Esercizio 1 - Stabilitá (momento delle forze)
Si consideri una pallina carica di massa m = 1 g e carica q = 0.01 µC fissata all’estremità
di un’asta rigida di lunghezza l = 10 cm. L’asta è fissata ad un muro posto a distanza d
dall’origine ed è libera di ruotare intorno
√ ad un perno P0 posto ad altezza h. Una seconda
carica q2 è posta sul muro ad altezza l/ 3 sopra il perno.
a) Assumendo che la massa dell’asta sia trascurabile, determinare il segno e il valore della
seconda carica necessari a mantenere l’asta perpendicolare al muro.
b) Determinare il segno e il valore della seconda carica necessari a mantenere
√ l’asta perpendicolare al muro nel caso in cui la carica sia posta ad una distanza l/ 3 sotto il perno
P0 .
c) Considerare la stabilità delle configurazioni di equilibrio precedentemente ottenute.
d) Determinare la forza esercitata sul perno nelle configurazioni descritte ai punti a) e b).
e) Ripetere lo studio delle condizioni di equilibrio e la relativa stabilità nel caso di un’asta
omogenea di massa ma = 5 g
Esercizio 2 - ordini di grandezza
a) Calcolare numericamente il numero di elettroni contenuti in 1 C, 1 nC e 1 pC.
Un moneta in rame ha una massa di 3 gr. Ciascun atomo di rame contiene 29 elettroni e ha
massa atomica di 64.
b) Calcolare il numero di elettroni contenuto nella moneta.
c) Calcolare la carica negativa (in C) contenuta nella moneta.
d) Consideriamo due monete ad un chilometro l’una dall’altra e supponiamo che un centesimo degli elettroni di una moneta siano trasferiti sull’altra. Approssimando le monete
a corpi puntuali (perchè lo si può fare?) calcolare la forza fra le monete . Quale peso
riuscirebbe a sollevare tale forza?
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Esercizio 3 - equilibrio di una carica in presenza di altre due
Sull’asse x di origine O sono piazzate una carica puntuale +3q in O e una carica puntuale
-q in nel punto A a x = a, (a > 0 e q> 0).
a) Determinare e rappresentare graficamente il campo elettrico sull’asse x in funzione di x
b) In presenza delle cariche sopra descritte, determinare le posizioni di equilibrio e la stabilita’ di tali posizioni per una carica q’ (q’> 0) libera di muoversi lungo l’asse x.
c) Ripetere i due punti precedenti rimpiazzando la carica in A con una di segno opposto
(-q).
Esercizio 4 - campo di un disco carico
Consideriamo un disco di centro O e di raggio R che porta una carica uniforme di superficie
σ. Senza perdita di generalità, scegliamo la terna cartesiana in modo che O coincida con
l’origine della terna e il disco giaccia nel piano z = 0.
a) Calcolare il campo elettrico E sull’asse z. Tracciare in funzione di z (positivi e negativi)
le curve rappresentative di Ex (0, 0, z), Ey (0, 0, z), Ez (0, 0, z).
b) Studiare il caso |z| << R. Interpretare il risultato.
c) Studiare il caso |z| >> R. Interpretare il risultato.
d) Consideriamo un piano di carica uniforme σ in z = 0 nel quale ritagliamo un buco a forma
di disco di centro O e di raggio R, con O coincidente con l’origine della terna cartesiana.
Calcolare il campo elettrico E sull’asse z. Tracciare in funzione di z (positivi e negativi)
le curve rappresentative di Ex (0, 0, z), Ey (0, 0, z), Ez (0, 0, z).
Esercizio 5 -Campo elettrico generato da distribuzione antisimmetrica
Nel corso abbiamo discusso dei campi elettrici indotti da una distribuzione di carica simmetrica a specchio rispetto ad un piano. Vogliamo studiare ora cosa succede se la distribuzione
è antisimmetrica. Una distribuzione di carica è antisimmetrica rispetto ad un piano P se
la carica di due punti fra loro speculari rispetto al piano è uguale in modulo ma opposta
in segno. Senza perdita di generalità scegliamo la terna cartesiana in modo che il piano P
coincida con quello con z = 0. In questo caso, se distribuzione di carica è antisimmetrica,
ρ(x, y, z) = −ρ(x, y, −z).
a) Dimostrare a partire dalla legge di Coulomb che Ex (x, y, z) = −Ex (x, y, −z), Ey (x, y, z) =
−Ey (x, y, −z) e Ez (x, y, z) = Ez (x, y, −z) .
b) Sul piano di antisimmetria come è orientato il campo elettrico?
c) Confrontare i risultati dei due punti precedenti con quelli discussi a lezione per distribuzioni a simmetria a specchio.
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Esercizio 6 - Simmetrie e campo elettrico di cariche puntuali
Per l’esercizio utilizzare anche il risultato dell’esercizio precedente. Considerate tre distribuzioni (A, B, C) di cariche puntuali complanari rappresentate nella figura (q= 40nC,
d=5.2 cm):
a) Determinare i piani di simmetria e antisimmetria delle 3 distribuzioni di carica. Utilizzare
il risultato per dedurre (quando e dove è possibile) la direzione del campo elettrico su
questi piani.
b) Calcolare il valore numerico del campo al centro della figura B.
c) Trovare la forza esercitata da tutte le altre cariche sulla carica inferiore destra della figura
C.
Esercizio 7 - Flusso del campo elettrico
Considerate una superficie cilindrica di raggio R e di lunghezza h. Calcolate esplicitamente
il flusso del campo E attraverso la superficie del cilindro e la carica contenuta nel cilindro
nei seguenti casi:
a) Il campo E è uniforme e la sua direzione coincide con l’asse del cilindro
b) Il campo E è uniforme e la sua direzione é perpendicolare all’asse del cilindro
c) L’asse del cilindro é parallelo all’asse z e passa per il punto x=d/2, y=d/3, z=0 e campo
elettrico é uguale a E(r) = (ax + b)x̂, dove a e b sono delle costanti.
Esercizio 8 - Modello di nucleo
Considerate una distribuzione sferica di carica tale che: ρ(r) = ρ0 (1 − r2 /a2 ) per r < a ed è
uguale a 0 per r > a, dove ρ0 e a sono delle costanti positive.
a) Calcolare la carica totale Q
b) Calcolare il campo elettrico in tutto lo spazio
c) Mostrare che E ha un massimo per un valore particolare di r
d) Tracciare ρ e E in funzione di r (la distribuzione è un modello per i nuclei leggeri)
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Esercizio 9 - Distribuzione di una buccia piana uniforme di carica
Considerate una distribuzione uniforme di carica ρ0 che occupa lo spazio fra due piani paralleli distanti fra loro per una distanza d. Usando il teorema di Gauss calcolare il campo in
tutti i punti dello spazio.
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