Misura delle grandezze
Dicesi grandezza tutto ciò che è possibile misurare. Es. segmenti, angoli, superfici...
Due grandezze si dicono omogenee, se si possono confrontare fra loro in modo da stabilire un
criterio per cui si possa giudicare se esse sono uguali o disuguali ed in questo caso, stabilire
quale delle due grandezze è maggiore e quale è minore, due grandezze geometriche omogenee
sono due segmenti oppure due angoli.
Due grandezze si dicono non omogenee o eterogenee, se non si possono confrontare fra loro e
quindi non è possibile stabilire un criterio per cui si possa giudicare se esse sono uguali o
disuguali ed in questo caso, stabilire quale delle due grandezze è maggiore e quale è minore;
due grandezze geometriche eterogenee sono segmento ed angolo.
Misurare una grandezza significa confrontarla con un’altra grandezza omogenea ad essa,
fissata come unità di misura, per stabilire quante volte questa ultima è contenuta in quella da
misurare.
Per misurare una grandezza occorre:
1. considerare una grandezza A
2. considerare una unità di misura U omogenea
3. riportare tale unità tante volte es. n volte, fino ad avere la misura, quindi:
A
n
A = n U;
la misura n è un numero assoluto maggiore di zero.
U
Es. A
B
1u
1u
1u
1u
AB
5u
U
1u
DEF.: Si chiama misura di una grandezza il numero assoluto intero (naturale) o decimale
diverso da zero che esprime quante volte l’unità di misura è contenuta nella grandezza da
misurare. Considerata una grandezza A ed un’altra U omogenea con A, si chiama misura di
A
n.
A, il numero reale n che esprime il rapporto di A ad U, cioè:
U
La grandezza U si chiama unità di misura. Tale nome è suggerito dal fatto che la misura di
una grandezza U rispetto all’unità di misura U è uguale ad 1 in quanto il rapporto di U ad U è
1.
Che differenza esiste tra AB e AB ?
AB
si legge “segmento di estremi AB” e rappresenta il segmento inteso come figura
geometrica, cioè come insieme di punti,
AB si legge “ misura del segmento AB” indica la misura o la lunghezza del segmento AB ed
indica un numero assoluto.
L’unità di misura si può indicare anche con altre lettere minuscole diverse da u, es: cm,
gradi, a, b ecc.
Il rapporto di due grandezze omogenee è uguale al quoziente delle loro misure rispetto ad una
A a
con a misura di A e b misura di B.
stessa unità di misura:
B b
1
Come unità di misura dei segmenti si considera il metro (m), (multipli: Km, hm, dam,
sottomultipli: dm, cm, mm; se dai multipli si passa ai sottomultipli si moltiplica per le potenze
di 10, se dai sottomultipli si passa ai multipli si divide per le potenze di 10) la misura di un
segmento si dice lunghezza del segmento;
come unità di misura degli angoli si considera il grado (sottomultipli: primo e secondo, per
passare dal grado ai sottomultipli si moltiplica per 60, per passare dai sottomultipli al multipli
si divide per 60), la misura di un angolo si dice ampiezza dell’angolo;
come unità di misura della superficie si considera il metro al quadrato (m2), (multipli: Km2,
hm2, dam2, sottomultipli: dm2, cm2, mm2; se dai multipli si passa ai sottomultipli si moltiplica
per le potenze di 102, se dai sottomultipli si passa ai multipli si divide per le potenze di 10 2), la
misura di una superficie si chiama area della superficie.
Approssimazione di un numero decimale per difetto o per eccesso
Normalmente si usa approssimare un numero per eccesso, e quindi aumentare la cifra
decimale precedente di una unità, quando la cifra seguente a quella fissata per
l’approssimazione è superiore a 4, e per difetto quando va da 1 a 4.
Es: calcola 0,5234 approssimato ai millesimi. La cifra seguente a quella dei millesimi è 4; 4<5;
quindi; 0,5234 approssimato ai millesimi = 0,523 (per difetto).
Es.: calcola 0,5237 approssimato ai millesimi. La cifra che segue quella dei millesimi è 7; 7>5;
quindi; 0,5237 approssimato ai millesimi = 0,524 (per eccesso).
Classi di grandezze
Più grandezze costituiscono una classe di grandezze omogenee, o della stessa specie, quando
tra esse si può porre:
1) un criterio di confronto, mediante il quale si possa giudicare se esse sono uguali o disuguali
e in questo caso, stabilire quale delle due grandezze è maggiore e quale è minore,
2) un criterio di somma, cioè una legge che a due grandezze qualsiasi della classe ne associ una
terza, ancora appartenente alla classe.
Sono classi di grandezze omogenee: l’insieme delle lunghezze dei segmenti, l’insieme delle
ampiezze degli angoli, l’insieme delle aree delle superfici piane;
Due grandezze per poter essere addizionate o sottratte devono essere omogenee ed essere
espresse nella stessa unità di misura, es: se due segmenti sono espressi uno in cm e l’altro in
m, per poterli addizionare o sottrarre occorre trasformarli o entrambi in cm, o in m.
Per le grandezze omogenee valgono le seguenti proprietà:
1.
2.
3.
4.
riflessiva: ogni grandezza è uguale a se stessa;
simmetrica: se una grandezza A è uguale ad una grandezza B, allora B è uguale ad A;
transitiva: due grandezze uguali ad una terza sono uguali tra loro;
transitiva della disuguaglianza: se una grandezza è maggiore (minore) di un’altra e questa
è maggiore (minore) di una terza allora la prima è maggiore (minore) della terza,
5. legge di esclusione: date due grandezze A e B, si verifica sempre uno ed uno solo dei
seguenti casi: A = B,
A < B,
A > B,
6. commutativa: la somma di due o più grandezze non cambia se si cambia l’ordine di esse,
2
7. associativa: la somma di più grandezze non cambia se a due o più di esse si sostituisce la
loro somma,
8. somme di grandezze uguali sono uguali,
9. differenze di grandezze uguali sono uguali.
Multipli e sottomultipli di una grandezza
Considerate due grandezze omogenee (es. due segmenti AB e CD) se: A = m B allora si dice
che A è una grandezza multipla di B rispetto ad m, e che B è una grandezza sottomultipla di A
1
secondo il numero m ed è data da: B =
A.
m
DEF.: Data una grandezza B ed un numero naturale m, la grandezza A somma di m
grandezze tutte uguali a B si dice multipla di B secondo m, mentre B si dice sottomultipla di A
secondo il numero m.
Postulato della divisibilità: Ogni grandezza è sempre divisibile in un numero qualunque di
parti uguali.
Postulato di Eudosso –Archimede: Date due grandezze omogenee disuguali, esiste sempre una
multipla della minore che supera la maggiore.
Grandezze commensurabili ed incommensurabili
Due grandezze omogenee sono commensurabili, se esiste una grandezza ad esse omogenea che
sia sottomultipla comune. In tal caso, il rapporto di esse è un numero razionale assoluto.
Due grandezze omogenee sono incommensurabili, se non esiste alcuna grandezza, a esse
omogenea, che sia una sottomultipla comune. In tal caso il rapporto di esse è un numero
irrazionale assoluto.
Un esempio di grandezze incommensurabili è dato dal lato e dalla diagonale di un quadrato.
Due grandezze commensurabili con una terza sono commensurabili tra loro, invece due
grandezze incommensurabili con una terza non sempre sono incommensurabili tra loro.
La misura di una grandezza geometrica rispetto ad un’altra ad essa omogenea (unità di
misura) esiste sempre ed è espressa da un numero reale, razionale o irrazionale a secondo che
le due grandezze sono commensurabili o incommensurabili.
1. Es : Date tre grandezze A, B e C omogenee, determinare il rapporto tra A e C sapendo che
3
2
3 2
A = B e B =
C. DIM: la grandezza B è la sottomultipla comune, A C
4
9
4 9
A 1
0,16 (numero razionale assoluto).
C 6
2. Es.: Dimostrare che in un triangolo rettangolo l’ipotenusa e la mediana relativa ad essa
sono grandezze commensurabili.
B
DIM. Cerchiamo la sottomultipla comune:
AB = i = 2BM e CM = BM la sottomultipla comune è BM,
AB 2 BM
2 (numero naturale).
CM
BM
M
C
A
3
Poiché il rapporto tra l’ipotenusa e la mediana relativa ad essa è un numero intero, AB e CM
sono grandezze commensurabili.
3. Es.: Dimostrare che in un quadrato il lato e la diagonale sono grandezze incommensurabili.
A
B
DIM :
AD = DC = l ; AC = l 2 consideriamoci il rapporto:
AD
l
1 2
2
(num. irraz. assol.).
l
l 2
AC l 2
2
2 2
oppure
AC l 2
2
AD
l
(numero irrazionale assoluto).
D
l
C
2
. Dimostrare che l’ipotenusa è
3
incommensurabile con ciascun cateto e che i due cateti sono invece grandezze
commensurabili.
C
DIM:
4. Es. Il rapporto tra i cateti di un triangolo rettangolo è
AB
2
AB 2
AC
AB 2 x AC 3x
3
AC 3
BC 4 x 2 9 x 2 13x 2 x 2 13 x 13
x 13
3x
A
B
2x
BC x 13
13
= numero irrazionale BC AB grandezze incommensurabili.
AB
2x
2
BC x 13
13
= numero irrazionale BC AC grandezze incommensurabili.
AC
3x
3
AC 3 x 3
1,5 = numero razionale AC AB grandezze commensurabili.
AB 2 x 2
Due classi di grandezze sono direttamente proporzionali, se il rapporto di due qualsiasi
grandezze della prima classe è uguale al rapporto delle due corrispondenti grandezze della
seconda classe; sono invece inversamente proporzionali, se il rapporto di due qualsiasi
grandezze della prima classe è uguale all’inverso del rapporto delle due grandezze
corrispondenti nella seconda classe.
RAPPORTI E PROPORZIONI (pag. 173)
Rapporti
Si dice rapporto fra due numeri, dei quali il secondo diverso da zero, il loro quoto. Il rapporto
fra 35 e 7 che si scrive: 35 : 7 e si legge 35 sta a 7, è quindi 5. I numeri 35 e 7 si dicono termini
del rapporto, più precisamente 35 si dice antecedente e 7 si dice conseguente. Se l’antecedente
non è multiplo del conseguente, il rapporto sarà espresso da una frazione, esempio: 27 : 16 =
27/16
Dicesi rapporto inverso di un rapporto dato, quello che si ottiene scambiando i termini.
Esempio: 25 : 23 e 23 : 25 sono rapporti inversi.
4
Proprietà invariantiva: il rapporto di due numeri non cambia se si moltiplicano o si dividono
i suoi termini per uno stesso numero diverso da zero.
Proporzioni numeriche
Si chiama proporzione l’uguaglianza tra due rapporti. Quattro numeri sono in proporzione se
il rapporto tra i primi due è uguale al rapporto degli altri due.
Essendo il rapporto di 10 e 5 uguale al rapporto di 6 e 3, si può scrivere: 10 : 5 = 6 : 3 che si
legge:
10 sta a 5 come 6 sta a 3, infatti 10 : 5 = 2 e 6 : 3 = 2.
I quattro numeri 10, 5, 6, 3 si chiamano i termini della proporzione. Inoltre 10 e 6 si dicono
antecedenti, 5 e 3 conseguenti; 10 e 3 estremi, 5 e 6 medi. Il quarto numero, e cioè 3, si dice il
quarto proporzionale dopo 10, 5, 6.
Una proporzione avente i medi o gli estremi uguali si dice continua
Proprietà fondamentale: in ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli
estremi.
Mediante questa proprietà si può ricercare il termine incognito di una proporzione.
Proprietà delle proporzioni:
1. proprietà del permutare: 6 : 3 = 4 : 2 in ogni proporzione si possono scambiare i
medi
6 : 4 = 3 : 2 oppure gli estremi 2 : 3 = 4 : 6
2. proprietà dell’invertire: 6 : 3 = 4 : 2 in ogni proporzione si può scambiare ogni
antecedente col suo conseguente 3 : 6 = 2 : 4
3. proprietà del comporre: 6 : 3 = 4 : 2 in ogni proporzione la somma dei primi due
termini sta al primo (oppure al secondo) come la somma degli altri due termini sta al
terzo (oppure al quarto) (6 + 3) : 6 = (4 + 2) : 4 oppure (6+ 3) : 3 = (4 + 2) : 2
4. proprietà dello scomporre: 6 : 3 = 4 : 2 in ogni proporzione se ogni antecedente è
maggiore del proprio conseguente, la differenza tra il primo ed il secondo termine sta
al primo (oppure al secondo) come la differenza tra il terzo e il quarto termine sta al
terzo (oppure al quarto)
(6 - 3) : 6 = (4 - 2) : 4 oppure (6 - 3) : 3 = (4 - 2) : 2,
Estendiamo il concetto di proporzione tra numeri al concetto di proporzione tra grandezze
geometriche.
Proporzioni tra grandezze geometriche
Definizione: Quattro grandezze A, B, C, D, (oppure a, b, c, d, che indicano le misure delle
grandezze e quindi sono uguali a dei numeri) di cui le prime due omogenee tra loro e le ultime
due pure omogenee tra loro, si dicono in proporzione se il rapporto tra A e B è uguale al
rapporto tra C e D e si scrive
A : B = C : D. Più brevemente possiamo definire la proporzione come l’uguaglianza di due
rapporti.
5
Una proporzione avente i medi uguali si dice continua. Esempio: A : B = B : C allora C si dice
terza proporzionale dopo A e B.
Teorema fondamentale: Affinché quattro grandezze siano in proporzione, è che siano in
proporzione le loro misure. A : B = C : D a : b = c : d
Proprietà delle proporzioni
1. proprietà del permutare: A : B = C : D in ogni proporzione tra grandezze tutte
omogenee, si possono scambiare i medi A : C = B : D oppure gli estremi D : B = C : A
2. proprietà dell’invertire: A : B = C : D in ogni proporzione si può scambiare ogni
antecedente col suo conseguente B : A = D : C
3. proprietà del comporre: A : B = C : D in ogni proporzione tra grandezze la somma dei
primi due termini sta al primo (oppure al secondo) come la somma degli altri due
termini sta al terzo (oppure al quarto) (A + B) : A = (C + D) : C oppure (A + B) : B =
(C + D) : D
4. proprietà dello scomporre: A : B = C : D in ogni proporzione tra grandezze se ogni
antecedente è maggiore del proprio conseguente, la differenza tra il primo ed il
secondo termine sta al primo (oppure al secondo) come la differenza tra il terzo e il
quarto termine sta al terzo (oppure al quarto) (A - B) : A = (C - D) : C oppure
(A - B) : B = (C - D) : D,
Teorema della quarta proporzionale: Date tre grandezze A, B, C, con A e B omogenee tra
loro, esiste ed è unica la grandezza D, omogenea con C, che è quarta proporzionale dopo A, B,
C.
(Considerato il triangolo rettangolo ABC e l’altezza CH relativa all’ipotenusa, AH è la
proiezione di AC su AB, HB è la proiezione di BC su AB).
1° teorema di Euclide: In ogni triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale tra
l’ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull’ipotenusa.
C
A B : A C = A C : A H AC 2 AB AH
A
H
B
2° teorema di Euclide: In ogni triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media
proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
A H : C H = C H : H B CH 2 AH HB
6
