Gravità e moti orbitali
Lezione 3
Sommario
Brevi cenni storici.
Le leggi di Keplero e le leggi di Newton.
La forza di gravitazionale universale e le orbite dei pianeti.
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L’Universo Geocentrico
La sfera celeste ruota verso Ovest
Luna
Sole
La Terra era stazionaria mentre la
sfera celeste, la luna ed i pianeti
ruotavano attorno ad essa.
Terra
Stelle fisse sulla sfera celeste
Perché questo era
necessario?
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Gli antichi greci e cinesi avevano
sviluppato un modello di
universo geocentrico.
Il Sole, la luna ed i pianeti erano
anche soggetti ad una rotazione
in senso opposto più lenta.
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3
Il mistero dei moti retrogradi
Occasionalmente sembrava che i pianeti si muovessero in senso
opposto rispetto alle stelle fisse .
Moto Retrogrado: i pianeti si muovono da Est ad Ovest invece che
da Ovest ad Est.
Il sistema Tolemaico fu sviluppato proprio per spiegare questo moto
planetario non uniforme.
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Il Sistema Tolemaico
Epicicli: introdotti per
spiegare il moto
retrogrado
Deferenti:
orbite attorno
alla Terra
Il sistema Tolemaico è il sistema geocentrico più avanzato sviluppato dai
filosofi Greci.
I moti retrogradi sono la conseguenza del fatto che i pianeti compiono orbite
circolari (epicicli) attorno ad un centro che a sua volta compie un’orbita
circolare (deferente) attorno alla Terra.
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La Rivoluzione Copernicana
Niccolò Copernico
(1473-1543) introdusse il
concetto di universo
Eliocentrico (correndo
qualche rischio ...).
I pianeti (Terra compresa)
compiono orbite circolari
attorno al Sole.
I pianeti più interni si
muovono più
velocemente.
Nessun bisogno
di Epicicli
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Galileo, l’osservatore
Galileo Galilei (1564-1642) compie le prime osservazioni
sistematiche inventando ed usando un telescopio di sua
costruzione.
Scopre le macchie solari, i 4 più grandi satelliti di Giove (satelliti
Medicei), le fasi di Venere (l’osservazione della fase “piena” è
una prova del sistema Copernicano).
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Le leggi di Keplero
Le Leggi di Keplero sui moti planetari
1. Un pianeta descrive un’orbita
ellittica di cui il Sole occupa uno dei
due fuochi.
2. Il raggio vettore che connette il
Johannes Kepler
(1571-1630) descrisse
empiricamente i moti
planetari con orbite ellittiche.
Si basò sulle osservazioni
accuratissime del maestro
Tycho Brahe (1546-1601).
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pianeta al Sole spazza aree uguali in
tempi uguali.
3. Un’orbita planetaria è caratterizzata
da P2
a3
dove P è il periodo orbitale ed a è la
distanza media del pianeta dal Sole.
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La prima legge di Keplero
Un pianeta descrive un’orbita
ellittica di cui il Sole occupa
uno dei due fuochi (il fuoco
principale).
Un elllisse è un insieme
di punti che soddisfa:
r + r′ = 2a
circonferenza se F
coincide con F′.
Pianeta
b
F'
Afelio
r'
a×e
r
Perielio
a
Sole nel
fuoco
principale
Semiasse maggiore: a
Semiasse minore: b
Eccentricità:
e (0 < e < 1; e=0 per una circonferenza)
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La seconda legge di Keplero
Il raggio vettore che connette il pianeta al Sole spazza aree
uguali in tempi uguali.
B
A’
B’
Sole
Stessa area
A
Un pianeta si muove più rapidamente al Perielio che all’Afelio.
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La terza legge di Keplero
Un’orbita planetaria è caratterizzata da P2 a3 dove P è il
periodo orbitale ed a è la distanza media del pianeta dal Sole.
P2/a3 = C; la costante
C ha lo stesso valore
per tutti i pianeti.
La terza legge di
Keplero è lineare con
pendenza 2/3 con
log a in funzione di
log P:
log a = 2/3 log P + log C
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La meccanica di Newton
I tre principi della Dinamica di Newton
1. Un corpo persevera nel suo stato di
quiete o di moto rettilineo uniforme
se non è soggetto ad alcuna forza.
2. La forza che agisce su un corpo è
uguale al prodotto della sua massa
ed accelerazione: F = ma.
Isaac Newton (1642-1727) ha
gettato i fondamenti della
fisica moderna (in
contrapposizione a quella
Aristotelica).
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3. Ad ogni azione corrisponde
un’azione uguale e contraria.
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La legge di gravitazione universale
Newton postulò che due masse M ed m si attraggono con una
forza diretta secondo la congiungente le due masse ed il cui
modulo è
GM m
F =
r2
−2
−11
2
G = 6.67 × 10
N m kg
F è inversamente proporzionale al quadrato della distanza;
G è la costante di gravitazione universale.
La legge di gravitazione universale combinata con i 3 principi
della dinamica permette di spiegare TUTTE le caratteristiche
delle orbite planetarie (ovvero le 3 leggi di Keplero).
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La legge di gravitazione universale
Consideriamo ad esempio la massa m e supponiamo che
m<<M. In questo modo M si può considerare fissa nello spazio.
Si applica il secondo principio della dinamica e la legge di
gravitazione universale ottenendo un’equazione vettoriale:
M
G
M
m
F! = m!a =
!
u
r
2
r
versore direzione
(vettore con modulo
unitario)
!ur
r
m
Si può dimostrare che:
1. le traiettorie della massa m sono sempre in un piano che
contiene M e m;
2. le traiettorie di m sono delle curve “coniche”.
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La legge di gravitazione universale
Le “coniche” sono le curve che originano dall’intersezione di un cono e di
un piano . Le coniche sono: ellisse (cerchio), parabola ed iperbole.
L’energia totale (Cinetica+Gravitazionale) determina il tipo di orbita.
Le orbite legate sono ellissi o circonferenze (Prima Legge di Keplero).
Orbite
slegate
Iperbole
Parabola
Ellisse
Cerchio
Cerchio
Ellisse
Parabola
Iperbole
Orbite
legate
ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0
2
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2
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La legge di gravitazione universale
G
M
m
F! = m!a =
!
u
r
2
r
!ur
r
m
La Seconda Legge di Keplero (aree uguali spazzate in tempi
uguali) è una conseguenza della conservazione del momento
angolare ( m × r × v ) del sistema M+m.
Quando un sistema non è soggetto a forze esterne il suo
momento angolare totale si conserva.
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La legge di gravitazione universale
Moto circolare uniforme 1. Velocità ha direzione tangente alla
!v
!a
r
circonferenza ed è costante in modulo.
2. Accelerazione centripeta, costante in
modulo.
v2
a=
r
2π r
T =
v
Assumiamo che l’orbita di un pianeta sia circolare,
v2
F = ma = m
r
GM m
F =
r2
ma considerato il valore di T si ottiene:
GM
v =
r
3
r
GM
=
2
T
4π 2
2
Per i pianeti, M è la massa del Sole, per cui r3/T2=cost. ovvero la
Terza Legge di Keplero!
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Energia Gravitazionale
L’energia totale di un corpo di massa m in orbita attorno ad un
corpo di massa M é:
Energia
cinetica
1
GM m
2
E = mv −
2
r
Energia potenziale
gravitazionale
(0 per r ➝ ∞)
Se non ci sono forze esterne al sistema M+m l’energia si
conserva.
E < 0 orbite ellittiche
E = 0 orbite paraboliche
E > 0 orbite iperboliche
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Il centro di massa
Fino ad ora abbiamo assunto che
M >> m per cui la massa M poteva
essere considerata fissa nello spazio
(assunzione per cui sono valide le
leggi di Keplero).
Questo in generale non è sempre vero.
mA
rA
C.d.M.
vA
rB
vB
mB
In generale si può dimostrare che i due corpi mA, mB orbitano attorno al
loro centro di massa e che valgono le relazioni:
mA vA = mB vB
mA r A = mB r B
La terza legge di Keplero generalizzata diventa:
2 3
4π
r
2
T =
G (mA + mB )
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dove r = rA+rB
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Le masse dei pianeti
Jupiter
Io
422 000 km
La massa di un pianeta può essere determinate applicando la
3a legge di Keplero all’orbita di un suo satellite (mS << mP)
2 3
2 3
4π
r
4π
r
2
T =
!
G(mP + mS )
GmP
Esempio: massa di Giove dall’orbita di Io
(T = 177 d, r = 422,000 km):
mP = 1.90 × 10
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kg = 318 M⊕
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Il centro di massa Terra-Luna
Determiniamo il centro di
massa dalla distanza della
luna e dal periodo orbitale:
T = 27.322 d
r = 384,405 km
M⊕♁ = 5.98×1024 kg (massa
della Terra)
Terra
orbita
r⊕
4π 2 r3
M = m◦ + m⊕ =
Gt2
Ricordando che
r = r◦ + r⊕
rO
M = 1.0123 m⊕
m◦ = 0.0123 m⊕
m⊕ r ⊕ = m ◦ r ◦
m◦
0.0123
r=
r = 4670 km
si ottiene: r⊕ =
M
1.0123
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Luna
384 405 km
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circa 1700 km
sotto la superficie
della Terra!
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Velocità orbitale attorno al C.d.M.
La Terra e la Luna
devono avere lo stesso
periodo orbitale attorno
al centro di massa.
Terra
orbita
r⊕
384 405 km
Luna
rO
2πr⊕
2πr◦
P =
=
v⊕
v◦
Ovvero utilizzando le relazioni precedenti per i raggi si ottiene:
v◦ = 32 km s−1
v⊕ = 12 m s
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−1
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Conclusioni
Il moto dei pianeti è descritto dalle leggi di Keplero.
Le leggi di Keplero sono la diretta conseguenza dei principi
della dinamica e della legge di gravitazione universale di
Newton.
Proprietà delle orbite “Kepleriane”:
Le traiettorie sono sezioni coniche (ellissi, parabole,
iperboli)
Energia e momento angolare si conservano durante
l’orbita.
Nel caso generale di due masse queste orbitano attorno al
loro centro di massa.
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