Calcolo delle probabilità - Esame scritto 17/09/07.
TRACCIA DELLE SOLUZIONI
ESERCIZIO10 1.
(4)
1) P (E1 ) = 20
(4)
6 5 4 14
2) P (E2 ) = 20
19 18 17
3) Sia F l’evento che la prima pallina abbia un numero divisibile per 6 (cioè, il numero è
6,12,18) e le tre restanti abbiano un numero divisibile per 3. Sia G l’evento che la prima
pallina abbia un numero divisibile per 2 ma non per 3 (cioè, 2,4,8,10,14,16,20) e le altre tre
abbiano un numero divisibile per 3. Allora P (E3 ) = P (F ) + P (G). I numeri divisibili per
3 sono 6 (3,6,9,12,15,18), se la prima pallina è divisibile per 3 i numeri delle altre palline
possono essere scelti da un insieme di 5 elementi. Quindi
3 5 4 3
P (F ) =
20 19 18 17
e
7 6 5 4
P (G) =
20 19 18 17
ESERCIZIO 2. Chiamiamo X il numero di persone che andranno a Vienna.
Chiamiamo X1 il numero di persone che andranno a Vienna alloggiando nell’hotel a 5
stelle.
Chiamiamo X2 il numero di persone che andranno a Vienna alloggiando nell’hotel a 3
stelle.
Chiamiamo X3 il numero di persone che andranno a Vienna alloggiando nell’hotel a 1
stella.
Abbiamo che X1 , X2 , X3 sono indipendenti e
X1 = Bin(10, 9/10) ,
X2 = Bin(20, 9/10) ,
X3 = Bin(20, 19/20) .
Quindi
E(X) = E(X1 +X2 +X3 ) = E(X1 )+E(X2 )+E(X3 ) = 10(9/10)+20(9/10)+20(19/20) = 46 .
e
V ar(X) = V ar(X1 + X2 + X3 ) = V ar(X1 ) + V ar(X2 ) + V ar(X3 ) =
10(9/10)(1/10) + 20(9/10)(1/10) + 20(19/20)(1/20) = 73/20 .
Chiamiamo Y il guadagno. Allora
E(Y ) = 1000E(X1 )+500E(10−X1 )+500E(X2 )+250E(20−X2 )+300E(X3 )+150E(20−X3 ) =
1000 · 9 + 500 · 1 + 500 · 18 + 250 · 2 + 300 · 19 + 150 · 1 = 24850
ESERCIZIO 3. 1) Chiamiamo (x1 , x2 , x3 ) i tre valori usciti, dove x3 è il valore del terzo
dado. La probabilità dell’esito (x1 , x2 , x3 ) è pari a (1/6)(1/6)(1/2) = 1/72 se x3 = 1 ed è
pari a (1/6)(1/6)(1/10) = 1/360 se x3 6= 1.
Se x3 = 1 allora possiamo avere x1 + x2 + x3 = 6 solo se x1 + x2 = 5 e quindi (x1 , x2 )
può essere (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1). Abbiamo in totale 4 esiti favorevoli.
Se x3 6= 1 allora le soluzioni di x¡1 ¢+ x2 + x3 = 6 sono tante quanto le soluzioni intere
positive di tale equazione (quindi 52 = 10) a cui bisogna togliere le quattro suddette.
Quindi gli esitii (x1 , x2 , x3 ) con x1 + x2 + x3 = 6 e x3 6= 1 sono 10 − 4 = 6.
1
2
L’evento ha quindi probabilità
4(1/72) + 6(1/360) = 4(5/360) + 6/360 = 26/360
2) Sia F l’evento che esca 4 e sia E l’evento che il dado sia truccato. Allora
P (E|F ) = P (E∩F )/P (F ) =
(1/10)(1/3)
P (F |E)P (E)
=
= 3/13
c
c
P (F |E)P (E) + P (F |E )P (E )
(1/10)(1/3) + (1/6)(2/3)
