L’analisi dell’associazione o connessione
tra due caratteri statistici
Corso di STATISTICA
Prof. Roberta Siciliano
Ordinario di Statistica, Università di Napoli Federico II
Professore supplente, Università della Basilicata
a.a. 2011/2012
Statistica
Prof. Roberta Siciliano
1
Obiettivi dell’unità didattica
• Definire la distribuzione doppia di frequenze
• Definire la condizione di indipendenza in
distribuzione
• Analizzare l’associazione o connessione tra due
caratteri statistici
Contenuti
• Tabelle doppie di frequenza
• L’indipendenza in distribuzione
• La connessione
– Unilaterale
– Bilaterale
Statistica
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2
1
Distribuzione doppia di frequenze
X \Y
y1
y2
yj
yh
x1
x2
xi
xk
n11
n 21
n i1
n k1
n12
n 22
n i2
nk 2
n1 j
n2 j
n ij
n kj
n1h
n 2h
n ih
n kh
n1+
n 2+
n i+
nk +
n +1
n +2 n + j n +h
N
Statistica
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3
€
Distribuzione doppia di frequenze
X \Y
x1
x2
Carattere di colonna
xi
j-esima modalità di Y x k
Statistica
y1
n11
n 21
n i1
n k1
n +1
y2 y j yh
n12 n1 j n1h
n 22 n 2 j n 2h
n i2 n ij n ih
n k 2 n kj n kh
n +2 n + j n +h
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n1+
n 2+
n i+
nk +
n
4
€
2
Distribuzione doppia di frequenze
Carattere di riga
i-esima modalità di X
Statistica
yj
X \Y
y1
y2
yh
x1
x2
xi
xk
n11
n 21
n i1
n k1
n +1
n12 n1 j n1h
n 22 n 2 j n 2h
n i2 n ij n ih
n k 2 n kj n kh
n +2 n + j n +h
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n1+
n 2+
n i+
nk +
n
5
€
Distribuzione doppia di frequenze
Numero di unità che
presentano
contemporaneamente
la i-esima modalità
di X e la j-esima
modalità di Y
Frequenza marginale
della i-esima
modalità di X
Statistica
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Frequenza
marginale della jesima modalità di Y
6
3
…per frequenza relative
• Se dividiamo ogni cella per N otteniamo la
distribuzione doppia delle frequenze relative
• Valgono per estensione tutte le proprietà
viste per le distribuzioni semplici
Statistica
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7
Caratteristiche principali
h
n i+ =
∑n
ij
totale della i - esima riga
ij
totale della j - esima colonna
j =1
k
n+ j =
∑n
i=1
k h
N = ∑ ∑ n ij = ∑ n i+ = ∑ n + j
€
i=1 j =1
Statistica
€
i
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j
8
€
4
… per frequenze relative
f ij = n ij N = frequenza relativa congiunta o doppia
h
f i+ =
∑f
frequenza relativa marginale della i - esima riga
ij
j =1
€
k
f+ j =
∑f
ij
frequenza relativa marginale della j - esima colonna
i=1
€
k
h
1 = ∑ ∑ f ij = ∑ f i+ = ∑ f + j
€
i=1 j =1
Statistica
i
j
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9
€
Indipendenza in distribuzione
• Si ha quando le frequenze osservate in ogni cella (i,j)
soddisfano la seguente condizione n i+ n + j
N
• Le k distribuzioni parziali relative del tipo Y | X = x i per i = 1,...,k
si equivalgono e sono equivalenti alla distribuzione marginale di
colonna di Y:
n ij n + j
per j = 1,…,h
€
• Le h distribuzioni parziali relative del tipo X |Y = y j per j = 1,...,h
n i+
€= N
si equivalgono e sono equivalenti alla distribuzione marginale di
riga di X:
n ij n i+
€
=
per i = 1,…,k
n+ j
N
€
Statistica
– per colonna
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10
€
5
Indice di contingenza quadratica media del Pearson
per l’analisi della connessione o associazione
2
⎛ f − f f ⎞ 2
χ
ij
i+ + j
⎟⎟ f i+ f + j
φ2 =
= ∑ ∑ ⎜⎜
i
j
N
⎝ f i+ f + j ⎠
= ∑i ∑ j
(
f ij − f i+ f + j
)
2
f i+ f + j
2
⎛
n i+ n + j ⎞
⎜ n ij −
⎟
N ⎠
1
⎝
= ∑∑
n i+ n + j
N i j
N
Statistica
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11
€
Indice di contingenza quadratica media del Pearson
per l’analisi della connessione o associazione:
indice normalizzato
0 ≤ φ 2 ≤ min(k,h) −1
0 ≤ χ 2 ≤ N × [min(k,h) −1]
Il più piccolo valore tra il numero di righe
ed il numero di colonne della tabella
€
Indice normalizzato:
Statistica
φ2
0≤
≤1
min(k,h) −1
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12
€
6
Il fondamento teorico
2
• Il φ è una media ponderata dei quadrati delle
contingenze relative con pesi pari alle frequenze
relative che soddisfano la condizione di
indipendenza
⎛ f − f f ⎞ 2
ij
i+ + j
⎟⎟ f i+ f + j
φ 2 = ∑i ∑ j ⎜⎜
f
f
⎝
i+ + j
⎠
€
Contingenze relative
Pesi (positivi e sommano a uno)
€
Statistica
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13
Indipendenza in distribuzione
• Si ha n ij =
n i+ n + j
oppure f ij = f i+ f + j ⇒ φ 2 = 0
N
€
Statistica
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14
7
Massima connessione bilaterale
• Tabelle quadrate con k =h
n ij* = n i+ e n ij = 0 per j ≠ j * ⇒ φ 2 = k −1
€
Statistica
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15
Massima connessione unilaterale
• Tabelle rettangolari con k >h
n ij* = n i+ e n ij = 0 per j ≠ j * ⇒ φ 2 = h −1
€
Statistica
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16
8
Tipi di connessione
Connessione Perfetta Bilaterale (solo per tabelle quadrate!)
Ad ogni modalità di X corrisponde
una ed una sola modalità di Y e
viceversa
Statistica
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17
Tipi di connessione (cont.)
In questo esempio, NON ESISTE connessione perfetta!
Statistica
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18
9
Tipi di connessione (cont.)
Connessione Unilaterale di Y da X
Per ogni modalità della X esiste una
sola modalità della Y con frequenza
diversa da 0
Statistica
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19
Tipi di connessione (cont.)
Connessione Unilaterale di X da Y
Per ogni modalità della Y esiste una
sola modalità della X con frequenza
diversa da 0
La connessione Unilaterale è solo per tabelle rettangolari!
Statistica
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20
10
Formulazione alternativa
2
⎛
⎛ n i+ n + j ⎞ 2
n i+ n + j ⎞
n i+ n + j
2
n ij + ⎜
⎜ n ij −
⎟
⎟ − 2n ij
N ⎠
N
1
1
⎝
⎝ N ⎠
φ 2 = ∑i ∑ j
= ∑∑
=
n i+ n + j
n i+ n + j
N
N i j
N
N
=
€
€
n ij2
n i+ n + j
1
1
1
+
−
2
∑
∑
∑
∑
∑∑ n =
N i j n i+ n + j N i j N
N i j ij
N
n ij2
n ij2
1 N×N
=∑ ∑
+
−2 =∑ ∑
−1
i
j n n
i
j n n
N
N
i+ + j
i+ + j
( )
=∑ ∑
Nf Nf
Nf ij
i
Statistica
j
i+
2
+j
−1 = ∑ ∑
i
j
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f ij2
−1
f i+ f + j
21
€
Indice normalizzato
• Si ottiene rapportando il
al massimo
valore che può raggiungere per una tabella
di dimensioni k x h
con
Statistica
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22
11
Esempio 1
Costruiamo la tabella delle frequenze che soddisfano la condizione di
indipendenza
Statistica
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Calcoliamo gli indici di connessione
oppure con la formulazione alternativa
Statistica
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24
12
