Dolci - Esercizi con soluzioni

Problema 1. “Sirio ( 2000 = 6h 45m;  2000= -16° 43', m = -1,46) è la stella
più luminosa visibile nel cielo” è un’affermazione sicuramente vera
per un osservatore posto a Stilo. Sapreste dire in quali altre regioni
della Terra quest’affermazione è ancora vera ?
( Boo = Arturo ha  2000 = 14h 15m; 2000= +19° 11’; m = -0,04)
Problema 2. La stella -Eridani si trova ad una distanza di 10,5 anniluce dalla Terra ed intorno ad essa un pianeta extrasolare, chiamato
-Eridani b, percorre un’orbita il cui semiasse maggiore vale 3,39 u.a.
Si calcoli la parallasse annua della stella -Eri , vista dalla Terra. Si
calcoli poi, viceversa, la parallasse annua del Sole, S , visto dal
pianeta -Eridani b.
A quanto corrisponde un parsec, misurato da -Eridani b ?
Problema 3. Vi trovate sul pianeta Kepler-200 che dista 70 anni luce
dal Sole e la cui atmosfera ha caratteristiche simili a quella della
Terra. Potete osservare il Sole ad occhio nudo ? (Magnitudine assoluta
visuale del Sole MSole = +4.83)
Problema 4. Una binaria spettroscopica è formata da una stella di
luminosità costante con m1 = 2.75 e da una stella variabile la cui
magnitudine al minimo di luminosità è m2min = 4.15 e la cui ampiezza
di variazione è di una magnitudine. Quanto vale la magnitudine
apparente del sistema quando la variabile è al massimo di
luminosità? Quanto vale la magnitudine apparente del sistema
quando la variabile è al minimo di luminosità ?
PROBLEMI SVOLTI
Problema. La stella -Eridani si trova ad una distanza di 10,5 anniluce dalla Terra ed intorno ad essa un pianeta extrasolare, chiamato
-Eridani b, percorre un’orbita il cui semiasse maggiore vale 3,39 u.a.
Si calcoli la parallasse annua della stella -Eri , vista dalla Terra. Si
calcoli poi, viceversa, la parallasse annua del Sole, S , visto dal
pianeta -Eridani b.
A quanto corrisponde un parsec, misurato da -Eridani b ?
Soluzione. La parallasse annua, espressa in arcosecondi, è pari all’inverso
della distanza espressa in parsec. Poiché, visto dalla Terra, 1 parsec
equivale a 3,26 anni-luce, la stella -Eridani si trova a
10,5 anni-luce/ (3,26 anni-luce/pc) = 3,22 pc
e la sua parallasse vale
-Eri = 1 / 3,22 = 0,31 arcsec.
Per il Sole visto dal pianeta extrasolare la situazione è diversa. Infatti la
conversione tra parallasse (cioè il massimo spostamento angolare della
stella visto nel corso di un anno) e distanza dipende dalla base, ovvero dalla
separazione massima tra due punti opposti dell’orbita del pianeta da cui la
misura viene effettuata.
Tanto maggiore è tale base, e proporzionalmente maggiore sarà, a parità di
distanza della stella, la sua parallasse misurata.
Poiché -Eridani b dista dalla sua stella centrale 3,39 u.a., a parità di
distanza la parallasse misurata sarà 3,39 volte superiore a quella misurata
dalla Terra. Pertanto, poiché la distanza del Sole da -Eridani è
evidentemente la stessa di -Eridani dal Sole, la sua parallasse vista dal
pianeta extrasolare sarà 3,39 volte la parallasse di -Eridani vista dalla
Terra, e cioè
S = 0,31 * 3,39 = 0,95”.
In generale, ovviamente, anche la conversione tra anno-luce e parsec subirà
la stessa correzione: se quindi, visto dalla Terra, un parsec corrisponde a
3,26 anni-luce, nel caso di -Eridani b si avrà la conversione
1 pc = 3,26 * 3,39 = 11,05 anni-luce.
Problema. “Sirio ( 2000 = 6h 45m;  2000= -16° 43', m = -1,46) è la stella
più luminosa visibile nel cielo” è un’affermazione sicuramente vera
per un osservatore posto a Stilo. Sapreste dire in quali altre regioni
della Terra quest’affermazione è ancora vera ?
( Boo = Arturo ha  2000 = 14h 15m; 2000= +19° 11’; m = -0,04)
Soluzione. Per rispondere correttamente a questo quesito occorrono
considerazioni sia geometriche che fisiche. Abbiamo appena visto che
affinché una stella sia visibile da una data località occorre che la sua
declinazione sia
𝛅 >  – 90°.
Sirio sarà quindi visibile per tutte le regioni della Terra con  < 73° 17’.
Dobbiamo però tener conto della presenza dell’atmosfera terrestre e dei
fenomeni della rifrazione e dell’assorbimento. Poiché all’orizzonte la
rifrazione vale circa 35’, Sirio sarà in effetti visibile da tutte le località con
 < 73° 52’.
Ma da dove sarà ancora la stella più luminosa del cielo ? La stella più
luminosa dell’emisfero Nord è Arturo ( Boo) la cui magnitudine apparente è
m = -0,04. Poiché ad un’altezza sull’orizzonte di 8° l’assorbimento è in media
di circa 1,5 magnitudini, Sirio sarà la stella più luminosa del cielo per
 < 66° ± 2°
(l’incertezza è dovuta al fatto che in luoghi diversi e notti diverse
l’assorbimento può cambiare anche significativamente)
Problema. Vi trovate sul pianeta Kepler-200 che dista 70 anni luce dal
Sole e la cui atmosfera ha caratteristiche simili a quella della Terra.
Potete osservare il Sole ad occhio nudo ? (Magnitudine assoluta
visuale del Sole MSole = +4.83)
Soluzione. Bisogna calcolare la distanza massima dalla quale il Sole è
visibile ad occhio nudo. Sapendo che MSole = 4.83 e assumendo come
magnitudine limite per le osservazioni ad occhio nudo m=6 (il che è
plausibile visto che Kepler-200 ha un’atmosfera simile a quella della Terra)
si avrà
4.83 = 6 + 5 – 5 log d.
Risolvendo, la distanza massima dalla quale il Sole è ancora visibile ad
occhio nudo risulta
17.14 parsec = 55.88 anni luce
Da Kepler-200 il Sole non sarà osservabile ad occhio nudo.
Problema. Una binaria spettroscopica è formata da una stella di
luminosità costante con m1 = 2.75 e da una stella variabile la cui
magnitudine al minimo di luminosità è m2min = 4.15 e la cui ampiezza
di variazione è di una magnitudine. Quanto vale la magnitudine
apparente del sistema quando la variabile è al massimo di
luminosità? Quanto vale la magnitudine apparente del sistema
quando la variabile è al minimo di luminosità ?
Soluzione. Dai dati forniti ricaviamo che , per la stella variabile,
m2max = 3.15
Avremo quindi , applicando la formula mTOT = m2 – 2.5 log (10
mTOT,max = m1 + m2max = 2.18
quando la variabile è al massimo di luminosità, e
mTOT,min = m1 + m2min = 2.49
quando è al minimo.
0.4(m2 – m1)+1),