ISTITUTO COMPRENSIVO N.7 - VIA VIVALDI - IMOLA
Via Vivaldi, 76 - 40026 Imola (BOLOGNA)
Centro Territoriale Permanente: Istruzione Degli Adulti - IDA
Appunti ridotti di Geometria
Scuola Secondaria di I Grado - Ex Licenza Media
Indice
1 Introduzione
1.1 Enti Geometrici Fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Definizioni Importanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Posizione reciproca di due rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
3
2 Angoli
2.1 Misurare un angolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Classificazione degli Angoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
3 Poligoni
3.1 Classificazione dei Poligoni . . . . . . .
3.2 Triangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Classificazione in base ai lati . .
3.2.2 Classificazione in base agli angoli
3.3 Rettangoli e Quadrati . . . . . . . . . .
3.3.1 Rettangolo . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Rettangolo: perimetro e area . .
3.3.3 Quadrato . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Quadrato: perimetro e area . . .
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7
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9
9
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10
11
11
12
A Equivalenze
12
A.1 Misure Lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
A.2 Misure di Superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Bibliografia
12
1
1
1.1
Introduzione
Enti Geometrici Fondamentali
Punto Matematico
Non ha dimensione e occupa una posizione.
Si indica con le lettere maiuscole dell’alfabeto latino: A, B, C, D, . . .
Retta
Ha una dimensione: la lunghezza.
Si indica con le lettere minuscole dell’alfabeto latino: a, b, c, d, . . .
Contiene infiniti punti.
Piano
Ha due dimensioni: la lunghezza e larghezza.
Si indica con le lettere minuscole dell’alfabeto greco: α (alfa), β (beta), . . .
Contiene infiniti punti e infinite rette.
1.2
Definizioni Importanti
Definizione (Semiretta).
Ognuna delle parti in cui una retta rimane divisa da un suo punto.
Definizione (Segmento).
Parte di retta limitata da due suoi punti detti estremi del segmento.
2
Definizione (Segmenti consecutivi).
Due segmenti si dicono consecutivi se hanno un estremo in comune.
(Nella figura l’estremo in comune è il punto B)
Definizione (Segmenti adiacenti).
Due segmenti si dicono adiacenti se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta.
1.3
Posizione reciproca di due rette
Definizione (RETTE INCIDENTI).
Due rette r e s si dicono incidenti quando hanno un punto in comune.
Due rette r e s incidenti si dicono perpendicolari se dividono il piano in quattro parti uguali fra loro.
Gli angoli che si formano sono di 90◦ .
Definizione (RETTE PARALLELE).
Due rette r e s si dicono parallele quando non hanno nessun punto in comune e appartengono allo stesso
piano; e si scrive r k s.
3
2
Angoli
Definizione (Angolo).
Ognuna delle due parti di piano limitata da due semirette che hanno la stessa origine.
L’origine delle semirette si chiama vertice dell’angolo.
Le due semirette sono dette lati dell’angolo.
Definizione (Angolo Convesso e Angolo Concavo).
Si chiama angolo concavo la parte di piano che contiene i prolungamenti dei due lati; si chiama angolo
convesso la parte di piano che non contiene i prolungamenti dei due lati.
2.1
Misurare un angolo
La misura di un angolo si chiama ampiezza.
Per misurare l’ampiezza di un angolo è necessario scegliere un altro angolo come unità di misura e contare
quante volte è contenuto nell’angolo dato.
Come “angolo-unità di misura” si sceglie il grado che è la 360-esima parte dell’angolo giro.
Lo strumento che si usa per misurare l’ampiezza di un angolo si chiama GONIOMETRO (o rapportatore).
2.2
Classificazione degli Angoli
NULLO
misura 0◦
ACUTO
misura meno
di 90◦
RETTO
misura 90◦
4
OTTUSO
misura più di 90◦
e meno di 180◦
PIATTO
misura 180◦
CONCAVO
misura più di 180◦
e meno di 360◦
GIRO
misura 360◦
Definizione (Angoli consecutivi).
Due angoli si dicono consecutivi se hanno il vertice e un lato in comune.
Definizione (Angoli adiacenti).
Due angoli si dicono adiacenti se hanno il vertice e un lato in comune, quindi sono consecutivi, e se gli altri
due lati appartengono alla stessa retta.
La loro somma è sempre 180◦ .
5
Definizione (Angoli Supplementari).
Due angoli si dicono supplementari tra loro se la loro somma è un angolo piatto, cioè 180◦ .
⇓
3
Poligoni
Definizione (Figura geometrica).
Si chiama figura geometrica un “insieme” di punti.
Definizione (Poligono).
Un poligono è figura geomerica piana formata da segmenti consecutivi (non intrecciati) in cui il primo estremo
coincide con l’ultimo e dalla parte di piano da essi limitata.
Definizione (Perimetro di un poligono).
Il perimetro di un poligono è la somma dei suoi lati.
Il perimetro si indica con 2p.
Il perimetro della figura sopra è
2p = AB + BC + CD + DE + EA
Definizione (Area di un poligono).
L’Area di un poligono è la misura della sua superficie (“la parte che si può verniciare”).
Definizione (Diagonale).
Segmento che unisce due vertici opposti.
6
3.1
Classificazione dei Poligoni
TRIANGOLO
ha 3 lati, 3 vertici e 3 angoli
QUADRANGOLO
o QUADRILATERO
ha 4 lati, 4 vertici e 4 angoli
PENTAGONO
ha 5 lati, 5 vertici e 5 angoli
ESAGONO
ha 6 lati, 6 vertici e 6 angoli
ETTAGONO
ha 7 lati, 7 vertici e 7 angoli
7
OTTAGONO
ha 8 lati, 8 vertici e 8 angoli
DECADONO
ha 10 lati, 10 vertici e 10 angoli
DODECAGONO
ha 12 lati, 12 vertici e 12 angoli
Definizione (Poligono Regolare).
Un poligono che ha tutti i lati uguali si chiama equilatero.
Un poligono che gli angoli uguali si chiama equiangolo.
Un poligono che è equilatero e equiangolo si chiama regolare.
ESEMPIO DI ESAGONO REGOLARE
8
3.2
3.2.1
Triangoli
Classificazione in base ai lati
TRIANGOLO EQUILATERO
ha tutti i lati uguali
ha tre angoli uguali a 60◦
TRIANGOLO ISOSCELE
ha due lati uguali
ha due angoli uguali
TRIANGOLO SCALENO
ha tutti i lati diversi
ha tre angoli diversi
3.2.2
Classificazione in base agli angoli
TRIANGOLO ACUTANGOLO
ha tre angoli acuti
TRIANGOLO OTTUSANGOLO
ha un angolo ottuso e due angoli acuti
TRIANGOLO RETTANGOLO
ha un angolo retto e due angoli acuti
9
Osservazione. Un triangolo può essere classificato sia in base ai lati che in base agli angoli:
TRIANGOLO RETTANGOLO ISOSCELE
3.3
3.3.1
Rettangoli e Quadrati
Rettangolo
Il rettangolo ha quattro angoli retti  = B̂ = Ĉ = D̂ = 90◦ .
Base e altezza di chiamano anche dimensioni del rettangolo.
Caratteristiche:
• i lati opposti sono uguali e paralleli:
AB = CD
AB k CD
e
e
AD = BC
AD k BC
• gli angoli adiacenti (vicini) a uno stesso lato sono supplementari (la loro somma è 180◦ )
 + B̂=180◦
B̂ + Ĉ=180◦
Ĉ + D̂=180◦
D̂ + Â=180◦
• le diagonali sono uguali AC = BD e vengono tagliate a metà dal loro punto di intersezione AO = OC =
DO = OB;
• ciascuna diagonale divide il rettangolo in due triangoli uguali.
10
3.3.2
Rettangolo: perimetro e area
PERIMETRO 2p
2p = b + h + b + h
= 2×b+2×h
= 2 × (b + h)
b = 2p : 2 − h
h = 2p : 2 − b
3.3.3
AREA A
DIAGONALE d
A = b×h
A
h
A
h=
b
b=
d=
p
b2 + h 2
Quadrato
Il quadrato ha quattro lati uguali AB = BC = AC = DA e quattro angoli retti  = B̂ = Ĉ = D̂ = 90◦ .
Caratteristiche:
• i lati opposti sono paralleli:
AB k CD
e
AD k BC
• gli angoli adiacenti (vicini) a uno stesso lato sono supplementari (la loro somma è 180◦ )
 + B̂=180◦
B̂ + Ĉ=180◦
Ĉ + D̂=180◦
D̂ + Â=180◦
• le diagonali sono uguali AC = BD e vengono tagliate a metà dal loro punto di intersezione AO = OC =
DO = OB;
• le diagonali sono perpendicolari AC ⊥ BD (formano 4 angoli di 90◦ );
• ciascuna diagonale divide il quadrato in triangoli uguali;
• le diagonali dividono gli angoli del quadrato in angoli uguali a 45◦ ;
• il quadrato è un poligono regolare.
11
3.3.4
Quadrato: perimetro e area
PERIMETRO 2p
AREA A
DIAGONALE d
A = l × l = l2
2p = l + l + l + l
= 4×l
l = 2p : 4
A
p
d = pl2 + l2
= 2 × l2
√
d = A×2
d×d
d2
=
2
2
√
l= A
A=
Equivalenze
A.1
Misure Lineari
×10
km
y
: 10
×10
hm
x
A.2
: 10
×10
dam
x
y
: 10
x
×10
m
y
: 10
×10
dm
x
y
: 10
×10
cm
x
y
: 10
mm
x
SIMBOLO
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
Misure di Superficie
2
y
: 100
x
2
hm
y
: 100
x
2
dam
y
: 100
x
m
2
y
: 100
x
×100
×100
×100
×100
×100
×100
km
y
NOME
Chilometro
Ettometro
Decametro
Metro
Decimetro
Centimetro
Millimetro
2
dm
y
: 100
x
cm
2
y
: 100
mm2
x
Chilometro
Ettometro
Decametro
Metro
Decimetro
Centimetro
Millimetro
NOME
quadrato
quadrato
quadrato
quadrato
quadrato
quadrato
quadrato
SIMBOLO
km2
hm2
dam2
m2 (oppure mq)
dm2
cm2
mm2
Riferimenti bibliografici
[Agnesi, Baldi e Locatelli, 2007] L. Agnesi, M. Baldi e A. Locatelli ABC della GEOMETRIA, volume A,
Ghisetti e Corvi Editori.
[Flaccavento, 2000] G. Flaccavento Romano, Invito alla matematica Geometria A, Fabbri Editore.
[Genovese, Manzone Bertone e Rinaldi, 2005] T. Genovese, L. Manzone Bertone, G. Rinaldi GEOMETRIA,
volume a, Lattes Editore.
[Zibetti, L. Tonolini e F. Tonolini, 2005] G. Zibetti, L. Tonolini e F. Tonolini Viaggio nella matematica Moduli di Geometria, volume 1, Minerva Italica.
12
