Problema n°1
A quale distanza, una dall'altra bisogna porre nel vuoto due cariche (Q1=310-5 C e Q2=410-5 C) perché esse
esercitino una sull'altra la forza di 200 N ?
Q1 = +310-5 C
carica numero 1
Q2 = +410-5 C
carica numero 2
Fel = 200 N
forza esercitata tra le cariche
r=?
distanza tra le cariche, incognita
Problema semplice che si risolve, partendo dalla forza di Coulomb, e ricavandone la formula inversa
esplicitando r.
Problema n°2
A che distanza, un protone potrebbe tenere sollevato un elettrone contro la forza di gravità?
e = 1,60210-19 C
carica elementare
melettrone = 9,1110-31 kg
r=?
massa dell'elettrone
distanza tra elettrone e protone necessaria per tenere sollevato l'elettrone
affinché l'elettrone resti sollevato (ovvero, sia in equilibrio) la forza elettrica attrattiva deve essere uguale, in
modulo, alla forza peso, agire lungo la verticale e verso l'alto. La situazione fisica è, quindi, la seguente: un
protone fermo in una posizione dello spazio; un elettrone, libero di muoversi, che si trova lungo la verticale,
sotto il protone, ad una distanza r.
Uguagliando il modulo della forza peso con quello della forza elettrica si ha, quindi:
Problema proposto:
scambiando i ruoli delle due particelle, che risultato si ottiene? (tenete conto che la massa del protone è
diversa da quella dell'elettrone!!!!!!)
Problema n°3
Nel modello di Rutherford dell'atomo di idrogeno, l'elettrone ruota attorno al nucleo alla distanza di circa
410-2 nm (nanometri). Qual è la frequenza della rotazione?
r = 410-2 nm = 410-11 m
distanza tra nucleo ed elettrone (1 nm = 10-9 m)
e = 1,60210-19 C
carica elementare
melettrone = 9,1110-31 kg
f=?
massa dell'elettrone
distanza tra elettrone e protone necessaria per tenere sollevato l'elettrone
la forza centripeta che mantiene in rotazione a distanza costante, con traiettoria circolare, l'elettrone, è
dovuta alla forza di interazione elettrica; poiché la forza centripeta è:
In cui m è la massa dell'elettrone, e è legato alla frequenza della relazione = 2f da cui f = /2
Uguagliando il modulo della forza centrifuga con quello della forza elettrica si ha, quindi:
Ricavandone il valore di :
Sostituendo i valori numerici, si calcola e, di conseguenza, f
Risolvere il seguente problema:
Due sferette metalliche di massa 3,20 g sono appese, mediante due fili isolanti lunghi 20 cm, a uno stesso
punto. Tenendo separate le sferette si pone la carica Q su una delle due che poi si lascia libera. La sferetta
tocca l'altra e, a equilibrio raggiunto, i fili formano un angolo di 12°. Calcola il valore della carica Q.
Nel problema proposto, ancora una volta, vi è l'interazione tra forza
elettrica e forza peso. Ad equilibrio raggiunto, le forze in gioco
daranno risultante nulla; ovvero, la risultante della somma
vettoriale della forza peso e di quella elettrica agirà lungo la
direzione del filo, contrastata dalla tensione del filo stesso.
Il rapporto tra Fel e P è la tangente dell'angolo α/2.
Fate attenzione al valore della carica Q, che si distribuisce su
entrambe le sfere!!!!!
Problema n°4
Tre cariche elettriche sono poste su tre dei quattro vertici di un quadrato di lato L=20 cm,
come in figura. Le cariche sono q1=1 nC, q2=4 nC e q3=2 nC.
Si calcoli: a) l'energia elettrostatica U del sistema; b) le componenti cartesiane del vettore campo elettrico
E nel vertice libero.
[Costante dielettrica del vuoto: ε0 =8.85·10-12 C2/(N m2)]
q1 = 1 nC = 110-9 C
carica 1
q2 = 4 nC = 410-9 C
carica 2
q3 = 2 nC = 210-9 C
carica 3
per il calcolo dell'energia potenziale del sistema, bisogna ragionare nel seguente modo:
si determina il potenziale assoluto della carica q3 dovuto al campo elettrico generato dalle cariche q1 e q2
ovvero il lavoro necessario per spostare la carica q3 dalla posizione in cui si trova, fino all'infinito. Quindi:
Allontanata la carica q3, restando solo le cariche 1 e 2, si determina il potenziale assoluto della carica q2 per
effetto del campo generato dalla carica q1 (ma si può anche pensare al potenziale di q1 dovuto a q2 poiché
non muta la sostanza del discorso) ossia il lavoro necessario per spostare la carica q2 (o q1) dalla posizione in
cui si trova, fino all'infinito. Quindi:
In definitiva, l'energia potenziale del sistema è quella corrispondente al lavoro necessario per allontanare
tutte le cariche fino all'infinito, ad eccezione di una delle cariche del sistema. Quindi:
-7
Effettuate i calcoli e verificate che il risultato è U = 6,0310 J
(potete usare anche k = 8,99109 al posto di 1/(40)
Relativamente al campo elettrico nel vertice libero, del quale si richiedono le componenti cartesiane x e y, si
analizzano i campi generati in quel punto da ognuna delle tre cariche considerate separatamente
(sovrapposizione degli effetti ); si può notare come il campo generato dalla carica q1 ha la sola componente
x; mentre il campo generato da q3 ha la sola componente y; la carica q2 genera un campo diretto lungo la
diagonale del quadrato e, quindi, formante un angolo di 45° con entrambi gli assi. Ricordando che il campo
elettrico si determina con la relazione:
Procedete col calcolo del campo elettrico totale nel vertice libero.
PROBLEMI SVOLTI TRATTI DAL LIBRO DI TESTO
Esercizio n°2 di pagina 72
q1 = -e = -1.610-19 C
carica dell'elettrone
q2 = e = 1.610-19 C
carica del protone
V = 3.0 V
differenza di potenziale della batteria
L'AYB = ?
lavoro richiesto per spostare l'elettrone dal polo positivo a quello negativo
L''AYB = ?
lavoro richiesto per spostare il protone dal polo positivo a quello negativo
In entrambi i casi il lavoro è quello per spostare la carica dal polo positivo a quello negativo, che si determina
ricordando che:
In cui il punto A (per entrambi i casi) è il punto iniziale e il punto B è il punto finale, in questo caso il polo
positivo (iniziale) e il polo negativo (finale). Poiché il potenziale è più elevato nel polo positivo rispetto a
quello negativo, e, quindi, VB è più basso di VA, la differenza (VB - VA) è negativa; quindi
= -3.0 V e il lavoro
sarà:
Nel secondo caso, l'unica differenza è che la carica (il protone) è positiva, mentre la differenza (VB - VA) è
sempre negativa, quindi
= - 3.0 V e il lavoro sarà:
N.B. Le considerazioni sui segni sono le stesse del precedente problema.
Esercizio n°8 di pagina 73
q = e = 1.610-19 C
carica del protone
d = 4 cm
spostamento imposto al protone
E = 250 N/C
L'AYB = ?
intensità del campo elettrico
lavoro da compiere per spostare il protone di 4 cm lungo la direzione del campo
Il lavoro si determina con la relazione già nota:
Tra la d.d.p. (differenza di potenziale) e il campo elettrico vi è la seguente relazione:
Quindi la precedente relazione diventa:
il lavoro sarà:
Esercizio n°9 di pagina 73
q = -e = -1.610-19 C
Ey = 2800 V/m = 2800 N/C
vf = 7.2106 m/s
t = ?
y=?
carica dell'elettrone
intensità del campo elettrico lungo l'asse y
velocità raggiunta dall'elettrone
tempo impiegato per raggiungere la velocità vf
spazio percorso nel tempo t sull'asse y
per rispondere al primo quesito si deve ragionare partendo dalla grandezza incognita: il tempo "t".
Poiché si conosce la velocità finale dell'elettrone e, considerando che quella iniziale e 0 (all'inizio l'elettrone è
fermo, infatti il testo del problema ci dice che "… è liberato dall'origine degli assi"), si potrà agire per via
cinematica mettendo in relazione "velocità", "tempo" e "accelerazione"; infatti:
Nella formula precedente non è nota l'accelerazione, che verrà determinata dalla relazione tra forza elettrica
(che è la responsabile del movimento dell'elettrone) e massa dell'elettrone, applicando il 2° principio della
dinamica:
Il segno meno indica che l'accelerazione è diretta nel verso opposto a quello del campo elettrico ovvero nel
verso negativo dell'asse y. In effetti anche la velocità finale sarà nel verso negativo dell'esse y, in quanto la
forza elettrica dovuta al campo elettrico, agisce su una carica negativa e, quindi, avrà verso opposto a quello
del campo. Quindi, riprendendo al prima relazione si ha:
il secondo quesito è immediatamente risolto, facendo riferimento all'equazione oraria di un moto accelerato lungo
l'asse y (con velocità iniziale nulla e y0 nulla):
L'elettrone si troverà a 5.24 cm di distanza dall'origine dell'asse y lungo il semi-asse negativo.
Esercizio n°60 di pagina 77 (problema non assegnato)
q = +30 nC
carica distribuita sulla pallina
d = 4 cm
distanza tra le armature parallele
V = 6000 V
differenza di potenziale tra le armature
m=?
quesito a) massa incognita della pallina
T=?
quesito b) tensione nel filo quando viene invertita la polarità delle armature
Poiché la tensione nel filo è zero, vuol dire che le forze applicate alla pallina hanno risultante nulla; le forze
agenti sono la forza Peso e la forza elettrica; quest'ultima, al fine di far equilibrio alla forza peso, non può che
agire verso l'alto (in verso opposto al peso); per cui anche il campo elettrico agirà verso l'alto essendo la
carica positiva.
Quindi si può risolvere il problema dall'equilibrio tra forza elettrica e forza peso.
Il campo elettrico lo determiniamo in funzione di
dalla relazione
Da cui:
Affinché la risultante sia nulla, le forze avranno verso opposto e uguale modulo; per cui dalla relazione di
uguaglianza dei moduli otterremo la massa della pallina:
Quando si inverte la polarità delle cariche poste sulle armature, si invertirà anche il verso del campo elettrico
che, adesso, punterà verso il basso concordemente con la forza peso; quindi la pallina sarà attratta verso il
basso sia per effetto della forza peso che per effetto della forza elettrica. La forza elettrica sarà di modulo
uguale a quello del caso precedente, che, a sua volta è uguale al modulo della forza peso; per cui il filo sarà
sottoposto a una forza complessivamente uguale al doppio della forza peso.
