CENTRO PROVINCIALE PER L’ISTRUZIONE DEGLI ADULTI
C.P.I.A. 1 BOLOGNA - IMOLA
Appunti di Geometria
I Livello I Periodo - Ex Licenza Media
Indice
1 Introduzione
1.1 Enti Geometrici Fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Definizioni Importanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Posizione reciproca di due rette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
3
2 Angoli
2.1 Misurare un angolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Classificazione degli Angoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
5
5
3 Poligoni
3.1 Classificazione dei Poligoni . . . . . . . .
3.2 Triangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Classificazione in base ai lati . . .
3.2.2 Classificazione in base agli angoli .
3.2.3 Triangolo: perimetro e area . . . .
3.3 Quadrilateri e loro classificazione . . . . .
3.3.1 Trapezio . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Trapezio: perimetro e area . . . .
3.3.3 Parallelogrammo . . . . . . . . . .
3.3.4 Parallelogrammo: perimetro e area
3.3.5 Rettangolo . . . . . . . . . . . . .
3.3.6 Rettangolo: perimetro e area . . .
3.3.7 Rombo . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.8 Rombo: perimetro e area . . . . .
3.3.9 Quadrato . . . . . . . . . . . . . .
3.3.10 Quadrato: perimetro e area . . . .
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7
8
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10
11
11
12
12
13
13
14
14
15
15
16
16
17
4 Circonferenza e Cerchio
17
4.1 Circonferenza e sue parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.2 Cerchio e sue parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
A Equivalenze
A.1 Misure Lineari . . . . . . .
A.1.1 Misure di Lunghezza
A.1.2 Misure di Capacità .
A.1.3 Misure di Massa . .
A.2 Misure di Superficie . . . .
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Bibliografia
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21
21
21
21
21
21
22
1
1
Introduzione
1.1
Enti Geometrici Fondamentali
Punto Matematico
Non ha dimensione e occupa una posizione.
Si indica con le lettere maiuscole dell’alfabeto latino: A, B, C, D, . . .
Retta
Ha una dimensione: la lunghezza.
Si indica con le lettere minuscole dell’alfabeto latino: a, b, c, d, . . .
Contiene infiniti punti.
Piano
Ha due dimensioni: la lunghezza e larghezza.
Si indica con le lettere minuscole dell’alfabeto greco: α (alfa), β (beta), . . .
Contiene infiniti punti e infinite rette.
Osservazione.
• Per un punto passano infinite rette.
• Per due punti passa una e una sola retta.
• Per un punto passano infiniti piani.
• Per due punti passano infiniti piani, quindi per una retta passano infiniti piani.
• Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano.
1.2
Definizioni Importanti
Definizione (Semiretta).
Ognuna delle parti in cui una retta rimane divisa da un suo punto.
2
Definizione (Segmento).
Parte di retta limitata da due suoi punti detti estremi del segmento.
Definizione (Segmenti consecutivi).
Due segmenti si dicono consecutivi se hanno un estremo in comune.
(Nella figura l’estremo in comune è il punto B)
Definizione (Segmenti adiacenti).
Due segmenti si dicono adiacenti se sono consecutivi e appartengono alla stessa retta.
1.3
Posizione reciproca di due rette
Definizione (RETTE INCIDENTI).
Due rette r e s si dicono incidenti quando hanno un punto in comune.
Due rette r e s incidenti si dicono perpendicolari se dividono il piano in quattro parti uguali fra loro.
Gli angoli che si formano sono di 90◦ .
Definizione (RETTE COINCIDENTI).
Due rette r e s si dicono coincidenti quando hanno infiniti punti in comune.
3
Definizione (RETTE PARALLELE).
Due rette r e s si dicono parallele quando non hanno nessun punto in comune e appartengono allo stesso
piano; e si scrive r k s.
Definizione (RETTE SGHEMBE).
Due rette r e s si dicono sghembe quando non hanno nessun punto in comune e non appartengono allo stesso
piano.
2
Angoli
Definizione (Angolo).
Ognuna delle due parti di piano limitata da due semirette che hanno la stessa origine.
L’origine delle semirette si chiama vertice dell’angolo.
Le due semirette sono dette lati dell’angolo.
4
Definizione (Angolo Convesso e Angolo Concavo).
Si chiama angolo concavo la parte di piano che contiene i prolungamenti dei due lati; si chiama angolo
convesso la parte di piano che non contiene i prolungamenti dei due lati.
2.1
Misurare un angolo
La misura di un angolo si chiama ampiezza.
Per misurare l’ampiezza di un angolo è necessario scegliere un altro angolo come unità di misura e contare
quante volte è contenuto nell’angolo dato.
Come “angolo-unità di misura” si sceglie il grado che è la 360-esima parte dell’angolo giro.
Lo strumento che si usa per misurare l’ampiezza di un angolo si chiama GONIOMETRO (o rapportatore).
2.2
Classificazione degli Angoli
NULLO
misura 0◦
ACUTO
misura meno
di 90◦
RETTO
misura 90◦
OTTUSO
misura più di 90◦
e meno di 180◦
PIATTO
misura 180◦
5
CONCAVO
misura più di 180◦
e meno di 360◦
GIRO
misura 360◦
Definizione (Angoli consecutivi).
Due angoli si dicono consecutivi se hanno il vertice e un lato in comune.
Definizione (Angoli adiacenti).
Due angoli si dicono adiacenti se hanno il vertice e un lato in comune, quindi sono consecutivi, e se gli altri
due lati appartengono alla stessa retta.
La loro somma è sempre 180◦ .
Definizione (Angoli Complementari).
Due angoli si dicono complementari tra loro se la loro somma è un angolo retto, cioè 90◦ .
⇒
Definizione (Angoli Supplementari).
Due angoli si dicono supplementari tra loro se la loro somma è un angolo piatto, cioè 180◦ .
6
⇓
Definizione (Angoli opposti al vertice).
Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati dell’uno sono i prolungamenti dei lati dell’altro.
Due angoli opposti al vertice sono uguali.
3
Poligoni
Definizione (Figura geometrica).
Si chiama figura geometrica un “insieme” di punti.
Definizione (Poligono).
Un poligono è figura geomerica piana formata da segmenti consecutivi (non intrecciati) in cui il primo estremo
coincide con l’ultimo e dalla parte di piano da essi limitata.
Definizione (Perimetro di un poligono).
Il perimetro di un poligono è la somma dei suoi lati.
Il perimetro si indica con 2p.
Il perimetro della figura sopra è
2p = AB + BC + CD + DE + EA
Definizione (Area di un poligono).
L’Area di un poligono è la misura della sua superficie (“la parte che si può verniciare”).
7
Somma interna degli angoli di un poligono
Per il calcolare della somma interna degli angoli di un poligono di n lati si usa la seguente formula:
(n − 2) × 180◦
Definizione (Diagonale).
Segmento che unisce due vertici opposti.
Numero diagonali di un poligono
Il numero delle diagonali di un poligono di n lati si può calcolare con la seguente formula:
n × (n − 3)
2
3.1
Classificazione dei Poligoni
TRIANGOLO
ha 3 lati, 3 vertici e 3 angoli
QUADRANGOLO
o QUADRILATERO
ha 4 lati, 4 vertici e 4 angoli
PENTAGONO
ha 5 lati, 5 vertici e 5 angoli
8
ESAGONO
ha 6 lati, 6 vertici e 6 angoli
ETTAGONO
ha 7 lati, 7 vertici e 7 angoli
OTTAGONO
ha 8 lati, 8 vertici e 8 angoli
DECADONO
ha 10 lati, 10 vertici e 10 angoli
DODECAGONO
ha 12 lati, 12 vertici e 12 angoli
9
Definizione (Poligono Regolare).
Un poligono che ha tutti i lati uguali si chiama equilatero.
Un poligono che gli angoli uguali si chiama equiangolo.
Un poligono che è equilatero e equiangolo si chiama regolare.
ESEMPIO DI ESAGONO REGOLARE
3.2
3.2.1
Triangoli
Classificazione in base ai lati
TRIANGOLO EQUILATERO
ha tutti i lati uguali
ha tre angoli uguali a 60◦
TRIANGOLO ISOSCELE
ha due lati uguali
ha due angoli uguali
TRIANGOLO SCALENO
ha tutti i lati diversi
ha tre angoli diversi
10
3.2.2
Classificazione in base agli angoli
TRIANGOLO ACUTANGOLO
ha tre angoli acuti
TRIANGOLO OTTUSANGOLO
ha un angolo ottuso e due angoli acuti
TRIANGOLO RETTANGOLO
ha un angolo retto e due angoli acuti
Osservazione. Un triangolo può essere classificato sia in base ai lati che in base agli angoli:
TRIANGOLO RETTANGOLO ISOSCELE
3.2.3
Triangolo: perimetro e area
PERIMETRO 2p
11
AREA A
b×h
2
2p = b + l1 + l2
A=
b = 2p − (l1 + l2 )
l1 = 2p − (b + l2 )
l2 = 2p − (l1 + b)
A×2
h
A×2
h=
b
b=
3.3
3.3.1
Quadrilateri e loro classificazione
Trapezio
Il trapezio ha due, e solamente due, lati paralleli: AB k DC.
Caratteristica: gli angoli adiacenti (vicini) a uno stesso lato sono supplementari (la loro somma è 180◦ )
 + D̂ = 180◦ e Ĉ + B̂ = 180◦
Classificazione Trapezi
TRAPEZIO SCALENO ha i lati obliqui diversi:
TRAPEZIO ISOSCELE ha i lati obliqui uguali BC = AD.
Sono uguali anche:
• gli angoli adiacenti alle basi  = B̂ e Ĉ = D̂;
• gli angoli AD̂H = K ĈB;
• le diagonali AC = DB;
• le proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore AH = KB.
AB − DC
Si ha anche che AH = KB =
.
2
12
TRAPEZIO RETTANGOLO ha uno dei lati obliqui perpendicolare alle basi AD ⊥ AB e AD ⊥ DC:
Il lato obliquo AD è altezza del trapezio.
3.3.2
Trapezio: perimetro e area
PERIMETRO 2p
AREA A
A=
2p = B + l1 + b + l2
(B + b) × h
2
A×2
−b
h
A×2
−B
b=
h
A×2
h=
B+b
A×2
B+b =
h
B =
B
b
l1
l2
3.3.3
=
=
=
=
2p − (l1 + b + l2 )
2p − (B + l1 + l2 )
2p − (B + b + l2 )
2p − (B + l1 + b)
Parallelogrammo
Il parallelogrammo ha i lati a due a due paralleli: AB k CD e AD k BC.
Caratteristiche:
• i lati paralleli sono uguali AB = CD e AD = BC;
• gli angoli opposti sono uguali  = Ĉ e B̂ = D̂;
• gli angoli adiacenti (vicini) a uno stesso lato sono supplementari (la loro somma è 180◦ )
 + B̂=180◦
B̂ + Ĉ=180◦
Ĉ + D̂=180◦
D̂ + Â=180◦
13
• le diagonali vengono tagliate a metà dal loro punto di intersezione AO = OC e DO = OB;
• ciascuna diagonale divide il parallelogramma in due triangoli uguali;
3.3.4
Parallelogrammo: perimetro e area
PERIMETRO 2p
2p = b + l + b + l
= 2×b+2×l
= 2 × (b + l)
b = 2p : 2 − l
l = 2p : 2 − b
3.3.5
AREA A
A = b×h
A
h
A
h=
b
b=
Rettangolo
Il rettangolo ha quattro angoli retti  = B̂ = Ĉ = D̂ = 90◦ .
Base e altezza di chiamano anche dimensioni del rettangolo.
Caratteristiche:
• i lati opposti sono uguali e paralleli:
AB = CD
AB k CD
e
e
AD = BC
AD k BC
• gli angoli adiacenti (vicini) a uno stesso lato sono supplementari (la loro somma è 180◦ )
 + B̂=180◦
B̂ + Ĉ=180◦
Ĉ + D̂=180◦
D̂ + Â=180◦
• le diagonali sono uguali AC = BD e vengono tagliate a metà dal loro punto di intersezione AO = OC =
DO = OB;
• ciascuna diagonale divide il rettangolo in due triangoli uguali.
14
3.3.6
Rettangolo: perimetro e area
PERIMETRO 2p
2p = b + h + b + h
= 2×b+2×h
= 2 × (b + h)
b = 2p : 2 − h
h = 2p : 2 − b
3.3.7
AREA A
DIAGONALE d
A = b×h
A
h
A
h=
b
b=
d=
Rombo
Il rombo ha quattro lati uguali AB = BC = AC = DA.
Caratteristiche:
• i lati opposti sono paralleli:
AB k CD
e
AD k BC ;
• gli angoli opposti sono uguali  = Ĉ e B̂ = D̂;
• gli angoli adiacenti (vicini) a uno stesso lato sono supplementari (la loro somma è 180◦ )
 + B̂=180◦
B̂ + Ĉ=180◦
Ĉ + D̂=180◦
D̂ + Â=180◦
• le diagonali sono perpendicolari AC ⊥ BD (formano 4 angoli di 90◦ );
• le diagonali vengono tagliate a metà dal loro punto di intersezione AO = OC e DO = OB;
• ciascuna diagonale divide il rombo in triangoli uguali;
• le diagonali dividono gli angoli del rombo in due angoli uguali.
15
p
b2 + h 2
3.3.8
Rombo: perimetro e area
PERIMETRO 2p
AREA A
A=
2p = l + l + l + l
= 4×l
3.3.9
D×d
2
A = l×h
A
h
A
h=
l
l=
l = 2p : 4
DIAGONALI d e D
D=
A×2
d
d=
A×2
D
Quadrato
Il quadrato ha quattro lati uguali AB = BC = AC = DA e quattro angoli retti  = B̂ = Ĉ = D̂ = 90◦ .
Caratteristiche:
• i lati opposti sono paralleli:
AB k CD
e
AD k BC
• gli angoli adiacenti (vicini) a uno stesso lato sono supplementari (la loro somma è 180◦ )
 + B̂=180◦
B̂ + Ĉ=180◦
Ĉ + D̂=180◦
D̂ + Â=180◦
• le diagonali sono uguali AC = BD e vengono tagliate a metà dal loro punto di intersezione AO = OC =
DO = OB;
• le diagonali sono perpendicolari AC ⊥ BD (formano 4 angoli di 90◦ );
16
• ciascuna diagonale divide il quadrato in triangoli uguali;
• le diagonali dividono gli angoli del quadrato in angoli uguali a 45◦ ;
• il quadrato è un poligono regolare.
3.3.10
Quadrato: perimetro e area
PERIMETRO 2p
AREA A
DIAGONALE d
A = l × l = l2
2p = l + l + l + l
= 4×l
l = 2p : 4
4
4.1
d2
d×d
=
2
2
√
l= A
A=
p
l2 + l2
p
= 2 × l2
d=
d=
√
A×2
Circonferenza e Cerchio
Circonferenza e sue parti
Definizione (Circonferenza).
La Circonferenza è l’insieme di tutti i punti di un piano equidistanti da un punto fisso detto centro della
circonferenza.
Definizione (Raggio).
Seguento che ha per estremi il centro e un punto qualsiasi della circonferenza.
17
Definizione (Corda).
Segmento che congiunge due punti di una circonferenza.
Definizione (Diametro).
Corda passante per il centro.
Definizione (Arco).
Parte di circonferenza delimitata da due suoi punti.
Definizione (Semicirconferenza).
Parte di circonferenza che ha come estremi gli estremi del diametro.
18
4.2
Cerchio e sue parti
Definizione (Cerchio).
Parte di piano costituita dai punti della circonferenza e dai sui punti interni.
Definizione (Semicerchio).
Parte di cerchio compresa fra un diametro e una semicirconferenza.
Il diametro appartiene al semicerchio.
Definizione (Settore circolare).
Ognuna delle parti di cerchio compresa fra due raggi.
I raggi appartengono al settore.
Definizione (Segmento circolare a una base).
Ciascuna delle due parti di un cerchio delimitata una corda e dall’arco che la sottende.
19
La corda e l’arco appartengono al segmento.
Definizione (Segmento circolare a due basi).
Parte di un cerchio compresa tra due corde parallele.
Definizione (Corona circolare).
Parte di piano compresa tra due circonferenze concentriche.
20
A
Equivalenze
A.1
Misure Lineari
A.1.1
Misure di Lunghezza
km
×10
×10
×10
×10
×10
y
y
y
y
y
: 10
hm
x
A.1.2
dam
: 10
x
x
: 10
dm
x
: 10
cm
x
y
: 10
mm
x
SIMBOLO
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
Misure di Capacità
hl
×10
×10 ×10
×10
y
y
y
: 10
dal
x
A.1.3
: 10
y
l
dl
: 10
x
x
: 10
×10
cl
x
y
: 10
ml
x
NOME
Ettolitro
Decalitro
Litro
Decilitro
Centilitro
Millilitro
SIMBOLO
hl
dal
l
dl
cl
ml
Misure di Massa
Mg
×1000
×10
×10
×10
×10
×10
y
y
y
y
y
y
: 1000
kg
x
A.2
hg
: 10
x
: 10
dag
x
: 10
g
x
dg
: 10
x
: 10
×10
cg
x
y
: 10
mg
x
NOME
Megagrammo (tonnellata)
Chilogrammo
Ettogrammo
Decagrammo
Grammo
Decigrammo
Centigrammo
Milligrammo
SIMBOLO
Mg
kg
hg
dag
g
dg
cg
mg
Misure di Superficie
×100
km
: 10
m
×10
NOME
Chilometro
Ettometro
Decametro
Metro
Decimetro
Centimetro
Millimetro
2
y
: 100
x
×100
2
hm
y
: 100
x
×100
2
dam
y
: 100
x
m
×100
2
y
: 100
x
×100
2
dm
y
: 100
x
×100
cm
2
y
: 100
mm2
x
21
Chilometro
Ettometro
Decametro
Metro
Decimetro
Centimetro
Millimetro
NOME
quadrato
quadrato
quadrato
quadrato
quadrato
quadrato
quadrato
SIMBOLO
km2
hm2
dam2
m2 (oppure mq)
dm2
cm2
mm2
Riferimenti bibliografici
[Agnesi, Baldi e Locatelli, 2007] L. Agnesi, M. Baldi e A. Locatelli ABC della GEOMETRIA, volume A,
Ghisetti e Corvi Editori.
[Flaccavento, 2000] G. Flaccavento Romano, Invito alla matematica Geometria A, Fabbri Editore.
[Genovese, Manzone Bertone e Rinaldi, 2005] T. Genovese, L. Manzone Bertone, G. Rinaldi GEOMETRIA,
volume a, Lattes Editore.
[Zibetti, L. Tonolini e F. Tonolini, 2005] G. Zibetti, L. Tonolini e F. Tonolini Viaggio nella matematica Moduli di Geometria, volume 1, Minerva Italica.
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