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Parte Prima Introduzione: LA NASCITA DELLA FISICA MODERNA Piero Galeotti Fisica Sperimentale 1 INVITO ALLA FISICA Che cos’è la fisica? da Aristotele a Galileo, da Newton a Einstein, a oggi la fisica è lo studio dei fenomeni naturali (per esempio: moto dei pianeti, arcobaleno, buio della notte, colore del cielo, struttura della materia, atomi e nuclei, isolanti e conduttori elettrici, natura della luce, ecc). Chi è il fisico? una persona curiosa. GRANDEZZE FISICHE QUANTITA` MISURABILI Piero Galeotti Fisica Sperimentale 2 Origini della fisica Si deve ai popoli dell’antichità (babilonesi, caldei, egizi, sumeri, fenici, ecc..) la nascita della nostra civiltà. Il mondo ellenistico fece una sintesi delle loro conoscenze e diede origine alla scienza classica. Talete importò nel mondo greco la matematica e la fisica di egizi e babilonesi. Pitagora riteneva la Terra sferica. Aristarco e Eratostene fecero le prime misure sul sistema solare (ritenuto eliocentrico). Aristotele definì gli elementi fondamentali di natura (terra, acqua, aria, e fuoco) e le forze che agiscono tra loro. Democrito, Epicuro e Lucrezio formularono la teoria atomistica. Tolomeo e Ipparco introdussero l’astronomia e la cosmologia. Le nuove idee: Bruno (1548, 17/2/1600) e Campanella. Piero Galeotti Fisica Sperimentale 3 Piero Galeotti Fisica Sperimentale 4 Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, pubblicato nel febbraio 1632 e sequestrato nel luglio dello stesso anno insieme all’ingiunzione a Galileo stesso di costituirsi davanti al Sant’Uffizio. Dopo aver discusso le differenze tra il moto degli uccelli e quello dei corpi morti, Galileo fa esporre a Salviati la seguente argomentazione (da Galileo Galilei: Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, Ed. Einaudi, 1970, pag. 227): «....mi par tempo e luogo di mostrar il modo di sperimentarle tutte facilissimamente. Rinserratevi con qualche amico nella maggior stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi anco un gran vaso d'acqua, e dentrovi de' pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vadia versando dell'acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza; i pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi gettando all'amico alcuna cosa, non più gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze siano eguali; e saltando voi, come si dice, a pie' giunti, eguali spazii passerete verso tutte le parti. Piero Galeotti Fisica Sperimentale 5 Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia che mentre il vassello sta fermo non debbano succeder così, fate muover la nave con quanta si voglia velocità; ché (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma: voi saltando passerete nel tavolato i medesimi spazii che prima, né, perché la nave si muova velocissimamente, farete maggior salti verso la poppa che verso la prua, benché, nel tempo che voi state in aria, il tavolato sottopostovi scorra verso la parte contraria al vostro salto; e gettando alcuna cosa al compagno, non con più forza bisognerà tirarla, per arrivarlo, se egli sarà verso la prua e voi verso poppa, che se voi fuste situati per l'opposito; le goccioline cadranno come prima nel vaso inferiore, senza caderne pur una verso poppa, benché, mentre la gocciola è per aria, la nave scorra molti palmi; i pesci nella lor acqua non con più fatica noteranno verso la precedente che verso la sussequente parte del vaso, ma con pari agevolezza verranno al cibo posto su qualsivoglia luogo dell'orlo del vaso; e finalmente le farfalle e le mosche continueranno i lor voli indifferentemente verso tutte le parti, né mai accaderà che si riduchino verso la parete che riguarda la poppa, quasi che fussero stracche in tener dietro al veloce corso della nave, dalla quale per lungo tempo, trattenendosi per aria, saranno state separate...» Piero Galeotti Fisica Sperimentale 6 Nell’ antichità Nel XIX secolo Piero Galeotti Fisica Sperimentale 7 La prima rivoluzione scientifica: Copernico, Galileo, Keplero, Cartesio, Newton, Boyle, Laplace. La seconda rivoluzione scientifica e la nascita della scienza moderna. Teorie, esperimenti e osservazioni. Einstein e la relatività. Planck e la meccanica quantistica. La radioattività. L’atomo di Bohr e la nascita della fisica atomica. La fisica nucleare: fissione e fusione nucleare. • Le particelle elementari: quark e leptoni (stringhe?). Internet • L'astrofisica: evoluzione stellare • Cosmologia: big bang o big rip • La radiazione cosmica • La fisica astroparticellare • La fisica dello stato solido Piero Galeotti Fisica Sperimentale 8 LA NASCITA DELLA FISICA MODERNA Dalla visione classica ad un nuovo concetto di realtà FATTI E TEORIE 30 anni che hanno cambiato il mondo: 1896 1900 1905 1911 1913 1925 1927 Becquerel 1897 Michelson e Morley Planck 1905 Einstein Herzsprung e Russel Rutherford 1912 Hess Bohr 1924 DeBroglie Compton 1925 Pauli Heisenberg 1929 Hubble Piero Galeotti Fisica Sperimentale 9 Piero Galeotti Fisica Sperimentale 10 Piero Galeotti Fisica Sperimentale 11 La fisica classica studia fenomeni su scala umana, la fisica moderna studia l’infinitamente piccolo e l’infinitamente grande. Piero Galeotti Fisica Sperimentale 12 SULLA NATURA DELLA LUCE Ippocrate e Aristotele pensavano che l'occhio emettesse raggi per mezzo dei quali potesse “sentire” gli oggetti Secondo Galeno (II secolo d.c.), l'occhio proietta uno “spirito visuale” per mezzo del quale il mondo esterno viene percepito Keplero e Cartesio agli inizi del ‘600 svilupparono la conoscenza della rifrazione della luce Newton sviluppò una teoria corpuscolare della radiazione, considerando cioè la luce come formata di particelle Nello stesso periodo Huygens compì una serie di esperimenti che dimostrarono che la luce ha caratteristiche di onda (diffrazione e interferenza) Piero Galeotti Fisica Sperimentale 13 Perchè le particelle vengono accelerate? Per guardare dentro i corpi Piero Galeotti Fisica Sperimentale 14 La luce bianca che attraversa un prisma viene scomposta nei colori che la compongono r.a.g.v.b.i.v. Onde lunghe Piero Galeotti Onde corte Fisica Sperimentale 15 blu verde giallo arancio rosso 460 nm 530 nm 580 nm 610 nm 660 nm Newton Filtro Rivelatore UV Piero Galeotti IR Lo spettro è continuo Fisica Sperimentale 16 Dispersione della luce La luce visibile, bianca, è in realtà composta di radiazioni di diversa lunghezza d’onda le quali, attraversando un qualsiasi mezzo disperdente (prisma, goccia d’acqua, ecc…) vengono rifratte ad angoli diversi. θ(ν) Il fenomeno è noto come dispersione della luce, ed è caratterizzato da angoli di deviazione piccoli per radiazioni di frequenza piccola (grande lunghezza d’onda) e grande deviazione per radiazione di frequenza grande L’arcobaleno è un tipico esempio naturale di dispersione della luce. Piero Galeotti Fisica Sperimentale 17 n = n(λ) L'indice di rifrazione dipende dalla lunghezza d'onda della luce Piero Galeotti Fisica Sperimentale 18 La luce visibile è solo un tipo di radiazione elettromagnetica emessa dai corpi. Ogni tipo di radiazione EM viaggia alla velocità della luce: Piero Galeotti Fisica Sperimentale 300.000 km/s 19 LO SPETTRO ELETTROMAGNETICO Lo spettro visibile varia da ∼ 400 a ∼ 700 nm, ossia di un fattore 2. L’intero spettro e.m. varia di 20 ordini di grandezza, dalle dimensioni di un nucleo a ~10 km Piero Galeotti Fisica Sperimentale 20 Trasparenza dell’atmosfera terrestre alla radiazione elettromagnetica Piero Galeotti Fisica Sperimentale 21 Si usano tecniche differenti per rilevare la luce a differenti lunghezze d’onda Piero Galeotti Fisica Sperimentale 22 Osservazioni a diverse lunghezze d’onda rivelano dettagli invisibili in ottico UV IR Visibile Piero Galeotti Fisica Sperimentale Mappa della regione di Orione 23 Si ritiene che i componenti elementari della materia siano quark e leptoni, e che le particelle elementari siano: adroni (3 quark), mesoni (2 quark) e leptoni. Piero Galeotti Fisica Sperimentale 24 Le particelle elementari LEPTONI QUARK νe (< 3 eV) Famiglia I e (0,51 MeV) Famiglia II µ (105,6 MeV) νµ s (-1/3) c (2/3) (< 0,19 MeV) (da 75 a 170 MeV) (da 1,15 a 1,35 GeV) Famiglia III τ (1777 MeV) ντ b (-1/3) (< 18,2 MeV) (da 4,0 a 4,4 GeV) Piero Galeotti u (2/3) (da 1 a 5 MeV) Fisica Sperimentale d (-1/3) (da 3 a 9 MeV) t (2/3) (174,3 GeV) 25 Le interazioni fondamentali Interazione Gravitazionale Debole Elettromagnetica Forte Piero Galeotti Particelle Particelle scambiate soggette Esempi Intensità Raggio d’azione 6 10-39 mP-2 10-5 mp-2 ∞ (∝ r-2) 10-16 cm gravitoni tutte bosoni (W+ e Z0) leptoni e adroni corpi celesti decadimenti β 1/137 ∞ (∝ r-2) fotoni cariche strutture atomiche 1 10-13 cm adroni adroni strutture nucleari Fisica Sperimentale 26 Come detto, i dati sperimentali sono alla base della Fisica. Il metodo di analisi richiede l’uso della Statistica (distribuzioni di probabilità, valor medio e varianza, coefficiente di correlazione, ecc..) e della teoria degli errori (propagazione, errori statistici e errori sistematici) Molto spesso la distribuzione normale (o quella di Poisson per gli eventi rari) permettono di interpretare i dati di molti esperimenti Piero Galeotti Fisica Sperimentale 27 Si sono definite unità di misura fondamentali e derivate. Nel S.I. le unità fondamentali sono riportate in tabella. Grandezza Nome Simbolo lunghezza metro m massa kilogrammo kg tempo secondo s corrente ampere A temperatura kelvin K quantità di sostanza mole mol intensità luminosa candela cd Piero Galeotti Fisica Sperimentale 28 Esistono inoltre grandezze dimensionali e adimensionali, tra queste ultime, per es. il radiante, (rapporto tra l’arco e il raggio definito da un angolo). Potenze di 10: 10 da meno di 10-12 (pico) a oltre 1012 (tera) ma anche molto più piccole, per es. 10-43 s (il tempo di Plank) o molto più grandi, per es. 1026 m (il raggio dell’universo visibile) o 1030 kg (la massa del Sole). Piero Galeotti Fisica Sperimentale 29 IL MOVIMENTO Cinematica 1 - velocità e accelerazione come grandezze scalari • velocità media vm = ∆s/∆t = s/t velocità istantanea v = ds/dt • accelerazione media am = ∆v/∆t accelerazione istantanea a = dv/dt = d2s/dt2 Piero Galeotti Fisica Sperimentale 30 Leggi della dinamica 1a legge (principio di inerzia) Ogni corpo mantiene il suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme fino a che non interviene una forza esterna a variarlo. Esistono sistemi di riferimento inerziali (per es. il sistema del laboratorio, un treno a velocità costante, il sistema eliocentrico, ecc...) e sistemi non inerziali (accelerati). Piero Galeotti Fisica Sperimentale 31 2a legge (secondo principio della dinamica) Questo principio introduce il concetto di massa, una conseguenza del fatto che l’effetto dinamico di forze diverse sullo stesso corpo produce accelerazioni diverse, ma tali da avere un rapporto costante tra forza e accelerazione: F1/a1 = F2/a2 =....= costante = m, ossia: F = ma Vale il principio di sovrapposizione SFi = m Sai delle forze (proprietà additiva); Nel S.I. il Kg è l’unita` di massa e il Newton è l’unità delle forze [1N=1kg⋅ 1m/s2]. Piero Galeotti Fisica Sperimentale 32 3a legge (principio di azione e reazione) ad ogni forza corrisponde una reazione uguale in modulo e direzione e di verso opposto, ovvero FA = - FB, da cui : FA + FB = 0 o, più generalmente, ∑ Fi = 0 I sistemi di propulsione (naturale o artificiale) sono basati su questo principio e non sarebbero applicabili se non ci fossero le forze di attrito Piero Galeotti Fisica Sperimentale 33 LAVORO E ENERGIA Da L = F·s = ma·s si ricava: ma(v22 − v12 ) 1 L= = 2 m(v22 − v12 ) 2a 2 1 K = mv 2 Poichè si definisce energia cinetica la quantità ne segue L = K2 – K1 (noto come teorema delle forze vive o dell’energia cinetica), ossia: il lavoro totale svolto corrisponde alla variazione di energia cinetica: ΣLi = ∆K. Per forze conservative L = W1 – W2, da cui ∆W + ∆K = ∆E = 0: l’energia totale E (cinetica piu` potenziale) si conserva. La potenza e` definita come P = L/∆t = F·v e si misura in Watt [1W=1J/1s]. Piero Galeotti Fisica Sperimentale 34 LA RELATIVITA` La relatività newtoniana e le trasformazioni galileiane comportano: y dx dx' = +v dt dt u = u' + v y' vt x Piero Galeotti x = x' + vt , t ' = t x' Fisica Sperimentale 35 Scorre il tempo in modo lineare, simile a una freccia, come considerato nella cultura occidentale ? Piero Galeotti Fisica Sperimentale 36 Una barca si muova alla velocità costante v = 5 m/s e percorra un fiume in direzione della corrente (nei 2 versi) o perpendicolare alla corrente. Si ha: v = 5 − 3 = 2 m s nel verso contro corrente v = 5 + 3 = 8 m s nel verso della corrente v = 5 − 3 = 4 m s perpendicolare alla corrente 2 m v=3 s l = 100 m Piero Galeotti 2 I tempi di percorrenza (A/R) sono: 100 100 l tratto verde : t = = + = 62,5 s v 2 8 200 l tratto rosso :t= = = 50 s Fisica Sperimentale v 4 37 La simultaneità è relativa Fino al XIX secolo si riteneva che la luce si propagasse in un mezzo (detto etere). Michelson-Morley in un famoso esperimento di interferometria del 1887 dimostrarono invece la non esistenza dell’etere, percheè la velocità della luce non dipende dalla direzione del moto della Terra. Piero Galeotti Fisica Sperimentale 38 Esperimento di Michelson-Morley La differenza di cammino ottico 2d2 – 2d1 produce frange di interferenza tra la luce riflessa dai due specchi M1 e M2. Se d2 = d1 le due onde riflesse giungono in fase all'osservatore. La Terra ruota su se stessa (v ~ 0,4 km/s), si muove intorno al Sole (v ~ 30 km/s) e il Sole ruota intorno al centro della Galassia (v ~ 240 km/s). I risultati mostrano che la velocita` della luce rimane costante lungo ogni direzione. Piero Galeotti Fisica Sperimentale corrente di etere 39 Per spiegare questo risultato, nel 1905 Einstein propose la teoria della relatività speciale, basata su due postulati: • le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali (non esiste un sistema di riferimento privilegiato) • la velocità della luce nel vuoto ha lo stesso valore c in tutte le direzioni e in tutti i sistemi di riferimento inerziali (c è una costante universale). Piero Galeotti Fisica Sperimentale 40 L'evento a è misurato, per esempio, da un passeggero a bordo di un vagone ferroviario; l'evento b da un passeggero fermo in stazione. Piero Galeotti Fisica Sperimentale 41 La principale conseguenza della relativita` speciale e` che non si hanno piu` lunghezze assolute o un tempo universale, in quanto queste grandezze dipendono dal sistema di riferimento in cui sono misurate. Questi fenomeni sono noti come: contrazione della lunghezza e dilatazione del tempo. Se, per esempio, consideriamo uno specchio fermo, distante d da una sorgente luminosa, si ha: d 2d 2d = c∆t0 , ossia ∆t0 = c Se invece lo specchio si muove rispetto a noi (o noi rispetto allo specchio) alla velocita v, la distanza percorsa l e` data da: l= Piero Galeotti ( 12 v∆t ) 2 + d 2 = ( 12 v∆t ) 2 + ( 12 c∆t0 ) 2 Fisica Sperimentale 42 Poichè anche in questo caso ∆t = ∆t0 1− ( ) v 2 c = ∆t0 1− β 2 2l ∆t = c = γ∆t0 eliminando l si ottiene: dove γ = 1 (1 − β ) 2 è detto fattore di Lorentz. Gli intervalli di tempo misurati dai due osservatori sono uguali solo se v << c (per cui β ~ 0 e γ ~ 1). Se v → c (ossia β → 1 e quindi γ → ∞) si ha ∆t → ∞ per qualsiasi valore di ∆t0. Ne segue il fenomeno della dilatazione del tempo: il tempo non e` piu` assoluto (come nella meccanica newtoniana), ma dipende dall’osservatore: se misurato da un osservatore esterno è sempre maggiore del tempo proprio t0 (∆t > ∆t0). Piero Galeotti Fisica Sperimentale 43 Per comprendere la dilatazione del tempo, spesso si dice che un orologio in moto è più lento di uno fermo. Famosi sono il paradosso dei gemelli e l’esperimento sui µ dei raggi cosmici (v = 0.99 c, γ = 7.1, t0 = 2.2 µs). Secondo la meccanica classica queste particelle dovrebbero percorrere la distanza d = v t0 = (0,99)(2,998·108)(2,2·10-6) ~ 660 m Secondo la meccanica relativistica essi devono percorrere la distanza γvt0 = 7,1·660 m = 4.7 km (come se avessero una vita media γt0 = 15,6 µs). Muoni con γ ~ 150, a cui corrisponde v = 0,99996 c, possono percorrere anche 100 km. Piero Galeotti Fisica Sperimentale 44 Consideriamo ora due oggetti posti alla distanza propria l0 tra loro, per es. le estremita` di un righello (o la lunghezza di un pinguino dal becco alla coda). Un osservatore fermo misura contemporaneamente le estremità del righello (o del pinguino) e ne ricava la lunghezza l0. Ciò non è più vero se l’osservatore (o l'oggetto) sono in moto relativo tra loro. Piero Galeotti Fisica Sperimentale 45 Un osservatore fermo (per es. sul marciapiede di una stazione) misura la lunghezza l0 del righello (posato sul marciapiede) e nota che questa stessa lunghezza viene percorsa in un tempo ∆t = l0/v da un treno che si muove alla velocità v. treno treno v≠0 l0 marciapiede v≠0 l marciapiede Un osservatore sul treno vede il marciapiede (e quindi anche il righello) prima avvicinarsi e poi allontanarsi e, con il suo orologio, misurerà la lunghezza del righello l = v∆t0. Piero Galeotti Fisica Sperimentale 46 Eliminando la velocita` si ottiene: ∆t0 1 2 l = l0 = l0 1 − β = l0 ∆t γ La lunghezza si contrae nella direzione del moto e l → 0 per γ → ∞ (v → c ). L’estensione delle trasformazioni di Galileo x' = x − vt , t ' = t (qui scritte per l’asse x) sono le trasformazioni di Lorentz: ( x' = γ ( x − vt ), t ' = γ t − vx Piero Galeotti ) oppure x = γ ( x'+vt ' ), t = γ (t '+ vx' ) c c 2 Fisica Sperimentale 2 47 Ne segue che anche la velocità di un oggetto è relativa. Sia infatti u = ∆x/∆t la velocita` misurata da un osservatore e sia u’ = ∆x’/∆t’ quella misurata da un altro osservatore in moto rispetto al primo alla velocità v. Si deve avere: 1 ( ∆x'+v∆t ') ∆x u = lim = ∆t ' , da cui ∆t →0 ∆t 1 ∆t '+v ∆x' 2 c ∆t ' ) ( u= u '+v 1 + u' v 2 c Effetto Doppler. La frequenza della 1 β luce cambia con la velocita` relativa ν = ν 0 1 ± β , tra sorgente e osservatore. per piccole velocità c c v ∆λ = 1 ± da cui v = ± c λ λ0 c λ Piero Galeotti Fisica Sperimentale (caso di allontanamento) ν → ν 0 (1 − β + 12 β 2 ) ≈ ν 0 (1 − β ) 48 La frequenza della luce cambia per il moto relativo tra sorgente e osservatore Piero Galeotti Fisica Sperimentale 49 In meccanica classica la quantità di moto di un corpo in ∆x movimento si conserva: p = mv = m = costante ∆t In relatività, nel sistema di riferimento del corpo in moto si ∆x ∆x ∆t ∆x ha: p=m =m = γm = γmv ∆t0 ∆t ∆t0 ∆t Ne segue che un corpo con massa a riposo (massa propria) m0 possiede la massa m = m0 2 se misurata da un 1− β osservatore in moto Infine, poichè: K = 12 mv 2 , p = mv in meccanica classica si ha: p 2 = 2 Km in relatività: Piero Galeotti Fisica Sperimentale β ( E = ( pc ) + mc 2 2 ) 2 2 50 Dunque, in relatività, la massa può considerarsi una forma di energia 2 E0 = mc , E = E0 + K = γmc Dato il grande valore di c2 = 9 1016 (m/s)2, anche una massa piccola produce un grande valore di energia di massa; per questo motivo, le unita` di misura del S.I. sono poco utilizzate. Si usano invece: 1 u.m.a. = 1,66·10-27 kg, 1 eV = 1,60·10-19 J Piero Galeotti Fisica Sperimentale 51 2 Relatività generale Finora si sono considerati moti a velocita` costante. Per moti accelerati la relativita` speciale non e` piu` adatta e si deve usare la relativita` generale (formulata da Einstein nel 1916) che e` una teoria della gravitazione. Il punto di partenza e` il principio di equivalenza: massa inerziale e massa gravitazionale sono identiche. Ne segue che gli effetti di un campo gravitazionale sono equivalenti a quelli prodotti da un sistema in moto accelerato: in un laboratorio terrestre o su un razzo in moto con accelerazione g, ogni esperimento produrrebbe gli stessi risultati, e lo sperimentatore non si accorgerebbe di essere a Terra o sul razzo. Piero Galeotti Fisica Sperimentale 52 La curvatura dello spazio-tempo è il concetto che subentra a quello di gravitazione universale: la massa determina la curvatura dello spazio-tempo, ed è quest’ultima ad imporre il moto alla massa. Una massa attrae la luce e ne modifica la traiettoria, dando luogo al fenomeno di lente gravitazionale, già osservata nel caso di corpi di grande massa: Sole, stelle e galassie. Secondo la relativita` generale è prevista anche l'esistenza di onde gravitazionali prodotte in processi di perdita di energia del campo gravitazionale. Piero Galeotti Fisica Sperimentale 53 Le masse modificano lo spazio-tempo Piero Galeotti Fisica Sperimentale 54 Durante l'eclisse solare del 29 Maggio 1919 (e confermato in seguito) Eddington ha verificato che la luce (energia) di una stella viene deviata dall'effetto gravitazionale della massa del Sole. Terra Luna Sole Essendo la massa una forma di energia, in natura si conserva la massa-energia, e una forma si puo` trasformare nell’altra. Piero Galeotti Fisica Sperimentale 55 Un esperimento di relatività generale B.Bertotti, L.Iess, P.Tortora hanno effettuato un originale esperimento per la misura della deviazione del segnale causata dal campo gravitazionale del Sole. Si è avuta conferma della teoria della relatività generale con un’accuratezza di 20 parti per milione, 50 volte meglio del precedente limite. Piero Galeotti Fisica Sperimentale 56 La geometria dell’Universo Illustrazione bidimensionale della fisica in uno spazio tridimensionale Tre tipi di superficie: piana, sferica e iperbolica La propagazione dei raggi luminosi “sente” la gravità Piero Galeotti Fisica Sperimentale 57 LA MECCANICA QUANTISTICA Alla fine del XIX secolo la statistica classica si dimostro` inadeguata a spiegare le curve di emissione di corpo nero e, in particolare, comportava una catastrofe ultravioletta. Infatti, mentre le leggi di Wien e di Stefan: λmaxT = costante 4 u d ν = aT ∫ ν risultavano verificate, non lo era la legge di Rayleigh-Jeans sulla distribuzione energetica della radiazione (brevemente luce) data da: 8πν 2 uν = 3 kT (infatti uν → ∞ per ν → ∞) c Fisica Sperimentale Piero Galeotti 58 y(x,t) = A sin[2π(x/λ - t/T)] y(x,t) = ymsin(kx-ωt), La luce deve avere natura ondulatoria Piero Galeotti Fisica Sperimentale 59 Nel 1900 Planck propose che la radiazione fosse quantizzata, ossia composta di quanti di energia multipli di un valore minimo ε0 (nε0, con n > 1). La legge proposta da Plank sulla distribuzione energetica della radiazione e` data dalla relazione: 8πhν 3 1 uν = hν c 3 e kT − 1 Le leggi di Wien e di Stefan sono due casi particolari della legge di Plank, validi per piccole o grandi frequenze (energie): hν << 1 (Rayleigh - Jeans) kT hν >> 1 (Wien) kT Piero Galeotti Fisica Sperimentale 60 La teoria di Plank sulla radiazione permise di spiegare l’effetto fotoelettrico e l’effetto Compton. Il potenziale d'arresto non dipende dall'intensita` della luce. Kmax = ½mv2 = eVstop La frequenza di taglio non dipende dall'intensità della luce. Piero Galeotti Fisica Sperimentale 61 Dunque la luce non ha solo natura ondulatoria, perchè sotto la frequenza di taglio non vengono emessi elettroni anche se si tratta di luce di grande intensita`. La luce (o piu` generalmente la radiazione) deve avere anche natura corpuscolare, come proposto da Einstein nel 1905, che introdusse il quanto elementare di luce, il fotone. Al fotone di frequenza ν viene associata l'energia E = hν, dove la costante di Plank h ha il valore h = 6.63·10-34 J·s = 4,14·10-15 eV·s. Dato il potenziale di ionizzazione Φ, l'effetto fotoelettrico si spiega con la legge di conservazione dell'energia. hν = Φ + K max = Φ + 12 mv 2 K max h Φ = ν− e e e Dalla seconda relazione si vede che Vstop cresce linearmente con la frequenza e si puo` misurare il valore di h. Piero Galeotti Vstop = Fisica Sperimentale 62 Per spiegare l'effetto Compton, nel 1916 Einstein propose di associare al fotone non solo un'energia ma anche un impulso. hν h p= = c λ hν = hν '+ K = hν '+ mc 2 (γ − 1) L'effetto si spiega con la conservazione dell'energia e della quantità di moto h h = + mc(γ − 1) h λ λ' ∆λ = (1 − cos φ ) mc essendo λν = c h e` una costante detta mc lunghezza d'onda Compton Piero Galeotti Fisica Sperimentale 63 Le particelle hanno le stesse proprietà delle onde (in particolare interferenza e diffrazione) e natura di onda-corpuscolo: sono rivelabili in un punto come corpi materiali, ma la probabilita`di rivelarli ha la natura di un’onda. Piero Galeotti Fisica Sperimentale 64 Per simmetria, nel 1924 De Broglie ipotizzo`che anche le particelle avessero natura ondulatoria: come la radiazione possiede l'impulso p = h/λ, anche una particella possiede la lunghezza d'onda (detta di De Broglie) λ = h/p = h/mv. Nel 1926 Schrödinger diede l’interpretazione matematica della meccanica quantistica, introducendo la funzione d’onda Ψ, che nei casi piu` semplici di onde di materia puo` essere scritta come: − iωt ψ ( x, y , z , t ) = ψ ( x, y , z )e dove ω = 2πν e` la pulsazione dell'onda. Si tratta di un’equazione delle coordinate spaziali e temporale, che stabilisce la probabilita` di trovare una particella in una data posizione sapendo le condizioni energetiche del sistema. Piero Galeotti Fisica Sperimentale 65 Considerando il moto lungo l'asse x di una particella libera, l'equazione di Schroedinger puo` essere posta nella forma: d 2ψ 8π 2 m d 2ψ 2 ( ) + E − E x ψ = 0 , + k ψ = 0, pot 2 2 2 dx h dx [ ] 8π 2 m 1 2 p ( per E pot ( x ) = 0, 2 mv ) = 2π 2 h h la cui soluzione generale è del tipo: 2 ψ ( x, t ) = ψ ( x)e −iωt = = ( Aeikx + Be −ikx )e −iωt = = Aei ( kx −ωt ) + Be −i ( kx+ωt ) Piero Galeotti Fisica Sperimentale 66 ciò che ha significato fisico è la densità di probabilità │Ψ2│, una quantità reale e positiva che fornisce la probabilità di trovare la particella in un determinato volume elementare. iθ e = cos θ + i sin θ , Dalle formule di Eulero − iθ e dalla eikx 2 = e ikx e −ikx = 1 e = cos θ − i sin θ , si ottiene: 2 ψ = ψ 0e ikx 2 = (ψ ) e 2 0 ikx 2 = ψ = costante 2 0 Ossia, una particella libera, per la quale Epot(x) = 0, che si muove lungo l'asse x ha la stessa probabilità di essere individuata in qualsiasi punto. Piero Galeotti Fisica Sperimentale 67 La possibilita` di prevedere solo in modo probabilistico la posizione di una particella è un esempio del principio di indeterminazione, formulato da Heisenberg nel 1927. Questo principio stabilisce che non e` possibile determinare in modo preciso, e contemporaneamente, alcune coppie di grandezze fisiche tra cui, per esempio: ∆E·∆t > h/2π ∆x·∆p > h/2π dove h è la costante di Planck (spesso si usa ħ = h/2π). Le conseguenze del principio sono fondamentali in fisica atomica e nucleare (quando ∆x → 0) e in cosmologia (quando ∆t → 0). Piero Galeotti Fisica Sperimentale 68 Infine, essendo un'onda di probabilita`, per le particelle vale l'effetto tunnel: si puo` avere Ψ≠0 anche dopo la barriera di potenziale, con coefficiente di trasmissione T ~ e-2kL, dove 8π 2 m( E pot − E ) k= h2 Piero Galeotti Fisica Sperimentale 69 Fine della Prima Parte Piero Galeotti Fisica Sperimentale 70
