Classe I A AFM Prof.ssa Gilda Rosa Manna 1 Il “laboratorio di origami” mira a far capire agli studenti come la matematica e la geometria siano parte integrante del mondo in cui viviamo. Piegare la carta è un'arte, un divertimento, ma anche un modo per esplorare la geometria; angoli, simmetrie, figure geometriche Scopo fondamentale ed avvicinarli alla geometria e alla matematica attraverso un apprendimento che li coinvolga e li abitua alla sequenzialità, alla concentrazione e alla riflessione. La geometria della piegatura della carta consente infatti di evidenziare - in modo diretto e intuitivo - gli oggetti, i concetti e le proprietà della geometria euclidea. 2 • Origami, è l’arte di piegare la carta, senza l’uso di colla, forbici o altro materiale deriva dal giapponese ORU kami piegare carta 3 Matematica dell'origami: la matematica che descrive le leggi soggiacenti all'origami Origami computazionale: l'insieme degli algoritmi e la teoria rivolti alla soluzione di problemi origami, attraverso la matematica Tecnologia origami: l'applicazione della piegatura per risolvere problemi che sorgono in ingegneria, nel disegno industriale e nella tecnologia in generale (airbag, lenti di telescopi, bicchieri, piegatura delle carte geografiche, ...) 4 L'origami utilizzato in situazioni strutturate può favorire queste abilità matematicogeometriche: il riconoscimento di figure geometriche e delle loro caratteristiche (le pieghe possono chiarire i concetti di lato, angolo, diagonale, mediana, ecc... che servono appunto per realizzare figure geometriche sempre diverse) il riconoscimento di angoli (tramite la piegatura della carta emergono angoli acuti, retti, ottusi, bisettrici, ecc...) la creazione di solidi geometrici la comprensione di altri concetti geometrici, quali la simmetria, la congruenza, le linee parallele e perpendicolari, i perimetri e le aree, le diagonali, le bisettrici, ecc... 5 lo sviluppo del concetto di frazione (dividere il foglio in parti uguali, il calcolo di percentuali, …) lo sviluppo del concetto di misura (imparare a misurare angoli, per esempio dividendo un angolo retto a metà e scoprendo le misure dei due angoli uguali formatisi, oppure il calcolo e il confronto di area e perimetro di alcune figure, ecc...) l'approccio alle proporzioni 6 7 Questo laboratorio ha consentito ai ragazzi in difficoltà di relazione di sentirsi valorizzati e apprezzati dai compagni e ciò ha stimolato la fiducia in se stessi e di conseguenza una maggiore apertura verso gli altri. In tutti ha promosso l’autonomia, la capacità di autoregolarsi, la concentrazione e la determinazione a raggiungere un obiettivo prefissato. L’aspetto ludico dell’attività ha veicolato dei contenuti didattici significativi. 8 9 10 11 12 13 Con un piccolo quadrato di carta colorata verde realizziamo la cavalletta origami. Piegare il foglietto lungo una delle diagonali. In questo modo si ottiene un triangolo rettangolo isoscele di cui la diagonale appena piegata ne è l’ipotenusa. 14 Portare i due vertici degli angoli acuti sul vertice dell’angolo retto e piegare “chiudendo” il pezzo. Le due pieghe sono assi dei due cateti del triangolo rettangolo isoscele. Quello che si ottiene dopo la piegatura è un altro quadrato lungo la cui diagonale giacciono i due lembi di carta appena piegati Piegare a metà lungo la diagonale. Si torna ad ottenere un triangolo rettangolo isoscele: si tratta in realtà di due triangoli sovrapposti che hanno in comune l’ipotenusa ed il pezzo è, per così dire, “doppio” nella parte dell’angolo retto. 15 Piegare ognuna delle due metà del pezzo in modo che l’angolo retto sporga leggermente oltre l’ipotenusa, per simulare le ali della cavalletta (in questa fase i ragazzi scambiano la cavalletta per una barchetta, perché effettivamente la somiglianza è piuttosto forte, se non fosse per il colore della carta). A questo punto non resta che disegnare gli occhi alla cavalletta avendo cura di non confondere la testa con il posteriore dell’animale. 16 O1 : Dati due punti P e Q è possibile piegare la retta passante per tali punti. O2 : Dati due punti P e Q è possibile piegare uno sull’altro (asse del segmento PQ) 17 O3 : Dati un punto P e una retta r è possibile piegare la perpendicolare alla retta passante per il punto. O4 : Date due rette è possibile piegarne una sull’altra (bisettrice dell’angolo). 18 O5: Dati due punti P,Q e una retta r è possibile piegare una linea per P che porti il punto Q su r. 19 Piegare a metà il foglio A4 (rettangolo) lungo la linea tratteggiata e poi riaprire Con una piegatura portare C sulla piegatura appena fatta e chiamare E il punto trovato Piegare lungo CD portando il foglio sul retro Riaprire il foglio epiegare lungo la linea che congiunge E con C ECD è un triangolo equilatero 20 Partire dal rettangolo Portare con una piegatura C sul lato AD Portare con una piegatura C sul lato CD Riaprire il foglio FECD è un quadrato 21 22 piegare circa a metà un foglio senza riaprirlo, piegatelo di nuovo sovrapponendo la prima piega su se stessa, infine fate una piega obliqua Quando il foglio è ancora piegato, molti segmenti e angoli che si sono formati sono sovrapposti, dunque sono uguali tra loro. Ad esempio, nel punto di incontro delle prime due pieghe, l’angolo giro risulta suddiviso in quattro angoli uguali, cioè in quattro angoli retti. 23 Riaprendo completamente il foglio, si vede un quadrilatero che ha tutti i lati uguali, le diagonali perpendicolari che si tagliano scambievolmente a metà. Con tre pieghe abbiamo reso evidente la geometria del rombo: questa volta non abbiamo ottenuto un oggetto utile o esteticamente gradevole, ma abbiamo deliberatamente piegato una figura geometrica. Possiamo anche chiederci quali, tra i tanti teoremi sui rombi, abbiamo dimostrato. Eccone un paio: - un quadrilatero in cui le diagonali sono perpendicolari e si tagliano scambievolmente a metà è un rombo (è un parallelogramma perché ci sono coppie di angoli alterni interni uguali, un rombo perché i lati sono uguali). - le diagonali di un rombo sono anche bisettrici dei suoi angoli. Invece, non abbiamo affatto dimostrato che in un rombo le diagonali sono perpendicolari e si tagliano scambievolmente a metà! 24 La somma degli angoli interni di un triangolo è 180° 25 26 27 28 29 La suddivisione del foglio Semplice la suddivisione in potenze di 2 Dividendo il foglio in 8 parti uguali e in 16, rappresentiamo le altre potenze di 2. 30 Una terna pitagorica! 3:4:5 31 Definizione analitica di origami Un origami può essere identificato dalla funzione che lega i punti del foglio non piegato ai punti corrispondenti del modello piegato. In sostanza, si tratta di una funzione che parte da punti appartenenti a una regione del piano (tipicamente un rettangolo) e arriva in punti dello spazio 32 Isometria Potremmo dire che la funzione che rappresenta l'origami deve essere, almeno in ogni punto isolatamente, se non nella sua totalità, quella che in matematica viene chiamata isometria. Un'isometria può essere "lineare", cioè un movimento nello spazio che si ottiene combinando insieme rotazioni, traslazioni e simmetrie oppure "non lineare", ossia un movimento simile a quello che si effettua quando, ad esempio, si curva un foglio per formare un cono. 33 Fine 34