2§ Sistemi di equazioni lineari

2§ Sistemi di equazioni lineari.
Definizione 1. Si dice equazione lineare nelle n incognite x1 , x 2 ,..., x n ogni
equazione della forma
(1)
a1x1 + a 2 x 2 + ... + a n x n = b
o anche
n
∑
(1')
i =1
ai xi = b
ove a1 , a 2 ,..., a n ∈ R si chiamano coefficienti e b∈ R termine noto.∗
Definizione
Si
2.
(x1, x 2 ,..., x n )∈ R
n
dice
dell'equazione
soluzione
suddetta
ogni
n-pla
tale che
a1x1 + a 2 x 2 + ... + a n x n = b .
Indicato con S l'insieme delle soluzioni dell'equazione (1), cioè
S = {(x1 , x 2 ,..., x n ) a1x1 + a 2 x 2 + .... + a n x n = 0},
può accadere che
1) S = ∅, allora si dice che la (1) è incompatibile ovvero non ammette soluzioni;
n
2) S = R , allora si dice che la (1) è una identità ovvero ogni n-pla di numeri
reali è soluzione di (1);
n
e in tal caso almeno uno dei coefficienti a i è diverso da
3) S ≠ ∅ e S ≠ R
zero. Se, per esempio, è a1 ≠ 0 dalla (1) si ottiene
a
a
a
b
x1 = - 2 x 2 - 3 x 3 -……- n x n + .
a1
a1
a1
a1
Pertanto per ogni (n-1)-pla di valori di x 2 , x 3 ,..., x n , si ha un valore per x1 , sicché,
questo, insieme ai valori fissati in precedenza, fornisce una soluzione della (1).
Data l'arbitrarietà della scelta di x 2 , x 3 ,..., x n , si ottengono infiniti valori di x1 e
quindi infinite soluzioni che dipendono dagli n-1 valori fissati arbitrariamente.
Si dice allora che la (1) ammette ∞ n¬1 soluzioni.
Definizione 3. Si dice che due equazioni lineari sono equivalenti se l'insieme delle
soluzioni dell'una è uguale a quello dell'altra.
Definizione 4. Un'equazione lineare in n incognite si dice omogenea se il termine
noto è nullo, cioè l’equazione è del tipo
a1x1 + a 2 x 2 + ... + a n x n = 0
∗
Più in generale a1 , a 2 ,..., a n ,b possono essere elementi di un campo K.
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o anche
n
∑ ai xi = 0 .
i =1
Per un'equazione lineare omogenea (in n incognite) sussiste la
Proposizione 1.
1) Una equazione lineare omogenea in n incognite ammette sempre la soluzione
(0,0,....,0) , detta soluzione nulla o soluzione banale;
2) se (y1 , y 2 ,..., y n ) è una soluzione non banale di essa, la n-pla (hx1 , hx 2 ,....hx n )
è soluzione dell'equazione comunque si consideri h∈ R ;
3) se (y1 , y 2 ,..., y n ) e (z1 , z 2 ,..., z n ) sono due soluzioni indipendenti (e quindi
entrambe non nulle) dell'equazione la n-pla (y1 + z1 , y 2 + z 2 ,...., y n + z n ) è
soluzione dell'equazione.
Definizione 5. Si dice sistema lineare di m equazioni in n incognite un sistema del
tipo
a11x1 + a12 x 2 + K + a1n x n = b1
(2)
a 21x1 + a 22 x 2 + K + a 2n x n = b 2
M
.
a n1x1 + a n 2 x 2 + K + a nn x n = b n
Definizione 6. Si dice soluzione di un sistema di equazioni lineari ogni n-pla di
numeri reali (y1 , y 2 ,..., y n ) che sia contemporaneamente soluzione di ciascuna
equazione dei sistema.
Osservazione 1 La definizione data vale, in genere, per ogni tipo di sistema.
Definizione 7. Un sistema di equazioni lineari (o più semplicemente sistema lineare)
si dice compatibile se ammette almeno una soluzione, altrimenti si dice
incompatibile.
Definizione 8. Considerato il sistema (2), si dice matrice dei coefficienti o matrice
incompleta del sistema o più semplicemente la matrice del sistema, la matrice
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A=
a11
a12
a 21
a 22
M
M
L a1n
L a 2n
M
a m1 a m 2 L a mn
e matrice dei coefficienti e termini noti o matrice completa, la matrice
A' =
a11
a12
a 21
a 22
M
M
b1
L a1n
L a 2n
b2
M
M
bm
a m1 a m 2 L a mn
più sinteticamente per la matrice A' si può scrivere nella forma
b1
A' =
A
b2
M
.
bm
Introducendo le matrici colonna
x1
X=
x2
M
b1
e B=
xn
b2
M
bn
il sistema si può anche scrivere nella forma matriciale
A • X = B.
Definizione 9. Due sistemi lineari nelle stesse incognite si dicono equivalenti se tutte
le soluzioni dell'uno sono anche tutte le soluzioni dell'altro.
Definizione 10. Si dice che un'equazione lineare dei tipo
c1x1 + c 2 x 2 + ... + c n x n = d
dipende linearmente dal sistema lineare (2) se esiste una m-pla di numeri reali
(h1, h 2 ,..., h m ) tele che
ci = h1a1i + h 2a 2i + .... + h m a mi
d = h1b1 + h 2 b 2 + .... + h m b m
dove i = 1,2,...., n .
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Proposizione 2. Due sistemi lineari nelle stesse incognite sono equivalenti se e solo
se ogni equazione dell'uno dipende linearmente dall'altro e viceversa.
Dato un sistema lineare, è possibile stabilire se è compatibile o incompatibile
utilizzando la seguente
Proposizione 3. Un sistema lineare è compatibile se e solo se la matrice incompleta
e la matrice completa del sistema hanno lo stesso rango.
Per stabilire, poi, quante soluzioni ammette un sistema lineare compatibile si applica
la seguente
Proposizione 4. (Teorema di Rouchè – Capelli). Se p è il rango (uguale) delle due
matrici del sistema lineare di m equazioni in n incognite può accadere che
I)
II)
p sia uguale a n: i1 sistema ammette una e una sola soluzione;
p è minore di n: il sistema ammette ∞ n¬p soluzioni.
Si omette la dimostrazione. Allo scopo di fornire un metodo risoluzione dei sistemi
lineari compatibili si dà la seguente.
Definizione 11. Un sistema lineare di m equazioni in n incognite si dice sistema di
Kramer se m = n e la matrice dal sistema ha rango n. In tal caso il determinante della
matrice del sistema si dice determinante del sistema (che ovviamente risulta non
nullo) .
Osservazione 2. Per il teorema di Rouchè - Capelli un sistema di Kramer è sempre
compatibile.
Si ha, inoltre, la seguente
Proposizione 4. Un sistema di Kramer del tipo
n
∑ aij x j = bi
con i = 1,2,..., n
j =1
ammette una e una sola soluzione data da
Dj
j = 1,2,..., n
xj =
D
ove D = detA (essendo A = a ij ) e D j il determinante ottenuto da D sostituendo la
colonna j-ma con quella del termini noti b1 , b 2 ,..., b n .
DIM.
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Il sistema (2) si può scrivere, come s'è già detto, nella forma matriciale A • X = B .
Considerata la matrice inversa A-1 (che certamente esiste), si ha
A-1 • A • X = A-1 • B
da cui
(3)
X = A-1 • B .
Indicando con Dij il cofattore di a ij nella matrice A, in virtù della proposizione 3.13,
si ha
1
D ji
A-1 =
D
con i,j = 1,2,…,n.
Pertanto la (3) diventa
x1
x2
=
M
xn
D11
D 21 L D n1
1 D12
D M
D1n
D 22 L D n 2
M
M
b1
•
D 2 n L D nn
b2
M
=
bn
b1D11 + b 2 D 21 + ... + b n D n1
=
1 b1D12 + b 2 D 22 + ... + b n D n 2
.
M
D
b1D1n + b 2 D 2 n + ... + b n D nn
da cui
xj =
b1D1 j + b 2 D 2 j + ... + b n D nj
D
=
Dj
D
.
(j = 1,2,…,n)
In generale per risolvere un sistema lineare di m equazioni in n incognite compatibile
si procede come segue:
sia A • X = B il sistema con A = a ij con i = 1,2,..., m e j = 1,2,..., n e sia p il rango di
A. Se M p è un minore fondamentale di A, esso si dice determinante caratteristico del
sistema. Le equazioni corrispondenti alle p righe di M p si dicono equazioni
principali e le incognite corrispondenti alle p colonne di M p incognite principali. Le
restanti equazioni e le restanti incognite si dicono rispettivamente equazioni
secondarie e incognite secondarie.
Si considera, allora, il sistema (equivalente al dato) delle p equazioni principali nelle
p incognite principali scelte che è un sistema di Kramer, essendo il suo determinante
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il determinante caratteristico M p del sistema. Pertanto esso ammette una e una sola
soluzione.
1. Se p = n, l'unica soluzione del suddetto sistema è anche l'unica soluzione del
sistema dato;
2. se p < n, l' unica soluzione del sistema ottenuto dipende dalle n-p incognite
secondarie alle quali si possono attribuire valori arbitrari. Ordinando i p valori
della suddetta soluzione e gli n-p delle incognite secondarie, si ottiene una
soluzione del sistema dato. Le ∞ n¬p soluzioni di quest'ultimo si ottengono al
variare degli n-p valori arbitrari delle incognite secondarie.
Definizione 12. Un sistema lineare di m equazioni in n incognite si dice normale se il
rango della matrice incompleta è uguale al numero delle sue equazioni.
Osservazione 3. Un sistema lineare di m equazioni in n incognite normale con m≤n è
sempre compatibile.
Inoltre
1. se m = n esso ammette una e una sola soluzione, in quanto è un sistema di
Kramer;
2. se m < n ammette ∞ m¬n soluzioni per il teorema di Rouchè – Capelli.
Definizione 13. Un sistema lineare del tipo
n
∑ aij x j = 0
i = 1,2,...., n
j =1
o anche
A•X = 0
si dice sistema lineare omogeneo.
E’ evidente che per un sistema lineare omogeneo la matrice incompleta e la matrice
hanno sempre lo stesso rango in quanto la matrice B = 0 ; quindi è sempre
compatibile ammette almeno la soluzione (0,0,....,0) , detta soluzione nulla o banale.
E' interessante stabilire se un tale sistema ammette soluzioni diverse da quella banale.
A tal proposito si ha la seguente
Proposizione 5. Un sistema lineare omogeneo di m equazioni in n incognite
A•X = 0
ammette soluzioni diverse da quella banale se e solo se il rango della matrice A è
minore di n.
DIM. Segue applicando il teorema di Rouchè – Capelli.
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Definizione 14. Se (y1 , y 2 ,..., y n ) e (z1 , z 2 ,..., z n ) sono 2 soluzioni di un sistema
lineare omogeneo in n incognite, esse si dicono linearmente dipendenti se esiste un
numero reale h (non nullo) tale che yi = h z i (i = 1,2,..., n ) , altrimenti si dicono
linearmente indipendenti.
(
)
Definizione 15. Se y1s , y 2s ,..., y n s con s = 1,2,..., r sono r soluzioni di un sistema
lineare omogeneo in n incognite, esse si dicono linearmente dipendenti se almeno una
è combinazione lineare delle rimanenti, cioè, per esempio, esistono r-1 numeri reali
h1 , h2 ,..., hr¬1 tali che
y1r = h1 y11 + h2 y12 + ... + hr¬1 y1(r¬1)
y2 r = h1 y21 + h2 y22 + ... + hr¬1 y2(r¬1)
M
ynr = h1 yn1 + h2 yn 2 + ... + hr¬1 yn (r¬1)
altrimenti si dicono linearmente indipendenti.
Sussistono,pertanto, le seguenti
Proposizione 6. Se un sistema lineare omogeneo di m equazioni in n incognite
ammette ∞ n¬p soluzioni (essendo p il rango del sistema) tutte e sole le soluzioni
sono date dalla combinazione lineare n-p soluzioni note linearmente indipendenti.
Proposizione 7. Se un sistema lineare omogeneo ha m equazioni e m+1 incognite ed
normale, allora esso ammette soluzioni diverse dalla banale e precisamente ∞ 1 ; una
particolare soluzione è la (m+1) - pla costituita dai minori M j (j = 1,2,…,m,m+1)
ottenuti dalla matrice del sistema sopprimendo via via le colonne e presi con segni
alterni, cioè
M1 ,- M 2 , M 3 ,- M 4 ,…,(-1) m M m +1 .
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