2§ Sistemi di equazioni lineari. Definizione 1. Si dice equazione lineare nelle n incognite x1 , x 2 ,..., x n ogni equazione della forma (1) a1x1 + a 2 x 2 + ... + a n x n = b o anche n ∑ (1') i =1 ai xi = b ove a1 , a 2 ,..., a n ∈ R si chiamano coefficienti e b∈ R termine noto.∗ Definizione Si 2. (x1, x 2 ,..., x n )∈ R n dice dell'equazione soluzione suddetta ogni n-pla tale che a1x1 + a 2 x 2 + ... + a n x n = b . Indicato con S l'insieme delle soluzioni dell'equazione (1), cioè S = {(x1 , x 2 ,..., x n ) a1x1 + a 2 x 2 + .... + a n x n = 0}, può accadere che 1) S = ∅, allora si dice che la (1) è incompatibile ovvero non ammette soluzioni; n 2) S = R , allora si dice che la (1) è una identità ovvero ogni n-pla di numeri reali è soluzione di (1); n e in tal caso almeno uno dei coefficienti a i è diverso da 3) S ≠ ∅ e S ≠ R zero. Se, per esempio, è a1 ≠ 0 dalla (1) si ottiene a a a b x1 = - 2 x 2 - 3 x 3 -……- n x n + . a1 a1 a1 a1 Pertanto per ogni (n-1)-pla di valori di x 2 , x 3 ,..., x n , si ha un valore per x1 , sicché, questo, insieme ai valori fissati in precedenza, fornisce una soluzione della (1). Data l'arbitrarietà della scelta di x 2 , x 3 ,..., x n , si ottengono infiniti valori di x1 e quindi infinite soluzioni che dipendono dagli n-1 valori fissati arbitrariamente. Si dice allora che la (1) ammette ∞ n¬1 soluzioni. Definizione 3. Si dice che due equazioni lineari sono equivalenti se l'insieme delle soluzioni dell'una è uguale a quello dell'altra. Definizione 4. Un'equazione lineare in n incognite si dice omogenea se il termine noto è nullo, cioè l’equazione è del tipo a1x1 + a 2 x 2 + ... + a n x n = 0 ∗ Più in generale a1 , a 2 ,..., a n ,b possono essere elementi di un campo K. 19 o anche n ∑ ai xi = 0 . i =1 Per un'equazione lineare omogenea (in n incognite) sussiste la Proposizione 1. 1) Una equazione lineare omogenea in n incognite ammette sempre la soluzione (0,0,....,0) , detta soluzione nulla o soluzione banale; 2) se (y1 , y 2 ,..., y n ) è una soluzione non banale di essa, la n-pla (hx1 , hx 2 ,....hx n ) è soluzione dell'equazione comunque si consideri h∈ R ; 3) se (y1 , y 2 ,..., y n ) e (z1 , z 2 ,..., z n ) sono due soluzioni indipendenti (e quindi entrambe non nulle) dell'equazione la n-pla (y1 + z1 , y 2 + z 2 ,...., y n + z n ) è soluzione dell'equazione. Definizione 5. Si dice sistema lineare di m equazioni in n incognite un sistema del tipo a11x1 + a12 x 2 + K + a1n x n = b1 (2) a 21x1 + a 22 x 2 + K + a 2n x n = b 2 M . a n1x1 + a n 2 x 2 + K + a nn x n = b n Definizione 6. Si dice soluzione di un sistema di equazioni lineari ogni n-pla di numeri reali (y1 , y 2 ,..., y n ) che sia contemporaneamente soluzione di ciascuna equazione dei sistema. Osservazione 1 La definizione data vale, in genere, per ogni tipo di sistema. Definizione 7. Un sistema di equazioni lineari (o più semplicemente sistema lineare) si dice compatibile se ammette almeno una soluzione, altrimenti si dice incompatibile. Definizione 8. Considerato il sistema (2), si dice matrice dei coefficienti o matrice incompleta del sistema o più semplicemente la matrice del sistema, la matrice 20 A= a11 a12 a 21 a 22 M M L a1n L a 2n M a m1 a m 2 L a mn e matrice dei coefficienti e termini noti o matrice completa, la matrice A' = a11 a12 a 21 a 22 M M b1 L a1n L a 2n b2 M M bm a m1 a m 2 L a mn più sinteticamente per la matrice A' si può scrivere nella forma b1 A' = A b2 M . bm Introducendo le matrici colonna x1 X= x2 M b1 e B= xn b2 M bn il sistema si può anche scrivere nella forma matriciale A • X = B. Definizione 9. Due sistemi lineari nelle stesse incognite si dicono equivalenti se tutte le soluzioni dell'uno sono anche tutte le soluzioni dell'altro. Definizione 10. Si dice che un'equazione lineare dei tipo c1x1 + c 2 x 2 + ... + c n x n = d dipende linearmente dal sistema lineare (2) se esiste una m-pla di numeri reali (h1, h 2 ,..., h m ) tele che ci = h1a1i + h 2a 2i + .... + h m a mi d = h1b1 + h 2 b 2 + .... + h m b m dove i = 1,2,...., n . 21 Proposizione 2. Due sistemi lineari nelle stesse incognite sono equivalenti se e solo se ogni equazione dell'uno dipende linearmente dall'altro e viceversa. Dato un sistema lineare, è possibile stabilire se è compatibile o incompatibile utilizzando la seguente Proposizione 3. Un sistema lineare è compatibile se e solo se la matrice incompleta e la matrice completa del sistema hanno lo stesso rango. Per stabilire, poi, quante soluzioni ammette un sistema lineare compatibile si applica la seguente Proposizione 4. (Teorema di Rouchè – Capelli). Se p è il rango (uguale) delle due matrici del sistema lineare di m equazioni in n incognite può accadere che I) II) p sia uguale a n: i1 sistema ammette una e una sola soluzione; p è minore di n: il sistema ammette ∞ n¬p soluzioni. Si omette la dimostrazione. Allo scopo di fornire un metodo risoluzione dei sistemi lineari compatibili si dà la seguente. Definizione 11. Un sistema lineare di m equazioni in n incognite si dice sistema di Kramer se m = n e la matrice dal sistema ha rango n. In tal caso il determinante della matrice del sistema si dice determinante del sistema (che ovviamente risulta non nullo) . Osservazione 2. Per il teorema di Rouchè - Capelli un sistema di Kramer è sempre compatibile. Si ha, inoltre, la seguente Proposizione 4. Un sistema di Kramer del tipo n ∑ aij x j = bi con i = 1,2,..., n j =1 ammette una e una sola soluzione data da Dj j = 1,2,..., n xj = D ove D = detA (essendo A = a ij ) e D j il determinante ottenuto da D sostituendo la colonna j-ma con quella del termini noti b1 , b 2 ,..., b n . DIM. 22 Il sistema (2) si può scrivere, come s'è già detto, nella forma matriciale A • X = B . Considerata la matrice inversa A-1 (che certamente esiste), si ha A-1 • A • X = A-1 • B da cui (3) X = A-1 • B . Indicando con Dij il cofattore di a ij nella matrice A, in virtù della proposizione 3.13, si ha 1 D ji A-1 = D con i,j = 1,2,…,n. Pertanto la (3) diventa x1 x2 = M xn D11 D 21 L D n1 1 D12 D M D1n D 22 L D n 2 M M b1 • D 2 n L D nn b2 M = bn b1D11 + b 2 D 21 + ... + b n D n1 = 1 b1D12 + b 2 D 22 + ... + b n D n 2 . M D b1D1n + b 2 D 2 n + ... + b n D nn da cui xj = b1D1 j + b 2 D 2 j + ... + b n D nj D = Dj D . (j = 1,2,…,n) In generale per risolvere un sistema lineare di m equazioni in n incognite compatibile si procede come segue: sia A • X = B il sistema con A = a ij con i = 1,2,..., m e j = 1,2,..., n e sia p il rango di A. Se M p è un minore fondamentale di A, esso si dice determinante caratteristico del sistema. Le equazioni corrispondenti alle p righe di M p si dicono equazioni principali e le incognite corrispondenti alle p colonne di M p incognite principali. Le restanti equazioni e le restanti incognite si dicono rispettivamente equazioni secondarie e incognite secondarie. Si considera, allora, il sistema (equivalente al dato) delle p equazioni principali nelle p incognite principali scelte che è un sistema di Kramer, essendo il suo determinante 23 il determinante caratteristico M p del sistema. Pertanto esso ammette una e una sola soluzione. 1. Se p = n, l'unica soluzione del suddetto sistema è anche l'unica soluzione del sistema dato; 2. se p < n, l' unica soluzione del sistema ottenuto dipende dalle n-p incognite secondarie alle quali si possono attribuire valori arbitrari. Ordinando i p valori della suddetta soluzione e gli n-p delle incognite secondarie, si ottiene una soluzione del sistema dato. Le ∞ n¬p soluzioni di quest'ultimo si ottengono al variare degli n-p valori arbitrari delle incognite secondarie. Definizione 12. Un sistema lineare di m equazioni in n incognite si dice normale se il rango della matrice incompleta è uguale al numero delle sue equazioni. Osservazione 3. Un sistema lineare di m equazioni in n incognite normale con m≤n è sempre compatibile. Inoltre 1. se m = n esso ammette una e una sola soluzione, in quanto è un sistema di Kramer; 2. se m < n ammette ∞ m¬n soluzioni per il teorema di Rouchè – Capelli. Definizione 13. Un sistema lineare del tipo n ∑ aij x j = 0 i = 1,2,...., n j =1 o anche A•X = 0 si dice sistema lineare omogeneo. E’ evidente che per un sistema lineare omogeneo la matrice incompleta e la matrice hanno sempre lo stesso rango in quanto la matrice B = 0 ; quindi è sempre compatibile ammette almeno la soluzione (0,0,....,0) , detta soluzione nulla o banale. E' interessante stabilire se un tale sistema ammette soluzioni diverse da quella banale. A tal proposito si ha la seguente Proposizione 5. Un sistema lineare omogeneo di m equazioni in n incognite A•X = 0 ammette soluzioni diverse da quella banale se e solo se il rango della matrice A è minore di n. DIM. Segue applicando il teorema di Rouchè – Capelli. 24 Definizione 14. Se (y1 , y 2 ,..., y n ) e (z1 , z 2 ,..., z n ) sono 2 soluzioni di un sistema lineare omogeneo in n incognite, esse si dicono linearmente dipendenti se esiste un numero reale h (non nullo) tale che yi = h z i (i = 1,2,..., n ) , altrimenti si dicono linearmente indipendenti. ( ) Definizione 15. Se y1s , y 2s ,..., y n s con s = 1,2,..., r sono r soluzioni di un sistema lineare omogeneo in n incognite, esse si dicono linearmente dipendenti se almeno una è combinazione lineare delle rimanenti, cioè, per esempio, esistono r-1 numeri reali h1 , h2 ,..., hr¬1 tali che y1r = h1 y11 + h2 y12 + ... + hr¬1 y1(r¬1) y2 r = h1 y21 + h2 y22 + ... + hr¬1 y2(r¬1) M ynr = h1 yn1 + h2 yn 2 + ... + hr¬1 yn (r¬1) altrimenti si dicono linearmente indipendenti. Sussistono,pertanto, le seguenti Proposizione 6. Se un sistema lineare omogeneo di m equazioni in n incognite ammette ∞ n¬p soluzioni (essendo p il rango del sistema) tutte e sole le soluzioni sono date dalla combinazione lineare n-p soluzioni note linearmente indipendenti. Proposizione 7. Se un sistema lineare omogeneo ha m equazioni e m+1 incognite ed normale, allora esso ammette soluzioni diverse dalla banale e precisamente ∞ 1 ; una particolare soluzione è la (m+1) - pla costituita dai minori M j (j = 1,2,…,m,m+1) ottenuti dalla matrice del sistema sopprimendo via via le colonne e presi con segni alterni, cioè M1 ,- M 2 , M 3 ,- M 4 ,…,(-1) m M m +1 . 25