Lezione 3
Bande elettromagnetiche, brillanza
superficiale e intensità specifica, la
misura delle distanze in astrofisica
Aniello Mennella
Corso di introduzione all'astrofisica
A.A. 2010-2011
Definizione delle bande
elettromagnetiche
Visibile
Aniello Mennella
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Definizione di bande nel visibile e
nell'infrarosso
Infrarosso
Aniello Mennella
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Definizione di bande nel visibile e
nell'infrarosso
Microonde
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Sorgenti diffuse
Intensità specifica
●
Seguendo il ragionamento utilizzato per definire la densità spettrale di
flusso per una sorgente puntiforme definiamo l'intensità specifica di
una sorgente diffusa come l'energia che riceviamo da un punto (θ,φ)
nel cielo alla frequenza n per unità di tempo, di superficie, di angolo
solido e di banda.
I , , ≡Intensità specifica (W m−2 H z−1 s r−1 )
●
La potenza ricevuta da un'antenna dalla sorgente diffusa è pertanto
P =
Z
º0 +¢º=2 Z
º0 ¡¢º=2
I(µ; Á; º)A(º)²(µ; Á; º)dºd­
­
dove A(ν) rappresenta l'area efficace del telescopio alla frequenza ν e
ε(θ, φ, ν) è il cosiddetto fascio di antenna e ne rappresenta la risposta
angolare
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Sorgenti diffuse
Brillanza superficiale
●
Una quantità dalle stesse unità di misura è la cosiddetta brillanza
superficiale, ovvero l'energia emessa da una superficie nella
direzione (θ,φ) alla frequenza per unità di tempo, di angolo solido, di
frequenza (nella banda) e di superficie
−2
−1
−1
B , , ≡Brillanza superficiale (W m H z s r )
●
Si può dimostrare che trascurando effetti di assorbimento e l'effetto
dell'espansione di Hubble si ha che
B(µ; Á; º) = I(µ; Á; º)
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Dimostrazione
dA
–
Consideriamo un
telescopio di area Atel
che osserva un'area dA
in una sorgente diffusa
posta a distanza D
–
Calcoliamo la potenza
ricevuta dal telescopio in
una banda ∆ν
dΩ
D
Atel
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Dimostrazione
dA
–
Consideriamo un
telescopio di area Atel
che osserva un'area dA
in una sorgente diffusa
posta a distanza D
–
Calcoliamo la potenza
ricevuta dal telescopio in
una banda ∆ν
dΩ
D
Atel
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Prec = Iº Atel d­¢º = Iº Atel (dA=D 2 )¢º
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Dimostrazione
dA
–
dΩ'
D
Ribaltiamo il problema e
calcoliamo la potenza
emessa dall'area dA
sulla sorgente verso il
telescopio nella stessa
banda
Atel
Aniello Mennella
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Dimostrazione
dA
–
dΩ'
D
Ribaltiamo il problema e
calcoliamo la potenza
emessa dall'area dA
sulla sorgente verso il
telescopio nella stessa
banda
Atel
Pem = Bº dAd­0 ¢º = Bº (Atel =D2 )dA¢º
Aniello Mennella
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La misura delle distanze in
astrofisica
Per misurare le
distanze dagli
oggetti celesti è
necessario disporre
di “regoli” e di una
scala che consenta
di calibrare tali
regoli. Descriviamo
ora più in dettaglio
gli stimatori primari
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L'unità astronomica
●
La base di questa scala di calibrazione è l'unità astronomica, ovvero
la distanza fra la terra e il sole.
–
La prima misura relativamente accurata di questa distanza risale
a Cassini (XVII secolo) che l'ha determinata utilizzando il metodo
della parallasse per determinare la distanza di pianeti vicini e la
terza legge di Keplero per risalire al raggio dell'orbita terrestre.
Misurando, ad esempio, il periodo di Marte, quello della Terra e la
distanza fra Marte e la Terra mediante il metodo della parallasse
si ha che
3
PT2
RT
3
3
2
2
=
)
R
=
R
P
=P
T
M T
M
2
3
PM
RM
dove PM e PT rappresentano il periodo di Marte e della Terra, RM e
RT i raggi delle rispettive orbite, DT-M la distanza dalla terra a Marte
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L'unità astronomica
–
Misure più accurate sono state effettuate:
●
●
misurando il ritardo di un potente segnale radio riflesso
dalla superficie di pianeti (Venere, Mercurio) e usando la
terza legge di Keplero.
Misurando lo spostamento doppler di righe di stelle vicine
per calcolare la velocità di rotazione della terra intorno al
sole
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La parallasse
●
●
●
●
●
Aniello Mennella
Il moto apparente delle stelle vicine
osservabile a causa della rotazione
della Terra attorno al Sole
Se la stella è al polo eclittico il moto
apparente sarà un cerchio di
“raggio” θpar
Se la stella è all'equatore il moto
apparente sarà un segmento di
“lunghezza” 2θpar
In posizioni intermedie il moto è
un'ellisse con semiasse maggiore
uguale a θpar
L'angolo di parallasse è utilizzato
per determinare la distanza delle
stelle vicine
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Ammasso mobile
50 pc – 100 pc
●
Aniello Mennella
Il metodo si basa
sull'osservazione di ammassi
stellari vicini per i quali è
possibile apprezzare una
variazione del diametro
apparente a causa del loro
allontanamento (o
avvicinamento) da noi. Es.
ammasso Iadi
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Ammasso mobile
50 pc – 100 pc
vr
v
vt
d
Aniello Mennella
●
●
Consideriamo il caso in cui
l'ammasso si allontani in
direzione non radiale. In questo
caso possiamo scomporre il
vettore velocità in una
componente radiale ed una
tangenziale.
La componente radiale è
misurabile per effetto Doppler;
vediamo come derivare la
componente tangenziale.
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Ammasso mobile
50 pc – 100 pc
rt = vt ±t » d±µ
vr
Ã
●
d
±µ
●
Ã
●
Aniello Mennella
v
vt
Se tutte le stelle nell'ammasso si muovono
parallelamente le loro tracce proiettate sulla volta
celeste appariranno convergere verso un punto.
L'angolo fra la direzione del punto di convergenza
e la direzione della stella è determinabile e
coincide con l'angolo fra il vettore velocità e la
componente radiale
La terza osservabile è l'angolo δθ per ogni stella
dell'ammasso dovuto al moto proprio delle stelle
nel tempo δt
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Ammasso mobile
50 pc – 100 pc
rt = vt ±t » d±µ ) d = vt =¹ dove ¹ = ±µ=±t
La velocità tangenziale può essere espressa in funzione della velocità radiale
e dell'angolo ψ
vt = vr tan Ã
per cui possiamo determinare la distanza come
d = vr tan Ã=¹
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Ammasso mobile
50 pc – 100 pc
Iadi (Hyades)
●
Right ascension: 04h 27m
●
Declination:
●
Distance: 151 ly (46 Pc)
●
●
●
●
Aniello Mennella
+15° 52′
Apparent dimensions (V):
330′
Radius:
30 light years
Estimated age:
years
625 million
Radial velocity ~ 40 Km / sec
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Misura spettroscopica della distanza
100 pc – 10 Kpc
●
●
Il metodo si basa su una misura
spettroscopica a larga banda per
determinare la temperatura superficiale
della stella (o in alternativa su due misure
di flusso in bande diverse per determinare
l'indice di colore), una misura fotometrica
per determinare il flusso e una misura
spettroscopica a banda stretta (es. riga
Ha) per determinare il ramo di appartenenza
nel diagramma HR.
Individuata la posizione nel diagramma HR
conosciamo la luminosità, L. Dalla misura di
flusso, F, otteniamo la distanza mediante la
solita relazione
d2L = L=4¼F
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La distanza di luminosità
●
Consideriamo un oggetto di luminosità L. Il flusso raccolto da una
superficie sferica di raggio d attorno alla sorgente è per definizione:
F = L=4¼d2
d
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La distanza di luminosità e
magnitudine assoluta
●
Possiamo invertire la relazione e definire una distanza basata sulla
luminosità e sul flusso misurato: la distanza di luminosità, dL
d2L = L=4¼F
●
●
Possiamo esprimere la luminosità in termini di magnitudini
(magnitudine assoluta)
E' definita come la magnitudine apparente che avrebbe lo stesso
oggetto posto alla distanza di 10 pc.
M = m ¡ 5 log10 dL + 5
●
Esercizio. Derivare la relazione della magnitudine assoluta
(usare la definizione di magnitudine apparente e di luminosità).
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Radiazione di corpo nero
●
●
Un corpo nero è definito come un corpo a temperatura uniforme, in cui la
radiazione è in equilibrio termodinamico con la materia.
L'intensità specifica, monocromatica di un corpo nero dipende solo dalla sua
temperatura, e viene indicata col simbolo B(ν), dove
2¼hº
B(º) =
c2
●
3
·
exp
µ
hº
kT
¶
¡1
¸¡1
La potenza totale per unità di superficie e di angolo solito emessa da un
corpo nero alla temperatura T è data da
W =
Z
0
1
2 ¼5 k4 4
4
B(º)dº =
T
´
¾T
15 h3 c2
¡8
¡4
¡2
dove ¾ = 5:6704 £ 10 W K m
è la costante di Stefan-Boltzmann
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Classi spettrali delle stelle
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Spettro stella classe M
Brillanza (unità arbitrarie)
Corpo nero a T~2500 K
λ (micron)
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Spettro stella classe G
Brillanza (unità arbitrarie)
Corpo nero a T~5714 K
λ (micron)
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Lo spettro del sole
T = 5770 K
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Spettro stella classe O
Brillanza (unità arbitrarie)
Corpo nero a T~35000 K
λ (micron)
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Diagramma HR (Hertzsprung-Russell)
●
Aniello Mennella
La misura della distanza di una stella
mediante il diagramma HR richiede i
seguenti passi:
–
Individuare la classe spettrale della
stella (temperatura superficiale)
mediante misura spettroscopica
–
Determinare in quale delle sequenze
si trova la stella (sequenza
principale, nane bianche, ecc)
–
Determinare la magnitudine
apparente mediante una misura
fotometrica
–
Determinare la luminosità assoluta
sul diagramma HR
–
Calcolare la distanza
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Indice di colore
●
●
●
●
Aniello Mennella
Notare che l'asse delle ascisse è dato in
termini di indice di colore invece che in
temperatura superficiale
L'indice di colore è utilizzato per
caratterizzare lo spettro mediante misure
fotometriche
Si utilizzano osservazioni con tre filtri: U
(ultravioletto), B (blu) e V (visiblile)
Si utilizzano quindi i seguenti indici:
B ¡ V = ¡2:5 log10
FB
FV
U ¡ B = ¡2:5 log10
FU
FB
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Classi spettrali delle stelle
Aniello Mennella
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Classi spettrali delle stelle
Ogni classe spettrale è ulteriormente suddivisa
in 10 sottoclassi (numerate da 0 a 9 in ordine di
temperatura decrescente
Aniello Mennella
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●
●
●
●
●
●
●
Supponiamo di osservare una stella di cui conosciamo già la classe
spettrale, ovvero la temperatura superficiale.
Dobbiamo determinare, quindi, il ramo giusto nel diagramma HR in modo da
determinarne la luminosità assoluta.
Il ramo nel diagramma HR è possibile determinarlo per via spettroscopica.
Prendiamo una riga caratteristica, ad esempio la riga Ha dell'idrogeno
neutro:
Questa riga non sarà perfettamente monocromatica, ma avrà una certa
larghezza per effetto Stark (allargamento della riga causata dal campo
elettrico)
L'effetto Stark è causato da campi elettrici oscillanti generati dagli ioni
metallici presenti nell'atmosfera stellare. Maggiore è la densità e maggiore è
l'allargamento della riga.
È possibile quindi trovare delle correlazioni fra la sequenza in cui si trova la
stella e la larghezza della riga
Se supponiamo di conoscere la classe spettrale della stella (o la misuriamo
con altri metodi) e misuriamo la larghezza di righe caratteristiche possiamo
risalire alla posizione della stella nel diagramma HR
Aniello Mennella
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A.A. 2010-2011
Aniello Mennella
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Larghezza riga Ha
Classe spettrale
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Stelle variabili
200 pc – 2-3 Mpc
●
●
Aniello Mennella
Le stelle variabili (Cefeidi, RR
Lyrae) sono stelle che
presentano instabilità
superficiali che danno origine a
oscillazioni periodiche nella
luminosità di periodo
strettamente correlato con la
luminosità.
Misurando il periodo di
variabilità è possibile risalire
alla magnitudine assoluta e da
questa alla distanza una volta
misurata la magnitudine
apparente.
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Cefeidi variabili
●
●
Le Cefeidi Variabili sono una classe molto importante di stimatori di distanza in
quanto costituiscono il “ponte” fra le distanze galattiche e le distanze
extragalattiche.
Se consideriamo la stella, di raggio R, come un corpo nero alla temperatura T,
allora dalla legge di Stefan-Boltzmann si ha che la luminosità sarà data da:
L = 4¼R2 ¾T 4
che possiamo scrivere in scala di magnitudini come
●
●
M = ¡5 log R ¡ 10 log T + C
Nelle Cefeidi variabili si hanno delle variazioni nell'opacità degli strati
contenenti elio ionizzato. Durante il periodo in cui questi strati sono molto
densi, e quindi molto opachi, si ha un aumento nella pressione di radiazione
che causa un'espansione radiale (con una conseguente variazione in
luminosità)
Espandendo, il gas si raffredda, l'elio si ricombina e l'opacità diminuisce;
l'espansione pertanto si ferma e la stella collassa per iniziare un nuovo ciclo
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Cefeidi variabili
●
●
Il periodo di pulsazione è correlato al raggio medio (attraverso la densità media della
stella), mentre la temperatura superficiale è correlata all'indice di colore.
È possibile quindi scrivere la magnitudine assoluta (ovvero la luminosità) in funzione del
periodo di pulsazione:
MV = ® log P + ¯(B ¡ V ) + °
dove i parametri α, β e γ, sono dei parametri da determinare mediante fit di questa
relazione su un campione di Cefeidi variabili di cui si conosca la distanza (e, quindi, la
luminosità) e si possa misurare il periodo e l'indice di colore
●
●
I maggiori effetti sistematici sono legati all'estinzione causata dalla polvere interstellare
e a effetti di metallicità
Nel primo caso si fa riferimento a modelli di estinzione universali (cioè indipendenti
dalla natura della galassia che ospita la stella); nel secondo caso il problema è l'effetto
della presenza di elementi più pesanti dell'Elio (detti metalli) sulla relazione periodoluminosità. In questo caso l'entità dell'effetto è ancora poco nota.
Aniello Mennella
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Cefeidi variabili
●
●
Aniello Mennella
Paragone del modulo di
distanza della Grande Nube di
Magellano (LMC) determinato
con le Cefeidi (linea
tratteggiata) e mediante altri
metodi.
L'accuratezza in modulo di
distanza è di circa 0.1 che
corrisponde ad un'accuratezza
relativa sulla distanza di circa il
20%
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Cefeidi variabili
●
●
●
Aniello Mennella
La calibrazione accurata della
distanza delle Cefeidi Variabili è
uno dei punti chiave per le
prestazioni del metodo
Mediante il satellite Hipparcos e,
più recentemente, l'Hubble Space
Telescope, è stato possibile
determinare la distanza delle
cefeidi variabili più vicine, fino a
una distanza di circa 500 pc.
HST, in particolare, ha potuto
calibrare la distanza di 10 cefeidi
variabili con un'accuratezza
migliore del 10%
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Estimatori secondari
●
●
●
●
Stelle più brillanti in galassie a spirale (MV~ -8 -- -9)
Relazione Tully-Fisher, che lega la velocità di rotazione di galassie a
spirale (misurata mediante la riga a 21 cm) alla luminosità assoluta.
Osservazione di supernove Ia, che hanno una luminosità al picco
grosso modo costante (~ -20)
In ammassi di galassie la luminosità delle galassie più brillanti è
grosso modo costante.
Aniello Mennella
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Relazione di Tully-Fisher
●
Rapresenta la correlazione esistente fra la luminosità totale delle
galassie a spirale e la velocità di rotazione (che può essere
determinata mediante misure di effetto Doppler sulla riga a 21cm
dell'idrogeno neutro)
L / W®
●
●
È un metodo molto utilizzato e potente: in particolare recentemente è
stato mostrato che la dispersione nelle misure si riduce moltissimo a
lunghezze d'onda nell'infrarosso (sebbene la statistica disponibile non
sia ancora sufficiente)
Se il risultato fosse confermato da altre osservazioni la relazione TF
potrebbe essere utilizzata per determinare distanze su scale
extragalattiche con accuratezza dell'ordine del 5%.
Aniello Mennella
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Relazione di Tully-Fisher
Banda B
Banda I
Banda H
3.6 µm
M
Log W
Aniello Mennella
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