Espansione di Goldstone
Interazioni effettive
Matrice G
Sommario
Il teorema di Gell-Mann Low afferma che se esiste ad ogni ordine
perturbativo la seguente relazione
allora questo stato è un autostato dell’hamiltoniano
dove
Sommario
Il teorema di Goldstone afferma che la differenza tra l’energia di un
sistema di particelle interagenti e quella di un sistema di particelle non
interagenti, può essere espressa come:
solo diagrammi connessi!!
Sommario
Consideriamo un sistema di A particelle fermioniche interagenti tramite un
potenziale a due corpi vij
Hamiltoniana imperturbata
stati di particella singola
Perturbazione
U è un artificio matematico che accelera la
convergenza dell’espansione di Goldstone
Sommario
L’energia totale del sistema e’ definita a partire da un’espansione perturbativa
in H1
il proiettore esclude lo
stato fondamentale come
stato intermedio
in seconda quantizzazione
Regole di
anticommutazione
Sommario
Esempio: al secondo ordine abbiamo
t
|
0
H1
Stato a 2
particelle/lacune
ab
lm
|
|
H1
0
permutazione
valore di aspettazione
degli operatori di
creazione e distruzione
1
E0
H0
Sommario
Esempio: al secondo ordine abbiamo
|
a
l
|
|
H1
0
0
Stato a 1
particella/lacuna
H1
Inserzione di un
potenziale a un
corpo
Sommario
Calcolo esplicito al primo ordine:
Temine diretto
(Hartree)
Temine di
scambio (Fock)
Inclusione del
potenziale a 1
corpo
Energia di Hartree-Fock
Regole per l’espansione di Goldstone
(a) e (c)
(b) e (d)
Regole per l’espansione di Goldstone
Regole per l’espansione di Goldstone
Regole per l’espansione di Goldstone
Regole per l’espansione di Goldstone
( )
2+2+1+0
=
1
Matrice G
Starting energy
El
Em
En
{
Ee + Ed + Ea
W
Matrice G
Starting energy
W rimane la stessa perchè il resto
del diagramma rimane lo stesso
v!G
Matrice G
L’operatore di Pauli Q annichila uno stato a
due particelle a meno che le particelle non
siano entrambe sopra il livello di Fermi
L’operatore e restituisce l’energia dello
stato a due particelle meno W
G è un operatore
Hermitiano a due particelle
Matrice G
La stessa procedura può essere applicata ad ogni linea di interazione, in
modo che si sostituisca ad ogni linea di interazione la matrice G
Diagramma ridondante
Matrice G
Espansione di Brueckner-Goldstone
Disegnare tutti i diagrammi connessi
Eliminare i diagrammi irriducibili Diagrammi in cui due linee di
interazione tra linee di particelle
non appaiono mai l’una di
Sostituire v con G
seguito all’altra.
Rimangono invariati gli elementi di matrice con
le inserzioni U
Matrice G
Proprietà:
v
G(W ) =
Q
1+ve
v!1
ben definito
(Q evita che e si annulli)
funzione d’onda non perturbata
funzione d’onda correlata
Equazione di Bethe Goldstone
(Lippmann-Schwinger |⇥⇥ = | ⇥ +
1
E
H0
v|⇥⇥ )
Matrice G
Equazione di Lippmann-Schwinger
TkE1 k2 ,k0 1 k0 2
= v̄k1 k2
,k0
1
k0
2
1
+ v̄k1 k2 ,p1 p2
2
E
Ring-Schuck, pgs. 156-163
1
(p21 /2m)
(p22 /2m)
+i
TpE1 p2 ,k0 1 k0 2
indici di onde piane
Equazione di Bethe-Goldstone
la somma è ristretta
agli stati vuoti
(principio di Pauli)
indici di modello a shell
il fattore iη può essere
trascurato per stati sopra
Fermi
Matrice G
In forma operatoriale
QF
G = v̄ + v̄
G
E H0
QF =
X
(m<n)>
|mn⇥ mn|
F
In analogia con il caso della diffusione di due particelle libere
a differenza del caso libero, non
ho una funzione che si annulla
per r ∞
Il denominatore non si annulla mai
Matrice G (caso semplificato)
V(r)
∞
c
r
Separiamo le variabili spaziali nelle coordinate del centro di massa e relative.
Matrice G (caso semplificato)
separazione in centro di massa e coordinata relativa
Matrice G (caso semplificato)
Consideriamo il caso di onda s, e separiamo l’integrazione in due parti
funzioned’onda radiale ridotta
con
Matrice G (caso semplificato)
Introducendo opportune variabili adimensionali
nullo per x<c’=ckF all’interno del potenziale
Matrice G (caso semplificato)
k (r)
k=0
healing distance
kF rh ' 1.9
interparticle distance
1
N
=
! kF d ' 2.46
3
d
V
La funzione d’onda si annulla all’interno del potenziale. Ritorna alla funzione d’onda
imperturbata (uguale a 1 per k=0) ad una distanza r chiamata healing distance.
In media, quindi, i nucleoni tornano dopo una collisione al loro stato di particella indipendente
prima che una nuova collisione abbia luogo. Una gran parte della funzione d’onda consiste
quindi di un determinante di funzioni di particella singola.
Può essere considerata una giustificazione del modello a particelle indipendenti, il principio di
Pauli sopprime le componenti a basso momento del processo di diffusione. Il nucleone si
muove come una particella indipendente per gran parte del tempo
Materia nucleare
Materia nucleare
Matrice G (materia nucleare)
1.Materia nucleare: sistema isotropico e omogeneo
2. Funzioni d’onda: onde piane
3. Il momento totale è conservato dal potenziale, quindi ogni determinante di
Slater negli stati intermedi deve avere lo stesso momento totale dello stato
fondamentale, cioè 0.
ka
kl 6= 0
|ka | > kF
|kl | < kF
4. Solo alcuni diagrammi si salvano
non si hanno diagrammi al secondo ordine
Matrice G (materia nucleare)
1. ordine
2. ordine
Nessun contributo
Diagramma ridondante
3. ordine
Alcuni diagrammi, in totale
sono 22
Matrice G (materia nucleare)
Funzione d’onda a due
particelle imperturbata
Coordinata CM
Coordinata relativa
Operatore
energia
Operatore
esclusione di
Pauli
Momento CM
Momento relativo
Momenti
individuali
Matrice G (materia nucleare)
Funzione d’onda a due
particelle correlata
Correlazione a
due corpi
Matrice G
Matrice G (materia nucleare)
Kernel
Q=0
Q=1
Matrice G (materia nucleare)
Connessione con la relazione di Lippmann-Schwinger: Q viene sostituito
dall’operatore unità e l’energia E(k) è data dall’energia cinetica
k0 momento
iniziale
Funzione d’onda diffusa
Matrice G (materia nucleare)
Nella materia nucleare Ψ si avvicina così velocemente alla funzione
d’onda piana imperturbata che non esistono phase-shifts.
Il motivo può essere compreso studiando l’integrando della definizione
del Kernel:
Non ci sono le singolarità che nel caso delle particelle libere danno
origine a termini asintotici del tipo
1 ik0 r
⇠
r
e
Matrice G (materia nucleare, caso semplice)
Consideriamo 2 particelle in un mare di Fermi con uguale ma opposto
momento k0. In questo caso il momento totale è nullo e il momento
relativo della funzione d’onda imperturbata è krs=k0. Assumiamo
che l’energia sia calcolata on-shell
W=2E(k0)
F
k0
k0
Matrice G (materia nucleare, caso semplice)
nessuna singolarità
Non c’è diffusione che conservi energia e quindi la funzione d’onda deve
essere curata a grandi r
Integrazione per parti
termini di
ordine r-2
Matrice G (materia nucleare, caso semplice)
termini di
ordine r-2
Dalla teoria dello scattering ho che
termini di
ordine r-1
L’incosistenza si risolve se δL=0 per ogni l
Matrice G (materia nucleare, caso realistico)
-16 MeV
ρ0
