Il rumore nei dispositivi elettronici

Il rumore nei dispositivi elettronici
D.Gamba et al.
July 12, 2004
1
Il rumore, in senso lato, puo’ essere definito come ogni segnale non desiderato che oscura o interferisce col segnale desiderato . Il rumore, o in gergo noise, e’ un segnale totalmente casuale; le
componenti della frequenza sono completamente casuali sia in ampiezza che in fase. Anche se
su un intervallo di tempo abbastanza ampio si puo’ misurare lo rms del segnale, la sua ampiezza
istantanea non puo’ essere predetta. Se si potesse predire, si capisce, non sarebbe piu’ un problema.
Quello che si puo’ predire e’ il tipo di randomness del noise. La maggior parte dei tipi di rumore
ha una distribuzione Gaussiana, come ad es., il rumore termico e lo shot noise, altri tipi di rumore
hanno distribuzioni diverse, ma poiche’ la somma di molte variabili casuali indipendenti e’ una
variabile Gaussiana, si puo’ assumere che l’analisi in termini di pdf Gaussiana per il rumore sia ben
giustificata:
(x − µ)2
1
]
(1)
f (x) = √ exp − [
2σ 2
σ 2π
essendo x l’ampiezza del segnale di rumore, che puo’ essere sia di tensione che di corrente, e µ
il suo valor medio. Se σ e’ la deviazione standard della distribuzione Gaussiana, allora il valore
istantaneo si trova tra il valore medio del segnale e ±σ circa il 68% del tempo. Per definizione, σ 2
(la varianza) e’ lo scarto quadratico medio attorno al valore medio. Questo significa che i segnali
di ampiezza con distribuzione Gaussiana hanno per deviazione quadratica media, attorno al valore
centrale < e2 > di tensione o < i2 > di corrente, la varianza σ 2 e lo rms e’ la deviazione standard σ.
Teoricamente l’ampiezza del rumore puo’ tendere a valori infiniti; tuttavia la probabilita’
diminuisce rapidamente. Il limite pratico e’ ±3σ, poiche’ l’ampiezza del noise e’ per il 99.7% delle
volte entro questi limiti. Poiche’ il valore di rms di una sorgente di rumore e’ uguale a σ, per
essere sicuri che un segnale picco a picco,p-p, sia entro i limiti il 99.7% delle volte, si moltiplica il
valore rms per 6(+3σ − (−3σ)) che e’ uguale a Erms x6 = Epp
Ci si puo’ accontentare anche di meno, ad esempio del 95.4% e quindi si moltiplica per 4, oppure
2
se si vuole il 99.94% , cioe’ al massimo 6 volte su 10000, si moltiplica la σ per 6.8.
La definizione di rms e’ basata sulla misura che i voltmetri digitali fanno della tensione AC, in
funzione del tempo, v(t) secondo:
s Z
T
1
v 2 (t)dt
(2)
Vrms =
Tp 0
dove Tp e’ il periodo. Applicando la definizione ad un’onda sinusoidale di Vm Volt p-p, si ottiene il
risultato da ricordare : Vrms = 0.707Vm .
1
Cenni sul Common-Mode Noise
Prima di discutere dei vari tipi di rumore generato nei e dai dispositivi elettronici, si introduce
nelle sue componenti principali quello che si intende in generale per rumore: il segnale che
compare sullo schermo dell’oscilloscopio a mascherare il segnale vero. A differenza del rumore
casuale dei dispositivi questo e’ un rumore che essendo generato o captato da altri generatori ha
una struttura definita, per cui si riesce ad abbattere. Il mondo della tecnologia high tech e’ invaso
dal rumore. Conoscere le caratteristiche e capire il comportamento del rumore e’ importante per
chi si accinge a progettare circuiti elettronici. Il rumore e’ generalmente causato da interferenze
elettromagnetiche (EMI), da interferenze di radiofrequenze (RFI) e da loop di massa ( o ground
loop).
1.1
EMI
Le interferenze EMI si possono dividere in due categorie: quelle prodotte da dispositivi che
producono intenzionalmente radiazione e.m., come i trasmettitori TV e radio, cellulari, radio
amatori, sistemi radar e GPRS, insomma tutte le sorgenti che emettono deliberatamente
radiazione e.m. e quelle prodotte non intenzionalmente da sistemi quali i computer, la televisione
di casa, lo stereo, printer, copiatrici, luci al neon, strumenti di potenza ad es. trapano, e linee di
potenza. Questa seconda categoria e’ quella che genera piu’ problemi ai sistemi elettronici.
Si trascurano altre fonti di rumore, quale le sorgenti naturali di EMI come la luce, raggi cosmici,
decadimenti radioattivi etc. che pure hanno la loro importanza vitale, ad es. nella strumentazione
satellitare, negli strumenti di controllo aereo etc.
La maggior parte deila strumentazione elettronica ha un filtro EMI sul front end
dell’alimentazione, in modo da bloccare la massima parte del rumore viaggiante sui cavi di
alimentazione ( vedere le etichette omologate CE ). Sfortunatamente la EMI puo’ essere irradiata
ed accoppiarsi con l’involucro metallico o con le linee dati. Si ovvia a questo con connettori
accoppiati e intrecciati e schermati con la schermatura messa a terra. Il rumore EMI puo’
viaggiare anche sul sistema di connessione a TERRA, se questo non e’ ben progettato. Per
ovviare ai ground loop e’ necessario che tutto il sistema, piccolo o grande che sia, sia connesso a
terra in un unico punto, altrimenti si generano loop di massa che alterano il comportamento ed i
segnali del sistema.
3
1.2
RFI
La RFI e’ la propagazione via radiazione e.m. e per conduzione su linee di segnali e sistemi di
alimentazione AC. Nel primo caso, uno degli elementi che contribuisce di piu’ alla RFI e’ il cavo
di tensione. Agisce come un’antenna, poiche’ la sua lunghezza a volte e’ proprio un quarto di
lunghezza d’onda RFI della strumentazione digitale e dagli alimentatori switching. Nel secondo
caso conduzione, ce ne sono due tipi: RFI common-mode ( asimmetrico ) e’ presente sulle linee e
sul neutro rispetto a terra ed il RFI differenziale (simmetrico) e’ presente come una tensione tra le
linee ed il neutro.
1.3
Ground loop
Uno dei problemi piu’ difficili da capire, diagnosticare e risolvere e’ il ground loop. Tutti i tipi di
apparati sono suscettibili a questo problema. I ground loop causano errori sui dati, rotture di
componenti, blocco dei computer e nei casi peggiori problemi di sicurezza. Il mettere a terra i
dispositivi e’ in prima istanza usato per problemi di sicurezza,es. evitare che ci sia
surriscaldamento e prenda fuoco. A questo scopo si potrebbe pensare che la ridondanza della
messa a terra sia una buona cosa perche’, se un punto di messa a terra e’ tolto per caso, ce ne
sono ancora altri. In realta’ questo e’ causa di problemi ancora maggiori, infatti i ground loop
sono proprio dovuti al fatto che ci sono piu’ punti di messa a terra. La messa a terra e’ anche
usata per terminare la schermatura delle linee di trasmissione e prevenire che la radiazione sia
emessa ed assorbita.
Quando si formano ground loop, la corrente che fluisce nel ground e’ difficilmente definibile. Puo’
essere causata da differenze di potenziale, da induzione da altri cavi o strumenti, errori di
cablaggio, perdite di corrente per saldature sbagliate etc.. La corrente puo’ essere DC, 60Hz o
frequenze molto alte.
I ground loop possono causare problemi ai sistemi elettronici in tre modi:
1. Correnti a basso voltaggio sul ground possono generare tensioni che producono errori nei
segnali e quindi nei dati. Possono essere a bassa frequenza, 60Hz , o noise elettrico ad alta
frequenza.
2. I transienti ad alta frequenza viaggiano sul ground dei dati piuttosto che il ground
dell’alimentazione per andare a terra. Questi transienti possonon essere causati
internamente da variazioni brusche della corrente, tipo la carica iniziale delle capacita’ di
input in un alimentatore switching, un motore induttivo, accensione di una luce. Questi
transienti possono causare danni ai drivers, ai receivers, ai microprocessori e a quasi tutti i
sistemi se lo sbalzo e’ sufficentemente grande.
3. Il loop di ground e’ la causa principale del common-mode noise tra le fasi, neutro e ground,
in un sistema di distribuzione di potenza. Questo noise e’ iniettato nel sistema di
alimentazione e da questo passa ai componenti elettronici.
4
1.4
Common Mode noise
Il termine common-mode noise e’ usato nell’ambito dei sistemi di alimentazione in ac ( ac power )
e dei circuiti analogici.
Il common-mode noise in termini di ac power e’ il segnale di rumore tra il conduttore di
terra e il conduttore neutro. Non deve essere confuso con il normal mode noise. che e’ il
rumore tra le linee di conduzione e la linea neutra.
Gli impulsi di c-m noise tendono ad avere una frequenza piu’ alta che il segnale del normal-noise.
Questo perche’ la maggioranza dei segnali di c-m originano dalle capacita’ accoppiate al segnale
normal mode. Piu’ alta la frequenza tanto maggiore e’ l’accoppiamento con i conduttori, linee,
neutro e terra. Le apparecchiature elettroniche sono da 10 a 100 volte piu’ sensibili al c-m noise
che al normal-mode noise. L’ammontare del noise presente sulle linee di potenza puo’ essere una
sorpresa ogni volta. La sorgente di questo noise arriva dall’impianto elettrico, esterno ed interno
all’edificio; principalmente e’ dovuto alla continua variazione del carico sulle linee dell’impianto.
Qui di seguito e’ mostrato la forma caratteristica del noise sulle linee della tensione.
Alcuni dei segnali hanno la frequenza caratteristica della frequenza delle linee di 60 Hz. Questo
tipo di noise e’ il segnale del common-mode noise che si trova sulle linee di potenza. Se si lascia
l’oscilloscopio acceso a lungo si vedranno ogni tanto degli spike di segnale dovuti a motori accesi,
trapani etc.. I tradizionali trasformatori ed anche i trasformatori di isolamento non bloccheranno i
segnali del normal mode noise, ma se il secondario di questi trasformatori ha il neutro fissato a
terra, al ground, questo puo’ servire a convertire il normal-mode noise in common-mode noise.
Dal punto di vista della microelettronica questo e’ potenzialmente piu’ dannoso del normal-mode
noise.
Il common-mode noise e’ spesso riferito al Common-Mode Voltage (CMV) che e’ presente ad
entrambi gli ingressi di un circuito analogico rispetto al ground.
5
La maggiore sorgente di common-mode noise e’ la differenza di potenziale tra due terre fisicamente
lontane. Questo e’ il caso che capita spesso con reti di calcolatori quando ci sono ground loop. I
tipici effetti sono intermittenti reboot, blocchi improvvisi, e un cattivo trasferimento dati. Quindi
tutti i componenti della rete, interfacce, porte seriali, parallele e modem sono i primi a risentirne.
Una seconda importante sorgente di common-mode noise e’ quando una sorgente di potenza non
e’ messa a terra, ad esempio se un sistema di alimentazione almenta dei sistemi remoti e questi
sistemi non sono messi a terra. Anche le sorgenti RFI sono sorgenti di common-mode noise. I cavi
di segnale agiscono come antenne se non sono schermati e la schermatura non e’ messa a terra.
1.5
Common-Mode rejection
Esistono delle tecniche di reiezione del common-mode noise per impedire che si trasformi in
normal-mode noise. Una e’ la capacita’ degli amplificatori di escludere gli effetti delle tensione
applicata ad entrambi i terminali simultaneamente. Il Common-Mode Rejection Rate , CMRR, e’
il rapporto in dB dell’amplificazione del segnale differenziale all’amplificazione della tensione di
common-mode. Il CMR e’ a volte definito come la frequenza effettiva associata con un massimo di
sbilanciamento in input: 120dB@500Hz1000Ω. Un rapporto di reiezione di 120dB significa che
una tensione di common-mode di 1V passa attraverso il dispositivo come se ci fosse un segnale
differenziale di input di 1µV . Questo significa che maggiore e’ il CMRR meglio e’.
Per la misura del common-mode noise si puo’ usare un oscilloscopio nel dominio tempo/tensione
ed un analizzatore di spettro per i dati nel dominio della frequenza.
2
Noise bandwidth
La definizione di larghezza di banda del noise, noise bandwidth, non e’ la stessa di quella del
segnale, larghezza di banda a -3 dB. La larghezza di banda di un amplificatore e’ classicamente
definito come la larghezza della banda presa tra i punti a meta’ potenza; i punti sull’asse
della frequenza dove la trasmissione del segnale e’ stato ridotto di 3dB rispetto al valore centrale.
Questo significa una perdita di potenza del 50% e corrisponde ad un livello di tensione pari a
0.707 della tensione corrispondente al centro delle frequenze. La noise bandwidth, ∆f , e’ la
larghezza corrispondente alla base di un rettangolo la cui area e’ uguale all’area
sottesa dalla curva di guadagno in un determinato intervallo di frequenza. La noise
bandwidth e’ quindi data dall’area sotto la curva di potenza, (integrale del guadagno di
potenza vs frequenza) divisa per l’ampiezza di picco della curva. L’equazione e’
Z ∞
1
G(f )df
(3)
∆f =
G0 0
essendo G(f ) il guadagno di potenza come funzione della frequenza e G0 il guadagno di potenza
al picco. Generalmente si conosce solo l’andamento della frequenza del guadagno di tensione del
sistema e poiche’ il guadagno di potenza e’ proporzionale al quadrato del guadagno di tensione
della rete, la bandwidth equivalente puo’ anche essere scritta come
Z ∞
1
|Av (f )|2 df
(4)
∆f = 2
Av0 0
6
con Av0 l’ampiezza di picco del guadagno di tensione e |Av (f )|2 e’ il quadrato dell’ampiezza del
guadagno in tensione vs la frequenza - il quadrato della grandezza del diagramma di Bode.
Nel plot di sinistra , notare la scala lineare in entrambi, si vede il plot del guadagno di un
amplificatore dove il massimo e’ per una tensione dc, mentre in quello di destra il plot ha un
massimo, questo massimo del guadagno deve essere usato per normalizzare il calcolo della
bandwidth del noise. L’area tratteggiata del rettangolo e’ uguale all’area di integrazione della eq.
precedente. Cosi’ la bandwidth del noise, ∆f , non e’ uguale alla potenza a meta’ altezza
′
o alla bandwidth -3dB, f2 , sara’ sempre maggiore di f2
Come un esempio di calcolo di ∆f si consideri un filtro passa basso ad un polo la cui trasmissione
del segnale varia con la frequenza come Av (f ) = 1/(1 + jf /f2 ) , con f2 la convenzionale frequenza
di cutoff -3dB e con la bassa frequenza e il guadagno di tensione a meta’ banda normalizzato
all’unita’. La grandezza del guadagno in tensione e’
e la noise bandwidth
|Av (f )| = p
∆f =
Z
∞
0
1
(1 + (f /f2 )2 )
(5)
df
1 + (f /f2 )2
(6)
Con una sostituzione di variabile cosicche’ f − f2 tanθ e df = f2 sec2 θdθ e con i nuovi limiti di
integrazione tra 0 e π/2 si ricava
Z π/2
Z π/2
f2 sec2 θdθ
πf2
∆f =
= f2
= 1.571f2
(7)
dθ =
2
1 + tan θ
2
0
0
Notare come la noise bandwidth sia 57% piu’ grande della convenzionale −3dB bandwidth per un
filtro passabasso ad un polo. Con circuiti a piu’ stadi in cascata, pero’, la noise bandwidth ∆f
approssima la bandwidth convenzionale di -3dB; con tre filtri passabasso in cascata la differenza
e’ solo piu’ del 15%.
Spesso il calcolo della ∆f con l’integrazione risulta non facile, ci sono delle soluzioni approssimate
che forniscono un valore asintotico, ma l’approssimazione in certi casi e’ eccessiva e non
accettabile. Un metodo pratico e’ di usare dei simulatori del circuito , esempio con SPICE o simili
oppure usare il metodo grafico con il calcolo dell’area geometricamente.
7
Il termine densita’ spettrale e’ usato per descrivere il contenuto di rumore in una unita’
bandwidth di 1 Hz. Ha unita’ di V 2 Hz ed e’ indicata come S(f ), per indicare che generalmente
varia con la frequenza. Nel caso di white noise, rumore bianco, la S(f ) e’ costante vs la frequenza,
e’ una smplice linea orizzontale.
La misura il noise e’ il rms di una certa quantita’, tensione o corrente, di segnale di rumore. Cosi’
si ottiene la densita’ spettrale dividendo il valore quadratico medio di una tensione di noise con la
bandwidth. Prendendo la radice quadrata di questa quantita’ si ottiene la tensione rms del
√
rumore in 1 Hz di bandwidth. Notare che la radice quadrata della densita’ spettrale, E/ ∆f , e’
una quantita’ che si puo’ misurare, con unita’ V Hz 1/2 .
La densita’ spettrale e’ quindi il valore del noise in una stretta banda di 1Hz e , come detto,
generalmente varia con la frequenza. Per ottenere il rumore totale in tutta la banda, la funzione
della densita’ spettrale deve essere integrata sulla banda di frequenze che interessa.
3
Meccanismi base del rumore
Nei circuiti elettronici ci sono fondamentalmente, oltre al common-mode noise, ben 5 sorgenti di
noise:
. Shot Noise
. Thermal Noise
. Flicker Noise
. Burst Noise
. Avalanche Noise
Nei circuiti che impiegano Op-amp il burst noise e l’avalanche noise non sono un problema, o si
possono eliminare facilmente se presenti, per cui non se ne terra’ conto nell’analisi circuitale.
Si parlera’ di seguito di white noise, rumore bianco, tutte le volte che la potenza del noise e’
proporzionale alla larghezza di banda del noise, cioe’ la potenza di noise e’ costante in ogni Hertz
di larghezza di banda; la potenza nella banda da 1 a 2 Hz e’ uguale a quella in da 1000 a 1001, la
potenza e’ piatta. Il segnale di noise e’ composto da infinite frequenze.
3.1
Shot Noise
Lo shot noise e’ sempre associato con il passaggio della corrente in transistor, diodi o tubi a
vuoto; esso e’ prodotto ogni qualvolta delle cariche elettriche passano attraverso una barriera di
potenziale, come in una giunzione np o in un tubo a vuoto alla superfice tra catodo e vuoto. La
domanda che ci si pone in questa situazione riguarda quante cariche attraversano la superficie
nell’unita’ di tempo. La quantita’ di cariche e’ un parmetro casuale, che dipende dalla corrente
media, ma con fluttuazioni sopra questa media che sono causa del rumore chiamato shot noise.
Non c’e’ shot noise nei conduttori semplici. Attraversare una barriera di potenziale e’ un puro
8
evento casuale, cosi’ la corrente istantanea i e’ composta da un grande numero, indipendenti, di
impulsi di corrente con un valore mediop
IDC . Lo shot noise e’ generalmente definito in termini di
rms della corrente di noise, come Ish = (2qIDC ∆f ) e passando al continuo come varianza
< i2sh >, dove :
Z
< i2sh >=< (i − iDC )2 >=
2qiDC df
(8)
Essendo q la carica dell’elettrone (1.62 · 10−19 C), IDC e’ la corrente diretta in Ampere e df e’ il
differenziale della frequenza. Il fatto che la la corrente di shot noise dipenda dalla radice quadrata
della bandwidth ∆f dimostra che lo shot noise e’ spettralmente piatto o ha una densita’ di
potenza uniforme, che significa che quando si plotta la densita’ di potenza vs frequenza questa ha
un valore costante, e’ un white noise, infatti la potenza di noise e’ definita come
P =< i >2 R = 2qIDC R∆f da cui si vede come la potenza per unita’ di bandwidth. Esso e’ anche
indipendente dalla temperatura. Il temine qiDC e’ una densita’ di potenza avente unita’ A2 /Hz.
Nei transistori BJT la barriera piu’ importante e’ quella della giunzione emitter-base, mentre nei
JFET e’ la gate-source. Nel caso del BJT la caratteristica I-V di emitter-base e’ descritta dalla
equazione IE = IS (exp(qVBE /kT − 1), dove IE e’ la corrente di Emitter, IS e la corrente inversa
di saturazione e VBE e’ la tensione base- emitter. La espressione si puo’ riscrivere come
IE = I1 + I2 , con I1 = −IS e I2 = exp(qVBE /kT ). Scritta in questo modo si puo’ associare la
corrente I1 generata termicamente dai portatori minoritari, mentre la I2 rappresenta la diffusione
dei portatori maggioritari attraverso la barriera. Ciascuna di queste correnti ha shot noise e anche
se scorrono in direzioni opposte i loro valori quadratici medi si sommano.
In condizioni di bias inverso, la I2 ≃ 0 e la corrente di shot noise I1 domina, al contrario quando il
bias e’ diretto domina la corrente di shot noise I2 . Per zero bias non c’e’ corrente esterna diretta e
la I1 e la I2 sono uguali ed opposte. Il valore quadratico medio dello shot noise totale e’ quindi il
2 = 4qI ∆f .
doppio della corrente di shot con bias inverso Ish
S
A questo punto si puo’ disegnare il circuito equivalente di una sorgente di shot noise che
consiste in un generatore di corrente in parallelo, nel caso di una giunzione np con bias diretto,
alla resistenza priva di noise di emitter di Shockley che vale re = kT /qIE .
La tensione di noise
pdal circuito come
p si ricava a questo punto
−11
(∆f /IE )
Esh = (0.025/IE ) (2qIE ∆f ) = 1.42 · 10
9
3.2
Thermal Noise
Il noise termico, ( thermal noise), e’ prodotto dall’agitazione termica dei portatori di carica (
elettroni o lacune) in un conduttore. Questo noise e’ presente in tutti gli elementi resistivi passivi.
Come lo shot noise, il thermal noise e’ spettralmente piatto e ha una densita’ di potenza piatta,
ma il thermal noise e’ indipendente dal passaggio della corrente.
In ogni conduttore o resistore a temperatura maggiore dello zero assoluto produce si ha
produzione di thermal noise; sebbene la corrente media generata da questo rumore sia zero,
istantaneamente c’e una corrente fluttuante che da’ luogo ad una tensione ai capi del conduttore.
La available noise power, potenza di rumore disponibile in un conduttore, Nt , e’ proporzionale
alla temperatura assoluta ed alla larghezza di banda ∆f del dispositivo di misura: Nt = kT ∆f .
l’available noise power e’ la potenza che puo’ essere fornita ad una sorgente resistiva quando essa
e’ applicata a una resistenza di carico senza noise RL uguale alla resistenza della sorgente RS . Il
noise termico in un conduttore puo’ ben essere modellato come una tensione o corrente. Quando
e’ modellato come una tensione esso e’ messo in serie con un resistore privo di noise; quando e’
modellato come corrente, esso e’ messo in parallelo con un resistore privo di noise. Quindi,
RL = RS e E0 = Et /2 rappresenta il vero rms della tensione di noise. La potenza fornita a RL e’
Nt ed e’ data da
E2
E2
E2
(9)
Nt = 0 = t = t = kT ∆f
RL
4RL
4RS
Il circuito equivalente per determinare la tensione di noise e’ il seguente
Dalla relazione precedente si ricava Et la rms della tensione del rumore termico di una resistenza
R = RS che vale
Et =
√
4kT R∆f
, essendo R la resistenza o la parte reale della impedenza del conduttore , in Ohm, e k la costante
di Boltzmann (1.3910−23 J/K) o 1.3810−23 W − s/K, T il valore assoluto della temperatura in
Kelvin (K). N.B. ricordare che :4kT = 1.61 · 10−20 a 290K. Dalla definizione di densita’
spettrale si ha che S(f ) = Et2 /∆f = 4kT R.
Il valore medio dello scarto quadratico medio della sorgente di tensione di noise, e della sorgente
di corrente di noise, si calcola come :
e2t =
R
4kT Rdf
10
i2t =
R
(4kT /R)df
I termini 4kT R e 4kT /R sono quindi le densita’ di potenza, o spettrale, della tensione e corrente
avente come unita’ V 2 /Hz e A2 /Hz. A temperatura ambiente (17o C oppure 290K), per una
bandwidth di 1.0Hz si ha Nt = 4 · 10−21 W , che equivale a -204dB per 1W . Nella RFI si prende
come standard 1mW e si indica con dBm lo standard del noise power.
−21
dBm = 10log10 ( 410
) = −174dBm
10−3
Questo livello di noise power di −174dBm e’ spesso usato come riferimento ed e’ chiamato il
”noise floor” o il livello minimo di noise per un circuito elettronico che opera a temperatura
ambiente. Questo significa che il Thermal Noise e’ il limite inferiore della risoluzione
di qualsiasi sistema di misura.
Per ottenere il noise totale su tutta la banda, si deve integrare la densita’ spettrale sulla banda di
frequenza che interessa.
Si consideri un sistema come in figura, dove una resistenza e’ usata come sorgente di rumore che
e’ amplificato da un amplificatore passabanda ideale senza noise. Il noise di output totale della
sorgente, misurato da un vero voltmetro che misura la rms, sara’ descritto dalla seguente
espressione:
Z ∞
2
|Av (f )|2 df
(10)
Eno
= 4kT R
0
11
che moltiplicata e divisa per A20 diventa
2
Eno
=
4kT RA2vo
Z
∞
0
1
|Av (f )|2 df
A2vo
(11)
da cui si ricava
2
Eno
= 4kT RA2vo ∆f
(12)
2 rappresenta la tensione quadratica media di output del noise a banda larga, mentre
Qui la Eno
2 /∆f = S(f ) = 4kT RA2 . N.B.
quella a banda stretta, cioe’ proprio la densita’ spettrale, sara’ Eno
v
Ricordarsi che si tratta di amplificatore ideale e senza noise!
3.2.1
Circuito equivalente del noise termico
Per fare un’analisi del rumore in un sistema elettronico, ogni elemento che genera rumore termico
deve essere rappresentato da un circuito equivalente composto da un generatore di tensione in
serie con una resistenza senza noise.
Si supponga di avere una resistenza R tra due capi a e b. Per l’analisi del rumore la resistenza R
si sostituisce con un generatore di tensione di noise in serie con una resistenza senza noise dello
stesso valore Ohmico. Il generatore di noise fornira’ una tensione Ei con lo rms uguale a
p
(4kT R∆f ). Il noise sara’ misurato a diverse frequenze e sara’ definito dal valore di rms del suo
output.
Un circuito equivalente con un generatore di corrente costante di noise, secondo il teorema di
Norton, sara’ costituito da un circuito con la sorgente in parallelo alla resistenza. Il generatore di
corrente di noise It avra’ un valore di rms pari a Et /R.
3.2.2
Confronto del rumore termico e shot noise
La seguente figura mostra per confronto gli andamenti del noise termico per una resistenza R e lo
shot noise di un diodo, da cui si deduce come la corrente di noise termico tende a decrescere
all’aumentare all’aumentare della resistenza, mentre la corrente di shot noise tende a crescere.
12
3.2.3
kT/C noise limit
p
L’espressione del rumore termico Et = (4kT R∆f ) predice che un circuito aperto ( resistenza
infinita ) generi una tensione di rumore infinita. In pratica questo non capita perche’ c’e’ sempre
una capacita’ parassita in giro, che si comporta come se fosse in parallelo, ( shunt capacitance )
che ne limita la tensione.
Si consideri il circuito equivalente con la combinazione di una resistenza con noise R e di una
capacita’ di shunt. L’effetto della capacita’ e’ duplice per quanto riguarda la tensione di noise di
output Eno , in quanto le basse frequenze sono esaltate mentre le alte frequenze sono tagliate.
13
All’aumentare di R si ha si’ l’aumento del rumore ma si ha contemporaneamente un taglio sulle
alte frequenze e quindi una riduzione della larghezza di banda.
Dal plot seguente, output vs frequenza per una capacita’ costante e diversi valori di R, si vede
come la tensione di noise cresce come la radice quadrata di R mentre la larghezza di banda
decresce proporzionalmente alla resistenza; l’area totale sotto la curva, il noise quadratico medio,
rimane costante. Il noise totale di output misurato da un vero rms-voltmetro con banda infinita
2 = kT /C
risulterebbe, applicando la (10) ed integrando, Eno
2 = kT /C si vede come la tensione di output del rms del noise e’ indipendente
Dalla relazione Eno
dalla resistenza sorgente e dipende solo dalla temperatura e dalla capacita’ ! Ora la maggior parte
dell’energia e’ contenuta nella regione a basse frequenze perche’ quelle alte sono tagliate fuori
dalla capacita’ C. Il limite di noise e’ indicato spesso come noise kT /C. Esso diventa importante
14
in applicazioni dove si utilizzano circuiti di sample and hold, tipo convertitori A/D o circuiti con
capacita’ di switching.
2 = 4 · 10−9 V 2 =≃ 64µV che e’
Esempio Se si ha una stray shunting capacitance di C = 1pF , Eno
una quantita’ significativa. Questo vuol dire che per minimizzare il rumore bisogna ridurre la
bandwidth del sistema al valore strettamente necessario al fine di avere un buon rapporto segnale
rumore.
3.3
Flicker Noise o 1/f Noise o Excess Noise o Noise a bassa frequenza
Il Flicker Noise e’ anche chiamato noise 1/f , esso ha diverse proprieta’ interessanti. Una di queste
e’ un grosso problema, infatti la densita’ spettrale di questo noise cresce senza limiti come la
frequenza decresce; e’ stato misurato un 1/f noise dell’ordine di 610−5 Hz, che significa pochi cicli
al giorno, Esso e’ presente in tutti i dispositivi attivi in cui scorre una corrennte ed ha diverse
origini, ad esempio nei dispositivi a semiconduttore esso puo’ essere prodotto dalle discontinuita’
che la corrrente incontra per le imperfezioni del materiale. Il Flicker Noise e’ sempre associato ad
una corrente dc, ed il valore dello scarto quadratico medio ha la forma:
Z
Z
< e2 >= (Ke2 /f )df, i2 = (Ki2 /f )df
(13)
Dove Ke e Ki sono le costanti appropriate del dispositivo ( in Volt e Amp ).
Il Flicker noise e’ piu’ importante nei resistori con composizione in carbone dove e’ spesso
chiamato piu’ propriamente excess noise poiche’ esso appare in aggiunta al thermal noise. Altri
tipi di resistori esibiscono anche il flicker noise a diversi gradi, molto basso in quelli a lamine
metalliche . Poiche’ il flicker noise e’ proporzionale alla corrente dc nel dispositivo, se la corrente
e’ tenuta abbastanza bassa, il noise termico predominera’ ed il tipo di resistore usato non
modifichera’ il noise nel circuito.
I termini Ke2 /f e Ki2 /f sono le densita’ di potenza di tensione e corrente avente unita’ di V 2 /Hz
e A2 /Hz.
L’excess noise in un resistore si puo’ misurare in termini di un noise index espresso in dB. Il
noise index e’ il numero di microvolt di noise in un resistore per volt di caduta di tensione dc nel
resistore in ogni decade di frequenza. Cosi’ il noise in questo caso e’ espresso in termini di caduta
di tensione, piuttosto che di resistenza o corrente. Poiche’ il noise ha uno spettro di potenza del
tipo 1/f questo significa che la tensione del noise cresce come la radice quadrata della
diminuzione della frequenza. Diminuendo la frequenza di un fattore 10 la tensione di noise cresce
di un fattore circa 3.
La potenza del noise tipicamente segue un caratteristico andamento 1/f α , con α che ha
usualmente il valore 1, ma che e’ stato osservato anche con valori tra 0.8 e 1.3 in diversi
dispositivi. Il noise 1/f e’ molto generalizzato e non si trova solo nei dispositivi elettronici, ma
anche in sistemi biologici; le fluttuazioni della frequenza della terra hanno un α di 2, mentre le
fluttuazioni galattiche hanno una potenza con un α di 2.7.
Poiche’ la la potenza di noise e’ inversamente proporzionale alla frequenza, e’ possibile
determinare il contenuto del noise in una banda di frequenza integrando sulla banda di frequenza
che interessa. Si ottiene che :
Z fh
fh
df
= Kln
(14)
Nf = K
f
fl
fl
15
essendo Nf la potenza del noise in watt, K una costante dimensionale anche lei in watt e fl e fh
sono i limiti superiore ed inferiore della frequenza della banda considerata. La potenza di noise
presente in ogni decade di frequenza, tale che fh = 10fl , vale Nf = 2.3K1 , che mostra come la
potenza di noise sia costante in ogni banda di decade di frequenza; essa e’ uguale nella banda da
10 a 100 Hz come in quella di 0.01 e 01.1 HZ. Poiche’ il noise e’ scorrelato, gli rms di ogni decade
devono essere sommati, quindi la potenza totale cresce come la radice quadrata del numero di
decadi della banda di frequenza.
La densita’ spettrale della tensione di noise sara’ in questo caso Sf (f ) = Ef2 /f , in V 2 /Hz. Se si
ha 1µV di noise 1/f in una decade di frequenza allora
2
(1µV ) =
Z
10fh
Sf (f )df =
Z
10fh
fl
fl
Ef2 df
f
= 2.3Ef2
(15)
2
)
Da cui si vede come la densita’ spettrale dl noise 1/f si riduca a Sf (f ) = (1µV
2.3f . Da qui sorge la
domanda: poiche’ la potenza di noise cresce al diminuire della frequenza perche’ il noise dc non e’
infinito? La domanda e’ corretta dal punto di vista teorico, ma dal punto di vista pratico ci sono
delle limitazioni sul noise 1/f , infatti ad esempio in un amplificatore dc c’e’ un limite inferiore
alla risposta in frequenza fissata dal tempo per cui l’amplificatore e’ stato acceso.Quasto limite
inferiore attenua le componenti di frequenza con periodo maggiore a quel tempo.
Un esempio puo’ aiutare a spiegare meglio. Si consideri un amplificatore dc con una frequenza
di taglio superiore di 1000Hz. E’ stato acceso per un giorno. Poiche’ 1 ciclo/giorno corrisponde a
circa 10−5 Hz, la sua larghezza di banda puo’ essere fissatapin 8 decadi.
√ Se rimane acceso per 100
giorni, si aggiungono altre due decadi o equivalentemente (10/8) = 1.25 = 1.18 volte il noise
di 1 giorno. Il noise per Hertz approssima l’infinito, ma non il noise totale. Questo inoltre mostra
come la accuratezza di misura del noise 1/f di un amplificatore dc non aumenta aumentando la
durata del tempo di misura, diversamente dalla misura del white noise per cui l’accuratezza
aumenta come la radice quadrata del tempo di misura.
3.4
Burst Noise
Il Burst Noise, chiamato anche popcorn noise, appare essere in relazione ad imperfezioni nel
materiale semiconduttore ed all’impiantazione di ioni pesanti. Il burst noise fa un suono come un
ticchettio ad una rate sotto i 100Hz quando si sente ad un altoparlante. Un burst noise molto
basso si ottiene con un processo di pulitura del materiale.
3.5
Avalanche Noise
L’avalanche noise e’ creato quando una giunzione np e’ portata in condizione di breakdown con
polarita’ inversa. Sotto l’influenza di un forte campo elettrico inverso nella regione di svuotamento
della regione, gli elettroni hanno abbastanza energia cinetica che quando collidono con gli atomi
del reticolo cristallino si formano altre coppie elettrone-lacuna. Queste collisioni sono puramente
casuali e producono impulsi di corrente casuali simili allo shot nose, ma molto meno intensi.
16
4
4.1
Analisi del noise dei circuiti
Somma di tensioni di noise
Quando due sorgenti di tensioni di segnali sinusoidali, di uguale ampiezza e uguale
frequenza e fase, sono connesse in serie, la tensione risultante ha due volte l’ampiezza comune e
le due combinate forniscono quattro volte la potenza di una singola. Se d’altra parte esse
differiscono in fase di 180o la tensione e la potenza netta della coppia e’ nulla.
Nel caso di due sorgenti di tensione di segnali sinusoidali di frequenze differenti
V1 e
p con2 ampiezze
2
V2 connesse in serie , la tensione risultante ha un rms dell’ampiezza uguale a (V1 + V2 ) e il
valore quadratico medio dell’onda risultante Vr2 e’ la somma dei valori quadratici medi delle
componenti, Vr2 = V12 + V22 .
I generatori di noise equivalente rappresentano un numero molto grande di componenti di
frequenze con una distribuzione casuale di ampiezze e di fasi. Quando si mettono in serie
generatori indipendenti di noise, la potenza in uscita e’ la somma delle potenze in uscita
individuali di ogni generatore e quindi esse si debbono combinare quadraticamente in modo che la
tensione quadratica media risultante sia la somma delle tensioni quadratiche medie di ogni
generatore. Questo stesso vale per i generatori di corrente connessi in parallelo.
Nella figura sono indicate due sorgenti indipendenti e scorrelate, E1 ed E2 , di rumore; la somma
delle tensioni sara’ la somma quadratica dei valori quadratici medi, E 2 = E12 + E22 , lo rms sara’ la
radice quadrata di questo valore medio.
Una regola pratica ci dice che se gli rms delle sorgenti sono diversi per ordini di grandezza, ad es.
se le tensioni rms di due sorgenti di noise sono tra di loro come 10:1 , il segnale piu’ piccolo
aggiunge meno dell’1% alla tensione totale, un rapporto 3:1 aggiunge il 10%; queste regole
pratiche debbono essere tenute in considerazione quando si calcola il noise totale.
Si supponga di avere due semplici circuiti composti da soli elementi resistivi, vedi figura seguente,
(a) e (b), si vuole determinate la tensione di noise di output, Eno , dovuta al noise termico delle
resistenze, di sorgente e non. Per semplicita’ si trascura il noise termico della resistenza di carico.
Applicando l’analisi circuitale lineare si ha
Eno = RL Et /(RS + RL )
√
√
= 0.5(4nV / Hz) = 2nV / Hz
17
(16)
(17)
Questo metodo va bene nel caso (a), ma se si applicasse allo stesso modo al caso (b) si avrebbe un
risultato errato, perche’ il noise non si combina linearmente, cioe’ il principio di sovrapposizione
non vale nel caso di piu’ sorgenti di noise. La maniera giusta di procedere e’ quella di sommare
quadraticamente :
2 E 2 /(R
2 = R2 E 2 /(R + R
+ RS2 + RL )2
+ +RL )2 + RL
Eno
S1√
s1
S2
t2
L t1
p
+ (0.5)2 (2.82nV / Hz))2
= (0.5)2 (2.82nV / (Hz))
√
= (0.5)(2.82nV / Hz))2 = 4p· 10−18 V 2 /Hz
per cui Eno = 2nV / (Hz)
Per evitare i problemi il modo di procedere e’ quello di combinare ogni elemento in serie o
parallelo in un singolo elemento equivalente e poi calcolare il contributo al noise dell’elemento
equivalente, vedi figura (c).
4.2
Correlazione
Finora si e’ parlato di sorgenti scorrelate, in cui non c’e’ nessuna relazione tra i valori istantanei
delle tensioni. Se invece si hanno segnali, ad esempio di tipo sinusoidale, che hanno la stessa
forma cioe’ la stessa frequenza e fase, anche se non hanno la stessa ampiezza, questi sono detti
100% correlati. I valori istantanei o gli rms di funzioni d’onda completamente correlate si
2 + E 2 + 2E E . Quando sono
debbono sommare aritmeticamente :(Et1 + Et2 )2 = Et1
t1 t2
t2
parzialmente correlati, bisogna fare ricorso alla forma generica
E 2 = E12 + E22 + 2CE1 E2
18
Il termine C e’ il coefficente di correlazione che puo’ avere ogni valore tra -1 e +1, compreso lo 0.
Naturale che C = 0 significa che le sorgenti sono scorrelate, caso precedente; quando C = 1 le
sorgenti sono completamente correlate ed allora si possono sommare linearmente; nel caso di
C = −1 le sorgenti sono correlate ma con fase opposta e quindi bisogna sottrarre i segnali
correlati.
Come criterio pratico, in generale, si assume che le sorgenti siano completamente scorrelate, in
quanto l’errore che si introduce mettendo C = 0 invece che C = 1 e’ pari ad evere nel calcolo del
rms il valore 2 volte gli rms separati al posto di 1.4 volte, cioe’ e’ pari al 30%. Ancora minore se le
sorgenti sono solo parzialmente correlate o se una e’ molto piu’ grande dell’altra; con un segnale
che sia 10 volte maggiore dell’altro , trascurando questo secondo si fa un errore che la masimo e’
pari al 8, 6% che e’ una buona precisione nelle misure di rumore.
4.3
Analisi dei circuiti di reti con noise
Si prenda ad esempio lo schema semplificato dei seguenti circuiti, vedi figura seguente ;l’analisi
circuitale che se ne puo’ fare e’ un buon modo per illustrarne i principi generali. Ricordarsi che
ogni rete a due terminali si puo’ sempre ricondurre ad un circuito con un generatore di tensione
ed una impedenza.
Nel primo circuito (a) una sorgente di segnale sinusoidale e’ connessa a due resistenze senza
noise. Con la legge di Kirchhoff si puo’ scrivere V = IR1 + IR2 . Quale sara’ il valore quadratico
medio ? Poiche’ la sorgente e’ unica, naturalmente i segnali nei due elementi resistivi sono
correlati non si puo’ scrivere (V )2 = (IR1 )2 + (IR2 )2 ma si deve aggiungere il termine di
correlazione (V )2 = (IR1 )2 + (IR2 )2 + 2CIR1 IR2 e, in quanto esiste una sola corrente, la
correlazione e’ 100%, quindi C=1. La relazione valida e’
V 2 = I 2 (R1 + R2 )2
(18)
Da qui la regola quando resistenze o impedenze sono connesse in serie, esse debbono essere prima
sommate tra di loro e poi, se si tratta di quantita’ quadratiche medie, la somma deve essere
elevata al quadrato.
Questo naturalmente vale anche se la sorgente V e’ una sorgente di rumore, perche’ ancora si
tratta di una unica corrente che percorre il circuito.
Nel secondo circuito (b) si hanno due sorgenti di tensione di noise scorrelate ( o anche sorgenti
sinusoidali di diverse frequenze ) in serie con due resistenze senza noise. La corrente in questo
19
circuito deve essere espressa in termini di valore quadratico medio, in cui non c’e il termine di
correlazione essendo in questo caso C=0
I2 =
E12 + E22
(R1 + R2 )2
(19)
Un criterio generale, quando si hanno piu’ sorgenti di tensione, e’ quello di adottare il principio di
sovrapposizione che dice : in una rete lineare la risposta per due o piu’ sorgenti che operano
contemporaneamente e’ la somma delle risposte di ciascuna sorgente che opera singolarmente
mentre le altre sorgenti di tensione sono cortocircuitate o, se sorgenti di corrente, sono a circuito
aperto.
Nel caso (b) le correnti circolanti, considerate individualmente sono I1 = E1 /(R1 + R2 ) e
I2 = E2 /(R1 + R2 ). Essendo sorgenti scorrelate si ha I 2 = I12 + I22 ; inserendo i valori per I1 ed I2
si ottiene la (18).
Nel terzo circuito (c) le sorgenti sono correlate e quindi bisogna aggiungere il termine di
correlazione (si vede dal segno di polarita’ che indica come le due sorgenti agiscono
coerentemente). Il termine quadratico medio quindi sara’ :
E12 + E22 + 2CE1 E2
(20)
(R1 + R2 )2
con 0 < C ≤ +1; se la polarita’ fosse tale da indicare che le sorgenti agiscono in modo opposto
allora C prenderebbe i valori −1 ≤ C < 0. Ricordare che in caso di piena correlazione,
C = 1 e quindi si puo’ scrivere (E = IR1 + IR2 ).
I2 =
Si supponga che il circuito invece sia del tipo come illustrato, dove ci sono diverse correnti di noise
scorrelate, e si voglia determinare la corrente I1 che passa attraverso R1 .
Si usa il principio di sovrapposizione, si indica con I11 il contributo a I1 da parte di E1 e con I12
quello di E2 . Dal circuito si ottiene :
2
E12 = I11
[R1 +
R2 R3 2
]
(R2 +R3
e analogamente E22 = I22 [R2 +
R1 R3 2
]
(R1 +R3
Inoltre si ha I12 = I2 R3 /(R1 + R3 ) e per I11 si scrive
2
I11
=
E12 (R2 + R3 )2
(R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 )2
20
(21)
e
2
I12
=
E22 R32
(R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 )2
(22)
I12 =
E12 (R2 + R3 )2 + E22 R32
(R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 )2
(23)
da cui si ricava
Si puo’ generalizzare il procedimento in questo modo: nel determinare la corrente totale di
noise risultante da diverse sorgenti di noise scorrelate, il contributo di ciascuna sorgente
deve essere sommato in modo tale che la corrente totale deve crescere per ogni termine
aggiunto. Questo significa che nel calcolo delle E1 ed E2 nel circuito precedente non si
debbono trovarsi termini con segno meno. Per giustificare l’assunzione ci sono diversi
argomenti, non ultimo l’effetto termico delle correnti, che in ogni caso si somma. C’e’ la
regola quindi che, quando di fa l’analisi del noise di reti con diverse sorgenti, si assegna una
polarita’ alle sorgenti tale che non diano contributi negativi.
21
5
Modello del rumore in un amplificatore
Ogni componente di un circuito elettronico e’ sorgente di noise e un circuito come
l’amplificatore, che contiene molti componenti, sarebbe difficile da analizzare in termini di
noise con l’analisi circuitale. A questo scopo si ricorre ad un modello di noise per
l’amplificatore per semplificare il calcolo, il modello En − In , che prevede solo due
parametri di noise, che non sono difficili da misurare.
Viene introdotto il concetto di noise figure e si dimostra che il primo stadio di una catena
di amplificazione e’ quello che contribuisce maggiormente al noise e se l’amplificazione di
questo stadio e’ sufficentemente alta si puo’ trascurare il contributo dagli altri stadi.
5.1
Il modello d tensione e corrente di noise
Esistono modelli universali per descrivere il noise per ogni rete a due porte. La rete e’
definita come un black box senza noise e le sorgenti interne di noise sono rappresentate
generalmente da due coppie di generatori di noise, tensione e corrente, ( in totale 4
generatori ), sistemati all’input o all’output della rete od in entrambe le porte.
Il modello per l’amplificatore adottato prevede invece solo tre generatori di noise: un
generatore di tensione, uno di corrente ed un generatore, se cosi’ si puo’ chiamare,
costituito dal termine col coefficente di correlazione. Usualmente sono sufficenti due
generatori perche’ il coefficente e’ uguale a zero.
Il modello della figura seguente puo’ essere usato per qualsiasi amplificatore, come pure per
circuiti passivi, singoli transistori, diodi tunnel, amplificatori integrati (IC) etc. In figura e’
inserito anche un sensore che e’ splittato in tre parti: la sorgente di segnale Vin , intesa
senza noise, una sorgente di noise, pure noiseless, e una resistenza di sorgente di noise Rs .
Il noise dell’amplificatore e’ rappresentato completamente da un generatore di tensione a
zero impedenza En in serie con una porta di input, un generatore di corrente a impedenza
22
infinita In in parallelo con l’input, e da un coefficente di correlazione complesso C non
indicato. Ciascuno di questi termini normalmente e’ indipendente dalla frequenza. Il noise
termico della sorgente di segnale Vin e’ rappresentato dal generatore di noise Et .
Nel caso pratico interessa calcolare il rapporto segnale su rumore all’output del
sistema. Ora poiche’ la rete di condizionamento del segnale prevede diversi stadi di
amplificazione, shaping etc. risulta difficile valutare l’incidenza del rumore sul segnale
sopratutto per le singole parti del circuito; e’ per questo che si adotta il criterio di riferire
tutto il noise alla porta di input e si considera l’amplificatore libero da noise, in questo
modo risulta facile apprezzare gli effetti di variazioni sia sul segnale che sul rumore.
Sia il parametro En che In sono scelti in modo da rappresentare adeguatamente
un amplificatore.
5.2
Noise equivalente di input
Da quanto detto precedentemente per facilitare l’analisi di un circuito con amplificatore e’
opportuno fare ulteriori semplificazioni: Ridurre tutte le sorgenti di noise in input sono ad
una sola sorgente: il noise equivalente di input, Eni . Questo parametro tiene conto di tutte
le sorgenti di noise della sorgente di segnale. In questo modo, poiche’ il segnale ed il noise
sono riferiti allo stesso punto, e’ facile valutarne il rapporto S/N. Nel circuito i livelli di
tensione del segnale e del noise, che appaiono ai capi di Zin , sono trasferiti all’output da
una funzione di trasferimento che e’ il guadagno in tensione Av ; quello che si vuole e’
calcolare questi livelli dopo il trasferimento. Per un segnale, la funzione di trasferimento
dalla sorgente di segnale di input alla porta di output e’ chiamata guadagno di sistema Kt ,
quindi vale la definizione:
Vso
Kt =
(24)
Vin
Da notare che Kt e’ altra cosa dal guadagno in tensione Av . Kt dipende sia
dall’impedenza di input dell’amplificatore che dalla resistenza della sorgente generatrice del
segnale e varia con la frequenza, Av invece dipende solo dall’impedenza di input
dell’amplificatore. Il segnale di tensione di output ha l’ rms che puo’ essere espresso come
Zin
in Zin
Vso = | RASv V+Z
| e sostituendo si ha per Kt , Kt = | RASv+Z
|.
in
Z in
Nello studiare la risposta in termini di noise si deve sommare ogni contributo
2
quadraticamente. Il noise totale al terminale di output e’ Eno
= A2v Ei2 . avendo indicato con
Ei il noise equivalente presente al terminale di input; questo deve tenere conto di tutti i
contributi nel seguente modo:
Zin
Ei2 = (Et2 + En2 )|
|2 + In2 |Zin ||RS |2
(25)
Zin + RS
Notare il simbolo || utilizzato per indicare la combinazione in parallelo di Zin e RS . Ora si
puo’ calcolare Eno come:
Zin
2
|2 + In2 |Av |2 |Zin ||RS |2
(26)
Eno
= A2v Ei2 = (Et2 + En2 )|Av |2 |
Zin + RS
23
Il noise equivalente di input Ein , che rappresenta tutto il noise, sorgente + noise interno
dell’amplificatore, e’ legato a Eno attraverso il guadagno di sistema, Kt , dalla relazione
2
2
2
Eno
= Kt2 /Eni
, e quindi dividendo Eno
per il quadrato del guadagno del sistema Kt , si
ottiene
2
Eni
= Et2 + En2 + In2 RS2
(27)
Questa espressione e’ importante per l’analisi di molti problemi di noise, perche’ puo’ essere
applicata a sistemi che contengono dispositivi attivi. Notare la semplicita’, essa dice che il
valore quadratico medio del noise equivalente di input e’ la somma dei valori quadratici
medi dei tre generatori di noise. Questa unica sorgente di noise, localizzata nel punto della
2
Vin , sostituisce tutte le sorgenti di rumore. In altre parole la singola sorgente di rumore Eni
2
inserita in serie con la sorgente di segnale Vin produrra’ lo stesso output totale di noise,Eno
.
2
Notare che Eni e’ indipendente dal guadagno dell’amplificatore e dalla sua impedenza. E’
2
questa indipendenza dal guadagno ed impedenza che rende Eni
l’indice piu’ utile per
confrontare le caratteristiche di noise di amplificatori e dispositivi.
Se i generatori di tensione e correnti di noise non sono indipendenti, ma in qualche modo
hanno una correlazione, bisogna tenerne conto ed inserire nella espressione il termine con il
fattore di correlazione; si ha in questo caso :
2
Eni
= Et2 + En2 + In2 RS2 + 2CEn In RS
Il termine di correlazione
p si puo’ vedere come un altro elemento generatore di tensione di
noise
p con rms pari a (2CEn In RS ) in serie con En oppure un generatore di corrente
(2CEn In /RS ) in parallelo a In .
5.3
Misura di En e In
Uno dei motivi per cui il modello En − In e’ largamente accettato e’ la facilita’ della misura
dei suoi parametri. Partendo dalla espressione:
2
Eni
= Et2 + En2 + In2 RS2
Il noise termico della resistenza di sorgente Et puo’ essere facilmente calcolato
Et =
p
(4kT RS ∆f )
Inoltre si puo’ osservare che se RS viene messo a zero, due termini della espressione
scompaiono ed il noise equivalente di input e’ semplicemente il generatore di noise En
24
(28)
dell’amplificatore. Una misura del noise totale di output, con RS = 0 , e’ quindi
uguale a Av En , e dividendo quindi il noise totale di output con Av si ha il valore
di En .
Il terzo parametro della espressione In , corrente di noise interna dell’amplificatore, nel
termine In RS , si puo’ misurare rendendo la resistenza della sorgente molto grande. Il
contributo del noise termico e’ proporzionale alla radice quadrata della resistenza di
sorgente mentre il termine In RS e’ proporzionale alla prima potenza della resistenza, quindi
per RS molto grande questo termine domina sul termine termico. Per determinare In allora
si misura il noise totale di output avendo come input una grande resistenza e si divide per
il guadagno di sistema che si calcola con questa resistenza di sorgente in serie in input.
Questo da’ il valore Eni , che e’ formato principalmente dal termine In RS , per cui dividendo
per RS si ottiene la componente In . Il piccolo contributo dal noise termico, se si ritiene
necessario, si puo’ togliere successivamente da Eni .
I valori di En e In variano con la frequenza, il punto di lavoro e dal tipo di dispositivo
amplificatore di input. Ci sono tabelle di misure a questo scopo che si possono consultare.
Il noise equivalente di input, Eni , e’ valido per una determinata banda di frequenza; se e’
necessario lavorare su una banda piu’ ampia, si suddivide la banda in parti discrete , per
ognuna si calcola la Eni o si misura e poi si calcola il valore quadratico medio della somma,
in questo modo e’ come se si integrasse il noise equivalente di input funzione della
frequenza sul range di frequenza che interessa. Ci sono altri modi, come la integrazione
numerica diretta o usando PSpice.
5.4
Esempi di noise di input
Nei due grafici della figura che segue sono mostrati due plot di tensioni equivalenti di noise
di input verso la resistenza di input. Come pure sono mostrati i valori di En e In RS per
due amplificatori e l’andamento del noise termico di sorgente Et .
Nei plot e’ indicata tratteggiata la Eni come somma del termine En , del termine termico di
sorgente Es e del termine In RS con l’impedenza. Si vede chiaramente come a bassi valori
della resistenza di sorgente, solo la En e’ importante; al crescere della resistenza di input il
noise termico della sorgente incomincia a diventare importante, a valori grandi di RS il
noise equivalente di input eguaglia il termine In RS .
Nel plot superiore si vede come il contributo maggiore derivi dal termine In RS , mentre nel
plot inferiore il termine dominante per una gran parte del range sia il termine ES , il noise
termico. Abbassare i valori di En e In contribuisce ad aumentare il range dove il noise
termico e’ dominante. Questo e’ il caso ottimale in cui il noise principale e’ quello termico.
Curve di questo tipo sono applicabili a tutti i tipi di dispositivi attivi. Differiscono i livelli.
Con op-amp BJT o CMOS ci si aspetta che En sia al di sopra delle frequenze del ginocchio
del noise 1/f ; per i dispositivi FET o amplificatori con FET al primo stadio la corrente di
noise In puo’ essere tipicamente solo 1/100 dei valori dati nei plot.
25
26
5.5
Figura di noise (NF) e rapporto segnale su rumore (S/N)
Un parametro importante nella valutazione del noise di un dispositivo o circuito e’ il
cosidetto noise factor F. Secondo gli standard IEEE, il noise factor di un dispositivo a
due porte e’ il rapporto tra la potenza di noise di output disponibile per unita’ di bandwidth
e la porzione di quel noise causata dalla sorgente attuale collegata ai terminali di input del
dispositivo, misurata alla temperatura standard di 17o C o di 290 K. In forma di equazione
si puo’ scrivere come
F =
P otenzatotaledinoisedioutputdisponibile
.
P orzionedipotenzadinoisecausatadallaEt dellaresistenzadisorgente
Una definizione piu’ usabile di noise factor F e’ la seguente
F =
Rapportosegnalenoisediinput
Rapportosegnalenoisedioutput
=
Si /Ni
So /No
Il noise factor, essendo un rapporto di potenze, si puo’ esprimere in dB; si chiama noise
figure, NF, il logaritmo del noise factor:
NF = 10logF .
La NF e’ una misura della degradazione del rapporto S/N attribuita all’amplificatore. Per
un amplificatore perfetto, uno che non aggiunge rumore al rumore termico della sorgente, il
noise factor e’ F = 1 e la noise figure NF = 0dB.
In termini di En e In la noise figure NF e’ definita come :
2
Eni
Et2 + En2 + In2 RS2
NF = 10log 2 = 10log
Et
Et2
(29)
da cui si vede che la NF puo’ essere espressa come il rapporto tra il noise equivalente
quadratico medio di input e il noise quadratico medio termico della sorgente. Una stima di
NF si puo’ ottenere dai plot precedenti rapportando i valori delle curve tratteggiate a quelli
del noise termico. A bassi valori di resistenza il rapporto e’ molto grande e la NF e’ quindi
grande, che significa una scarsa qualita’ di prestazione. Come la resistenza della sorgente
aumenta il noise termico aumenta ma non quello totale, per cui la NF cresce. Quando
En = In RS allora Eni e’ piu’ vicino al noise termico, questo e’ il punto di minimo del NF. A
valori di resistenza piu’ alto il noise totale segue la In RS e il NF diventa di nuovo grande.
Da ricordare che la definizione di NF usata qui e’ riferita alla temperatura standard di
290K. Nel caso di sensori che sono tenuti a temperatura piu’ bassa il valore di NF puo’
anche risultare negativo.
Il termine fattore spot di noise, Fo , quando e’ usato per descrivere il noise di un sistema,
sta ad indicare un fattore di noise F a banda stretta, spesso e’ definito per ∆f = 1Hz, e
chiaramente e’ funzione della frequenza per cui si indica semplicemente con F (f ).
Il noise factor F serve solo per valutare amplificatori o dispositivi amplificanti, non come
parametro per ottimizzarne il rumore, mentre sono utilizzati Eni e So /No.
27
5.6
Resistenza di sorgente ottimale
Nei plot, il punto di minimo approccio tra la curva del noise equivalente totale e quella del
noise termico e’ importante, perche’ indica il punto in cui l’amplificatore aggiunge un noise
minimo al noise termico della sorgente e la NF ha il suo minimo. Questa resistenza di
sorgente ottimale e’ chiamata Ropt o Ro e si ricava come
Ro = En /In per En = In RS .
Il noise factor F a questo punto e’ indicato come Fopt e risulta valere
Fopt = 1 + (En In /2kT ∆f ).
Nella figura seguente e’ mostrato come varia la NF in funzione della resistenza. Il valore
minimo della NF si ha per RS = Ro ; Fopt cresce come il prodotto di En e In e cosi’ pure la
NF, che e’ anche piu’ sensibile alla variazone. Dal plot si vede come la curva inferiore non
sai troppo sensibile alla variare del rapporto RS /Ro per un largo range, mentre la curva
superiore mostra una variazione grande quando la resistenza di sorgente si discoscosta da
Ro e questo e’ indice di un non buon funzionamento.
Da un punto di vista pratico, se la NF e’ inferiore a 3dB, non vale la pena di
continuare gli sforzi per ridurre il noise perche’ di questo la meta’ almeno
arriva dalla sorgente.
La resistenza di sorgente ottimale non serve per massimizzare il trasferimento di potenza,
non c’e’ relazione tra Ro e la impedenza di input dell’amplificatore Zi . La Ro e’ determinata
28
del meccanismo di noise dell’amplificatore ed e’ legata piuttosto al massimo del rapporto
S/N. Il trasferimento di potenza ottimale si ha massimizzando solo il segnale.
La impedenza di input di un amplificatore e’ fortemente condizionata dalle condizioni del
circuito, quali il feedback, mentre il noise dell’amplificatore non e’ toccato dal feedback
eccetto che per il noise generato dalle resistenze di feedback.
5.7
Resistenza di noise e temperatura di noise
La resistenza di noise Rn e’ il valore della resistenza che genererebbe noise termico di valore
uguale al noise dell’amplificatore. Un’espressione per Rn si ricava eguagliando il noise
termico al noise dell’amplificatore, assunto senza noise termico evidentemente
4kT Rn ∆f = En2 + In2 RS2 da cui si ricava Rn = (En2 + In2 RS2 )/4kT ∆f
Questa resistenza di noise equivalente non e’ riferita alla resistenza di input
dell’amplificatore ne’ a quella della sorgente.
La temperatura di noise Tn e’ il valore della temperatura della resistenza di sorgente che
genera noise termico uguale al noise dell’amplificatore. Per ricavarla si procede come per la
Rn :
4kTn Rn ∆f = En2 + In2 RS2 da cui si ricava Tn = (En2 + In2 RS2 )/4kRs ∆f
La Tn e’ data in Kelvin ; le Rn , Tn sono molto utili nell’analisi circuitale quando
En ≫ In RS .
5.8
Il noise nelle reti in cascata
Si consideri ora il problema di localizzare le sorgenti di noise piu’ importanti in un sistema.
Se si ricava una espressione usabile per il noise factor,F, per reti in cascata in termini delle
caratteristiche di ciascuna rete, si potra’ cosi’ definire un metodo per minimizzare a livello
di disegno il noise del sistema.
Il sistema da analizzare sia del tipo, o riportabile a questo, mostrato nella figura seguente.
Esso consiste di una sorgente di segnale con noise termico interno e due reti in cascata. Il
noise factor e’ rappresentabile come quoziente tra il S/N di input a quello di output. Il
guadagno in potenza disponibile del sistema e’ rappresentato da Ga e la potenza di noise
termico disponibile e’ Ni = Et2 /4RS , essendo questa la potenza che puo’ essere fornita dalla
sorgente quando alimenta un carico pari alla sua resistenza interna; questo vuol dire che
Ni = kT ∆f .
29
Il noise factor F e’ quindi
No
(30)
Ga kT ∆f
con No la potenza di noise disponibile ai terminali di output sul carico. Questa equazione
non puo’ essere d’aiuto per ora perche’ non si conosce No ne’ Ga a questo punto.
La potenza di noise disponibile all’input della rete n. 2, Ni2 , sara’
F =
Ni2 = No1 = F1 G1 kT ∆f ,
che e’ un aggiustamento della precedente. Per il secondo stadio considerato separatamente
il noise factor F2 e’ dato dalla seguente espressione F2 = No2 /G2 kT ∆f . Il noise che ha
origine nel secondo stadio e’ No2 − G2 kT ∆f , per cui utilizzando l’espressione precedente e
ricavando No2 , si ha
F2 G2 kT ∆f − G2 kT ∆f = (F2 − 1)G2 kT ∆f
(31)
Il termine G2 kT ∆f rappresenta la potenza del noise termico della ipotetica sorgente se si
considera la rete 2 isolata.
Il noise totale di output dalla rete, NoT , e’ quindi dato dalla somma di tutti i termini:
NoT = G2 (F1 G1 kT ∆f ) + (F2 − 1)G2 kT ∆f = (F1 G1 G2 + F2 G2 − G2 )kT ∆f
(32)
Considerato che il noise factor della coppia di reti nel sistema con due stadi e’
F12 = NoT /(G1 G2 kT ∆f ); sostituendo per NoT si ottiene:
F12 = F1 + (F2 − 1)/G1
(33)
Estendendo il caso a tre stadi, si ottiene la classica relazione sviluppata da Friis (vedere
bibliografia):
F123 = F1 + (F2 − 1)/G1 + (F3 − 1)/G1 G2
(34)
Si puo’ concludere che il noise factor di una rete in cascata e’ principalmente
influenzato dal noise del primo stadio, supposto che il guadagno di questo stadio sia
sufficientemente grande.
30
Quando una rete e’ una combinazione di elementi di circuito passivi, ad esempio una rete
di accoppiamento o equalizzante, il guadagno di potenza disponibile e’ minore dell’unita’ ed
il noise generale del sistema e’ fortemente influenzato dal contributo del noise
rappresentato dal termine F2 .
31
6
6.1
Il noise negli amplificatori con feedback
Introduzione
In questa sezione si analizza il noise nei sistemi con amplificatori, open loop e in
configurazione feedback. Si introduce un noise addizionale prodotto dalla circuiteria di
feedback che sara’ utilizzato nel calcolo di Eno e Eni . Si introducono le tecniche per
determinare di Eno e Eni per una qualsiasi rete con o senza feedback.
6.2
Il noise e alcuni concetti base di feedback
Il feedback e’ un mezzo per alterare, migliorandole, le prestazioni dei circuiti elettronici, in
particolare di circuiti con amplificatori. I parametri critici del circuito sono migliorati di un
fattore (1 + Aβ) quando si applica il feedback negativo, ma questo vale anche per il noise?
Si mostra che il feedback non aumenta o diminuisce il noise equivalente di input, ma che gli
elementi resistivi del feedback aggiungono noise.
Un circuito con due amplificatori in una rete di feedback puo’ essere descritto da un
diagramma a blocchi come il seguente, con una sorgente di segnale di input Vin e tante
tensioni di noise E introdotte nei punti critici del sistema. Gli elementi A1 , A2
rappresentano amplificatori con guadagno e β rappresenta la rete di feedback.
L’output Vo e’ una funzione di tutti i 5 input:
Vo = E4 + A2 [E3 + A1 (E2 + Vin + E1 − βVo )]
(35)
Arrangiando l’espressione, la tensione in output diventa:
Vo =
A1 A2
A2 E3
E4
(Vin + E1 + E2 ) +
+
1 + A1 A2 β
1 + A1 A2 β 1 + A1 A2 β
32
(36)
Per confronto, si scrive la stessa espressione per lo stesso circuito ad anello aperto, quindi
senza il feedback, ma con A1 e A′2 come blocchi di guadagno.
L’output in questo caso e’ :
Vo = A1 A′2 (Vin + E1 + E2 ) + A′2 E3 + E4
(37)
Imponendo la condizione che per un confronto sensato il guadagno sia il medesimo sia con
che senza feedback, si ha per A′2
A′2 = A2 /(1 + A1 A2 β)
Imponendo questa condizione e quindi quel valore per A′2 si ottiene per l’output del circuito
aperto:
A2 E3
A1 A2
(Vin + E1 + E2 ) +
+ E4
(38)
Vo =
1 + A1 A2 β
1 + A1 A2 β
Dal confronto si vede come il feedback non aiuta in nessun caso le sorgenti di noise in input
agli amplificatori indipendentemente se le sorgenti sono prima o dopo i nodi sommatori. Il
noise inserito dopo l’output degli amplificatori e’ attenuato nel circuito del feedback. Se
per caso viene aggiunta una sorgente di noise sull’output, ad esempio un carico con il suo
noise, questa avra’ certamente degli effetti sul noise equivalente di input, Ei , a seconda se il
feedback e’ presente o no. Per quei casi in cui il noise e’ introdotto all’input
dell’amplificatore o all’interno del loop del feedback, il feedback non influisce per niente. In
conclusione, il fattore (1 + Aβ) che il feedback applica ai segnali in input non ha effetto sul
noise.
6.3
Modello del noise di amplificatore per input differenziali
Gli amplificatori per la maggior parte di casi sono in configurazione differenziale o
invertente o non invertente, con o senza feedback. Per ciascuna di queste configurazioni si
possono definire dei modelli di noise.
33
Il modello di noise per l’amplificatore differenziale ricalca lo schema generale di noise di un
amplificatore, En − In applicato ai due input differenziali come in figura. I noise equivalenti
En e In sono ora agganciati al terminale di input invertente e non invertente. Queste 4
sorgenti di input si possono ridurre ancora ad una sola sorgente di input Eni , come nel
caso generale.
Si consideri una tipica configurazione di amplificatore operazionale come nella figura
seguente e nel circuito ridotto, se l’op amp e’ ideale, la tensione di output e’ una funzione
delle due tensioni di input, Vp , Vn , riferite entrambe al ground .
34
La tensione di output e’ una funzione delle due tensioni di input:
Vo = (
R4
R1 + R2
R2
)(
)Vin2 − ( )Vin1
R3 + R4
R1
R1
(39)
Si ha un amplificatore differenziale perfetto quando i coefficienti di Vin1 e Vin2 sono uguali e
di segno opposti. Si ottiene questa condizione prendendo R1 R4 = R2 R3 o alternativamente
R2 /R1 = R4 /R3 . In queste condizioni l’espressione della tensione di output diventa
Vo = (R2 /R1 )(Vin2 − Vin1 ).
Cosi’ il guadagno in tensione del modo differenziale del circuito ideale,in figura (a), e’
R2 /R1 . Per analizzare il comportamento del noise dell’amplificatore, si ridisegna il circuito
equivalente di Thevenin all’input non invrtente come in (b), dove Rp] = R3 ||R4 e
′
Vin2
= (R4 Vin2 )/(R3 + R4 )
Aggiungendo le sorgenti di noise di tensione e corrente del op amp e quelle equivalenti di
Thevenin per il noise delle sorgenti, si ha lo schema come nella seguente figura. Si puo’
35
cosi’ scrivere le equazioni per determinare l’effetto delle sorgenti di segnale e di noise
sull’output dell’op amp. Questo modo e’ un po’ complicato per via che si deve lavorare in
quadratura, trattandosi di rms.
center
La semplificazione, a livello di formulazione delle equazioni, si ottiene se si adotta il criterio
di sostituire tutte le sorgenti di noise con sorgenti di segnale indipendenti e scorrelate, che
hanno polarita’ arbitrarie e di considerare l’op amp ideale, ma con un guadagno a loop
36
aperto finito A. Si possono cosi’ scrivere quattro equazioni del circuito:
Vo = A(Vp − Vn )
(40)
′
Vp = Vin2
+ Rp I2 + Vtp + V2
(41)
Vn = Vin1 − R1 Iin + Vt1 + V1
(42)
Vin1 − R1 Iin + Vt1 = Vo + Vt2 + R2 (Iin + I1 )
(43)
Avendo sostituito tutte le sorgenti di noise con sorgenti di segnale, dall’ultima relazione si
ricava Iin , poi combinando e semplificando queste equazioni si ottiene:
1
R1
R1
′
+
) = Vin2
−Vin1 + V2 −V1 + Vtp −Vt1 + Rp I2 + (
)(Vin1 + Vt1 −Vt2 −I1 R2 )
A R1 + R2
R1 + R2
(44)
Per il caso di un amplificatore operazionale ideale, si prende A− > ∞ e riaggiustando si
ottiene:
Vo (
Vo = (1 +
R2
R2
′
)(Vin2
+ V2 + Vtp − V1 + Rp I2 ) − ( )(Vin1 + Vt1 ) − Vt2 − I1 R2
R1
R1
(45)
I coefficienti di ciascun termine rappresentano il guadagno di sistema Kt , o guadagno di
trasferimento o guadagno di transresistenza, rispetto all’output dove e’ preso Vo .
Nel procedimento seguito si erano sostituiti i termini rms in segnali di tensione in modo da
evitare di lavorare in quadratura, ma ora si puo’ ristabilire la corretta nomenclatura e
quindi la espressione diventa ’
2
Eno
= (1 +
R2
R2 2 2
2
2
2
2
2
+ In1
R22
) (En2 + En1
+ Etp
+ In1
Rp2 ) − ( )2 (E12 ) + Et2
R1
R1
(46)
Questa equazione mostra come ciascuna sorgente di noise contribuisca al noise totale di
output quadratico. Specificatamente entrambe le tensioni equivalenti di noise di input e il
noise da Rp sono riportati sull’output dal guadagno di tensione non invertente quadratico
(1 + R2 /R1 )2 . La corrente di noise di input positivo passa attraverso Rp stabilendo una
tensione di noise che a sua volta e’ riflessa all’output dal medesimo guadagno quadratico
(1 + R2 /R1 )2 . Il noise da R1 e’ riflesso all’output col guadagno invertente quadratico
(R2 /R1 )2 . La corrente di noise di input negativa passa attraverso la resistenza di feedback
R2 portando il noise direttamente all’output, come pure il noise della R2 .
Per determinare il noise equivalente di input bisogna decidere quale terminale e’ quello di
riferimento. Questo e’ importante perche’, da come si vede dalle equazioni precedenti, il
fattore guadagno di sistema Kt e’ diverso per il terminale invertente e per il terminale non
invertente, a meno di non essere nelle condizioni di un amplificatore differenziale ideale, per
cui il guadagno su entrambi i terminali e’ ±R2 /R1.
2
Per prima cosa si riporta Eno
sull’input invertente dividendo la eq. (44) per (R2 /R1 )2 e si
ottiene
2
Eni1
= (1 +
R1 2 2
R1 2
2
2
2
2
2
2
) (En2 + En1
+ Etp
) + R12 It2
+ Et1
+ In1
R12 + In2
Rp2 (1 +
)
R2
R2
2
2
dove R12 It2
= R12 (Et2
/R22 ).
37
(47)
2
Notare come le due tensioni di noise dell’amplificatore oltre a Etp
siano tutte aumentate
R1 2
all’input del fattore (1 + R2 ) . Usualmente in una normale applicazione di un amplificatore
ad alto guadagno R1 ≪ R2 , cosicche’ le prime tre sorgenti di tensione di noise
contribuiscono direttamnente ad Eni1 come del resto fa Et1 . La corrente di noise della
resistenza di feedback e’ moltiplicata da R12 . In effetti il generatore di noise di corrente R2
e’ in parallelo con l’input. La corrente di noise In1 passa atttraverso R1 fornendo un
2
contributo diretto a Eni1
. La corrente di noise di In2 passa attraverso Rp per produrre una
R1 2
tensione di noise e questi si riflette all’input invertente con lo stesso fattore (1 + R2
) dei
primi tre termini.
R1 2
) e si ottiene
Nel caso non-invertente bisogna dividere la (45) per il fattore (1 + R2
2
2
2
2
Eni2
= (En2
+ En1
+ Etp
)+(
R1
R1
2
2
2
2
)2 (Et2
+(
)2 (Et1
) + In1
(R1 ||R2 ) + In2
Rp2 (48)
R1 + R2
R1 + R2
Di qui si vede come le due tensioni di noise dell’amplificatore e il noise della resistenza Rp
contribuiscono direttamente alla formazione del noise equivalente di input, La tensione di
noise della resistenza di feedback e’ ridotta dal fattore quadratico di guadagno del
feedback. Il noise in R1 e’ un po; diminuito, ma e’ praticamente non cambiatro quando
R1 ≪ R2 . La corrente di noise invertente fluisce attraverso la combinazione parallela di R1
2
e R2 e contribuisce direttamnet a Eni
, come pure la corrente di noise nonivertente
2
attraverso Rp contribuisce direttamente alla tensione quadratica di noise di input, Eni
.
Si consideri ora il caso speciale in cui si riesce a mettere insieme un amplificatore
differenziale ideale scegliendo opportunamente le resistenze come R1 R4 = R2 R3 . Con
2
2
queste condizioni allora , Kt1 = −R2 /R1 , kt2 = R2 /R1 e Kt1
= Kt2
= Kt2 ed in piu’
2
2
2
2
Eni1
= Eni2
= Eni
= Eno
/Kt2 . Ne risulta che l’espressione del noise equivalente di input per
un amplificatore operazionale differenziale ha una unica formulazione, identica al caso
invertente (45):
2
Eni
= (1 +
R1 2 2
R1
R1 2
2
2
2
2
2
2
) (En2 + En1
+ Etp
) + ( )2 Et2
+ Et1
+ In1
R12 + In2
Rp2 (1 +
)
R2
R2
R2
(49)
Come regola generale neegli op amp e’ usato un primo stadio differenziale bilanciato con
dei transistor simili e correnti di bias uguali, per cui ci si aspetta
√ che in queste condizioni
En1 = En2 . Dai fogli di descrizione si ricava En lo si divide per 2 e si ricavano i valori da
inserire nel modello di circuito per studiare il noise secondo la schema precedente.
6.4
Feedback negativo invertente
La configurazione dell’amplificatore con feedback resistivo invertente e’ una delle
configurazioni piu’ comuni.
Lo schema per questa configurazione lo si ottiene da quello generale precedente, mettendo
′
a terra Vin2
e rimpazzando la resistenza R1 con la resistenza di segnale Rs . La tensione di
offset di input, dovuta alla corrente di bias, sara’ cancellata rendendo Rp una singola
resistenza uguale al parallelo tra Rs e R2 .
38
Aggiustando la (46) come detto si ottiene:
2
Eni1
= (1 +
Rs 2 2
R1
2
2
2
2
2
2
) (En1 + En2
+ Etp
+ In2
Rp2 ) + ( )2 (Et2
) + Ets
+ In1
Rs2
R2
R2
(50)
Che si riscrive come
2
2
2
2
Eni1
= Ets
+ Rs2 (In1
+ It2
+ (1 +
Rs 2 2
2
2
2
) (En1 + En2
+ Etp
+ In2
Rp2 )
R2
(51)
essendo It2 = Et2 /R2 . Il data sheet dell’amplificatore fornira’ normalmente i valori di En e
In , che sono legati allo schema del precedente amplificatore secondo
En =
p
2
2
(En1
+ En2
)
Cosi’ si vede come il valore, unico, di tensione di noise, En , specificato sui fogli di
descrizione, e’ proprio la somma degli rms delle due tensioni di noise di input per ciascun
terminale di input. Un riarrangiamento della (46) con una semplificazione porta a
2
2
2
2
2
Eni
= Eni1
= Ets
+ In2 Rs2 + Rs2 In1
+ It2
+ (1 +
Rs 2 2
2
2
2
) (En + Etp
+ In2
Rp2 ) + Iit2
Rs2
R2
2
Si definisce una nuova tensione di noise equivalente dell’amplificatore Ena
come
2
Ena
= (1 +
Rs 2
) (En2
R2
2
2
2
+ Etp
+ In2
Rp2 ) + Iit2
Rs2
Si puo’ riscrivere il noise equivalente di input come :
2
2
2
Eni
= Ets
+ Ena
+ In2 Rs2
39
(52)
In questo modo l’amplificatore invertente a loop chiuso puo’ essere equivalentemente
rappresentato da questo circuito semplificato open loop. Notare che tutto il noise dovuto ai
resistori di feedback R2 e di aggiustamento di offset Rp come il noise dell’amplificatore sono
contenuti nella sorgente equivalente di noise En .
Da un punto di vista pratico bisogna fare attenzione ai fogli accompagnatori; nel caso di un
low gain amplifier in cui sia necessario applicare un guadagno di loop chiuso di piu’ di 30,
sono possibili altre semplificazioni perche’ in quelle condizioni si ha R2 ≫ Rs ≫ Rp e
questo permette una ulteriore semplificazione
2
2
2
Eni
= Ets
+ En2 + (In2 + It2
)Rs2
Questo dimostra che la corrente di noise termico del resistore di feedback R2 e’
effettivamente in parallelo con l’input. Per ridurre il suo contributo al noise, R2 deve essere
grande.
6.5
Feedback negativo noninvertente
La configurazione con feedback di op amp noninvertente si ottiene dallo schema generale di
op amp differenziale mettendo a terra Vin1 ed applicando il segnale di input direttamente
′
alla sorgente Vin2
. La resistenza Rp diventa la resistenza di sorgente, Rs , per la sorgente
′
Vin2 indicata ora semplicemente come Vin .
40
Si vuole semplificare e ridurre il circuito di analisi di feedback noninvertente ad una rete
equivalente open loop. Usando la (45) come punto di partenza il noise quadratico di output
della figura si scrive come
R2 2 2
R2
2
2
2
2
2
2
) (En1 + En2
+ Ets
+ In2
Rs2 ) + ( )2 (Et1
) + Et2
− In1
R22
R1
R1
p 2
2
2
Usando la relazione En = (En1
+ En2
), Eno
si semplifica
2
Eno
= (1 +
2
Eno
= (1 +
R2
R2 2 2
2
2
2
2
2
) (En + Ets
+ In2
Rs2 ) + ( )2 (Et1
) + Et2
− In1
R22
R1
R1
(53)
(54)
2
Dividendo ora il noise di output Eno
per il fattore di guadagno quadratico noninvertende
(1 + R2 /R1 ) si ricava il noise equivalente di input:
2
2
Eni
= Ets
+ En2 + (
R1
R1
2
2
2
2
)2 Et2
+(
)2 Et1
+ In1
(R1 ||R2 )2 + In2
Rs2
R1 + R2
R1 + R2
(55)
E usando le normali condizioni con In = In1 = In2 si puo’ riscrivere la relazione precedente
del noise di input equivalente di un amplificatore noninvertente come una nuova definizione
2
di noise equivalente Enb
2
= En2 + (
Enb
R1
R1
2
2
2
)2 Et2
+(
)2 Et1
+ In1
(R1 ||R2 )2
R1 + R2
R1 + R2
(56)
Le due precedenti equazioni producono alla fine lo schema seguente dove il noise totale
2
2
2
equivalente di input e’ descritto da Eni
= Ets
+ Enb
+ In2 Rs2 . Notare che tutto il noise, il
noise dovuto ad entrambi resistori di feedback ed il noise dell’amplificatore, e’ contenuto
2
nella sorgente di noise equivalente Enb
.
41
Se inoltre il guadagno di circuito chiuso e’ maggiore di 30, allora anche Enb , il noise del
resitore R2 di feedback diventa trascurabile. In questo caso Enb contiene la parte
dell’amplificatore En , il noise termico di R1 e la corrente di noise In che fluisce attraverso
R1 . Cosi’ bisogna ricordare che la resistenza R1 e’ essenzialmente in serie con la resistenza
di sorgente sia come sorgente di noise termico all’input che come elemento di passaggio
della corrente In .
6.6
Feedback positivo
Molti circuiti e sistemi hanno un feedback positivo, o introdotto deliberatamente come
negli oscillatori o amplificatori o introdotto involontariamente con oscillazioni instabili in
amplificatori ad alto guadagno e in molti altri casi. Il feedback positivo non cambia i
principi base del noise indipendentemente da come il noise e’ incorporato nel circuito di
analisi. I concetti e le tecniche per l’analisi del noise nei sistemi con feedback positivo sono
le stesse di quelle mostrate nei casi precedenti per il feedback negativo. Richiede piu’
attenzione.
42
7
Il noise nei transistori FET
I FET sono prodotti in due differenti distinti modi. I FET con il gate isolato (MOSFET)
attua il controllo del flusso della corrente mediante un’azione di tipo capacitivo: le cariche
nel canale conduttivo in vicinanza del gate ( che agisce come elettrodo) sono attratte o
respinte dal potenziale applicato al gate. Questo accumulo di carica puo’ scoraggiare o
favorire il flusso della corrente attraverso il canale.
Nel FET a giunzione (JFET), la tensione applicata ad una giunzione pn reverse biased ,
modula la conducibilita’ di un canale sotto la giunzione variando la grandezza della regione
di svuotamento. Un simile meccanismo avviene nei FET ad arseniuro di gallio (GaAs
FET).
Tutti e tre i tipi , MOSFET, GaAs FET e JFET possono essere fabbricati con il canale di
conduzione di tipo n o p. Le curve caratteristiche dei FET sono simili alle corrispondenti
curve dei transistori BJT, e la quantita’ importante in input e’ la tensione gate-source
invece della corrente di base.
La impedenza di input nei MOSFET e’ legata alla corrente parassita di leakage ed alla
capacita’ associata con il dielettrico Si-diossido. La resistenza di input e’ normalmente
molto grande , dell’ordine dei T Ω. La grandezza della capacita’ di input dipende dall’area
formata dalla larghezza del gate e dalla lunghezza del canale di diffusione sotto il gate.
La impedenza di input del JFET e’ simile a quella di un diodo a giunzione pn reverse
biased. La corrente di leakage e’ considerevolmente piu’ grande dando luogo cosi’ ad una
resistenza di input molto piu’ piccola, dell’ordine dei GΩ. La capacita’ di input dipende nei
JFET sia dall’area sia dalla tensione.
Qui si analizza le caratteristiche piu’ importanti del noise dei FET e del loro uso nelle
applicazioni come stadio di guadagno in amplificatori a basso noise.
7.1
Meccanismo del noise nei FET
Il circuito equivalente di noise per le operazioni common-source e’ il seguente e si adatta a
tutti i tipi di transistori ad effetto di campo.
43
Il generatore di corrente di noise Ing e’ il risultato di due processi fisici: lo shot noise della
corrente di leakage che fluisce attraverso il gate e le fluttuazioni termiche nel circuito di
drain, che sono accoppiate al circuito di gate.
Il generatore di noise Ind e’ il risultato della eccitazione termica dei portatori nel canale del
dispositivo e il noise excess o 1/f causato dall’intrappolamento e non-intrappolamento dei
portatori. I generatori Ing e Ind sono correlati ad alte frequenze poiche’ entrambi risultano
dal noise termico del canale.
La generale rappresentazione En − In e’ applicabile a tutti i tipi FET.
Le curve mostrate nella figura che segue sono tipiche dei dispositivi FET. La fig. (a)
mostra il caratteristico basso noise En ad alte frequenze ( regione 2) ed un aumento nel
noise a basse frequenze per via del noise excess o 1/f (regione 1). L’andamento a circuito
aperto della corrente di noise In e’ mostrato in fig. (b); la corrente di noise e’ bassa nella
regione 3 mentre aumenta linearmente con la frequenza (regione 4).
L’andamento osservato in regione 2 e’ dovuto al noise termico del canale in quanto dipende
dalla resistenza del canale. Questa corrente di noise termico nel canale puo’ essere riportata
all’input del gate come una tensione equivalente di noise di input prodotta da una
resistenza avente un valore pari a : Rn ≃ 2/(3gm), essendo gm la transconduttanza. Questo
valore della resistenza di noise Rn e’ riferita alla En dalla equazione del noise termico:
√
En = 4kT Rn ∆f
(57)
44
Per minimizzare il noise della regione 2, e’ necessario far lavorare il FET dove gm e’ grande.
I valori maggiori di gm possono essere trovati a valori alti della corrente statica di drain.
Usualmente gm e’ piu’ alta nelle vicinanze di IDSS , il valore di ID dove la tensione di
gate-source VGS e’ zero. Usando un dispositivo a geometria grande, con un grande rapporto
Width/Lenght (W/L), si avra’ un piu’ basso En . Dalla misura di gm si ricava En .
Generalmente risulta che i valori di En calcolati in questo modo sono piu’ piccoli di quelli
misurati direttamente, questo perche’ il valore misurato si porta dentro altri effetti dovuti
ai collegamenti.
In fig. (a) regione 1, a basse frequenze c’e’ un noise excess 1/f ; questo noise deriva
dall’intrappolamento dei portatori nei centri trappole nella regione del gate; si chiamano
centri di generazione-ricombinazione Shockley-Read-Hall (SRH). Per i MOSFET, questi
centri si trovano all’interfaccia silicio/silicio-diossido e nello strato di diossido. I dispositivi
p-Channel in modo enhancement avranno un noise piu’ basso perche’ i portatori non
passeranno attraverso questa regione; i JFET invece avranno dei centri trappola nella
regione di svuotamento. I centri trappola emettono alternativamente elettroni o lacune e
contemporaneamente passano da uno stato carico ad uno neutro, fluttuando tra questi due
stati. Questa carica fluttuante e’ simile ad una variazione nella tensione di gate o ad un
vero segnale di input. Cosi’ la corrente del canale varia, fa sbalzi, e queste fluttuazioni sono
la sorgente principale del noise 1/f nel FET.
In fig.(b) e’ mostrata la curva della corrente equivalente di noise a circuito aperto. A basse
frequenze, regione 3, la corrente di noise si puo’ attribuire allo shot noise della corrente dc
inversa di saturazione di gate per i JFET ed alla corrente parassita di leakage di shot noise
nei MOSFET. Questo noise√e’ ”bianco” ed usualmente non e’ accompagnato dal noise 1/f .
Esso e calcolato come In = 2qIGSS .
La In ad alte frequenze, nella regione 4, e’ causata da un interessante meccanismo. Questo
e’ il noise termico di g11 , la parte reale della emittanza dell’input. Nei FET, il noise del
canale e’ condotto all’input ad alte frequenze dalla capacita’ gate-drain. Questo appare
come una resistenza di shunt in parallelo con la capacita’ di input, Cgs , nel circuito elettrico
equivalente. Si usa il modello a piccoli segnali per illustrare bene le componenti del noise In
ad alta frequenza e si introduce la resistenza di carico RL che rappresenta la combinazione
in parallelo di rds e di RD e la capacita’ di carico CL che rappresenta la somma di Cd e CD .
La capacita’ Cgd e’ una capacita’ di feedback il cui effetto puo’ essere facilmente spiegato
45
ricorrendo al teorema di Miller.
Riferendoci alla figura , se l’amplificatore ha un guadagno in tensione Av , l’elemento di
feedback Z puo’ essere suddiviso nelle due impedenze Z1 e Z2 cosi’ definite:
Z1 =
Z
, Z2
1−Av
=
Z
1−1/Av
Ricordando che RL = (rds ||RD ) e CL = (Cds + CD ) dal confronto tra la figura precedente e
questa seguente si puo’ scrivere la relazione
Av = −gm ZL
essendo ZL = RL ||(1/jωCL e Z = 1/jωCgd
Dalle definizioni precedenti di Z1 e Z2 , esplicitandole con le espressioni per ZL e Av , si
ricava la espressione completa di Z1 e della sua inversa Y1 = 1/Z1 che e’ l’emittanza.
Z1 =
1 + jωRL CL
+ jωCgd (1 + gm RL )
−ω 2 RL CL Cgd
46
(58)
e
−ω 2 RL CL Cgd + ω 2 Cgd (1 + gm RL )RL CL + jωCgd [1 + gm RL + ω 2RL2 CL2
1 + ω 2RL2 CL2
]
(59)
La parte reale di Y1 risulta
ω 2 gm RL2 Cgd CL
ReY1 =
(60)
1 + ω 2 RL2 CL2
Y1 =
C’e’ quindi una ”reale” resistenza equivalente riflessa presente tra il gate ed il source che ha
valore
1 + ω 2 RL2 CL2
1
= 2
(61)
Req =
ReY1
ω gm RL2 Cgd CL
Poiche’ nella maggior parte della regione delle frequenze di interesse si ha ω 2RL2 CL2 ≪ 1 la
(3) si riduce a
Req =
ω2g
1
2
m RL Cgd CL
(62)
Prendendo la parte immaginaria di Y1 si ricava la capacita’ equivalente di shunt
Ceq =
Cgd (1 + gm RL ) + RL2 CL2 Cgd ω 2
1 + ω 2 RL2 CL2
(63)
Ora, poiche’ di nuovo nella zona delle frequenze di interesse si ha che ω 2 RL2 CL2 ≪ 1 la
relazione precedente si riduce a
Ceq = Cgd (1 + gm RL ) + RL2 CL2 Cgd ω 2
(64)
La resistenza reale ”riflessa” Req diminuisce quadraticamente al crescere della frequenza.
Questa resistenza, Req , a tutti gli effetti si comporta come una resistenza reale e
47
contribuira’ pienamente alla corrente di noise termico (4kt/Req )1/2 in parallelo con l’input.
La corrente di noise dell’amplificatore In aumenta proporzionalmente alla frequenza come
mostrato dall’andamento del noise nella regione 4.
I noise En e In alle alte frequenze, nella regioni 2 e 4, sono correlati poiche’ entrambi
originano dal noise termico della resistenza del canale. Questo risulta in un ulteriore
termine di correlazione che a tutti gli effetti e’ un noise aggiuntivo, come si e’ visto in
precedenza.
7.2
Il noise nei MOSFET
Tralasciando i principi fisici del funzionamento dei MOSFET descritti altrove, viene
sviluppato qui un modello per includere anche il noise nel modello tradizionale dc e ac del
MOSFET.
Per cominciare si consideri il modello di circuito di test per ricavare la tipica caratteristica
di output di un n-channel MOSFET. Quando il MOSFET opera in regime di saturazione,
la corrente di drain e’ in relazione con la tensione dc di gate e drain secondo l’espressione
ID = Kp (
W
)(VGS − VT )2 (1 + λVDS )
L
dove λ e’ il parametro di modulazione della lunghezza del canale, VT e’ la tensione di
soglia, e W e L sono le dimensioni di larghezza e lunghezza del gate.
48
(65)
Il parametro di transconduttanza, Kp e’ definito come Kp = µo Cox /2, essendo µ la
mobilita’ della regione n-channel in unita’ di cm2 /V sec e Cox e’ la capacita’ per unita’ di
area del ossido del gate in unita’ di farads per micrometri2 . Le unita’ di Kp sono quindi
Amperes/V 2 . Un’idea dei tipici valori si puo’ avere dai seguenti usuali valori dei parametri
di lavoro di un modello di MOSFET .
49
Il modello del circuito equivalente per piccoli segnali per un MOSFET e’ quello mostrato in
precedenza. La transconduttanza e la conduttanza di output nel modello si trovano
differenziando la equazione che da’ ID e calcolandola per il valore del punto di lavoro.
gm =
δID
|@Q−point
δVGS
1
δID
=
|@Q−point
δVDS
rds
Le due capacita’ del modello sono calcolate secondo le seguenti formule
gds =
(66)
(67)
Cox e’ la capacita’ dell’ossido del gate per unita’ di area in unita’ di farad per micrometro2 .
Un altro modo per esprimere la Cox e’ il seguente
ǫ0 ǫSiO2
(68)
tox
attraverso la permittivita’ ǫ0 e ǫSiO2 dello spazio libero e del dielettrico di diossido di Silicio
rispettivamente, e Tox e’ lo spessore dell’ossido, LD e’ la distanza della diffusione laterale
della nuvola di portatori sotto il gate.
Ci sono tre principali sorgenti di noise in un MOSFET identificate come Ing ,Ind e If come
si vede dalla figura all’inizio del capitolo. La sorgente Ing ( e’ una sorgente In importante a
basse frequenze come si vede dalla figura, regione 3) e’ uno shot noise dovuto alla corrente
di leakage attraverso il gate di SiO2 e la source ed e’ quindi calcolata come
Cox =
2
Ing
= 2qIdc
(69)
La corrente di noise In ad alte frequenze, regione 4, e’ dovuta all’effetto Miller di
accoppiamento del noise della resistenza del canale a quello del gate attraverso Cgd . Il noise
2
2
termico nel canale drain-source si concretizza in Ind
ed e’ calcolato come Ind
= 8kT gm /3.
L’ammontare di questo noise e’ lo stesso di quello prodotto da una semplice resistenza
ohmica localizzata nel canale drain-source ed avente un valore dato da
RDRAIN =
2gm
3
(70)
La terza sorgente di noise e’ la corrente di flicker o noise 1/f ancora nel canale drain-source
ed ed e’ data da
AF
Kf IDQ
2
If =
(71)
f Cox L2ef f
50
Dove Kf e’ il coefficente del noise 1/f , IDQ e’ la corrente di drain costante, Af e’ una
costante, f e’ la frequenza di operazione in hertz, W e’ la larghezza del canale e Lef f e’
l’effettiva lunghezza del canale.
Nei MOSFET il noise 1/f e’ causato dai centri trappola nell’ossido del gate o ai confini tra
l’interfaccia sislicio e silicio-diossido. Questa puo’ intrappolare e rilasciare elettroni dal
canale e introdurre cosi’ il noise 1/f . Il noise quadratico medio cresce con la temperatura e
la densita’ degli stati di superfice. Esso decresce come l’area W xL e la capacita’ dell’ossido
del gate per unita’ di area Cox . I centri trappola nell’ossido causano invece il cosidetto
noise popcorn o burst noise a causa della loro lunga costante di tempo di intrappolamento.
La corrente totale di noise dovuta all’uscita del canale drain-source e’
2
2
Ino
= Ind
+ If2
(72)
Per riflettere questa corrente di noise al gate come una tensione equivalente di noise di
input, si utilizza il coefficente di riflessione Ktr definito come
Ktr =
id(segnale)
= −gm
vgs(segnale)
(73)
Si puo’ scrivere quindi la Eni e con le espressioni per Ind e If si ricava En
2
Eni
=
2
If2
Ind
8kT
KF
+
=
+
= En2
2
2
gm
gm
3gm
2Kp f Cox W Lef f
(74)
Notare che il primo termine dell’equazione (72) e’ equivalente ad un singolo resistore di
valore Rn = 2/3gm connesso tra il gate e il source che produce una tensione di noise bianco
equivalente En .
L’equazione precedente mostra che le prestazioni a basso rumore di un MOSFET
richiedono un grande valore di transconduttanza, gm , che a sua volta significa che il
transistore deve avere un grande rapporto W/L ed essere impiegato con un alto livello di
corrente quiescente. Costruendo il transistore fisicamente con una grande area si riduce il
contributo del noise 1/f . In questo modo si riduce anche la frequenza di ginocchio del
noise, ( noise corner frequency), fc , la frequenza dove sono uguali i contributi del noise
quadratico medio dei due termini della equazione (72).
7.3
Il noise nei JFET
All’inizio di questo capitolo e’ stato mostrato il circuito equivalente di noise per operazioni
common-source di un JFET; le curve in funzione della frequenza (a) e (b) sono tipiche di
un JFET pure. La fig. (a) mostra la caratteristica tipica di una bassa tensione di noise En
ad alte frequenze (regione 2) con un noise 1/f crescente a basse frequenze (regione 1). In
fig. (b) e’ mostrato l’andamento della corrente di noise a circuito aperto In . La corrente di
noise In e’ minima alle basse frequenze della regione 3 ed aumenta con la frequenza. La
corrente di noise ad alte frequenze, regione 4, e’ causata dall’effetto MIller che accoppia il
noise della resistenza di canale a quello del gate attraverso Cgd .
Per il JFET il generatore di corrente di noise a circuito aperto In e’ il prodotto di due
processi fisici : il shot noise Ing della corrente inversa di leakage del gate e le fluttuazioni
51
del noise termico della conduttanza del circuito di drain che son capacitivamente
accoppiate nel circuito di gate. La corrente di noise In a basse frequenze, regione 3 di fig. 2
(b), e’ causata dallo shot noise della corrente inversa di saturazione del gate IGSS
√
Ing = 2qIGSS
(75)
Questa corrente di noise e’ white e non ha generalmente noise 1/f .
Ad alte frequenze, regione 4 di fig. (b), la corrente di noise In e’ prodotta dal noise termico
della conduttanza di input come si ricava dalla (4). In effetti il noise termico della
resistenza di canale e’ capacitivamente riportato al gate all’input. Notare che i generatori
di noise En e In sono correlate ad alte frequenze perche entrambi originano dalla stessa
sorgente di noise, il noise termico della resistenza del canale.
La tensione di noise En a medie frequenze, regione 2 di fig. (a), e’ causata dal noise termico
della resistenza di canale come e’ stato dimostrato da van der Ziel. Il noise della resistenza
di canale e’ riflesso all’input del gate come una tensione equivalente di input del gate En
dall’espressione solita
√
(76)
En = 4kT Rn
con la resitenza di noise Rn ricavata sperimentalmente come Rn ≃ 2/3gm.
Come con il MOSFET per minimizzare il noise En a meta’ banda bisogna far lavorare il
JFET dove la sua gm e’ grande. Poiche’ gm cresce con la corrente di drain statica, gm e’
piu’ grande nelle vicinanze di IDSS . Questo e’ il valore di ID dove la tensione di bias
gate-to-source VGS e’ zero. Un grande gm puo’ essere ottenuto per un FET disegnato con
un grande rapporto di W/L del gate, ma questo comporta un dispositivo a grande area.
Alle frequenze piu’ basse di En in fig. (a), regione 1, c’e’ il noise excess 1/f . Questo noise
deriva dall’intrappolamento dei portatori nei cosi’ detti centri di
generazione-ricombinazione SRH nella regione di svuotamento della giunzione. Questi
centri sono le sorgenti principali della corrente inversa di leakage nei diodi di silicio. Una
sezione diagrammatica di un JFET e’ mostrata nella figura seguente:
I centri di generazione, rappresentati dai cerchietti, alternativamente emettono una lacuna
ed un elettrone e contemporaneamente fluttuano tra uno stato di carica ed uno senza
52
carica. La carica fluttuante appare come una variazione nella tensione di gate o come un
vero segnale di input, facendo oscillare la corrente di canale. Queste fluttuazioni sono la
sorgente principale del noise 1/f nei JFET. I centri di generazione sono dovuti ai difetti del
cristallo o impurita’. Poiche’ questi centri sono una delle sorgenti di corrente inversa,
risulta che dispositivi con corrente di leakage IGSS eccezionalmente bassa ha basso noise
1/f . . Una alta corrente di leakage non sempre significa un dispositivo con alto noise
poiche’ le correnti possono avere origine sulla superfice. le fluttuazioni di cariche alla
superfice non modulano la larghezza del canale ne’ necessariamente danno luogo al tipo di
noise discusso fin qui.
Quando ci sono particolari distribuzioni dei centri di generazione-ricombinazione con
caratteristiche costanti di tempo la tensione di noise En presenta dei bump caratteristici.
Non c’e’ una teoria per ridurre il noise 1/f ma si conoscono diversi metodi che aumentano
il noise, come ad esempio il drogaggio con l’oro. Questo tipo di noise dipende molto da
processo a processo e da fornitore a fornitore. Per selezionare un JFET per applicazioni
1/f bisogna caratterizzare un grande campione di dispositivi.
7.4
Misura del noise nei FET
Per misurare il noise dei FET, che copre un grande range di impedenza e frequenza, sono
usati ben quattro metodi di misura diversi. La tensione di noise En a basse frequenze puo’
essere misurato con tecniche tradizionali che saranno spiegate in un capitolo successivo.
Per determinare la corrente di noise a bassa frequenza In si usano normalmente due
metodi. La In puo’ essere misurata direttamente usando una grande resistenza di sorgente,
oppure si puo’ misurare la corrente di leakage del gate e calcolare la corrente di noise. Il
noise In ad alta frequenza non deve essere misurata direttamente, invece si puo’ misurare la
resistenza di input di shunt e calcolare cosi’ il noise termico In . La misura di In a medie
frequenze risulta difficoltoso.
I parametri della tensione di noise dell’amplificatore En e della corrente di noise In sono
calcolati usando la espressione generale di noise equivalente di input per due valori di
resistennza di input. Da ricordare l’ espressione
2
+ En2 + I 2 RS2 + 2CEn In RS .
Eni = Ets
Una misura del noise fornisce il valore del noise equivalente totale di input, Eni ; per
ricavare i singoli termini , En , In e Ets si adotta il criterio di rendere un termine dominante
in modo che l’effetto degli altri sia trascurabile e in caso sottraibile. In generale il
coefficente di correlazione C e’ zero e puo’ essere trascurato eccetto che per i FET operanti
come sorgenti con grandi resistenze ad alte frequenze. Ad alte frequenze la En e la In sono
generati entrambi dal noise termico del canale cosi’ essi sono correlati. Come si determina
C sara’ spiegato nel capitolo dedicato alla misura del noise in generale piu’ avanti.
Per misurare la tensione di noise En si misura il noise equivalente di input con un piccolo
valore della resistenza di input. Quando la resistenza di input e’ zero, il noise termico della
sorgente e’ zero e cosi’ pure il termine In RS , per cui il noise equivalente totale di input e’ la
tensione di noise En dell’amplificatore.
53
Per misurare invece la corrente di noise In si deve rimisurare la Eni con una resistenza di
sorgente molto grande. Si misura il noise di output ed il guadagno di tensione di
trasferimento e si calcola il noise equivalente di input Eni . Assumendo che il termine In Rs
sia dominante, la In e’ il noise equivalente di input Eni diviso per la resistenza Rs della
sorgente di input. Infatti se Rs e’ abbastanza grande, il termine In Rs domina il termine En
e cosi’ pure il termine di noise termico poiche’ questo cresce solo come la radice quadrata
della resistenza mentre la In Rs cresce linearmente con la resistenza. Quando il termine
In Rs
√
non puo’ essere reso dominate si puo’ sottrarre il termine di noise termico Ets = 4kT Rs ∆
dal noise equivalente di input. Poiche’ questa e’ una sottrazione di rms un noise termico
che sia un terzo del noise di corrente aggiunge solo un 10% al noise equivalente di input.
Il valore minimo della resistenza di sorgente per misurare In e’ ricavata essere
Rs ≥
0.45
18kT
=
qIB
IB
(77)
per un amplificatore JFET con una corrente di bias di 2 · 10−10 A , Rs = 2.25GΩ.
Guadagno dell’amplificatore e necessita’ del bias tuttavia a volte rendono difficile o quasi
impossibile ottenere questi valori dato che ogni amplificatore con un input non bilanciato
ha una tensione di offset di 0.45 V, si vede che in ogni caso si ha IB RS = 0.45V . Per un
amplificatore con un input bilanciato, si puo’ applicare una resistenza di sorgente dello
stesso valore ad entrambi i terminali di ingresso per ridurre l’offset di circa 50mV. E a volte
bisogna introdurre un feedback addizionale per ridurre il guadagno globale per evitare un
offest eccessivo all’output dell’amplificatore, Ad esempio per un amplificatore con un input
non bilanciato e’ usualmente necessario non superare un guadagno di 10x per rimanere
nella regione di linearita’. Per misure accurate di In le resistenze di input del bias debbono
essere molto piu’ grandi della resistenza di sorgente,Rs , altrimenti si misurera’ soltanto la
corrente di noise delle resistenze di shunt del bias. La cosa migliore e’ di usare la resistenza
misurante della sorgente per convogliare la corrente di bias.
Un altro metodo per ottenere una alta impedenza di sorgente per la misura di In e’ quello
di usare una sorgente reattiva. Una capacita’ di mica a basse perdite puo’ essere usata per
Rs . Ora il termine In Xc e’ grande e poiche’ la capacita’ reattiva non ha noise termico, il
noise equivalente di input e’
2
Eni
= In2 Xc2 + En2
(78)
Naturalmente il metodo e’ valido solo a frequenze sotto i 100-200 Hz, poiche’ Xc diminuisce
rapidamente al crescere della frequenza.
Una difficolta’ con le sorgenti capacitive e’ il biasing. Per provvedere un cammino per la
corrente di bias di input o la corrente di offset e’ necessario parallelizzare i terminali di
input dell’amplificatore con una grande
√ resistenza. Questa resistenza di bias, RB , genera
una corrente di noise termico, Ith = 4kT ∆f /RB che puo facilmente dominare la corrente
di shot noise di input dell’amplificatore.
Un amplificatore con input un FET ha spesso una
√
corrente di noise di meno di 10f A/ Hz. Questa e’ equivalente al noise termico di una
resistenza di 160MΩ. Cosi’ la resistenza di bias per tutte le misure di In dei FET deve
essere dell’ordine di GΩ,
Per verificare le misure a bassa frequenza della In si mette un elettrometro in serie con il
terminale di gate per misurare la corrente di leakage di gate (IGSS ). La misura di IGSS e’
poi usata per calcolare la corrente di shot noise secondo la formula In2 = 2qIGSS ∆f .
54
I due metodi per determinare la In a basse frequenze si sono dimostrati in accordo in tutte
le misure fatte sul campione. Questo e’ in accordo col modello che dice che la In dei FET e’
causata dallo shot noise del gate e non c’e componente 1/f di noise in In .
Misure di In ad alte frequenze sono molto difficili a causa della capacita’ di shunt della
sorgente, delle capacita’ parassite introdotte dalla disposizione dei componenti e dalla
capacita’ di input dell’amplificatore. La risposta in frequenza con una grande resistenza di
sorgente e’ cosi’ ridotta che non c’e’ margine. Per la stessa ragione per cui In e’ difficile da
misurare, si puo’ supporre che non ci sia contributo di noise in applicazioni tipiche.
Un modo piu’ accurato di misurare il la In ad alte frequenze e’ basato sul modello della
sorgente di noise. Come visto in precedenza, l’input di un FET ad alte frequenze e’
shunt-ed da una resistenza ”reale” Rp (f ) causata dall’effettto Miller. Questa resistenza e’
reale e dissipativa ed e’ causa di noise termico ”reale”. Ad alte frequenze si puo’ usare un
ponte per misurare questa resistenza di shunt Rn (f ), e cosi’ la In e’ determinata come
In2 =
4kT ∆f
Rn (f )
(79)
I valori presentati nella tabella seguente sono il riassunto di misure di noise fatte su dei
FET e sono indicativi per tutta la categoria, anche se sono i migliori valori ottenuti nelle
condizioni migliori, quindi sono i valori limiti superiori. I valori confermano quanto
predetto dalla eq. (64), che mette in evidenza come quando il JFET lavora con la corrente
di drain uguale a IDSS si ha un livello di noise nettamente superiore.
I risultati di test di noise su un particolare tipo di n-channel JFET 2N3821 sono mostrati
nella figura seguente. Entrambi i parametri En e In sono plottati rispetto alla frequenza. Si
vede chiaramente la dipendenza dal punto di lavoro per En mentre si vede per la In che a
basse frequenze non ha molta importanza.
55
56
57
58
8
Modellazione del noise nei sistemi
Il metodo usuale per misurare fenomeni fisici, anche debolissimi, e’ di usare un sensore o
trasduttore che converta il segnale fisico in un segnale elettrico. L’importante e’ che il
sensore sia tale da non modificare il segnale e che a sua volta non induca del segnale (
rumore ) non desiderato. Inoltre spesso il segnale risulta talmente debole da dover
richiedere di essere amplificato e quindi anche questo dispositivo deve essere scelto in modo
da non sommergere il segnale con il suo noise. Tutti i sensori hanno generatori interni di
rumore e sono caratterizzati dal loro proprio rapporto segnale/rumore, S/N. Nel seguito si
vuole introdurre i metodi di analisi dei sistemi sensori-amplificatori.
8.1
Modellazione del noise
Per sviluppare un modello di noise di un sensore si parte dal suo diagramma circuitale, poi
si disegna il circuito equivalente ac che includa tutte le impedenze e i generatori. A
ciascuna resistenza e generatore di corrente si aggiungono i generatori di noise propri; in
questo modo si arriva ad un circuito equivalente di noise. Le resistenze hanno noise termico
e possibilmente excess noise, i generatori di corrente possono avere shot noise, 1/f o excess
noise. Dal circuito equivalente si ricava l’espressione per il guadagno di sistema e per il
noise equivalente di input, che sara’ confrontabile con il segnale.
E’ vantaggioso, tuttavia, studiare tutto il sistema elettronico sensore-amplificatore, che
comprende ovviamente un circuito di accoppiamento al generatore di segnale. Una volta
individuati questi tre componenti sara’ facile ottenere un noise equivalente del sistema.
Si possono individuare tre passi per ricavare il noise equivalente di input per il sistema:
1. Determinare il noise totale di output.
2. Calcolare il guadagno di sistema.
3. Calcolare il noise equivalente di input dividendo il noise eq. di output per il guadagno
di sistema.
Poiche’ ogni dispositivo e’ caratterizzato per quanto riguarda il rumore dalle sue
componenti resistive e generatrici di corrente, si puo’ ricavare un modello di noise ed una
espressione per il noise equivalente di input. Nel seguito si accennera’ soltanto ad alcuni
tipi di sensori, invitando lo studente curioso ad approfondire l’argomento in seguito. Qui si
introduce un metodo per l’analisi di un sistema generale sensore-amplificatore e per
determinarne il rapporto S/N.
59
8.2
Un modello generale di noise
Un sistema sensore-amplificatore puo’ essere diagrammato mettendo in evidenza la
rappresentazione En − In delle sue tre parti principali: segnale+sensore, rete di
accoppiamento e rete di amplificazione, come nella fig. (a). Il sensore e’ descritto dalla
tensione del segnale,Vs , dalla sua impedenza interna, Zs , e dal generatore di noise En che
rappresenta tutte le sorgenti di noise del sensore. Per rendere generale il sistema, la rete di
accoppiamento e’ rappresentata dalla impedenza ZC e da una sorgente di noise EC in
combinazione shunt col sensore. L’obiettivo e’ di combinare assieme il tutto e riflettere
tutte le sorgenti di noise all’input, come mostrato in fig. (b) e (c).
Una forma generale per la tensione equivalente di noise di input e’ :
2
Eni
= A2 Es2 + B 2 En2 + C 2 In2 Zs2 + D 2 EC2
Alternativamente si puo’ definire la corrente di noise equivalente di input, con
2
Ins
= Es2 /Rs2 , come:
K 2 En2
M 2 EC2
2
2 2
2 2
Ini = J Ins +
+ L In +
Zs2
ZC2
Per calcolare questi noise equivalenti bisogna determinare i coefficenti A2 ,B 2 , ...
60
(80)
(81)
Le espressioni, (78) e (79), del noise equivalente di input, Eni e Ini , si possono usare
indistintamente l’uno o l’altro.La scelta dipende dal tipo di sensore che viene usato. Se la
sorgente di segnale e’ un generatore di corrente, e’ piu’ adatta la espressione della corrente
di noise equivalente di input, (79). Se il segnale e’ un generatore di tensione allora la forma
della tensione di noise equivalente e’ in generale la piu’ adatta.
Per quanto riguarda i coefficenti A, B, .. questi dipendono da diversi fattori. Generalmente
il termine A e’ unitario poiche’ esso e’ in serie con la sorgente di segnale, il termine B tiene
conto della impedenza di shunt nella rete di accoppiamento, il termine C e’ determinato
dalla impedenza in serie tra sensore e rete di accoppiamento.
Il metodo di calcolo di En e In e’ il medesimo per ogni sensore: partendo da un diagramma
equivalente di noise, si calcola il noise equivalente totale di output Eno mediante la legge di
Kirchhoff, o simulazione e dividendo questo per il guadagno di sistema, Kt , si calcola la
Eni . Da ricordare che il Kt puo’ essere un guadagno riferito alla tensione o corrente,
secondo come lo si usa, e che ne’ Eni ne’ Ini dipendono dalla impedenza di input o
guadagno dell’amplificatore, mentre ne dipende Eno .
8.3
Effetto della resistenza parallela di carico
Lo schema piu’ semplice di sensore e’ rappresentato da una resistenza in serie con un
generatore di tensione come si vede nella figura seguente.
Nello schema e’ anche mostrata una rete di shunt consistente di una resistenza Rp e di un
generatore di noise Ep . Questa rete aggiuntiva praticamente spesso si identifica con la rete
di alimentazione di tensione del sensore. Per esempio un sensore potrebbe essere un sensore
di spostamento fatto da un potenziometro di precisione, il cui indice e’ misura lo
spostamento. Questo sensore naturalmente ha bisogno di avere una tensione di bias , per
misurare la variazione di posizione, e quindi il segnale Vs , di qui il rumore aggiuntivo; senza
il bias anche Vs sarebbe zero.
Il segnale Vs ed il noise Es del sensore sono in serie con la resistenza della sorgente. Il
rapporto di potenza signal-to-noise di input e’ semplicemente il rapporto di Vs2 con Es2 .
Quando una resistenza di carico come la Rp o di altri elementi della rete vegono aggiunti si
degrada il rapporto signal-to-noise di output.
61
Per calcolare l’effetto della resistenza di shunt sul noise equivalente di input o sul rapporto
R/N si procede in due passi.
Per prima cosa si calcola direttamente il noise di output e il segnale di output, poi si ricava
il noise equivalente di input dividendo il noise eq. di output per il guadagno di sistema.
Nel caso di Rp ≫ Rs si ha :
S
Vs2
V2
=
(82)
= so
2
N
Eno
Es2
Esempio: Determinare il rapporto di output S/N quando Rp = Rs .
Quando Rp non e’ infinita essa deve essere inclusa nel calcolo; poiche’ Rp = Rs , allora
anche Es = Ep per cui
Ep
Es
E2
2
Eno
= ( )2 + ( )2 = s
(83)
2
2
2
Il segnale di output e’ Vso = Vs /2e quindi il rapporto S/N di output e’
Vso2
Vs2
Vs2 /2
S
= 2 = 2 = 0.5 2
N
Eno
Es /2
Es
(84)
Dalla relazione precedente si puo’ concludere che una resistenza in shunt diminuisce il
segnale piu’ del noise ed il risultato e’ che il rapporto S/N ne risulta diminuito.
Dall’esempio si vede che per una resistenza Rp che e’ uguale a quella della sorgente Rs il
rapporto S/N e’ ridotto del 50% (3dB) rispetto al valore senza resistenza di carico.
Lo schema seguente presenta un modello di circuito per un’analisi piu’ completa. Ancora e’
presente una resistenza in shunt che genera
p rumore, che e’ rappresentato come un
generatore di rumore di corrente, Inp = (4kT /Rp ); sono aggiunti anche i generatori
dell’amplificatore En e In . Per calcolare l’effetto delle sorgenti di noise si deve calcolare
quindi il noise equivalente di input.
Si procede nel seguente modo:
1. Si calcola il noise equivalente di output Eno dal circuito equivalente:
2
Eno
= Es2 (
Rp
Rp Rs 2
2
)2 + En2 + (In2 + Inp
)(
)
Rp + Rs
Rp + Rs
62
(85)
2. Si calcola il guadagno di sistema Kt , la funzione di trasferimento da sensore all’output,
Kt =
Rp
Rs + Rp
(86)
3. Si divide la Eno per il guadagno di sistema e si ottienel aEni :
2
Eni
=
2
Eno
Rs + Rp 2 2
2
) En + (In2 + Inp
)Rs2
= Es2 + (
2
Kt
Rp
(87)
Rispetto alla espressione generale per la Eni introdotta precedentemente ci sono due
differenze, nel coefficente del termine En e nel termine aggiuntivo alla In , che richiedono
una spiegazione. Il termine En , come previsto dalla (78) ha un coefficente che dipende
dalla resistenza di shunt, se la resistenza Rp fosse molto grande, Rp ≫ Rs ,il coefficente
tenderebbe all’unita’ e quindi sarebbe ristabilita la espressione generale; per il termine
aggiuntivo alla In , cioe’ il termine in piu’ Inp questo e’ un termine determinato dal noise
termico della resistenza du shunt Rp . Da ricordare che l’impedenza di input
dell’amplificatore non contribuisce al noise.
In pratica la resistenza di shunt deve essere la piu’ grande possibile per ridurre il suo
contributo di noise. Il noise termico di questo componente puo’ essere ridotto
riducendone la temperatura. A volte, per certe applicazioni, si puo’ sostituire la Rp con
una induttanza, che non ha noise termico.
8.4
Effetto della capacita’ di shunt
Sebbene una capacita’ e’ praticamente noise free, cioe’ non genera rumore, essa puo’
accrescere il noise equivalente di input. Una capacita’ in shunt non tocca il rapporto S/N
del sensore poiche’ essa diminuisce ugualmente il noise ed il segnale del sensore, invece ha
influenza sul noise dell’amplificatore che segue.
Si consideri il circuito equivalente di noise che include la capacita’ in shunt mode. Si
procede nel modo adottato precedentemente: si calcola Eno , si calcola il guadagno di
sistema, Kt e poi si determina Eni
63
1. Dal circuito equivalente si ricava che Eno vale:
2
Eno
= Es2 (
1
Rs2
2
2
)
+
E
+
I
(
)
n
n
1 + ω 2Rs2 Cp2
1 + ω 2Rs2 Cp2
(88)
2. Il guadagno di sistema Kt dal sensore all’output vale:
Kt2 =
1
1 + ω 2Rs2 Cp2
(89)
2
2
3. Dividendo Eno
per Kt2 si ottiene Eni
:
2
Eni
= Es2 + (1 + ω 2 Rs2 Cp2 )En2 + In2 Rs2
(90)
La capacita’ in shunt non aggiunge noise di per se’ ma la En e’ aumentata di un
fattore dipendente da Cp , quindi solo la tensione effettiva di noise dell’amplificatore e’
aumentata per il fatto che c’e’ la capacita’ in shunt; la capacita’ pero’ non e’ una sorgente
di rumore.
N.B. Da ricordare che la capacita’ Cp non e’ la capacita’ di input dell’amplificatore in
quanto questa e’ tenuta in conto nella definizione dei valori di En ,In e Kt .
8.5
Rumore di un circuito risonante
Un altro modello di sistema interessante di sensore-amplificatore e’ quello in cui il sensore
e’ di tipo induttore risonante.
Il circuito equivalente di noise di un sensore risonante e’ il seguente in cui e’ inserito
l’elemento risonante. La espressione per il noise equivalente di input si ricava seguendo pari
pari le procedura descritta precedentemente.
64
L’espressione vale:
2
Eni
= Es2 + |1 +
Rs (1 − ω 2 Cs Lp ) 2 2
| En + Rs2 In2
jωLp
(91)
Entrambi i termini En e In sono influenzati dall’impedenza del sensore. Il coefficente di In
e’ uguale a Rs per tutte le frequenze, ma il coefficente di En e’ aumentato di un termine
che e’ la reattanza LC, eccetto alla risonanza quando (1 − ω 2Cs Lp ) = 0 e cosi’ il coefficente
di En e’ di nuovo uno. In questo caso i contributi complessi a Zp si cancellano l’un l’altro
per cui rimane solo Rs . Alla risonanza la (12) diventa soltanto:
2
Eni
= Es2 + En2 + Rs2 In2
(92)
Gli elementi reattivi non entrano nella espressione del noise quando si lavora
alla risonanza.
8.6
SOMMARIO
a. In un sistema elettronico gli elementi che contribuiscono maggiormente al noise sono: il
sensore,l’amplificatore e la rete di accoppiamento.
b. Ciascun contributore puo’ essere sistituito dal suo circuito equivalente di noise per
l’analisi del noise.
c. Per determinare il noise equivalente di input di un sistema bisogna dividere il noise
equivalente di output per il guadagno di sistema.
d. Il noise totale in un qualsiasi nodo del sistema si puo’ calcolare come somma dei valori
quadratici mei dei contributi di tutte le sorgenti a quel nodo, ciascuna sorgente essendo
indipendente dalle altre.
e. Eni , nella sua formulazione piu’ semplice risulta dipendente da tre sorgenti di noise: il
noise termico della resistenza del sensore Ets e dai parametri dell’amplificatore, En e In .
f. In generale, la rete di accoppiamento tra il sensore e l’amplificatore, aumenta il noise En
e In ; le componenti in shunt aumentano il contributo a En mentre quelle in serie
aumentano il contributo a In .
g. Sebbene una capacita’ in shunt sia senza noise, essa aumentera’ il contributo di noise En
ad alte frequenze.
h. Quando un sensore ha una impedenza reattiva, si puo’ utilizzare la condizione di
risonanza per ridurre il noise.
65
9
Cenno sul noise dei sensori
Precedentemente si e’ discusso di sensori nell’ambito della modellazione di sistemi; qui
introducono le linee guida per valutare le sorgenti di noise dei sensori rispetto al segnale
che si vuole valutare. I termini di sensore, trasduttore o rivelatore sono spesso usati in
modo intercambiabile anche se i termini stessi indicano una differente funzione. Sensore o
rivelatore indica un dispositivo capace di sentire un segnale, un trasduttore indica un
dispositivo che trasduce un segnale ( es. meccanico ) in un altro segnale ( es. elettrico). I
sensori, usando questo termine, nella eccezione piu’ generale si possono dividere in sei classi:
1. Sensori voltaici
2. Sensori resistivi con bias
3. Rivelatori optoelettronici
4. Sensori RLC
5. Trasduttori piezoelettrici
6. Trasformatori
Saranno discussi solo i modelli di noise dei primi 4 di questi tipi di sensori: che comunque
serviranno da guida per gli altri tipi per cui si rimanda alla letteratura.
9.1
Sensori voltaici
I sensori resistivi comprendono molti tipi di sensori basati sulla resistenza del mezzo per
generare un segnale. Tra questi sensori si trovano le termocoppie, termopile, le celle
piroelettriche infrarosse, generatori ed altri ancora.
Il sensore e’ simbolizzato dalla sorgente di segnale Vs e dalla resistenza interna in serie Rs .
La tensione Vs e’ l’output rilevato della variazione di un parametro fisico o elettrico, come
pressione o radiazione. Il sensore sara’ accoppiato al circuito amplificante mediante una
capacita’ CC se si e’ interessati esclusivamente alla variazione in funzione del tempo
dell’output del sensore. Ci sara’ anche una resistenza RL per accordare le impedenze tra
uscita e sorgente.
66
Partendo da questo schema il modello di noise che si puo’ implementare e’ quello generale
della figura di seguito.
La capacita’ in shunt Cp rappresenta o una capacita’ intrinseca del sensore o la capacita’
parassita dispersa nei collegamenti. L’amplificatore e’ al solito rappresentato della En e
dalla In .
Per avere un basso noise, la RL contribuira’ poco se RL sara’ grande, e’ in parallelo, mentre
la Cp deve essere molto piccola se si vuole che il noise En non cresca molto alle alte
frequenze. Invece la capacita’ di disaccoppiamento CC deve essere o molto grande o
rimossa per ridurre il suo effetto sulla In dell’amplificatore a basse frequenze.
La impedenza di input dell’amplificatore Zi puo’ essere diminuita con un feedback negativo
in modo da aumentare la frequenza di corner fc causata da Cp . Naturalmente se si tiene Rs
basso si riduce allo stesso modo il limite superiore del rumore termico del sistema.
L’amplificatore deve essere scelto in modo che la resistenza di noise ottimale di output Ro
sia uguale alla resistenza di sorgente Rs e che il prodotto En In sia il piu’ piccolo possibile.
67
9.2
Sensori resistivi con bias
Uno dei tipi piu’ comuni di sensori e’ quello in cui c’e’ una resistenza che varia, in seguito a
variazioni di resistenza o di conduttivita’ in risposta al segnale avvertito. Poiche’ il sensore
non genera un segnale direttamente, esso deve essere alimentato con una tensione o una
sorgente di corrente ed accoppiato ad una resistenza di carico. Questo significa che si
aggiungono due sorgenti di noise da tener presente nella modellazione del sistema: il noise
conseguente al biasing del segnale ed il noise della resistenza di carico. Inoltre se il sensore
e’ parte di un bridge, ad esempio, anche gli altri elementi del bridge contribuiscono al
rumore.
Esempi di sensori resistivi che necessitano di bias, sono gli elastometri, le celle infrarosse
fotoconduttive, i bolometri, i termometri a resistenza ed i sensori piezoelettrici.
I sensori resistivi con bias hanno uno schema circuitale del tipo di quello presentato in
figura. La tensione di bias e’ applicata da VBB ; il segnale del sensore si manifesta come una
caduta di tensione lungo RB , la componente variabile della resistenza del sensore Rs e’
rappresentata da una resistenza incrementale ∆Rs che e’ piccola rispetto alla Rs . La
capacita’ di accoppiamento CC eliminera’ la componente di modo comune della tensione dc
di bias dall’input dell’amplificatore.
Lo schema circuitale equivalente di noise, mostrato nella figura seguente, deve comprendere
tutte le sorgenti di tensione e corrente di noise.
Il generatore di tensione Vs rappresenta il segnale avvertito. Puo’ essere sia un generatore
di tensione in serie con la resistenza del sensore che un generatore di corrente, Is = Vs /Rs ,
in parallelo con la sorgente.
68
Poiche’ ∆Rs ≪ Rs , altrimenti non si utilizzerebbe un amplificatore a basso noise, non
viene incluso nello schema. Il segnale Vs e’ causato dalla variazione di resitivita’ o
conducibilita’ della resistenza del sensore Rs e vale:
Vs = IB ∆Rs ≃
VBB ∆Rs
Rs + RB
(93)
Quando il bias e’ un generatore di corrente costante, IBB , il segnale di tensione e’ dato da
Vs = IBB ∆Rs e in questo caso la resistenza RB e’ molto grande ed il noise termico non
trascurabile. Il generatore di corrente di noise Inb si scrive come Inb (f ) che rappresenta il
noise della sorgente di corrente che e’ probabilmente dipendente dalla frequenza.
Il generatore di corrente di noise Ins , nello schema precedente, rappresenta tre generatori di
noise nel sensore. I tre noise sono il termico, quello 1/f e lo shot noise. Il noise termico e’
generato da una fluttuazione nella velocita’ dei portatori, quello 1/f e’ dovuto al fatto che
la corrente fluisce in un mezzo non perfetto e quindi si ha 1/f noise. Il terzo tipo di noise e’
un noise generato dalla fluttuazione del meccanismo di generazione e ricombinazione nei
semiconduttori. La fluttuazione nella generazione e ricombinazione causa una variazione
nel numero di portatori disponibili che causa una modulazione della conducibilita’ del
semiconduttore. Questo noise e’ ’bianco’, ha uno spettro piatto, in un ragionevole range di
frequenze e usualmente domina il noise termico.
Il resistore di bias RB influenza sia il segnale del sensore che il suo noise. Il generatore di
noise Inb tiene conto della corrente di noise termico e l’excess noise della resistnza di carico
RB . Poiche’ il noise termico di Inb e’ relazionato inversamente alla radice quadrata della
resistenza, e’ auspicabile che RB sia grande; in certi casi e’ possibile sostituire la RB con
una induttanza, che e’ noise free, per il bias e carico contemporaneamente. Questo
comporta che si aggiunge pero’ un nuovo termine importante a basse frequenze.
Quando si usa una resistenza per il bias, al posto di un generatore di corrente, il segnale
dipende da RB nel modo che si vede nella figura precedente. Una resistenza grande
diminuisce la corrente di bias e riduce il segnale di output anche se un grande resistore
riduce anche il noise. Quindi la resistenza RB deve essere scelta con un compromesso tra
guadagno e noise che dipende dalle caratteristiche del sensore.
Il condensatore CC puo’ essere usato per rimuovere la tensione di common mode
dall’amplificatore. CC deve essere grande cosicche’ In Xc non contribuira’ con del noise alle
69
frequenze basse. XC e’ la reattanza di CC ; RL deve essere molto piu’ grande di Rs cosicche’
IL non contribuira’ al rumore. Per un sistema a basso rumore bisognera’ che Rs sia la
sorgente dominante di noise, Si deve quindi selezionare un amplificatore con opportune En
e In in modo che Ro equagli Rs ed il minimo prodotto En In .
9.3
Rivelatori optoelettronici
I sensori optoelettronici sono usati per rivelare varie forme di radiazione visibile e non ed
hanno un largo uso nella rivelazione infrarossa, misure di calore , di luce e di colori,
rivelatori a fibre ottiche, sensori per CD, laser ecc.
Ci sono due tipi di sensori optoelettronici a stato solido: i fotoconduttivi ed i fotovoltaici.
Nei fotoconduttivi una radiazione colpendo una cella genera una corrente che si somma alla
corrente di leakage o corrente buia. Il bias e’ applicato alla cella per raccogliere la corrente.
Nei rivelatori fotovoltaici la radiazione sulla cella produce direttamente una tensione, la
radiazione assorbita produce una variazione della conducibilita’ del materiale
semiconduttore.
Le celle fotoconduttive sono fabbricate con materiale semiconduttore la cui conducibilita’
aumenta con l’assorbimento di energia radiante; il modello per questo tipo di sensore e’
simile a quello del sensore di tipo resistivo con bias.Una forma comune di sensore
fotoconduttivo e’ il diodo reverse-biased o unbiased.
Un circuito semplice con un fotodiodo e’ il seguente in cui la VBB e’ la tensione di bias. Il
bias inverso raccogliera’ tutte la corrente generata dalla energia radiante assorbita e in
questo modo si generera’ un segnale di tensione ai capi dell resitenza di carico o bias, RB .
Molto spesso il sensore e’ usato con un amplificatore con feedback negativo in questo modo
si ottiene un sensore di tipo fotoconduttivo.
Come si vede dallo schema la RB produce un ground virtuale all’anodo del diodo che in
70
questo modo riduce l’impedenza di input aumentandone la risposta in frequenza. La
tensione di output e’ Vo = −ID RB , essendo ID la corrente inversa del diodo, detta anche
corrente buia. Avere RB = R2 riduce l’effetto della tensione di offset di output causata
dalla corrente di bias di input, ma al contempo introduce del rumore.
Lo schema circuitale di noise di un sensore fotodiodo e amplificatore con feedback negativo
e’ mostrato di seguito. Segue tutti gli schemi di circuiti di noise. La resistenza di carico RB
ha lo stesso effetto sul noise equivalente di input e guadagno per entrambi i circuiti. I
simboli sono autoesplicativi, la sorgente di corrente del segnale, Is , e’ localizzata all’input, e
si indica con: rd la resistenza noiseless dinamica reverse-bias del fotodiodo, con RB la
resistenza di feedback, con Rcell la resistenza in serie dellla cella (< 50Ω), con R2 la
resistenza di bias per l’input nonivertente, con Ecell il noise termico di Rcell , con En Ia
tensione di noise dell’ Amp, con Cd la capacita’ della cella, con Cw la capacita’ parassita
delle connessioni, con Id la fotocorrente dc del sensore piu’ la corrente buia, con InB il noise
2
2
2
termico di RB , con Ip = (Ish
+ IG−R
+ I1/f
)2 , con In1 la corrente di noise dell’Amp. per
l’input invertente, con In2 la corrente di noise all’input non invertente e con I2 la corrente
di noise termico di R2 .
La corrente Is e’ proporzionale alla intensita’ della luce incidente, la Ip , corrente parassita
e’ composta di tre correnti di noise: la shot noise che dipende dalla corrente di leakage del
fotocatodo e dalla ID , il burst o R-G noise e l’excess noise,
Ip =
p
2
2
(Ish
+ IR−G
+ If2 )
La sorgente di segnale e’ soggetta ad essere shunted (deviata) per gran parte dalle
impedenze del circuito. La resistenza in serie Ref f e’ generalmente minore di 50Ω, cosicche’
Ecell risulta trascurabile. La resistenza di carico o resistenza di bias, RB e’ a tutti gli effetti
un generatore di corrente di noise termico cosicche’ deve essere grande per minimizzare il
contributo al noise.
La capacitanza Cd e la capacitanza Cw sono elementi che limitano la frequenza, agiscono
come filtri passabasso, quindi debbono essere tenute piu’ basse possibili. Sebbene la
71
capacitanza di input Ci e la resistenza di input Ri dell’Amp. non compaiano
nell’espressione del noise essi intervengono nel guadagno dell’Amp. cosi’ ci danno un mezzo
per ottimizzare separatamente il guadagno ed il noise.
Un diodo unbiased o un diodo fotovoltaico usano un modello simile. In questo caso la
resistenza di Bias RB puo’ essere tolta. Se vi e’ corrente non desiderata causata dalla luce
ambientale si dovra’ tenerne conto come una componente di noise di tipo shot. La
resistenza di shunt del diodo si potra’ determinare dalle eq. del diodo. Con i sensori tipo
fotodiodi si adattano bene gli amplificatori il cui primo stadio e’ un FET, a causa della sua
alta impedenza e bassa capacita’, infatti se il FET e’ connesso in configurazione
common-drain , l’effetto Miller non si manifesta riducendo cosi’ la capacita’ di ingresso.
9.4
Sensori RLC
Tra i sensori RLC vanno annoverati le testine magnetiche, avvolgimenti, i pickup induttivi,
i microfoni dinamici ed altri. I sensori RLC possono essere rivelatori risonanti, ma la
caratteristica principale risiede nella sorgente di segnale induttiva.
Un circuito generico ha uno schema seguente, in cui sono evidenziati la sorgente di noise Es
a rappresentare il noise termico che puo’ essere presente nella parte reale dell’impedenza
del sensore Rs .
72
Il sensore e’ assunto avere anche una induttanza in shunt, Lp , parassita, ed una capacita Cp
che rappresenta sia la capacita’ dell’elemento induttore che la capacita’ dei collegamenti o
la capacita’ esterna eventualmente aggiunta per il sensore. Lo schema di circuito per
l’analisi del noise ingloba tutte le sorgenti. Nel capitolo precedente, nella discussione sui
sistemi con capacita’ in shunt, si era analizzato l’effetto di una combinazione RLC e si era
visto che il contributo al noise En era minimo alla risonanza, mentre il termine In e’
dipendente solo dall’impedenza della resistenza e induttanza.
Il segnale nel sensore RLC e’ usualmente una tensione proporzionale alla rate di variazione
del flusso indotto. L’avvolgimento Ls e la resitenza Rs possono anche essere espressi come
una resistenza ed induttanza in parallelo, in questo caso si avrebbe un generatore di
corrente di noise.
Un sensore induttivo puo’ essere ottimizzato per ottenere il massimo rapporto S/N. Il
segnale in tensione e’ proporzionale al numero di spire. La resistenza dell’avvolgimento e’
proporzionale anche al numero di spire per piccoli diametri, quindi il noise e’ proporzionale
alla radice quadrata delle spire e il segnale aumenta piu’ velocemente del noise con
l’aumentare delle spire. Quando l’avvolgimento pero’ diventa grande abbastanza in
diametro, allora la resistenza aumenta piu’ velocememte che il quadrato delle spire ed il
rapporto S/N incomincia a diminuire.
9.5
Trasduttori piezoelettrici
Un trasduttore piezoelettrico genera un segnale elettrico quando e’ sottoposto a stress
meccanico. Un circuito esemplificatore di sistema con trasduttore piezoelettrico e’ il
seguente:
73
Lo schema circuitale per l’analisi del noise segue lo schema generale, in cui il sensore e’
modellato, oltre che con le usuali Es e Rs anche con due termini che tengono conto del
fattore meccanico, la induttanza meccanica LM e la capacita’ meccanica CM .
Da ricordare che il sistema e’ elettrico-meccanico e quando il sensore e’ in condizioni di
risonanza questa condizione diminuisce il contributo al noise equivalente di input ed in
questo modo aumenta il rapporto S/N.
9.6
Modello di trasformatore
Ci sono tre ragioni principali per accoppiare un trasformatore in input ad una sorgente di
segnale con un amplificatore. La prima e’ di trasformare l’impedenza di input della
sorgente per adattarla alla resistenza di noise di output Ro in modo da minimizzare il noise
del sistema. La seconda e’ fornire un isolamento tra sorgente e amplificatore, e la terza e’
di adattare le impedenze in modo da massimizzare il trasferimento di potenza del segnale.
Lo schema di circuito per l’analisi del rumore di un sistema con trasformatore segue quello
solito; il trasformatore e’ modellizzato, per analisi in bassa frequenza, come una resistenza
di primario Rp ed induttanza Lp e da una resistenza in serie di secondario Rsec . Si rimanda
al testo per una discussione dettagliata.
74
10
Analisi del noise nei convertitori A/D e D/A
Il processamento dei segnali, signal processing, richiede dei convertitori A/D e D/A sempre
piu’ precisi, il che significa con una risoluzione sempre maggiore. Man mano che la
risoluzione si avvicina al limite del noise del convertitore, la utilita’ del bit meno
significativo diventa questionabile poiche’ la probabilita’ di errore del bit aumenta. La
effettiva risoluzione del bit meno significativo e’ determinata sia da noise di interferenza tra
gli elementi del sistema che dal noise intrinseco del convertitore.
Il noise dovuto a interferenza tra elementi del sistema si puo’ eliminare con opportuni
accorgimenti, come una corretta messa a terra, uno schermo e.m., un corretto layout. Ad
un certo punto pero’ il noise dominante sara’ quello del convertitore stesso. La riduzione di
questo noise richiederebbe che il convertitore operasse a basse temperature, che non sempre
e’ possibile, oppure disegnare il convertitore ottimizzando gli elementi in modo da farlo
laviorare a valori di tensione ottimizzati per il noise minimo. Mancano pero’ modelli
generali per convertitori completi. Qui si vuole introdurre un metodo di analisi del rumore
per identificare le sorgenti di rumore dominati nei convertitori A/D e D/C. Si adottera’ il
tipo di convertitore D/A a scala di tensione R-2R e il flash A/D come elementi di analisi.
10.1
Convertitori D/A a rete di resistenze
Nelle figure seguenti sono schematizzati due tipi di convertitori A/D che usano
rispettivamente, una rete R-2R e una rete pesata binaria. L’analisi puo’ partire
inizialmente dalla sola rete di resistori e trascurare la sorgente di noise dell’amplificatore e
della resistenza di feedback nel tipo a pesi binari.
Il metodo consiste nel mettere a terra i terminali di input dei bit ed aggiungere una
sorgente di tensione di rumore termico in serie con la resistenza.
p Sappiamo che la densita’
spettrale della tensione di noise vale per ciascuna resistenza (4kT R), e il noise quadratico
2
equivalente di output, EnA
, si ricava sommando tutti i contributi al noise delle singole
resistenze valutati secondo l’appropriato divisore di tensione corrispondente a ciascuna
resistenza.
75
2
La densita’ spettrale EnA
della rete R − 2R, vedi figura , e’ indipendente dal numero di bit,
N, ed ha un valore di 4kTR, mentre per la rete binaria pesata esso vale:
2
EnA
=
4kT R
N−1
(1 + [ 2 2N−1−1 ]
(94)
2
Come N cresce, EnA
tende rapidamente al valore di 2kTR. Per N = 6 questa
2
approssimazione risulta in un errore di EnA
pari a 1.4%.
10.2
Analisi del noise dei circuiti D/A
I circuiti D/A impiegano differenti modi di connessione con l’amplificatore, ma il modello
che si puo’ adottare e’ abbastanza generale da adattarsi alle diverse topologie. Il modello
prevede che il noise dell’amplificatore sia costituito da una sorgente di tensione di noise En
in serie con l’input non invertente ed una sorgente di corrente In localizzata tra i due
terminali di input dell’amplificatore, come si usa normalmente per modellare il noise di un
amplificatore. Entrambi En e In possono essere modellati con uno spettro di noise piatto, o
noise 1/f o una combinazione dei due con una parte dello spettro piatto per frequenze
sopra il noise corner,fnc , e uno spettro caratteristico 1/f per frequenze inferiori alla
frequenza di noise corner, fnc .
76
2
Il contributo ad Eno
da ciascuna sorgente di noise si ottiene sommando le tensioni
quadratiche medie di noise moltiplicate per il fattore di guadagno di tensione al quadrato.
2
Il contributo di In a Eno
e’ calcolato quadrando In moltiplicata per il quadrato della
resistenza equivalente di sorgente vista da In e poi moltiplicata per il quadrato del
guadagno di tensione non invertente del circuito.
Per es., se si considera la rete R-2R con Amp. non invertente, ( figura precedente, c), la
rete di resistenze ha una resistenza equivalente Req uguale a R, se vista all’indietro nella
rete. La rete introduce anche un Bit Factor(BF) che e’ il guadagno in tensione della rete se
tutti gli inputs sono connessi allo stesso momento.Il Bit Factor e’ dato da
BF = (2N − 1)/N N ed e’ circa uguale a uno. Ignorando la resistenza di input e output del
modello di OpAmp utilizzato, gli altri elementi del circuito contribuiscono nel seguente
modo ad Eno , in unita’ di V 2 /Hz:
77
Rete R-2R:
4kT Req (BF )2 [
RA
RF + RI 2
]2 [
]
RA + Req
RI
(95)
RF + RI 2
]
RI
(96)
4kT RA
(97)
E n:
En2 [
RA :
RI :
4kT RI [
RF 2
]
RI
(98)
RF :
4kT RF
(99)
In :
In2 [
RA Req
RF + RI 2
+ RF RI RF + RI ]2 [
]
RA + Req
RI
78
(100)
Nelle tabelle successive sono elencati i fattori di moltiplicazione per ciascun contributo di
2
2
sorgenti di rumore a Eno
e a Eni
nelle quattro topologie illustrate come pure i bit factor e
le Req . Eni e’ una sorgente di noise equivalente localizzata all’input alla rete di resistori e il
2
2
valore di Eni
e’ uguale a Eno
diviso dal quadrato di guadagno di tensione.
79
L’analisi e’ semplificata considerando che per un input digitale uguale per tutte e quattro
le topologie anche gli output analogici debbono essere uguali tra di loro. Quindi si fanno
queste assunzioni:
BF = 1, RF = RI = RA = R per la rete R-2R, RF = Req = R/2 per la rete pesata
Con queste assunzioni la funzione di trasferimento da Eni a Eno , diventa uguale uno per
2
2
tutte e quattro le topologie, cosi’ Eni
= Eno
. Tenuto conto che per una rete R − 2R la
resistenza equivalente, guardando indietro, e’ tale per cui Req = R, nel caso di rete non
pesata, mentre e’ Req = R/2 nel caso di rete pesata, da un’analisi circuitale della rete si
ricavano le seguenti espressioni per Eno , ricordando che Et2 vale 4kTR in V2 /Hz
1. R-2R con un voltage follower
2
Eno
= En2 + Et2 + In2 R2
(101)
1. R-2R con un amplificatore invertente
2
Eno
= 4En2 + 2Et2 + In2 R2
(102)
1. R-2R con un amplificatore non invertente
2
Eno
= 4En2 + 4Et2 + 4In2 R2
80
(103)
1. R-2R con pesi binari e amplificatore invertente
2
Eno
= 4En2 + 3/2Et2 + 1/4In2 R2
(104)
Per ottenere queste espressioni si sono fatte inoltre le seguenti assunzioni e cioe’ che la rete
R-2R fosse la stessa che la rete di feedback avesse resistenze di ugual valore. Con queste
assunzioni si verifica che il guadagno di sistema e’ unitario per tutte e quattro le
2
2
configurazioni, per cui Eno
= Eni
. Et2 = 4kT R in Volt per Hertz.
Le equazioni mostrano che la rete R − 2R con un voltage follower e’ quella col noise
minore, mentre quella con noise maggiore e’ quella con configurazione dell’amplificatore
non invertente. La topologia voltage follower produce meno noise non solo perche’ in
sostanza ha meno componenti resistivi attorno all’amplificatore, ma anche perche’ il suo
guadagno non invertente in output e’ unitario. Cosi’ non ci sono termini moltiplicativi per
2
En e In che contribuiscono a Eno
come negli altri casi. Le equazioni mostrano anche che se
il noise dell’amplificatore e’ dovuto principalmente alla componente di corrente In allora la
topologia con la rete pesata binaria potrebbe avere noise inferiore dovuto al fatto che il
termine di corrente e’ diviso per 4.
10.3
Il noise in un convertitore flash A/D
Nel convertitore flash A/D della figura seguente ogni nodo del circuito e’ etichettato, cosi’
m indica l’m-esimo nodo della rete.
81
In un convertitore flash A/D, una tensione di riferimento Vref e’ divisa in tante tensioni
ugualmente spaziate di un ∆V , ognuna delle quali e’ input ad un comparatore. La tensione
analogica di input e’ confrontata contemporaneamente con le n tensioni di soglia. Il noise
della tensione di riferimento e le sorgenti di noise del comparatore mostrano noise di
tensione e di corrente con un spettro tipico di noise ”bianco” per frequenze al di sopra del
noise corner Fnc ed uno spettro compatibile con un noise 1/f per frequenze al di sotto di
fnc . Le resistenze nel divisore generano noise termico come pure noise in excess con uno
spettro 1/f . Ci sara’ un errore di un bit se la somma del noise istantaneo e la tensione
danalogica di input eccedono l’intervallo di quantizzazione in cui l’input analogico e’
confrontato.
E’ possibile includere un contributo al noise totale da parte dell’encoder digitale, EDN L ,
aggiungendo un’altra sorgente di noise il cui valore corrisponde al noise dell’encoder
82
all’output del comparatore che interessa moltiplicato del guadagno inverso del
comparatore. Poiche ’ questo guadagno e’ abbastanza piccolo, la EDN L e’ inifluente nel
determinare se un comparatore sbaglia in una decisione, per cui si trascura del tutto il
contributo del noise dell’encoder. Questo potrebbe diventare importante all’output del
convertitore se eccedesse il noise margin della circuiteria del decoder.
Il noise generato da un comparatore che opera nella sua regione di transizione e’ modellato
nello stesso modo di un amplificatore, con En e In . Il noise all’input di ogni comparatore
prende contributi dalla sorgente di noise sua medesima, En , da tutte le sorgenti In degli
altri comparatori, da ciascuna resistenza nel divisore e dalla tensione di riferimento. le
sorgenti En degli altri comparatori non contribuiscono al noise equivalente in input al
comparatore in questione a causa della alta impedenza dei comparatori associati a quelle
sorgenti di noise, in pratica questi contributi En dagli altri comparatori contribuiscono per
la parte partita dalla alta impedenza di ingresso degli Amp. per cui e’ trascurabile.
Da quanto detto, intendendo con m il nodo m-esimo all’input del m-esimo comparatore , si
2
ricava l’espressione di Enim
, la tensione di noise quadratica all’ingresso dell’m-esimo
comparatore, che risulta complessa per tutti i termini di somma su tutti i contributi.
N
2
Enim
=
2
[Enm
2X
−1
2
2
(fncref )
Enm
(fncE )
m 2 2 Eref
2
2
2
+
] + Etm +
Eexm + ( N ) [E +
] + Eexm
f
2
f
j=1
(105)
per m = 1, 2, 3, .., 2N − 1.
2
2
Etm
e Eexm
sono il contributo al noise totale al m-esimo nodo causato dal noise termico e
dalla corrente di noise del resistore rispettivamente. Le equazioni che descrrivono questi
termini sono le seguenti:
2
= mEt2 (
Etm
m
2N − m 2
) + (2N − m)Et2 ( N )2
N
2
2
(106)
2N − m 2
N
2 m 2
)
+
(2
−
m)E
( N)
(107)
ex
2N
2
2
dove Et2 e’ il noise termico di un singolo resistore e Eex
e’ il noise in excess di un singolo
2
resistore nella rete di partizione. La Em
(Inj ) e’ il noise quadratico al nodo m-esimo causato
dalla j-esima sorgente di corrente di In il cui contributo puo’ essere espresso come:
2
2
Eexm
= mEex
(
m 2
) sem ≤ j
j
(108)
2N − m 2
) sem ≥ j
2N − j
(109)
2
Em
(Inj ) = [Ej2 (Inj )](
oppure
2
Em
(Inj ) = [Ej2 (Inj )](
La Ej2 (Inj ) e’ il noise al nodo j-esimo causato dalla j-esima sorgente di corrente In ed e’
uguale a :
2
Inj
(fncI )
j(2N − j)R 2 2
]
[I
+
]
(110)
Ej2 (Inj ) = [
nj
N
2
f
2
E’ importante rilevare che ugualmente la espresione per Enim
ricalca in sostanza la
espressione generica di noise equivalente in input per una catena resistiva accoppiata ad un
83
amplificatore. Determinare quale comparatore ha il maggiore contributo di noise al suo
input e’ abbastanza complicato ( per fortuna c’e’ SPICE ad aiutare ), quello che si puo’
dire e’ che la tensione di riferimento Vref contribuisce per la maggior parte del noise di
input al comparatore piu’ significativo, al top, cioe’ al 2N − 1-esimo. Tutte le altre sorgenti
di noise contribuiscono maggiormente al comparatore di mezzo, mediano, il 2N −1 -esimo.
10.4
Convertire il noise analogico in errori di bit
L’analisi degli effetti del noise sulla accuratezza della conversione A/D e’ di tipo
probabilistica, ( Gordon , 1974), basata su un modello di convertitore di un singolo
comparatore ed una sorgente di noise equivalente all’input del comparatore. L’azione del
comparatore in presenza del noise determina alla fine se vi sara’ un errore o non nella
codifica del bit. Il modello di Gordon prevede di modellare tutte le sorgenti di noise del
convertitore con una sorgente di noise equivalente all’input del comparatore. Prima pero’ e’
necessario determinare un valore realistico per la sorgente di noise equivalente, σ, dalla
topologia del circuito o del dispositivo da usare nell’analisi. L’analisi parte dall’idea di
ridurre concettualmente un convertitore ad un singolo comparatore e poi calcolare la
probabilita’ che il comparatore prendera’ una decisione sbagliata in presenza di noise, data
una certa grandezza dell’intervallo quantico di campionamento (un LSB di un convertitore
) e del livello del noise con rms σ.Tutte le sorgenti di rumore all’interno del convertitore
sono modellate quindi come una unica sorgente di noise equivalente all’input del
comparatore che si somma al segnale di input. Il noise e’ assunto avere una distribuzione
(pdf) gaussiana. L’input di riferimento al comparatore e’ considerato noise free e costante.
Se il segnale di tensione di input e’ costretto sempre ad essere centrato all’interno
dell’intervallo di quantizzazione, allora la probabilita’ di un errore da parte del comparatore
e’ determinata soltanto dal rapporto dell’intervallo di quantizzazione al livello del noise.
Tre possibili casi sono illustrati nella figura seguente, nel primo al segnale sono sommati
±3σ di noise e si vede chiaramente che il segnale di input rimane all’interno dell’intervallo
di quantizzazione, nel secondo il segnale di input esce dai bordi di un intervallo di
quantizzazione, mentre nel terzo caso il segnale si sovrappone a piu’ di due intervalli di
quantizzazione. E’ facile a questo punto valutare la probabilita’ di errore da parte del
comparatore: nel primo caso non ci sara’ errore poiche’ il segnale rimane all’interno
completamente, nel secondo e terzo caso ci sara’ una certa probabilita’ che l’intervallo
quantico di campionamento sia superato quando il noise e’ aggiunto al segnale. La
probabilita’ che cio’ accada e’ pari all’area tratteggiata totale sottesa alla gaussiana che si
estende oltre l’intervallo centrale di quantizzazione. Se il rapporto di σ alla larghezza
dell’intervallo di quantizzazione e’ grande , vedi fig. (c), potrebbe capitare che piu’ di un
comparatore, nella stringa dei comparatori, sia portato a sbagliare; questa probabilita’ e’ la
somma delle aree piu’ scure, mentre la somma delle aree piu’ chiare fornisce la probabilita’
che un solo comparatore commetta uno sbaglio.
84
Nei flash A/D questa analisi probabilistica si adatta a tutti i comparatori e al loro
intervallo di quantizzazione. Il noise puo’ produrre uno tra due tipi di errori. Il primo
capita quando il segnale piu’ noise eccede il limite superiore dell’intervallo di
quantizzazione dell’m-esimo comparatore, allora l’m-esimo comparatore decide
correttamente mentre quelli di ordine superiore saranno portatati a sbagliare producendo
un logico 1. Se il segnale di input sommato al noise eccede il limite inferiore del l’m-esimo
comparatore, questo generera’ sbagliando un logico zero e dipendendo dal livello di noise
uno o piu’ comparatori, m-1, m-2, saranno portati a sbagliare.
Il caso quando il segnale di input non e’ piu’ costretto ad essere centrato nell’intervallo
aggiunge generalita’ all’analisi. Il segnale puo’ essere spostato dal centro di una quantita’
E, dove E e’ definito essere corrispondente a meno di 1/2 LSB in grandezza. Le figure
seguenti presentano il caso di E rispettivamente uguale a +1/4 LSB e -1/4 LSB.
La figura mostra come uno spostamento del segnale di input dal centro dell’intervallo di
quantizzazione ridurra’ la probabilita’ di uno dei tipi di errore mentre aumentera’ la
probabilita’dell’altro tipo di errore. Di nuovo la probabilita’ che un errore o l’altro capiti
sara’ data dalla somma delle aree tratteggiate. Per ogni spostamento ci sara’ una
85
probabilita’ diversa. Questa si puo’ calcolare con l’integrale
Z +(LSB/2)
PE =
P (X|E)P (E)dE
(111)
−(LSB/2)
essendo PE la probabilita’ di un bit error, P (E)dE la probabilita’ che l’input analogico sia
spostato dal centro dell’intervallo di quantizzazione di una quantita’ compresa tra E e
E + dE, e P (X|E) e’ la probabilita’ che il noise gaussiano P (X) eccedera’ l’intervallo di
quantizzazione quando e’ sovrapposto centrato sull’input analogico in E.
Poiche’ il noise piu’ grande e’ tipicamente associato al comparatore top, 2N − 1-esimo, la
probabilita’ maggiore di un errore di bit capita quando la tensione di input analogica, V , e’
nel range tra [Vref (2N − 2)/2N ] e [Vref (2N − 1)/2N ] dove Vref e’ la tensione di riferimento.
Questi sono i limiti di quantizzazione del comparatore al top, del bit piu’ significativo.
La tabella mostra i valori calcolati con Spice dei contributi al noise totale di input al nodo
top di un convertitore A/D a 8 bit. Dai calcoli, ( vedi testo ) risulta, come ci si aspetta, che
il noise totale equivalente aumenta all’aumentare del n, di Bit, N, ma la crescita percentuale
al crescere di N bit diminuisce. Si vede anche che il contributo maggiore deriva da Vref .
La successiva tabella mostra la massima probabilita’ di errore di un comparatore al top ( la
probabilita’ di errore e’ minore negli intervalli di quantizzazione centrali perche’ il noise e’
minore).
86
Sono mostrati ii valori di probabilita’ per convertitori di 3,5 e 8 bits per una tensione a
tutta scala di 5 V e 10 V. con dei parametri di noise ricavati con SPICE ( vedi testo, Sec
11-5). Per un convertitore a 8-bit e 5-Volt full scale la probabilita’ di errore di un
comparatore e’ 100% se l’input analogico puo’ spostarsi a caso all’interno dell’intervallo di
quantizzazione ( cioe ±0.5LSB del valore centrale dell’intervallo di quantizzazione). Se
l’input analogico e’ costretto a non spostarsi piu’ di ±0.3LSB dal centro dell’intervallo
tuttavia la probabilita’ di un errore si riduce a 1 − 2%. Dalla tabella si vede che al
diminuire di N, la probabilita’ di un errore del comparatore diminuisce considerevolmente,
cosa bbastanza ovvia.
87
11
Misura del noise
Il noise e’ misurato alla stessa maniera delle altre quantita’ elettriche, la differenza
principale sta nel livello della tensione. Si sono individuati diversi specifici parametri come
la tensione di input equivalente di noise, En , la corrente euqivalente di input, In , e il noise
factor,NF, quali quantita’ suscettibili di essere misurate ed adatte ad essere usate come
indici di confronto tra sistemi elettronici.
Poiche’ la tensione di noise e’ spesso nella regione dei nanovolt , non e’ possibile misurare il
noise direttamente alla sua sorgente, anche perche’ non sempre la generazione di noise e’
localizzata fisicamente all’input, ma piuttosto distribuito in tutto il sistema. Il noise totale
e’ la somma dei contributi di tutti i generatori. Il noise e’ misurato alla porta di output
dove il livello e’ piu’ alto e poi trasferito all’input per riferirlo alla sorgente di segnale.
11.1
Metodi della misura del noise
Due tecniche generali di misura del noise sono il metodo dell’onda sinusidale e il metodo del
generatore di noise.
Col metodo dell’onda sinusoidale si misura il noise rms all’output dell’amplificatore, si
misura il guadagno di tensione con un segnale di onda sinusoidale e in fine divide il noise di
output per il guadagno per ottenere il noise equivalente di input. In questo modo sia il
noise che il guadagno possono essere misurate con un alto grado.
Col metodo del generatore di noise si usa un generatore calibrato di noise a banda larga
piazzato all’input dell’amplificatore. Col generatore di noise messo a zero noise, si misura
la potenza di noise totale all’output dell’amplificatore; poi la tensione calibrata di noise e’
aumentata fino a che la potenza di noise e’ doppia di quella misurata. La tensione di noise
del generatore, a questo punto, e’ uguale al noise equivalente di input dell’amplificatore.
I due metodi hanno aree di impiego ben precise come specifiche limitazioni. La scelta tra i
due metodi dipende dal range di frequenze e dalla strumentazione disponibile. Il metodo
dell’onda sinusoidale usa normale strumentazione di laboratorio ma richiede piu’ misure ed
e’ applicabile a basse frequenze, invece il metodo del generatore calibrato e’ piu’ semplice e
si applica a misure ad alta frequenza.
11.2
Metodo dell’onda sinusoidale
Usando la tecnica di analisi in cui si definiva il noise equivalente di input con Thevenin, il
generatore di noise equivalente di input Eni e’ posizionato in serie con la impedenza del
sensore ed uguale alla somma del noise del sensore e dell’amplificatore.
Questo modo di fare l’analisi del noise fa si’ che sia il noise dell’amplificatore che quello di
input sia in serie col segnale. Poiche’ sia il segnale che il generatore di noise sono
posizionali allo stesso punto e si applica quindi la stessa funzione di trasferimento, il noise
equivalente di input e’ inversamente proporzionale al rapporto S/N
88
La misura del noise equivalente di input e’ fondamentale per la determinazione del NF e
per la caratterizzazione dei parametri della tensione e corrente di noise dell’amplificatore.
Entrambi i metodi, onda sinusoidale e generatore di noise, possono essere usati per la
misura di Eni .
Il metodo dell’onda sinusoidale richiede che vengano fatte misure sia del noise di output
Eno che della guadagno di tensione o guadagno di sistema Kt . La procedura per misurare
quindi il noise equivalente di input per un amplificatore di tensione e’:
1. Misura del guadagno di tensione trasferita Kt =
Vso
.
Vs
2. Misura del noise totale di output Eno .
3. Calcolo di Eni =
Eno
.
Kt
Il primo passo e’ la misura di Kt . La misura di Kt si fa inserendo un generatore di tensione
Vs in serie con la impedenza di sorgente Zs e misurando il segnale Vo . Il guadagno di
trasferimento di tensione Kt e’ dato dal rapporto tra Vso e Vs , Kt = Vso /Vs . Poiche’ questo
guadagno deve essere misurato ad un livello del segnale piu’ alto del livello di noise bisogna
assicurarsi che l’amplificatore non sia in saturazione, prima raddoppiando e poi
dimezzando il segnale di input il segnale di output dovrebbe prima raddoppiare e poi
dimezzarsi seguendo fedelmente l’input.. E’ importante notare che questo guadagno di
sitema Kt dipende dalla impedenza della sorgente e dalla impedenza di input dell’Amp
mentre non lo e’ il tipico guadagno in tensione Av . Usando il guadagno di sistema Kt il
noise di input e’ indipendente dalla impedenza di input.
Il guadagno di sistema, o guadagno di tensione di trasferimento, deve essere misurato
usando un generatore che abbia una impedenza uguale all’impedenza della sorgente di
segnale, non si deve usare il guadagno in tensione. Se si deve misurare il noise eqivalente di
input a varie frequenze o impedenze di sorgente sia la Kt che la Eno debbono essere
rimisurate ogni volta con ciascuna impedenza di sorgente per ogni frequenza.
89
Successivamente si passa a Eni . Per calcolare la Eni bisogna misurare la Eno . Si toglie il
generatore di segnale e si rimpiazza con un elemento cortocircuitante. La impedenza di
sorgente non va rimossa. Il noise di output Eno si misura ora con un voltmetro che mi
fornisce il valore rms. A questo punto dividendo Eno con Kt si ricava la Eni .
Il generatore di segnale deve essere tolto dal circuito di test del noise prima di misurare il
noise. Questo e’ necessario sia che il generatore di segnale sia di tipo ac che di tipo dc, con
batteria. In entrambi i casi la sua capacitanza verso terra puo’ risultare in un noise di
aggancio, inoltre si puo’ formare un loop di corrente se e’ messo a terra.
Se il noise di output e’ misurato come media piuttosto che come rms bisogna moltiplicare
questo valore per 1.13 per ottenere l’rms. Per ottenere la densita’ spettrale si divide il noise
quadratico medio di input per la bandwitdh ,∆f .
11.3
Misure di En e In
I parametri della tensione e cortrente di noise En e In sono calcolati dal noise equivalente
di input per due valori di resistenza sorgente. Come si e’ definito precedentemente il noise
equivalente di input vale
2
Eni
= Et2 + En2 + In2 Rs2 + 2CEn In Rs
(112)
Le misure forniscono il valore del noise equivalente di input totale Eni . Per determinare
ciascuna delle tre quantita’ , En , In , Rs , si rende di volta in volta ciascuna delle tre
quantita’ dominante oppure si sottrae l’effetto di due quantita’ e si ottiene il parametro
della terza. In generale il coefficiente di correlazione C e’ zero e puo’ essere trascurato. La
discussione di come si misura C segue piu’ avanti.
Per misurare la tensione di noise En si misura il noise equivalente di input con una piccola
resistenza di input. Quando la resistenza di sorgente e’ zero il noise termico della sorgente
Et e’ zero ed il termine In Rs e’ anche zero, per cui il noise totale equivalente di input e’ la
tensione di noise En . Quanto piccola deve essere la resistenza? Il noise termico Et di Rs
deve essere molto minore di En , quindi una resitenza di 5Ω e’ adeguata, di piu’ si avrebbe
gia’ un contributo di noise non trascurabile.
Per misurare la corrente di noise In si rimisura En con una resistenza molto grande. Si
misura il noise di output ed di nuovo il guadagno del sistema per calcolare il noise
eqivalente di input Eni . Assumendo che il termine In Rs sia dominante, In e’ semplicemente
il noise equivalente di input Eni diviso per la resistenza di sorgenteRs . Se Rs e’ abbastanza
grande, il termine In Rs domina sul termine En , e cosi’ pure domina il noise termico poiche’
la tensione di noise termica Et aumenta come la radice quadrata della resistenza, menttre il
termine In Rs cresce linearmente con la resistenza. Quando il termine In Rs non puo’ essere
reso dominante, si puo’ sottrarre il termine del noise termico Et = (4kT R∆f )1/2 dal noise
equivalente di input. Poiche’ questa e’ una sottrazione di termini quadratici e poiche’ il
noise termico generalmente e’ parecchio minore del noise di corrente il termine aggiunge
poco al noise equivalente di input.
Il resistore di sorgente per misurare In puo’ essere calcolato in un modo generale per ogni
amplificatore poiche’ la sorgente di noise della corrente e’ fisicamente localizzato all’input
dell’amplificatore. La corrente di noise di input In e’ causata dal noise shot della corrente
90
dc IB del gate o dalla corrente di bias della base.
p
In = (2qIB ∆f )
(113)
Al fine di rendere il termine di noise di corrente dominante sul termine di noise termico del
resistore in misura, si deve avere:
√
√
(114)
In Rs = Rs 2qIB ∆f ≥ 3 4kT Rs ∆f
che risolvendo per la resistenza di sorgente Rs si ha:
Rs ≥
18kT
0.45
=
qIB
IB
(115)
Questo definisce il minimo valore per una resistenza di sorgente in serie per misure di In .
Esempio, Quali sono i valori minimi delle resistenze di sorgente per misure di
In per un Amp. BJT con 1µA di bias di corrente ? e quale per un Amp JFET
che ha 0.2nA di corrente di gate e un amplificatore MOSFET che ha una
corrente di gate di 1pA ? Soluzione: Per l’Amp BJT Rs = 450kΩ ; per il JFET
Rs = 2.25GΩ mentre per il MOSFET la minima resistenza deve essere di 4.51011 Ω.
Mettere d’accordo guadagno dell’amplificatore e bias a volte puo’ essere difficoltoso o
impossibile. Ad esempio i tre amplificatori dell’esempio precedente hanno un offest di input
di 0.45 V con input non bilanciato. Ora dalle eq. precedenti si ricava che IB Rs = 0.45V . Si
po’ ridurre l’offest ,bilanciando gli input, ad un 10% del suo valore e a volte e’ necessario
ridurre il guadagno dell’amp. per limitare un eccessivo offset all’output. Con un Amp. con
input non bilanciati e’ usualmente necessario usare un guadagno di meno di 10x per
lavorare in zona lineare.
Quindi per una misura accurata di In i resistori di bias di input dell’amplificatore debbono
essere molto piu’ grandi della resistenza di sorgente Rs altriment si misura soltanto la
corrente di noise dei resistori shunting di bias. E’ meglio usare il resistore di sorgente che si
misura come elemento conduttore della corrente di bias.
Il resistore di sorgente deve essere schermato per prevenire che segnali spuri siano captati.
Il resistore usato Rs non deve essere necessariamente a basso rumore finche’ non c’e’ caduta
di tensione ai suoi capi, se invece il resistore e’ anche usato per il bias conviene usare un
resistore a basso rumore.
Un altro metodo per ottenere una alta impedenza di sorgente per misure di In e’ quello di
usare come sorgente un elemento reattivo. Una capacita’ di mica di 47 pF puo’ essere usata
per Rs . Ora il termine In Xs e’ grande e poiche’ l’impedenza reattiva non ha noise
thermico il noise equivalente di input vale:
2
Eni
= In2 Xc2 + En2
(116)
dove Xc e’ la reattanza dell’impedenza di sorgente alla frequenza con cui si effettuano le
misure. Dall’equazione si ricava In che e’ l’unica incognita. Questo metodo e’ assai utile per
frequenze al di sotto dei 100Hz. Una difficolta’ con una sorgente capacitiva e’ il biasing,
Per fornire una via per la corrente di bias di input o per la corrente di offset e’ necessario
provvedere una grande resistenza in parallelo sui terminali di input dell’amp. Ma questa
resistenza di bias RB e’ fonte a sua volta di corrente di noise termico It = (4kT ∆f /RB )1/2
che puo’ facilmente dominare la corrente di noise di shot di input dell’amp. Ad esempio un
91
amp di input di tipo FET ha una corrente di di noise di meno di 10f A/Hz 1/2 , che e’
equivalente al noise termico di un resistore di 160MΩ. Cosi’ la resistenza di bias per
tutte le misure di corrente In dei i FET deve essere dell’ordine dei GΩ.
Il coefficente C puo’ essere misurato dopo che tutte le altre tre quantita’, En , In eEt sono
state determinate. Selezionare la resistenza ottimale di sorgente Rs = Ro tale che
In Ro = En . Per questa resistenza il termine di correlazione 2CEn In Ro ha il massimo
effetto. Per determinare C si misura una terza volta il noise equivalente di input con la
resistenza ottimale di input Ro e si determina il coefficente di correlazione C sottraendo il
contributo di En ,In e Et . Non e’ una misura facile di Eni poiche’ il termine di correlazione
puo’ aumentare per un40% il valore di Eni quando Rs = Ro eC = 1.
11.4
Misura della figura di noise
Una figura di noise (NF) di un amp. deve essere eseguita con una specifica resistenza di
sorgente. Il NF puo’ essere determinato direttamente appena si ha una misura di Eni per
quel valore di resistenza di sorgente, infatti il NF e’ nient’altro che il rapporto del noise
totale di input, Amp piu’ sensore, al noise del sensore da solo.
NF = 10log
2
Eni
Et2
(117)
Un’altra definizione di NF e’ la degradazione nel rapporto di potenza signal-to-noise
quando il segnale passa attraverso una rete. In forma di equazione si definise cosi’
NF = 10log
Si
So
Si /Ni
= 10log
− 10log
So /No
Ni
Ni
(118)
con Si e Ni si indica la potenza del segnale e del noise all’input e con So e No quelle di
output. In termini di tensioni si riduce a
NF = 20log
Vso
Vs
− 20log
Et
Eno
(119)
Questa definizione puo’ essere usata per misurare il NF di un transistor. Si deve rendere il
livello del segnale di input 100 volte il noise termico. Allora dalla ultima relazione si ha
NF = 40dB − 20logVso + 20logEno
(120)
Usando un voltmetro em calibrato in decibel si aggiusta il guadagno dell’amp con un
attenuatore affinche’ il voltmetro in output legge 0dB su un range conveniente, mentre si
ha in input un segnale 100x. Poi si toglie il segnale di input e si aumenta la sensibilta’ del
voltmetro di 40 dB, questo significa ridurre il range del voltmetro di 100x. In questo modo
si ha una misura di Vso pari a 100, che significa 20logVso = 40dB che inseriti nell’ultima
espressione mi porta alla relazione
NF = 20logEno
(121)
La lettura del voltmetro, in dB, dopo che si e’ rimosso il generatore di segnale e’ uguale ad
NF in decibel.
92
Se l’Amp considerato e’ di quelli a basso rumore allora il rapporto signal-to-noise di input e
output vale 40 dB. Rimuovendo il segnale in input l’output sul voltmetro decresce di 40dB
fino a 0dB nella nuova scala. Nei casi pratici l’amp. non e’ noiseless e l’output non decresce
di 40 dB ma meno, circa 35 dB. Cosi’ il NF e’ 40 -35 dB = 5 dB; la lettura del voltmetro (
con scala in decibel) permette di ricavare il NF per la spcifica resistenza di sorgente e noise
bandwidth del sistema sotto test.
11.4.1
Strumentazione per misure di noise
Il metodo del generatore con onda sinusoidale per la misura di noise richiede di misurare il
noise totale e il guadagno di tensione di trasferimento o guadagno di sistema. La
strumentazione richiesta, come si vede nello schema mostrato nella figura seguente , non e’
particolarmente sofisticata a parte l’analizzatore di spettro. Si rimanda al testo la
descrizione dettagliata delle procedure.
11.5
Metodo del generatore di noise
Il noise dell’amplificatore puo’ essere misurato per confronto con una sorgente calibrata di
noise Ens ed un voltmetro rms all’uscita come mostrato in figura.
93
Il livello di noise incognito dell’amplificatore e’ confrontato con l’ampiezza nota del
generatore di noise. L’accuratezza dipende principalmente dalla calibrazione del generatore
di noise. Esso deve avere una densita’ spettrale di noise uniforme su tutto il range di
frequenze di interesse, white noise. Ci possono essere difficolta’ a basse frequenze dove
domina il noise 1/f , mentre ad alte frequenze questo metodo e’ il piu’ adatto perche’ anche
e’ il piu’ facile. La sorgente calibrata di noise e’ in serie con la resistenza del sensore Rs , il
noise equivalente di input e’ sommato a Eni ; il noise dell’amplificatore e del generatore sono
misurati come Eno .
Lo scopo di misurare il noise e’ di determinare la Eni o Ini . La procedura prevede di
misurareEno due volte, come Eno1 quando il generatore di noise Eng e’ connesso e come
Eno2 quando Eng e’ disconnesso. Si ha cosi’ le seguenti equazioni
2
2
2
2
2
Eno1
= Kt2 (Eng
− Eni
) e Eno2
= Kt2 Eni
dove la Kt e’ il guadagno di tensione di trasferimento. Per una buona accuratezza e’
necessario che Eno1 sia molto piu’ grande di Eno2 . Tenuto comnto che Eng si conosce bene,
(E 2 +E 2
2
si calcola la Kt = no1 ) no2 Eng
. Il valore di Eni si ricava quindi come
2
2
Eni
= Eno2
/Kt2 =
2 E2
Eno2
ng
2
Eno1 −E 2 no2
che vale per ogni generatore di noise conosciuto.
La tecnica piu’ adottata e’ quella di aumentare Eng fino a raddoppiare la potenza di noise
dii output, cioe’ fino a che il noise di output non sia doppio di quello senza generatore di
noise, cosi’ si ha
2
2
Eno1
= Eno2
(122)
Sostituendo nella relazione generale precedente si trova
2
Eni
2
2
Eno2
Eng
2
=
= Eng
2
2
2Eno2 − Eno2
94
(123)
Quindi la tensione di noise del generatore di noise necessaria a raddoppiare la potenza di
noise di output e’ uguale al noise equivalente di input dell’amplificatore.
In sostanza il modo di procedere sara’:
1. Misurare il noise totale di output.
2. Inserire un segnale di noise calibrato all’input per aumenter il noise di output di 3 dB.
3. Il segnale di noise calibrato e’ ora uguale al noise equivalente di input
dell’amplificatore.
Un voltmetro dB non calibrato puo’ anche essere usato per queste misure. Si misura il
noise dell’amplificatore, poi si attenua il guadagno dell’amplificatore di un fattore 3dB e
finalmente si inserisce il generatore di noise e lo si aumenta finche’ la potenza di noise di
output segnata dal voltmetro non ritorna al suo valore originale, Il noise aggiunto in questa
fase e’ uguale all’amplificatore di noise equivalente di input.
11.5.1
Strumentazione per misura di noise
Ci sono diversi tipi di generatori di segnale dispersivo, sebbene la maggior parte siano
generatori di noise alcuni producono un’onda sinusoidale a frequenza non casuale.
Entrambi i tipi possono servire come generatori di noise a larga banda. Il punto importante
e’ che per misure di noise il generatore deve avere una densita’ spettrale di noise piatta.
Segnali casuali di noise sono prodotti da diodi a vuoto con limite i temperatura, diodi
Zener e amplificatori. Per approfondire le caratteristiche di questi generatori vedere il testo
di riferimento.
11.6
Confronto tra i metodi
Confrontando i due metodi: generatore di onda sinusoidale e generatore di noise, il
vantaggio principale del metodo generatore di noise e’ la facilita’ della misura. Il vantaggio
principale del metodo dell’onda sinusoidale e’ la sua applicabilita’ alle basse frequenze e la
disponibilita’ dell’attrezzatura.
Il metodo del generatore di noise e’ diretto, basta connetter il generatore all’input
dell’amplificatore ed aggiustare il generatore fino a raddoppiare la potenza di noise di
output dell’amplificatore. In un sistema a larga banda questo e’ fatto facilmente. Un altro
vantaggio e’ la disponibilita’ di diodi calibrati per noise a basso costo. Tuttavia questi
diodi per noise mostrano un noise 1/f sotto alcune centinaia di Hz. Poiche’ il generatore di
noise e’ una sorgente a grande banda non si richiede un sistema con una larghezza di banda
∆f , per cui puo’ essere necessario una qualche limitazione sulla larghezza di banda per
misurare lo spot noise, limitazione che si puo’ ottenere con un filtro a banda stretta o un
analizzatore di spettro o filtro a un terzo di ottava.
95
Nella misura col metodo del generatore di noise bisogna schermare il generatore altrimenti
si ha del noise agganciato da sorgenti esterne, cosa che invece e’ meno necessaria nel caso
della onda sinusoidale perche’ basta schermare la resistenza agganciata al terminale di
input. Un altro svantaggio del metodo del generatore di noise e’ il tempo molto lungo di
misura per basse frequenze. Le misure, per strumentazione o ispositivi di controllo la
misura di noise si estende fino a pochi hertz o meno. Misure di spot noise richiedono una
bandwidth di meno di 1 ottava, una bandwidth di noise di 5 Hz richiede un tempo medio
costante di 10 secondi per una accuratezza al 10%. In piu’ il metodo del generatore di noise
richiede due o piu’ misure di noise di output, l’Amp da solo e Amp con generatore.
REGOLA GENERALE: Usare il metodo dell’onda sinusoidale per frequenze basse e
medie e il metodo del generatore di noise per frequenze alte e RF.
11.7
Effetto del tempo di misura sull’accuratezza
Sebbene e’ impossibile determinare il valore di noise istantaneo e possibile determinare
statisticamente la media a lungo periodo del noise rettificato con una certa accuratezza.
Se il voltmetro ac ha una costante di tempo di risposta breve la sua lancetta tendera’ a
seguire le variazioni istantanee del noise invece che il valor medio.
Una relazione tra la noise bandwidth, la costante di tempo del voltmetro τ e l’errore
relativo del voltmetro ǫ e’
1
ǫ= √
(124)
2τ ∆f
dove ǫ e’ il rapporto del valore rms delle fluttuazioni del voltmetro col valore medio letto
dal voltmetro. Per avere una misura con lo stesso grado di accuratezza una misura di
narrowband richiede un tempo medio piu’ lungo che per quella wideband. Per una
bandwidth di 1000 Hz o piu’ la costante di tempo del voltmetro e’ adeguatoa, d’altra parte
per una misura di una bandwidth di 5 Hz si richiede una costante di tempo di 40 sec. per
una accuratezza del 5% che si allunga a una costante di tempo di 1000 sec. per una
accuratezza del 1%.
Come regola generale conviene usare la piu’ grande larghezza di banda possibile per il piu’
breve tempo di lettura e maggiore accuratezza.
12
REFERENZE
Questi appunti sono tratti per la maggior parte dal seguente testo che costitusce il testo di
riferimento per il corso e dove si trova la completa bibliografia sull’argomento.
- Low-noise Electronic System Design, C.D. Motchenbacher,J.A.Connelly, 1993 Wiley
Interscience
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