L’analisi della correlazione
Corso di STATISTICA
Prof. Roberta Siciliano
Ordinario di Statistica, Università di Napoli Federico II
Professore supplente, Università della Basilicata
a.a. 2011/2012
Prof. Roberta Siciliano
Statistica
1
Obiettivi dell’unità didattica
• Definire la condizione di indipendenza in media
• Definire il metodo statistico per l’analisi della correlazione
tra una variabile numerica ed un altro carattere
Contenuti
•
Distribuzione doppia di frequenze con almeno una delle
due variabili è numerica
•
La condizione di indipendenza in media
•
Il rapporto di correlazione del Pearson
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Statistica
2
1
Supponiamo che Y sia numerica
E’ possibile determinare la media totale di Y e le medie parziali di
Y condizionata a ciascuna modalità del carattere X
µY |X =x i =
µY =
€ Prof. Roberta Siciliano
1
∑ y n per i = 1,...,k
n i+ j j ij
1
∑yn
N j j +j
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3
€
Esempio
E’ possibile determinare la media totale e le medie parziali
µY |X = x 2
(10 × 7) + (20 × 11) + (30 × 6) + (40 × 3)
= 21.85
27
(10 × 8) + (20 × 11) + (30 × 15) + (40 × 18)
=
= 28.26
52
µY |X = x1 =
€
€
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2
Proprietà della media
La media di Y equivale alla media della distribuzione delle medie parziali
Si può notare che…
µY
€
µ
(
=
Y |X = x1
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) (
× n1+ + µY |X = x 2 × n 2+
N
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Esempio
)=
5
Y=numero di
giornate di
soggiorno
X= genere
Calcoliamo la media totale e le medie parziali
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3
Devianza e sua scomposizione
(
)
2
(
)
2
Dev(Y ) = ∑ j y j − µY n + j = ∑i ∑ j y j − µY n ij =
(
= ∑ ∑ (y − µ
+2∑ ∑ ( y − µ
= ∑ ∑ (y − µ
2
)
) n + ∑ ∑ (µ
+µ
− µ )n
) n + ∑ (µ
= ∑i ∑ j y j − µY |X =x i + µY |X =x i − µY n ij =
i
i
i
j
j
j
j
j
Y |X =x i
2
ij
Y |X =x i
j
Y |X =x i
i
Y |X =x i
Y |X =x i
j
Y
ij
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i
Y |X =x i
− µY n ij +
=
ij
2
)
2
)
2
− µY n i+
Statistica
7
€
Devianza e sua scomposizione
(
)
2
(
−µ ) n
)
2
Dev(Y ) = ∑i ∑ j y j − µY |X =x i n ij + ∑i µY |X =x i − µY n i+ =
(
= ∑i Dev(Y | X = x i ) + ∑i µY |X =x i
2
Y
i+
=
= Dev(W ) + Dev(B)
Devianza interna (Within)
Devianza esterna (Between)
€
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4
Interpretazione
• La variabile X è detta di stratificazione in quanto dalle sue
modalità si determinano gli strati o gruppi parziali del
collettivo.
• La devianza “Between” descrive la variabilità “tra” i
gruppi, ossia la variabilità delle medie parziali di Y rispetto
alla media generale.
• La devianza “Within” descrive la variabilità “interna” ai
gruppi, ossia la somma delle variabilità della Y in ciascun
gruppo.
• Quanto più i gruppi sono ben discriminati tanto maggiore è
la componente di variabilità esterna rispetto a quella
interna. Ciò implica che la variabile X “spiega” il
comportamento della Y.
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Rapporto di correlazione del Pearson
Il rapporto descrive quanta parte della devianza totale è spiegata
dalla variabilità delle medie parziali rispetto alla media generale
Il rapporto è pari a 0 quando c’è indipendenza in media ed è pari
a 1 in assenza di variabilità interna ai gruppi
Il rapporto di
correlazione è un
indice NON
SIMMETRICO
ηY2 / X ≠ ηX2 /|Y
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10
€
5
Riconsideriamo l’esempio
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Esempio
Esiste Indipendenza in distribuzione?
Verifichiamo:
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6
Verifica
Le Distribuzioni Parziali relative sono diverse dalla distribuzione
Marginale relativa quindi non esiste indipendenza in distribuzione
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Esiste indipendenza in media?
NON ESISTE indipendenza in distribuzione, verifichiamo se
esiste l’indipendenza in media
Le MEDIE PARZIALI sono uguali alla media generale, per cui
esiste indipendenza in media
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7
