Elettronica I

INTRODUZIONE AI DISPOSITIVI ELETTRONICI
Appunti delle prime lezioni del corso di
Elettronica I
Prof. Marco SAMPIETRO
Anno 2001/02
Politecnico di Milano
Facoltà di Ingegneria
INTRODUZIONE ALLA FISICA DEI SEMICONDUTTORI
La grande maggioranza dei dispositivi a stato solido utilizzati negli apparati
elettronici odierni è fabbricata con un tipo particolare di materiale, chiamato "materiale
semiconduttore". Il silicio, ben noto a tutti, ne è il principale esponente.
Nelle prime lezioni, propedeutiche alla comprensione del funzionamento dei dispositivi
elettronici utilizzati nei circuiti, ci proponiamo di capire sinteticamente:
-
2
che cosa significhi "materiale semiconduttore",
quali proprietà manifestino questi materiali,
in quali modi e sotto quali condizioni è possibile un passaggio di corrente al loro
interno.
RAPPRESENTAZIONE DEGLI ATOMI ISOLATI
Prima di passare allo studio del silicio (Z=14)1, conviene richiamare alcuni semplici
concetti di fisica utili ad una chiara, benchè elementare, comprensione del comportamento dei
materiali elettronici, utilizzando un elemento molto più semplice: l'atomo di idrogeno.
ATOMO DI IDROGENO ISOLATO
L'elettrone, che sente l'attrazione Coulombiana del nucleo, può avere solamente ben
determinate energie (o, meglio, differenze di energia rispetto ad un livello di riferimento, preso
convenzionalmente come quello dell'elettrone libero):
En = −
13.6
[ eV]
n2
con n =1,2,3...= identificatore del livello energetico (propriamente detto numero quantico
principale). A lato è riportata una rappresentazione schematica dei livelli energetici in un atomo
di idrogeno.
Ad ogni livello corrispondono più
E = 0eV
disposizioni spaziali degli elettroni
E 4 = - 0 .8 5 e V .
rappresentate dai numeri quantici l
(ampiezza del momento della quantità
E 3 = - 1 .5 e V
di moto: l=0: simmetria sferica; l=1:
simmetria lobata; ecc.) ed m
(componente assiale di detto momento)
E 2 = - 3 .4 e V
e visualizzabili con dei sottolivelli. Con
riferimento ad atomi a più elettroni
inoltre, non più di due elettroni con la
stessa disposizione spaziale possono
occupare lo stesso sottolivello purchè
uno abbia spin opposto all'altro
E 1 = - 1 3 .6 e V
(Principio di esclusione di Pauli). Ogni
sottolivello, detto anche stato, è
caratterizzato quindi dai 4 numeri
quantici n, l, m, spin.
+
N u c le o
L'unità di misura dell'energia comoda in elettronica è
l' elettronVolt, eV :
1 eV=1.6.10-19 joules
Ai fini del corso è utile notare che l'ordine di grandezza della
distanza tra livelli energetici è, al più, di qualche elettronVolt.
Alla temperatura dello zero assoluto (T=0K) l'elettrone occupa il livello energetico più vicino al
nucleo. Fornendo energia all'elettrone (ad esempio scaldando) almeno pari alla differenza con il
livello successivo, esso può passare da un livello ad un altro.
1
Z è detto numero atomico. Esso caratterizza gli atomi ed indica il numero di protoni presenti nel nucleo.
In un atomo neutro, esso fornisce evidentemente anche il numero di elettroni.
3
GENERICO ATOMO ISOLATO
Se si prendesse un nucleo con Z protoni ed un solo elettrone, quest'ultimo si disporrebbe su
orbite definite da livelli energetici pari a :
En = −
13.6 2
Z
n2
[ eV]
In un normale atomo neutro, invece, la presenza anche di Z elettroni rende il calcolo
dell'energia dei livelli un problema complesso, dominio della meccanica quantistica, in cui
giuoca un ruolo essenziale l'effetto di schermaggio della carica del nucleo da parte degli
elettroni più interni.
Nel caso del silicio (Z=14), l'analisi porta ad un risultato relativamente semplice da visualizzare
nei suoi aspetti più importanti.
Dieci dei 14 elettroni occupano tutti i
livelli energetici disponibili più vicini
8 sta ti p o ssib ili
n=3
al nucleo, caratterizzati dai numeri
o c c u p a ti d a 4 e quantici n=1 (2 livelli) ed n=2 (8
livelli). I legami con il nucleo sono per
questi elettroni così forti che essi non
8 sta ti p o ssib ili
n=2
vengono sostanzialmente perturbati
o c c u p a ti d a 8 e dalle normali reazioni chimiche o dalle
forze tra atomi contigui in strutture a
2 sta ti p o ssib ili
n=1
più atomi.
o c c u p a ti d a 2 e I rimanenti 4 elettroni del silicio,
invece, occupano solo 4 stati tra quelli
disponibili caratterizzati dal numero
14 +
quantico n=3. Essi sono debolmente
attratti dal campo del loro proprio
nucleo perchè più lontani e perchè la carica positiva di quest'ultimo è in parte schermata dagli
altri 10 elettroni. Questi 4 elettroni sono chiamati elettroni di valenza e partecipano
attivamente ai legami con altri atomi.
.. . .
.. ......
..
L'ordine di grandezza delle dimensioni di un
atomo è l' Angstrom:
1Å=10-10m=10-8cm=10-4µm,
10Å=1nm.
4
RAPPRESENTAZIONE DEGLI ATOMI IN UN CRISTALLO
MODELLO DI RAPPRESENTAZIONE A BANDE DI ENERGIA
Avvicinando due atomi identici:
i livelli energetici più interni (vicini al nucleo) vengono pochissimo perturbati dalle
normali forze interatomiche;
i livelli energetici più esterni, invece, interagiscono significativamente uno con l'altro.
Poichè non è possibile che l'elettrone di un atomo e quello dell'altro, aventi la stessa energia e
lo stesso spin quando lontani tra loro, stiano su uno stesso livello energetico quando vicini (→
Principio di esclusione di Pauli), i livelli equivalenti di ogni singolo atomo non si unificano in
un livello unico ma si appaiano con una piccola differenza di energia tra loro. Con N atomi,
ogni livello energetico originale si divide in N differenti livelli vicinissimi, formando una
banda di livelli energetici, che potrà alloggiare fino a N elettroni. Le bande possono essere,
come nel caso dei livelli in un atomo singolo, separate tra di loro da un intervallo di energia in
cui gli elettroni anche in un cristallo non possono stare (intervallo proibito o energy gap, Eg),
oppure venire a contatto con le bande contigue creando bande ancora più larghe.
N
atom i
⇒
+
⇒
N livelli
N livelli
N livelli
In particolare, quando si forma un cristallo di Si, i livelli energetici più interni (i 2 stati
contrassegnati dal numero quantico n=1 e gli 8 contrassegnati da n=2) descrivono orbite così
piccole che praticamente non interagiscono con le corrispondenti degli atomi vicini. I livelli
energetici più esterni invece (quelli contrassegnati dal numero quantico n=3, occupati
parzialmente dai 4 elettroni di valenza) interagiscono fortemente: 4 di essi danno luogo a 4
bande che si sovrappongono tra di loro a formare una grande banda chiamata "banda di
valenza" che può alloggiare 4N elettroni. Gli altri livelli danno luogo anch'essi a bande che si
sovrappongono a formare un'unica grande banda detta "banda di conduzione". Le due bande
sono separate da un intervallo Eg in cui non ci sono livelli possibili per l'elettrone (band gap)
di 1.1eV2.
B an d a d i
co n d u zion e
B an d gap
B an d a d i
valen za
{
Ec
{
{
Ev
V a lo ri d i e nergia che
gli e lettro ni p o sso no ave re
b e nc hè se m p re le gati
co va le nte m e nte
Poichè gli elettroni effettivamente a disposizione sono 4N e tendono ad occupare i livelli
a minima energia, cioè quelli più vicini al nucleo, normalmente si ha che la banda di valenza è
2
I livelli energetici inferiori a quelli che hanno dato luogo alla banda di valenza non verranno più
menzionati nel seguito perchè, essendo completamente piene di elettroni, attraverso di esse non è possibile
passaggio di corrente, come verrà chiarito più avanti.
I livelli energetici superiori a quelli che hanno dato origine alla banda di conduzione corrispondenti alle
orbite più esterne, interagiscono a tal punto da formare una banda larghissima continua fino al livello E∞.
5
praticamente tutta piena di elettroni e che la banda di conduzione è praticamente vuota di
elettroni. Effettivamente, solo alla temperatura di 0K tutti gli elettroni stanno nella banda di
valenza e nessuno in quella di conduzione. A temperature maggiori, alcuni elettroni acquisicono
energia sufficiente per superare il gap proibito e portarsi in banda di conduzione, la quale
quindi si riempie sempre di più con l'aumentare della temperatura3.
La rappresentazione delle bande, come nella figura precedente, in funzione della posizione
spaziale enfatizza il fatto che un elettrone nella banda non è più associato ad un ben definito
atomo ma semplicemente al cristallo. Infatti gli elettroni sono tutti uguali e possono passare da
un livello ad un altro all’interno della banda, ognuno di questi essendo figlio di un differente
atomo.
MODELLO DI RAPPRESENTAZIONE A LEGAMI
Gli atomi in un cristallo possono anche essere rappresentati in modo da conservare
l'informazione spaziale. Questa dipende dal tipo e dal numero di legami che si instaurano tra
atomi contigui.
Nel caso del Si, i 4 elettroni di valenza danno luogo a 4 legami covalenti con 4 altri atomi di Si
primi vicini. La disposizione nello spazio di questi legami è perfettamente simmetrica, con gli
atomi disposti ai vertici di un tetraedro.
Tetraedri contigui si legano a formare il cristallo. Per comodità si è soliti definire la cella
unitaria di un cristallo come quella disposizione primaria cubica di pochi atomi, ripetendo la
quale nelle tre dimensioni dello spazio si ottiene la struttura cristallina macroscopica. Nel caso
del Si, la più usata è la seguente:
λ=5.43 Å
In molti casi una rappresentazione bidimensionale del cristallo è più comoda di una
rappresentazione tridimensionale. Essa può consistere semplicemente nella proiezione sul piano
3Il
valore di Eg dipende dal tipo di materiale. Più sono vicini gli atomi nel reticolo maggiore è
l'interazione tra i loro singoli livelli e quindi più larghe sono le bande, riducendo così il gap.
Per ragioni analoghe il gap di elementi ad alto Z è minore perchè le orbite elettroniche, molto grandi,
interagiscono molto determinando una separazione dei livelli maggiore e quindi bande più larghe:
C
(Z=6)
Eg≅6 eV
Si
(Z=14)
Eg=1.12 eV
Ge
(Z=32)
Eg=0.67 eV
Inoltre Eg varia anche con la temperatura perchè questa condiziona la distanza tra gli atomi in un cristallo.
6
della disposizione spaziale vera tridimensionale. Nel caso del silicio, essa dà luogo alla
semplice struttura a scacchiera con quattro legami ad angolo retto.
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Il disegno bidimensionale visualizza bene come ogni atomo di Si spartisca i suoi 4 elettroni di
valenza ognuno con uno dei 4 atomi primi vicini. Ogni cerchio rappresenta il nucleo ed i 10
elettroni più interni di ogni atomo, i pallini scuri rappresentano gli elettroni di valenza, ogni
linea rappresenta il legame covalente con un ben definito atomo contiguo. Le linee che si
dipartono da ogni cerchio sono otto perchè ogni atomo rende disponibile i suoi 4 elettroni di
valenza ma anche riceve un elettrone di valenza da ognuno degli atomi vicini.
Questa visualizzazione del cristallo è di gran lunga la più utilizzata nella discussione elementare
delle proprietà dei cristalli semiconduttori perchè, benchè la vera disposizione cristallografica
sia persa, purtuttavia sono mantenute la maggior parte delle informazioni fisico-chimiche di
interesse sui legami. Senza contare che la disposizione bidimensionale è incomparabilmente più
facile da disegnare sul foglio!.
Esercizio
In base alla conoscenza della cella unitaria, calcolare quanti atomi al cm3 sono
presenti in un cristallo di silicio.
Partendo dalla dimensione della cella (a=5.43Å) e dal numero di atomi che
contiene (8), è immediato calcolare la densita di atomi di silicio pari a
5x1022 atomi/cm3.
7
I PORTATORI DELLA CORRENTE NEI SEMICONDUTTORI : ELETTRONI e
LACUNE
A T=0K tutti i 4 elettroni di valenza del Si sono impegnati a formare legami covalenti
con i 4 atomi primi vicini. Non esistono elettroni liberi per condurre elettricità ed il cristallo si
comporta da isolante. In altri termini tutti gli elettroni sono posti, nel diagramma energetico,
nella banda di valenza e nessuno sta nella banda di conduzione.
A T>0K, gli atomi acquisiscono energia termica ed alcuni legami si spezzano dando
luogo a degli elettroni liberi. Nella rappresentazione a bande questo equivale ad eccitare un
elettrone dalla banda di valenza a quella di conduzione. Un elettrone libero (nel modello a
legami) equivale ad un elettrone nella banda di conduzione. L'entità dell'energia necessaria per
rompere il legame covalente è proprio Eg.
Dove prima stava l'elettrone si crea una mancanza dell’elettrone di legame, chiamato lacuna.
Essa può essere, alternativamente, visualizzata come mancanza di un elettrone nella banda di
valenza.
Il processo di creazione contemporanea di un elettrone libero e di una lacuna equivale ad una
ionizzazione dell'atomo, benchè nel suo complesso il cristallo rimanga neutro.
E lettrone che ha rotto il legam e
covalente ed è lib ero d i m uoversi
tra gli atom i del cristallo
Si
Si
Si
Si
Si
.
Si
C o ntem p o ranea
creaz io ne
d i u n elettro ne
e d i u na la cu na
o
Si
Si
Si
L acuna, ossia m ancanza di un
elettrone d i legam e dell'atom o di S i
CONDUZIONE DELL'ELETTRONE
Applicando un campo elettrico dall'esterno gli elettroni liberi acquistano una quantità di moto
netta nella direzione dettata dal campo e danno luogo ad una corrente, che chiamiamo corrente
di elettroni in banda di conduzione.
CONDUZIONE DELLA LACUNA
Un elettrone di valenza vicino al legame rotto può saltare nella posizione della lacuna, poichè la
nuova posizione è per l’elettrone energeticamente identica alla sua attuale. Infatti lascerebbe un
legame covalente con un atomo di silicio per andare a saturare un legame covalente con un altro
atomo di silicio. Questo spostamento fa sparire la lacuna nella posizione da cui era partito
l'elettrone di conduzione ma fa nascere una lacuna attorno all'atomo da cui è partito l'elettrone
di valenza. Essendo le lacune indistinguibili, il fenomeno equivale allo spostamento netto della
lacuna in direzione opposta a quello dell'elettrone di valenza.
Quando viene applicato un campo elettrico dall'esterno al cristallo, è mediamente favorito lo
spostamento dell'elettrone di valenza nella direzione dettata dal campo (come per l'elettrone di
8
conduzione) e conseguentemente si può dire che la lacuna si sposta nella direzione opposta.
L'elettrone che ha originato la lacuna non interviene nel processo di movimento di quest'ultima,
e va per la sua strada in maniera indipendente dalle lacune4.
U n elettro n e d i va len z a p u ò
o c c u p a re la p o siz io n e d ella la c u n a ...
Si
Si
Si
... lib era n d o u n a la c u n a
n ell'a to m o d a c u i p ro vien e.
Si
Si
Si
o
Si
Si
Si
Si
o
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Si
Riassumendo:
In un semiconduttore la conduzione di carica è realizzata contemporaneamente ed
indipendentemente dagli:
- elettroni liberi (o di conduzione) che si muovono "tra" gli atomi e quindi "tra" i legami
covalenti che gli atomi di Si stabiliscono tra di loro nel cristallo. Essa è rappresentata come
una corrente di elettroni nella banda di conduzione.
- elettroni di valenza che si muovono "lungo" i legami covalenti che tengono uniti gli atomi di
Si. Quest'ultimo meccanismo di trasporto è normalmente visualizzato dallo spostamento, in
direzione opposta, delle rispettive lacune. Essa è quindi rappresentata come una corrente di
lacune nella banda di valenza.
La corrente prodotta dal moto degli elettroni di valenza deve sommarsi a quella degli elettroni
di conduzione, perchè hanno lo stesso segno e sono sottoposti allo stesso campo. La corrente
degli elettroni di valenza può anche essere espressa come moto delle corrispondenti lacune,
purchè queste siano immaginate avere carica positiva (in modulo uguale a quella
dell'elettrone) perchè muoventesi in senso opposto.
4
Le lacune hanno significato solo in connessione con le bande nei solidi. Esse non sono entità separate.
Non si può parlare di lacune libere o ad esempio di un cannone di lacune come invece si parla di un
cannone di elettroni, che è il tubo a raggi catodici di un televisore.
9
E
Flu sso d i elettro n i d i co n d u zion e: Je = (-)|q | (+ )v = -q v
Flu sso d i elettro n i d i valen za
o
X
: Jva = (-)|q | (+ )v = -q v
⇓
.
esp resso co m e m oto d elle lacu n e: Jh = (+ )|q | (-)v = -q v
ca rica o p p o sta d i seg no
ed u gu a le in va lo re ...
... c he si m u o ve ne l
ve rso o p p o sto .
Gli elettroni liberi e le lacune sono anche chiamati portatori della corrente.
Data la loro diversa natura, ci si aspetta che gli elettroni di conduzione e gli elettroni di valenza
(d'ora in avanti chiamate solo lacune) abbiano in generale differenti mobilità (→pg.26).
I PORTATORI COME PARTICELLE LIBERE
Quando gli elettroni sono in banda di conduzione o le lacune sono in banda di valenza, è
comodo considerarli, agli effetti del moto, come particelle libere e farle sottostare alle leggi
fisiche delle particelle libere. Per fare in modo che i risultati ottenuti con tale semplificazione
siano in ottimo accordo con la realtà sperimentale si è pensato di concentrare gli effetti del
reticolo nella costante dielettrica del materiale εsi = ε0 εr ≅ 10-12 [F/cm] e nel valore della massa
dei portatori. Questa massa "di comodo" viene chiamata massa efficace (m*n per gli elettroni,
m*p per le lacune) dei portatori nel cristallo e differisce dalla massa dell’elettrone libero nel
vuoto mo.
La descrizione classica dei fenomeni di conduzione dei portatori con il solo buon uso della
massa efficace m*n e m*p permette di giungere a conclusioni sufficientemente accurate del
funzionamento dei dispositivi elettronici. Solo per interpretazioni raffinate di alcuni
comportamenti particolari dei dispositivi una trattazione quantistica rigorosa è necessaria.
POSSIBILI CONFIGURAZIONI DI BANDE
Il modello a bande, introdotto per un semiconduttore, può essere esteso anche agli altri
materiali. Ciò che rende i materiali differenti è l'entità del gap di energia.
10
Isolante
B anda di
c o n d u z io n e
E g > 3 ev
. ......
B anda di
va len z a
Semiconduttore
..
.... .
B anda di
c o n d u z io n e
0 .2 < E g < 2 eV
B anda di
va len z a
Metallo
B anda di
c o n d u z io n e
B anda di
va len z a
.
..... .
La banda di valenza tutta occupata è molto distante dalla banda di
conduzione. Affichè un elettrone riesca a passare dalla prima alla
seconda è necessario fornire una energia almeno pari al gap.
Questa energia, negli isolanti, è ben maggiore della energia
termica degli elettroni, per cui la transizione è altamente
improbabile (diamante: Eg≅6eV). In termini di legami, gli atomi
sono interessati da legami tanto forti che difficilmente vengono
rotti per mettere in libertà un elettrone che possa trasportare
corrente.
Nella banda di valenza piena non è possibile la conduzione
perchè gli elettroni possono solo scambiarsi tra di loro le
posizioni ma non dare luogo ad un flusso netto di carica. Un
ottimo isolante, utilizzatissimo nella costruzione dei dispositivi
elettronici, è l’ossido di silicio, SiO2, il cui gap vale Eg≅8eV.
La banda di valenza e di conduzione sono abbastanza vicine
(0.2<Eg<2eV) per cui non è impensabile fornire ad un elettrone di
valenza una quantità di energia che gli permetta di raggiungere la
conduzione. Nella rappresentazione a legami, questo equivale a
dire che il legame covalente può, con relativa facilità, venire
spezzato ed il suo elettrone diventare libero e quindi capace di
condurre corrente.
La banda di valenza si sovrappone alla banda di conduzione. Gli
elettroni possono occupare facilmente uno qualsiasi dei livelli e
quindi ritrovarsi associati ad un qualsiasi atomo. Questa
abbondanza di portatori liberi di muoversi fa dei metalli degli
ottimi conduttori di corrente.
E' importante notare che la classificazione in metalli, semiconduttori e isolanti dipende
strettamente dalla temperatura a cui si stà studiando il fenomeno. Un materiale che manifesta
proprietà isolanti a temperatura ambiente (T=300K), può diventare semiconduttore a
temperature mediamente elevate ed addirittura conduttore a temperature elevatissime (se non
subisce alterazioni chimiche o di stato). Viceversa un conduttore a temperatura ambiente può
risultare un ottimo isolante a temperature criogeniche. Il silicio ad esempio manifesta con
sempre maggior difficoltà le sue proprietà di semiconduttore a temperature inferiori a 170K.
I MATERIALI SEMICONDUTTORI
I materiali semiconduttori sono costituiti dagli elementi che stanno nella IV colonna della
tabella periodica o da composti degli elementi a cavallo di questa.
III
B (Z=5)
Al (Z=13)
Ga (Z=31)
IV
C (Z=6)
Si (Z=14)
Ge (Z=32)
V
N (Z=7)
P (Z=15)
As (Z=33)
Di gran lunga il più utilizzato è il silicio. Esso sta esattamente sotto il carbonio nella tabella
periodica, e da questo mutua molte proprietà, come ad esempio il tipo di legame tra gli atomi
(covalente) e la disposizione cristallografica (tetraedro).
11
Il silicio è comunissimo in natura. Esso non è però presente sotto forma di elemento puro, ma
deve essere ottenuto industrialmente a partire dai molti composti che lo contengono, come la
silice (SiO2) ed i silicati (Si+O+altri elementi).
La fortuna del Si è anche legata alla facilità di realizzarvi un ossido dalle ottime proprietà
isolanti, l’ossido di Si (SiO2), e dall’essere compatibile con un ottimo conduttore come
l’alluminio.
Altri materiali semiconduttori utilizzati in elettronica sono:
germanio
i composti di 2 elementi delle colonne III-V : GaAs, InP...
i composti di 3 (ternari) o di 4 (quaternari) elementi : GaAlAs, GaInAsP....
i composti II-VI : CdTe ...
Eccetto che per l' arseniuro di gallio (GaAs) con il quale sono realizzati i transistori utilizzati nei
circuiti operanti a frequenze molto elevate (>1GHz), gli altri materiali trovano impiego in
applicazioni specifiche e costose, nella maggior parte dei casi nell' ambito della optoelettronica.
Nota ai DIAGRAMMI A BANDE
I diagrammi a bande hanno sull' asse verticale crescente l' energia degli elettroni.
Quando un elettrone aumenta la sua energia, esso assume una posizione più elevata
nel diagramma a bande. Ad esempio si è visto che si passa dalla banda di valenza
(che sta sotto) alla banda di conduzione (che sta sopra) quando si fornisce
sufficiente energia all' elettrone.
Quando viceversa aumenta l' energia di una lacuna si intende dire che aumenta
l' energia degli elettroni della banda di valenza, che pertanto assumeranno posizioni
più elevate nel diagramma a bande. La lacuna, cioè la mancanza dell’elettrone,
quindi si sposta verso il basso.
.
Ec
Ev
Il livello più basso nella banda di conduzione (Ec) indica l' energia di un elettrone
di conduzione a riposo, cioè la sua energia potenziale. Il livello più alto della
banda di valenza (Ev) indica, corrispondentemente, l' energia potenziale della
lacuna.
L' energia cinetica dell' elettrone o della lacuna è data dalla distanza tra la loro
energia e, rispettivamente, Ec o Ev.
12
QUANTI SONO GLI ELETTRONI DI CONDUZIONE E LE LACUNE IN UN
SEMICONDUTTORE INTRINSECO ?
In un semiconduttore intrinseco (cioè estremamente puro, con una percentuale insignificante
di altri elementi contaminanti, per cui le caratteristiche fisiche del cristallo dipendono
unicamente dal semiconduttore utilizzato) all'equilibrio termico, i portatori sono dovuti alla
generazione di coppie elettrone-lacuna per eccitazione termica degli atomi di semiconduttore.
La densità di elettroni, n [elettroni/cm3], è quindi uguale alla densità di lacune, p [lacune/cm3]:
n = p = ni
dove ni è chiamata densità di portatori intrinseca. Essa dipende dalla temperatura T, cioè
dall’energia disponibile per ionizzare l’atomo di semiconduttore, e dal valore di Eg, cioè dalla
forza del legame.
Nel silicio5 :
ni = 1.45.1010 [portatori/cm3] a T=300K
Il valore di ni, benchè grande in assoluto, è piccolo rispetto al numero di legami che si
sarebbero potuti rompere ( ≅ 5.1022 cm-3).
Nel germanio, ad esempio, sarebbe ni=2.5.1013 [cm-3] a T=300K. La differenza è dovuta quasi
esclusivamente al differente Eg. Si noti quindi che, alla temperatura ambiente, il silicio contiene meno
portatori intrinseci generati termicamente del germanio. Questo fatto si rivelerà un vantaggio per il Si.
5
13
COME SI PUO' VARIARE LA CONCENTRAZIONE DI n e p ?
Il numero di portatori in un semiconduttore (elettroni e/o lacune) NON può essere
aumentato semplicemente aggiungendone dall'esterno perchè verrebbe a mancare la neutralità
di carica nel cristallo e nascerebbero delle grandi forze elettriche di reazione.
La soluzione consiste nell'incorporare nel cristallo, in sostituzione ad alcuni atomi di Si, atomi
neutri di altri elementi. Il processo tecnologico che realizza questa operazione è detto
drogaggio del semiconduttore. Vediamo in particolare gli effetti di questa operazione.
DROGANTI DEL V GRUPPO
P
As
Sb
fosforo
arsenico
antimonio
Gli elementi del V gruppo della tabella periodica hanno 5 elettroni nei
livelli più esterni. Quando uno di questi atomi prende il posto di un
atomo di silicio, un elettrone non partecipa al legame covalente con i 4
atomi di Si vicini. Questo elettrone è quindi poco vincolato al cristallo, e l'energia per liberarlo
dal suo atomo è molto minore di quella necessaria per rompere un legame covalente. La sola
agitazione termica rende, in genere, la ionizzazione dell'atomo di drogante possibile. Per il P nel
Si, l'energia è di soli 44meV contro 1.1eV e già a T≅150K sono tutti ionizzati. Poichè questa è
l’energia per rendere libero un elettrone, in un diagramma a bande il livello energetico
dell’elettrone legato al fosforo stà 44meV sotto la banda di conduzione6.
E lettro n e fa c ilm en te lib era b ile
Si
Si
Si
4 4 m eV
..
Si
P+
Si
Ec
E g = 1 .1 eV
Ev
Si
Si
Si
Localmente, associato all'atomo di drogante ionizzato, si ha una carica positiva, globalmente
compensata, in qualche punto del cristallo, dal suo elettrone libero. Il cristallo, nel suo
complesso, rimane quindi neutro.
Gli elementi del V gruppo, per la loro capacità di liberare un elettrone, sono detti donori. Il
numero di donori per unità di volume [cm3] è detta densità di donori, ND [atomi/cm3].
La ionizzazione del drogante donore non genera una lacuna. Infatti non c'è nessun elettrone
legato vicino per il quale sia indifferente stare dove già è oppure andare ad occupare il legame
6
Il tratteggio nell'indicare il livello energetico degli atomi di drogante all'interno del gap del Si sottolinea
il fatto che gli atomi di drogante sono sparsi e non interagiscono tra di loro. I loro elettroni, inoltre,
quando legati, stanno in una ben determinata posizione del cristallo e non sono delocalizzati nello spazio.
14
lasciato libero dal quinto elettrone del donore. Questo infatti, abbiamo detto, è di natura ben
diversa da un legame covalente ed, energeticamente parlando, ad una energia ben maggiore.
Con l'inserimento nel cristallo semiconduttore di atomi donori si può pertanto selettivamente
aggiungere un numero voluto di elettroni liberi disponibili alla conduzione senza aggiungere un
corrispondente numero di lacune.
I semiconduttori drogati con elementi del V gruppo sono chiamati semiconduttori di tipo n
dove i portatori maggioritari sono gli elettroni, ed i portatori minoritari sono le lacune. In
particolare ci saranno:
elettroni e lacune, generate termicamente dalla rottura di alcuni legami covalenti del
silicio,
elettroni generati dalla ionizzazione di tutti (a T ambiente) gli atomi di drogante.
DROGANTI DEL III GRUPPO
B
Al
Ga
boro
alluminio
gallio
Gli elementi del III gruppo della tabella periodica hanno solo 3
elettroni nei livelli più esterni. Quando uno di questi atomi prende il
posto di un atomo di silicio, i 3 elettroni di valenza saturano 3 dei 4
legami covalenti con gli atomi di Si vicini. Il quarto legame non saturato esercita una grande
forza sugli elettroni vicini impegnati nel legame covalente tra atomi di Si. In termini energetici,
per gli elettroni di legame è relativamente indifferente mantenere la loro posizione o cambiarla
ed andare a colmare il legame mancante associato al drogante. In realtà c'è una piccola
differenza tra la forza del legame non saturato dovuto alla presenza dell'atomo di drogante e
quella del legame non saturato di un atomo di silicio. Privato dell’elettrone, l'atomo di Si
sarebbe carico positivamente ed eserciterebbe una azione maggiore sull'elettrone di quanto non
possa fare il boro che invece è neutro. Tuttavia le forze elettrostatiche in un cristallo sono molto
inferiori rispetto a quelle di legame e la differenza è molto piccola. Nel caso del B nel Si,
l'energia in più che bisogna fornire all'elettrone che è legato covalentemente al Si affinchè vada
ad occupare il legame associato al boro, è di soli 45meV. La sola energia termica presente nel
cristallo alla temperatura ambiente è sufficiente per ionizzare tutti gli atomi di drogante. Come
conseguenza di questo scambio, si è creata una lacuna nel semiconduttore, cioè un legame
covalente non saturato associato ad un atomo di Si.
leg a m e m a n c a n te fa c ilm en te
c o lm a b ile d a u n e- d i S i a d ia c en te
Si
Si
Si
Ec
4 5 m eV
Si
B
Si
Si
Si
Si
E g = 1 .1 eV
..
Ev
15
Localmente, associato all'atomo di drogante, si ha una carica negativa (e si parla di ionizzazione
dell'atomo di drogante), globalmente compensata, in qualche punto del Si, dalla lacuna creata.
Il cristallo, nel suo complesso, rimane quindi sempre neutro.
Gli elementi del III gruppo, per la loro capacità di prendere un elettrone e liberare così una buca
nel cristallo, sono detti accettori. Il numero di accettori per unità di volume è detta densità di
accettori, NA [atomi/cm3].
Con l'inserimento nel semiconduttore di atomi accettori in sostituzione di alcuni atomi di Si, si
può pertanto selettivamente aggiungere un numero voluto di lacune libere disponibili alla
conduzione senza aggiungere un corrispondente numero di elettroni.
I semiconduttori di questo tipo sono chiamati semiconduttori di tipo p dove i portatori
maggioritari sono le lacune, ed i portatori minoritari sono gli elettroni. In particolare si
avranno:
elettroni e lacune generate termicamente dalla rottura di alcuni legami covalenti del
silicio,
lacune generate dalla ionizzazione di tutti (a T ambiente) gli atomi di drogante.
Esercizio
Cosa succede se si droga con una uguale quantità di donori e di accettori un
pezzo di semiconduttore?
In questo caso, in cui NA=ND, gli elettroni liberati dal donore saturano i legami
liberi degli accettori. Non si ha pertanto nè un aumento di elettroni di conduzione
nè un aumento di lacune. Il materiale è come se fosse intrinseco ed è chiamato
semiconduttore compensato.
Ec
°
° ° °
Ev
Se entrambi i droganti sono presenti ma NA≠ND, il numero ed il tipo di portatori
disponibili per la conduzione è determinato dal drogante prevalente ed equivale
alla differenza |NA-ND| tra le densità di drogante.
Lo sviluppo dell'elettronica si basa sulla capacità di produrre silicio cristallino con
una elevatissima purezza. Si arriva fino ad avere nel cristallo meno di 1012
atomi/cm3 di altri elementi, cioè un livello di impurezze di
∼1 atomo su 1010 atomi !!!
Con nessun altro materiale si arriva a tanto.
In elettronica si tende a purificare il più possibile il silicio e poi a introdurre i
droganti voluti. La posizione dei droganti nel reticolo in sostituzione degli atomi
del Si è casuale.
Le concentrazioni di drogante sono comunque piccole rispetto alla densità del Si:
densità di atomi di Si :
densità di atomi di drogante:
5.1022 atomi/cm3
1012 ≤ NA, ND ≤ 1019 atomi/cm3
COME SI DISTRIBUISCONO IN ENERGIA I PORTATORI PRESENTI NEL
SEMICONDUTTORE ?
La distribuzione dei portatori nelle rispettive bande di energia è ricavata moltiplicando
tra loro la distribuzione degli stati disponibili nella banda per la probabilità che questi siano
occupati.
In particolare, per calcolare n(E) si moltiplicano tra loro:
-
la funzione che definisce la probabilità che un elettrone abbia una certa energia ad una
data temperatura, f(E)
-
la funzione che fornisce la densità dei livelli energetici occupabili nella banda di
conduzione alle varie energie, gc(E):
n(E) = f(E) . gc(E)
Per calcolare p(E) si moltiplicano tra loro:
-
la funzione che definisce la probabilità che una lacuna abbia una certa energia,
equivalente alla probabilità che un elettrone NON abbia quella energia, [1-f(E)]
-
la funzione che fornisce la densità dei livelli energetici occupabili nella banda di
valenza alle varie energie, gv(E)
p(E) = [1-f(E)] . gv(E)
Il numero complessivo di portatori all’interno delle rispettive bande non sarà altro che
l' integrale delle distribuzioni nelle rispettive bande:
n=
∫
+∞
Ec
f ( E) ⋅ g c ( E) dE
p=
∫ [1 − f ( E)] ⋅ g
Ev
−∞
v
( E) dE
CALCOLO DI f(E) E g(E)
Se, invece di prendere in esame gli elettroni nel semiconduttore, si studiasse ad esempio la
distribuzione in energia delle molecole di un gas perfetto (cioè un sistema di particelle non
interagenti tra loro) all' equilibrio termico, la probabilità che una molecola occupi uno stato a
cui compete una energia E sarebbe data dalla distribuzione di probabilità di MaxwellBoltzmann:
f ( E) = γe
−
E
kT
dove k è la costante di Boltzmann, T è la temperatura assoluta, con kT=25meV a T=300K e γ
è una costante tale per cui la distribuzione delle molecole, dei portatori integrata su tutte le
possibili energie, dia il numero totale di molecole effettivamente presenti nel gas.
La relazione di Boltzmann ci dice tra l’altro che:
fissata la temperatura, la probabilità che un livello energetico E sia occupato da una
particella del gas decresce esponenzialmente all' aumentare della energia in esame;
a basse temperature solamente i livelli a bassa energia sono occupati ed al limite, allo
zero assoluto, solamente il livello a più bassa energia è occupato da tutti i portatori
presenti;
17
-
all'aumentare della temperatura è sempre più grande la probabilità che una particella
abbia una energia E fissata.
La legge di distribuzione di Maxwell-Boltzmann non si adatta però a rappresentare
rigorosamente il sistema costituito dagli elettroni nel cristallo semiconduttore all'equilibrio
termico perchè non è vero che gli elettroni nel cristallo siano particelle non interagenti. Esse
infatti sottostanno al vincolo, sintetizzato dal principio di esclusione di Pauli, di non poter
occupare in più di due (e solo se di spin opposto) lo stesso livello energetico. La trattazione di
questo caso specifico, oggetto di altri corsi, porta a ricavare una differente distribuzione di
probabilità di occupazione di uno stato energetico da parte di un elettrone nel semiconduttore,
rispetto al caso precedente di particelle non interagenti. La nuova distribuzione, chiamata
distribuzione di Fermi-Dirac, ha la seguente espressione:
1
f ( E) =
1+ e
E− E f
kT
dove Ef, detto livello di Fermi (o energia di Fermi), è un livello energetico
convenzionalmente preso come riferimento, avente il significato fisico di quella energia a cui
corrisponde una probabilità ½ di trovare un elettrone.
E
E
T a lta
T b a ssa
Ef
Ef
T =0K
0
T >0K
1 /2
1
0
f(E )
1 /2
1
f(E )
Alla temperatura dello zero assoluto (T=0K) tutti gli stati con energia inferiore a Ef sono
occupati mentre è nulla la probabilità che un elettrone si trovi in uno stato con energia superiore
ad Ef. A differenza di quanto accade con la distribuzione di Maxwell-Boltzmann, a T=0K sono
occupati molti livelli, tutti quelli fino ad E=Ef proprio in conseguenza del principio di
esclusione di Pauli.
All'aumentare della temperatura, aumenta la probabilità che un elettrone occupi un livello
energetico superiore ad Ef e, corrispondentemente, che alcuni stati ad energia inferiore ad Ef
siano vuoti. Il livello energetico Ef ha comunque sempre probabilità ½ di essere occupato da un
elettrone.
Si noti che quando (E-Ef)>3kT, la distribuzione di Fermi si può semplificare nella:
f ( E) ≅ e
−
E−E f
kT
che mostra come le code della distribuzione di Fermi siano degli esponenziali decrescenti ed
abbiano quindi la stessa dipendenza di una distribuzione di Boltzmann. Questo interessante
risultato indica che una particella con energia ben maggiore di Ef (E-Ef > 100 meV) ha una
probabilità non più condizionata dal principio di esclusione di Pauli di occupare un certo
livello energetico. L'energia è così alta infatti che poche sono le particelle che possono
occupare gli stati lì presenti per cui poco importa che gli stati possono essere, ognuno,
occupato solamente da un solo elettrone.
18
Anche la coda ad energie inferiori a Ef ha andamento esponenziale. Infatti:
1 − f ( E) = 1 −
1
1+ e
E−Ef
kT
=
e
E−Ef
kT
1+ e
E− E f
kT
≅e
E−Ef
kT
e quindi anche la distribuzione energetica delle lacune ha sostanzialmente una dipendenza alla
Boltzmann.
Le distribuzioni di Boltzmann o di Fermi rappresentano unicamente delle probabilità di
occupazione di uno stato energetico. Per ricavare la distribuzione effettiva in energia dei
portatori bisogna conoscere anche la quantità (densità) degli stati occupabili, g(E).
Nell'introdurre il modello a bande per il Si abbiamo detto che ogni banda contiene un numero
di livelli energetici dell'ordine di quattro volte il numero di atomi del cristallo. Ora
accenniamo a come questi livelli siano distribuiti in energia all'interno delle due bande, quella
di valenza e quella di conduzione. Il problema, squisitamente di meccanica quantistica, porta
alle seguenti distribuzioni paraboliche7della densità dei livelli energetici esistenti nelle bande
di conduzione e di valenza di un semiconduttore come il silicio. All'interno del gap di energia,
evidentemente, g(E)=0.
E
g c ( E) = γ 1 E − E c
per E ≥ E c
g v ( E) = γ 2 E v − E
per E ≤ E v
÷√E - E c
Ec
Ev
÷√E v - E
0
g(E )
parabole hanno diversa curvatura, perchè diversi sono γ1 e γ2. Essi infatti contengono delle costanti
fisiche e le masse efficaci, rispettivamente, dell'elettrone e della lacuna. Va detto, e con un poco di
imbarazzo, che per fare sì che i conti utilizzanti g(E) vengano conformi a quelli raffinati fatti con la
meccanica quantistica, si è dovuto qui introdurre dei valori di massa efficace diversi da quelli usati per il
calcolo del moto delle particelle!
7Le
18
La distribuzione in energia dei portatori è visualizzabile in forma grafica con l'aiuto della
figura seguente.
A seconda di come sono reciprocamente posizionate in energia g(E) ed f(E), cioè di dove è
posto il riferimento del livello di Fermi Ef all'interno del gap creato da g(E), si hanno
distribuzioni di portatori differenti.
Quando Ef è posto a metà del gap, le distribuzioni nella banda di valenza e nella banda di
conduzione sono praticamente uguali, indicando un numero uguale di lacune e di elettroni di
conduzione. Per quanto già sappiamo, ci aspettiamo che questa situazione sia quella che
rappresenta un semiconduttore intrinseco.
Quando Ef viene avvicinato ad Ec, l'integrale della distribuzione nella banda di conduzione è
ben maggiore di quello della banda di valenza, indicando una maggiore presenza di elettroni di
conduzione rispetto alle lacune. Questa situazione ci aspettiamo che rappresenti il caso di un
materiale di tipo n. Viceversa, se Ef viene avvicinato ad Ev, l'integrale della distribuzione
della banda di valenza ha il sopravvento, indicando un materiale di tipo p.
Si noti che, in tutti i casi, a causa della veloce discesa a zero di f(E) data dalle sue code
esponenziali, le distribuzioni spaziali dei portatori sono molto raccolte nelle vicinanze di Ec
ed Ev.
g c (E )
E
f(E )
Ec
Ef
f(E ) g c (E )
Ec
Ef
Ev
Ev
[1 -f(E )]
[1 -f(E )] g v (E )
g v (E )
g c (E )
Ec
e le ttro n i
f(E )
Ec
Ef
Ef
Ev
Ev
[1 -f(E )]
la c u n e
g v (E )
g c (E )
Ec
f(E )
Ef
Ev
Ef
Ev
g (E )
v
Ec
[1 -f(E )]
QUALE E’ LA RELAZIONE TRA LA DENSITA’ DEI PORTATORI E LA
POSIZIONE DEL LIVELLO DI FERMI ?
E’ naturale a questo punto voler calcolare la quantità totale dei portatori liberi nelle
rispettive bande in funzione della posizione del livello di Fermi all’interno del gap. Nel caso
degli elettroni il calcolo si sviluppa nel seguente modo:
n=
∫
∞
Ec
f ( E)g c ( E)dE ≅ γ 1 ∫E e
= γ 1e
∞
c
−
Ec −Ef
kT
3
( kT) 2 ∫0 e
∞
−
E− Ec
kT
−
E−Ef
kT
E − E c dE = γ 1 ∫0 e
∞
−
E− Ec
kT
e
−
Ec − Ef
kT
E − E c d(E − E c )
Ec −Ef
3
E − Ec E − Ec
−
d(
) = γ 1e kT ( kT) 2 α 1
kT
kT
8. Si ottiene così:
α1 è il valore numerico dell' integrale definito
n = N ce
−
Ec − E f
kT
3
dove
N c = γ 1 ( kT) 2 α1 ≅ 3.2 ⋅ 1019 [ cm−3 ] a T = 300K
In maniera analoga, il calcolo di p porta alla seguente espressione della densità di lacune nella
banda di valenza:
p = N ve
−
Ef −Ev
kT
3
dove
N v = γ 2 ( kT) 2 α 2 ≅ 2 ⋅ 1019 [ cm −3 ] a T = 300K
Queste due formule permettono di ricavare, nota la posizione di Ef nel gap, la concentrazione
dei due portatori; oppure nota la concentrazione di uno dei due portatori, la posizione di Ef e
la concentrazione dell' altro portatore.
E' interessante fare un ulteriore commento a queste espressioni. N
c può essere visto come il
numero "equivalente" dei livelli occupabili nella banda di conduzione, concentrati tutti nella
posizione energetica ad Ec. Questi stati sono solo in parte occupati e la probabilità di
occupazione è regolata dalla statistica di Boltzmann espressa dal termine esponenziale. Ad
esempio, degli 3.2.1019 stati occupabili, ne sono effettivamente occupati un numero minore in
dipendenza da quanto il livello inferiore della banda di conduzione Ec dista dal livello di
Fermi Ef. Tanto più alto è il drogaggio, tanto più Ef è vicino ad Ec, quindi Ec-Ef è piccola.
8Poichè
nell' integrando si è sostituita la distribuzione di Fermi con quella di Boltzmann, tutti i risultati che
da questo calcolo derivano sono validi fintanto che questa ipotesi è valida, cioè fintanto che il livello di
Fermi Ef si trova all' interno del gap e distante da E
c o da Ev di più di ≈3kT in modo da poter usare solo la
coda esponenziale. Quando ciò non si verifica, perchè il semiconduttore è molto drogato (ND,NA>1019
atomi/cm3), si dice che il semiconduttore è degenere. In questo caso, bisognerebbe rifare tutti i conti
utilizzando la distribuzione di Fermi f(E). Nella pratica, molto raramente si incontrano casi in cui ciò sia
necessario.
19
Esercizio
Dove si colloca esattamente Ef in un semiconduttore intrinseco ?
La posizione del livello di Fermi di un semiconduttore intrinseco, indicato con
Ei, è ottenuta ricordando che vale in questo caso la relazione n = p. Quindi:
N ce
−
−
Ec − E f
kT
= N ve
−
Ef −Ev
kT
Ef −Ev
Ec − E f − E f + E v
N c e kT
−
kT
e
= Ec − Ef =
Nv
−
e kT
da cui si ottiene:
Ef = Ei =
⇒
ln
Nc Ec + Ev
Ef
=
−2
Nv
kT
kT
E c + E v kT N c
ln
−
2
2
Nv
A parte quindi il piccolissimo scarto di ∼6meV alla temperatura ambiente, in un
semiconduttore intrinseco il livello di Fermi si trova praticamente al centro del
gap.
Ec
E f =E i
Ev
La corrispondente densità di portatori può allora essere espressa
indifferentemente da
ni = N ce
−
Ec − Ei
kT
oppure n i = N v e
−
Ei −Ev
kT
In alternativa all'espressione prima trovata delle densità di portatori, se ne usa spesso un'altra
altrettanto comoda, ottenuta dalla prima con una semplicissima elaborazione. Per gli n:
n = N ce
−
Ec − E f
kT
= N ce
−
Ec − Ei + Ei − E f
kT
= N ce
−
Ec − Ei
kT
e
E f − Ei
kT
Riconoscendo l'espressione di ni, si perviene a:
n = ni e
Ef −Ei
kT
In maniera analoga per i p si perviene alla espressione:
p = ni e
Ei − Ef
kT
Il vantaggio di queste due espressioni rispetto alle due prima introdotte è che basta ricordarsi
una sola costante, ni, invece di due, Nc e Nv, e calcolare una sola differenza di energia |Ef-Ei|.
20
LEGGE DI AZIONE DI MASSA
E' interessante notare che se si considera un determinato semiconduttore drogato all’equilibrio
termico, e si moltiplicano tra loro le concentrazioni dei portatori, si ottiene:
n ⋅ p = n 2i
Questa utilissima relazione, chiamata anche legge di azione di massa, ci dice che in un
semiconduttore il prodotto tra la concentrazione dei maggioritari e quella dei minoritari è
costante per cui quando si aumenta il numero di elettroni mediante l’aggiunta di atomi donori
contemporaneamente diminuisce la concentrazione delle lacune. Nota l'una è immediatamente
calcolabile l'altra.
L'espressione di ni, il cui valore a temperatura ambiente era già stato introdotto (→pg.13), può
essere facilmente ricavata nel seguente modo:
n ⋅ p = n 2i = N c N v e
−
Ec − Ev
kT
⇒
ni = N cN v e
−
EG
2 kT
Limiti di rigorosa validità delle relazioni
Tutta la trattazione fin qui svolta, è utile ricordarlo, vale fintanto che
il semiconduttore è:
- non degenere. Infatti nel ricavare n e p si è usata la distribuzione di
Boltzmann invece di quella di Fermi;
- all'equilibrio termico, perchè è in queste condizioni che vengono
definite ed hanno validità le distribuzioni usate.
21
COME CALCOLARE IL NUMERO DEI PORTATORI IN UN SEMICONDUTTORE
DROGATO ?
Le espressioni appena trovate pongono in relazione la densità dei portatori, n o p, con la
posizione del livello di Fermi Ef all'interno del gap ma ancora nulla dicono del loro valore
assoluto. Per fare questo ultimo passo si deve calcolare la densità dei portatori disponibili in
base al valore del drogaggio.
In un volume di semiconduttore drogato uniformemente la carica globale è nulla (condizione
di neutralità della carica)9 perchè il drogante ionizzato è compensato dal suo portatore.
Supponendo i droganti completamente ionizzati (ipotesi sicuramente valida a temperatura
ambiente), le cariche positive presenti sono pari alla somma delle lacune, p, e degli ioni degli
atomi donori ND. Le cariche negative invece sono pari alla somma degli elettroni liberi, n, e
degli atomi accettori ionizzati NA. La condizione di neutralità di carica si traduce in:
q (p+ND-n-NA) = 0
→
p-n = NA-ND
Ricordando la legge di azione di massa np=ni2 si ha
N − ND
 N − ND 
 + n 2i
p= A
+  A


2
2
2
N − NA
 N − NA 
 + n 2i
n= D
+  D


2
2
2
Questa coppia di equazioni permette di ricavare, nota la quantità di drogante, la
concentrazione dei portatori maggioritari e minoritari effettivamente disponibili. Si ritrova
quantitativamente quanto già noto qualitativamente, cioè che p e n dipendono da:
quantità netta di drogante, |NA-ND|;
portatori generati termicamente, ni.
Se il materiale è drogato in modo significativo con un ben definito elemento (|NA-ND|>ni), si
hanno i seguenti casi semplificati:
semiconduttore di tipo p :
NA > ND
⇒
p ≅ NA
semiconduttore di tipo n :
ND > NA
⇒
n ≅ ND
n 2i
n≅
NA
n 2i
p≅
ND
In entrambi i casi la densità di portatori maggioritari corrisponde praticamente alla densità di
drogante, e la densità dei portatori minoritari segue la legge di azione di massa. Nella pratica
costruttiva dei dispositivi elettronici si è quasi sempre in questa situazione, essendo i livelli di
drogaggio normalmente utilizzati pari a 1014÷1018 [cm-3] contro un valore di ni=1.45.1010
[cm-3].
9La
neutralità di carica non è disturbata dalla generazione ottica o termica perchè i portatori vengono
generati o ricombinati in coppie, senza alterare la carica totale. La neutralità di carica è invece disturbata
nelle regioni di semiconduttore dove si ha un campo elettrico, o applicato dall'esterno o prodotto
internamente con un drogaggio ad esempio non uniforme, come vedremo meglio in seguito.
22
In base a quanto visto dovrebbe risultare chiaro il seguente grafico che mostra l'andamento con
la temperatura della concentrazione dei portatori in un semiconduttore drogato n (ad esempio
ND=1016 cm-3). A temperature molto basse (T<100K) la concentrazione di portatori è
bassissima perchè pochi sono quelli generati termicamente e gli atomi di drogante non si sono
ancora ionizzati.
Nell'intervallo di temperatura tra 150K÷600K, la concentrazione di portatori maggioritari
coincide praticamente con quella dei droganti poichè questi sono tutti ionizzati. All'aumentare
della temperatura ai portatori maggioritari dati dal drogante si aggiungono, in quantità sempre
crescenti, coppie elettrone-lacuna generati termicamente. Quando queste diventano prevalenti
rispetto ai portatori n forniti dal drogante (T>650÷700K), il materiale può di nuovo essere
considerato intrinseco.
n /N D
2
n
1
ni
300
600
T (K )
DOVE SI COLLOCA Ef IN UN SEMICONDUTTORE DROGATO ?
Noti i valori di densità dei portatori maggioritari e minoritari, è immediato calcolare la
posizione del livello di Fermi all'interno del gap. Dalle relazioni esponenziali prima introdotte
si ricava:
E f = E i + kT ln
n
ni
oppure
E f = E i − kT ln
p
ni
Poichè il livello di Fermi in un semiconduttore all'equilibrio è unico, è indifferente usare l'una o
l'altra espressione. Se infatti si sostituisce alla prima n=ni2/p, si ottiene la seconda e viceversa.
Usare, nel definire un semiconduttore drogato, il valore del livello di Fermi oppure il valore di
concentrazione dei portatori è equivalente e dettato di volta in volta da ragioni di convenienza o
di chiarezza. Ad esempio, il livello di Fermi è a volte preferito perchè la presenza del logaritmo
riporta enormi variazioni di n o p a piccole variazioni di Ef, più comode da usare nei calcoli nei
programmi di simulazione.
23
COME SI PUO' FARE SCORRERE CORRENTE NEI SEMICONDUTTORI ?
CORRENTE DI CONDUZIONE o DI DERIVA
La corrente di conduzione (o di deriva) nasce perchè le cariche mobili, elettroni e lacune,
sentono una forza quando poste in un campo elettrico E.
Agli effetti del moto nel cristallo, come già detto, si considerano gli elettroni e le lacune come
particelle libere, in cui gli effetti del potenziale periodico del reticolo ideale di silicio sono
completamente tenuti in conto dalla massa efficace che si attribuisce loro. Solo gli scostamenti
dalla pura periodicità del reticolo determinano delle forze deflettenti sul moto delle particelle.
Le due principali cause di distorsione dalla periodicità sono legate a:
1)
vibrazioni termiche del reticolo cristallino;
2)
presenza degli atomi di drogante ionizzato in sostituzione di alcuni atomi di silicio.
Queste forze deflettenti agiscono con continuità ed a lungo raggio. Tuttavia è molto comodo
rappresentare il moto delle particelle come soggette ad urti secchi, in corrispondenza dei quali
la velocità si annulla e la nuova direzione è completamente casuale.
Se si applica un campo elettrico, la particella tra un urto e l'altro viene accelerata dalla forza:
&
&
&
F = qE = m∗ a
subendo una accelerazione pari a
&
& qE
a= ∗.
m
Se l'intervallo medio tra un urto e l'altro è τc, la velocità media del portatore è di
& qτ c &
v≅ ∗ E
m
A causa quindi delle continue interazioni, la presenza di una forza sui portatori non dà luogo ad
una accellerazione costante ma ad una velocità costante, come in un moto viscoso.
Il fattore di proporzionalità tra velocità e campo elettrico è chiamato mobilità, µ [cm2/Vs] del
portatore:
&
&
v = µE .
La mobilità può essere vista come un indice della facilità con cui i portatori si muovono nel
cristallo. Un aumento del numero di collisioni, e quindi una diminuzione del tempo medio τc tra
di esse, diminuirebbe il valore della mobilità. Il valore di riferimento tipico per la mobilità degli
elettroni e delle lacune nel silicio, valido per i normali livelli di drogaggio (1014÷1017 [cm-3])
ed alla temperatuta ambiente10 è:
µ n ≅ 13 00
10
cm 2
Vs
µ p ≅ 4 00
cm 2
Vs
Alla temperatura ambiente, l'interazione principale del portatore è con le vibrazioni termiche del
cristallo. Per drogaggi maggiori di 1017 [cm-3] le interazioni con i droganti ionizzati iniziano a prevalere
e la mobilità decresce. Ad esempio con NA, ND≅1018 [cm-3] si ha µn≅400 e µp≅200. La mobilità inoltre
diminuisce all'aumentare della temperatura in maniera più o meno evidente in funzione di quanto le
interazioni con il cristallo sono prevalenti rispetto a quelle con le impurezze ionizzate.
24
Ciò che interessa per la comprensione dei dispositivi elettronici non è tanto il percorso di moto
di un singolo portatore quanto il comportamento nel suo complesso di un gran numero di
portatori soggetti ad un gran numero di interazioni. Questo può essere visualizzato come il
comportamento di gruppo di tutti i portatori in giuoco, aventi ognuno la velocità costante prima
definita e muoventesi parallelamente (se lacune) o antiparallelamente (se elettroni) al campo
elettrico esterno applicato. In analogia ai flussi di fluidi viscosi, quindi, la corrente, definita
come la quantità di carica trasportata attraverso una sezione S (normale al moto delle cariche
stesse) nell'unità di tempo, può essere espressa da:
I = qnvnS + qpvpS
o, introducendo la densità di corrente, J [A/cm2], come la corrente che attraversa una sezione
di un cm2 di semiconduttore, da:
J = qnvn + qpvp
La densità di corrente di deriva è quindi
J = Jn + Jp = q ( nµn + p µp ) E
I contributi delle lacune e degli elettroni si sommano perchè lo stesso campo produce flussi in
direzioni opposte di portatori con cariche opposte.
In un materiale di tipo p (p>>n)
J ≅ Jp = qpµpE
In un materiale di tipo n (n>>p)
J ≅ Jn = qnµnE
⇒
la corrente di deriva è portata essenzialmente dai maggioritari.
Non si venga ingannati a pensare che in assenza di campo elettrico i portatori nel cristallo
stiano fermi. Il moto di deriva dei portatori come risposta al campo elettrico esterno deve essere
infatti immaginato sovrapposto ad un moto di agitazione termica dei portatori sempre presente.
Quest'ultimo avviene in tutte le direzioni in maniera casuale per cui mediato su di un gran
numero di portatori dà una corrente netta nulla J=0. La velocità media dei portatori per
agitazione termica può essere stimata assimilando il portatore libero di muoversi nelle tre
dimensioni ad una molecola di un gas ideale, la cui energia è quindi:
E=
1 ∗ 2 3
m v = kT
2
2
⇒
v n,p ≅ 107
cm
s
a T=300K.
Essa è detta velocità termica per distinguerla da quella impartita dal campo elettrico esterno,
che è invece dell'ordine di (con µ ≅103 e E≅102÷103):
v n,p = µ n,p E ≅ 105 ÷ 106
cm
s
Il moto dei portatori è pertanto prevalentemente determinato dagli effetti termici. La velocità
media di gruppo dovuta alla deriva può essere vista come una piccolissima tendenza di moto
nella direzione del campo sovrapposta ad un gran moto dovuto alla agitazione termica. Essa
25
produce comunque un grande flusso netto grazie alla grande popolazione di portatori
interessata11.
Esercizio Confrontando la mobilità degli elettroni nel silicio con quella nel rame si scopre
che la prima è molto maggiore della seconda:
µ n Si
cm2
≅ 1300
Vs
>>
µn
Cu
cm2
≅ 35
Vs
Perchè allora i metalli sono migliori conduttori dei semiconduttori ?
Perchè ci sono più portatori disponibili a muoversi:
n Cu = densità degli atomi ≅1023 [cm-3]
n =densità dei droganti ≅1014÷1018 [cm-3].
Si
Riprendendo l'espressione della densità di corrente
J = Jn + Jp = q ( nµn + p µp ) E
si definisce conducibilità, σ, del semiconduttore il fattore di proporzionalità tra il campo
elettrico E e la densità di corrente J:
σ = q(nµ n + pµ p )
Il suo reciproco è chiamato resistività, ρ, del materiale:
ρ=
1
q(nµ n + pµ p )
Ω ⋅ cm
Essa corrisponde ad una resistenza normalizzata, indipendente dalle dimensioni del materiale.
Da questa si giunge alla resistenza di un blocchetto di materiale lungo L e di sezione S tramite
la:
R=ρ
L
S
Ω
Nella pratica, avendo a che fare con materiali di tipo n o di tipo p, l'espressione della mobilità si
riduce, rispettivamente, a:
ρ ≅
1
qn µ n
per materiale
ρ ≅
n,
1
qp µ p
per materiale
p
La densità di corrente di deriva può quindi essere espressa in forma sintetica come:
J = σE =
1
E
ρ
Essa corrisponde, in una forma indipendente dalle dimensioni del materiale, alla legge di Ohm:
I=
V
R
Queste considerazioni portano a considerare l'intervallo di tempo medio tra le collisioni, τc,
indipendente dal campo elettrico esterno applicato e determinato quasi esclusivamente dalla agitazione
termica. Questo è vero nel silicio fino a campi elettrici dell'ordine di 105 V/cm.
11
26
CORRENTE DI DIFFUSIONE
Se, per qualunque ragione, la densità dei portatori nel semiconduttore non è uniforme, si attiva
un trasferimento netto di portatori dalla regione a più alta densità alla regione a più bassa
densità. Questo trasferimento è chiamato moto di diffusione. Essa avviene grazie al fatto che il
movimento termico dei singoli portatori è casuale ed equiprobabile in tutte le direzioni:
A lta d en sità
. . . .. . ..
d i p o rta to ri ............................ ... .. .
. . ... . . ..
. ................ ........... . .
.. .... . ................ ..... .
........ ......... .. .... . .
... ... .. .... .. . .
. . .. . . ..
.. .
. ..
. . .. .
. .. .
. . .
B a s sa d en sità
.
. d i p o rta to ri
. .
.
.
Se si considera una superficie ideale che separa due zone con differenti densità di portatori,
mediamente ci sono più movimenti casuali che attraversano la sezione da sinistra a destra
(perchè ci sono più portatori a sinistra) che viceversa.
Il problema è del tutto analogo al moto di diffusione delle molecole nei gas, sintetizzato
quantitativamente nella legge di Fick dei gas. Quindi anche nel caso dei semiconduttori, il
flusso di particelle12 è proporzionale al gradiente della loro distribuzione tramite il
coefficiente di diffusione, D,:
n(x)
p(x )
dn
0
dx
dp
0
dx
_
+
x
x
Jn
J n = qD n
Jp
∂n
∂x
J p = − qD p
∂p
∂x
La densità di corrente di diffusione è quindi
J = Jn + Jp = q ( Dn grad(n) - Dp grad(p) )
I segni dei due addendi sono opposti perchè lo stesso gradiente produce flussi nella stessa
direzione e quindi correnti opposte.
La corrente di diffusione può essere portata indifferentemente dai maggioritari o dai minoritari
purchè presentino un gradiente di concentrazione. Vedremo nel seguito che sarà interessante
soprattutto come corrente dei minoritari.
portatori sono considerati non interagenti tra loro perchè rispetto agli atomi del cristallo (5.1022 cm-3),
essi sono pochissimi (1014÷1018 cm-3), quindi molto "lontani" l'uno dall'altro e schermati dal Si.
12I
27
In generale in un semiconduttore sono compresenti:
campi elettrici,
gradienti di concentrazione dei portatori,
e quindi le correnti sono date dalla sovrapposizione dei due effetti prima analizzati. Nel caso di
analisi unidimensionale dei dispositivi esse diventano:
∂n
∂x
∂p
J p = qµ p pE − qD p
∂x
J n = qµ n nE + qD n
Poichè sia il processo di diffusione che quello di deriva dipendono dalle stesse collisioni
casuali dei portatori con il reticolo e con le impurezze ionizzate, ci aspettiamo che µ e D siano
collegati. Effettivamente si può dimostrare che tra i due coefficienti vale la seguente relazione,
detta relazione di Einstein :
q
1
µn µp
=
=
=
D n D p kT Vth
NUMERI CHE È UTILE RICORDARE
Carica dell'elettrone (e della lacuna)
Numero atomico del silicio
Densità degli atomi di silicio nel cristallo
Gap di energia nel silicio a T ambiente
Energia termica a T ambiente
Tensione termica a T ambiente
Densità di portatori intrinseca a T ambiente
Mobilità degli elettroni nel Si (T=300K)
Mobilità delle lacune nel Si (T=300K)
Velocità termica di un portatore (T=300K)
Costante dielettrica del Si
Coefficiente di diffusione per gli elettroni nel Si (T=300K)
Coefficiente di diffusione per le lacune nel Si (T=300K)
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q = 1.6 . 10-19 [C]
Z = 14
5 . 1022 [atomi/cm3]
Eg = 1.12 eV
kT = 25 meV
kT/q = 25 mV
ni = 1.45 . 1010 [cm-3]
µn ≅ 1300 [cm2/Vs]
µp ≅ 400 [cm2/Vs]
vn,p ≅ 107 [cm/s]
εsi ≅ 10-12 [F/cm]
Dn ≅ 32 [cm2/s]
Dp ≅ 12 [cm2/s]