Elementi di matematica finanziaria

Elementi di matematica finanziaria
1. Percentuale
Si dice percentuale di una somma di denaro o di un’altra grandezza, una parte di
questa, calcolata in base ad un tanto per cento, che si chiama tasso percentuale.
parlare, ad esempio, di un tasso del 3%, significa di ogni 100 unità, prende in
considerazione 3.
Il simbolo % significa: per cento.
In modo analogo si definisce il per mille col simbolo 0⁄00 .
Tasso percentuale, percentuale e somma si indicano di solito con:
 t: tasso percentuale;
 P: percentuale;
 S: somma di cui si deve calcolare la percentuale.
I problemi sulle percentuali sono un caso particolare della regola del tre semplice.
Infatti se, data la somma S, si vuole calcolare la sua percentuale in base a un certo
tasso t, si costruisce il seguente specchietto:
numero
100
S
percentuale
t
P
Si ha, quindi la seguente proporzione:
100 : S = t : P
Da cui:
𝑷=𝑺×
𝒕
𝟏𝟎𝟎
Esempio
Calcolare la percentuale di 900.000 euro in base al tasso del 3%.
𝑃 = 900.000 ×
3
= 27.000 𝑒𝑢𝑟𝑜
100
La precedente formula si utilizza anche per ricavare la somma S, conoscendo la
percentuale P e il tasso t oppure per conoscere il tasso t conoscendo la somma S e
la percentuale P.
PROF. GIUSEPPE FRASSANITO
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Esempio 1
Su una somma si è fatto il guadagno di 30.000 euro in base ad un tasso del 6%.
Ricavare la somma.
𝑆=
𝑃 × 100 30.000 × 100
=
= 500.000 𝑒𝑢𝑟𝑜
𝑡
6
Esempio 2
S una 150.000 euro investiti si è avuto un guadagno di4.500 euro. Calcolare il tasso
percentuale di guadagno.
𝑡=
𝑃 × 100 4.500 × 100
=
= 3%
𝑆
150.000
Esempio 3
Una merce aveva il peso lordo di 5,5 q e il peso netto di 50,6 Mg. Trovare la tara
percentuale.
S = 5,5;
𝑡=
P = 5,5 – 5,06 = 0,44
𝑃 × 100 0,44 × 100
=
= 8%
𝑆
5,5
Esempio 4
Una merce costava 35 euro al kg. Il suo prezzo è stato aumentato del 40%. Quanti
kg di tale merce si possono acquistare con la stessa somma con cui prima si
acquistavano 280 kg?
La somma in oggetto è:
35 × 280 = 9.800 𝑒𝑢𝑟𝑜
Con l’aumento del 40%, attualmente la merce costa:
35 × 40
= 14 𝑒𝑢𝑟𝑜
100
Il costo per kg è di:
35 + 14 = 49 euro
Disponendo della somma di 9.800 euro si possono acquistare:
9.800
= 200 𝑘𝑔 𝑑𝑖 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑒
49
PROF. GIUSEPPE FRASSANITO
2
2. Regime finanziario dell’interesse semplice
Qualunque bene avuto in prestito comporta normalmente la corresponsione di un
compenso. In particolare l’uso di una somma di danaro, chiamato capitale, comporta
il pagamento di un compenso chiamato “interesse”. La somma del capitale e
dell’interesse si chiama montante.
L’interesse viene stabilito in base al compenso che si dà per ogni 100 euro prestate
per un anno. Si fissa cioè una percentuale che viene chiamata tasso o percentuale
annua o ragione e viene indicata con r.
Se indichiamo con C il capitale prestato, con t la durata del prestito e con r il tasso,
l’interesse I è dato dalla seguente formula generale:
𝐼=
𝐶×𝑟×𝑡
100
Di solito, per una questione di comodità, si preferisce, nelle formule, porre
𝑟
𝑖=
100
Per cui la formula dell’interesse diventa
𝐼 =𝐶×𝑖×𝑡
Il tempo t indica un tempo d’impiego generalizzato. Nel caso in cui il tempo è
espresso in anni, mesi o giorni le formule per il calcolo dell’interesse saranno
rispettivamente:
𝐼 =𝐶×𝑖×𝑛
𝑝𝑒𝑟 𝑖𝑙 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜 𝑖𝑛 𝑎𝑛𝑛𝑖
𝑚
12
𝑝𝑒𝑟 𝑖𝑙 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜 𝑖𝑛 𝑚𝑒𝑠𝑖
𝐼 =𝐶×𝑖×
𝐼 =𝐶×𝑖×
𝑔
360
𝑝𝑒𝑟 𝑖𝑙 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜 𝑖𝑛 𝑔𝑖𝑜𝑟𝑛𝑖
Esempio
Si presta la somma di 500.000 euro per due anni e mezzo, al tasso del 5%. Calcolare
l’interesse I.
𝐼 = 𝐶 × 𝑖 × 𝑡 = 500.000 × 0,05 × 2,5 = 62.500 𝑒𝑢𝑟𝑜
Se esprimiamo il tempo in mesi abbiamo:
PROF. GIUSEPPE FRASSANITO
3
𝐼 =𝐶×𝑖×
𝑚
30
= 500.000 × 0,05 ×
= 62.500 𝑒𝑢𝑟𝑜
12
12
Se lo esprimiamo in giorni si ha:
𝐼 =𝐶×𝑖×
𝑔
900
= 500.000 × 0,05 ×
= 62.500 𝑒𝑢𝑟𝑜
360
360
Il montante è l’insieme dell’interesse I e del capitale C, per cui
𝑀 =𝐶+𝐼
𝑀 =𝐶+𝐶×𝑖×𝑡
𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒊 × 𝒕)
Da quest’ultima formula si possono dedurre le corrispondenti formule per t
espresso in anni, mesi e giorni
𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒊 × 𝒏)
𝑴 = 𝑪 (𝟏 + 𝒊 ×
𝑴 = 𝑪 (𝟏 + 𝒊 ×
𝒑𝒆𝒓 𝒕 𝒆𝒔𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔𝒐 𝒊𝒏 𝒂𝒏𝒏𝒊
𝒎
)
𝟏𝟐
𝒑𝒆𝒓 𝒕 𝒆𝒔𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔𝒐 𝒊𝒏 𝒎𝒆𝒔𝒊
𝒈
)
𝟑𝟔𝟎
𝒑𝒆𝒓 𝒕 𝒆𝒔𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔𝒐 𝒊𝒏 𝒈𝒊𝒐𝒓𝒏𝒊
3. Sconto
Di solito se si paga una somma prima della scadenza, si usufruisce di una riduzione
sulla somma da pagare, riduzione che si chiama sconto. Il tasso di sconto
percentuale corrisponde alla somma non pagata per ogni 100 euro pagato un anno
prima della scadenza.
Da non confondere questo sconto con quello che viene applicato all’atto
dell’acquisto di un bene, ad esempio durante il periodo dei saldi, sconto
quest’ultimo che non dipende dal tempo ma solo dall’importo da pagare.
Lo sconto si divide a sua volta in:
a) Conto commerciale (Sc)
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b) Sconto razionale (Sr)
Sconto commerciale
Se M è il valore nominale del credito o debito disponibile dopo un tempo t, se d
è il tasso di sconto, lo Sconto Commerciale è proporzionale al valore nominale M
e al tempo t (detto tempo di anticipo).
t
0
C
M
Vale a dire:
𝑆𝑐 = 𝑀 ∙ 𝑑 ∙ 𝑡
Mentre la Somma Scontata o Valore Attuale C sarà:
𝐶 = 𝑀 − 𝑆𝑐 → 𝐶 = 𝑀 − 𝑀 ∙ 𝑑 ∙ 𝑡 → 𝑪 = 𝑴(𝟏 − 𝒅 ∙ 𝒕)
Affinché lo sconto non risulti superiore al valore nominale deve essere
1 - d∙t > 0 cioè t < 1/d.
Sconto razionale
Sia C è il valore nominale del credito o debito disponibile dopo un tempo t,
V(valore attuale) la somma pagata in anticipo e i il tasso di sconto.
t
0
V
C
Il ragionamento di base del regime di sconto razionale è che C rappresenta il
montante di V, in capitalizzazione semplice e dunque la formula di base è:
Ricavando C si ha
𝑺𝒓 = 𝑪 − 𝑽 = 𝑽 ∙ 𝒊 ∙ 𝒕
𝑪 = 𝑽 ∙ (𝟏 + 𝒊 ∙ 𝒕)
da cui
𝑽=
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𝑪
𝟏+𝒊∙𝒕
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Esempio 1
Una debito di 300.000 euro è scontata 5 mesi prima della scadenza al tasso
annuo del 9%. Calcolare lo sconto applicato e la somma scontata.
𝑆𝑐 = 𝑀 ∙ 𝑑 ∙ 𝑡 = 300.00 ∙ 0,09 ∙
5
= 11.250 𝑒𝑢𝑟𝑜
12
𝐶 = 𝑀 − 𝑆𝑐 → 𝐶 = 300.000 − 11.250 = 288.750 𝑒𝑢𝑟𝑜
Esempio 2
Supponiamo di aver contratto un debito di 27.000 €, da restituire dopo due anni,
al tasso di interesse semplice del 6,75%. Tre mesi prima della scadenza
disponiamo dell’importo dovuto e proponiamo al nostro creditore il saldo, purché
ci conceda uno sconto al 6% annuo. Quanto pagheremo?
In questo caso, calcoliamo innanzi tutto l’importo da pagare a scadenza, cioè il
montante di 27000 € al 6,75% per due anni:
𝑪 = 𝟐𝟕. 𝟎𝟎𝟎 × (𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟔𝟕𝟓 × 𝟐) = 𝟑𝟎. 𝟔𝟒𝟓 €
Rappresentando sull’asse dei tempi la situazione finanziaria, abbiamo:
La somma scontata V da pagare 3 mesi prima della scadenza sarà:
𝑽=
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𝑪
𝟑𝟎. 𝟔𝟒𝟓
=
= 𝟑𝟎. 𝟏𝟗𝟐, 𝟏𝟐 €
𝟏 + 𝒊 ∙ 𝒕 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟔 ∙ 𝟑
𝟏𝟐
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4. Regime finanziario dell’interesse composto
Per i prestiti di durata superiore all’anno, non viene quasi mai praticato il regime
dell’interesse semplice bensì un’altra regola, detta interesse composto. Nel
regime finanziario dell’interesse composto, gli interessi maturati alla fine di ogni
periodo si aggiungono al capitale e diventano fruttiferi per i periodi successivi.
La legge di capitalizzazione composta per il capitale C impiegato per n anni (n e
un numero intero) al tasso annuo i è la seguente:
𝑴 = 𝑪(𝟏 + 𝒊)𝒏
Nel caso di tempi non interi, cioè in caso di durate superiori all’anno ma diverse
da un numero intero di anni, si possono seguire due procedimenti: la convenzione
lineare oppure la convenzione esponenziale. Sia t = n + f dove n e un numero intero
di anni ed f la parte frazionaria, con 0 ≤ f < 1.
Il calcolo del montante M con la convenzione lineare è:
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 × (1 + 𝑖 × 𝑓)
Invece, il calcolo del montante M con la convenzione
esponenziale è
semplicemente:
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑡
Esempio
Calcolare il montante di 80.000 euro impiegato per 6 anni e 3 mesi al tasso annuo
del 3%.
Con la convenzione esponenziale si ha:
3
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑡 = 80.000 ∙ (1 + 0,03)6+12 = 96232,7 𝑒𝑢𝑟𝑜
Con la convenzione lineare si ricava:
𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 × (1 + 𝑖 × 𝑓) = 80.000 ∙ (1 + 0,03)6 ∙ (1 + 0,03 ∙
3
) = 96.240,6 𝑒𝑢𝑟𝑜
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Bibliografia
A. Gambotto Manzone: Matematica per ragionieri programmatori - Tramontana
C. Bettella A. Marri: Corso di matematica vol 1- Paccagnella editore S.p.a. - Bologna
PROF. GIUSEPPE FRASSANITO
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