soluzione del quesito 4

Un test è costituito da 10 domande a risposta multipla, con 4 possibili risposte di cui solo una è esatta.
Per superare il test occorre rispondere esattamente almeno a 8 domande. Qual è la probabilità di
superare il test rispondendo a caso alle domande?
Il numero totale di risposte possibili è 4 10 . Per ogni quesito ci sono 3 risposte sbagliate. Quindi, per
k quesiti ci sono 3k sequenze di risposte sbagliate. Infatti, per 2 quesiti ci sono 9 sequenze , per 3 ce
ne sono 27 e cosi' via...
Consideriamo 10 quesiti e k=1,2,3...,10. Vogliamo calcolare quante sequenze con k risposte sbagliate
troviamo per una sequenza di 10 risposte.
Per ciascun k, troviamo
10⋅9⋅8⋅...⋅(10−k +1)=
3k risposte sbagliate e ciascuna di queste possiamo distribuirla in
10 !
(10−k )! k !
modi
e quindi vi saranno, per ciascun k, vi saranno
nk=
3k⋅10 !
(10−k ) ! k !
sequenze di risposte di 10 quesiti con k risposte sbagliate.
Si ottengono almeno 8 risposte corrette se e solo se si ottengono al più 2 risposte sbagliate, quindi
nessuna oppure una oppure due e allora la probabilità cercata e la somma di queste tre probabilità:
per k=0 vi saranno
n 0=
30⋅10 !
=1 sequenze di 10 quesiti svolte in maniera esatta
10 !
di conseguenza, la probabilità di avere zero errori in una sequenza di 10 quesiti sarà di
1
10
4
per k=1 vi saranno
n 0=
31⋅10!
=30
9 !⋅1 !
sequenze di 10 quesiti svolti con un errore
di conseguenza, la probabilità di avere un errore in una sequenza di 10 quesiti sarà di
30
410
per k=2 vi saranno
32⋅10 !
n 2=
=9⋅45=405
8 !⋅2 !
sequenze di 10 quesiti svolti con due errori
di conseguenza, la probabilità di avere due errori in una sequenza di 10 quesiti sarà di
405
410
Infine, la probabilità cercata sarà la somma di queste probabilità, ovvero
(405+30+1) 436 109
= 10 = 9
10
4
4
4