Poligono con tre lati e tre angoli. Proprietà di un triangolo In un triangolo :
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I lati e i vertici sono consecutivi fra loro; La somma degli angoli interni è 180°; La somma degli angoli esterni è 360° Ciascun lato è sempre minore della somma degli altri due lati ed è sempre maggiore
della differenza degli altri due lati (AC<BC+AB e AC>AB-BC);
Non ha diagonali
Classificazione rispetto ai lati TRIANGOLO Triangolo Equilatero Ha i tre lati congruenti cioè tutti della stessa lunghezza Triangolo Isoscele Ha due lati congruenti Triangolo Scaleno Ha i tre lati disuguali cioè di lunghezza diversa 1 Classificazione rispetto agli angoli TRIANGOLO TRIANGOLO RETTANGOLO Triangolo avente un angolo retto ( 90°) TRIANGOLO ACUTANGOLO Triangolo con tutti e tre gli angoli acuti (< di 90°) TRIANGOLO OTTUSANGOLO Triangolo con un angolo ottuso (> di 90° ma < di 180° Punti notevoli di un triangolo Altezza di un triangolo Si definisce altezza di un triangolo il segmento che parte da un vertice e va a finire al lato opposto in maniera perpendicolare. Dal vertice C tiriamo la perpendicolare al lato opposto AB, CH rappresenta l’altezza relativa al lato AB e il punto H è il piede dell’altezza. 2 Poiché il triangolo ha tre lati, avrà complessivamente tre altezze: CH = altezza relativa al lato AB AK = altezza relativa al lato BC BL = altezza relativa al lato CA In ogni triangolo le tre altezze si incontrano in un punto O detto ORTOCENTRO. Osservazioni Nel triangolo acutangolo le tre altezze sono sempre interne al triangolo quindi anche l’ortocentro sarà interno all’interno del triangolo ( vedi fig. sopra). • Consideriamo invece un triangolo rettangolo: -­‐ Il lato AB, che prende il nome di cateto, coincide con l’altezza relativa al lato BC. -­‐ Il lato BC, chiamato pure cateto, coincide con l’altezza relativa al lato AB. -­‐ l’altezza BD, relativa al lato AC (detto ipotenusa) incontra le altre due altezze nel punto B. Possiamo quindi dire che nei triangoli rettangoli l’ortocentro coincide con il vertice dell’angolo retto, nel nostro caso con il vertice B. 3 Consideriamo invece un triangolo ottusangolo ABC e tracciamo le tre altezze •
l'altezza AH relativa al lato BC, incontra tale lato nel suo
prolungamento e, dunque, risulta essere esterna al triangolo;
• l'altezza CM relativa al lato AB, incontra tale lato nel suo prolungamento e, dunque, risulta essere esterna al triangolo; • l'altezza BK relativa al lato AC, è interna al triangolo e il suo piede è interno al triangolo; • L’ortocentro O è esterno al triangolo: esso è il punto di incontro dei prolungamenti delle tre altezze. MEDIANA La mediana di un triangolo è il segmento che unisce un vertice con il punto medio del lato opposto. Disegniamo un qualsiasi triangolo ABC, disegniamo il punto medio del lato BC e lo chiamiamo P, Ora congiungiamo il vertice A con il punto medio P del lato opposto. Quella che abbiamo disegnato prende il nome di mediana e più esattamente essa è la mediana del triangolo ABC relativa al lato BC. Poiché il triangolo ha tre lati e tre angoli, possiamo tracciare tre mediane per ogni triangolo: ognuna di esse unisce un vertice con il punto medio del lato opposto. Le tre mediane passano tutte per uno stesso punto O detto baricentro .Osserviamo che le mediane disegnate sono tutte interne al triangolo. Questa regola vale qualunque sia il tipo di triangolo disegnato. 4 BISETTRICE La bisettrice di un triangolo relativa ad un vertice è il segmento che unisce il vertice al lato opposto dividendo a metà l'angolo. Disegniamo il triangolo ABC, disegniamo un segmento che partendo dell'angolo A raggiunga il lato opposto BC, dividendo l'angolo A in due parti aventi la stessa ampiezza, Il segmento AH che abbiamo disegnato prende il nome di bisettrice di vertice A del triangolo. Disegniamo anche la bisettrice del triangolo relativa al vertice B e la bisettrice del triangolo relativa al vertice C: Come possiamo osservare le tre bisettrici si incontrano in un punto detto incentro che nel nostro
disegno abbiamo evidenziato con la lettera O.
Qualsiasi triangolo noi disegniamo l'incentro è sempre interno al triangolo. 5 ASSE Si definisce asse di un triangolo relativo ad un lato quella retta perpendicolare al lato stesso e che passa per il suo punto medio. Consideriamo un qualunque triangolo ed il suo lato AB, mettiamo D punto medio del lato AB e tracciamo una retta a perpendicolare ad AB e passante per il punto medio D. La retta a si chiama asse relativa al lato AB. Poiché un triangolo ha 3 lati , gli assi di un triangolo saranno sempre tre che si incontrano in un unico punto K detto circocentro. . 6
