Integrazione numerica - Dipartimento di Matematica

Integrazione numerica
Elena Loli Piccolomini
Dipartimento di Matematica
http://www.dm.unibo.it/~piccolom/
12 marzo 2012
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Outline
1
Polinomi ortogonali
2
Formule di Gauss
Calcolo di nodi e pesi nelle formule di Gauss
3
Metodo di Romberg
Metodo di estrapolazione
Metodo di Romberg
4
Metodi di quadratura adattiva
Formula di Simpson adattiva
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Formule di Gauss
Assegnato l’intervallo chiuso e limitato [a, b], nelle formule di
quadratura di Newton-Cotes i nodi xi sono prefissati equidistanti tra
loro. Con n parametri liberi (i pesi ai ), il grado della formula
corrispondente è, in generale, uguale a n − 1. I pesi ai sono calcolati
integrando il corrispondente polinomio di interpolazione.
Se i nodi non sono prefissati, ci sono allora 2n parametri liberi che
possono essere determinati in modo che la formula abbia grado
2n − 1.
Nelle formule di quadratura di Gauss sia i nodi che i pesi sono
determinati in modo tale che la formula di quadratura abbia grado di
precisione più elevato possibile (cioè 2n − 1).
I nodi e i pesi possono essere determinati con il metodo dei
coefficienti indeterminati ma il sistema corrispondente è non lineare.
Alternativamente, i nodi e i pesi della formula di Gauss possono essere
ottenuti ricorrendo ai polinomi ortogonali.
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Polinomi ortogonali
Sia ω(x) > 0 in [a, b] eccetto al più in un numero finito di punti in cui è
Rb
nulla. Supponiamo che a ω(x)x k dx sia finito per k = 0, 1, 2, . . . e che
Rb
µ0 = a ω(x)dx > 0.
Si dice prodotto scalare tra due funzioni f (x) e g (x) in [a, b] rispetto alla
funzione peso ω(x) la quantità
Z
< f , g >=
b
ω(x)f (x)g (x)dx
a
Due funzioni f(x) e g(x) sono ortogonali rispetto alla funzione peso ω(x) in
[a, b] se < f , g >= 0.
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Teorema
P
La famiglia di polinomi monici ortogonali pn (x) = x n + n−1
ai x i rispetto
0
alla funzione peso ω(x) in [a, b] è univocamente determinata dalla
seguente formula di ricorrenza:
p0 (x) = 1
p1 (x) = x − ρ0
pi+1 (x) = (x − ρi )pi (x) − τi pi−1 (x),
i = 1, 2, . . .
con
ρi =
< xpi , pi >
< pi , pi >
τi = δi2 =
< pi , pi >
< pi−1 , pi−1 >
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i = 0, 1, 2, . . .
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I polinomi p0 (x), p1(x), . . . , pn (x) sono linearmente indipendenti su
[a, b].
Ogni polinomio q(x) di grado minore o uguale a n si può scrivere
come combinazione lineare di essi:
q(x) = a0 p0 (x) + a1 p1 (x) + . . . + an pn (x)
ove
aj =
< q, pj >
,
< pj , pj >
j = 0, 1, . . . n
Di conseguenza < q, pn >= 0 se q(x) è un polinomio di grado minore
di n.
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I polinomi p0 (x), p1(x), . . . , pn (x) sono un sistema di Chebyshev. Cioè


p0 (t1 ) . . . pn−1 (t1 )
 ..

..
 .

.
p0 (tn ) . . . pn−1 (tn )
è non singolare comunque si prendano i punti t1 , . . . , tn in [a, b]
Teorema
Dato pn (x) ortogonale monico di grado n rispetto ω(x) in [a, b], esso ha
nell’intervallo (a, b) n zeri reali distinti.
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Formule di Gauss
Nelle formule di quadratura di tipo interpolatorio i nodi x1 , . . . , xn
sono punti distinti in [a, b] prefissati. Le formule hanno grado di
precisione al più n − 1.
Si vogliono derivare nuove formule di quadratura con grado di
precisione più alto possibile, scegliendo x1 , . . . , xn in modo che questo
sia possibile.
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Se x1 , . . . , xn sono distinti, allora il resto di una formula di quadratura
vale
Z b
E [f ] =
ω(x)(x − x1 ) . . . (x − xn )f [x1 , . . . , xn ; x]dx
a
Poichè per polinomi di grado minore o uguale a n − 1
f [x1 , x2 , . . . xn ; x] = 0, si ha che comunque si scelgano n punti distinti
il grado di precisione vale n − 1.
Per polinomi di grado r + n − 1, f [x1 , x2 , . . . , xn ; x] è un polinomio di
grado r − 1. Pertanto perchè la formula di quadratura abbia grado di
accuratezza superiore a n − 1 occorre che
Z
b
ω(x)(x − x1 ) . . . (x − xn )x r −1 dx = 0,
r = 1, 2, . . .
a
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Se x1 , . . . , xn sono gli zeri di un polinomio pn (x) monico di grado n
ortogonale rispetto la funzione peso ω(x) in [a, b], allora la condizione
precedente esprime il fatto che x r −1 deve essere ortogonale a pn (x).
Infatti x r −1 è sempre esprimibile come combinazione lineare di
polinomi ortogonali rispetto la funzione peso ω(x) in [a, b] di grado
minore o uguale a r − 1.
Pertanto
Z
b
ω(x)pn (x)x r −1 dx = 0
a
per r = 1, . . . , n.
Allora se x1 , . . . , xn sono gli zeri di un polinomio pn (x) monico di
grado n ortogonale rispetto la funzione peso ω(x) in [a, b], segue che
la formula di quadratura interpolatoria basata su x1 , . . . , xn (che sono
distinti) diventa di grado 2n − 1, perchè per r = 1, . . . , n, E [f ] = 0.
Su tale principio si basano le formule di Gauss.
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Teorema
Siano x1 , . . . , xn gli zeri del polinomio monico di grado n ortogonale pn (x)
nell’intervallo [a, b] rispetto alla funzione peso ω(x) e sia ω1 , . . . , ωn la
soluzione del sistema non singolare di equazioni
n
X
i=1
ωi pk (xi ) =
< p0 , p0 >, se k = 0;
0,
se k = 1, . . . , n − 1.
Allora ωi > 0 per i = 1, . . . , n e la formula di quadratura
n
X
ωi f (xi )
i=1
ha grado di precisione 2n − 1.
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dimostrazione
Dati x1 , . . . , xn zeri distinti di pn (x) si costruiscono i pesi di una formula di
quadratura interpolatoria basata su tali punti che ha quindi grado di
precisione n − 1:
Z
ωi =
b
Z
ω(x)Li (x)dx =
a
b
ω(x)
a
pn (x)
dx
(x − xi )pn0 (xi )
Poichè la formula è esatta per polinomi di grado minore o uguale di n − 1,
si ha:
Z b
n
X
< p0 , p0 >, se k = 0;
ωi pk (xi ) =
ω(x)pk (x)dx =
0,
se k = 1, . . . , n − 1.
a
i=1
Poichè la matrice A = (ai,k = pk (xi ) è non singolare, i wi sono
univocamente determinati.
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Dato qs (x) polinomio di grado s, n ≤ s ≤ (2n − 1) vale
qs (x) = pn (x)qs−n (x) + r (x)
con r (x) polinomio di grado minore di n − 1. Allora qs (xi ) = r (xi ),
i = 1, . . . , n. Inoltre
Z
b
Z
b
=0+
b
pn (x)qs−n (x)ω(x)dx +
ω(x)qs (x)dx =
a
Z
a
n
X
i=1
ω(x)r (x)dx
a
ω − ir (xi )dx =
n
X
ωi qs (x)
i=1
dunque la formula è esatta per polinomi di grado al più 2n − 1
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R
2 = (x − x )2 . . . (x − x )2 , vale b ω(x)p (x)2 dx > 0. ma
Se
p(x)
=
p
(x)
n
1
n
n
a
Pn
2
la formula non è esatta per polinomi di grado
i=1 ωi pn (xi ) = 0 dunque
2
n (x)
. Il grado del polinomio è 2n − 2. Dunque la
n. Sia p(x) = px−x
i
formula è esatta:
Z b
n
X
pn (x) 2
pn (x) 2
0<
ω(x)
dx =
ωk
dx
x − xi
x − xi
a
n
n
X
Y
k=1 j=1,j6=i
(xk − xj )2 = ωi
k=1
n
Y
(xi − xj )2
j=1,j6=i
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Teorema
Se x1 , . . . , xn sono distinti e ω1 , . . . , ωn sono tali che la formula di
quadratura ha grado di precisione 2n − 1, allora ωi sono soluzioni del
sistema non singolare di equazioni
n
X
i=1
ωi pk (xi ) =
< p0 , p0 >, se k = 0;
0,
se k = 1, . . . , n − 1.
e gli xi sono zeri di un polinomio ortogonale rispetto a ω(x) in [a, b].
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Teorema
Sia f ∈ C 2n [a, b]. Allora il resto R(f ) della formula di Gauss assume
l’espressione
b
Z
ω(x)f (x)dx =
a
f (2n) (ξ)
R(f ) =
2n!
n
X
ωi f (xi ) + R(f )
i=1
b
Z
ω(x)pn (x)2 dx
a
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Stabilità e convergenza
Le formule di quadratura di Gauss, essendo formule di quadratura
interpolatorie con pesi positivi, sono stabili e convergenti per ogni
f ∈ C [a, b].
Infatti
Z b
n
n
X
X
(n)
(n)
αn =
|ωk | =
ωk =
ω(x)dx costante
i=1
i=1
a
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Famiglie di formule di quadratura di Gauss
A seconda del tipo di funzione peso ω(x) e dell’intervallo [a, b] sono
generate famiglie di formule di quadratura
Per passare ad intervalli di integrazione generici [α, β] si può fare il
cambiamento di variabile da x ∈ [α, β] a t ∈ [a, b]:
t=
(b − a)x + aβ − bα
β−α
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Sono generate famiglie di formule di quadratura associate a polinomi
ortogonali classici.
[a, b]
[−1, 1]
[−1, 1]
[0, ∞]
[−∞, ∞]
ω(x)
√1
1/ 1 − x 2
e −x
2
e −x
famiglia di formule
Gauss-Legendre
Gauss-Chebyshev
Gauss-Laguerre
Gauss-Hermite
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Polinomi di Legendre
I polinomi di Legendre Pn (x) sono polinomi ortogonali su [−1, 1] rispetto
alla funzione peso w (x) = 1. Usualmente sono scalati in maniera da avere
Pn (1) = 1 per ogni n.
In questo caso essi soddisfano alla seguente formula ricorrente
P0 (x) = 1, P1 (x) = x
n
2n + 1
xPn (x) −
Pn−1 (x),
Pn+1 =
n+1
n+1
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n≥1
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Polinomi di Chebyshev
I polinomi
di Chebichev sono ortogonali rispetto alla funzione peso
√
2
1/ 1 − x nell’intervallo [−1, 1]; essi soddisfano alla seguente formula
ricorrente
T0 (x) = 1,
T1 (x) = x
Tn+1 (x) = 2xTn (x) − Tn−1 (x),
n≥1
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Calcolo di nodi e pesi nelle formule di Gauss
Consideriamo la formula di ricorrenza a tre termini
p0 (x) = 1,
p1 (x) = x − ρ0
pi+1 (x) = (x − ρi )pi (x) − δi2 pi−1 (x)
da cui
δi2 pi−1 (x) + pi+1 (x) + ρi pi (x) = xpi (x)
Ricordando che τi = δi2 e dividendo ambo i membri per δ1 δ2 . . . δi , si ha
δi2
1
ρi
1
pi−1 (x) +
pi+1 (x) +
pi (x) =
xpi (x)
δ1 δ2 . . . δi
δ1 δ2 . . . δi
δ1 δ2 . . . δi
δ1 δ2 . . . δi
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da cui si ha in forma matriciale



p0 (x)
ρ0 δ1


 δ1 ρ1 δ2
p1 (x)/δ1






 0 δ2 ρ3
δ3
A := 
  p2 (x)/(δ1 δ2 )  =



..
..



.
.
pn−1 /(δ1 . . . δn−1 )
δn−1 ρn−1

 

p0 (x)
0

 

p1 (x)/δ1
0

 


 

0
x  p2 (x)/(δ1 δ2 )  − 


 

..
..

 

.
.
pn−1 /(δ1 . . . δn−1 )
(δn pn (x))/(δ1 . . . δn )
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Si può dimostrare che:
Le radici xi , i = 1, . . . , n del polinomio ortogonale pn (x) sono gli
autovalori della matrice tridiagonale A (metodo di bisezione, metodo
QR)
(i)
(i)
Sia v (i) := (v1 , . . . , vn )T l’autovettore di A corrispondente
all’autovalore xi .
Supponiamo che v (i) sia scalato in modo tale che
Z b
(i) T (i)
(v ) v =
ω(x)dx
a
Allora, i pesi wi sono dati da
2
(i)
wi = v1
,
i = 1, . . . , n
dove gli autovettori sono normalizzati in modo tale che
viT vi =< p0 , p0 >
I valori dei nodi xi e dei pesi ωi sono stati tabulati con grande
accuratezza per particolari famiglie di formule
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Osservazione
Confrontando le varie regole di integrazione si ha che, a parità di
costo computazionale, la formula di Gauss dà il risultato più accurato
Nelle applicazioni pratiche, per raggiungere l’accuratezza prefissata, è
necessario applicare la formula di Gauss per valori di n crescenti
finchè la differenza tra due approssimazioni successive diviene minore
di una tolleranza Poichè i valori di f calcolati per un certo n non possono essere
utilizzati per n + 1 il vantaggio delle formule di Gauss è perso nei
confronti con i metodo di estrapolazione
Un vantaggio delle formule di Gauss è quello di poter trattare con
particolari ω(x) anche gli integrali indefiniti
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Esempio
R 1.5
1
exp(−x 2 )dx = 0.1093643.
[1, 1.5] → [−1, 1],
Da x =
t+5
4
, segue
x → t = 4x − 5
R1
−1 exp(−((t
+ 5)/4)2 )dt
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Usando i polinomi di Legendre si ottiene con n = 2:
Z 1.5
Z
1 1
exp(−x 2 )dx =
exp(−((t + 5)/4)2 )dt '
4
1
−1
1
(exp(−((0.5773502692 + 5)/4)2 ) + exp(−((−0.5773502692 + 5)/4)2 )) =
4
0.1094003
con 2 valutazioni di funzione. Con n = 3 si ottiene 0.1093642 con 3
valutazioni di funzioni.
Con il metodo di Romberg occorre calcolare R3,3 = 0.1093643 con 5
n
xi
ωi
n = 2 0.5773502692
1
-0.5773502692
1
valutazioni di funzioni.
n = 3 0.7745966692 0.55555 . . . 6
0.
0.88888 . . . 9
-0.7745966692 0.55555 . . . 6
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Metodo di estrapolazione
In molti problemi, come ad esempio l’integrazione e la differenziazione
numerica, si calcola una approssimazione di una quantità incognita α0
che dipende dal passo di discretizzazione h.
Il valore incognito α0 è ottenuto al limite per h → 0 ma il passo non
può essere preso arbitrariamente piccolo.
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Sia T (h) l’approssimazione ottenuta per un passo h.
Se si calcola il valore di T per alcuni valori non nulli del passo h (di
solito h e h/2) e se si conosce l’andamento teorico di T (h) per
h → 0, allora è possibile estrapolare, dai valori già noti di T (h), un
valore approssimato di T (0).
Tale valore estrapolato è una approssimazione più accurata della
grandezza incognita.
Su tale idea si basa il metodo di estrapolazione di Richardson
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Supponiamo che
T (h) = α0 + α1 h + . . . + αk hk + Rk+1 (h)
(1)
con |Rk+1 (h)| ≤ Ck+1 hk+1 e tale che i coefficienti α0 , . . . , αk e Ck+1 siano
indipendenti da k.
Riscrivendo la (1) per δh, 0 < δ < 1 (tipicamente δ = 1/2):
T (δh) = α0 + α1 (δh) + . . . + αk (δh)k + Rk+1 (δh)
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Consideriamo
e (h) = T (δh) − δT (h) = α
ek+1 (h)
T
e0 + α
e1 h + . . . + α
ek h k + R
1−δ
dove
δi − δ
, i = 2, . . . , k
1−δ
ek+1 (h) = [Rk+1 (δh) − δRk+1 (h)]/(1 − δ)
R
α
e i = αi
Vale α
ei 6= 0 ⇔ αi 6= 0; dunque se α1 6= 0, T (h) è una approssimazione al
e (h) è una approssimazione almeno del secondo
primo ordine di α0 e T
ordine.
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Più in generale, se T (h) è una approssimazione di α0 di ordine p, allora la
quantità
p
e (h) = T (δh) − δ T (h)
T
1 − δp
è una approssimazione almeno di ordine p + 1.
Procedendo per induzione si genera l’algoritmo di estrapolazione di
Richardson.
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Algoritmo di estrapolazione di Richardson
Fissati n ≥ 0, h > 0 e δ ∈ (0, 1) si costruiscono le successioni
Tm,0 = T (δ m h),
m = 0, . . . , n
(2)
Tm,q+1 = (Tm,q − δ q+1 Tm−1,q )/(1 − δ q+1 ),
(3)
q = 0, . . . , n − 1, m = q + 1, . . . , n (4)
In forma di tabella si ha:
T0,0
T1,0 T1,1
T2,0 T2,1 T2,2
T3,0 T3,1 T3,2 T3,3
...
Tn,0 Tn,1 Tn,2 Tn,3
...
Tn,n
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Convergenza
Teorema
Per ogni n ≥ 0 e δ ∈ (0, 1),
Tm,n = α0 + O (δ m h)n+1 ,
m = 0, . . . , n
Si ha quindi convergenza verso α0 di ciascuna
della tavola. Per la
colonna
m
prima colonna (n = 0) la convergenza è O (δ h) mentre per l’ultima è
O (δ m h)n+1
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Metodo di Romberg
Il metodo di integrazione di Romberg consiste nell’applicazione
dell’estrapolazione di Richardson alla formula composita del trapezio.
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Formula di Eulero-Maclaurin
Teorema
Sia f ∈ C 2k+2 [a, b] per k ≥ 0. Si approssimi α0 =
formula del trapezio composita
T (h) =
Rb
a
m−1
X
h
f (a + ih) + f (b) ,
f (a) + 2
2
f (x)dx con la
h=
i=1
b−a
m
Si ha
T (h) = α0 + α1 h2 + . . . + αk h2k + τk+1 h2k+2
Z b
α0 =
f (x)dx
a
B2i (2i−1)
αi =
f
(b) − f (2i−1) (a) , i = 1, 2, . . . , m
(2i)!
B2k+2
τk+1 =
(b − a)f (2k+2) (ξ), ξ ∈ (a, b)
(2k + 2)!
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T (h) è la formula dei trapezi composta e ha una complessità pari a
n + 1 valutazioni di funzioni.
B2i sono i numeri di Bernoulli, coincidenti con i coeffcienti dello
sviluppo in serie di MacLaurin della funzione t/(exp(t) − 1)
(B0 = 1; B1 = −1/2, B2 = 1/6, B4 = −1/30, B6 = 1/42, . . .).
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Ponendo nella (2) h = b − a, δ = 1/2 e indicando con T (hs ) la formula
del trapezio composita su s = 2m sottointervalli di ampiezza
hs = (b − a)/2m per m ≥ 0 l’algoritmo di Romberg si scrive
Tm,0 = T ((b − a)/2m ),
m = 0, . . . , n
Tm,q+1 = (4q+1 Tm,q − Tm−1,q )/(4q+1 − 1),
q = 0, . . . , n − 1, m = q + 1, . . . , n
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T0,0 = T (h0 )
4T1,0 − T0,0
4T (h1 ) − T (h0 )
=
3
3
4T (h2 ) − T (h1 )
4T2,0 − T1,0
=
=
→ T2,2 =
4−1
3
42 T2,1 − T1,1
42 − 1
T1,0 = T (h1 = h0 /2) → T1,1 =
T2,0 = T (h2 = h0 /4) → T2,1
...
(Tj,k con j=livello di approssimazione/recursione, k t.c. 2k =numero di
sttointervalli della formula composita)
L’algoritmo si arresta quando |Tj,j − Tj−1,j−1 | < tol
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Esempio
Sia dato
Rπ
0
sin xdx = 2
Sono sufficienti 5 righe corrispondenti a 24 + 1 = 17 valutazioni di
funzione per ottenere pari almeno a = 8.510−8 ((π = 16)10 ).
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Metodi di quadratura adattiva
Tutte le formule di quadratura viste finora (Newton-Cotes e
composte) sono basate su nodi equispaziati.
Per funzioni che presentano forti variazioni in una regione e basse
variazioni in un’altra scegliere un passo costante può essere limitativo.
Se il passo viene scelto grande, l’approssimazione dell’integrale nelle
regioni a forte variazione non è buona, mentre un passo piccolo
implica una alta complessità nella regione a bassa variazione in cui è
sufficiente un passo più grande.
L’idea è quella di scegliere il passo adattandolo alla variazione
funzionale di f (x). Questa idea porta a metodi di quadratura
adattiva.
Si fornisce un esempio di metodo di quadratura adattivo basato sulla
regola di Simpson.
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Supponiamo
R b di voler ottenere una approssimazione di
I (f ) = a f (x)dx entro una tolleranza fissata.
Una tipica formula adattiva applica due differenti formule di
quadratura Qn1 e Qn2 all’intervallo [a, b]. Esse forniscono due diverse
approssimazioni Sn1 e Sn2 di I (f )
Tali approssimazioni sono usate per determinare una stima dell’errore
di integrazione R(f ) (in pratica Rn (f ) = cost · (Sn1 − Sn2 ))
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Il processo adattivo è dunque concettualmente semplice:
Applicare Qn1 e Qn2 per determinare R(f ).
Se R(f ) > , dividere l’intervallo in due sottointervalli e ripetere la
procedura su ogni sottointervallo.
Se la tolleranza è raggiunta su un certo sottointervallo, questo non
viene ulteriormente suddiviso.
Se la tolleranza non è raggiunta su un certo sottointervallo, il processo
di suddivisione è ripetuto
Tale strategia porta a un processo di campionamento non uniforme
della funzione integranda che colloca molti nodi in regioni dove la
funzione è difficile da integrare e relativamente pochi nodi dove è più
facilmente integrabile
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Formula di Simpson adattiva
Si fornisce un esempio di metodo di quadratura adattivo basato sulla
regola di Simpson.
Dato > 0, si vuole ottenere una approssimazione S(f ) di I (f )
sull’intervallo [a, b] tale che
Z
a
b
f (x)dx − S(f ) ≤ Il primo passo consiste nell’applicare la formula di Simpson semplice (Qn1 )
e la formula di Simpson composta con m = 4 (Qn2 ) che equivale ad
applicare la formula di Simpson agli intervalli
[a, (a + b)/2],
[(a + b)/2, b]
Si noti che applicare Qn2 comporta solo due valutazioni aggiuntive di f (x)
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La formula di Simpson fornisce l’approssimazione S(a, b) di I (f ):
h
a+b
S(a, b) =
f (a) + 4f (
) + f (b)
3
2
Z b
h5
f (x)dx = S(a, b) − f (4) (ξ)
90
a
con h = (b − a)/2 e con a < ξ < b
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La formula di Simpson composita fornisce la seguente approssimazione di
I (f ):
Z
a
b
4
b − a (4)
a+b
a+b
h
f (x)dx = S a,
+S
,b −
f (η)
2
2
2
180
a+b
a+b
1 h5 (4)
= S a,
+S
,b −
f (η)
2
2
16 90
a+b
h
h
S a,
=
f (a) + 4f (a + ) + f (a + h)
2
6
2
3h
a+b
h
S
,b =
f (a + h) + 4f (a + ) + f (b)
2
6
2
b−a
h=
, a<η<b
2
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L’idea è quella
di utilizzare
le due approssimazioni S(a, b) e
a+b
S a, a+b
+
S
a,
per
determinare una stima dell’errore di
2
2
integrazione
A tal fine, si suppone che f (4) (ξ) ' f (4) (η)
Si tratta di un’ipotesi in generale non verificata, ma che permette di
ottenere utili indicazioni sull’errore. Il successo della tecnica dipenderà
da quanto poco l’ipotesi precedente si discosta dal vero.
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Si ha
a+b
a+b
15 h5 (4)
S(a, b) − S a,
+S
,b
'
f (η)
2
2
16 90
da cui
Z b
1 h5 (4) a+b
a+b
f (x)dx − S a,
+S
,b '
f (η)
2
2
16 90
a
1 a+b
a+b
'
,
b
S(a,
b)
−
S
a,
−
S
15
2
2
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Se pertanto
S(a, b) − S a, a + b − S a + b , b < 15
2
2
(5)
allora si ha
Z
a
b
a+b
a+b
f (x)dx − S a,
, b ≤ +S
2
2
e la formula composta di Simpson con m = 4 (e 5 punti) è utilizzata per
calcolare una approssimazione di I (f ) entro la tolleranza richiesta.
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Se la (5) non è verificata, si suddivide l’intervallo [a, b] nei due
sottointervalli [a, (a + b)/2] e [(a + b)/2, b] e su ciscuno di essi si
applica la procedura di stima dell’errore appena descritta utilizzando
la tolleranza /2
Si noti che, per ciascun sottointervallo, si è già calcolata la formula di
Simpson a 3 punti.
Il procedimento di dimezzamento continua finchè si ottiene
l’accuratezza richiesta su ciscun sottointervallo.
Se su uno dei sottointervalli la stima dell’errore non passa il test, tale
intervallo viene ulteriormente suddiviso e ciascuno dei sottointervalli
viene esaminato.
In genere si richiede che la tolleranza sia 10 anzichè 15 volte la
tolleranza richiesta, per compensare l’assunzione fatta sulle derivate
quarte.
L’errore è ridotto di un fattore 1/16; dunque il procedimento termina
dopo un numero finito di passi.
Il metodo continua fino a che non si raggiunge la tolleranza prefissata
o fino a che il numeri dei livelli cui si è pervenuti è troppo alto.
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