origami e matematica 2015

Classe I A AFM
Prof.ssa Gilda Rosa Manna
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Il “laboratorio di origami” mira a far capire agli studenti come
la matematica e la geometria siano parte integrante del mondo
in cui viviamo. Piegare la carta è un'arte, un divertimento, ma
anche un modo per esplorare la geometria; angoli, simmetrie,
figure geometriche
Scopo fondamentale ed avvicinarli alla geometria e alla
matematica attraverso un apprendimento che li coinvolga e li
abitua alla sequenzialità, alla concentrazione e alla riflessione.
La geometria della piegatura della carta consente infatti di
evidenziare - in modo diretto e intuitivo - gli oggetti, i concetti
e le proprietà della geometria euclidea.
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• Origami, è l’arte di piegare la carta, senza l’uso
di colla, forbici o altro materiale
deriva dal giapponese
ORU
kami
piegare
carta
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Matematica dell'origami: la matematica che descrive
le leggi soggiacenti all'origami
Origami computazionale: l'insieme degli algoritmi e la
teoria rivolti alla soluzione di problemi origami,
attraverso la matematica
Tecnologia origami: l'applicazione della piegatura per
risolvere problemi che sorgono in ingegneria, nel
disegno industriale e nella tecnologia in generale
(airbag, lenti di telescopi, bicchieri, piegatura delle
carte geografiche, ...)
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L'origami utilizzato in situazioni strutturate può favorire queste abilità matematicogeometriche:
il riconoscimento di figure geometriche e delle loro caratteristiche (le pieghe possono
chiarire i concetti di lato, angolo, diagonale, mediana, ecc... che servono appunto per
realizzare figure geometriche sempre diverse)
il riconoscimento di angoli (tramite la piegatura della carta emergono angoli acuti, retti,
ottusi, bisettrici, ecc...)
la creazione di solidi geometrici
la comprensione di altri concetti geometrici, quali la simmetria, la congruenza, le linee
parallele e perpendicolari, i perimetri e le aree, le diagonali, le bisettrici, ecc...
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lo sviluppo del concetto di frazione (dividere il foglio in parti uguali, il calcolo
di percentuali, …)
lo sviluppo del concetto di misura (imparare a misurare angoli, per esempio
dividendo un angolo retto a metà e scoprendo le misure dei due angoli uguali
formatisi, oppure il calcolo e il confronto di area e perimetro di alcune figure,
ecc...)
l'approccio alle proporzioni
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Questo laboratorio ha
consentito ai ragazzi in difficoltà
di relazione di sentirsi valorizzati
e apprezzati dai compagni e ciò
ha stimolato la fiducia in se
stessi e di conseguenza una
maggiore apertura verso gli altri.
In tutti ha promosso
l’autonomia, la capacità di
autoregolarsi, la concentrazione
e la determinazione a
raggiungere un obiettivo
prefissato. L’aspetto ludico
dell’attività ha veicolato dei
contenuti didattici significativi.
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Con un piccolo quadrato di carta colorata verde realizziamo la
cavalletta origami.
Piegare il foglietto lungo una delle diagonali. In questo modo si ottiene
un triangolo rettangolo isoscele di cui la diagonale appena piegata ne è
l’ipotenusa.
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Portare i due vertici degli angoli acuti sul vertice dell’angolo retto e piegare
“chiudendo” il pezzo. Le due pieghe sono assi dei due cateti del triangolo
rettangolo isoscele. Quello che si ottiene dopo la piegatura è un altro
quadrato lungo la cui diagonale giacciono i due lembi di carta appena
piegati
Piegare a metà lungo la diagonale. Si torna ad ottenere un triangolo
rettangolo isoscele: si tratta in realtà di due triangoli sovrapposti che
hanno in comune l’ipotenusa ed il pezzo è, per così dire, “doppio” nella
parte dell’angolo retto.
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Piegare ognuna delle due metà del pezzo in modo che l’angolo retto sporga
leggermente oltre l’ipotenusa, per simulare le ali della cavalletta (in questa fase i
ragazzi scambiano la cavalletta per una barchetta, perché effettivamente la
somiglianza è piuttosto forte, se non fosse per il colore della carta).
A questo punto non resta che disegnare gli occhi alla cavalletta
avendo cura di non confondere la testa con il posteriore
dell’animale.
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O1 : Dati due punti P e Q è possibile piegare la retta passante
per tali punti.
O2 : Dati due punti P e Q è possibile piegare uno sull’altro (asse
del segmento PQ)
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O3 : Dati un punto P e una retta r è possibile piegare la perpendicolare alla
retta passante per il punto.
O4 : Date due rette è possibile piegarne una sull’altra (bisettrice
dell’angolo).
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O5: Dati due punti P,Q e una retta r è possibile piegare una linea
per P che porti il punto Q su r.
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Piegare a metà il foglio A4 (rettangolo) lungo la linea tratteggiata e
poi riaprire
Con una piegatura portare C sulla piegatura appena fatta e chiamare
E il punto trovato
Piegare lungo CD portando il foglio sul retro
Riaprire il foglio epiegare lungo la linea che congiunge E con C
ECD è un triangolo equilatero
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Partire dal rettangolo
Portare con una piegatura C sul lato AD
Portare con una piegatura C sul lato CD
Riaprire il foglio
FECD è un quadrato
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piegare circa a metà un foglio
senza riaprirlo, piegatelo di nuovo sovrapponendo la prima
piega su se stessa, infine fate una piega obliqua
Quando il foglio è ancora piegato, molti segmenti e angoli che si sono formati
sono sovrapposti, dunque sono uguali tra loro. Ad esempio, nel punto di incontro
delle prime due pieghe, l’angolo giro risulta suddiviso in quattro angoli uguali,
cioè in quattro angoli retti.
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Riaprendo completamente il foglio, si vede un quadrilatero che ha tutti i lati uguali,
le diagonali perpendicolari che si tagliano scambievolmente a metà. Con tre pieghe
abbiamo reso evidente la geometria del rombo: questa volta non abbiamo ottenuto
un oggetto utile o esteticamente gradevole, ma abbiamo deliberatamente piegato
una figura geometrica. Possiamo anche chiederci quali, tra i tanti teoremi sui rombi,
abbiamo dimostrato. Eccone un paio: - un quadrilatero in cui le diagonali sono
perpendicolari e si tagliano scambievolmente a metà è un rombo (è un
parallelogramma perché ci sono coppie di angoli alterni interni uguali, un rombo
perché i lati sono uguali). - le diagonali di un rombo sono anche bisettrici dei suoi
angoli. Invece, non abbiamo affatto dimostrato che in un rombo le diagonali sono
perpendicolari e si tagliano scambievolmente a metà!
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La somma degli angoli interni di un triangolo è 180°
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La suddivisione del foglio
Semplice la suddivisione in potenze di 2
Dividendo il foglio in 8 parti uguali e in 16, rappresentiamo le altre
potenze di 2.
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Una terna pitagorica!
3:4:5
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Definizione analitica di origami
Un origami può essere identificato dalla funzione che lega i punti del foglio
non piegato ai punti corrispondenti del modello piegato.
In sostanza, si tratta di una funzione che parte da punti appartenenti a una
regione del piano (tipicamente un rettangolo) e arriva in punti dello spazio
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Isometria
Potremmo dire che la funzione che rappresenta l'origami deve
essere, almeno in ogni punto isolatamente, se non nella sua
totalità, quella che in matematica viene chiamata isometria.
Un'isometria può essere "lineare", cioè un movimento nello spazio
che si ottiene combinando insieme rotazioni, traslazioni e
simmetrie oppure "non lineare", ossia un movimento simile a
quello che si effettua quando, ad esempio, si curva un foglio per
formare un cono.
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Fine
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