determinarne la massa. (b) Calcolare il modulo delle forze che
agiscono sui lati verticali.
O
i2
l
A
B
l
x
i1
D
C
3
Il campo magnetico generato da i2 entra nel piano della figura. Le
forze esercitate dal C.M. sui due lati verticali della spira sono uguali
ed opposte, mentre quelle che agiscono sui lati orizzontali sono
opposte, ma di modulo differente perché essi si trovano a diversa
distanza dal filo.
FAB
X B
FAD
FBC
FDC
P
(a)
La spira è in equilibrio quando FAB = FDC + P. Si ha:
FAB 
m
 0 i1i 2
l;
2 l
FDC 
0 i1i2
 2  10 8 kg .
4 g
0 i1i2
l ; P = mg. Si ricava
2 2l
(b)
O
i2
l
A
B
l
x
i1
D
dx
dFBC
C
Su un tratto infinitesimo dx di BC agisce la forza dFBC 
avendo indicato con x la sua distanza dal filo.
Integrando si ottiene la forza per l’intero lato:
2l
FBC  FAD  
l
 0 i1i2

dx  0 i1i2 ln 2  2,8 10 7 N
2 x
2
4
 0 i1i 2
dx ,
2 x
4.
Una spira quadrata di lato a = 20 cm, percorsa
dalla corrente i = 5 A in verso


antiorario, è situata nel campo magnetico B    x  u z , con α = 0,2 Wb/m3.
Calcolare la forza che agisce sulla spira e la energia potenziale magnetica della
spira stessa.
z
y
S
R
i
P
Q
x
 La forza sul lato PS è nulla perché per tutti i punti dell’asse y la x vale
zero e, dunque, anche B = 0;
 Lungo il lato QR il campo B è costante e vale B = α a, cosicché
FQR = i a α a ux = i α a2 ux;
 Lungo il lato PQ si ha dFPQ = i dl B = i dx α x e quindi
a
 x2 
i a 2
  i x dx  i  
2
 2 0
0
a
FPQ


i a 2 
FPQ  
u y   FSR
2
 La forza totale agente sulla spira vale, dunque:
 

F  FQR   i a 2 u x
di modulo F = 0,04 N
 Il momento magnetico di una porzione elementare di spira vale
dm = i dS = i a dx per cui dU = - dm B = - i a dx α x
i a 3
U    i a  x dx  
 4  10 3 J
2
0
a
e in definitiva
5
5.
In due conduttori rettilinei, indefiniti e paralleli, posti a distanza 2a, fluiscono
correnti di eguale intensità e di verso opposto. Una spira circolare di raggio molto
piccolo rispetto ad a si può muovere lungo l’asse del segmento 2a ortogonale al

piano contenente i due conduttori. Essa ha momento magnetico m parallelo ed
equiverso con tale asse.
Determinare la forza agente sulla spira.
i1 = i2 = i in versi opposti
B1y = - B2y
B1 = B2 = B
cosα = a / r
r2 = x2 + a2
BRy = 0
BRx  2 B cos   2
B1x = B2x ; B1x = B2x = B cosα
In definitiva:
m = i’ S ux
BRx 
0 i
cos 
2 r
0ia
0 i
 i a 0ia
cos   0


 r
 r r r 2  x 2  a 2 
Date le piccole dimensioni della spira, possiamo considerare che il campo BRx
generato da i1 e i2 abbia lo stesso valore in tutti i punti appartenenti al piano
della spira, per cui:
 
m0ia
U  m  BRx   mBRx  
 x2  a2


La forza a cui la spira è soggetta vale:
Fx  
m0ia
dU
2x

dx

x2  a2


2
La forza è attrattiva e si annulla per x = 0 e quel punto rappresenta per la spira
una posizione di equilibrio stabile, dato che in esso U(x) ha un minimo.
6
6.
Una spira circolare di area S = 10 cm2, in cui fluisce la corrente i = 1 A, è immersa
in un campo magnetico uniforme di intensità B = 0,5 T e può ruotare attorno a un
suo diametro ortogonale al campo B . Se la normale al piano della spira forma con
le linee di campo un angolo di: (a) 135° ; (b) 180°, a quale momento meccanico è
sottoposta la spira nei due casi? E nel caso (b) l’equilibrio è stabile?
m=iSn
momento magnetico
M = m × B momento meccanico
i
m
·B
CASO (a)
M = mBsen 135° = iSBsen 135° = 3,5 ∙ 10 – 4 N m
m
135°
Tale momento fa ruotare la spira in modo che
B
m si orienti come B.
CASO (b)
180°
·
m
B
M = 0, la spira è in una posizione
di equilibrio instabile dato che la
sua energia potenziale in quella
posizione ha un massimo.
Infatti: U = - m · B = mB.
L’equilibrio stabile si ha nella seguente configurazione
m
7
B
7.
L’equazione ammette due soluzioni di cui solo y = 0,11 m è accettabile.
8
8.
Dato che le dimensioni della spira sono trascurabili in confronto alla sua
distanza dai fili, si può considerare che il campo magnetico sia lo stesso su tutti i
suoi punti:
Il momento magnetico della spira vale:
  
M
 mxB  0 perché i due vettori sono paralleli, perciò la spira
Attenzione
trasla e non ruota.
L’energia potenziale della spira è data da:
e la forza a cui è soggetta la spira sarà:
Il segno meno sta ad indicare che la forza è attrattiva e con il valore assegnato di
F si ricava:
9
9. Due fili conduttori rettilinei indefiniti, percorsi da correnti eguali i 1 = i2 = 2 A,
sono disposti perpendicolarmente come in figura e la loro distanza è b = 5 cm.
Calcolare il momento MO rispetto al polo O delle forze agenti sul tratto del secondo
conduttore di lunghezza l = 2b con gli estremi disposti simmetricamente rispetto al
punto O.
B1
r
θ
2b
Il campo generato dalla corrente i1 nel generico punto P del secondo
 0 i1
b
conduttore è B1 P  
, dove r 
.
cos 
2 r
La forza che agisce su un tratto infinitesimo dl del conduttore 2 è data
 

da: dF  i 2 dl  B1
dF  i 2 dlB1sen .
Il momento di questa forza rispetto al polo O vale:



dM O  OP  dF
dM O  r sen dF 
0
i1i2 sen 2 dl .
2
b
dl

d e in definitiva
Ora, essendo l  b tg , di ha:
cos 2 
 4
0

i1i2 b  tg 2 d .
dM O  0 i1i2 b tg 2 d , per cui M O 
2
2
 4
Integrando si ottiene:
MO 
0



 4
i1i2 b tg    4  0 i1i2 b  2    1,7  10 8 Nm
2
2
2

10
10. Sono dati un filo conduttore rettilineo indefinito percorso da corrente i 1 ed un
tratto di filo AB di lunghezza l percorso da corrente i2 , formante un angolo θ con il
filo indefinito. Sapendo che la distanza minima tra i due fili è D, determinare la
forza che il filo indefinito esercita sull’altro filo.
dF
dl
x
Il C.M. generato da i1 sul tratto infinitesimo dl entra nel piano di
 0 i1
B

figura e vale 1
.
2 x
Tenendo conto che dl = dx / senθ si ha:

1
F   i 2 dl B1  i 2 0 i1
2 sen
A
B
D  lsen

D
 ii
dx
 D  l sen 
 0 1 2 ln 

x 2 sen 
D

11. Una spira rettangolare, di peso trascurabile e di lati l 1 = 6 cm e l2 = 5 cm,
disposta in un piano verticale, è immersa in un C.M. orizzontale B = 0,2 T e può
ruotare attorno ad uno dei lati verticali di lunghezza l1 .
Nella spira circola una corrente i = 2A, ed essa è in equilibrio quando l’angolo tra
il campo B e la normale alla spira stessa è α = π / 6.
Calcolare :
(a) la forza agente su ciascun lato della spira;
(b) il momento meccanico delle forze esterne necessario a mantenere la spira nella
posizione di equilibrio indicata;
(c) Il flusso del vettore B attraverso la spira.
11
l1
F14
F12
Sul lato A1A4 agisce la forza, diretta nel verso positivo dell’asse x, di
modulo F14 = i l1B = 2,4∙10-2 N, mentre sul lato opposto agisce una
forza F23 di verso opposto e di pari valore.
Queste due forze formano una coppia di braccio b = l2 senα che tende
a far ruotare la spira attorno all’asse z in verso antiorario.
Anche sui lati orizzontali agiscono due forze eguali e contrarie, coppia
di braccio e momento nulli, che tendono a deformare la spira, senza
risultato se essa è rigida:
F12 = F34 = i l2 B sen π/3 = 1,7 ∙ 10-2 N
a) La coppia F14 , F23 ha momento M = i l1B l2 senα = 0,6∙10-3 Nm che
tende a diminuire l’ampiezza dell’angolo α per portare la normale
della spira nello stesso verso del campo B, così che il sistema assuma
una posizione di equilibrio stabile.
Quindi, per mantenere la spira nella posizione indicata, le forze
esterne devono avere un momento opposto a quello della coppia in
questione.
b) Dato che il campo magnetico B è uniforme e che la superficie della
spira vale S = l1 l2 , si ha:


 
 S B   B  n dS  B cos   dS  l1l2 B cos   5,2 10 4 Tm2  5,2 10 4 Wb
S
S
12
12. Una spira circolare di raggio r = 10 cm, percorsa da una corrente i = 1,5 A, si
trova in un campo magnetico uniforme parallelo al piano della spira B = 0,1 T.
Essendo A1A2 il diametro della spira perpendicolare al C.M.
(a) calcolare la risultante delle forze magnetiche agenti su metà della spira avente
per estremi i punti A1 e A2 ;
(b calcolare il momento originato dalle forze agenti sull’intera spira ;
(c) successivamente la spira viene fatta ruotare intorno al diametro indicato.
Determinare il lavoro compiuto dalle forze magnetiche in corrispondenza a un giro
completo della spira stessa.
i
x
(a)
La forza agente sull’arco infinitesimo ds = r dθ è diretta secondo

 

l’asse x e vale dF  i ds  B dove il vettore ds ha direzione e
verso coincidenti con quelli della corrente i .
La forza che agisce sulla metà a destra della spira vale allora:
 2
 2
3

Fx   i r d B sen       i r B   cos   d  2 i r B  3  10 2 N
2

 2
 2
(b)



Le forze dF e dF1  dF agenti sui due tratti infinitesimi indicati
in figura formano una coppia che tende a far ruotare la spira
attorno all’asse z e in verso antiorario. Di conseguenza è:
 2

2
M z   2 r cos dF  2 i r B  cos 2 d   i r 2 B  4,7  10 3 Nm
 2
13
(c) Se l’angolo α tra il C.M. e la normale alla spira ha un valore
qualunque, invece del π/2 attuale, il valore del momento meccanico si
modifica per un valore senα e vale M z   i r B sen , per cui il
lavoro compiuto dalle forze magnetiche in corrispondenza a un giro
completo della spira risulta pari a :
2
L  ir B
2
2

sen d  0
0
13. Due spire circolari, concentriche e complanari, hanno rispettivamente raggio
r1 e r2 = r1 /2 la prima delle quali è percorsa dalla corrente i 1 in vero orario.
determinare la corrente i2 che deve percorrere la seconda spira affinché sia nullo
il campo B situato sull’asse delle due spire a distanza z = r1 dal centro.
z
r2
i1
r1

B
Il campo prodotto lungo l’asse da una spira vale z  

0i r 2
2 r z
2
2

3
2
uˆ z .
Nel nostro caso si avrà:
B1 r1  
 0 i r12

2 2r12

3

2
 0 i1
2
5
2
r1
; B2 r1  2r2  

 0 i2 r22
2 r22  4r22

3

2
 0 i2
3
5 2 r1
.
Per realizzare la condizione richiesta occorre che B1 + B2 = 0 , da cui
si ricava i 2  
5
2
3
5
2
2
i1  1,98 i1 , dove il segno meno indica che la
corrente circola in verso antiorario.
14
14. Due spire circolari, entrambe di raggio a, percorse da correnti di eguale
intensità I nello stesso verso, sono poste, con i loro piani paralleli, a distanza b.
Determinare il campo B al centro di ciascuna spira.
In un generico punto P dell’asse z si ha:
B1 z  

0 I a 2
2 a z
2
2

3
;
2
B2 z  
0 I a 2

2 a 2  b  z 2

3
.
2
In totale si ha:
BP   B1 z   B2 z  
0 I a 2 
2
1

 a 2  z 2


3

2
1


3
2 .

a  b  z  
2
2
Il campo in O vale:
BO   Bz  0 
0 I a 2  1
2

 3

3
2
2
2
a


a b
1


Il campo in O' vale:
BO'  Bz  b  
0 I a 2 
2
1

 a 2  b 2


3
2
1
 3
a 

N.B. B(O) = B(O’), come era evidente per ragioni di simmetria.
15
15. Due anelli isolanti, concentrici e complanari, carichi con eguale carica q
hanno rispettivamente raggio r1 e r2 = r1 /2. Sapendo che l’anello di raggio r1 ruota
con velocità angolare ω1 = 200 rad/s, determinare il valore ω2 della velocità
angolare dell’altro anello e il verso di rotazione tali che il C.M. al centro del
sistema sia nullo.
r2
ω1
r1
L’anello a causa della sua rotazione equivale ad una spira percorsa
q q
dalla corrente i  
dove T è il periodo di rotazione. Pertanto il
T 2
 0 i  0 q
B


C.M. al centro di un anello carico ruotante vale :
2r
4r .
 0 q1
 0 q2
B

B

1
2
Nel nostro caso
4r1 ;
4r2
il campo al centro, si deve avere B1 + B2 = 0 :
0 q1 0 q2

0
4r1
4r2
e dovendo essere nullo
r2
1  100 rad / s ,
cioè
r1
rotazione in senso opposto alla prima, come era prevedibile.
 2  
16
una
−6
16. Una sfera conduttrice di raggio R = 10 cm carica con q = 10 C ruota con
velocità angolare ω = 10 3 rad/s attorno a un diametro. Calcolare il campo
magnetico al centro della sfera e il momento magnetico della stessa.
dS
R
C
θ
r
x
H
ω
La striscia infinitesima della superficie sferica tra θ e θ + dθ ha una
superficie pari a dS = 2πr ∙ R dθ = 2πR senθ ∙ R dθ = 2πR2 senθ dθ.
q
dq


dS

dS , per cui la
La carica presente su di essa è
2
4 R
striscia ruotante con periodo T equivale a una spira circolare percorsa
da corrente di 
dq 
q

dq 
sen d .
T 2
4
Nel punto C dell’asse della spira il campo magnetico vale:
dB 
 0 di
2
x
r2
2
r
2

3
ed essendo r = R senθ , x2 + r2 = R2 si ottiene
2
0 q
sen3 d .
2 R 4
0 q 
0 q
3
B

sen

d


 6,67  10 10 T .

In conclusione
8R 0
6R
dB 
Il momento magnetico infinitesimo vale dm = π r2 di . Integrando si ha:

1
1
m  qR 2  sen3 d  qR 2  3,33 106 Am 2 .
4
3
0
17
17. Un guscio cilindrico indefinito, di raggio R = 10 cm, uniformemente carico con
densità superficiale σ = 20 μC / m 2, ruota attorno al proprio asse con velocità
angolare ω = 50 rad / s, Determinare il valore del C.M. generato all’interno del
guscio, sapendo che esso all’esterno è nullo.
l
Risolviamo il problema utilizzando il Teorema di Ampère .
Consideriamo il percorso chiuso in figura che, essendo attraversato da
cariche in moto, concatena una corrente. Il cilindro è assimilabile a
una infinità di spire sovrapposte o a un solenoide indefinito.
In ogni caso il campo è presente solo all’interno del guscio e le linee di
campo sono parallele al suo asse.
Per questo la circuitazione fornisce risultato non nullo solo sul tratto
verticale interno al guscio: infatti all’esterno il campo B è nullo,
mentre i tratti orizzontali sono perpendicolari al campo stesso.
Si ha quindi: Bl = μ0 il .
La carica che in un tempo pari al periodo T = 2π/ω attraversa il
QT
i

  l R ,
rettangolo è QT = σ ∙ 2πR ∙ l, per cui la corrente vale: l
T
0il
 0  R  1,26  10 10 T .
e il campo vale B 
l
N.B. In alternativa si può calcolare B, pensando a un solenoide, suddividendo il
cilindro in N anelli, ciascuno dei quali percorso dalla corrente
ianello 
il
1
N
  l R  . Il campo vale allora: B  0ianello  0  R.
N
N
l
18
18.
Si abbia un sistema costituito da un cilindro conduttore cavo indefinito, di raggi R1
= 1 cm e R2 = 5 cm, percorso da una corrente di densità J = 80 A / m 2 e da un filo
conduttore rettilineo posto in corrispondenza dell’asse del cilindro e percorso da
una corrente i = 0,1 A di verso opposto rispetto a J.
Determinare a che distanza dall’asse del cilindro il C.M. è nullo.
Risolviamo il problema utilizzando il Teorema di Ampère , calcolando
la circuitazione del campo B lungo una circonferenza perpendicolare
all’asse del cilindro, con centro sul filo, raggio r compreso tra R1 e R2:
 
 B  dl  2 rB  0iconcatenate  0 i  JS  dove S = π (r2 − R12).
2
2
2
Imponendo B = 0 si ottiene i  J r  R1   r  R1 
19
i
 2,23 cm .
J
19. Si abbia un sistema costituito da un cilindro conduttore cavo indefinito, di raggi
R1 = 3 cm e R2 = 5 cm, percorso da una corrente di densità J = 530 A / m 2 e da un
filo conduttore rettilineo posto all’interno del cilindro a distanza d = 2 cm dall’asse
del cilindro stesso e percorso da una corrente i = 2 A di verso opposto rispetto a J.
Determinare sull’asse x il punto X esterno al cilindro in cui il C.M. è nullo.
y
X−d
d
J
x
i
X
x
Calcoliamo il campo generato dal cilindro all’esterno di esso mediante
una circuitazione lungo una circonferenza di raggio X > R2
perpendicolare all’asse del cilindro e concentrica con questo.
 
2
2
B

d
l

2

XB


i


J

R

R
da cui si ottiene:
0 concatenata
0
2
1

0 J R22  R12 
B
(diretto secondo l’asse y).
2 X


Nel punto X il campo dovuto al filo vale :
B filo 
In definitiva
0 i
2  X  d  (diretto nel verso negativo dell’asse x).
BTOT
0 i
0 J R22  R12 


 0 da cui:
2 X
2  X  d 


J d R22  R12
X
 8 cm
2
2
J R2  R1  i
 
 
20
20. Un nastro conduttore indefinito di larghezza a = 4,5 cm è percorso dalla
corrente i = 6 A. Calcolare il C.M.:
(a) in un punto P’ situato sul piano del nastro a distanza d = 12 cm dal bordo più
vicino al nastro stesso;
(b) in un punto P distante d dal piano del nastro e situato sulla perpendicolare al
nastro stesso tracciata sulla sua mediana.
z
dy
i
O
P
y
d
d
P’
y
x
a
a) Dividendo il nastro in elementi infinitesimi dy, ciascuno di essi,
 0 di
dB

percorso da corrente di , genera in P’ il campo
2 y .
Assumendo che la densità di corrente sia uniforme, si può scrivere
 i dy
di i
 per cui: dB  0
2 a y .
dy a
Integrando si ottiene il campo totale:
d a
B

d
 0 i dy  0 i d  a

ln
 8,6 10 4 T .
2 a y 2 a
d
21
b) Indicando con r la distanza di P dalla striscia infinitesima dy,
con y la distanza di questa da O, e tenendo conto che per ognuna
di esse ne esiste un’altra simmetrica rispetto ad O, il campo B
risulta essere perpendicolare all’asse x, cioè diretto lungo l’asse
y. Si ha la situazione in figura.
Si ha:
r
a di i
d
 0 i dy
cos 
; 0 ≤ α ≤ α0 ;  0  arctg
; dy  a ; dB  2
2 a r
2d
cos 
Dato che y = d tgα
dB 
Infine B 
dy  d
1
d per cui:
cos 2 
0 i
0 i
1
cos 
d
d

cos


d .
 a cos 2 
d
 a
0
0 i
0i
a
d


arctg
0  a
a
2d .
22