Problemi di geometria piana a risoluzione algebrica

Testi tratti dal libro: ”Il nuovo pensiero geometrico” vol. 1, E. Cateni-R. Fortini-C. Bernardi, ed. Le Monnier
Problemi di geometria piana
1. La figura mostra un ottagono ottenuto costruendo su ogni
lato di un quadrato, ed esternamente ad esso, un triangolo
equilatero. Verificato che anche il quadrilatero ABCD è un
quadrato, se ne determini il perimetro sapendo che il
perimetro dell'ottagono è 12 m.
[R. 11,5... dopo aver approssimato le radici quadrate]
Soluzione:
L'ottagono è equilatero per costruzione: quindi il suo
lato è lungo 12/8=3/2 m, che è anche la lunghezza
del
lato di ciascun triangolo equilatero. Ricordato che l’altezza di un triangolo si calcola
l
3
3 , si ha che l’altezza di ciascun triangolo è
3 e che metà della diagonale
2
4
3 3
3 3 
3  2 , essendo la diagonale di
3 . Di conseguenza AB=  +
AC ha lunghezza +
4 4
4 4 
3 3
3.
un quadrato il cui lato è +
4 4
Il perimetro richiesto è allora pari a 4AB= 3 + 3 3 2 ≅ 11,591...
come
(
)
2. In un trapezio isoscele l'area è 204 m2, l'altezza è 12 m e il perimetro 64 m. Calcolare le
lunghezze dei lati.
[R. 26 m, 8 m, 15 m]
Soluzione:
L'area di un trapezio è data dalla formula: A =
invertendo la formula si ricava Bmag + B min =
( Bmag +
B min ) h
2
; essendo noti A e h,
2 ⋅ 204
= 34 . Quindi sottraendo 34 al
12
perimetro, si trova la somma dei due lati obliqui: 64 – 34 = 30;
di conseguenza ciascuno sarà lungo 15. Per trovare la
lunghezza delle due basi è sufficiente applicare il teorema di
Pitagora al triangolo rettangolo in figura e risolvere la
semplice equazione 2 ⋅ B min + 18 = 34 ⇒ B min = 8 Di
conseguenza la base maggiore è lunga 8+18=26.
3. In un trapezio isoscele una diagonale, l'altezza e la base maggiore sono rispettivamente 119 cm,
56 cm e 112,5 cm. Determinare la base minore, il lato obliquo e l'area del trapezio.
[R. 97,5 cm, 56,5 cm, 5880 cm2]
Soluzione:
Con riferimento alla figura, dal teorema di Pitagora applicato
al triangolo ABH si ricava DH = 119 2 − 56 2 = 105 e di
conseguenza HC = 112,5 – 105 = 7,5. Di conseguenza AB =
112,5 – 15 = 97,5 . Per trovare BC è sufficiente applicare il
teorema di Pitagora al triangolo BHC.
Testi tratti dal libro: ”Il nuovo pensiero geometrico” vol. 1, E. Cateni-R. Fortini-C. Bernardi, ed. Le Monnier
4. In un triangolo isoscele la base e l'altezza sono uguali rispettivamente a 288 cm e 108 cm;
determinare le lunghezze delle altezze relative ai lati uguali.
[R. 172,8 cm]
Soluzione:
Con riferimento alla figura, dal teorema di Pitagora sul triangolo AHC
si ricava AC = 180. Per determinare l’altezza BK relativa ad AC si
scrive un'equazione che esprime l’area del triangolo pensato una
volta con base BC e una volta con base AC; quindi
BK ⋅ 180 108 ⋅ 288
=
⇒ BK = 172,8
2
2
5. Due lati di un triangolo sono lunghi rispettivamente 8 dm e 4,2 dm. Sapendo che l'altezza relativa
al primo lato è 63 cm, determinare l'altezza relativa al secondo lato.
[R. 12 dm]
Soluzione:
Strategia analoga al problema precedente: l’altezza si ricava dall’equazione che
esprime l’area calcolata assumendo come base una volta il primo e una volta il
secondo lato. Indicata con h la lunghezza dell’altezza richiesta, si ha:
h ⋅ 4,2 8 ⋅ 6,3
=
⇒ h = 12
2
2
N.B. 63 cm = 6,3 dm
6. Due lati consecutivi di un parallelogramma sono uguali a 12 m e 336 dm. Determinare le altezze
e l'area della figura sapendo che un suo angolo è di 30°.
[R. 60 dm e ....; 20160 dm2]
Soluzione:
Con riferimento alla figura, ricordate le
relazioni tra i lati nei triangoli rettangoli
con angoli di 30° e 60°, si ricava AH=6 m
= 60 dm. Da cui l’area come prodotto
base (336 dm) per altezza (60 dm). Per
trovare l’altezza CK al lato AD, si ragiona
come nei due problemi precedenti:
CK ⋅ 120 = 20160 ⇒ CK = 168dm
N.B. le misure sono state convertite in dm.
7. In un parallelogramma, un angolo alla base è di 30°; l'altezza è i 5/7 della base e la loro somma è
60 m. Calcolare i lati e l'area della figura.
[R. 35 m, 50 m, 875 m2]
Soluzione:
Indicata con x la lunghezza della base, si ottiene
l’equazione: x +
5
x = 60 ⇒ x = 35
7
Di conseguenza l’altezza del parallelogramma è 25;
con riferimento alla figura, AD = 50 (perché…). L’area
è uguale a 35 ⋅ 50 = 875 m2.
Testi tratti dal libro: ”Il nuovo pensiero geometrico” vol. 1, E. Cateni-R. Fortini-C. Bernardi, ed. Le Monnier
8. Dividere un angolo di 72° in parti direttamente proporzionali ai numeri 7, 8 e 9.
[R. 21°, 24°, 27°]
Soluzione:
Indicate con α, β, γ le ampiezze richieste, queste devono soddisfare le uguaglianze
α
β
γ
=
= ; conviene assumere come incognita x il valore comune dei tre rapporti, in tal
7 8 9
α
= x ⇒ α = 7 x e analogamente
modo le ampiezze da trovare si possono riscrivere
7
β = 8 x, γ = 9 x . Quindi l’equazione risolvente è: 7x + 8x + 9x = 72 da cui x = 3 e
rispettivamente: α = 21°, β = 24° γ= 27°.
9. Il perimetro di un triangolo isoscele è 580 m. Determinare il lato e la base del triangolo sapendo
che il loro rapporto è 8/13.
[R. 160 m, 260 m]
Soluzione:
Indicata con x la lunghezza della base si scrive l’equazione: x + 2 ⋅
di conseguenza la base ha lunghezza 260 m e il lato 160 m.
8
x = 580 ⇒ x = 260 ;
13
10. In un parallelogramma ABCD l'angolo BAD è di 60° e la diagonale minore BD è perpendicolare
al lato AB. Trovare i lati sapendo che i 3/5 del perimetro sono uguali a 1,44 m.
Suggerimento: indicare con x la lunghezza di AB...
[R. AB=0,4 m, AD=0,8 m]
Soluzione:
Indicata con x la lunghezza di AB, si ricava
AD=2x (perché…), da cui ‘equazione che
esprime il perimetro:
x + 2 x + x + 2 x = 1,44 ⋅
5
⇒ x = 0,4
3
11. Sono dati un segmento AB di lunghezza 10 cm ed un suo punto P. Dalla stessa parte di AB si
costruiscono i due quadrati APQR e PBMN nonché il rettangolo PMSR avente per dimensioni le
diagonali PR e PM dei due quadrati. Come deve essere scelto P affinché tale rettangolo abbia area
42 cm2?
Suggerimento: indicare con x la lunghezza di AP..
[R. due soluzioni, entrambe accettabili: AP=3 cm, AP=7 cm]
Soluzione:
L’area del rettangolo PMSR è data dal prodotto delle misure dei suoi lati che sono le
diagonali dei quadrati APQR e PBMN; indicata con x la
lunghezza di AP e applicatoli teorema di Pitagora ai triangoli
rettangoli ARP e PBM, si ottiene:
PR = x 2 + x 2 = 2 x 2 = x 2 e
PM =
(10 − x ) 2 + (10 − x ) 2
=
2(10 − x ) = (10 − x ) 2 .
L’equazione risolvente allora è
2
x 2 ⋅ (10 − x ) 2 = 42 ⇒ 2 x(10 − x ) = 42 ⇒ x1 = 3; x 2 = 7
Testi tratti dal libro: ”Il nuovo pensiero geometrico” vol. 1, E. Cateni-R. Fortini-C. Bernardi, ed. Le Monnier
Le due soluzioni sono geometricamente simmetriche.