appunti di geometria

APPUNTI DI GEOMETRIA
In geometria esistono degli elementi di base che non hanno bisogno di essere dimostrati dal
momento che vengono considerati come nozioni intuitive, ossia comprensibili da tutti. Questi
elementi di base prendono il nome di ENTI PRIMITIVI e sono TRE:

il PUNTO: non ha nessuna dimensione; si indica con una lettere maiuscola

la RETTA: ha una sola dimensione ed è formata da una successione di punti allineati; si
r
indica con una lettera minuscola

il PIANO: ha due dimensioni ed è formato da una successione di rette allineate: si indica con
•A
una lettera dell’alfabeto greco

Gli enti fondamentali costituiscono le figure geometriche che sono definite come un insieme di
punti. Se tali punti appartengono tutti allo stesso piano, allora le figure sono PIANE; altrimenti se i
punti appartengono a più piani diversi le figure sono SOLIDE.
In generale sia le figure piane che quelle solide si collocano nello SPAZIO che è definito come
l’insieme di tutti i punti.
Gli enti fondamentali, come detto poco sopra, costituiscono le figure geometriche proprio perché
sono in grado di “combinarsi” tra loro. Vediamo ora qui di seguito alcuni esempi:
P
A
il punto P (punto d’origine) divide la retta in due SEMIRETTE
B
i punti A e B (estremi) suddividono la retta in tre regioni: due
semirette e un SEGMENTO. I segmenti sono quelle componenti dello spazio che contribuiscono a
formare le figure geometriche. In particolare, due segmenti possono essere:

CONSECUTIVI: quando hanno un estremo in comune
A
B

C
ADIACENTI: quando sono consecutivi e giacciono sulla stessa retta
A
B
I punti e i segmenti aiutano a classificare, e quindi suddividere, le figure geometriche in concave e
convesse. Infatti: una figura si dice CONVESSA se due suoi punti qualsiasi sono estremi di un
segmento tutto contenuto nella figura. In caso contrario la figura si dice CONCAVA.
Concava
Convessa
C
Finora sono stati presi in considerazioni punti e rette da cui sono stati generati i segmenti.
Consideriamo ora due semirette che, se prese con l’origine in comune, formano un ANGOLO: un
angolo di vertice V e lati a e b è l’insieme di tutti i punti delle semirette a e b e di una delle due parti
in cui viene suddiviso il piano.
Come indicare un angolo?
Angolo concavo
a
V
Angolo convesso


b



𝐴𝑉̂ 𝐵

𝑎𝑉̂ 𝑏

̂
𝑎𝑏
Vi sono poi quattro angoli particolari:
ANGOLO GIRO
ab
V
ANGOLO NULLO
esprimibile in gradi 0° o in radianti 0
ab
V
ANGOLO PIATTO
a
esprimibile in gradi 360° o in radianti 2
esprimibile in gradi 180° o in radianti 
b
V
esprimibile in gradi 90° o in radianti /2
ANGOLO RETTO
a
V
b
Anche gli angoli, come i segmenti, possono essere:

CONSECUTIVI: se hanno in comune il vertice e un lato


ADIACENTI: se consecutivi e i lati non in comune appartengono alla stessa retta




OPPOSTI AL VERTICE: quando i lati di un angolo sono il prolungamento dei lati dell’altro
angolo (e gli angoli che si formano sono uguali a due a due)




Agli enti fondamentali già incontrati aggiungiamo ora la LINEA.
Linea semplice aperta Linea intrecciata aperta
Linea semplice chiusa
Linea intrecciata chiusa
Divide il piano in 2 insiemi:
quello dei punti interni e quello
dei punti esterni.
Un esempio importante di linea chiusa semplice è la CIRCONFERENZA: l’insieme dei punti del
piano che hanno la stessa distanza da uno stesso punto detto centro.
A
̆ rappresenta la parte di
L’arco 𝐴𝐵
circonferenza compresa tra due
B
suoi punti
Cerchio: è l’insieme di tutti i
punti della circonferenza e di
quelli interni ad essa
Per quanto riguarda le formule importanti da ricordare per cerchio e circonferenza abbiamo:
𝐶
2𝜋
Lunghezza circonferenza
𝐶 = 2𝜋𝑟
𝑟=
Area cerchio
𝐴 = 𝜋𝑟 2
𝐴
𝑟=√
𝜋
Le linee però possono anche essere formate da linee rette e in questo caso prendono il nome di
POLIGONALI o SPEZZATE cioè linee formate da segmenti a due a due consecutivi.
Spezzata semplice
Spezzata intrecciata
Spezzata semplice
aperta
aperta
chiusa
Spezzata intrecciata
chiusa
Genera i POLIGONI:
l’insieme dei punti di una poligonale semplice
chiusa e di tutti i punti interni ad essa
Un poligono è caratterizzato da:

Vertici: A, B, C, D, E, F

Lati: AB, BC, CD, DE, EF, FA

Angoli: interni ed esterni
𝑆𝑜𝑚𝑚𝑎 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑖 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑖 = (𝑛 − 2) ∙ 180°
𝑆𝑜𝑚𝑚𝑎 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑖 𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑛𝑖 = 360°
con n numero dei lati

Diagonali: segmenti che uniscono due vertici non
consecutivi
𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖 𝑑 =
𝑛 ∙ (𝑛 − 3)
2
In generale i poligono possono essere:

EQUILATERI: con tutti i lati uguali

EQUIANGOLI: con tutti gli angoli uguali

REGOLARI: sia equilateri che equiangoli
I TRIANGOLI
I poligoni con il minor numero di lati è il triangolo.
Questa famiglia di poligoni si classica secondo due grandi categorie:

in base agli ANGOLI: acutangoli, rettangoli e ottusangolo

in base ai LATI: scaleno, isoscele ed equilatero
Ovviamente queste caratteristiche possono anche combinarsi tra loro ed avere, ad esempio, un
triangolo isoscele ottusangolo.
I triangoli sono poi caratterizzati da altezze, mediane, bisettrici e assi che generano quattro punti
notevoli. Per quanto ci riguarda, limiteremo lo studio alle sole altezze. In particolare in un triangolo
acutangolo le 3 altezze sono tutte interne al triangolo stesso, in un triangolo rettangolo due altezze
sono date dai cateti stessi e la terza è quella relativa all’ipotenusa; infine in un triangolo
ottusangolo almeno un’altezza cade esternamente al triangolo stesso.
Per quanto riguarda le formule importanti per il triangolo, si ha:
Triangolo qualsiasi
Triangolo qualsiasi –
formula Erone
Triangolo rettangolo
Teorema di Pitagora –
solo per triangoli rettangoli
𝐴=
𝑏∙ℎ
2
𝐴 = √𝑝 ∙ (𝑝 − 𝑎) ∙ (𝑝 − 𝑏) ∙ (𝑝 − 𝑐)
𝑐∙𝐶
𝐴=
2
𝑖=
√𝑐 2
𝑖∙ℎ
𝐴=
2
+ 𝐶2
ℎ=
2𝐴
𝑏
𝑏=
2𝐴
ℎ
con p semiperimetro e a, b, c le
misure dei tre lati
2𝐴
𝑐
2𝐴
𝑖=
ℎ
𝐶=
2𝐴
𝐶
2𝐴
ℎ=
𝑖
𝑐=
𝑐 = √𝑖 2 − 𝐶 2
𝐶 = √𝑖 2 − 𝑐 2