Sistema lineare in Excel - Sito Personale di Ettore Limoli

Lezioni di Informatica
Sistemi lineari con Excel
Prof. Ettore Limoli
Il problema
Esistono vari metodi per risolvere un sistema lineare, il vero problema è la mole di calcoli da affrontare.
Aumentare la mole di calcoli vuol dire aumentare la possibilità di commettere errori, sia pur per semplice
distrazione. Nell’era dell’automazione è chiaro che è meglio servirsi di un supporto informatico.
Il supporto diretto, offerto da calcolatrici o programmi di matematica, non sempre ci consente di risolvere
sistemi di grosse dimensioni. Un aiuto semplice, ma poco noto, ci viene dal foglio elettronico di calcolo.
Analizziamo prima i presupposti teorici e poi l’implementazione in Excel.
Sia dato il seguente sistema lineare di n equazioni in n incognite:
𝑎1,1 𝑥1 + 𝑎1,2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1,𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑎2,1 𝑥1 + 𝑎2,2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2,𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
⋮
𝑎
𝑥
+
𝑎
𝑥
+
⋯ + 𝑎𝑛,𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
{ 𝑛,1 1
𝑛,2 2
Indichiamo la matrice dei coefficienti con A, con B la matrice dei termini noti e con X la matrice delle
incognite, ossia:
𝑎1.1
𝑎2,1
𝐴=‖
⋮
𝑎𝑛,1
𝑎1,2
𝑎2,2
⋯
⋯
𝑎1,𝑛
𝑎2,𝑛
𝑎𝑛,2
⋯
𝑎𝑛,𝑛
𝑏1
𝑏2
𝐵 = ‖ ‖;
⋮
𝑏𝑛
‖;
𝑥
𝑥2
𝑋 =‖ ⋮ ‖.
𝑥𝑛
Il sistema lineare può essere scritto, in forma matriciale, come segue:
AX=B
Dove l’operatore  indica il prodotto di matrici.
Se il determinante di A è diverso da zero (det(A)  0) allora, per il teorema di Cramer, il sistema ammette
un’unica soluzione data da:
X = A-1  B ,
dove A-1 è la matrice inversa di A, ossia la matrice che moltiplicata per A dà la matrice identica I.
La matrice identica è la matrice tale che A  I = I  A = A.
La matrice identica è una matrice quadrata n x n, con la diagonale principale costituita tutta da 1 e tutti gli
altri elementi sono nulli.
1
0
𝐼=‖
⋮
0
0
1
⋯
⋯
0
0
0
⋯
1
‖.
1
Risoluzione con Excel
Il foglio elettronico di calcolo, per fortuna, ci consente di svolgere varie operazioni con le matrici. Vediamo
quelle che ci servono attraverso un esempio.
Si voglia risolvere il sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite:
−𝑥 − 2𝑧 = 1
{𝑦 − 𝑧 = 2
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −1
Predisponiamo il foglio come segue:
La matrice dei coefficienti A e quella dei termini noti B sono evidenziate da diversi colori di fondo.
Calcoliamo la matrice inversa A-1. Ci poniamo, ad esempio, sulla cella [B9] e introduciamo la formula:
MATR.INVERSA(B4:D6). Perché la formula venga estesa all’intera matrice da riempire, selezioniamo
l’intervallo [B9:D11] quindi premiamo il tasto F2 (consente di modificare una formula) e quindi i tasti CTRL +
SHIFT + INVIO. A questo punto la matrice inversa comparirà nell’intervallo selezionato.
Usiamo lo stesso procedimento per estendere una formula ad una intera matrice. Inseriamo la
formula nella prima cella, selezioniamo l’intervallo che dovrà contenere la matrice, premiamo il
tasto F2 per modificare, quindi i tasti CTRL + SHIFT + INVIO.
Il foglio completo apparirà così:
Il piano delle formule:
2
Come si può notare, l’intera matrice contiene la stessa formula ma il valore mostrato dipende dalla
posizione.
Abbiamo introdotto anche il calcolo del determinante di A e una semplice verifica della correttezza della
soluzione X. La verifica è ottenuta verificando che A  X = B.
Per ulteriori chiarimenti si consulti la guida online di Excel.
Prof. Ettore Limoli
Tastiera del computer. Le frecce indicano le posizioni dei tasti indicati nella lezione.
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