5.Fisica dei moti circolari e periodici

5
Capitolo
Fisica dei moti
circolari e periodici
1. Il moto circolare
Quali sono le caratteristiche del moto circolare?
Una particella si dice animata di moto circolare quando la sua traiettoria è una circonferenza. Lo studio di questo tipo di moto avviene individuando due direzioni
istantanee, cioè due rette orientate che cambiano ad ogni nuova lettura di cronometro. Si tratta della direzione radiale, lungo la semiretta che esce dal centro della circonferenza verso la posizione del punto che si sta muovendo; e della direzione tangenziale, sulla retta tangente alla circonferenza, orientata nel verso del moto e perpendicolare alla direzione radiale.
direzione
tangenziale
direzione
radiale
Quali sono direzione e verso della velocità nel moto circolare?
Quando una particella descrive una traiettoria curva, e una circonferenza in particolare, per capire la direzione della velocità possiamo immaginare che d’improvviso
scompaiano tutte le forze in azione. La particella si troverebbe allora nella condizione
contemplata dalla legge d’inerzia, la quale prevede che, in assenza di forze, il moto
segua una linea retta. Si tratta della retta tangente alla traiettoria, che per definizione viene assunta come direzione della velocità in quel dato istante.
Che cosa sappiamo di sbagliato riguardo al moto circolare?
Prima di iniziare l’analisi del moto circolare, è necessario rimuovere due idee errate
che nei secoli si sono radicate, e che costituiscono un ostacolo alla comprensione di
questo fenomeno.
•
•
prima idea errata: un oggetto può seguire una traiettoria circolare senza che vi sia
un ” binario” di qualche tipo che lo costringa a farlo.
seconda idea errata: un oggetto in moto circolare tende ad essere scagliato verso
l’esterno, in direzione radiale, dall’azione di una forza detta “centrifuga”.
127

v

v
Perché occorre un “binario” per sostenere il moto circolare?
SI

v

N

N

v
stesso valore perché non sta accelerando in intensità. Poiché il secondo principio prevede che possa aver luogo un’accelerazione unicamente in presenza di una forza,
ne deduciamo che nel moto circolare occorre una forza anche solo per cambiare ogni
istante la direzione alla velocità. Come vedremo nel dettaglio, si tratta di una forza in
direzione radiale, che punta sempre verso il centro della circonferenza: ne sono
esempi la forza normale esercitata da un binario curvo, oppure la tensione di una
corda legata al centro della circonferenza. Nella figura a lato, là dove il binario (in
un piano orizzontale) si interrompe, la pallina prosegue con un moto in linea retta
lungo la direzione tangenziale istantanea, dato che è venuta meno la forza normale
che la costringeva a curvare. Allo stesso modo, è rettilinea la traiettoria seguita da
una pallina che gira su di una circonferenza legata a una corda, quando la corda viene tagliata. È, infatti, impossibile che una sola azione iniziale imprima a un corpo un moto
curvilineo: le traiettorie curve in figura sono una credenza ingenua.
visto dall 'alto
SI
NO
La prima delle due concezioni errate risale agli antichi Greci, i quali ritenevano il moto circolare la traiettoria perfetta, perché pensavano fosse seguita dagli oggetti celeNO sti. Essendo perfetta, la traiettoria circolare doveva essere una condizione naturale
per i corpi, “incorruttibile”, cioè capace di sostenersi autonomamente e immutabile
nel tempo. Da Galileo in poi sappiamo che questo ruolo “privilegiato” spetta al moto
rettilineo uniforme, il solo a proseguire indefinitamente senza che debba intervenire
alcuna forza, e che per tale caratteristica viene addirittura considerato uno stato. Vi
v
ceversa, muoversi lungo una traiettoria curva significa cambiare in ogni momento la
direzione della velocità. Mutare velocità, anche se solo in direzione e non in intensità,
vuol dire accelerare: una macchina che curvi con velocità di modulo costate

|v | = 30 km/h , sta accelerando in direzione, anche se il tachimetro segna sempre lo
Perché non esiste una “forza centrifuga”?

v
direzione
radiale
istantanea
goccia

Ty

T
"forza
centrifuga"

Tx

W
Come sappiamo dalla terza legge della dinamica, non esistono forze solitarie, ma soltanto
interazioni fra coppie di oggetti. Ogni forza deve avere due “attori”: un soggetto che la
esercita (e che a sua volta subisce un’azione uguale e contraria), e uno che la subisce. Ora,
è nota a tutti la sensazione (illusoria) di essere scagliati verso l’esterno, in direzione radiale, quando la nostra auto percorre un arco di curva. Ma si deve escludere che questa sensazione sia dovuta all’azione di una forza, semplicemente perché non esiste alcun soggetto
che esercita questa forza. Chi esercita la “forza centrifuga”? Non c’è risposta a questa domanda. Un passeggero su di un’auto in curva crede di essere tirato verso l’esterno, ma in
realtà mantiene soltanto la stessa direzione di velocità, che come abbiamo detto è in ogni
istante tangente alla traiettoria circolare. Se non ci fosse l’auto, egli volerebbe in direzione
tangenziale non appena inizia la curva. Nel frattempo invece, la macchina gli si muove
sotto e intercetta continuamente la sua traiettoria rettilinea forzandolo verso il centro.
Come si vede in figura, lo spostamento dell’auto crea una valutazione errata, per cui egli
pensa di essere scagliato verso l’esterno, e invece non sta seguendo affatto la direzione
radiale istantanea. Il meccanismo è lo stesso di quando l’auto frena, ed il passeggero
prosegue il moto in avanti con la medesima velocità di prima della frenata. Analogamente, quando l’auto accelera, al passeggero sembra di essere tirato indietro, ma sta solo proseguendo con la velocità che possedeva prima, mentre è l’auto ad aver cambiato stato di
moto. Questa tendenza a proseguire il moto in direzione tangenziale è responsabile fra le
altre cose, del rigonfiamento della circonferenza del nostro pianeta all’altezza
dell’equatore, dove la velocità di rotazione è massima. Analogamente è il principio usato
dalla “centrifuga” di una lavatrice per asciugare i panni. Come si vede dal disegno però, le
goccioline di acqua non scappano in direzione radiale ma tangenziale, mentre il cestello
continua a ruotare. Infine consideriamo che se nel riferimento in cui vediamo il corpo ruotare1 ci fosse una forza centrifuga, questa potrebbe annullare la forza in direzione radiale e
In realtà la cosiddetta forza centrifuga viene introdotta quando studiamo il problema del moto circolare nel riferimento in cui il corpo non sta ruotando, un approccio che qui non interessa.
1
128
così l’oggetto, in base a quanto previsto dalla seconda legge della dinamica, in quanto sottoposto a forza nulla dovrebbe procedere in linea retta e non lungo una circonferenza!
E’ necessaria una forza anche lungo la direzione istantanea della velocità?
Immaginiamo la pallina di una roulette lanciata dal croupier. Inizialmente la pallina
stava ferma, quindi la mano del croupier ha dovuto esercitare una forza per portarla

fino ad avere velocità v . Come sappiamo dalla seconda legge della dinamica, da
quel momento in poi, in assenza di qualsiasi attrito, non è più necessaria una forza


nella direzione istantanea di v per mantenere la sua intensità | v | costante. D’altro

F?

F
canto non possiamo nemmeno escludere che una tale forza ci sia: ad esempio quando
un’auto percorre una curva, può farlo con velocità di modulo costante, ma anche accelerando in intensità. Allo stesso modo, quando tentiamo di produrre con la mano il
moto circolare in un peso agganciato ad una corda, dobbiamo prima metterlo in moto, esercitando una forza nella direzione della velocità. Poi compiamo due azioni:
mantenendo ferma la mano tiriamo la corda in modo da costringere il peso a descrivere la circonferenza, e ogni tanto dovremo pure dare un colpetto nella direzione
della velocità per compensare l’azione degli attriti e della gravità, che tendono a far
diminuire l’intensità della velocità da noi inizialmente impressa. Nel seguito ci occuperemo della cinematica del moto circolare in cui l’intensità della velocità rimane costante, che chiameremo moto circolare uniforme. Nel moto circolare uniforme, a essere


costante è dunque solo | v | , mentre v cambia ogni istante direzione.

vA
Come possiamo ricavare l’accelerazione lungo la direzione radiale?
Preso un punto in moto circolare uniforme di raggio r , consideriamo un arco di circonferenza AB, e l’intervallo di tempo Dt che occorre al punto per percorrerlo. In
questo stesso tempo il raggio della circonferenza avrà “spazzato” l’angolo J e la ve



locità avrà cambiato direzione passando da vA a vB . Poiché sia vA che vB sono perpendicolari al raggio, se li riportiamo con un’origine comune, è immediato concludere che anche la velocità ha spazzato lo stesso angolo J . Dal metodo di punta-coda

per la somma dei vettori si riconosce subito che il vettore Dv che unisce le punte di



 
 

vA e vB è il vettore differenza, cioè si ha vA + Dv = vB , da cui Dv = vB - vA . Con-

v
A

Ds
B
r
J

vB
O
sideriamo ora il triangolo delle velocità e il triangolo AOB: sono entrambi isosceli e
con un angolo uguale, pertanto sono simili:


| Dv |
|Ds |
=

|v |
r
a

vA

Dv
Dividiamo per Dt ambo i membri e riordiniamo:
J

vB



| Dv |
| v | |Ds |
=
⋅
r
Dt
Dt

Quando l’intervallo Dt tende a zero, sappiamo che il rapporto |Ds | / Dt diviene il


modulo della velocità istantanea | v | , mentre il rapporto | Dv | / Dt , che rappresenta
il modulo dell’accelerazione media, diventa il modulo dell’accelerazione istantanea.
Esercizi
1. La velocità di una particella in moto circolare uniforme, subisce nell’intervallo

Dt = 0.0010 s una variazione tale che il modulo del vettore Dv risulta

| Dv | = 0.010 m/s . Calcolare l’accelerazione media.

Risulta: | Dv | / Dt = (0.010 / 0.0010) m/s2 = 10 m/s2 .

La direzione dell’accelerazione istantanea si mantiene sempre parallela a Dv e così

alla fine risulta perpendicolare a v . Infatti, nel triangolo delle velocità, quando
J  0 si ha a  90 , dovendo la somma rimanere uguale a 180 . La chiamiamo
129

Dv

v
 J  0
vA a  90

vB

aC

quindi accelerazione centripeta aC , in quanto diretta lungo il raggio puntando verso il



centro. Sostituendo nella relazione precedente | Dv | / Dt con | aC | e |Ds | / Dt con

| v | si trova che l’intensità dell’accelerazione centripeta vale:

N
r

v

aC

N
x
 La Controfisica
A volte viene detta “forza centrifuga”.
la forza che fa coppia azione e reazione con la forza centripeta che agisce sull’oggetto. Va però osservato
che una tale forza non appartiene allo
schema di corpo libero dell’oggetto che gira,
ma, se ad esempio abbiamo una massa che gira legata ad una corda, appartiene a quello della corda che la fa
girare. Quindi non va confusa con le
forze che agiscono sull’oggetto. Lo
schema di corpo libero della corda contempla due azioni, quella appunto
dovuta all’oggetto, ed il vincolo del
perno centrale. Poiché ogni punto
della corda si muove di moto circolare, la somma di entrambe fornisce la
forza centripeta che agisce sulla corda.
L’aggettivo “centrifugo” è però abusivo, infatti, chi ha detto che l’oggetto
che la subisce si stia muovendo di
moto circolare? Il centro della corda
lo fa, ma pensiamo invece alle rotaie di
un treno in curva, che esercitano su di
esso una forza centripeta. La forza di
reazione che il treno esercita sulle rotaie non può in nessun caso definirsi
centrifuga perché le rotaie sono immobili. Centrifuga significa infatti “in
fuga dal centro della traiettoria circolare”. Se un corpo è immobile, di quale
traiettoria circolare si parla? Di quella
del treno? Ma la traiettoria di un oggetto non ha nulla a che vedere con la
direzione delle forze cha agiscono su
di un altro.

T

W
a
Esercizi
2. In un piano orizzontale, una pallina di massa m = 0.0500 kg è lanciata in una
guida circolare di raggio r = 0.200 m e percorre un giro in 1.45 s . Assumendo che
il modulo della velocità sia rimasto costante durante il giro, calcolare l’accelerazione
centripeta della pallina e la forza normale esercitata su di lei dalla guida.
y

v

|v |2

| aC | =
r
R
Troviamo innanzitutto il modulo della velocità:

2pr
6.28 ´ 0.200
| v |=
=
m/s = 0.866 m/s
1.45 s
1.45
Fissiamo un riferimento sul piano con l’origine nel centro della circonferenza e consideriamo l’istante in cui la pallina taglia l’asse delle ascisse come in figura. In dire 
zione orizzontale agisce la forza normale, mentre l’accelerazione vale a ( | v | 2/r ; 0 ) :

| v | 2 æç
0.8662 ö÷÷
N x = max  N x = m
= çç0.0500 ´
÷ N = 0.187 N
r
0.200 ÷÷ø
çè
e per l’accelerazione centripeta si ha:

|v |2

0.8662
| aC | =
=
m/s2 = 3.75 m/s2
r
0.200
Cosa s’intende con il termine “forza centripeta” ?
Se una particella di massa m segue un moto circolare uniforme di raggio r , lungo la
direzione radiale istantanea la seconda legge della dinamica si scrive:
å
F =m
r

|v |2
r
Si chiama forza centripeta la somma delle componenti in direzione radiale
åF
r
di
tutte le forze che agiscono su di una particella in moto circolare.
Non si tratta quindi di un nuovo tipo di forza, ma solo del nome che sinteticamente si
assegna alla risultante delle forze che producono l’accelerazione centripeta. Nel precedente esempio la forza centripeta è fornita dalla normale alla guida, in questo caso
l’unica ad agire sulla pallina in direzione radiale. Riflettiamo sul fatto che la forza
normale è una forza passiva, che è in grado di fornire sempre il valore che occorre
per costringere l’oggetto a percorrere la traiettoria circolare di quel raggio con quella
velocità. Se ad esempio il modulo della velocità raddoppiasse, la guida dovrebbe


fornire una forza centripeta m(2 | v |)2 /r = 4m | v |2 /r quattro volte più grande, e così via finché la forza richiesta non divenisse così intensa da piegare la guida stessa. E’
quanto accade ai treni che deragliano per aver tentato di percorrere le curve a velocità superiore al massimo che il binario poteva sopportare senza deformarsi.
Esercizi
3. Una massa m , legata al capo di una fune, viene fatta ruotare da un uomo sopra
alla sua testa. La massa descrive una circonferenza orizzontale di raggio R = 1.30 m
130
e la corda forma sempre uno stesso angolo a con la verticale. Sapendo che la velocità costante di rotazione è 8.50 m/s , calcolare a .

La forza centripeta maC è orizzontale, diretta verso il centro della circonferenza (che
si trova sulla retta verticale passante per la mano dell’uomo), ed è prodotta dalle due
forze che agiscono sulla massa, cioè la tensione ed il peso, sommate vettorialmente,
come si vede applicando la seconda legge in forma vettoriale:



T +W = maC


Dal metodo di punta coda risulta poi che i tre vettori W ed maC sono cateti di un

triangolo rettangolo in cui T è ipotenusa. Come sappiamo, in un triangolo rettango

lo il rapporto fra la misura m |aC | del cateto opposto ad a e la misura |W | del cateto

maC

T
a W

maC
adiacente ad a fornisce la tangente goniometrica dell’angolo:



m | aC | m | v |2 /R
| v |2
8.502
tan a =
=
=
=
= 5.67

mg
Rg
1.30 ´ 9.81
|W |
a = tan-1 (5.67) = 80.0
Come si vede dall’esempio precedente, la forza centripeta può avere le origini più
diverse: la tensione di una corda combinata vettorialmente al peso, produce la forza

centripeta quando si fa ruotare una massa ad un suo capo. Analogamente, la forza
fs
di gravità funge da forza centripeta per tenere la Luna in orbita attorno alla Terra, e
l’attrito statico fra pneumatici ed asfalto fornisce la forza centripeta che serve per far centro
percorrere all’auto una curva. In quest’ultimo caso quindi, osservando il disegno a della
curva
lato avremo che l’attrito statico agirà sulla ruota, oltre che nel verso di avanzamento,
anche in direzione radiale, puntando verso il centro istantaneo della curva. È impossibile quindi far curvare un mezzo con pneumatici su di una superficie priva di attrito come quella di un lago ghiacciato.

fs
Esercizi
4. Una massa m = 0.600 kg agganciata al capo di una fune lunga 0.500 m viene fatta ruotare in un piano verticale, imprimendogli nel punto più in basso una velocità

| v |= 5.00 m/s . La traiettoria è circolare ma il modulo della velocità non rimane costante in quanto la massa è rallentata dalla gravità mentre sale ed è accelerata mentre

scende. Sapendo che nel punto più in alto risulta | v |= 2.32 m/s , si calcolino la for-
y

W

T
za centripeta, l’accelerazione centripeta e la tensione della fune nelle posizioni di
massima e minima altezza.
Nella posizione di minima altezza abbiamo, lungo l’asse y (che in quel momento
coincide con la direzione radiale):


| v |2
Ty +Wy = may  |T | -mg = m
r
 2

2
|v |
|T | = mg + m
= 0.600 ´ 9.81 + 0.600 ´ 5.00 N = 35.9 N
0.500
r
mentre la forza centripeta e l’accelerazione centripeta valgono:

Fr = T - mg = (35.9 - 0.600 ´ 9.81) N = 30.0 N

| v |2

5.002
| aC | =
=
m/s2 = 50.0 m/s2
ay = 50.0 m/s2
r
0.500
Nel punto di massima altezza abbiamo, sempre lungo la direzione radiale y :


| v |2
Ty +Wy = may  - |T | -mg = -m
r
(
)
å
(
131
)
y

T

W


2
| v |2
|T | = m
- mg = 0.600 ´ 2.32 - 0.600 ´ 9.81 N = 0.573 N
0.500
r
mentre la forza centripeta e l’accelerazione centripeta valgono:

Fr =- |T | -mg = (-0.573 - 0.600 ´ 9.81) N = -6.46 N
(
å
A

| v |2
2.322

| aC | =
=
m/s2 = 10.8 m/s2
ay = -10.8 m/s2
0.500
r
Riflettiamo sul fatto che la tensione della corda non coincide con la forza centripeta,

ma anzi |T | aggiusta il suo valore facendosi minima quando è aiutata dalla gravità
(
R
B
C
3
4
)
nel produrre la forza centripeta, come accade nel punto più alto, e facendosi invece
massima quando è contrastata dalla gravità nel produrre la forza centripeta, come
accade nel punto più basso.
R
D
1
y
)
3

5. Un’auto segue una strada curva procedendo a velocità di modulo costante | v | . Si
R
calcoli il modulo della sua accelerazione nei tratti AB, BC, CD, DE specificando dove
è massimo e dove minimo.
[R]
E

N

fs
x

W
6. Un’automobile di massa m = 1500 kg percorre una curva circolare di raggio
r = 40.0 m alla velocità di 15.0 m/s . Si calcoli la forza centripeta. Sapendo poi che il
coefficiente di attrito statico fra pneumatici ed asfalto è ms = 0.950 , si calcoli la massima velocità alla quale l’auto può percorrere la curva e la forza centripeta in questo

N
y
secondo caso.
[R: 0.844 ´ 104 N , 19.3 m/s , 1.40 ´ 104 N ]
7. Un’automobile di m = 1300 kg , in viaggio a velocità costante di 10.5 m/s , passa

W
R
su di un dosso il cui profilo è una circonferenza di raggio R = 15.0 m . Si dica, senza svolgere alcun calcolo, se quando l’auto raggiunge la sommità, la forza normale
esercitata dal terreno è maggiore, minore od uguale al peso della vettura. Si calcolino quindi le intensità della forza centripeta e della forza normale in quel momento.
[R: 9.56 ´ 103 N, 3.20 ´ 103 N ]
a
L
8. Una pallina di massa m = 0.300 kg , appesa a un filo lungo L = 0.750 m , gira a
velocità di modulo costante descrivendo una circonferenza, mentre l’angolo che il
filo forma con la verticale rimane sempre a = 25.0 . Si trovi la tensione del filo,
l’intensità della forza centripeta e dell’accelerazione centripeta, ed il tempo che occorre alla pallina per completare un giro.
R
[R: 3.25N,1.37 N, 4.57 m/s2 ,1.20 m/s,1.66 s ]
m
9. Sopra ad un piano, fissata ad una corda, una massa m = 0.450 kg descrive un mo
to circolare uniforme di raggio r = 0.500 m con velocità v = 2.50 m/s . All’altro
capo della corda pende immobile, da un foro ricavato al centro del piano, una seconda massa M . Si trovi il valore di M .
[R: 0.574 kg ]
M
10. Nello spazio siderale una sonda di massa m = 2500 kg che procede in linea retta a
m
R
70.0 m/s deve curvare descrivendo un arco di circonferenza di raggio R = 1.50 km senza variare l’intensità della velocità. Calcolare la spinta che dev’essere esercitata lateralmente dai razzi del motore.
[R 8.17 ´ 103 N ]
132
11. Un’automobile di massa m tenta di eseguire il “giro della morte” lungo una pi
sta circolare di raggio R . Si trovi la velocità minima va con la quale deve arrivare
R

v0
nel punto più alto della pista, riflettendo sul fatto che a fornire la forza centripeta
[R: gR ]
necessaria in quel punto sono la normale alla pista e la gravità.
12. Un’automobile di massa m percorre una curva di raggio R = 150 m alla velocità
di 15.0 m/s . Sapendo che la strada è inclinata ed indicato con J l’angolo che essa
forma con l’orizzontale, si trovi il valore di J che permette all’auto di percorrere la
curva anche in assenza di attrito fra pneumatici ed asfalto.
[R: 8.69 ]

N
y
J
13. Un disco ruota su di un piano orizzontale compiendo 33 giri/min . Ad una di-
x

W
stanza di 25.0 cm dal centro viene appoggiato un blocchetto di massa m . Sapendo
che il coefficiente di attrito statico fra blocco e disco vale ms = 0.150 si dica se il blocchetto scivola.

fS
[R: si]
14. Si determinino velocità ed accelerazione centripeta di un punto sulla superficie terre-
25 cm
stre che si trovi alla latitudine italiana, sapendo che RT = 6.378 ´ 106 m .
[R: 344 m/s, 2.50 ´ 10-2 m/s2 ]
R
15. Un ponte sospeso forma un arco di circonferenza incurvato verso il basso, di raggio
R = 200 m . Sul cartello di avvertimento si legge che il ponte sopporta al massimo un ca-

N
4
rico di 1.50 ´ 10 N . Quale limite di velocità deve rispettare un’automobile di massa
1200 kg se vuole attraversare il ponte senza che questo si rompa?
[R: 23.2 m/s ]
16. Una sfera di massa m = 1.25 kg viene fatta scivolare lungo una guida circolare di
raggio R = 3.00 m , sul cui punto più basso è inserita una bilancia. Sapendo che al
passaggio della sfera la bilancia segna 3.75 kg , si calcoli la velocità dell’oggetto in
[R: 7.67 m/s ]
quell’istante.
17. Un blocco di massa m , scivola lungo un igloo semisferico di raggio R , partendo
dal punto più alto con una velocità piccola, praticamente nulla. Se l’igloo non ci fosse, il blocco seguirebbe sin dall’inizio una traiettoria parabolica di caduta libera, che
si troverebbe nello spazio occupato dal ghiaccio. A mano a mano che procede la discesa, questa traiettoria ipotetica si va aprendo sempre più perché aumenta
l’intensità della velocità con cui la caduta libera dovrebbe avere inizio. Nell’istante in
cui la parabola diventa tutta esterna all’igloo, il blocco non viene più premuto contro
[R: Rg cos a ]
il ghiaccio e così si stacca. Calcolare la velocità in quell’istante.
Qual è la direzione dell’accelerazione nel caso più generale?
Poniamo di avere un punto che si muove su una traiettoria curvilinea in due dimensioni.

v

v

a

a

a

a

v
133

v
R

WR

N

W

W

WT
R

v
bilancia
a

N

N
 
N =0
Il vettore velocità è, per definizione, sempre tangente alla traiettoria e quindi, in ogni
istante, cambia direzione. Nel caso generale anche il modulo della velocità cambia in ogni
istante. Possiamo vedere tale situazione come una combinazione dei casi elementari che
conosciamo. Poiché la velocità è per definizione un vettore sempre tangente alla traiettoria, la variazione del modulo della velocità deve essere dovuta a un vettore accelerazione
anch’esso nella direzione tangente, che ci dice di quanto deve essere allungato od accorciato il vettore velocità ogni secondo. La variazione della direzione della velocità è invece
riconducibile alla presenza di un vettore nell’accelerazione perpendicolare alla traiettoria,
proprio come accade nel moto circolare uniforme. Come si è visto in quel caso, infatti,
un’accelerazione perpendicolare alla velocità non ne modifica mai il modulo, ma la fa solo

ruotare. Pertanto in generale il vettore accelerazione a lungo una traiettoria curva sarà


composto da un’accelerazione tangenziale aT e da un’accelerazione normale (o centripeta) aC e
causa di quest’ultima punterà sempre verso la regione dove la traiettoria la sua concavità.

aC
P1
P
P2

aC

a

aT

a

aC

aT
P = P1 = P2

a

aT

aC

a 
aT

aC
Possiamo approssimare la traiettoria in ogni punto con una circonferenza?
L’accelerazione centripeta è dunque responsabile del cambiamento di direzione della velocità istantanea anche su una traiettoria qualunque. Possiamo pensare ad essa come
all’accelerazione centripeta che avrebbe la nostra particella se si stesse movendo, anziché
lungo la traiettoria reale, lungo quella circonferenza che meglio vi combacia intorno al
punto dove stiamo osservando il moto. Una tale circonferenza, detta circonferenza osculatrice2, si individua per ciascun punto P della traiettoria, considerato che, presi P1 e P2 in
s(t )
s=0
prossimità di esso, come in figura, per i tre punti non allineati P , P1 e P2 passa una sola
angolo acuto
circonferenza. La circonferenza osculatrice nel punto P si ottiene come posizione limite,
facendo avvicinare sempre più P1 e P2 a P . Il suo raggio è detto raggio di curvatura della

v
traiettoria in quel punto. Come s’intuisce, la circonferenza osculatrice sarà sempre “abbracciata” dalla traiettoria con la quale deve combaciare, cioè si troverà sempre nella regione di piano dove la curva rivolge la sua concavità. Ecco perché è sempre verso tale regione che punta la componente normale dell’accelerazione e di conseguenza anche
l’accelerazione complessiva.

a
angolo ottuso

a

v
Che relazione c’è con l’accelerazione studiata per il moto rettilineo?
La componente tangenziale dell’accelerazione, invece, è responsabile della variazione del
modulo della velocità, ed ha lo stesso significato che ha l’accelerazione istantanea nel moto rettilineo, purché si sostituisca la coordinata rettilinea con un’ascissa curvilinea s(t )
a>90 velocità
in diminuzione

v

v
a

a

v

a

a

a
a
a<90velocità
in aumento

v
lungo la traiettoria. In generale se l’angolo fra velocità e accelerazione complessiva è acuto, significa che l’accelerazione tangenziale ha lo stesso verso della velocità e quindi il modulo della velocità sta aumentando. Viceversa, quando l’angolo fra accelerazione e velocità è ottuso allora l’accelerazione tangenziale punta contro il verso della velocità, quindi il
modulo di quest’ultima sta diminuendo. Ad esempio si consideri il moto di un pianeta
che segue un’orbita avente la forma di una curva ovale chiusa detta ellisse, in cui
l’accelerazione è sempre diretta verso la posizione del Sole, da cui proviene la forza. Tale
accelerazione fa variare la velocità in modo che essa cresca col diminuire della distanza


dal Sole. Come si vede dalla figura, l’angolo fra a e v è, infatti, acuto nella fase in cui il
2
Dal latino osculo, baciare. La circonferenza, cioè, che meglio combacia con la traiettoria in quel punto.
134
pianeta si porta verso il punto di massima vicinanza dal Sole (detto perigeo), dove la velocità è massima). Da qui esso si allontana verso il punto di massima distanza (apogeo) e in
 
questa fase l’angolo fra a e v è ottuso e la velocità diminuisce in modulo fino a raggiungere il valore minimo, poi il moto prosegue ciclicamente.
Esercizi
18. In figura è rappresentata la traiettoria di un punto materiale. Si dica se è possibile che i
vettori accelerazione e velocità istantanea abbiano i versi riportati.

a

v
La situazione proposta non è possibile, perché il vettore velocità deve essere sempre tangente alla traiettoria e il vettore accelerazione sempre orientato verso la parte del piano
dove la traiettoria rivolge la sua concavità.
19. Qui a lato è riportato l’andamento in funzione del tempo della velocità di un punto
materiale. Si stabilisca se sulla traiettoria seguita dal punto, l’angolo fra l’accelerazione e la
velocità è acuto oppure ottuso.
[R]

v
t
20. L’ascissa curvilinea del moto di un punto materiale su di una traiettoria curva ha legge
oraria espressa dalla parabola s(t ) = t 2 - 3t + 2 . Dopo averne rappresentato il grafico, se
ne osservi la pendenza e quindi si dica per quali valori del tempo l’angolo fra la velocità
l’accelerazione è acuto e per quali è ottuso.
[R: ottuso: t < 1.50 s ]
2. Periodo, frequenza e velocità angolare
In natura sono molto frequenti dei fenomeni che si ripetono con uguali caratteristiche:
le oscillazioni di un pendolo, l’alternanza di giorno e notte, il moto orbitale di un pianeta,
la nostra respirazione ed il battito del nostro cuore, le maree e così via. Questo tipo di moto è detto periodico.
Quali sono le caratteristiche di un moto periodico?
Una particella si muove di moto periodico quando continuamente ripassa per le
stesse posizioni e in ogni punto assume sempre la velocità e l’accelerazione che aveva al passaggio precedente.
Il più piccolo intervallo temporale dopo il quale il moto si ripete con le medesime caratteristiche si chiama periodo del moto, e si indica con la lettera T . Diremo che durante un intervallo temporale pari al periodo viene completato un ciclo del moto. Il periodo si misura tramite il rapporto seguente:
T=
tempo trascorso
numero dei cicli svolti
Infatti, dato che ogni frazione esprime il quantitativo del numeratore associato ad
un’unità del denominatore, tale rapporto rappresenta i secondi associati ad un ciclo.
Analogamente il suo reciproco:
f =
numero dei cicli svolti
tempo trascorso
è il quantitativo di cicli associati ad una unità del denominatore, cioè i cicli (o la frazione di ciclo) eseguiti in un secondo, e prende il nome di frequenza, ed indicata con la
135

v

v

a

a

a

v

a

v
 La Controfisica
Ad esempio un pianeta che segue
un’orbita avente la forma di una curva
ovale chiusa detta ellisse, descrive un
moto periodico in cui l’accelerazione è
sempre diretta verso la posizione del
Sole, da cui proviene la forza, ed ha in
ogni preciso punto sempre lo stesso
valore ad ogni nuovo giro. Tale accelerazione fa variare la velocità in
modo che essa cresca col diminuire della distanza dal Sole.
Quindi sia velocità che accelerazione cambiano di direzione ed
aumentano e poi diminuiscono di
intensità durante tutto il moto, però
assumono sempre gli stessi valori
quando il pianeta ripassa negli stessi
punti dell’orbita.
lettera f . Il periodo si misura in secondi al ciclo, e nel Sistema Internazionale le sue
unità di misura sono [s] , in quanto il numero di cicli non ha dimensioni fisiche. La
frequenza si misura in cicli al secondo ed anche qui, essendo il numero di cicli una
grandezza adimensionale, nel SI le unità di misura della frequenza risultano [s]-1 ,
a cui viene dato il nome di Hertz: 1 Hz = 1 s-1 . In base alla definizione la frequenza è
il reciproco del periodo:
f =
1
T
Esercizi
21. In un moto periodico vengono compiuti 3 cicli in 5 secondi. Calcolare frequenza e periodo.
T=
tempo trascorso
numero dei cicli svolti
=
5
3
s = 1.67 s f =
numero dei cicli svolti
tempo trascorso
=
22. Il processore di un PC lavora con una frequenza di clock
9
(1 GHz = 10 Hz) , cioè svolge 2.20 ´ 10
9
3
5
s-1 = 0.600 Hz
di 2.20 GHz
operazioni binarie ogni secondo). Quanto
[R: 0.455 ´ 10-9 s ]
tempo impiega per eseguire un’operazione?
Il moto circolare a velocità uniforme è un particolare caso di moto periodico?
Si, quello di un punto P che si muove lungo una circonferenza con velocità ed
accelerazione d’intensità costanti. Ci serviremo ora di un nuovo strumento per
s = RJ
individuare la posizione di P sulla circonferenza: l’angolo di rotazione J (theta)
P rispetto ad una semiretta di riferimento uscente dal centro C .
R
J
r
C
In che modo conviene misurare gli angoli per descrivere un moto circolare?
Come sappiamo, tutte le circonferenze sono simili fra loro, cioè il rapporto fra il
perimetro ed il raggio produce in ogni circonferenza lo stesso numero 2p.
Osservazioni di geometria elementare ci indicano che questa proprietà vale, oltre che
per l’intero perimetro, anche per una sua porzione, cioè la lunghezza di un arco di
circonferenza. In questo caso però il valore del rapporto non è più 2p , ma un
numero caratteristico di quell’angolo, cioè:
un angolo al centro J e la lunghezza s dell’arco da esso sotteso sono proporzionali
 La Controfisica
Ad esempio un angolo di 1 radiante
stacca su qualsiasi circonferenza un
arco lungo quanto il raggio.
Pertanto il rapporto s /R , fra la lunghezza s dell’arco ed il raggio R , non dipende
dalla misura del raggio, ad esempio assume lo stesso valore per tutte le circonferenze
di centro C , come le due in figura. Fissato l’angolo J , il rapporto s /R può quindi
essere assunto come misura dell’angolo, visto che non occorre specificare su quale
delle infinite circonferenze concentriche viene misurato, dato che si ottiene sempre lo
stesso valore. Questo modo di misurare si dice esprimere gli angoli in radianti:
Jrad =
s
R
Il radiante è un numero adimensionale, essendo il rapporto di due grandezze che
hanno le stesse dimensioni fisiche. Nel Sistema Internazionale, quando un numero
esprime un angolo in radianti, si aggiunge il suffisso “rad”. L’angolo in radianti ha
convenzionalmente segno positivo se misurato in verso antiorario, negativo se
misurato in verso orario.
Per quale motivo conviene misurare gli angoli in radianti?
La misura in radianti consente di passare immediatamente dal valore dell’angolo alla
misura dell’arco, quando sia noto il raggio R della circonferenza. Infatti:
136
s = RJrad
e questa stessa relazione risulta meno semplice se gli angoli sono in gradi.
Esercizi
23. Si esprimano in radianti gli angoli di: 360 , 180 , 90 , 45 , 30 . Si dica poi quanto
misurano gli archi staccati dall’angolo di 30 su di una circonferenza di raggio 2.50 m e
su una di raggio 6.70 m .
Su di una circonferenza di qualunque raggio R , con centro nell’origine comune di questi
angoli, misurando l’arco s partendo dal punto marcato in figura, è facile trovare
l’espressione in radianti dell’angolo giro:
s
2pR
= 2p = 6.28 rad
360  s = 2pR J = =
R
R
Per gli altri angoli le misure di s si trovano facilmente prendendo la frazione di perimetro
corrispondente:
pR
s
2pR
J= =
= p = 3.14 rad
180  s =
R
R
2
s
2pR
pR /2 p
90  s =
= = 1.57 rad
J= =
R
R
4
2
s
2pR
pR / 4 p
45  s =
= = 0.789 rad
J= =
R
R
8
4
s
2pR
pR / 6 p
30  s =
= = 0.524 rad
J= =
R
R
12
6
Per avere la misura degli archi sottesi da J = p / 6 = 0.524 rad sulle due circonferenze
p
90 = 2
180 =
p
45 = 4
p
30 = 6
p
360 = 2p
basta usare la formula inversa s = RJrad , da cui:
R = 2.50 m  s = (2.50 ´ 0.524) m = 1.31 m
R = 6.70 m

s = (6.70 ´ 0.524) rad = 3.51 m
24. Si trasformino in radianti gli angoli 270 , 135 , 60 .
[R: 3p /2 ; 3p / 4 ; p /3 ]
Che cosa s’intende per velocità angolare di un punto?
Dato un punto P in moto su una circonferenza, ed un intervallo Dt durante il
quale l’angolo di rotazione è variato di una quantità DJ , è possibile definire:
Ds = RDJ
velocità angolare media di un punto P in moto su di una circonferenza, è il mumero di
radianti spazzati in un secondo, dal raggio che individua P:
DJ
Dt
P
R
DJ
A
Ricordando infatti la definizione di rapporto fra due grandezze come il “quantitativo
al numeratore che è associato ad un’unità del denominatore”, la definizione appare
subito trasparente. Se il rapporto viene calcolato nel caso limite in cui Dt  0 , cioè
quando l’intervallo temporale si chiude attorno ad un singolo istante, la velocità angolare
si dice istantanea. Il simbolo che si adopera per la velocità angolare, sia media che
istantanea è la lettera greca òmega minuscola w , e si misura in rad/s . Si capisce che
w = DJ /Dt è l’analoga angolare del rapporto v = Ds /Dt che dà la componente
della velocità (media) del punto sulla circonferenza. La sua utilità appare evidente
quando si ha a che fare con le rotazioni di un corpo esteso, rigido, attorno ad un
asse. Consideriamo ad esempio il pianeta Terra: un punto sull’equatore ruota molto
più velocemente di uno in prossimità del polo Nord, ma entrambi spazzano il
medesimo angolo ogni secondo, cioè hanno la stessa velocità angolare (il cui valore è
w = 7.27 ´10-5 rad/s ), che quindi esprime una proprietà comune a tutto il corpo.
137
w = 7.27 ´10-5 rad/s
60
30
0
835km /h
1466km /h
1670km /h
Come si esprime la velocità angolare se il moto è circolare uniforme?
Nel caso in cui il moto sia circolare uniforme, il raggio che individua il punto spazza
sempre lo stesso numero di radianti in un secondo e quindi non importa quale
ampiezza DJ si usi per calcolare il rapporto DJ / Dt , perché il risultato è sempre lo
stesso valore costante. Decidiamo allora di fare il conto riferendoci ad un giro
completo attorno all’asse. In questo caso il tempo impegato è il periodo Dt = T del
moto circolare, cioè il tempo che serve a completare il giro, e si ha:
w=
2p
T
1
w
=
T
2p
f =
Dove f è il numero di giri eseguiti in un secondo, cioè la frequenza del moto
circolare uniforme.
Esercizi
25. Calcolare periodo, velocità angolare e frequenza della punta della lancetta delle
ore, di quella dei minuti e di quella dei secondi.
La lancetta delle ore impiega 12 h per completare un giro, quindi si ha:
Th = 12 ´ 3600 = 43200 s
wh = 2p /Th = 1.45 ´ 10-4 rad/s
fh = 1/Th = 2.31 ´ 10-5 Hz
La lancetta dei minuti impiega 1 h per completare un giro, quindi si ha:
Tm = 3600 s wm = 2p /Tm = 1.74 ´ 10-3 rad/s
fm = 1/Tm = 2.78 ´ 10-4 Hz
La lancetta dei secondi impiega 60 s per completare un giro, quindi si ha:
Th = 60 s
ws = 2p /Ts = 0.105 rad/s
fs = 1/Ts = 0.0167 Hz
In un moto circolare uniforme, che relazione c’è fra velocità angolare e velocità?
 La Controfisica
La relazione trovata v=ωR è facilmente verificata quando si ha un corpo
rigido che ruota attorno ad un asse, ad
esempio un disco. Tutti i punti del
corpo hanno la stessa velocità angolare dato che spazzano un uguale angolo
nello stesso tempo. Però tanto maggiore è la distanza dall’asse (cioè il
raggio R della traiettoria) tanto più
veloce deve andare il punto, essendo
costretto a descrivere una circonferenza di raggio maggiore nello stesso
tempo.
Dalla definizione di radiante:
Ds = R DJ
cioè lo spazio che il punto percorre è tanto maggiore quanto più grande è la sua
distanza dall’asse. Pertanto, essendo la componente della velocità sulla circonferenza
v = Ds / Dt (positiva se il moto è antiorario) risulta:
w=
DJ
Ds
v
=
=
Dt
RDt
R

v = wR
In che modo possiamo scrivere ora l’accelerazione centripeta?

Usando la relazione | v | = wR , le formule per l’accelerazione e per la forza centripeta
posso no essere espresse in funzione della velocità angolare:
P
42
A
B

|v |2

| aC | =
= w 2r
r
åF
r
= m w 2r
Esercizi
26. Calcolare la velocità angolare di rotazione del pianeta Terra, e la velocità lineare di un
punto P alla latitudine italiana di 42 , assumendo per il raggio della Terra 6400 km .
[R: 7.27 ´ 10-5 rad/s , 346 m/s ]
27. Sapendo che il diametro interno di un vecchio disco in vinile da 45 giri/min è
dB = 4.5 cm , e che quello esterno è dA = 18 cm , se ne calcoli la velocità angolare, e si
trovino le velocità lineari dei punti A e B in figura.
138
[R: 4.71 rad/s , 42 cm/s , 11 cm/s

v

28. Un’automobile avanza con velocità |V | = 20 m/s . Sapendo che il raggio della ruota è

R = 0.40 m , si dica quanto valgono: l’intensità | v | della velocità di un punto sul perime-

V
tro della ruota, la velocità angolare e la frequenza di un punto qualsiasi sulla ruota.
[R: 20 m/s , 50 rad/s , 8.0 Hz ]
3. Il moto armonico
Cosa è la forza elastica?

Si dice forza elastica qualsiasi forza F di richiamo, cioè sempre diretta verso una posizione di equilibrio, e la cui intensità, variabile nel tempo, sia direttamente proporzionale
alla distanza da tale posizione.

Indicato con x il vettore spostamento che ha la coda nel punto di equilibrio e la
punta nella posizione istantanea della particella, si ha dunque che la forza elastica
può essere scritta:


F = -kx
dove la costante che figura è k > 0 e le sue unità di misura sono [ N/m ] , in modo che
quando viene moltiplicata per una lunghezza si producano newton al primo mem

bro dell’equazione. L’intensità della forza vale | F | = k | x | , ed è quindi tanto maggiore quanto più è grande la distanza dall’equilibrio, e quando la massa si trova nel
la posizione di equilibrio la forza vale zero essendo | x | = 0 . Il segno negativo


nell’equazione F = -kx indica come la direzione della forza sia sempre parallela e

contraria al vettore x , e quindi orientata verso la posizione di equilibrio. Il numero
k si dice costante elastica.

F Eq.

x

F

x
 La Controfisica
Per quanto possa suonare strano, un
elastico non esercita una forza elastica nel
senso della definizione qui data. Infatti
pur essendo in grado di tirare verso
l’equilibrio, non esiste una configurazione in cui spinga. Il meccanismo
nasce dalla presenza di lunghe catene
di molecole al suo interno, che non
riescono a stare stirate ma tendono ad
assumere forma contorta, e per questo
ad accorciarsi. Queste molecole filiformi sono costrette ad assumere una
geometria ripiegata a causa del continuo picchiettare laterale dovuto al
moto di agitazione termica di molecole più piccole.
Come possiamo realizzare una forza elastica?
Dopo aver bloccato il capo di una molla a forma di elica, si attacchi una massa
all’altro capo, e la si ponga in un piano orizzontale senza attrito. La massa della
molla sia trascurabile rispetto a quella attaccata. Esiste una sola distanza del capo libero dal punto di aggancio nella quale la molla è rilassata. Non appena si tenti di allontanare la massa da questo equilibrio, la molla tende a riportacela. Le osservazioni
mostrano che il valore della forza di richiamo dipende dalla natura della molla, ma

che in ogni caso F si fa tanto più intensa quanto maggiore è l’allontanamento x
dalla posizione di equilibrio, dove la forza vale zero: si tratta quindi di una forza elastica. La costante elastica determina la rigidità della molla: a parità di deformazione,
una molla con k grande è più rigida (cioè esercita una forza maggiore) rispetto ad
una molla con k piccolo. Posto un asse di riferimento con l’origine nella posizione di
equilibrio ed indicata con Fx la componente orizzontale della forza, lungo di esso
risulta Fx = -kx , una relazione detta legge di Hooke. Una forza verso sinistra avrà
quindi componente positiva, e questo accade se la molla viene compressa e cioè
quando x < 0 . Per una molla allungata avremo viceversa Fx < 0 ed x > 0 .
Esercizi

29. Una molla tirata da una forza d’intensità |F | = 30.0 N si allunga di 5.00 cm .
Calcolarne l’allungamento se viene posta in verticale e ad essa agganciato un blocchetto di massa m = 0.750 kg
139
Fx = -kx < 0
0

x
Fx = 0
0
Fx = -kx > 0

x x
0
x
Troviamo innanzitutto la costante elastica della molla:

|F |
3.00
k=  =
N/m = 60.0 N/m
| x | 5.00 ´ 10-2

Posta in verticale la molla si allunga di un tratto lungo | x | tale che la forza elastica
corrispondente bilancia il peso del blocchetto:


|W |
mg
0.750 ´ 9.81


k | x | = |W |  | x | =
=
=
m = 0.123 m = 12.3 cm
k
k
60.0
a
30. Lungo un piano inclinato di un angolo a = 35 come in figura, privo di attrito, è
adagiata una molla di costante elastica k = 1.50 ´ 102 N/m avente all’estremità una
massa m = 1.70 kg . Si dica di quanto si allunga la molla.
[R: x = 6.38 cm ]
a
31. Lungo un piano inclinato di un angolo a = 25 , privo di attrito, è adagiata una molla

fattrito
di costante elastica k = 2.00 ´ 102 N/m avente all’estremità una massa m = 2.10 kg . Si
statico
[R: x = -4.35 cm ]
dica di quanto viene compressa la molla.
32. Una massa m = 1.30 kg attaccata ad una molla con k = 4.00 ´ 102 N/m viene tirata
2
da un nastro trasportatore. Sapendo che il coefficiente di attrito statico fra le superfici è
mS = 0.840 , si trovi il massimo allungamento.
[R: x = 2.68 cm ]
3
50
50
33. Si consideri la situazione di equilibrio in figura: sapendo che le tre molle sono uguali
ed hanno k = 2.50 ´ 102 N/m e che m = 1.20 kg , trovare l’allungamento D di ciascu-
1
1
m
na.
[R: D 1 = 4.71 cm, D 2 = D 3 = 3.07 cm ]
34. Una massa m = 3.50 kg viene legata fra due molle verticali in modo che la distanza
m
2
fra i capi agganciati sia pari alla somma delle loro lunghezze a riposo, che è la stessa per
entrambe.
Si calcolino di quanto si allungano le due molle sapendo
che
k1 = 1.20 ´ 102 N/m e che k2 = 2.60 ´ 102 N/m .
[R: D 1 = D 2 = 9.21 cm ]
Che cos’è il moto armonico?
Si dice moto armonico quel particolare moto periodico che si ottiene quando una particella è sottoposta ad una forza elastica.
Le oscillazioni della massa attaccata alla molla ne sono un esempio. La massima distanza dalla posizione di equilibrio è chiamata ampiezza A del moto. Molti sono i
sistemi fisici che seguono naturalmente il moto armonico: dalle vibrazioni degli atomi attorno ai siti di equilibrio, fino alle oscillazioni dei pennoni delle bandiere ed addirittura le oscillazioni dei grattacieli.

F
J

Fx
Che legame esiste fra moto armonico e moto circolare uniforme?
E’ possibile pensare al moto armonico come alla proiezione sull’asse delle ascisse (o
delle ordinate, è lo stesso) della posizione di una particella che si muova di moto circolare uniforme
Presa quindi una traiettoria circolare di raggio pari all’ampiezza A del moto armo
nico, è possibile individuare una velocità di intensità |v | opportuna, per cui la posizione della particella che oscilla legata all’estremità della molla coincide in ogni
-A
0
A cos J
x istante con l’ombra di un’altra particella che gira sulla circonferenza con velocità di
+A


modulo |v | costante. Infatti, indicata con F la forza centripeta all’origine del moto
140
circolare - qualunque ne sia natura - la sua componente Fx lungo l’asse orizzontale
risulta:

Fx = - |F | cos J
A


ed essendo | F | = m |v |2 /A , ed inoltre cos J = x /A come si vede dal triangolo in fi-
gura, si ottiene:
Fx = -m
y
J
x

|v |2 x
⋅ = -kx
A A
avendo indicato il prodotto di tutte le quantità costanti con un unico simbolo:

k = m |v |2 /A2 . Abbiamo così dimostrato che la componente della forza lungo l’asse
orizzontale è una forza di richiamo di tipo elastico. Poiché in un moto circolare uni
forme risulta |v | = wR (= wA) , la velocità angolare w del moto circolare la cui proiezione genera il moto armonico di costante k , risulta legata alla costante elastica dalla
relazione:
k=
m 2
m 2 2
v =
A w
2
A
A2

w=
k
m
Quando ci si riferisca al moto armonico, il valore di w viene detto pulsazione del
moto, sempre misurata in rad/s. Il periodo del moto armonico è lo stesso del moto
circolare uniforme che lo genera, il quale completa un giro nel tempo in cui la sua
proiezione ha completato un’oscillazione. Il periodo del moto armonico è uguale a
quello del moto circolare corrispondente. Ricordando che per il moto circolare uniforme vale la relazioneT = 2p /w , sarà :
T = 2p
m
k
Notare che la frequenza (e quindi T ed w ) non dipendono dall’ampiezza A del moto.
Esercizi
35. Si osserva che una massa m = 2.30 kg attaccata ad una molla oscilla sedici volte in
2.00 s . Trovare la costante elastica della molla e la forza che essa esercita sulla massa
4.00 cm
0
quando questa si trova 4.00 cm a destra del punto di equilibrio
Il periodo e la pulsazione di questo moto armonico risultano essere:
2.00
2p
6.28
T=
s = 0.125 s  w =
=
rad/s = 50.2 rad/s
16
T
0.125
si ricava quindi la costante elastica:
w=
k
m

k = m w 2 = 2.30 ´ 50.22 N/m = 5.80 ´ 103 N/m
Se la massa dista x = 4.00 cm = 4.00 ´ 10-2 m , la componente della forza vale:
Fx = -kx = -5.80 ´ 103 ´ 4.00 ´ 10-2 N = -230 N
negativo in quanto diretta verso sinistra dove si trova la posizione di equilibrio.
36. Una molla posta in verticale con appesa una massa m = 0.850 kg si allunga di
15.0 cm rispetto alla posizione di equilibrio. Trovare il periodo delle oscillazioni che la
[R: 0.776 s ]
massa compie in un piano orizzontale.
141
ì
ï
15.0 cm ï
í
ï
ï
î

Fel

W
37. Al centro di un piatto orizzontale privo di attrito, che compie 33 giri/min, è saldata
una molla di lunghezza a riposo 30.0 cm al cui capo libero è agganciata una massa m =
2.40 kg. Osservando che in queste condizioni la molla si allunga di 2.00 cm, si calcoli il pe-
wt + J0
riodo delle oscillazioni di cui è capace il sistema della molla con la massa.
[R: 0.455 s ]
Quale equazione esprime lo scostamento dall’equilibrio in un moto armonico?
wt
0
-A
Lo scostamento dall’equilibrio si ottiene tramite la legge oraria della posizione, x (t ) ,
J0
+A
x
A cos(wt + J0 )
in un riferimento dove l’equilibrio corrisponde ad x = 0 . Indichiamo con J l’angolo
complessivamente spazzato, rispetto ad una retta di riferimento,
partendo
dall’istante iniziale, in cui assumiamo che esso valeva zero. Sapendo che la velocità
angolare è data dal rapporto fra J ed il tempo impiegato, w = J /t , si ottiene la legge oraria dell’angolo per il moto circolare uniforme, (nel caso particolare in cui
l’angolo iniziale è nullo):
J = wt
Con riferimento all’asse delle ascisse nella precedente figura si ha che:
x (t ) = A cos J = A cos wt
wt + J0
Se invece la particella che gira comincia da un angolo iniziale che non è nullo, ma che
già vale J0 , questo va sommato ad wt , cioè J = J0 + wt , e risulta:
a
cos a
co s( w t + J0)
legge oraria della posizione per il moto armonico (scostamento dall’equilibrio):
x
= - co s a
x (t )< 0
cos(wt +J0 )
=- cos a
wt + J0
La funzione matematica coseno, quando l’angolo è maggiore di quello retto e minore di tre
angoli retti, (cioè siamo nel secondo e terzo quadrante della circonferenza), viene definita
in modo da assumere valore uguale ed opposto a quello che ha nell’angolo a ad esso
associato nel primo quadrante, come nella figura. In questo modo se il numero J0 + wt è
compreso fra la misura di uno e quella di tre angoli retti, la legge oraria produce un valore x (t ) < 0 . In maniera del tutto analoga si sarebbe potuto proiettare lungo l’asse delle
a
cos a
x
x (t )< 0
x (t ) = A cos(wt + J0 )
0
0
ordinate ed ottenere una forma equivalente per la legge oraria del moto armonico:
y(t ) = A sin(wt + J0 ) .
Quali nomi si usano per queste grandezze e che significato hanno?
La quantità wt + J0 si chiama nel suo complesso fase del moto armonico, mentre si
dice fase iniziale il valore dell’angolo J0 . Ad ogni ciclo completo la fase aumenta di
un angolo giro, cioè 2p .
La fase indica in quale momento dell’oscillazione si trova il punto, e lo esprime in
termini del numero totale di cicli percorsi e frazioni del ciclo completo, ciclo che può
essere misurato in radianti ( 2p rad ) oppure in gradi ( 360 ). Risulta:
fase - fase iniziale
numero di
=
cicli svolti
2p
J0
x
-A
0
Esercizi
38. Calcolare quanti cicli ha completato un punto che si muove di moto armonico,
nell’istante in cui la fase è 20.0 rad , sapendo che parte da un angolo p /6 .
+A
sfasamento di 90
Indicando con n il numero di cicli svolti si ha:
142
20.0 - 3.14 / 6
= 3.1
6.28
cioè il punto ha completato 3 cicli ed un decimo di ciclo.
n=
Se usiamo l’equazione con il coseno, un punto che si trova nella posizione di massimo scostamento a destra ha una fase di 0 rad ( +2p rad per ogni giro fatto), un punto che passa nella posizione di massimo scostamento a sinistra ha una fase di p rad
(+2p rad per ogni giro fatto). Due punti possono oscillare di moto armonico con la
stessa frequenza e la stessa ampiezza ma fasi diverse: in tal caso uno di loro sarà
sempre davanti all’altro di tanto quanto vale la differenza fra le loro fasi iniziali. Ad
esempio se due punti partono ad angolo retto sulla circonferenza, il moto armonico
del secondo sarà sempre in ritardo di fase di
1
2
p rad (o, come si dice, sfasato di 90).
Esercizi
39. La legge oraria di un moto armonico è x (t ) = 3.0 cos(5.0t + 2.0) . Si dica quanti cicli
sono compiuti ogni secondo, qual è la durata di ciascuno, quanto vale la fase dopo 3.5 s ,
quanti cicli completi ha percorso fino quel momento contando dall’istante iniziale.
Da un’analisi dell’equazione data risulta w = 5.0 rad/s pertanto risulta:
T = 2p /w = (6.28 / 5.0) s = 1.3 s

f = 1/T = 0.77 Hz
Per la fase abbiamo: (5.0 ´ 3.5 + 2.0) rad = 19.5 rad
Poiché la fase iniziale vale 2.0 rad , ed essendo ogni ciclo completo corrispondente a
6.28 rad , il punto ha percorso: [(19.5 - 2.0)/ 6.28] giri = 2.8 giri
40. In un certo istante, un punto che si muove di moto armonico ha completato 12.3 cicli
partendo con una fase inziale di p /10 . Calcolare la sua fase in quell’istante.
[R:]
41. Un punto si muove lungo l’asse delle ascisse seguendo un moto armonico di legge
oraria x (t ) = 2.50 cos(3.40wt + 1.50) . Calcolare il tempo per completare 8 cicli.
[R:]
42. In un certo istante, la fase di un punto che si muove di moto armonico vale 75.0 rad
ed esso ha completato 11.0 cicli . Se ne calcoli la fase iniziale.
[R:]
43. Un cocomero è in un recipiente colmo di acqua. Nel momento della prima immersione la linea di galleggiamento è fatta scendere di 3.00 cm sotto al pelo dell’acqua, ed il cocomero comincia ad oscillare di moto armonico compiendo quattro cicli in 6.00 s . Dopo
aver scritto la legge oraria della quota y(t ) della linea di galleggiamento, si dica dove si
y
0
-3.00
trova dopo 0.200 s e dopo 0.650 s . [R: y(t ) = 3.00 sin(4.19t - p2 ) ; -2.01 cm , 2.74 cm ]
44. Il vento fa oscillare di moto armonico il bordo di due lenzuoli stesi, con una frequenza
di 5.0 Hz. Se il primo lenzuolo raggiunge il punto di massimo scostamento dall’equilibrio
0.025 s dopo il primo, si trovi la differenza di fase in gradi fra le due oscillazioni. [R: 45° ]
45. Una particella oscilla di moto armonico lungo l’asse delle ascisse con
un’ampiezza di 0.540 m ed una frequenza di 0.0191 Hz . Sapendo che all’istante zero
la posizione della particella è 0.450 m , si calcoli lo scostamento dall’equilibrio per
t = 5.00 s e per t = 15.0 s e per t = 3T .
[R: 0.203 m, -0.393 m, 0.453 m ]
46. Una barretta lunga L ruota con velocità angolare w attorno ad un punto C a due terzi
della sua lunghezza. Che relazione esiste fra le ampiezze e le fasi dei moti armonici originati dalle proiezioni degli estremi A e B sul diametro orizzontale?
[R: x A (t ) = (2/ 3)L sin wt, x B (t ) = (1/ 3)L sin(wt + p) ]
143
A
C
B
P
p
6
47. Un punto P ruota su di una circonferenza di raggio R facendo quattro giri ogni tre secondi. Che relazione esiste fra le ampiezze, le pulsazioni e le fasi dei moti armonici generati dalle proiezioni di P lungo i due diametri in figura?
B
[R: x A (t ) = R sin( 8 pt + p ), x B (t ) = R sin( 8 pt ) ]
3
A
C
6
3
4. Il pendolo semplice
Cosa si intende per pendolo semplice?
Il pendolo semplice è un dispositivo costituito da una massa m che oscilla legata al capo
di un filo di lunghezza L ed agganciato ad un punto di sospensione. Consideriamo il caso ideale, in cui:
J
la massa del filo è trascurabile rispetto ad m , ed il filo stesso è inestensibile, cioè la sua
lunghezza non cambia mai nonostante la sollecitazione a cui viene sottoposto.
L

T

Wn
Il moto del pendolo non è rettilineo: può essere armonico?
Il moto armonico può avvenire anche lungo una traiettoria curva, come l’arco di circonferenza descritto dal pendolo. In questo caso il moto si considera armonico quando la coordinata curvilinea s(t ) che separa la massa m dalla posizione di equilibrio, segue una
s(t )

Wt
J
0
legge oraria che ha la forma vista per il caso rettilineo:

W
s(t ) = A cos(wt + J0 )
 La Controfisica
Si faccia attenzione alla reciproca lunghezza dei vettori che rappresentano
le forze sul pendolo.
La tensione
deve sempre essere
più lunga della gravità in quanto con la

sua sola componente
T
verticale la deve
NO
equi- librare
Il moto di un pendolo semplice è un moto armonico?
Per rispondere alla domanda se le oscillazioni del pendolo siano armoniche, dobbiamo
ricavare un’espressione per la forza tangenziale e vedere se risulta proporzionale alla distanza s(t ) percorsa dal pendolo sulla circonferenza. Come si vede dal disegno, la componente tangenziale del peso agisce come forza di richiamo dato che è sempre diretta verso il punto più basso, e la sua intensità vale:

Wt = mg sin J

W
sin J
0
Questo accade solo se la componente della forza tangenziale alla traiettoria agisce come
richiamo verso un equilibrio, ed ha intensità direttamente proporzionale alla lunghezza
s(t ) dell’arco che occorre percorrere per raggiungerla.
J
Ora se l’angolo J è espresso in radianti si ha che per valori minori di
1
quella del seno risultano pressoché indistinguibili3,, cioè:
p
8
la sua misura e
p
(23)
8
che sostituita nell’espressione per la forza di richiamo produce:
sin J  J
se
J£

s(t )
Wt = mg J = mg
= k s(t )
L
3
Se ϑ=π/8=0.3927 rad si ha sinϑ=0.3827: sostituendo al seno la misura in radianti dell’angolo si com-
mette un errore (ϑ-sinϑ)/sinϑ=(0.3927-0.3827)/0.3827=0.002613 (circa il 3%).
144
avendo sfruttato la definizione di radiante, J = s(t ) / L ed indicato i valori costanti con
k = mg / L . Come si vede, nel caso delle oscillazioni che formano piccoli angoli
(J £
p
8
)
il moto del pendolo semplice risulta armonico.
Quanto vale il periodo delle piccole oscillazioni del pendolo semplice?
Sfruttando la relazione precedentemente ricavata si ottiene il periodo delle piccole oscillazioni
T = 2p
m
mL
L
= 2p
= 2p
k
mg
g
A2
Si traggono quindi le seguenti conclusioni:
(1) Le piccole oscillazioni sono isòcrone cioè hanno tutte la stessa durata, indipendentemente dal valore dell’ampiezza A .
(2) Il periodo delle piccole oscillazioni non dipende dalla massa appesa.
(3) Il periodo delle piccole oscillazioni è tanto maggiore quanto più lungo è il filo del pendolo.
La velocità angolare e quella lineare di un pendolo sono costanti?
No, non lo sono. Entrambe crescono a mano a mano che si procede verso il punto più basso dove raggiungono il massimo, poi decrescono fino ad annullarsi nella posizione di
massima altezza.
Esercizi
48. Un pendolo semplice compie 40 oscillazioni al minuto. Si calcoli la lunghezza del filo
e si dica cosa succede al periodo se questa viene dimezzata.
A1
diversa ampiezza
ma stesso periodo
Si chiama cicloide la traiettoria
del tappo della gomma di una bici
mentre la ruota avanza . Un pen dolo rigorosamente isocrono può
essere realizzato facendo oscillare
il filo fra due archi di cicloide. Il
pendolo cicloidale segue anch'esso
una cicloide (qui tratteggiata ).
Risulta T = (60 / 40) s = 1.50 s da cui si ricava la lunghezza del filo:
T = 2p
L
g

L=
gT 2
9.81 ´ 1.502
=
m = 0.560 m
39.4
4p 2
Se l lunghezza del filo è dimezzata il periodo nuovo periodo T ¢ risulta diviso per un fattore 2 rispetto al vecchio:
L
L
T
1.50
=
=
s = 1.06 s
g
2
2
2
quindi le oscillazioni del nuovo pendolo più corto sono più rapide.
T ¢ = 2p
2
g
=
1
2p
49. Fra alcune liane pendenti da un albero, se ne deve individuare una che più lunga di
15 m . Come si può scegliere senza arrampicarsi per misurarle?
[R]
50. Si descriva la traiettoria seguita da un pendolo oscillante il cui filo venga tagliato mentre si trova: (1) nel punto di massima altezza, (2) in qualunque punto di avvicinamento
all’equilibrio, (3) nel punto di minima altezza, (4) in un qualunque punto di allontanamento dall’equilibrio.
[R]
traslazione
5. Corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso
asse
Che cosa s’intende per corpo rigido?
Il corpo rigido è un oggetto esteso ideale, cioè un corpo per il quale non può essere adoperata l’approssimazione di particella, e che mantiene invariate la forma e le dimensioni
qualunque sia l’azione cui lo si sottopone. Il corpo esteso può essere pensato composto di
145
rotazione
un grande numero di punti materiali, con la distanza fra due qualunque di essi che resta
costante. I movimenti di cui il corpo rigido è capace possono a loro volta essere interpretati come moti d’insieme dei punti materiali che lo costituiscono.
Quali movimenti sono possibili per un corpo rigido?
Un corpo rigido che si muova di moto piano, per il quale le velocità dei punti del corpo si
mantengono sempre parallele ad uno stesso piano, ha due movimenti fondamentali:4

v
A

v
B
A
A
B
A
B
traslazione
C

v

v
D
D
C
D
D
C
rotazione

F1

F2
mi
Traslazione: un corpo rigido compie un moto di traslazione se tutti i suoi punti si muovono con lo stesso vettore velocità e lo stesso vettore accelerazione.
Rotazione: un corpo rigido compie un moto di rotazione se tutti i suoi punti descrivono
delle circonferenze con centro sulla stessa retta, detta asse di rotazione.
B Un moto di traslazione non implica necessariamente che i punti materiali che compongono il corpo rigido seguano delle traiettorie rettilinee: essi potranno compiere dei tratti curvi, ed anche delle circonferenze. L’importante è che i punti non si spostino su circonferenze concentriche, come si vede nelle figure a lato. Il corpo AB descrive un moto traslatorio:
sebbene le traiettorie dei punti materiali che lo compongono siano circolari, le circonferenze lungo cui si dispongono non hanno i centri su di un’unica retta. Per accorgersi che si
tratta di traslazione pura basta verificare che, comunque presi due punti A e B sul corpo,
la retta che passa per essi si mantiene parallela a se stessa, e questo è dovuto al fatto che le
traiettorie di tutti i punti sono uguali. Il corpo CD, invece, descrive un moto di rotazione
attorno ad un asse, e punti che lo compongono si spostano su delle circonferenze concentriche. La velocità angolare w è una sola per tutto il corpo, mentre la velocità lineare con
C cui i punti seguono le circonferenze cresce con la distanza dall’asse di rotazione, secondo
la relazione v = wR che abbiamo ricavato per il moto circolare. Inoltre, una retta passante
per due suoi punti qualunque C e D non si mantiene parallela a sé stessa.
Cos’è il centro di massa di un corpo?
Immaginiamo di scomporre un corpo rigido nelle particelle che lo compongono, e diciamo N il loro numero. A ciascuna di esse può applicarsi la seconda legge della dinamica,
quindi disponiamo di N equazioni della forma:


Fi = miai
Sommandole tutte , a membro a membro, secondo la regola di composizione dei vettori, a

sinistra otterremo la forza risultante R che agisce sul sistema dall’esterno. Infatti, le forze interne, cioè quelle fra le particelle del corpo, danno luogo a un risultante nullo, in quanto
si presentano tutte in coppie del tipo azione e reazione, cioè uguali in intensità ma opposte


in verso, come ad esempio le F1 ed F2 in figura. Quindi:




R = m1a1 + m2a2 + ... + mN aN
Moltiplicando e dividendo il secondo membro per la massa M del corpo:
æm 

m 
m  ö÷

ç
R = M çç 1 a1 + 2 a2 + ... + N aN ÷÷÷ = M aCM
÷ø
M
M
çè M
La quantità fra parentesi è la media delle accelerazioni di ciascuna particella, ognuna pesata dalla frazione di massa totale mi /M che essa costituisce. Quest’accelerazione può

essere associata a un punto, cui si dà il nome di centro di massa (CM) di posizione rCM e


velocità vCM definite in modo analogo ad aCM :
4
Ve ne sono altri, come quello detto polare in cui un punto del corpo resta sempre fermo.
146
y
m  m 
m 

rCM = 1 r1 + 2 r2 + ... + N rN
M
M
M
m 
m 
m 

vCM = 1 v1 + 2 v2 + ... + N vN
M
M
M
Quindi, quando un corpo si muove sotto l’azione di un sistema di forze, è possibile determinare un punto, detto CM, che segue la stessa traiettoria di un punto materiale nel
quale fosse concentrata l’intera massa e sul quale fosse applicata la somma delle forze
agenti sul corpo esteso. Essendo il CM ottenuto pesando la posizione di ciascuna particella del sistema con la sua massa, si trova più vicino alle particelle di massa maggiore. Le

coordinate del vettore rCM , cioè xCM , yCM sono interne a un rettangolo il cui estremo A
B

vCM
CM
yCM

rCM
A
x
xCM
in basso a sinistra è individuato dalla minima ascissa e la minima ordinata del sistema, e
l’estremo B in alto a destra, i corrispondenti valori massimi.
Di quali proprietà fisiche gode il centro di massa?
Il CM è un punto che si muove come se in esso fosse concentrata l’intera massa del

corpo e ad esso applicata la risultante R delle forze, cioè:


R = MaCM
Questa proprietà è molto utile in alcuni calcoli di dinamica. Ad esempio se lanciamo una
matita in aria, il suo CM descrive una traiettoria parabolica come farebbe un punto di
massa uguale a quella della matita stessa. Quando un corpo è soggetto a un sistema di
forze la cui risultante è nulla (ad esempio una coppia), il CM, se è inizialmente fermo non
può entrare in movimento, e se è in moto rettilineo uniforme, prosegue imperturbato.
Di quali proprietà geometriche gode il CM?
In prossimità della superficie terrestre, la forza di gravità potrà considerarsi sempre
costante all’interno del volume occupato dall’oggetto. Questo porta l’espressione
matematica che definisce il CM a coincidere con quella che definisce il baricentro e quindi
possiamo estendere al CM tutte le proprietà del baricentro, in particolare (1) il fatto
che se l’oggetto presenta assi di simmetria, questi passano per il CM; (2) la proprietà
distributiva.

FA
CM
Quale effetto ha l’azione di una coppia su di un corpo rigido in quiete?

FB
L’effetto dell’applicazione di una coppia a un corpo, ad esempio la lamina qui a lato,
è quello di produrre una rotazione attorno al centro di massa. Essendo, infatti, nullo







il risultante R = FA - FA = 0 delle forze, l’equazione R = MaCM = 0 , impone che
l’accelerazione del CM sia nulla. Pertanto il CM rimane fermo se era inizialmente
fermo, ed il corpo, per effetto della coppia, tenderà a porsi in rotazione attorno ad un
asse che passa per esso. Se l’oggetto è appoggiato su un piano, quest’effetto si osserva con chiarezza solo in assenza di attrito. L’asse passante per il CM, attorno al quale il corpo tende a ruotare, in generale non è perpendicolare al piano della coppia, (salvo
per oggetti simmetrici attorno a quell’asse) ma va determinato di volta in volta.
CM

F

-F
Quale effetto ha l’azione di una singola forza su un corpo rigido in quiete?
L’effetto di un sistema costituito da una singola forza è diverso a seconda che la sua

retta d’azione passi per il CM oppure no. (1) Se la retta di azione di F passa per il CM
allora, scegliendo un asse per il CM per calcolare il momento risultante di questo
semplice sistema di una sola forza, si ottiene un valore nullo. Quindi il CM si muove
di pura traslazione e non si hanno rotazioni del corpo rigido attorno ad esso. (2) Se la
CM

F

retta di azione della forza non passa per il CM, si sempre può traslare F in modo che
tale passaggio per il CM avvenga, senza modificare la dinamica. Questo si realizza
applicando una coppia di trasporto di valore opportuno, che come sappiamo non al-

tera l’azione complessiva di F . Dopo quest’operazione appare chiaro che l’effetto
147
sela retta d 'azione
di F passa per il CM
si ha una traslazione


F
complessivo è la traslazione, dovuta all’applicazione di F nel CM, composta con
una rotazione attorno al CM, dovuta all’applicazione della coppia di trasporto.
Come si può descrivere il moto rotatorio di un corpo rigido attorno a un asse fisso?
CM
coppia
di trasporto

F
CM

se la retta d 'azione di F non
passa per il CM si ha una
traslazione ed una rotazione
attorno al CM
Ds = r DJ
r
P
DJ
Consideriamo un qualunque punto P del corpo rigido in rotazione. Poiché ci limitiamo a
rotazioni piane, chiamiamo A il punto in cui l’asse buca il piano in cui P ruota,
descrivendo quindi una circonferenza con centro in A . Lo spostamento di P può essere
individuato dall’angolo di rotazione J rispetto ad una semiretta di riferimento uscente da
A , ed espresso in radianti, con segno positivo se in verso antiorario. Considerato un
intervallo Dt durante il quale l’angolo di rotazione è variato di una quantità DJ , è
possibile definire la velocità angolare w e l’accelerazione angolare a :
w=
DJ
([w ] = rad/s)
Dt
a=
Dw
Dt
([a ] = rad/s2 )
i cui valori si intendono calcolati nel caso limite in cui Dt  0 , cioè quando l’intervallo
temporale si chiude attorno ad un singolo istante. Queste due grandezze sono le
analoghe angolari delle velocità ed accelerazioni lineari v = Ds /Dt e a = Dv /Dt .
Coerentemente col segno degli angoli, anche w ed a saranno positive se l’incremento ch
esprimono avviene in verso antiorario. Se l’accelerazione angolare è nulla e quindi la
velocità angolare costante, già sappiamo dallo studio del moto circolare che periodo e
frequenza sono w = 2p /T , f = 1/T = w /2p . Dalla definizione di radiante e dallo studio
del moto circolare si ha:

Ds = r DJ
| v | =  wr ( antioraria /oraria )
In una rotazione di corpo rigido, quindi, più si è lontani dall’asse più ci si muove

velocemente ( | v | = wr ), il che è assai intuitivo se si pensa che un punto lontano dall’asse
A
descrive uno spostamento assai più lungo di uno vicino e deve farlo nello stesso tempo.
Abbiamo già visto come aumenta la velocità di rotazione per un punto sulla superficie
della Terra a mano a mano che ci si sposta verso l’equatore.
E se l’accelerazione angolare non è nulla, ma assume un valore costante?
moto rettilineo
s = s 0 + v0t + 1 at 2
v = v0 + at
2
v 2 = v02 + 2a Ds
Da un punto di vista cinematico si può dimostrare che se l’accelerazione angolare a è
costante, valgono delle relazioni analoghe a quelle del moto rettilineo uniformemente
accelerato, riportate qui a lato. Indicando con J l’angolo percorso, in senso antiorario, al
tempo t , e con J0 il suo valore iniziale, si ha:
J = J0 + w0t + 1 at 2
2
w = w0 + at
w 2 = w02 + 2aDJ
Le relazioni angolari sono evidentemente le stesse per tutti i punti del corpo perché ruotano
tutti attorno all’asse dello stesso angolo nello stesso intervallo di tempo.
In che modo l’accelerazione angolare di un corpo rigido è legata alla forza applicata?

F2

F1
b2
L’accelerazione angolare a rispetto ad un asse è il risultato dell’azione di una o più forze
che abbiano la capacità di far ruotare attorno a tale asse. Sappiamo che questa capacità è
misurata, per le rotazioni piane, dalla grandezza scalare detta momento della forza rispetto ad

un asse: t =  |F |b (tau, positivo per rotazioni antiorarie). Il momento è il prodotto

dell’intensità |F | per il braccio b , che è la distanza dall’asse della retta di azione della
forza. Le osservazioni mostrano due importanti proprietà dell’accelerazione angolare a :


(1) maggiore è la distanza b della retta lungo cui agisce la forza F dall’asse di
F1 esercita un momento più
rotazione (braccio della forza), maggiore è l’accelerazione angolare che ne risulta
piccolo di F2 e quindi produce
(cioè
maggiore è il momento, maggiore è a )
minor accelerazione angolare
A
b1
148
t = 1 Nm
t = 1 Nm
(2) se momenti uguali sono applicati a corpi di uguale massa, ma distribuita in modo
differente attorno all’asse di rotazione, ad acquistare maggiore accelerazione
angolare è quello la cui massa è mediamente più vicina all’asse.
Per comprendere come queste proprietà derivino dalla seconda legge della dinamica,

scomponiamo l’accelerazione istantanea a di un punto P sul corpo che ruota, nelle sue


componenti centripeta aC e tangenziale aT . Sappiamo che l’accelerazione tangenziale è
5 kg
5 kg
responsabile delle variazioni nell’intensità della velocità, che è per definizione tangenziale, a = 10 rad/s2 a = 40 rad/s2

cioè aT = Dv /Dt (dove aT =  |aT | a seconda del senso di rotazione, antiorario od la massa del secondo cilindro
è più vicina all ' asse e quindi
orario). Sia r la misura di AP , cioè la distanza dall’asse di rotazione per A:
a parità di momento subito ha
maggior accelerazione angolare
æ v ö÷
aT
Dw
Dv
1
ç
÷
a=
=
Dç ÷ =
=
 aT = ar
r
Dt
Dt ççè r ÷ø r Dt
Come si descrive la dinamica di una rotazione quando a = costante ?
Se il corpo sta accelerando angolarmente, vuol dire che la sua velocità tangenziale
varia, quindi su ogni punto deve agire dall’esterno una forza in direzione tangenziale.

Indichiamo con mi la massa del punto P considerato, e con |Fi | l’intensità della

aT

Fi
forza tangenziale, costante come l’accelerazione. Applichiamo la seconda legge della
dinamica lungo la direzione tangenziale istantanea a una rotazione antioraria, con
tutte le grandezze angolari positive:

aT = |Fi |/mi
a=
aT
ri
=

|Fi |
ri mi
=

ri |Fi |

ri2mi

ri |Fi | = mi ri2a
P
mi

aC
A
Nel secondo passaggio si è moltiplicato e diviso per la distanza ri . Ricordando che il

momento torcente vale ti = ri |Fi | :
ti = mi ri2 a
Sommando i momenti di tutte le forze che agiscono su ciascuno dei punti che compongono il corpo, e ricordando che l’accelerazione angolare a è sempre la stessa e si
può portare fuori dal segno di sommatoria, si ottiene il momento risultante t :
t=
åm r
2
i i
⋅ a = Ia
La quantità che abbiamo ottenuto, I = Smi ri2 (che si misura in kg ⋅ m2 ) a ben vedere è una proprietà geometrica del corpo, che non ha nulla che la leghi al particolare moto
considerato. Essa dipende solo dal modo in cui la massa è distribuita attorno all’asse
di rotazione, e può essere calcolata per ogni corpo, prima di metterlo in rotazione.
Legge di rotazione del corpo rigido intorno a un asse
m
m
grande I
piccolo I
La grandezza I = Smi ri2 detta momento d’inerzia di un corpo, esprime la resistenza
del corpo alle variazioni di velocità angolare intorno a un asse, misurando il modo
in cui la massa è distribuita attorno ad esso. Quando un corpo rigido sta ruotando
attorno a un asse fisso, rispetto a cui il momento delle forze è t e il momento
d’inerzia I , vale la relazione:
t = Ia
Come si può interpretare la formula t = I a ?
Momenti d'inerzia
anello
I = MR2
cilindro pieno
I = 1 MR2
sfera piena
I = 2 MR2
guscio sferico
I = 2 MR2
barretta (centro)
2
5
La relazione t = I a descrive la dinamica delle rotazioni piane di un corpo rigido atbarretta (estremo) I
torno ad un asse fisso. È l’analogo rotazionale della seconda legge della dinamica
149
3
1
M 2
12
= 1 M 2
3
I =


F = ma e dice che il momento di una forza produce un’accelerazione angolare nel corpo
cui è applicata. Mentre la massa di un oggetto rappresenta la resistenza che esso oppone alle traslazioni, il momento d’inerzia esprime la resistenza alle rotazioni, ed è
tanto minore quanto più la massa è distribuita vicino all’asse attorno al quale si desi-
dera far ruotare il corpo, come attesta il fattore ri2 nella sommatoria. Questa proprietà è sfruttata ad esempio dalle ballerine che raccolgono le braccia lungo la linea di
rotazione per incrementare la propria velocità riducendo il momento d’inerzia, oppure dagli acrobati che si dotano di una lunga asta allo scopo di aumentare il proprio
momento d’inerzia rispetto a un asse passante per la corda lungo la quale camminano. Un meccanismo analogo interesserebbe il pianeta Terra qualora le sue acque polari si sciogliessero. Il ghiaccio concentrato attorno all’asse di rotazione ha un momento d’inerzia inferiore a quello che avrebbe l’acqua disciolta, che andrebbe a disporsi verso l’equatore causando un allungamento del giorno per la maggiore resistenza offerta alla rotazione. Il momento d’inerzia è calcolabile in modo esplicito per
forme geometriche regolari: in tabella riportiamo qualche valore.
Esercizi
29. Un anello ha massa M = 4.00 kg e raggio R = 30.0 cm e spessore molto inferio-
re al raggio. Se ne calcoli il momento d’inerzia I A rispetto a un asse passante per il
centro e ortogonale al piano dell’anello. Si confronti il risultato con il momento
d’inerzia di un disco pieno e di una sfera piena anch’essi di M e raggio R . Calcolare l’accelerazione angolare se sull’anello agisce un momento costante t = 6.00 Nm .
Immaginiamo l’anello scomposto in tante particelle di massa mi , la loro distanza dal
centro dell’anello dove passa l’asse sarà sempre pari al raggio ri = R .
Ne segue:
I A = Smi ri2 = Smi R 2 = R 2Smi = MR 2 = (4.00 ´ 0.3002 ) kg ⋅ m 2 = 0.360 kg ⋅ m 2
Come si vede, risulta: I A > I D > I S infatti: MR2 > (1/2)MR2 > (2 / 5)MR2 .
m
Nell’anello tutta la massa è disposta alla massima distanza possibile R dall’asse, nel
disco invece una sua parte si trova nella regione fra la circonferenza esterna e l’asse.
Nella sfera la parte di massa più vicina all’asse è ancora più consistente che nel disco.
Il momento d’inerzia, a parità di massa, è tanto maggiore quanto più ci si allontana
dall’asse. Calcoliamo l’accelerazione angolare:
a = t /I = (6.00 / 0.360) rad/s2 = 16.7 rad/s2
30. Calcolare il momento d’inerzia di un manubrio lungo L = 80 cm formato da due pesi
di massa m = 2.0 kg rispetto a un asse perpendicolare all’asta (di massa trascurabile)
m
passante per il centro, e l’accelerazione angolare se sul manubrio, reso girevole attorno al
centro, agisce un momento costante t = 5.0 Nm .
m1
m2
[R: 0.64 kg ⋅ m2 , 7.8 rad/s2 ]
31. Calcolare il momento d’inerzia di un manubrio lungo L = 80 cm formato da due pesi
di massa m = 2.0 kg rispetto a un asse perpendicolare all’asta di massa M = 1.5 kg
passante per il centro, e l’accelerazione angolare se sul manubrio, reso girevole attorno al
m2
m1
centro, agisce un momento costante t = 5.0 Nm .
[R: 0.72 kg ⋅ m2 , 6.9 rad/s2 ]
32. Una struttura è composta di due manubri incrociati saldati al centro, il primo ha
un’asta lunga L1 = 60 cm di massa M 1 = 7.0 kg e in fondo due masse m1 = 2.0 kg , il
secondo ha un’asta lunga L2 = 30 cm di massa M 2 = 5.0 kg e in fondo due masse
m2 = 3.0 kg . Calcolare l’accelerazione angolare quando sul manubrio, , reso girevole
attorno al centro, agisce un momento t = 9.0 Nm .
150
[R: 12 rad/s2 ]
33. Un volante è formato da un anello di raggio R = 25.0 cm e massa mA = 1.50 kg , e
due barre lunghe quanto il diametro, di massa mB = 1.00 kg ciascuna. Calcolarne il momento d’inerzia
rispetto ad un asse per il centro, perpendicolare ai diametri, e
l’accelerazione angolare se rispetto a quest’asse è esercitato un momento t = 12.0 Nm .
[R: 0.135 kg ⋅ m2 , 88.9 m/s2 ]
a
34. Un disco di M = 10.0 kg e R = 3.00 m ruota in un piano orizzontale attorno al suo

centro O , per l’azione di una forza costante d’intensità |F | = 100 N , applicata sul bordo
A
lungo la tangente. Nel disco sono conficcate tre masse puntiformi: mA = 2.00 kg a distanza OA = 2.00 m , mB = 1.20 kg
con OB = 1.50 m , ed
mC = 1.40 kg
O
B
con
OC = 2.60 m . Calcolare il momento d’inerzia del sistema e l’accelerazione angolare.
[R: 65.1 kg ⋅ m2 , 4.61 rad/s2 ]

F
R
C
R2
34. Una piattaforma girevole rispetto a un suo asse centrale, è composta di due cilindri di
masse m1 = 280 kg , m2 = 120 kg e raggi R1 = 4.00 m , R2 = 2.20 m , uno sopra
all’altro. La piattaforma sta ruotando in senso antiorario alla velocità angolare
w = 5.00 rad/s . Calcolare il momento che dall’esterno bisogna esercitare rispetto all’asse
per fermarla in 2.50 s imprimendole accelerazione angolare costante.
[R: -580 Nm ]
w
R1
In quali casi è consentito applicare la relazione t = I a ?
La legge per la rotazione di un corpo rigido t = I a , in cui t e I devono essere calcolati rispetto allo stesso asse, ha alcune limitazioni di applicazione, e delle notevoli
proprietà, che ora enunciamo senza dimostrare.
1. Si può dimostrare che t = I a vale anche se l’asse di rotazione si sposta, purché
resti costante la sua direzione. Ne vedremo un esempio nel moto di rotolamento.
2. In generale t = I a non si può applicare a rette diverse dall’asse di rotazione, giacché solo per esso è stata ricavata. Quindi la relazione non si può applicare ad assi attorno a
cui i punti del corpo non stanno descrivendo delle circonferenze. Per capire facciamo
un esempio in cui la formula non vale: consideriamo un mattone in caduta libera.
L’osservazione mostra che a = 0 rispetto ad un asse orizzontale per uno spigolo A
(guardando la figura, l’asse esce dal foglio), perché, come sappiamo, il peso, da solo,
è incapace di ruotare un corpo. Tuttavia non è zero il momento del peso rispetto a
quello stesso asse. In questo caso giustamente è t ¹ I a , giacché il corpo non sta descrivendo circonferenze attorno ad un asse per A .
3. Tuttavia si può dimostrare che t = I a vale anche per assi paralleli a quello di rotazione, purché passino per il CM del corpo. L’accelerazione angolare a ha lo stesso valore
che assume rispetto al vero asse di rotazione, però sia il momento della forza, sia il
momento d’inerzia vanno ora calcolati rispetto al nuovo asse parallelo. Per il momento d’inerzia vale il seguente risultato:
Teorema degli assi paralleli
Se d è la distanza che separa l’asse di rotazione da un asse passante per il CM e ad
esso parallelo, si ha:
I = ICM + Md 2
dove ICM è il momento d’inerzia rispetto all’asse per il CM, ed I quello rispetto
all’asse di rotazione a cui è parallelo.
Pertanto fra tutti gli assi paralleli il momento d’inerzia è minimo per quello che passa
per il CM. Si confronti, ad esempio, nella tabella dei momenti d’inerzia il momento
d’inerzia di una barretta rispetto al centro e rispetto a un estremo, verificando che
sono legati dal teorema degli assi paralleli.
151
corpo in caduta libera :
t = Ia NON può essere
applicata ad un asse per A
A

mg
d
ICM
I
CM
CM
Perché una motocicletta si piega in curva?

N

N
rettilineo
Una motocicletta, una bici, un pattinatore su ghiaccio devono sempre piegarsi verso
l’interno delle curve se vogliono evitare una rotazione attorno al loro CM che li farebbe cadere. Giacché il peso ha sempre momento nullo rispetto a un asse orizzontale per il CM, le potenziali cause di rotazione possono venire solo dalla normale e
dall’attrito statico (che funge da forza centripeta. Vediamo i due casi possibili.
(1) Consideriamo prima la moto su di un rettilineo: se vogliamo che non cada di lato, il momento della normale rispetto al CM dev’essere nullo, affinché dalla legge
t = I a risulti nulla l’accelerazione angolare a . Poiché in questo caso non occorre
forza centripeta, l’asfalto non esercita attrito statico perpendicolarmente alla velocità. L’equilibrio della moto mentre avanza si ottiene mantenendola in verticale: così la
forza normale passa per il CM e non può farla ruotare attorno ad esso.
(2) Quando percorriamo una curva, compare necessariamente la forza di attrito stati
co fS perpendicolare alla velocità, che fornisce la forza centripeta. Adesso è questa

R

fs
J
curva
CM
A
durante la curva t = I a
non può essere applicata
all 'asse per A perché non è
un asse di rotazione
forza orizzontale che, composta vettorialmente con la normale, non deve far ruotare la


moto attorno al suo CM. La risultante N + fS della normale e dell’attrito, composte
con il metodo di punta coda
forma, col terreno, un angolo J tale che
 
tan J = |N | / | fs | . Se cercassimo di tenere la moto in verticale come prima, questa risultante non passerebbe più per il CM della moto. Per annullare il momento delle
forze esterne rispetto al CM dobbiamo allora inclinare la moto proprio dell’angolo J


fintanto ché il suo CM si porta lungo la retta di azione di N + fS . Si noti che abbiamo
 applicato il ragionamento ad un asse orizzontale per il CM, perché risulta certamenvP
P
R
C

vC
R
w
Quali proprietà ha la velocità in un moto di rotolamento puro su un piano?
A
visto come rotazione
attorno all 'asse istantaneo
di contatto
A

v
d
d
A
te parallelo a qualunque asse di rotazione, ma non avremmo potuto applicarlo ad un
asse per il punto A di contatto, che non essendo un asse di rotazione non ammette la
legge t = I a .
Consideriamo un oggetto a sezione circolare: potrà essere un cilindro, un anello, una
sfera oppure una forma più complessa come un rocchetto, e poniamo che si muova di
rotolamento puro, cioè senza strisciamento. L’oggetto avrà un asse centrale di simmetria per il
punto C in figura, ed i punti a contatto con il piano dove sta rotolando sono su
circonferenze uguali, tutte di raggio R . Il rotolamento puro richiede che il punto (od il
segmento) di contatto A con il piano deve essere fermo istante per istante, altrimenti il corpo
striscierebbe. Per capire meglio pensiamo ad un perimetro circolare come se fosse un
poligono con infiniti lati: il confronto con il rotolamento di una figura avente degli spigoli
fa vedere che un punto di contatto con il piano, come A , ha in ogni istante velocità zero.
Pertanto è possibile interpretare il rotolamento come una rotazione attorno ad un asse
istantaneo, cioè un asse a contatto con il piano, fermo, che però cambia ogni momento. Si
faccia attenzione a come si interpretano le curve circolari in figura, perché valgono
esclusivamente per l’istante in cui il moto è stato per così dire “fotografato”. I punti come
P e C , e tutte le altre particelle del corpo, non seguono realmente le traiettorie indicate,
ma nell’istante successivo alla fotografia saranno sostituiti da altri punti dell’oggetto, che
andranno ad occupare le loro posizione. La visualizzazione proposta, dell’asse di
rotazione che cambia da un istante all’altro, è uno strumento matematico che consente di
calcolare in modo semplice la velocità di qualunque punto del corpo. Detta w la velocità
angolare attorno all’asse istantaneo di rotazione, il centro C della circonferenza
dell’oggetto che rotola si trova a distanza R dal punto di contatto A , e quindi la sua
velocità sarà wR . Invece, un punto sul bordo come P, avrà velocità 2wR , trovandosi a
distanza 2R dall’asse istantaneo di rotazione:

| vC | = wR

| vP | = 2wR
152
In generale, un punto a distanza d dal contatto a terra, ha velocità istantanea d’intensità

| v | = wd , tangente alla circonferenza di centro A e raggio d . Accanto all’interpretazione
di un moto attorno ad un asse istantaneo, il rotolamento puro può anche esser visto come
la composizione di un moto di rotazione con velocità angolare wC attorno all’asse di

simmetria per C , composta con una traslazione di quest’asse a velocità vC . La
condizione che il punto A abbia in ogni istante velocità nulla comporta che in A la

velocità lineare dovuta alla rotazione | vR | = wC R sia uguale ed opposta a quella di



traslazione vC , cioè che wC R =| vC | , e da un confronto con | vC | = wR si trova wC = w ,
cioè la velocità angolare attorno all’asse di simmetria per C
attorno all’asse istantaneo per A .
wC 
vC

vR
A
visto come rotazione
attorno all 'asse centrale
composta a traslazione
è la stessa con cui il corpo ruota

vT
Esercizi

vC
36. Una tavola di legno poggia su di un cilindro di R = 30.0 cm , e lo spinge facendolo
rotolare orizzontalmente senza strisciare. Sapendo che l’asse centrale avanza con velocità

| vC | = 25.0 cm/s , si calcoli la velocità della tavola e la velocità angolare del cilindro.

vA
Poiché il punto della tavola a contatto con la sommità del cilindro non sta strisciando, i
due devono avere uguale velocità.Per le proprietà del moto di rotolamento, la velocità del
punto più alto è il doppio della velocità del centro:


| vT | = 2 | vC | = (2 ´ 25.0) cm/s = 50.0 cm/s

La velocità angolare è legata all’intensità della velocità | vC | del centro del cilindro:

w = | vC | /R = (25.0/ 30.0) rad/s = 0.833 rad/s
d
37. Trovare la velocità angolare della ruota di una bicicletta che sta procedendo a
18.0 m/s , e la velocità istantanea del punto più in alto della ruota, sapendo che esso dista
da terra 0.70 m .
[R: 51 rad/s , 38 m/s ]

vC
38. Un motorino avanza a 5.00 m/s ed un punto A sulla ruota, verticalmente sopra al
centro e a distanza d = 30.0 cm da terra, ha velocità 7.00 m/s . Calcolare la velocità angolare delle ruote e il loro raggio.
[R: 23.3 rad/s , 21.5 cm ]
m
39. Una massa m è agganciata a un filo che passa per la gola di una carrucola ed è avvolto
attorno ad un rocchetto cilindrico di R = 15.0 cm . Sapendo che m ad un certo istante
sta scendendo alla velocità di 45.0 cm/s , calcolare quanto valgono, in quell’istante, la velocità angolare del rocchetto e la velocità dell’asse di simmetria. [R: 1.50 rad/s , 22.5 cm ]
Quali proprietà ha l’accelerazione in un rotolamento puro?
Indichiamo con m la massa del corpo che rotola e con I il suo momento d’inerzia
rispetto all’asse centrale, e sia R il raggio della circonferenza a contatto col piano.
Come abbiamo dimostrato prima, in un rotolamento puro la velocità angolare w è la
stessa, sia misurata attorno all’asse istantaneo di contatto, sia attorno all’asse centrale. Poiché tale uguaglianza vale istante per istante, dovrà essere la stessa anche la rapidità
con cui w cambia nel tempo, e quindi anche l’accelerazione angolare a ha lo stesso
valore rispetto a questi due assi. Se indichiamo con a l’accelerazione lineare (con segno) con cui avanza l’asse centrale, il valore a è anche quello dell’accelerazione tangenziale dell’asse centrale per C nel suo rotolamento intorno all’asse istantaneo per
A. Dalla relazione a = aT = aR si ha:
a = a /R
Il segno positivo vale se un’accelerazione lineare nel verso del nostro riferimento produce un aumento in senso antiorario della velocità angolare. In figura, ad esempio, risulta

che l’aumento di w prodotto da a è in senso orario quindi a = -a /R .
153
C
R
A
 
a = aT
w

N
mg sin J
mg cos J
x
A

W
J

fa
Come si calcola l’accelerazione da rotolamento puro su un piano inclinato?
Applichiamo la relazione appena ricavata al rotolamento lungo un piano inclinato di
un angolo J . Orientiamo verso il basso le ascisse, parallele al piano stesso, e sia a la
componente, con segno, dell’accelerazione dell’asse centrale C . Consideriamo che
J quando il corpo scende è a > 0 , e da questo moto risulta una velocità angolare w
che cresce in verso antiorario, e quindi anche a > 0 . Pertanto a = +a /R . Nel punto di

contatto A deve agire una forza d’attrito statico fS con direzione tale da impedire ad A
di strisciare lungo il piano. Scriviamo la legge per i momenti t = I a attorno all’asse di
rotazione, che come abbiamo visto studiando il moto di rotolamento, è la linea di contatto
per A che via via si sposta parallelamente a se stessa. Normale e attrito hanno momento

nullo perché la loro retta di azione passa per l’asse di rotazione. Il peso W ha braccio
R sin q e quindi momento mgR sin q , da cui:
t = mgR sin J = I a = Ia /R
L’asse di rotazione per A non passa per il CM: il momento d’inerzia I rispetto all’asse è
t>0
(antiorario)

a
J
quindi legato ad ICM (valori in tabella) dal teorema degli assi paralleli I = ICM + md 2
con d = R . Sostituendo abbiamo la formula per l’accelerazione da rotolamento puro sul
piano inclinato:
a=
R
b
A

mg
mgR2 sin J
mgR2 sin J
=
I
ICM + mR2
La formula chiaramente vale anche per gli oggetti lanciati su per il piano. Possiamo sostituire ad ICM per esempio i momenti d’inerzia dell’anello (mR2 ) , del cilindro (mR2 /2) e
della sfera (2mR2 / 5) . Si hanno rispettivamente le tre accelerazioni:
aAnello = 1 g sin J
2
Poiché è
5
7
>
2
3
aCilindro = 2 g sin J
3
aSfera = 5 g sin J
7
> 1 , vale la relazione: aSfera > aCilindro > aAnello . Giacché tutti e tre gli
2
oggetti partono fermi, in una ipotetica corsa dalla medesima altezza giù per uno stesso
piano inclinato, tutte le sfere batteranno sempre tutti i cilindri, i quali a loro volta batteranno sempre tutti gli anelli, e questo indipendentemente dalle masse. Infatti, la maggiore
resistenza alla rotazione che gli anelli hanno a causa della distribuzione della massa più
lontano dall’asse di rotazione li penalizza, favorendo invece le sfere che hanno buona parte della massa più vicino all’asse. Se scivolassero senza rotolare l’accelerazione sarebbe
quella della particella di massa m lungo il piano inclinato, cioè aSciv = g sin J . Il suo valore è maggiore di quello di qualunque oggetto che rotoli.
Esercizi
40. Una ruota di raggio R = 20.0 cm è formata da un anello di massa mA = 2.00 kg e tre
barre lunghe quanto il diametro, di massa mB = 1.50 kg ciascuna. Calcolare il momento
30
d’inerzia della ruota (servendosi della tabella) e l’accelerazione che acquista su un piano
inclinato di un angolo J = 30 .
Il momento d’inerzia risultante è la somma di quello di un anello più quello di tre barre
rispetto al centro, di lunghezza ciascuna  = 2R . Dalla tabella:
I = mAR 2 + 3mB (2 /12) = mAR 2 + 3mB (4R 2 /12) = R 2 (mA + mB ) =
= [0.2002 (2.00 + 1.50)] kg ⋅ m2 = 0.140 kg ⋅ m2
Considerato poi che la massa complessiva della ruota è:
m = mA + 3mB = (2.00 + 3 ´ 1.50) kg = 6.50 kg
154
Usando la formula per l’accelerazione sul piano inclinato di un oggetto che rotola, il cui
raggio della circonferenza a contatto col piano sia R , risulta:
a=
mR2 sin J
mR2 + I
g=
6.50 ´ 0.2002 sin 30
6.50 ´ 0.2002 + 0.140
´ 9.81 m/s2 = 3.19 m/s2
41. Una pallina omogenea di massa m e raggio R = 6.00 cm viene lanciata su per un
piano inclinato di J = 25 come in figura, con velocità iniziale 4.00 m/s . Sapendo che si
ha rotolamento puro, calcolare l’accelerazione lineare, quella angolare, e lo spazio percor-
[R: 5.80 m/s2 , -10.4 rad/s2 ,1.38 m ]
so sul piano prima di tornare indietro.

v0
R
25
42. Uno yo-yo ha la forma di un cilindro di massa m e raggio R = 5.00 cm e scende verso il basso mentre il filo si srotola. Si osservi che i punti dello yo-yo a contatto con
l’estremo A del filo sono sempre fermi, essendo fermo A. Calcolare l’accelerazione con
cui scende lo yo-yo e la sua accelerazione angolare.
[R: 6.54 m/s2 ,131 rad/s2 ]

fa
43. Si consideri un cilindro di massa m e raggio R che rotola sul piano inclinato, come
la situazione studiata nel testo. Si applichi legge di rotazione del corpo rigido stavolta ad
un asse per il CM parallelo a quello per A. Si eguagli il valore dell’accelerazione così trovato con quello del testo, ricavando la forza di attrito.
[R: (1/ 3)mg sin J ]

a
A

t = | fS | R > 0
(antiorario)
6. Gravitazione universale e orbite circolari
Nella stessa opera scientifica in cui sono formulati i tre principi della dinamica,
Philosòphiae Nauralis Principia Mathematica (1687), Isaac Newton si occupa dello studio del moto orbitale dei pianeti. Lo scienziato inglese dimostra per la prima volta
nella storia che una traiettoria curva come quella a forma di ellisse (seguita dalla Luna intorno alla Terra oppure dai pianeti intorno al Sole), è spiegabile con l’azione di

una forza FG che attira il pianeta sempre verso uno stesso punto, quindi una forza
centripeta. La grande intuizione di Newton fu poi capire che la natura di questa forza

centripeta è la stessa del peso mg che sulla superficie della Terra attrae gli oggetti in

direzione del centro del pianeta. Come tutte le forze, anche FG rispetta la terza legge
della dinamica, quindi si tratta di un’interazione fra due corpi: la Terra attira la Luna



con una forza FG e la Luna attira la Terra con una forza -FG . Questo nuovo modo v
di vedere le cose rappresentò da un lato la prima grande unificazione scientifica di
due fenomeni apparentemente distinti (il peso sulla superficie della Terra e il moto
orbitale del nostro satellite), dall’altro fu un significativo balzo in avanti nella comprensione del mondo, specie se confrontato con il punto di vista aristotelico per il
quale il peso degli oggetti era dovuto alla naturale tendenza che questi avevano a ricongiungersi al luogo della loro origine, che era considerato il centro del pianeta.
Ma che cosa impedisce alla Luna di cadere sulla Terra?
La sorprendente risposta di Newton è che la Luna cade sulla Terra, vi cade continuamente, così come vi cadono tutti i satelliti artificiali in orbita attorno al pianeta. Un
oggetto in orbita tende a cadere in ogni istante verso il centro della Terra, tuttavia il
terreno, per così dire, gli scappa via da sotto esattamente con lo stesso passo, quindi
non riesce mai ad avvicinarsi alla superficie. La figura a lato, tratta proprio dai Principia di Newton illustra in che senso un moto orbitale possa essere visto come situazione limite di un lancio orizzontale. Fissata la quota, al crescere della velocità inizia-
155

-FG

v

a

FG

v

a

a
le aumenta la gittata e con essa si allarga la curvatura della traiettoria. Quando la
curvatura arriva a seguire quella della Terra, il proiettile entra in orbita.
Che cosa dice la legge della gravitazione universale?
Newton ha dimostrato, e l’esperienza, nei secoli successivi, confermato con le osservazioni, che il moto orbitale si può spiegare se qualunque coppia di corpi si attrae
reciprocamente con una forza detta gravitazionale, la cui intensità è tanto maggiore
quanto più le masse sono vicine, e tanto maggiore quanto maggiore è il valore della
massa di ciascuno di essi. Nel caso particolare in cui le due masse siano puntiformi
come le m1 ed m2 in figura, questa forza attrattiva è diretta lungo la retta congiungente i due corpi, ed ha un’intensità inversamente proporzionale al quadrato della
loro distanza r , e direttamente proporzionale al prodotto m1 ⋅ m2 delle due masse.

Indichiamo con |FG | l’intensità di tale forza attrattiva reciproca, uguale su entram-

F21
m2
be le masse, e col simbolo G la costante di proporzionalità, si ha:

mm
|FG | = G 1 2
r2


Che relazione esiste fra la forza F12 e la forza F21 in figura?

F12
r
m1


Se indichiamo con F12 la forza che agisce su m1 ad opera di m2 , e con F21 la forza che
agisce su m1 subisce ad opera di m2 , indipendentemente dal fatto che le due masse siano differenti od uguali, il principio di azione e reazione impone che si abbia sempre



F12 = -F21 . Infatti, nella formulazione matematica della legge di gravitazione, |FG | rap

presenta indifferentemente sia |F12 | che |F21 | .
Quanto vale la costante G?

Nel Sistema Internazionale, dove m1 ed m2 sono in kilogrammi, mentre r e |FG | sono
espressi rispettivamente in metri e newton, la costante fondamentale G vale :
G = 6.67 ´ 10-11
Nm 2
kg 2
Le unità di misura di G sono quelle che occorrono affinché il primo membro della legge
[ N ] = [G ][ kg ]2 [ m ]-2 . Osserviamo che G è un
fattore di proporzionalità così piccolo che per produrre forze gravitazionali dell’ordine di
qualche newton servono masse enormi, come quella di un pianeta.
di gravitazione risulti in newton, cioè:
Esercizi
44. Calcolare la forza gravitazionale con cui si attraggono due masse puntiformi di
100 kg ciascuna, poste alla distanza di 1.00 m

mm
100 ´ 100
N = 6.67 ´ 10-7 N
FG = G 1 2 2 = 6.67 ´ 10-11
1.002
r
Una forza, come si vede, inferiore al milionesimo di Newton.
Cambia qualcosa se le masse non sono puntiformi ma estese?
attrazione gravitazionale
fra oggetti estesi :
principio di sovrapposizione
Questa espressione matematica della legge della gravitazione universale, vale esclusivamente per oggetti assimilabili a dei punti. Un oggetto rigorosamente puntiforme è un’entità
solo teorica: nella pratica si considerano puntiformi oggetti in cui la distanza r coinvolta
nella legge di gravitazione sia molto grande rispetto alle loro dimensioni trasversali (almeno un ordine di grandezza, cioè dieci volte più grande). In questo senso anche una
156
stella può essere considerata puntiforme se le sue dimensioni sono rapportate alle distanze interplanetarie. Se però le masse non sono puntiformi, dobbiamo immaginarle scomposte in porzioni piccolissime rispetto alla loro estensione, e sommare vettorialmente gli
effetti della legge di gravitazione fra tutte le possibili coppie di punti. Infatti, l’esperienza
mostra che vale il principio di sovrapposizione, per il quale la forza con cui interagisce ciascuna coppia è la stessa che si avrebbe se tutte le altre coppie non esistessero.

F1
E quando le masse estese hanno forma sferica?
In caso di masse entrambe sferiche, come approssimativamente sono Terra e Luna, oppure di una grande massa sferica e una puntiforme, com’è il caso di un corpo sulla superficie
di un pianeta, il calcolo descritto sopra si semplifica notevolmente. Se abbiamo un corpo
puntiforme su una sfera, la sfera può essere scomposta in coppie di punti, simmetriche
rispetto alla retta che unisce il corpo col centro, ed alla stessa distanza dal corpo attratto:
ad esempio 1 e 2 , oppure 3 e 4 in figura. La simmetria fa sì che a risultante di ciascuna
coppia punti sempre verso il centro della sfera. Analogamente anche la somma di tutte le
risultanti sarà diretta verso il centro della sfera, e così possiamo utilizzare la formula della
gravitazione immaginando ad esempio che la massa di un pianeta sia tutta concentrata
nel suo centro. Se entrambe le masse sono sferiche, come ad esempio la Terra e la Luna,
possiamo pertanto usare la formula a patto che r rappresenti la distanza fra i centri5.
Quando lasciamo cadere una mela dall’alto, la forza che la Terra esercita sulla mela può
essere calcolata inserendo nella formula per la gravitazione universale la distanza dal centro del pianeta. Per la terza legge della dinamica, la forza della Terra sulla mela ha la stessa intensità della forza che la mela esercita sulla Terra, tuttavia, essendo la massa della mela molto più piccola, la sua accelerazione è molto maggiore rispetto a quella che subisce il
pianeta e quindi è la pietra a muoversi verso il centro della Terra e non viceversa6:
aT =

|FG |
mT
a pietra =

F2
C
1
2
C
3
4
r
y

|FG |
m pietra

Che relazione c’è con la forza peso espressa nella forma mg ?
m

FG
r
Sulla superficie del pianeta la distanza dal centro della Terra è sempre costante, e pari al
suo raggio RT = 6.378 ´ 106 m . Si può calcolare, una sola volta per tutti gli oggetti, il valore dell’accelerazione dovuta alla gravità sulla superficie terrestre , perché la forza di gravità dipende anch’essa dalla massa e questa si semplifica nella seconda legge della dinamica applicata lungo la direzione in cui si ha centro della Terra. Per un oggetto in caduta

-F
G
MT
libera, sapendo che MT = 5.97 ´ 1024 kg risulta:
FGy = may
ay = -6.67 ´ 10-11

-G
MT m
RT2
5.97 ´ 1024
(6.378 ´ 106 )2
= m ay
m/s2 = -9.81 m/s2
Si ottiene il noto valore g = 9.81 m/s2 . Questo calcolo permette di capire perché tutti gli
oggetti, di maggiore o minore massa, accelerano con la stessa intensità verso il basso. In
fatti, poiché |FG | è proporzionale a m , i corpi più massicci subiscono una forza maggiore
rispetto a quelli meno massicci. Tuttavia i corpi di massa maggiore hanno anche bisogno
di una forza maggiore per accelerare, dato che è proporzionale ad m pure la loro inerzia,
5 Va detto anche che nel momento stesso in cui assumiamo che le masse siano puntiformi, e che tutte le loro proprietà
possano essere individuate da una grandezza scalare m, anche solo da motivi di simmetria si potrebbe dedurre che la loro
interazione deve essere diretta lungo la congiungente, in quanto in uno spazio vuoto con le sole due masse in studio, non si
potrebbe definire nessun’altra direzione in modo univoco.
6 In realtà accelerano entrambe, in misura molto diversa, verso il centro di massa del sistema che costituiscono.
157
roccia
C
petrolio
schema di principio per
una mappa gravitazionale
cioè la tendenza a resistere all’azione di una forza (è il secondo membro della legge


F = ma ). Detto diversamente: ci vuole più forza per accelerare di 9.81 m/s2 un oggetto
massiccio che uno di piccola massa.
Che cos’è una mappa gravitazionale ?
Mappa gravitazionale del cratere nello
Yucatan, dovuto all’asteroide che estinse i dinosauri. La zona centrale in gradazione diversa indica una gravità più
bassa rispetto alle rocce circostanti, dovuta ai sedimenti leggeri. (fonte : NASA)
MT
m
ML
Nelle regioni del pianeta dove la distribuzione della massa non è a perfetta simmetria sferica, la risultante non sarà esattamente diretta verso il centro della Terra, ma subirà piccoli scostamenti. Questo accade vicino alle grandi montagne, oppure quando si hanno cavità sotterranee naturali che racchiudono un giacimento petrolifero o di gas. Una misura
accurata della variazione della direzione della forza di gravità rispetto al centro della Terra permette di individuare tali cavità, ed è detta mappa gravitazionale. E’ con questo sistema
che ad esempio si è scoperta una cavità ripiena di rocce sedimentarie leggere nella penisola dello Yucatan in Messico, probabilmente dovuta al cratere scavato dall’asteroide che 65
milioni di anni fa portò all’estinzione i dinosauri.
Esercizi
45. Si trovi a quale distanza d dal centro della Terra, un oggetto di massa m è tirato con
eguale intensità tanto dalla forza di gravità terrestre che da quella lunare, essendo
rL = 3.84 ´ 108 m il raggio medio dell’orbita lunare e M L = 7.35 ´ 1022 kg .
d
Si ha che la massa m è attratta rispettivamente dalla Terra e dalla Luna con forze la cui
intensità si scrive:


M Lm
M m
FL = G
FT = G T
2
(rL - d )2
d
Uguagliando e semplificando si ottiene:
G
MT m
d
2
=G
ML m
(rL - d )2

(rL - d ) MT = d M L
Nell’ultimo passaggio si è potuta estrarre la radice di ambo i membri essendo positive tutte le quantità presenti (infatti rL - d > 0 ). Osserviamo in particolare che il risultato non
dipende dalla massa m dell’oggetto. Risolvendo:
d=
5.97 ´ 1024
5.97 ´ 1024 + 7.35 ´ 1022
5.97
⋅ rL =
´ 1012-12 rL = 0.900 ⋅ rL =
9
r = 3.46 ´ 108 m
10 L
5.97 + 0.0735
Come si vede il punto in questione dista dalla Terra 9/10 della distanza Terra-Luna.

FG
Che succede all’accelerazione di gravità salendo di quota?
Il denominatore è incrementato del valore della quota, il che fa diminuire l’accelerazione
di gravità. Ad esempio in cima all’Everest si ha:
mg
g Everest = 6.67 ´ 10-11
5.97 ´ 1024
m/s2 = 9.78 m/s2
(6.378 ´ 106 + 8850)2
mentre sulla stazione spaziale internazionale, orbitante ad un’altezza di circa 300 km :
RTerra
r
g 300 km = 6.67 ´ 10-11
5.97 ´ 1024
m/s2 = 8.93 m/s2
6
6 2
(6.378 ´ 10 + 0.300 ´ 10 )
Come si vede la diminuzione dell’accelerazione di gravità in un’orbita bassa come quella
a 300 km è dell’ordine del dieci per cento. La condizione di “assenza di peso” degli
astronauti non è quindi imputabile a questo, (infatti, la gravità è ben presente a
158
quell’altezza7 e fornisce la necessaria forza centripeta!), ma al fatto che il loro moto è assimilabile ad un moto di caduta libera, e non percepiscono il peso perché non c’è una superficie sulla quale si appoggiano ad esercitare una forza normale su di loro. Essi sono in una
condizione del tutto analoga a quella di chi si trovasse all’interno di un ascensore cui venissero tagliate le funi e precipitasse.
Che succede all’accelerazione di gravità se cambia la massa del pianeta?
Generalizzando i calcoli precedenti, si ha che l’accelerazione di gravità g P sulla superficie
di un pianeta di massa M P e raggio RP è data da:
gP = G
MP
RP2
Una radicale diminuzione della massa in un pianeta di dimensioni confrontabili con la
Terra comporta pertanto una diminuzione del valore dell’accelerazione dovuta alla gravità sulla superficie, ad esempio:
é
6.42 ´ 1023 ùú
gMarte = êê6.67 ´ 10-11 ´
m/s2 = 3.70 m/s2
6 2ú
(3.40 ´ 10 ) úû
êë
é
7.35 ´ 1022 ùú
2
2
g Luna = êê6.67 ´ 10-11 ´
ú m/s = 1.62 m/s
(1700 ´ 103 )2 úû
êë
Quindi, sulla Luna un uomo di massa 100 kg è attratto con una forza di 162 N , cioè
quella forza con cui la Terra attira una massa di 16.5 kg . Lo stesso uomo sulla superficie
di Marte è attratto con una forza di 373 N , vale a dire quella con cui la Terra attira una
massa di 38 kg . Tuttavia non va dimenticato che la forza gravitazionale decresce con
l’inverso del quadrato della distanza dal centro, pertanto sulla superficie di un pianta
come Saturno, che ha una massa quasi cento volte quella terrestre ma un raggio medio
dieci volte più esteso, si ottiene una accelerazione di gravità paragonabile alla nostra:
é
5.68 ´ 1026 ùú
gSaturno = êê6.67 ´ 10-11 ´
m/s2 = 10.5 m/s2
3 2ú
(60000 ´ 10 ) úû
êë
In tabella i valori riguardanti i principali corpi del sistema solare.
Massa
[ kg ]
R equatoriale
[ km ]
[ m/s2 ]
Mercurio
3.30 ´ 1023
2440
3.70
Venere
4.87 ´ 1024
8.87
Terra
5.97 ´ 1024
6000
6378
Luna
7.35 ´ 1022
1740
Marte
6.42 ´ 1023
Giove
27
1.90 ´ 10
3400
71500
1.62
3.70
Saturno
5.68 ´ 1026
60000
10.5
25
25600
8.69
26
24800
11.2
22
1150
700000
0.58
274
Urano
Nettuno
Plutone
Sole
7
8.68 ´ 10
1.02 ´ 10
1.30 ´ 10
1.99 ´ 10
30
g
9.81
23.1
Si pensi che la gravità è ancora molto forte alla distanza della Luna, circa 400000 km, tanto da mantenerla in orbita.
159
Come cambia il periodo di un pendolo se ci si sposta su altri pianeti?
La relazione fra i periodi dipende dal valore dell’accelerazione di gravità in superficie, che la legge di gravitazione universale prevede essere direttamente proporzionale alla massa del pianeta ed inversamente proporzionale al quadrato del suo raggio8. Pertanto i periodi di uno stesso pendolo misurati sul pianeta A e sul pianeta B
stanno fra loro nel rapporto:
2p L / g A
TA
=
=
TB
2p L / g B
gB
=
gA
M B / RB2
R
= A
2
RB
M A / RA
MB
MA
Esercizi
46. Sulla superficie di Marte un oggetto lanciato verticalmente con velocità iniziale

| vo |= 100 m/s raggiunge un’altezza h = 1340 m . Sapendo che il raggio di Marte mi-
sura RM = 3.4 ´ 106 m si calcoli la massa di Marte.
Come sappiamo la massima altezza h raggiungibile da un oggetto lanciato verticalmente con velocità iniziale v0 è data dalla relazione: h =
v02
2gM
, dove gM è
l’accelerazione di gravità sulla superficie del pianeta, in questo caso Marte. Calcov02
1002
m/s2 = 3.7 m/s2 .
2h
2 ´ 1340
Invertendo la relazione che permette di trovare l’accelerazione di gravità sulla superficie di un pianeta si ottiene la massa del pianeta:
liamo gM invertendo la formula: gM =
gM =
GM M
2
RM

MM =
2
gM RM
G
=
=
3.7 ´ 3.42 ´ 1012
6.67 ´ 10-11
kg = 6.4 ´ 1023 kg
51. Una molla ed un pendolo che sulla Terra hanno lo stesso periodo, mantengono tale
relazione se spostati sulla Luna, dove gL = 16 gT ? Di quale percentuale dovrebbe essere
variata la massa m da attaccare alla molla affinché i due oscillatori rimangano in sincronia? E di quale percentuale dovremmo invece variare la lunghezza del filo?
[R: 500% , 83.3% ]
52. Sapendo che la massa della Luna è circa 1/ 81 della massa terrestre, si dica in che rap-
porto stanno le oscillazioni di uno stesso pendolo sulla Terra e sulla Luna e le rispettive
accelerazioni di gravità. Si supponga una densità uguale e costante nei due corpi celesti. Si
confrontino i valori così trovati con quelli realmente misurati: gT  6gL e TL  2.5TT .
[R]
53. Il capitano Polipox atterra su di un lontano pianeta di raggio R = 7500 km e decide
di misurarne la massa facendo oscillare un pendolo semplice sulla superficie. Se il filo del
pendolo è lungo L = 80.0 cm e si osservano 60 oscillazioni 30.0 s , aiutate il capitano a
[R: 1.06 ´ 1026 kg ]
calcolare la massa del pianeta.
Perché la gravità è sempre nulla all’interno di un guscio sferico?
Una delle scoperte più sorprendenti di Newton è che l’attrazione gravitazionale delle pareti di un guscio sferico su una massa al suo interno è nulla. Per capire consideriamo una
massa puntiforme m all’interno di un guscio spesso d e facciamo partire da essa un
doppio cono. Il cono intercetta sempre due calotte del guscio, che hanno in generale differente superficie. Si può dimostrare che le due porzioni di guscio così ottenute attirano
la massa m con forze di uguale intensità ma opposte. Il motivo è che la massa della porzio8
-11
2
Ricordiamo infatti che si ha g = GM / R , con G = 6.67 ´ 10
160
2
Nm / kg .
ne di guscio individuata cresce con il quadrato della distanza da m , compensando così
l’indebolimento della forza gravitazionale, dove denominatore cresce anch’esso col quadrato della distanza.
rB a
Come si dimostra che le due forze hanno uguale intensità?
d
Poniamo che l’apertura a (in radianti) dei due coni sia così stretta da poter approssimiamo la porzione di guscio con un dischetto tanto piccolo da poter descrivere
l’attrazione gravitazionale su m con la formula per le coppie di masse puntiformi:


|FA | = GmmA /rA2 , |FB | = GmmB /rB2 . Le masse mA ed mB dei dischetti sono direttamente proporzionali alle superfici di base, a loro volta proporzionali ai quadrati dei diametri
rA ⋅ a ed rB ⋅ a . Pertanto le masse dei due dischi sono proporzionali ai quadrati
rA2
,
rB2
mB
rB a
rB
a
rA
a
delle distanze da m , e così anche la forza di attrazione gravitazionale che esercitano su
mA
m , che ha mA o mB al numeratore, aumenta col quadrato della distanza. Ma è vero
d
m
pure che la forza gravitazionale su m diminuisce col quadrato della distanza dalla massa
che esercita la forza. Questi due effetti si bilanciano esattamente e le forze sono sempre
uguali ed opposte, producendo una risultante nulla su m . Il ragionamento si ripete per 
mmA
qualunque coppia di coni con vertici coincidenti: il fatto che alcuni di questi coni avranno |FA | = G 2
rA
le basi non perpendicolari alla superficie laterale non altera la nostra conclusione. Un risultato di geometria assicura che gli angoli formati dalle pareti del doppio cono con le basi su di una sfera sono gli stessi da ambo le parti, e quindi l’effetto dell’inclinazione sarà lo
stesso da entrambe le parti.
fa crescere
2
la forza con rA
fa diminuire
2
la forza con rA
La gravità in fondo ad una miniera come cambia rispetto alla superficie?
Se scaviamo un buco nel pianeta e vi scendiamo dentro, secondo quanto dimostrato, il
guscio di materiale che ci lasciamo alle spalle non esercita su di noi alcuna attrazione, ma
il nostro peso sarà tutto dovuto solo alla sfera che inizia sotto ai nostri piedi. Se la Terra
avesse densità costante9, allora la gravità diminuirebbe, infatti, detto r il raggio di questa
sfera, avremmo un valore di g (r ) tanto minore quanto più piccolo è r :
g(r ) = G
M (r )
r
2
=G
r 43 pr 3
r
2
RT
r
4
= G rp ⋅ r
3
In realtà però, se togliamo un guscio alla Terra, la sua densità media aumenta perché al
centro il pianeta presenta un nucleo di ferro e nichel molto più massiccio del resto, e come
risultato avremmo che ad alcune profondità il valore di g è maggiore che in superficie.

vO
r
iperbole
7. Il moto orbitale circolare
circonferenza
Che cos’è un’orbita e che forma può avere?
Si chiama orbita la traiettoria curva che, nello spazio un corpo descrive attorno ad un
punto centrale, sotto la sola azione della forza gravitazionale. Ad esempio sono orbite le traiettorie dei pianeti e delle comete intorno al centro del sistema solare. Le
orbite possono essere sia curve chiuse, come ellissi o circonferenze, sia curve aperte
come parabole o iperboli. Mentre il corpo tenta di avanzare in linea retta, secondo il
principio d’inerzia, la gravità lo tira verso il punto centrale, dove è situato l’oggetto
massiccio che esercita la forza attrattiva. Se la velocità del corpo orbitante è sufficientemente elevata, la traiettoria s’incurva verso il centro di attrazione, però manca
9 È un’ipotesi irreale perché una sfera omogenea delle dimensioni di un pianeta non potrebbe essere stabile a densità costante.
161
ellisse
parabola
y

vO

FG
r
C
l’impatto con esso e gli gira intorno, continuando indefinitamente a cadere. Il “cannone di Newton” che abbiamo prima esaminato è un esperimento concettuale che
permette di capire il fenomeno dell’orbita. Ponendo che tale cannone immaginario
abbastanza in alto da superare l’atmosfera terrestre (che ostacolerebbe il lancio per il
principio di azione e reazione) se imprimiamo abbastanza velocità la traiettoria del
proiettile s’incurva allo stesso passo a cui s’incurva la superficie della Terra, e così il
corpo entra in una continua caduta libera, senza mai raggiungere il suolo, che letteralmente gli sfugge di sotto. Ci concentreremo ora sulla dinamica delle orbite circolari, che sono le più semplici e permettono di studiare il moto dei satelliti intorno alla
Terra. I pianeti del sistema solare, invece, non descrivono orbite circolari, ma a forma
di ellisse, tuttavia, allo scopo di capire i fenomeni fisici fondamentali, non si commette un grande errore si considerano circonferenze.
Con quale velocità può essere percorsa un’orbita circolare?

vO
m
necessaria

|v |2
m O
r
E’ immediato rendersi conto che non è possibile percorrere un’orbita alla velocità che si desidera,
ma che piuttosto questa è già stabilita dall’altezza alla quale si vuole fissare l’orbita. Lungo la direzione radiale istantanea si ha, infatti, che la forza di gravità fornisce la forza centripeta necessaria. Poiché la gravità diminuisce con l’altezza, diminuirà anche la forza cen
tripeta che essa può fornire, e quindi, con l’altezza decresce pure la velocità orbitale | vo | .
In un riferimento con l’asse radiale uscente dal centro della Terra si ha:

F
forza

F
gravitazionale
= -G
MT m
r
M
2
= -m

| vo | 2
r
=
forza
centripeta
GMT

| vo | =
r
G
mM
r2
fornita
 La Controfisica
Se quindi un astronauta in orbita vede
un satellite in orbita un chilometro
sopra alla sua testa, questa posizione
reciproca è destinata cambiare giacché
il satellite resterà indietro rispetto
all’astronauta a causa della differente
velocità orbitale.

Questa relazione esprime la velocità orbitale10 |vo| con la quale la traiettoria deve essere percorsa se si vuole che rimanga stabile, cioè la velocità cui andare se si vuole che la forza di
gravità fornisca proprio il valore della forza centripeta necessaria a percorrere quella circonferenza. Osserviamo che:
• La presenza di r al denominatore indica che la velocità orbitale decresce con
l’altezza da terra: le orbite più sono esterne più sono lente.
• La velocità orbitale non dipende dalla massa, e per questo motivo ad esempio
una stazione spaziale e gli astronauti al suo interno, possono seguire la stessa orbita pure se hanno masse molto differenti fra loro.
Come si calcola il periodo di un’orbita circolare?
Si chiama periodo T il tempo che occorre a descrivere un’orbita completa. Moltiplicando

la velocità orbitale |vo| per il periodo si ottiene lo spazio totale 2pr percorso in un’orbita,


cioè |vo|T = 2pr . Ricaviamo da questa relazione |vo| = 2pr /T ed inseriamolo
nell’espressione della forza centripeta:
forza
m 
4p2r
= |vo |2 = m
= mw2r
2
centripeta
r
T
Nell’ultimo passaggio abbiamo sfruttato le relazioni per la velocità angolare w = 2p /T e

|vo | = wr . Imponiamo che la gravitazione fornisca la necessaria forza centripeta:
10
Detta anche velocità kepleriana.
162
m
GMT
r2
4 p 2r
= m
T2

T = 2p
r3
GMT
r3

T2
=
GMT
4p2
= costante
L’ultima relazione è detta legge di Keplero dei periodi11 per il moto orbitale. In tabella abbiamo periodo e velocità orbitale dei principali corpi del sistema solare Per i corpi in orbita intorno al Sole Si osservi il diminuire della velocità orbitale e l’aumentare periodo al
crescere del raggio medio.
r medio
orbita [ km ]
0.24
47.4
0.62
35.0
6
1
29.8
6
1.88
11.7
24.1
58 ´ 10
Venere
108 ´ 10
Terra
150 ´ 10
Marte
[ km/s ]
6
6
Mercurio

|vo|
T
[anni ]
228 ´ 10
6
Giove
778 ´ 10
Saturno
1430 ´ 106
 La Controfisica
Il rapporto 3:2 fra l’esponente del
raggio e quello del periodo di rivoluzione, fu intuito da Keplero, oltre che
dalle osservazioni, basandosi sulla
conoscenza risalente alla scuola pitagorica, che due corde tese le cui lunghezze sono nel rapporto 3:2 producevano suoni molto armonici fra di
loro, e assai gradevoli se emessi insieme. Questo rapporto è chiamato una
quinta (ad esempio fra le note DO e
SOL): Keplero pensava che i pianeti si
muovessero in rapporti armonici come legati al Sole da corde invisibili, e
pubblico i suoi risultati nel 1619 in
un’opera scientifica che lascia trasparire quest’idea sin dal titolo: Harmonices
Mundi.
13.1
29.5
9.6
Urano
2870 ´ 10
6
84.0
6.8
Nettuno
4500 ´ 106
165
Plutone
5900 ´ 106
248
5.4
4.7
Sole (rispetto al
centro galattico)
Luna (rispetto
alla Terra)
2.55 ´ 1020
2.4 ´ 108
217
384000
27.3 giorni
1.02
Che tipo di orbite si hanno in un sistema binario?
 La Controfisica
Per sistema binario s’intende quello formato da due corpi di massa quasi della stessa entità, ad esempio due stelle, che si attraggono tramite la sola gravità. Consideriamo qui soltanto il caso semplice in cui la distanza d fra loro non cambia mai: in tal caso l’unico moto
possibile è quello di orbitare, con lo stesso periodo T e la stessa velocità angolare w lungo due circonferenze di centro comune sulla retta che li unisce, ed i raggi r1 , r2 tali che
La maggioranza delle stelle nella nostra galassia ha almeno una compagna
e forma con essa un sistema binario: il
Sole costituisce un’eccezione.
r1 + r2 = d . La forza centripeta m1w2r1 che m1 esercita su m2 dev’essere uguale e oppo-
sta a quella m2 w2r2 che m2 esercita su m1 . Possiamo allora ricavare r1 ed r2 :
2
2
m1w r1 = m2 w r2
r1

r2
=
m1
dall’attrazione gravitazionale Gm1m2 /d 2 . Uguagliando si ha:
G m1 m 2
d
m2 w 2r2 =
2
Gm1 m2
G (m1 + m 2 )
d
2
11 O anche terza legge di Keplero. La approfondiremo meglio quando affronteremo il moto orbitale ellittico, nel capitolo
dedicato ai principi di conservazione.
163
 La Controfisica
Nel caso di un sistema binario, le forze di gravità uguali e contrarie che
agiscono, sono entrambe centripete
dato che tutti e due i corpi descrivono
traiettorie circolari (od ellittiche) con
centro comune, quindi qui dovremmo
parlare di sia di azione centripeta che
di reazione centripeta.
d2
che addizionate danno:
w 2 (r1 + r2 ) =
CM
m2
Abbiamo ottenuto la relazione che definisce il centro di massa di due masse puntiformi a
distanza d . I due corpi si troveranno allora sempre da parti opposte rispetto al comune
centro di rotazione, che è il CM del sistema, che come sappiamo è più vicino al corpo di
massa maggiore. La forza centripeta, uguale per i due corpi, come sappiamo è fornita
m1 w 2r1 =
r2
r1

F1

F2
CM
e sostituendo r1 + r2 = d possiamo risolvere per T = 2p /w ed avere il periodo:
T = 2p
 La Controfisica
I satelliti artificiali sono usati nelle
telecomunicazioni, per la meteorologia, per la navigazione o per rilevare
informazioni, e si dividono in equatoriali e polari. Fra i primi vi sono i
geostazionari, dalla cui altezza si vede
il 43% del globo, pari ad un angolo
visuale di 17°. Sono indispensabili
nelle telecomunicazioni perché fissi in
un punto sopra al pianeta, ma per la
loro grande distanza possono raccogliere solo immagini di bassa risoluzione. I satelliti che passano sopra ai
poli hanno in genere un’orbita bassa,
400-1200km, e fanno 14 orbite al
giorno. Il costo per metterli in orbita è
più contenuto e le immagini che raccolgono sono più definite. Tuttavia la
loro orbita dura circa 90 minuti e passano sopra ad un’area del pianeta solo
due volte al giorno per brevi tratti.
Molto noto è il satellite polare Hubble,
dedicato all’astronomia ottica, ad un
orbita di 800km.
d3
G (m1 + m2 )
Quanto deve essere alta come mimino un’orbita?
Se non vi fosse l’atmosfera, e la Terra fosse una sfera dalla superficie liscia, sarebbe possibile un’orbita anche al livello del mare. Tuttavia il fatto di dover spostare l’aria per muoversi implica, per la terza legge di Newton, che l’aria eserciti una forza uguale e contraria,
rallentando così il moto, ed impedendo la stabilità dato che la velocità orbitale deve restare costante. Pertanto l’orbita più bassa possibile si ha alla quota in cui l’aria è sufficientemente rarefatta da non ostacolare il moto: sono circa 150 km . Gli shuttle percorrono orbite con r = 250 km alla velocità di circa 8 km/s e T = 1h 30 min , i satelliti GPS orbite
con r = 20000 km e T = 12h . E’ inoltre possibile che un’orbita sia geosincrona, cioè tale
che il suo periodo duri esattamente un giorno. Sostituendo T = 24 h = 8.64 ´ 104 s si ottiene:
2
1
æ T ö3
r = ççç ÷÷÷ (GMT )3 = 4.22 ´ 107 m
çè 2p ø÷

h = r - RT = 35800 km
A quell’altezza la velocità orbitale è circa 3.1 km/s . Se poi l’orbita geosincrona avviene
nel piano che contiene l’equatore, e nello stesso verso di rotazione della Terra, si dice geostazionaria. Un satellite per telecomunicazioni segue tale orbita, in modo da mantenersi
sempre sopra ad uno stesso punto sulla superficie dell’equatore terrestre12.
Quanto sono efficaci i satelliti spia?
d
h
45
I satelliti spia devono percorrere orbite basse per avere risoluzione sufficiente a distinguere oggetti vicini. L’elevata velocità che le orbite basse richiedono, fa si che il tempo di transito sopra all’obiettivo sia veramente breve. Con riferimento alla figura, assumendo che
l’osservazione sia possibile da un angolo al massimo di 45 , si ha d  2h , e se l’altezza è
la tipica dei satelliti spia, h = 300 km , il tempo di permanenza sopra all’obiettivo in un

passaggio con vo » 8 km/s sarà [(300 ´ 2)/ 8] s cioè dell’ordine del minuto. Per di più la
successiva orbita non ripasserà esattamente sopra all’obiettivo perché la Terra sotto ha
ruotato con velocità differente dal satellite e si dovranno attendere numerose orbite per
un nuovo transito.
B
2
A
1
Come funziona il sistema GPS ?
Il sistema di posizionamento globale (Global Positioning System) si avvale di un ricevitore ed una rete di 24 satelliti posti a quota 20000 m , con un periodo orbitale di 12 h . Il nostro apparecchio è solo ricevitore, non invia alcun segnale ai satelliti, che quindi neppure
sanno della nostra esistenza. Essi inviano il segnale della loro posizione in ogni istante: bastano tre di questi segnali per poter individuare con certezza la nostra posizione sul pianeta. Per capire riferiamoci ad un piano e supponiamo di ricevere la posizione del satellite A
insieme al tempo in cui il segnale è stato inviato. Dalla velocità della luce, alla quale viaggiano le onde radio, ricaviamo la nostra distanza da A. Questo permette di concludere
che ci troviamo su di una circonferenza (nello spazio una sfera) centrata in A, di raggio
pari alla distanza ricavata. Contemporaneamente riceviamo il segnale dal satellite B, e
quindi dovremo stare pure lungo una circonferenza di centro B e raggio trovato con lo
C
stesso sistema. Questo riduce la nostra possibile posizione solo ai punti 1 e 2 in figura. La
ricezione di un terzo segnale permette infine di stabilire che la nostra posizione è la 1, perché dobbiamo appartenere pure ad una terza circonferenza con centro in C.
Il che permette facilmente di individuare il sud in una grande città europea, semplicemente osservando la direzione
verso la quale puntano le antenne paraboliche televisive per ricevere il segnale satellitare.
12
164
Esercizi
46. L’orbita del pianeta Nettuno può approssimativamente essere considerata una circonferenza. Sapendo che Nettuno dista dal Sole circa 30 volte quanto dista la Terra, si calcoli
quanti anni gli occorrono per completare una rivoluzione.
Possiamo rispondere utilizzando la terza legge di Keplero per il moto orbitale:
rT3
TT2
=
rN3
TN2
 La Controfisica
A riprova che le orbite esterne sono le
più lente, si confronti la velocità orbitale di 8km/s caratteristica dei satelliti
artificiali più bassi (200-300km), con la
velocità orbitale di 1km/s della Luna
(400000km circa).
= costante
Le informazioni del testo possono essere espresse scrivendo che rN = 30rT . Sostituendo:
rT3
TT2
=
303 ⋅ rT3
TN2

TN2 = 303 ⋅ TT2

TN = 30
3
2
⋅ TT = 164 ⋅ TT
ed essendo TT = 1 anno si ha TN = 164 anni .
47. Le osservazioni mostrano che la Luna impiega 27g 7 h 43 min per una rivoluzione
completa attorno alla Terra (rivoluzione siderale). Assumendo che l’orbita sia circolare e
che M L = 7.35 ´ 1022 kg calcolare la distanza media della Terra dal nostro satellite e
[R: 383000 km, 2.72 ´ 10-3 m/s2 ]
l’accelerazione centripeta della Luna.
48. Un satellite descrive un’orbita circolare attorno alla Terra ad una distanza di 500 km
dalla sua superficie, impiegando 94.6 min . Trovare la frequenza di rotazione del satellite
(numero di giri ogni secondo), la sua velocità orbitale e l’accelerazione centripeta. Mostrare quindi che l’accelerazione centripeta è uguale all’accelerazione dovuta alla gravità ter-
restre.
-4
[R: 1.70 ´ 10
3
2
Hz, 7.61 ´ 10 m/s, 8.41 m/s ]
m
L1
rL
r
49. L’astronave Enterprise si posiziona in orbita (geo)stazionaria attorno al pianeta Klin-
gon, ad una distanza di 7.00 ´ 104 km dalla superficie, compiendo una rivoluzione in
due giorni terrestri. Il capitano Picard chiede al tenente comandante Data quale sia la
massa di Klingon, ma una tempesta magnetica ha cancellato parzialmente i dati e risulta
disponibile solo il raggio RK = 1.00 ´104 km . Aiutate Data a calcolare la massa del pia[R: 1.01 ´ 1024 kg ]
neta.
50. Si dice punto lagrangiano L1 una posizione fra la Terra e la Luna che abbia lo stesso
periodo della Luna. Se considerassimo solo la gravità terrestre, un punto più vicino della
Luna non potrebbe mai soddisfare questo requisito, perché dovrebbe seguire la sua orbita
più velocemente della Luna. Tuttavia la gravità lunare equilibra parte della gravità terrestre rendendo il fenomeno possibile. Si imposti l’equazione che permette di trovare il raggio r dell’orbita del punto L1.
[R]
Che cos’è un disco di accrescimento?
In un sistema di due corpi celesti, esiste sempre un punto lungo la congiungente i centri,
dove le attrazioni gravitazionali reciproche si bilanciano. Esso si trova più vicino al centro
del corpo di massa maggiore: ne abbiano calcolato la posizione nel caso di Terra e Luna. disco di
Nei sistemi di stelle doppie, può capitare che i due astri siano così vicini che questo punto accrescimento
(contrassegnato con x in figura) viene a cadere all’interno della stella più voluminosa. Accade allora che la materia stellare che si trova più distante dal centro dell’astro rispetto a
tale punto, venga prelevata e trasportata verso l’altra stella. Essa segue un percorso a spirale, detto disco di accrescimento, lungo il quale spesso si riscalda molto, aumentando progressivamente la massa della stella ricevente. Se quest’ultima è una nana bianca, cioè una
stella che ha completato il ciclo di fusione nucleare, il continuo flusso di materia la farà
crescere finché non supererà il limite massimo consentito per le nane bianca, cioè 1.4 volte
la massa del Sole, raggiunto il quale avrà luogo un’esplosione, chiamata supernova Ia.
165
8. L’effetto Coriolis e le forze apparenti
Prendiamo ora in esame i riferimenti rotanti, che non essendo in moto rettilineo uniforme non sono inerziali , e cioè un corpo posto in essi può subire una variazione di
velocità anche senza essere sottoposto all’azione di una forza. L’esempio più famoso
è l’effetto centrifugo già esaminato, cioè la sensazione di essere spinti lontano dall’asse
di rotazione. Un secondo fenomeno che ha luogo nei riferimenti rotanti è noto come
effetto Coriolis, e che, a differenza dell’effetto centrifugo che riguarda tutti i corpi del
sistema rotante, caratterizza soltanto gli oggetti in movimento:
Effetto Coriolis
Un corpo che si muove in un sistema di riferimento rotante sperimenta una continua deviazione della traiettoria in direzione sempre perpendicolare alla propria velocità istantanea, misurata nel sistema rotante.
Che cosa dà origine all’effetto Coriolis?
60
30
0
835km /h
1466km /h
1670km /h
alta
bassa
alta
Per capire consideriamo un piatto che gira e una pallina appoggiata, e poniamo che
l’attrito statico (massimo) la tenga ferma in un punto fra centro e bordo. Vista da
un osservatore solidale al piatto che ruota, la pallina appare avere velocità zero in
qualunque direzione. Immaginiamo ora di spostare la pallina verso il centro: cosa
accadrà? I punti del piatto ruotano tanto più rapidamente quanto più sono esterni:
infatti devono descrivere circonferenze sempre più grandi nello stesso intervallo di
tempo. Questa proprietà per cui i punti vanno tanto più veloce quanto più distano
dall’asse di rotazione è detta rotazione di corpo rigido. Avvicinando la pallina all’asse
di rotazione, per il principio di indipendenza dei moti perpendicolari, non modifichiamo la velocità tangenziale ma forniamo al blocchetto un moto radiale. Pertanto
la pallina mantiene la velocità di rotazione che aveva nella posizione iniziale, e si
trova così a voler ruotare più rapidamente rispetto ai punti del piatto su cui poggia,
che seguono la rotazione di corpo rigido. La conseguenza di questo è che un osservatore solidale al piatto vede la pallina accelerare nella direzione del moto di rotazione, proprio come se ci fosse qualcuno ad esercitare una forza perpendicolarmente
alla sua velocità radiale. Se viceversa allontaniamo la pallina dall’asse, questa si trova
ad avere una velocità minore rispetto ai punti del piatto sul quale poggia, e quindi
tende a restare indietro nel moto di rotazione, come se qualcosa la frenasse perpendicolarmente alla sua velocità radiale. Se infine spingiamo la pallina nel verso della rotazione, questa si muove più velocemente di prima attorno all’asse e quindi per mantenerla su quella traiettoria circolare occorre una maggiore forza centripeta. Se
l’attrito statico non ce la fa a fornire tale forza aggiuntiva, la pallina si sposta verso
l’esterno dove occorre meno forza centripeta grazie maggior raggio, e per un osservatore agganciato al piatto che ruota tutto va come se avesse agito una forza perpendicolarmente alla velocità tangenziale della pallina.
Quali sono le conseguenze sul clima terrestre dell’effetto Coriolis?
L’effetto Coriolis può essere osservato sulla superficie di un pianeta, perché qui la
velocità di rotazione diminuisce gradualmente andando dall’equatore, che è più lontano dall’asse di rotazione, verso regioni ad alte latitudini (i poli), più vicine
all’asse, con valori come in figura. In particolare l’effetto Coriolis agisce sulla direzione di spostamento delle grandi correnti oceaniche e svolge un importante ruolo
nel moto dei venti. Quando vi sono due regioni della Terra dove i raggi del Sole riscaldano differentemente le masse di aria13 , si creano zone cosiddette di alta pressione
(aria calda) e bassa pressione (aria fredda). L’alta pressione spinge l’aria in direzione
Per vari motivi ad esempio la diversa inclinazione dei raggi stessi, che all’equatore sono perpendicolari
al terreno, e via via si fanno più radenti ai poli.
13
166
delle zone di bassa pressione, tuttavia se queste si trovano a latitudini dove la velocità di rotazione del pianeta è diversa, il vento viene deviato lateralmente, cioè subisce una spinta perpendicolare alla sua velocità a causa dell’effetto Coriolis. Nel nostro emisfero (detto boreale), l’aria che si muove dall’equatore verso nord viene deviata in direzione ovest, e l’aria che si muove da nord verso l’equatore in direzione
est, quindi sempre a destra rispetto alla velocità. Nell’emisfero australe invece, lo
spostamento è sempre a sinistra rispetto alla velocità. Il risultato di questa deflessione è che il vento anziché procedere verso le regioni di bassa pressione finisce per circolare intorno ad esse, creando quello che viene detto un ciclone. Il processo che in
assenza della rotazione terrestre avrebbe pareggiato rapidamente la differenza di Uragano nell 'emisfero boreale
a forma di spirale logaritmica
pressione diviene così molto lungo e le regioni di bassa pressione sono persistenti, (US Agency for International Development )
con l’effetto di portare pioggia anche lontano dagli oceani, fino alle alte latitudini,
rendendo in tal modo temperate e fertili zone che altrimenti sarebbero assai più
fredde. L’effetto è così marcato che la direzione in cui soffiano i venti arriva a essere
lungo delle linee dove la pressione è costante (dette isòbare), anziché perpendicolarmente ad esse come ci si aspetterebbe.
Che cosa sono le forze apparenti?
L’effetto Coriolis sembra il risultato dell’azione di una forza, giacché produce un
cambiamento di direzione nella velocità del corpo, e quindi un’accelerazione. Ma
come insegna la terza legge della dinamica, per qualunque forza, oltre all’oggetto A
che la subisce, deve esserci un soggetto B che la esercita, e che a sua volta subisce
una forza uguale e contraria ad opera di A. Poiché non esiste alcun soggetto che
esercita la “forza” di Coriolis, ma è solo il riferimento che sta ruotando a produrlo,
essa è detta forza apparente. Le forze apparenti sono un modo comodo di descrivere i
fenomeni fisici nei riferimenti che si muovono di moto accelerato (rotatorio o traslatorio) cioè non inerziali. Abbiamo maggiore familiarità con altre forze apparenti,
come la cosiddetta “forza” d’inerzia, cioè il fenomeno per cui l’accelerazione del nostro riferimento, ad esempio la nostra auto, tende a lanciarci in avanti ad ogni frenata , ed indietro ad ogni aumento di velocità. Com’è evidente, non c’è nessuno che stia
esercitando la “forza” d’inerzia, ma essa è solo il riflesso del moto del riferimento. È
una forza apparente anche la “forza” centrifuga, cioè quell’effetto che abbiamo analizzato all’inizio del capitolo, per cui in un riferimento rotante si ha l’impressione di
venir scagliati verso l’esterno, lungo la direzione radiale.
167
 La Controfisica
Un’analisi dettagliata mostra che la
forza apparente di Coriolis ha intensità


 |V |
|FCoriolis | = 2m | v |
sin a
R


dove v è la velocità dell’oggetto, V
quella del riferimento prodotta dalla
rotazione a distanza R dall’asse, ed
a l’angolo fra le due velocità
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