Art.13- Satelliti e sistemi planetari del Sistema

estratto da :
L’EQUILIBRIO UNIVERSALE
dalla meccanica celeste alla fisica nucleare
– Satelliti
e sistemi planetari del Sistema Solare
– fascia di Kuiper : E’ una fascia molto larga, che ocupa lo spazio compreso
nell’intervallo :
7381 ÷ 14762
6
⋅ 10 K m .
E’ occupata dai corpi e detriti lasciati dalla stella esplosa nel Sistema Solare
primordiale.
Analizzando gli effetti di quella presunta esplosione, verificatasi in prossimità
del confine interno della fascia
R
4
3
—1
= 7381 ⋅ 10 6 K m ,
abbiamo visto
come gran parte dei detriti viene proiettata verso l’esterno, su orbite ellittiche
molto eccentriche, anche per la bassa velocità di equilibrio, che contribuisce
a produrre elevati incrementi relativi della velocità.
Per questa ragione, la fascia risulta molto popolata, mentre gli aggregati che
vengono proiettati verso l’interno e catturati dallo spazio rotante solare sono
relativamente pochi.
Prendiamo ora in considerazione la situazione presente sulle singole orbite
del sistema Solare.
1 − Coppia Plutone − Caronte :
Sono noti i raggi dei due corpi e la loro distanza relativa :
d = 19640 K m ; r Pl = 1160 K m ; r c = 587 K m
Essendo i due corpi molto vicini e di dimensioni simili, è possibile pensare
che formino un sistema doppio.
Per verificarlo utilizziamo un calcolo di prima approssimazione.
In base a quanto abbiamo visto parlando dell’aggregazione di masse simili,
per semplicità, possiamo ipotizzare che abbiano la stessa densità.
Come abbiamo visto, per avere un sistema doppio, dovrà essere verificata
la relazione :
1
1
R NPS
=
n 2P
n 2c
R NCS
ma è anche :
1
R NPS
2
m Pl
≃
R NCS
mc
e quindi risulta :
1
R NPS
≃
R NCS
3
2
m Pl
=
mc
da cui si ricava :
2
r Pl
=
rC
nP
3
1160
587
2
= 2, 778
1
= 2, 778 = 1, 6667
2
nC
I numeri interi che meglio approssimano tale rapporto sono 5
/ 3.
Per il punto neutro dei due corpi rispetto al Sole dovrà dunque essere :
R NPS = d ⋅ n 2P = 19640 K m ⋅ 5 2 = 491000 K m
R NCS = d ⋅ n 2c = 19640 K m
⋅3 2
= 176760 K m
Le due masse dovranno soddisfare la relazione :
2
m Pl ≃
R NPS
⋅
ms
R Pl
con i valori numerici, si ricavano così i valori teorici :
2
2
m Pl ≃
491000
5900⋅10 6
2
⋅ 1, 9891 ⋅ 10 30 K g = 1, 3778 ⋅ 10 22 K g
2
mc ≃
R NcS
⋅
ms
= 0, 17854 ⋅ 10 22 K g
R Pl
che risultano in ottimo accordo con i valori forniti dall’osservazione.
Oltre a fornire una prova a favore della teoria, questo accordo ci conferma il
fatto che si tratta realmente di un sistema doppio.
La massa del sistema risulta :
m PC = m Pl + m c = 1, 5563 ⋅ 10 22 K g
e quindi lo spazio rotante :
K 2PC = β ⋅ m PC = 1038
3
Km
sec
2
Il periodo teorico di rotazione sarà :
1
T PCp =
4 ⋅ π2 ⋅ d3
K
2
= 6, 22 g
2
PC
Tutti i risultati del calcolo teorico risultano in ottimo accordo con quelli riferiti
dall’osservazione astronomica.
Dopo che il sistema doppio si è formato, la sua stabilità non è garantita
in tutti i punti dello spazio rotante, ma solo in quelli che soddisfano la
condizione :
d < R N1S ; R N2S .
che, nel nostro caso, è verificata fino a quando il punto neutro di Caronte sarà
diminuito fino al valore
R NCS < d ossia, finchè è verificata la condizione :
1
R ∗Pl min ≤ d ⋅
mS
2
= 19640 K m
mC
1,9891⋅10 30
0,17854⋅10 22
1
2
= 655 ⋅ 10 6 K m ,
3
3
Superato questo limite, Caronte non è più in grado di trattenere Plutone
in orbita come satellite alla distanza d = 19640 K m e dunque esso diventa
un satellite di Plutone il quale riesce ancora a trattenere Caronte, in quanto, in
questa posizione, Plutone presenta ancora un punto neutro :
R ∗Pl min
R ∗NPS =
= 54509 K m > d .
1
1+
2
mS
m Pl
Quando anche il punto neutro del pianeta Plutone sarà diminuito fino al valore
R ∗∗
< d, ossia in corrispondenza del valore :
NPS
1
R ∗∗
≤d⋅
Pl min
mS
2
= 236 ⋅ 10 6 K m ,
m Pl
In pratica, Quando il sistema Plutone – Caronte, seguendo la naturale
evoluzione, giungerà in corrispondenza dell’orbita di Marte, nemmeno
Plutone riuscirà più a trattenere il satellite Caronte all’interno del suo
attuale punto neutro.
Da questo momento il satellite, poco legato, gradualmente si allontana
passando sotto l’azione diretta dello spazio rotante solare.
I risultati teorici ci dicono che questo potrà accadere quando Plutone,
durante la sua caduta verso il Sole, arriverà in corrispondenza della
orbita di Marte.
Secondo queste relazioni, in uno spazio rotante, avvicinandosi alla
sfera solare, tutti i sistemi si scindono formando pianeti senza satelliti
e questa potrebbe essere la sorte toccata a Venere e Mercurio e, con
ogni probabilità, toccherà alla Terra con la Luna che gradualmente si
allontana al ritmo di 3, 8 cm all’anno.
4
4
Trattandosi di un sistema doppio, Plutone e Caronte si comportano
come una sfera unica di massa
punto neutro :
m PC = 1, 5563 ⋅ 10 22 K g
R Pl
R NPC =
= 522364 K m
1
mS
1+
con associati :
2
m PC
e spazio rotante :
K 2PC = β ⋅ m PC = 1038, 5
3
Km
sec
2
Le caratteristiche associate all’orbita fondamentale risultano :
1
T 1PC =
4 ⋅ π2 ⋅ R
K
2
3
NPC
= 851, 967 g
2
PC
1
2
K 2PC
V 1PC =
= 0, 044588
R NPC
Km
sec
Lo schema orbitale completo è dunque descritto dalle relazioni :
Rn =
522364 K m
n2 m2 q2
; Tn =
851,967
n3 m3 q3
g
; V n = 0,044588
Km
sec
⋅n
mq
La rappresentazione schematica schematica risulta :
522364
↓
130591
↓
58040 32648
20894 14510→10660→8161,9 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
↑ ↓ ↑
↑
↓
391773 261182 ↑ 97943 65295 ↓ ↑ 24486 15671
↓ ↑ ↓
↓ ↑
293830 195886 73457
48971
5
5
n=5 ;n=
Per :
;n=
2⋅ 2
2⋅ 2 ⋅
4
3
si ricavano rispettivamente le orbite di Caronte, Idra e Notte i cui periodi di
rivoluzione risultano :
T 1PC
TI =
2⋅ 2
= 37, 652 g
3
T 1PC
TN =
= 24, 456 g
3
4
2⋅ 2 ⋅
3
Il raggio della sfera rotante che sostiene il moto di rivoluzione di Plutone
risulta :
m PC
r P0 =
1,5536⋅10 22
1,9891⋅10 30
⋅ R Pl =
mS
essendo r P0 <
velocità :
r Pl ,
⋅ 5900 ⋅ 10 6 K m
= 46, 08 K m
il pianeta presenterebbe un nucleo interno rotante alla
1
K
V Pl =
2
2
S
= 4, 743
R PL
Km
sec
In realtà, il centro di massa del sistema è spostato, rispetto al centro del
pianeta di :
d
C PlC =
1+
= 2253 K m
m Pl
mC
Essendo
C PlC − r P0 > r Pl ,
il nucleo rotante risulta tutto esterno al
pianeta e quindi non si ha alcuna produzione di energia termica.
6
6
Le altre caratteristiche di plutone risultano :
2
velocità di fuga :
2 ⋅ K Pl
Vf =
= 1, 259
r Pl
accelerazione al suolo :
g Pl =
K 2Pl
r 2Pl
= 0, 683
Km
sec
m
sec
2
Osserviamo infine che il sistema orbitale di Plutone risulta quasi vuoto
con poche eccezioni verso le orbite interne .
Questo vuol dire che il suo compagno Caronte non è stato acquisito in
quella posizione con un meccanismo regolare, come potrebbe essere,
per esempio, la " cattura " da parte di Plutone durante il moto di rivoluzione
sull’orbita attuale.
Se così fosse, avremmo altre orbite occupate, soprattutto quelle periferiche,
mentre invece così non è.
La coppia Plutone – Caronte si è realmente formata subito come sistema
doppio e solo in tempi successivi il sistema ha acquisito, in seguito a eventi
casuali, gli altri piccoli satelliti periferici.
La cattura casuale di corpi fuori dalla fascia di Kuiper, è estremamente
improbabile sia per la mancanza di materiale che per le difficoltà che
si incontrano nella realizzazione delle condizioni di moto richieste per
l’accoppiamento stabile.
La formazione di quasi tutti i sistemi satellitari e doppi, con ogni probabilità,
è avvenuta, con il meccanismo che abbiamo indicato, durante l’esplosione
della stella originariamente accoppiata al Sole.
2 − Nettuno : sono noti :
massa :
semiasse maggiore :
m N = 102, 45 ⋅ 10 24 K g
R N = 4496, 6 ⋅ 10 6 K m
7
7
Se consideriamo, in prima approssimazione, l’asse di rotazione del pianeta
parallelo a quello solare, si ricava il punto neutro :
RN
R NNS0 =
=
1
1+
4496, 6 ⋅ 10 6 K m
1+
2
mS
1,9891⋅10 30
1
2
= 32041013 K m
102,45⋅10 24
mN
il piano equatoriale del pianeta è, in realtà, sfasato rispetto a quello solare di
un angolo :
α NS = 28, 7° − 7, 25° + 1, 774° = 23, 224°
Sul piano equatoriale si può dunque considerare un adattamento :
R NNS ≃ R NNS0 ⋅ cosα NS = 29420000 K m
Per il satellite Tritone sono noti i dati :
R T = 354760 K m ; α TN = 157° ; m T = 0, 000209 ⋅ m N
lo sfasamento tra l’ asse di Tritone e quello solare vale :
α TS ≃ 157° + 23, 224° ≃ 180°.
utilizzando il valore stimato della massa, il suo punto neutro rispetto al Sole,
in prima approssimazione, risulta :
R NTS =
4496, 6 ⋅ 10 6 K m
1+
1,9891
⋅10 30
1
2
= 466356 K m
2,141 ⋅10 22
Essendo R T < R NNS ; R NTS , Tritone e Nettuno, nell’ attuale
posizione , formano un sistema doppio e quindi Tritone "
non è un satellite di Nettuno ".
8
8
Una prova di questa situazione è " la sua rotazione retrograda ", così come
accadeva per Caronte e per qualsiasi altro sistema doppio, secondo quanto
viene illustrato in figura 29.
Sappiamo che, per avere un sistema doppio, dovrà essere :
n 2N
n
R NNS
=
2
T
=
R NTS
32041013
466356
= 68, 7
tenendo conto che i dati utilizzati sono approssimati, possiamo certamente
assumere
nN
= 8.
nT
i rapporti tra numeri quantici più prossimi sono :
8/1
;
8⋅
4
3
/
4
3
;
;
8⋅ 2 / 2
ecc.
Assumendo il secondo rapporto, dovrà dunque essere :
2
R NNS0 = R ∗T ⋅ n 2N = R ∗T ⋅
4
8⋅
3
2
R NTS = R ∗T ⋅ n 2T = R ∗T ⋅
4
3
9
9
Essendo nota con maggior precisione la massa di Nettuno, utilizziamo la
prima relazione per ricavare il valore che deve aver assunto la distanza tra le
due masse nel momento in cui il sistema doppio si è formato :
R NNS0
R ∗T =
2
4
8 ⋅
= 375481 K m
3
Se consideriamo tale valore coincidente con il raggio dell’orbita circolare
stabile dello spazio rotante di Tritone associata al numero quantico
n=
4
3
,
il punto neutro corretto del satellite Tritone risulta :
R ∗NTS = R ∗T ⋅
4
2
= 500641 K m
3
si ricava così il valore corretto della massa :
mS
m ∗T =
2
RN
R ∗NTS
= 2, 46625 ⋅ 10 22 K g
–1
Essendo la distanza attuale di tritone
R T = 374760 K m minore di quella
iniziale, possiamo pensare che esso si stia avvicinando gradualmente
a Nettuno, percorrendo una spirale, e che quindi oggi non si trovi su
un’orbita stabile.
Quando, nella sua corsa verso il Sole, Nettuno "cadrà" sull’orbita successiva,
4
associata a 1 43
, il punto neutro di Tritone assumerà il valore :
3
R ∗∗
=
NTS
R ∗NTS
4
=
2
459687 K m
4
3
= 375481 K m > 354760 K m
3
In queste condizioni, la coppia costituirà ancora un sistema doppio e
10
10
solo dopo il passaggio di Nettuno sull’orbita successiva risulterà
R ∗∗∗
< R T e Tritone passerà così ad orbitare attorno a Nettuno come
NTS
satellite, con verso di rotazione normale.
Calcoliamo ora le caratteristiche dello schema orbitale, trascurando la massa
di Tritone rispetto a quella di Nettuno.
K 2N = β ⋅ m N = 6, 836068 ⋅ 10 6
3
Km
sec
2
assumendo :
R 1 = 29420000 K m
si ricava :
1
4 ⋅ π2 ⋅ R
T1 =
K
2
3
1
= 4438, 4 g
2
N
1
V1 =
K
2
N
2
= 0, 482
R1
Km
sec
le orbite stabili vengono dunque descritte dalle relazioni :
Rn =
29, 42 ⋅ 10 6 K m
2
2
n m q
2
; Tn =
4438, 4 g
3
3
n m q
; V n = 0, 482
3
Km
sec
nmq
⋅
Per le orbite eccentriche le carateristiche dell’orbita stabile si calcolano con
le relazioni :
3
Rn = R ⋅
1−
e
2
; Tn = T ⋅
1−
e
2
2
1
; Vn = V ⋅
1–e
2
Le correzioni risultano significative solo per orbite molto eccentriche.
Nel caso di Nettuno, eseguiamo il calcolo solo per il satellite Nereide, per il
11
11
quale risulta :
R n = 5513400 K m ⋅ 1 − 0, 75 2  = 2412113 K m
Dello schema orbitale completo si può dare la seguente rappresentazione .
29420000
3268889 1838750 1176800 817222 600408⋅459687
7355000
↓
↓
↓
↑
↓
↑
↓
↑
↓
↑
22065000 14710000 ↑ 5516250 3677500 2451667 1379062 882600 612917⋅
↓ ↑
↓
↓
16548750 11032500
↑
4137187
⋅363210 ⋅294200⋅243140⋅204305⋅174082⋅150102⋅130755⋅114922 ⋅101799⋅90802⋅81496⋅
⋅73550 ⋅66712⋅60785 ⋅55614⋅51076 ⋅ 47072 ⋅43521⋅40357
| |
| |
| |
63748
53345
41939
(anelli)
Dallo schema risulta che attualmente il satellite Tritone si sta spostando dalla
orbita n
= 21 alla n = 22.
Un’altra osservazione significativa su questo sistema planetario riguarda il
satellite Proteo, che orbita ad una distanza R Pr
= 117600 K m .
La sua massa può essere calcolata, molto grossolanamente, ipotizzando una
densità
δ=2
g
cm
3
. Si ricava così :
m Pr = 1, 82 ⋅ 10 19 K g .
Il suo punto neutro rispetto allo spazio rotante di Nettuno vale :
R Pr
R NPrN =
= 49, 6 K m
1
1+
2
mN
m Pr
essendo R NPrN <
r Pr
≃ 200 K m , se ne deduce che questo satellite deve
12
12
perdere continuamente massa dalla superficie rivolta a Nettuno. per
essere stabile, Proteo dovrebbe orbitare ad una distanza :
1
δN
R≥
δ Pr
⋅
r 3N
2
= 246200 K m
r Pr
Il raggio della sfera rotante che sostiene il moto di rivoluzione di Nettuno vale
r N0 =
mN
⋅ RN =
mS
102,45⋅10 24
1,9891⋅10 30
⋅ 4496, 6 ⋅ 10 6 K m
= 231600 K m
Essendo r N0 > r N = 24764 K m , il pianeta non presenta alcun nucleo rotante
interno e rivoluisce direttamente nello spazio rotante solare.
Il satellite Tritone nel moto di rivoluzione è sostenuto da una sfera rotante di
raggio :
r T0 =
mT
⋅ RT =
mN
2,079⋅10 22
102,45⋅10 24
⋅ 354760 K m
= 72 K m < 1353 K m
esso presenta dunque un nucleo interno rotante su se stesso con una
velocità periferica :
1
v T = V nT =
K
2
N
1
2
6,836068⋅10 6
=
K
sec 2
354760 K m
RT
3
m
2
= 4, 39
Km
sec
Pur essendo il nucleo di dimensioni ridotte e rotante con una bassa velocità,
l’energia termica che esso sviluppa per attrito, all’ interno del satellite, potrà
essere sufficiente per produrre modesti fenomeni vulcanici in superficie,
facilitati anche dalla bassa temperatura di fusione dei materiali costituenti il
satellite.
Le altre caratteristiche di Nettuno risultano :
13
13
2
velocità di fuga dalla sua superficie :
2 ⋅ KN
V fN =
= 23, 56
rN
K 2N
gN =
accelerazione di gravità al suolo :
= 11, 2
Km
sec
m
sec
r 2N
2
3 − Urano : sono note le caratteristiche :
m U = 86, 84 ⋅ 10 24 K g ; K 2U = β ⋅ m U = 5, 794477 ⋅ 10 6
3
Km
sec
2
il punto neutro rispetto al Sole vale :
RU
R ∗NUS =
1
1+
mS
2869,6⋅10 6 K m
=
2
1+
1,9891 ⋅ 10 30
1
2
= 18838806 K m
86,84 ⋅ 10 24
mU
Lo sfasamento tra il suo asse di rotazione e quello solare vale :
α US = 97, 92° − 7, 25° + 0, 772° = 91, 442°
Il piano equatoriale del pianeta risulta praticamente perpendicolare
all’ equatore solare e questo comporta una grande simmetria di tutto
lo spazio che circonda l’equatore rispetto all’azione dello spazio
rotante solare.
Conseguenza di tutto questo è la formazione di orbite praticamente
circolari, in quanto difficilmente perturbabili.
Osservando i satelliti più vicini, Ariel e Miranda, di cui si conosce una stima
della massa :
m A =1, 27 ⋅ 10 21 K g ; m M = 6, 33 ⋅ 10 19 K g ,
si ricava il punto neutro dei satelliti rispetto al pianeta :
14
14
RA
R NAU =
1
mU
1+
= 727, 7 K m
191020 K m
=
1+
2
1
2
86,84 ⋅ 10 24
1,27 ⋅ 10 21
mA
RM
R NMU =
= 110, 4 K m
1
mU
1+
2
mM
nel secondo caso risulta il punto neutro interno al satellite, e dunque
esso, nella posizione attuale, deve perdere continuamente massa dalla
superficie rivolta al pianeta.
La distanza minima alla quale Miranda dovrebbe orbitare, per essere
stabile, risulta :
1
RM ≥
δU
δM
⋅
r 3U
2
1
=
rM
1,27
1,2
25559 3
235
2
= 274216 K m
Ricaviamo ora lo schema orbitale, calcolando innanzitutto il valore del raggio
delle orbite circolari stabili associate ai satelliti con orbite molto eccentriche.
Setebos -
R nSe = 17988000 ⋅ 1 − 0. 512 2  = 1327 255 4 K m
Prospero –
R nPr = 16089000 ⋅ 1 − 0. 328 2  = 1435 808 1 K m
Sicorax –
R nSi = 12216000 ⋅ 1 − 0. 512 2  =
9013 649 K m
Stefano –
R nSt = 7942400 ⋅ 1 − 0. 146 2  =
7773 100 K m
Calibano –
R nCa = 7169000 ⋅ 1 − 0. 082 2  =
7120 79 6 K m
In prima approssimazione, il numero quantico associato all’orbita del satellite
15
15
di maggiori dimensioni, Titania, supposto su un’orbita stabile, vale :
n ≃
2
T
n 2T = 49
assumiamo
R +NUS
=
RT
= 43, 22
18838806
435910
e quindi otteniamo il valore corretto del punto neutro
del pianeta :
R NUS = R 1 = 435910 K m ⋅ 49 = 21359590 K m
1
2
K 2U
V1 =
= 0, 52085
; T1 =
Km
sec
R1
2 ⋅ π ⋅ R1
= 2982, 3 g
V1
Le relazioni che descrivono il sistema saranno dunque :
Rn =
21359590 K m
n2 m2 q2
2982, 3 g
; Tn =
n3 m3 q3
; V n = 0, 52085
Km
sec
⋅
nmq
Lo schema orbitale completo risulta il seguente :
21359590
5339898
↓
2373288 1334974
854384
↑
↓
↓
↓
↑
593322 435910 ⋅
↑
↓
↑
↓
↑
16019692 10679795 ↑ 4004923 2669949 1779966 1001231 640788 444991
↓
↑
12014769
↓
↓
↑
8009846 3003692
⋅333744⋅263699 ⋅213596⋅176525 ⋅148330⋅126388 ⋅108977⋅94931⋅83436 ⋅ 73909 ⋅
⋅65925 ⋅ 59168 ⋅ 53399 ⋅ 48434 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
50917 (anello)
Il moto di rivoluzione del pianeta è sostenuto da una sfera rotante di raggio :
16
16
r U0 =
mU
⋅ RU =
mS
86,84⋅10 24
1,9891⋅10 30
⋅ 2869, 6 ⋅ 10 6
K m = 125281 K m > 25559 K m
il pianeta non presenta nucleo rotante interno e rivoluisce direttamente nello
spazio rotante solare.
La sfera rotante che sostiene il moto di rivoluzione dei satelliti più importanti
risulta :
Miranda –
r M0
mM
=
⋅ RM
mU
= 8 ⋅ 10 −7 ⋅ 129390 K m = 0, 103 K m << 235 K m
Ariel –
r A0
= 155 ⋅ 10 −7 ⋅ 191020 K m = 2, 961 K m << 578 K m
Umbriel –
r U0
= 135 ⋅ 10 −7 ⋅ 266300 K m = 3, 595 K m << 585 K m
Titania –
r T0
= 406 ⋅ 10 −7 ⋅ 435910 K m = 17, 70 K m < 789 K m
Oberon –
r O0
= 347 ⋅ 10 −7 ⋅ 583520 K m = 20, 25 K m < 761 K m
Tutti i satelliti hanno un nucleo interno rotante, tuttavia solo quelli di
Titania ed Oberon hanno dimensioni apprezzabili e quindi tali da poter
sviluppare, per attrito interno, l’energia termica richiesta per produrre
in superficie fenomeni vulcanici visibili.
La velocità di rotazione dei nuclei è uguale a quella di rivoluzione dei satelliti
1
e vale :
v T = V nT =
K 2U
2
= 3, 702
RT
Km
sec
;
v O = 3, 199
Km
sec
In entrambi i casi le dimensioni dei nuclei e le velocità di rotazione sono
relativamente basse, per cui anche l’energia termica sviluppata sarà bassa.
Essendo però i satelliti formati da materiali aventi bassa temperatura di
17
17
fusione, in superficie si potranno comunque sviluppare apprezzabili effetti
termici.
4 – Saturno : sono noti :
m Sa = 568, 8 ⋅ 10 24 K g ; K 2Sa = β ⋅ m Sa = 37953692
3
Km
sec
2
il punto neutro vale :
R Sa
R ∗NSaS =
=
1
1+
1+
2
mS
1429,4⋅10 6 K m
1,9891⋅10 30
568,8⋅10 24
1
2
= 23769641 K m
m Sa
Il raggio della sfera rotante che sostiene il moto di rivoluzione risulta :
r Sa0 =
m Sa
⋅
R Sa
= 408749 K m > 60268 K m .
mS
Non si ha alcun nucleo interno rotante e quindi nemmeno produzione
di energia termica per attrito.
Calcolando il punto neutro tra i satelliti più importanti ed il pianeta ed il raggio
della sfera rotante che sostiene il moto di rivoluzione, si trova :
1
Mimas –
R NMSa ≃
2
mM
⋅ RM
m Sa
1
= 66 ⋅ 10 −9  2 ⋅ 185520 K m = 47, 66 K m < 196 K m
r M0 =
Encelado –
mM
⋅ R M = 0, 012 K m << 196 K m
m Sa
R NESa ≃ 1 ⋅ 10 −7 
r E0 = 0, 024 K m
1
2
⋅ 238020 K m = 75, 27 K m < 250 K m
<< 250 K m
18
18
Teti –
r Te0 = 0, 324 K m
Dione –
Titano –
<< 526 K m
⋅ 527040 K m = 1062 K m > 764 K m
2
R NTiSa ≃ 237 ⋅ 10 −6 
1
2
1
⋅ 1481100 K m = 296, 2 K m > 130 K m
2
<< 130 K m
R NGSa ≃ 28 ⋅ 10 −7 
1
2
⋅ 3561300K m = 5959 K m > 718 K m
< 718 K m
R NFSa ≃ 7, 03 ⋅ 10 −9 
r F0 = 0, 091 K m
⋅ 1221830 K m = 18810 K m > 2575 K m
< 2575 K m
R N I Sa ≃ 4 ⋅ 10 −8 
r G0 = 9, 972 K m
Febe –
1
<< 764 K m
r I 0 = 0, 059 K m
Giapeto –
⋅ 377400 K m = 524, 3 K m < 560 K m
2
<< 560 K m
r Ti0 = 289, 6 K m
Iperione –
1
R NRSa ≃ 406 ⋅ 10 −8 
r R0 = 2, 14 K m
⋅ 294660 K m = 309, 1 K m < 526 K m
2
R NDSa ≃ 193 ⋅ 10 −8 
r D0 = 0, 728 K m
Rea –
1
R NTeSa ≃ 11 ⋅ 10 −7 
1
2
⋅ 12952000 K m = 1086 K m > 110 K m
<< 110 K m
Tutti i satelliti fino a Dione hanno il punto neutro interno e quindi non
hanno una massa sufficiente per poter restare in equilibrio sulle
rispettive orbite.
Essi perdono dunque continuamente materiale dalla loro superficie
rivolta a Saturno.
19
19
I detriti che così vengono prodotti si distribuiscono su un disco che si estende
fino alla superficie del pianeta, dividendosi, secondo i meccanismi che sono
stati descritti, in tanti anelli con confini in corrispondenza delle masse che
presentano dimensioni apprezzabili.
Gli anelli di Saturno, come, del resto, quelli che circondano altri pianeti,
rappresentano dunque il risultato del processo di disgregazione dei
satelliti di piccole dimensioni che orbitano in prossimità del pianeta.
Essi costituiscono comunque un passaggio intermedio, in quanto tutti i detriti
sono destinati a cadere lentamente sulla superficie del pianeta, percorrendo
la curva a spirale.
Tutti gli altri satelliti presentano punto neutro esterno, quindi la loro superficie
è completamente stabile.
Il secondo risultato è che tutti i satelliti presentano un nucleo interno rotante.
Le dimensioni dei nuclei sono però quasi sempre estremamente ridotte, per
cui non si ha praticamente alcun fenomeno termico apprezzabile.
Fanno eccezione a questa regola Titano, Giapeto e, forse Rea.
Per questi tre satelliti, la velocità di rotazione su se stesso del nucleo interno
risulta :
1
v Ti = V nTi =
K
1
2
2
Sa
K
37953692
=
R Ti
v G = V nG = 3, 265
Km
sec
3
m
2
sec 2
1221830 K m
; v R = V nR = 8, 486
= 5, 573
Km
sec
Km
sec
Per quanto riguarda il satellite Rea, essendo il nucleo di dimensioni molto
ridotte, l’energia termica che esso sviluppa, anche se può produrre la fusione
dei materiali presenti al centro del satellite, non riesce comunque a produrre
alcun effetto sulla superficie, la quale rimane così immutata nel tempo .
Decisamente più elevato è il valore dell’energia termica che sviluppa il
nucleo rotante di Giapeto.
In questo caso, abbiamo un satellite composto per oltre il
50 % da
20
20
ghiaccio d’acqua e quindi il basso punto di fusione rende possibile il
verificarsi di fenomeni termici in superficie.
Il nucleo interno di Titano, con un raggio di 289, 6 K m , nel
Sistema Solare, è secondo solo a quello terrestre.
Anche se la sua velocità di rotazione non è molto elevata, l’energia
termica che viene sviluppata è notevole e quindi certamente capace di
sviluppare in superficie fenomeni vulcanici anche vistosi.
E’ necessario però tenere presente che, essendo, in questo caso, il nucleo
perfettamente al centro del satellite, l’energia termica generata si distribuisce
più o meno uniformemente su tutta la superficie.
In questo caso si ha quindi la produzione di un elevato numero di fenomeni
aventi però intensità minore di quelli terrestri.
Ricaviamo ora il valore del raggio delle orbite circolari stabili associate ai
satelliti con elevati valori di eccentricità orbitale.
Thrym –
20295000 ⋅ 1 − 0. 513 2  = 1495 398 5 K m
Erriapo –
18160000 ⋅ 1 − 0. 625 2  = 1106 6250 K m
Mundilfari –
18131000 ⋅ 1 − 0. 284 2  = 1666 862 6 K m
Tarvos –
17207000 ⋅ 1 − 0. 619 2  = 1061 394 9 K m
Skadi –
15755000 ⋅ 1 − 0. 206 2  = 1508 642 1 K m
Paaliaq –
14943000 ⋅ 1 − 0. 464 2  = 1172 583 2 K m
Phoebe –
12952000 ⋅ 1 − 0. 16326 2  = 1260 678 0 K m
Ijiraq –
11430000 ⋅ 1 − 0. 364 2  = 9 915 571 K m
Kiviuq –
11205000 ⋅ 1 − 0. 154 2  = 1093 926 2 K m
21
21
Iapetus –
3561300 ⋅ 1 − 0. 02828 2  = 3 558 452 K m
Hyperion –
1481100 ⋅ 1 − 0. 10400 2  = 1 465 080 K m
Titan –
1221830 ⋅ 1 − 0. 02919 2  = 1220 789 K m
Ricaviamo ora lo schema orbitale di Saturno assumendo per il punto neutro
il valore :
R 1 = 23, 8 ⋅ 10 6 K m .
Si ottiene :
1
2
4 ⋅ π2 ⋅ R1
3
T1
=
= 1370, 58 g ; V 1 = 1, 26281
K 2Sa
Km
sec
Le relazioni che descrivono il sistema saranno :
23, 8 ⋅ 10 6 K m
Rn =
2
2
n m q
23800000
2
3
3
n m q
; V n = 1, 26281
3
Km
sec
⋅
nmq
2644444 1487500 952000 661111 485714 371875
5950000
↓
1370, 58 g
; Tn =
↓
↑
↓
↑
↓
↑
↓
↑
↓
↑
17850000 11900000 ↑ 4462500 2975000 1983333 1115625 714000 495833
↓
↑
↓
↓
↑
13387500 8925000 3346875
293827-238000-196694 ⋅165278⋅140828 ⋅121429⋅105778⋅92969⋅82353⋅73457⋅65928⋅
265913 217347 180986 153053
131129 113604 99374 87661 77905 (anelli)
⋅73457⋅65928⋅59500
69693
62714(anelli)
Come abbiamo visto, gli unici satelliti che possiedono un nucleo rotante di
dimensioni tali da produrre energia termica apprezzabile sono Rea, Giapeto
e Titano.
22
22
Per poter stimare gli effetti che questa energia prodotta all’interno genera in
superficie, la confrontiamo con quella che si produce nel nucleo terrestre, di
cui sono ben conosciuti effetti.
Richiamiamo dunque le caratteristiche dinamiche dei tre satelliti.
massa
Rea
Giapeto
Titano
m Re =2, 49⋅10 21 K g
m Gi =1, 88⋅10 21 K g
m Ti =1, 35⋅10 23 K g
3
spazio rotante
velocità di fuga
2
K Re
= 166, 15
Km
sec
V f = 0, 663
2
3
2
K Gi
Km
= 125, 44
sec
2
3
2
K Ti
Km
V f = 0, 586
sec
Km
Km
= 9008
sec
Km
V f = 2, 645
sec
2
sec
.
raggio del satellite
velocità di rivoluzione
raggio del nucleo rot
punto neutro
densità del satellite
acc. gravitazionale
r SRe
= 764K m
V Re = 8, 486
r R0
r SGi
Km
V Gi = 3, 265
sec
= 2, 14K m
= 718K m
r Gi0
Km
sec
= 9, 972K m
r STi
= 2575K m
V Ti = 5, 573
r Ti0
Km
sec
= 289, 6K m
R NRe = 1062K m
R NGi = 5959K m
R NTi = 18810K m
δ Re
δ Gi
δ Ti
ag
= 1, 24
= 0, 2846
g
cm
3
m
sec
2
ag
= 1, 02
= 0, 2433
g
cm
3
m
sec
2
ag
= 1, 88
= 1, 3585
g
cm
3
m
sec
2
Per un calcolo chiaramente molto approssimato, consideriamo la produzione
di energia interna direttamente proporzionale al volume del nucleo rotante ed
al quadrato della sua velocità di rotazione.
Dato che l’energia prodotta all’interno si trasmette alla superficie, prendiamo
in considerazione gli effetti che si manifestano sulla superficie unitaria, che si
potranno indicare con una relazione del tipo :
23
23
E
Es = α1 ⋅
=
S
4
3
α1 ⋅
⋅ π ⋅ r0 ⋅ δ ⋅ V0
3
2
4⋅π⋅r
= α⋅
δ ⋅ r 30 ⋅ V 20
2
S
r 2S
assumendo dunque come riferimento la Terra, si avrà :
E SRe
E ST
=
3
δ Re
r 0Re
⋅
δT
2
V 0Re
⋅
r 0T
2
r ST
⋅
V 0T
r SRe
sostituendo i valori numerici, si ottiene :
E SRe
= 136, 62 ⋅ 10 −9 ;
E SGi
E ST
= 1853, 9 ⋅ 10 −9
;
E ST
E STi
= 19, 5 ⋅ 10 −3
E ST
Per poter valutare gli effetti che si associano a questi valori numerici, bisogna
considerare il peso della densità dei materiali interessati, il valore dell’azione
gravitazionale che il satellite esercita sulla sua superficie e le forze di marea
che il pianeta esercita sui satelliti.
Con riferimento alla situazione che abbiamo rappresentato in figura 18 a
pagina 56 , l’accelerazione che si manifesta sulla superficie del satellite vale :
am =
K 2p
r
1
⋅
K 2S
⋅
4
2
S
K
rS
⋅
2
p
3
–1
Rp
Il rapporto fra la componente di marea e quella gravitazionale esercitata dal
satellite sarà :
Δa
ag
=
1
4
⋅
K 2S
K 2p
⋅
rS
3
Rp
24
24
Eseguendo i calcoli per la Terra (solo la componente solare) ed i tre satelliti
che abbiamo considerato, si ricava :
Terra – Sole :
Δa
ag
Rea – Saturno :
= 17, 40 ⋅ 10 −5
Re
Δa
ag
Titano – Saturno :
T
Δa
ag
Giapeto – Saturno :
= 6, 448 ⋅ 10 −9
=
Gi
Δa
ag
6, 199 ⋅ 10 −7
= 9, 860 ⋅ 10 −6
Ti
Per quanto riguarda Rea, non si hanno in superficie apprezzabili fenomeni
termici dovuti al piccolo nucleo rotante, mentre piuttosto vistose risultano le
maree, che raggiungono valori circa 30000 volte quelli terrestri.
Tenendo conto che la rotazione è sincrona, l’effetto prodotto da queste forze,
agenti sempre nello stesso punto, può essere una deformazione permanente
del satellite.
L’energia specifica che produce Giapeto è circa 14 volte quella prodotta da
Rea e dunque può essere sufficiente per produrre fenomeni vulcanici visibili,
soprattutto se si considera la bassissima densità dei materiali.
Se consideriamo che la velocità di emissione dei materiali fusi aventi bassa
densità può raggiungere valori anche di 1
Km
sec
(vedi il satellite Io), ben oltre
il valore della velocità di fuga, vediamo che la frazione più leggera dei
materiali fusi che vengono eruttati riesce ad uscire dallo spazio rotante
di Giapeto per entrare sotto l’azione diretta di Saturno.
La frazione più pesante, che viene eruttata con minore velocità, ricade invece
sulla superficie del satellite senza uscire dallo spazio rotante.
25
25
Il materiale più leggero, che viene emesso nella direzione del moto di
rivoluzione, acquista una velocità maggiore di quella richiesta per
restare in equilibrio sull’orbita percorsa da Giapeto,
V Gi = 3, 265
Km
sec
,
e quindi si allontana definitivamente su orbite più esterne dello spazio
rotante centrale di Saturno.
Nella direzione opposta a quella di rivoluzione del pianeta, la velocità finale
dei materiali emessi risulta minore di V Gi e quindi essi tendono a spostarsi
verso l’interno percorrendo una spirale.
Dunque, inizialmente questi ultimi occupano sostanzialmente la stessa orbita
del pianeta, la quale viene però percorsa con una velocità minore di quella di
equilibrio.
Giapeto, che si muove sulla stessa orbita con la velocità di equilibrio V Gi , in
un tempo più o meno breve, raggiunge la nube di materiali leggeri in orbita,
che si deposita così sull’emisfero anteriore del satellite.
In definitiva, con questo meccanismo, viene realizzato il trasferimento
dei materiali leggeri dall’emisfero posteriore a quello anteriore.
Se si considera che il moto di rotazione è sincrono, il trasferimento
avviene sempre tra le stesse superficie, per cui quella posteriore sarà
sempre più ricca di materiali pesanti, mentre quella anteriore sarà più
ricca di quelli più volatili.
Questo processo spiega la differente luminosità dei due emisferi di Giapeto.
L’energia specifica che si trasferisce sulla superficie del satellite Titano vale
circa 10500 volte quella di Giapeto.
Del resto, il nucleo rotante di Titano, nel Sistema Solare, risulta secondo solo
a quello terrestre e dunque l’energia che, con la rotazione sviluppa è notevole,
precisamente 1, 95% di quella della Terra.
Bisogna però tenere presente che, in questo caso, abbiamo materiali con
densità molto bassa in uno spazio con bassa azione gravitazionale, per cui i
fenomeni che si producono, a parità di energia in gioco, risultano molto più
26
26
vistosi di quelli terrestri.
Inoltre, il rapporto tra la componente di marea e quella gravitazionale della
accelerazione, nel caso del satellite Titano risulta circa 1530 volte maggiore
di quella presente sulla Terra.
Per effetto della rotazione sincrona, le maree producono i loro effetti sempre
nello stesso punto con conseguente accumulo di materiali più fluidi.
Questo contribuisce a produrre fenomeni sempre più vistosi.
5 – Giove : sono noti i seguenti dati :
m G =1899, 4 ⋅ 10 24 K g ; K 2G =126739174
3
Km
sec
2
; R NGS = 23332686 K m
il raggio della sfera rotante che sostiene il moto di rivoluzione vale :
r G0 =
mG
⋅
RG
mS
sostituendo i valori numerici, si ricava :
r G0 =
1899,4⋅10 24
1,9891⋅10 30
Callisto –
⋅ 778, 4 ⋅ 10 6 K m
= 743297 K m
R NCG = 567 ⋅ 10 −7 
r C0 = 106, 8 K m
1
2
> 71492 K m
⋅ 1883000 K m = 14179 K m > 2403 K m
< 2403 K m
Tutti i satelliti fino a Tebe presentano il punto neutro interno e quindi
perdono massa dalla loro superficie rivolta verso Giove. I materiali che
vengono così liberati "cadono" lentamente sul pianeta, formando tutta una
serie di anelli che si estendono da Tebe fino alla superficie del pianeta.
A differenza di Saturno, in questo caso, i satelliti che alimentano gli
anelli hanno dimensioni molto ridotte e quindi risultano molto poveri
di materiali e poco visibili.
Tutti gli altri satelliti hanno punto neutro esterno e dunque risultano stabili.
27
27
Riassumiamo le loro caratteristiche nella tabella seguente.
Io
Europa
Km
V fIo = 2, 56385 V fEu = 2, 02054 V fGa = 2, 73988 V fCa = 2, 44905
Km
25
m Ga =1, 48⋅10
Callisto
m Io =8, 94⋅10
sec
m Eu =4, 80⋅10
Ganimede
Kg
25
m Ca =1, 08⋅10 26
26
sec
V Io = 17, 3382 V Eu = 13, 7444 V Ga = 10, 8834 V Ca = 8, 20409
Km
R NIo = 2872, 7
m
sec
2
a gIo
= 1, 8108
R NEu = 3355, 7
a gEu
= 1, 3010
R NGa = 9362, 4
a gGa
= 1, 4266
R NCa = 14093
a gCa
= 1, 2480
3
Km
sec
2
2
K Io = 5965, 3
2
2
K Eu = 3202, 8
2
K Ga = 9875, 4
K Ca = 7206, 4
Km
r SIo
= 1815
r SEu
= 1569
r SGa
= 2631
r SCa
= 2403
km
r Io0
= 19, 82
r Eu0
= 16, 97
r Ga0
= 83, 46
r Ca0
= 106, 8
δ Io
= 3, 57
g
cm
3
δ Eu
δ Ga
= 2, 97
= 1, 94
δ Ca
= 1, 86
Con valori così elevati delle velocità di rotazione dei nuclei, è possibile che si
abbiano in superficie fenomeni vulcanici anche vistosi.
Per poter stimare gli effetti prodotti da questi fenomeni, prendiamo in esame
il valore della energia che si trasferisce dall’interno del satellite alla superficie
unitaria e le azioni esercitate dalle maree, utilizzando le relazioni già note :
E SP
E ST
=
δP
δT
⋅
r 0P
3
VP
⋅
r 0T
VT
2
⋅
r ST
2
r SP
28
28
Δa
ag
=
1
⋅
4
K 2S
r SP
⋅
K 2P
3
Rp
I valori numerici che si ricavano sono riportati nella seguente tabella.
masse interagenti
E SP /E ST
Δa/a
Sole–Terra
1
6, 448 ⋅ 10 −9
Ganimede–Giove 1, 768 ⋅ 10 −3 4, 770 ⋅ 10 −5
Callisto–Giove
2, 420 ⋅ 10 −3 9, 137 ⋅ 10 −6
Io–Giove
2, 324 ⋅ 10 −4 4, 238 ⋅ 10 −4
Europa–Giove
1, 021 ⋅ 10 −4 1, 265 ⋅ 10 −4
I valori relativi delle maree prodotte su Io da Europa e Ganimede valgono :
Δa
ag
Δa
= 5, 180 ⋅ 10 −8 ;
ag
Io–Eu
= 9, 077 ⋅ 10 −9
Io–Ga
Risultano dunque dello stesso ordine di grandezza di quelli prodotti dal Sole
sulla Terra, ma sono comunque assolutamente trascurabili rispetto al valore
dovuto all’azione di Giove.
Bisogna tenere presente che, essendo, in tutti i casi la rotazione sincrona ed
il nucleo rotante perfettamente al centro dei satelliti, l’energia termica che si
sviluppa nel nucleo si dovrebbe distribuire più o meno uniformemente sulla
superficie esterna.
In pratica questo non si verifica, in quanto l’azione delle maree, che insiste
sempre negli stessi punti, produce nel tempo una deformazione permanente
della superficie del satellite, come effetto dello scorrimento e dell’accumulo in
questi punti dei materiali più fluidi.
29
29
Anche se l’energia termica prodotta dal nucleo rotante risulta sempre molto
più ridotta di quella che abbiamo sulla Terra, la bassa densità dei materiali e
il valore ridotto dell’accelerazione gravitazionale consentono comunque una
produzione di fenomeni vulcanici in superficie.
Nel caso di Europa, la sua superficie è interamente coperta di ghiaccio, che
rappresenta la parte esterna di uno spesso strato liquido il quale, attraverso i
moti convettivi, rende la temperatura uniforme, impedendo così la formazione
dei gradienti termici necessari per produrre fenomeni eruttivi.
Sul satellite Io si hanno eruzioni molto vistose, con velocità di emissione che
superano anche 1
Km
sec
.
Per quanto elevato, questo valore non supera la velocità di fuga e quindi tutti i
materiali eruttati, anche i più leggeri, non superano il punto neutro e ricadono
sulla superficie.
Pur avendo condizioni analoghe a quelle di Giapeto, in questo caso non si ha
la separazione dei materiali leggeri da quelli pesanti.
Assumendo, per il pianeta Giove, il punto neutro :
R 1 = 22, 3 ⋅ 10 6 K m
si ricava lo schema lo schema completo delle orbite stabili :
22300000
↓
2477778 1393750 892000 619444 455102⋅348437⋅
5575000
↓
↑
↓
↑
↓
↑
↓
↑
↓
↑
16725000 11150000 ↑ 4181250 2787500 1858334 1045313 669000 464583
↓
↑
12543750
↓
↓ ↑
8362500 3135937
⋅275309⋅ 223000 ⋅ 184297 ⋅154861⋅ 131952 ⋅113775⋅99111⋅87109⋅77163
203649⋅169579⋅143406⋅122863⋅106443⋅93110⋅82136 (anelli)
Analiticamente il sistema è descritto dalle relazioni :
30
30
Rn =
22, 3 ⋅ 10 6 K m
2
2
n m q
2
680, 25 g
; Tn =
3
3
n m q
3
; V n = 2, 384
Km
sec
⋅
nmq
Il valore del raggio dell’orbita circolare stabile dei satelliti aventi eccentricità
di valore non trascurabile si calcola con la relazione
Rn = Rp ⋅
1–e
2
;
i risultati che si ottengono sono riportati nella tabella seguente.
R p 10 3 K m
e
R n 10 3 K m
Sinope
23700
0, 275
21907
Carme
22600
0, 20678
21633
Elara
11737
0, 20719
11233
Himalia
11480
0, 15798
11193
Pasihiphae
23500
0, 378
20142
Ananke
21200
0, 1687
20596
Lysithea
11720
0, 107
11586
Leda
11094
0, 14762
10852
6 – Fascia
degli asteroidi : Abbiamo visto che tale fascia occupa lo
6
6
spazio che si estende da 580, 9 ⋅ 10 K m a 255, 8 ⋅ 10 K m
coincidente con lo spazio in cui l’azione attrattiva dei pianeti confinanti, Marte
e Giove si può ritenere trascurabile rispetto a quella solare.
In tale spazio si hanno tre orbite stabili in corrispondenza di :
R n1 = 461, 3 ⋅ 10 6 K m ; R n2 = 346 ⋅ 10 6 K m ; R n3 = 259, 5 ⋅ 10 6 K m
31
31
Normalmente, per brevità, alla fascia viene assegnato il raggio medio :
RA =
580, 9 + 255, 8 ⋅ 10 6 K m
≃ 418, 4 ⋅ 10 6 K m
2
Un’altra fascia simile, come sappiamo, esiste ai confini del Sistema Solare
con estensione approssimativa da 7381 ⋅ 10 6 K m a 14762 ⋅ 10 6 K m .
Calcoliamo il valore minimo che deve avere il raggio degli asteroidi per poter
restare stabilmente in orbita all’interno di queste fasce senza perdere massa
verso il Sole.
Per un calcolo indicativo, assumiamo una densità media
δ=2
g
cm
3
a) Nella fascia di Kuiper si hanno i valori estremi :
r1 >
r2 >
δS
δ
1,41
2
⋅
r 3S
R
⋅
=
2
1
696000 K m
1,41
2
696000 K m
⋅
3
14762⋅10 6 K m
2
= 1, 09 m
3
2
7381⋅10 6 K m
= 4, 36 m
b) Per la fascia dei pianetini si ricava :
r1 >
r2 >
1,41
2
⋅
696000 K m
580⋅10 6 K m
3
2
= 706 m
3632 m
In entrambi i casi, i corpi aventi dimensioni minori sono più stabili, e
quindi sono anche più numerosi, nella parte esterna della fascia.
I valori ottenuti mettono in evidenza l’esistenza di un rapporto 1 / 1000 tra le
dimensioni minime delle particelle che mediamente orbitano nelle due fasce.
Questo significa che nella fascia di Kuiper si avranno mediamente particelle
molto più piccole di quelle presenti in quella degli asteroidi.
32
32
Con riferimento alla figura 30, consideriamo due masse m 1 ed
inizialmente su due orbite indipendenti all’interno della fascia.
m2
in moto
Per semplicità di esposizione, assumiamo inoltre m 1 = m 2 = m.
Se il loro raggio d’azione è maggiore della distanza tra le masse, ovvero, si
verifica R maxa > 2 r , la forza d’interazione risulta attrattiva e dunque si ha un
graduale accostamento pur restando le due orbite distinte.
Il momento angolare del sistema iniziale, con le due masse indipendenti,
vale :
Mi = m1 V1 R1 + m2 V2 R2 = m ⋅ V1 R1 + V2 R2
le velocità relative, in prima approssimazione, risultano :
1
V1 = Vp –
2
K 2S
4⋅R
⋅
r
3
p
1
V2 = Vp +
2
K 2S
4⋅R
⋅
r
3
p
33
33
con qualche semplice passaggio, si ricava :
1
M i = 2 ⋅ m ⋅ V p ⋅R p ⋅
1
r2
–
2
4 ⋅ Rp
Secondo tale relazione, quando le due masse si accostano per formare un
sistema doppio, la diminuzione di r comporta una diminuzione del momento
angolare M i .
Questo però non è possibile, in quanto, se non abbiamo applicato delle forze
esterne, M i deve restare invariato.
Per questa ragione, man mano che si avvicinano, le due masse iniziano a
ruotare nello stesso verso dello spazio rotante centrale
K 2s , con una velocità
crescente, in modo da acquistare un momento angolare rispetto al comune
centro di rotazione, oltre a quello che deriva dal loro moto di rivoluzione.
L’accostamento e l’aumento della velocità di rotazione v p cessano quando
viene raggiunta la condizione di equilibrio :
2
vp
K 2p
–
=0
che equivale a :
r 2f
rf
v 2p ⋅ r f = K 2p .
A questo punto, il momento angolare delle due particelle legate, vale :
Mf = 2 ⋅ m VpRp + 2 ⋅ m v p rf
Il secondo termine dipende unicamente dall’equilibrio tra le due masse
e non è legato ai principi di conservazione.
= M i , il sistema unico, formato dalle due masse rotanti,
si deve spostare verso il centro dello spazio rotante centrale, riducendo R p
Per poter avere M f
34
34
e quindi la componente del momento angolare dovuta al moto di rivoluzione.
Nella fascia si genera dunque un lento scorrimento verso
il centro dello spazio rotante, che continua con l’aumento
del livello di aggregazione.
Oltre al valore minimo r min , esiste dunque un limite massimo oltre il quale gli
aggregati escono dalla fascia per spostarsi su orbite stabili più interne.
Come abbiamo visto, la forza di legame richiesta per avere l’equilibrio di un
sistema doppio che si forma nella fascia di Kuiper, avvicinandosi al Sole,
aumenta e quindi il legame diventa meno stabile.
Esiste un valore del raggio dell’orbita in corrispondenza del quale la massa
satellite ( di minori dimensioni ) si libera nello spazio rotante solare e diventa,
a sua volta, un pianeta oppure un satellite di qualche pianeta che si trova su
un’orbita più bassa.
Dalla relazione :
r min =
δS
δP
3
⋅
rS
2
RP
vediamo che le masse più piccole possono occupare stabilmente solo orbite
di raggio R P elevato, mentre quelle di maggiori dimensioni trovano equilibrio
anche su bassi valori di R P .
Se teniamo conto dei risultati numerici ottenuti e del fatto che nel Sistema
Solare le uniche orbite poco influenzate dai pianeti vicini sono proprio
quelle corrispondenti alla fascia dei pianetini, l’origine della fascia può
avere due giustificazioni.
Se pensiamo che tutto il Sistema Solare sia stato e venga ancora alimentato
dalle masse che si aggregano nella fascia di Kuiper, secondo l’ipotesi della
esplosione della stella, diventa praticamente impossibile pensare che grandi
masse come la Terra, Venere, Mercurio e Marte abbiano potuto superare
ben tre orbite stabili, senza fermarsi, per portarsi nella posizione attuale, su
orbite più interne, aventi la stessa stabilità.
Dobbiamo dunque pensare che la fascia degli asteroidi si sia formata
35
35
contemporaneamente agli altri pianeti.
Si tratta quindi di stabilire solo se essa può aver avuto origine con la attuale
configurazione oppure se quella che osserviamo rappresenta l’evoluzione di
una diversa forma iniziale.
Secondo la teoria che abbiamo esposto, esiste una remotissima possibilità
che la fascia si sia formata con l’accumulo di tutti i detriti che i grandi pianeti
gassosi catturano nella parte più esterna dell’orbita, dove l’azione del Sole è
concorde con quella del pianeta, e la rilascia nella parte interna, dove l’azione
del Sole può essere prevalente.
In definitiva, secondo questa ipotesi, nella zona dei pianetini si accumula tutto
ciò che viene " traghettano verso l’interno " e riesce a sfuggire all’azione
gravitazionale dei grandi pianeti.
.
La seconda possibilità, certamente la più probabile, è che la fascia in origine
fosse occupata da un solo pianeta, sull’orbita centrale con valore del raggio
minimo R n2 = 346 ⋅ 10 6 K m , avente una massa capace di " aggregare tutti
gli altri detriti eventualmente presenti.
Esiste infine la possibilità che la fascia, inizialmente, sia stata occupata da
tre pianeti, di dimensioni più ridotte, ciascuno su un’orbita stabile.
Dal punto di vista dell’analisi, quest’ultimo caso non si presenta comunque
diverso da quello precedente.
Il calcolo dei valori delle masse necessarie per avere la fascia " pulita " è già
stato fatto e non viene qui ripetuto.
Ricordiamo solo che la larghezza della fascia è tale da richiedere due masse
24
molto elevate, ciascuna di 3884 ⋅ 10 K g , maggiore di quella di Giove,
oppure una sola di valore doppio.
La presenza attuale di tutti i detriti e l’analogia con la fascia di Kuiper, fanno
pensare, senza dubbio, ad una esplosione.
Si tratta di capire che cosa può essere esploso e per quale ragione ciò si è
verificato.
36
36
Se pensiamo ad una sola massa, diventa difficile vedere le cause che per le
quali si può produrre una esplosione.
E’, certamente, molto più probabile che ciò possa verificarsi in seguito allo
scontro tra due grandi masse.
Bisogna infatti considerare che, per avere una esplosione attraverso un urto,
che produca solo detriti di piccole dimensioni, è necessario che entrambe le
masse vengano disgregate.
Dunque, nessuna di esse deve essere in grado di assorbire la perturbazione
indotta dall’urto dell’altra.
Questo vuol dire che il valore delle due masse non deve essere molto diverso
in modo che durante l’urto entrambe assorbano l’energia necessaria per la
loro riduzione in frantumi.
Nel nostro caso pensiamo dunque allo scontro tra due masse, praticamente
uguali, di valore pari a 3884 ⋅ 10 24 K g .
Subito dopo l’esplosione della stella che le ha generate, le due masse hanno
ricevuto, approssimativamente, lo stesso impulso e quindi si muovono verso
il Sole con una certa velocità comune V 0S ad una distanza iniziale tra loro che
indichiamo con R 0 ed una velocità relativa V 0 che, per quanto abbiamo visto
dovrà essere
V 0 → 0.
Durante il moto le due masse sono soggette alla reciproca azione, per cui la
loro distanza R diminuisce.
Dovendo, durante l’accostamento, verificare la conservazione del momento
angolare, con ovvio significato dei simboli, si ha :
m ⋅ V0 ⋅ R0 = m ⋅ V ⋅ R
dalla quale si ricava la velocità di rotazione di una massa rispetto all’altra :
V = V0 ⋅
R0
R
Per poter entrare in orbita stabile e formare un sistema doppio, la velocità V
deve uguagliare quella di equilibrio data da :
37
37
1
K 2p
V eq =
2
R
si ricava quindi il valore del raggio dell’orbita dell’orbita sulla quale si potrà
avere equilibrio :
R eq =
V 20 ⋅ R 20
K 2p
R 0 limitato dal punto neutro e K 2p
R eq → 0.
Essendo il valore
elevato, risulta
di valore molto
Le due masse non riescono a formare un sistema doppio e si precipitano
una contro l’altra, praticamente come se fossero in caduta libera, provocando
la disintegrazione totale.
Se ipotizziamo che le due masse abbiano inizialmente occupato, nella fascia
dei pianetini, le due orbite centrali associate ai raggi :
R n1 = 461, 3 ⋅ 10 6 K m ;
R n2 = 346, 0 ⋅ 10 6 K m
possiamo valutare l’energia messa in gioco nell’impatto, che risulta uguale al
valore dell’energia potenziale di una massa rispetto all’altra nella posizione di
partenza :
E = EC =
1
⋅ m ⋅ V2
K 2p
= m⋅
2
R n1 – R n2
eseguendo i calcoli si ottiene :
E = 8, 7302 ⋅ 10 33 j
Per confronto, ricordiamo che l’energia cinetica della Terra in orbita vale :
E T = 2, 6670 ⋅ 10 33 j
38
38
L’impatto che, secondo la nostra ipotesi, si sarebbe prodotto risulta uguale a
quello che produrrebbe lo scontro tra due corpi celesti di massa doppia della
Km
Terra in moto alla velocità di 29, 876
sec
.
Si tratta di un valore di energia veramente impressionante e dunque si potrà
ritenere verosimile che in queste condizioni si produca una polverizzazione
delle due masse con generazione di un gran numero di asteroidi e comete.
L’osservazione astronomica rivela per quasi tutti i pianetini aventi dimensioni
apprezzabili un periodo di rotazione diverso da quello di rivoluzione e questo
può essere facilmente giustificato pensando che la grande densità di detriti
presenti nella fascia al momento dell’esplosione abbia facilitato la " cattura "
di piccoli satelliti, secondo i meccanismi che abbiamo descritto.
Degli asteroidi di maggiori dimensioni si conosce il periodo di rotazione e
quindi, ipotizzando che siano sistemi doppi (dunque con rotazione sincrona),
possiamo ricavare le caratteristiche di ciascun sistema.
Cerere – sono noti i valori :
rc
= 457 K m ; R c = 413, 9 ⋅ 10 6 K m ; T p = 9, 07 h ; m c = 9, 47 ⋅ 10 20 K g
con questi dati si ricavano i valori di prima approssimazione :
K ∗2
= 63, 176
c
3
Km
sec
2
; R ∗NCS = 9030, 8 K m
Il raggio dell’ orbita del satellite sarà :
1
d∗=
3
T 2P ⋅ K ∗2
C
= 1194, 9 K m
4 ⋅ π2
Per avere un sistema doppio, dovrà essere :
R NCS = d ⋅ n 2c ; R NXS = d ⋅ n 2x
dalla prima si ricava :
n =
2
c
R NCS
d
≃
R ∗NCS
d
=
9030,8
1194,9
= 7, 558 ≃
2⋅ 2
2
=
8
∗
39
39
se teniamo conto che nessun satellite è stato osservato in orbita nello spazio
rotante di Cerere, possiamo pensare che esso debba avere le dimensioni
minime, corrispondenti a
n 2x = 1.
si ottiene quindi :
R ∗NXS
R ∗∗
= d ∗ ⋅ n 2c
NCS
d∗ ;
=
= 9559, 2 K m
Si ricavano dunque le masse :
mS
mc =
2
RC
R
−
1
∗∗
NCS
mS
mx =
2
RC
R
= 10, 61 ⋅ 10 20 K g
−
= 1, 658 ⋅ 10 19 K g
1
∗
NXS
Ripetendo il calcolo, per successive approssimazioni, si ricava :
3
K ∗2
= 70, 796
c
Km
sec
2
;
d = 1241, 2 K m ; R NCS = 9929, 6 K m
m c = 11, 45 ⋅ 10 20 K g ; m x = 1, 789 ⋅ 10 19 K g
Noti i valori di prima approssimazione, si può anche utilizzare direttamente la
relazione :
Kc =
K 3S
R
3
C
6
⋅
nC
⋅
nX
T 2P
4 ⋅ π2
2
da cui , con
nC
=8
si ricavano i valori :
nX
m C = 13, 32 ⋅ 10 20 K g ; R NCS =10710 K m ; m x = 2, 081 ⋅ 10 19 K g ; d =1338, 7 K m
Con le stesse ipotesi, limitandoci alla prima approssimazione, per gli altri
asteroidi, si ricava :
40
40
Pallade – T p = 10, 1 h
m = 1, 799 ⋅ 10 20 K g ; m x = 6, 32 ⋅ 10 18 K g ; d = 738 K m
Vesta –
T p = 5, 34 h
m = 2, 045 ⋅ 10 20 K g ; m x = 4, 04 ⋅ 10 18 K g ; d = 504 K m
Psiche – T p = 4, 30 h
m = 2, 388 ⋅ 10 19 K g ; m x = 4, 72 ⋅ 10 17 K g ; d = 213 K m
Giunone - T p = 7, 21 h
m = 1, 029 ⋅ 10 19 K g ; m x = 6, 43 ⋅ 10 17 K g ; d = 227 K m
Davida – T p = 5, 17 h
m = 2, 998 ⋅ 10 19 K g ; m x = 5, 93 ⋅ 10 17 K g ; d = 260 K m
Eros –
T p = 5, 27 h
m = 9, 728 ⋅ 10 18 K g ; m x = !, 37 ⋅ 10 18 K g ; d = 181 K m
7 – Marte : sono note le posizioni ed i periodi di rivoluzione dei due satelliti.
Phobos – R P
= 9374 K m ; T P = 0, 31891 g ;
Deimos – R D = 23458 K m :
Si ricavano i valori :
dim =
T D = 1, 26244 g ;
26, 3 ⋅ 22, 4 ⋅ 18, 4 K 3m
dim = 10, 4
K = V RP = V RD
2
M
2
P
2
D
⋅ 12, 2 ⋅ 15 K 3m
3
= 42832
Km
sec
2
;
2
mM =
KM
= 0, 64191 ⋅ 10 24 K g
β
Il punto neutro risulta :
RM
R NMS =
= 129562 K m
1
1+
2
mS
mM
41
41
Se i due satelliti si trovano su " possibili " orbite stabili, dovrà essere :
R1
n
2
P
= 9374 K m
R 1 = R NMS = 129562 K m
con
R1
n
Si ricava dunque :
2
D
= 23458 K m
nP
nD
=
1
23458
9374
2
= 1, 5819
8
oppure
La coppia di valori che meglio approssima tale rapporto risulta
5
6
che però forniscono, entrambi, valori inaccettabili per
R1.
4
Questo risultato ed altre considerazioni ci portano a pensare che i due
satelliti non siano su orbite stabili.
Ipotizziamo dunque che essi rappresentino un unico vecchio satellite
spezzato in due parti da un impatto schematizzabile come in figura.
42
42
Le dimensioni dei satelliti fornite dall’osservazione, lungo i tre assi, risultano
praticamente complementari, precisamente :
Phobos – V P = 26, 8 ⋅ 21, 6 ⋅ 18, 8 K 3m
Deimos – V D = 10, 4 ⋅ 12, 2 ⋅ 15, 0 K 3m
Essendo la spaccatura asimmetrica, il frammento più piccolo, Deimos, avrà
una maggiore percentuale di elementi superficiali leggeri. Sarà ragionevole
quindi pensare che abbia una minore densità media.
Supponiamo che sia δ D ≃ 0, 85 ⋅ δ P e che si possa trascurare il momento
angolare del proiettile incidente rispetto al centro del pianeta Marte.
Con queste ipotesi semplificative, indicando con V il volume dei satelliti e
con x il satellite primordiale, il principio di conservazione del momento della
quantità di moto impone che sia :
mx Vx Rx = mP VP RP + mD VD RD
che si può anche scrivere :
mx KM Rx
1
1
2
2
= mP KM RP
1
+ mD KM RD
2
semplificando si ottiene :
mx Rx
sostituendo
m =δ⋅V
1
1
2
2
= mP RP
1
+ mD RD
, si può scrivere :
1
1
Rx
2
2
=
VP RP
1
2
+ 0, 85 V D R D
2
V P + 0, 85 V D
Sostituendo i valori numerici, si ricava :
R x = 10819 K m
43
43
utilizzando questo valore approssimato, ricaviamo il numero quantico
associato all’orbita .
Dalla
Rx =
R NMS
n
si ottiene :
2
X
n 2x =
129562
10819
= 11, 9754
Il numero quantico più prossimo accettabile risulta
Se si assume dunque n x =
3⋅
4
12 =
3⋅
4
3
2
.
, la distanza corretta del satellite
3
primordiale dovrà essere :
Rx =
129562 K m
12
= 10797 K m
Secondo questa dinamica, il satellite Deimos, durante l’urto, ha acquisito
energia e si è allontanato da Marte.
L’energia acquistata non è risultata tuttavia sufficiente per portarlo
R n = 24293 K m e quindi dovrà " cadere " su
quella che la precede con R n = 18220 K m .
sull’orbita stabile avente
Il satellite Phobos invece " cade ", lentamente, sul pianeta percorrendo
una spirale.
Utilizzando l’osservazione secondo la quale oggi Phobos si avvicina a Marte
con una velocità di circa 2 m / 100 anni, se, in prima approssimazione,
riteniamo che tale velocità non abbia subito variazioni nel tempo, possiamo
datare l’impatto con la relazione :
t=
R X – R Ph
2m
⋅ 100 a =
10797 − 9374 K m
2m
⋅ 100 a ≃
70 ⋅ 10 6 anni
Questo risultato potrebbe costituire una valida prova a favore della
ipotesi che nella stessa epoca si sia verificata sulla Terra la caduta di
grandi asteroidi che hanno provocato l’estinzione di un gran numero
di specie animali.
44
44
Calcoliamo, a questo punto, le caratteristiche orbitali dell’ intero sistema
Marziano.
1
K
V1 =
2
2
M
= 0, 575
R1
Km
sec
1
4 ⋅ π2 ⋅ R1
2
3
T1 =
= 16, 387 g
2
KM
Si avranno quindi le relazioni :
Rn =
129562 K m
; Tn =
n2 m2 q2
16, 387g
; V n = 0, 575
n3 m3 q3
Km
sec
⋅
nmq
lo schema orbitale completo risulta il seguente.
129562
32390
↓
14396
↓
↑
8097,6
↓
↑
97171 64781 24293 16195 10797
↓
↑
↓
↑
↓
5182,5
↓
3598,9⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
↑
↓
↑
6073,2 3886,9
↑
72879 48586 18220
Calcoliamo, infine, il raggio della sfera rotante che sostiene il moto di
rivoluzione del pianeta.
r M0 =
mM
⋅ RM =
mS
0,64191⋅10 24
1,9891⋅10 30
⋅ 227, 94 ⋅ 10 6 K m = 73, 56 K m < 3396, 2 K m
Marte presenta dunque un nucleo interno rotante su se stesso alla velocità :
1
v = Vn =
K
2
S
RM
1
2
132,725⋅10 9
=
227,94⋅10 6
K
3
m
sec 2
Km
2
= 24, 13
Km
sec
45
45
Pur essendo il nucleo di dimensioni modeste, la sua velocita’ di rotazione è
molto elevata e quindi l’energia termica che si sviluppa può essere
sufficiente per generare in superficie fenomeni termici apprezzabili, anche
se non vistosi.
Bisogna infatti tenere presente che, a differenza di quanto accade sulla Terra,
in questo caso, il nucleo che genera l’energia si trova al centro del pianeta e
quindi i fenomeni superficiali che esso produce avranno tendenza ad essere
più distribuiti con conseguente riduzione della loro intensità.
A questo punto apriamo una piccola parentesi per fare una considerazione di
carattere generale.
Abbiamo visto che lo spazio rotante solare, per avere il pianeta in equilibrio
sull’orbita, impone alla massa planetaria m p la rotazione alla velocità V n ad
una sfera di raggio r P0 .
La massa m p , a seconda della densità, si realizzerà con una sfera di
raggio r p che può assumere un valore qualsiasi, che difficilmente sarà
coincidente, per caso, con
r P0 .
46
46
Se risulta r p > r P0 , all’interno della sfera planetaria si genera un andamento
della velocità di rotazione decrescente verso l’esterno in modo da produrre
un momento angolare uguale e contrario a quello dei satelliti in orbita.
In questo caso, l’equilibrio viene raggiunto, con una sfera planetaria, solidale
con il pianeta, avente un raggio minore del valore che si avrebbe in assenza
di satelliti.
La situazione è quella schematizzata in figura 32.
T p quello di rotazione della
sfera su se stessa, misurato sulla sua superficie, con c s la velocità periferica
Indicando con
Tn
il periodo di rivoluzione, con
di rotazione della superficie del pianeta, si potrà scrivere :
Vn =
2 ⋅ π ⋅ Rn
; Vn =
2⋅π
Tn
⋅ R PS
;
TP =
2⋅π
TP
⋅ rP
cS
da cui si ricava :
Rn
Tn
=
R PS
R PS
;
TP
=
Vn
rP
cS
e dunque il raggio della sfera planetaria in presenza di satelliti :
TP
R PS =
⋅
Rn
Tn
La sfera planetaria di Marte risulta :
R PSM =
TP
⋅
RM =
Tn
1,02595676 g
1,881 a
⋅ 227, 94 ⋅ 10 6 K m = 340379 K m
Verifichiamo, infine, la stabilità dei satelliti sulle orbite.
1
RD ≥
δM
δD
⋅
r 3M
2
rD
47
47
numericamente si ottiene :
1
RD
3,94
1,7
=
⋅
3
3396,2 K m
2
= 121997 K m > 23458 K m
6,1 K m
Deimos, nella posizione attuale, perde continuamente massa dalla superficie
rivolta verso Marte.
Per Phobos si ricava R F = 83000 K m > 9374 K m e quindi anch’esso perde
massa dalla superficie.
Entrambi i satelliti sono dunque destinati a frantumarsi, formando una
spirale di polvere e detriti vari diretti verso la superficie di Marte.
8 – Sistema
Terra – Luna : in questo caso sono noti con precisione :
m T = 5, 976 ⋅ 10 24 K g ; m L
= 0, 0123 m T
; TL
= 27, 321661 g
si ricavano gli spazi rotanti :
K 2T = β ⋅ m T
3
= 398754
Km
sec
;
2
K 2L = 4904, 7
3
Km
sec
2
Il raggio dell’ orbita lunare, considerata circolare, vale :
1
RL =
K
2
T
⋅T
4 ⋅ π2
2
L
1
3
K
398754
=
3
m
sec 2
⋅ 27,321661 g
4⋅ π 2
2
3
= 383233 K m
Durante il moto di rivoluzione del sistema, l’azione dello spazio rotante solare
cambia in rapporto al momento che viene considerato, per cui, le orbite che
il nostro satellite percorre in un anno non sono tutte uguali.
Per questa ragione, normalmente, si assume come distanza media Terra –
Luna, il valore medio tra il minimo ed il massimo raggiunti nell’arco dell’anno
e si ottiene così :
R L0 = 384400 K m .
Il punto neutro rispetto al Sole vale :
48
48
RT
R NTS =
= 258851 K m
1
1+
2
mS
mT
RT
R NLS =
= 28572, 2 K m
1
1+
2
mS
mL
Non essendo R L
< R NTS ; R NLS , nella posizione attuale, non si tratta
di un sistema doppio.
E’ certamente rilevante il fatto che su un numero di oltre 100 satelliti, presenti
nel sistema Solare, la Luna sia l’unico in orbita ad una distanza R L > R NTS e
che questo accada al satellite più vicino al Sole.
Inoltre, tutti i satelliti in orbita a grandi distanze dai pianeti, senza eccezioni,
hanno dimensioni notevolmente ridotte rispetto a quelli piu’ prossimi, mentre
la Luna ha dimensioni notevoli.
Per poter capire quali siano le ragioni che rendono possibile la sua posizione
è necessario fare un’analisi dettagliata del sistema.
Innanzitutto ricordiamo che nessun pianeta è in grado di catturare un
satellite a distanza maggiore del suo punto neutro rispetto allo spazio
rotante solare centrale, in quanto l’azione di quest’ultimo comunque
allontanerebbe gradualmente il satellite dal pianeta.
La situazione presente nel sistema Terra – Luna ci deve
dunque far sospettare che l’equilibrio sia instabile e che
il satellite sia stato " acquisito " dalla Terra in circostanze
molto diverse da quelle attuali.
49
49
Sappiamo infatti che il punto neutro non e’ una caratteristica propria di un
pianeta, ma dipende dalla posizione occupata nello spazio rotante centrale.
R L < R NTS , possiamo pensare che sia
R L con R NTS costante, partendo dal valore
Per soddisfare quindi la condizione
aumentata nel tempo la distanza
R ∗L ≤ 258851 K m .
Oppure possiamo ritenere che sia diminuito nel tempo
costante, partendo dal valore
R ∗NTS
R NTS
con
RL
≥ 383233 K m .
La prima ipotesi si deve escludere in quanto implica l’esistenza di una forza
repulsiva tra Terra e Luna alla distanza R NTS , contraria all’esperienza ed alle
previsioni teoriche secondo i meccanismi che abbiamo studiato.
Abbiamo infatti visto che un satellite in orbita ad una distanza minore di R N è
destinato ad avvicinarsi lentamente al centro del pianeta, passando per tutte
le orbite circolari stabili di raggio R n .
Il contrario succede per distanze maggiori.
Se dunque accettiamo la seconda ipotesi, utilizzando l’espressione nota del
punto neutro, possiamo calcolare il valore minimo della distanza dal Sole in
corrispondenza della quale la Terra può aver acquisito la Luna come satellite.
Risulta :
1
R T0 ≥ R L ⋅
1+
2
mS
= 221, 48 ⋅ 10 6 K m
mT
Nello spazio rotante solare, l’ultima orbita possibile, per la stabilità del
sistema Terra - Luna, sarebbe dunque quella di Marte, corrispondente
al numero quantico n
= 5.
Essendo la massa della Luna relativamente grande, sarà
possibile anche pensare che la coppia iniziale formasse
un sistema doppio.
50
50
In questo caso, verifichiamo come e dove può essersi realizzato questo tipo
di unione.
Per semplificare il calcolo, non avendo a disposizione dati storici, avanziamo
l’ipotesi, che il rapporto tra le due masse, almeno in prima approssimazione,
sia rimasto invariato nel tempo.
Durante il primo incontro, secondo quanto abbiamo visto, per poter formare
un sistema doppio, doveva essere verificata la relazione :
1
R NTS0
≃
R NLS0
2
mT
=
n 2T
n 2L
mL
sostituendo i valori numerici, si ottiene :
n 2T
n
2
L
=
1
1
0,0123
2
= 9, 016 ;
=3
nL
sono possibili i rapporti :
Con la coppia
assumiamo :
nT
3 / 1 ; 6 / 2 ; 9 / 3 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅.
6 / 2 si ottiene :
R NTS0 = R nL ⋅ n 2T = R L ⋅
1−
e
2
2
⋅ nT
con i valori numerici :
R NTS0 = 382078 K m ⋅ 36 = 13754808 K m
R NLS0 = R nL ⋅ n 2L = R L
1−
e
2
⋅ 2 2 = 1528312 K m
Utilizzando l’espressione nota del punto neutro, possiamo ricavare la
distanza dal Sole in corrispondenza della quale può essersi verificata
l’unione tra pianeta e satellite.
Risulta :
1
R T0 = R NTS0 ⋅
1+
2
mS
=
7949 ⋅ 10 6 K m
mT
51
51
Questo risultato può indicare che il sistema Terra – Luna, come, del
resto, Plutone – Caronte e forse altri oggi distrutti, sia nato realmente
come sistema doppio nella fascia di Kuiper durante la sua formazione,
subito dopo l’esplosione della stella compagna del Sole, nel Sistema
Solare primordiale.
Man mano che la coppia si avvicina al centro dello spazio rotante centrale,
secondo il meccanismo che abbiamo già esposto, il legame diventa sempre
meno rigido.
Quando si verifica la condizione : R NLS1
nel nostro caso alla distanza dal Sole
≤ R nL = 382078 K m ,
1
R T1 = 382078 K m ⋅
1+
mS
2
= 1988 ⋅ 10 6 K m ,
mL
la Luna non riesce più a trattenere in orbita la Terra, la quale invece continua
a trattenere la Luna come satellite, in quanto si verifica ancora :
R T1
R NTS1 =
= 3, 44 ⋅ 10 6 K m > 382078 K m
1
1+
mS
2
mT
Come abbiamo già visto, quando il sistema ha raggiunto l’orbita di Marte, si
è verificata la condizione R NTS < R L e la Luna ha iniziato ad allontanarsi
gradualmente dall’orbita per passare poi sotto l’influenza diretta dello spazio
rotante solare.
Questo è realmente quello che l’osservazione astronomica ci riferisce.
La Luna, infatti, attualmente si allontana gradualmente dalla Terra con
un ritmo di 3, 8 cm / anno.
Bisogna tuttavia considerare che, in realtà, nella condizione attuale, l’inerzia,
unitamente all’accostamento, che si produce nei punti in corrispondenza dei
quali Terra e Sole esercitano sulla Luna un’azione concorde, riesce ancora
52
52
a consentire comunque l’equilibrio anche se piuttosto precario.
Se si hanno due spazi controrotanti, stellare e planetario, una sfera che si
muova attraversando la congiungente nel punto N, può continuare la sua
corsa in uno spazio oppure nell’altro in rapporto alla posizione del punto N
ed alla massa della sfera satellite.
La situazione è quella che è illustrata in figura 33.
Se consideriamo la sfera in movimento puntiforme, possiamo dire che essa
si trova in equilibrio nel punto N se le accelerazioni imposte dai due spazi
rotanti risultano uguali in valore assoluto
Si ricava così il valore del punto neutro della sfera planetaria rispetto allo
spazio rotante solare :
RP
R NS =
1
1+
mS
2
mP
Per r > R NS la massa satellite (puntiforme) abbandona il pianeta per entrare
sotto l’influenza diretta dello spazio rotante centrale.
Se ora si considera una sfera reale, non puntiforme, che occupa dunque uno
53
53
spazio rotante di raggio r s , per poter definire la traiettoria, si deve prendere
in considerazione la presenza della forza d’inerzia, la quale non consente un
rapido cambiamento di orbita, ed obbliga il satellite ad allontanarsi dal
pianeta gradualmente, seguendo una spirale deformata.
Con riferimento alla figura 33, durante il suo moto di rivoluzione il satellite si
muove nello spazio rotante solare, variando sia la distanza dal centro dello
spazio che la sua velocità relativa, per cui l’accelerazione che lo sollecita ad
allontanarsi dal pianeta varia con legge sinusoidale avente frequenza doppia
di quella di rivoluzione.
Il valore massimo viene raggiunto lungo la congiungente, nei punti N ed M e
si può calcolare, approssimativamente, derivando l’espressione dell’azione
del Sole sul satellite :
V2
as =
K 2S
–
R
R2
in cui V ed R variano nel tempo. Si ha dunque :
Δa ≃
da
dR
⋅ ΔR
da
+
dV
V= cost
⋅ ΔV
R= cost
Ponendo :
1
K
ΔR = r ; ΔV = v s =
2
T
2
; R = RT ; V = VT
RL
eseguendo i calcoli, con semplici sostituzioni, si ricava :
a ≃
V 2T
R
⋅r+2⋅
2
T
VT
⋅ vs
RT
Si hanno due componenti, entrambe positive ( centrifughe ), una associata
54
54
alla posizione occupata dal satellite nello spazio rotante solare e l’altra alla
sua velocità di rivoluzione nello spazio rotante del pianeta.
Per la Luna, sostituendo i valori numerici, si ottiene :
a L = 15, 238 ⋅ 10 −6
+
m
sec
2
m
405, 38 ⋅ 10 −6
sec
2
Per poter dare un significato a questi numeri, li confrontiamo con gli effetti di
marea, ben conosciuti, che vengono prodotti dal Sole sulla Terra, calcolati
utilizzando la stessa relazione.
Ponendo :
r = 6378 K m ; v s = 0, 4651
Km
sec
si ottiene :
a T = 0, 253 ⋅ 10 −6
+
m
sec
2
m
185, 21 ⋅ 10 −6
sec
2
Con riferimento alla figura 33, lungo la congiungente S – T, esiste un punto in
corrispondenza del quale i due spazi rotanti, planetario e solare, impongono
alla sfera satellite una velocità dello stesso valore ma verso contrario e quindi
la loro azione complessiva porta a mantenere la sfera in orbita sempre lungo
la congiungente.Si realizza così un moto rotorivoluente sincrono.
Imponendo dunque l’uguaglianza delle due velocità di rotazione, ricaviamo il
massimo valore che può assumere il raggio dell’ orbita di un satellite prima
di sfuggire al pianeta.
Differenziando la relazione fondamentale
V2 ⋅ R = K2
abbiamo già ricavato, per la velocità di rotazione di una sfera di raggio r , il
valore :
v = ΔV ≃
V
⋅
K
r=
R
⋅
r
3
R
2
Indicando con R maxp il valore cercato, imponiamo dunque la condizione :
KS
=
3
R P – R maXP
2
KP
3
2
R maXP
55
55
dalla quale si ricava :
1
K 2P
R maxp =
K
1
3
⋅ Rp
2
S
=
mP
3
⋅ Rp
mS
Nel nostro caso, per la Terra, si ricava :
1
K
398754
R maxT =
3
m
3
sec 2
132,725⋅10 9
K
3
m
⋅ 149597870 K m
= 2158620 K m
sec 2
Si noti che R maxp coincide con il raggio della sfera di spazio rotante r P che,
in assenza di satelliti, rotorivoluisce, nello spazio rotante centrale, solidale
con il pianeta, con rotazione sincrona.
In definitiva, possiamo dire che, se la Luna avesse dimensioni tali da poter
essere considerata puntiforme, si allontanerebbe rapidamente dalla Terra .
E’ solo grazie alle sue dimensioni, che non passa ad orbitare direttamente
nello spazio rotante solare, in tempi brevi.
Possiamo comunque pensare che, con il passaggio della Terra sulle orbite
successive, il nostro satellite abbandonerà definitivamente il pianeta per
iniziare la sua nuova vita come pianeta del Sistema Solare su un’orbita vuota
tra Venere e Mercurio.
La Terra si ritroverà così senza satelliti come Venere e
Mercurio, ai quali può essere toccata la stessa sorte.
Il raggio della sfera rotante che sostiene il moto di rivoluzione della Terra
vale :
r T0 =
mT
⋅ TT=
449, 4 K m < 6378 K m
mS
Il nostro pianeta presenta dunque un nucleo interno di dimensioni
notevoli, il
più grande di tutto il sistema Solare, rotante su
56
56
se stesso alla velocità :
1
v = V nT =
K
2
S
1
2
132,725 ⋅10 9
=
K
3
m
2
sec 2
= 29, 786
149597870 K m
RT
Km
sec
anche la velocità di rotazione risulta elevata, per cui l’energia termica che si
sviluppa è tale da produrre in superficie importanti fenomeni vulcanici, i quali
vengono notevolmente accentuati dalla eccentricità del nucleo.
Il centro di massa del sistema Terra – Luna in un anno si sposta, rispetto al
centro della Terra, mediamente di:
RL
CT =
1+
=
384400 K m
1 + 0,0123 −1
= 4671 K m
mT
mL
il nucleo interno si sposta quindi verso l’equatore e la sua superficie viene a
trovarsi a una distanza minima dal suolo terrestre data da:
d min = r T − C T + r T0
= 6378 K m − 4671 + 449, 4 K m
≃ 1257 K m
Per ovvie ragioni, nel punto che si trova alla distanza minima dalla
superficie si crea una via preferenziale per la risalita di tutti i materiali
fusi che si producono all’interno.
I fenomeni vulcanici più intensi, e forse la quasi totalità di quelli che si
verificano sulla Terra, si manifesteranno dunque in prossimità della
zona equatoriale, precisamente in corrispondenza dell’orbita lunare.
Osserviamo infine che, per la particolare posizione occupata, la Luna
presenta un punto neutro rispetto al Sole minore di quello calcolato rispetto
alla Terra ; precisamente, si ricavano i valori :
R NLS = 28572, 2 K m ; R NLT = 38259, 4 K m .
57
57
Conseguenza di questo risultato è la impossibilità, da parte della Luna, di
acquisire definitivamente nel suo spazio rotante, un qualsiasi corpo sulla sua
prima orbita stabile
R 1 = 38259, 4 K m .
Se anche un satellite venisse "catturato ", passerebbe immediatamente sotto
l’azione diretta del Sole.
il raggio della sfera che sostiene il moto orbitale lunare vale :
r 0L =
mL
⋅ R L = 4728 K m
> 1738 K m
mT
La Luna non possiede dunque un nucleo rotante interno e si muove
nello spazio rotante terrestre con rotazione sincrona direttamente con
la sfera planetaria :
1
r PL =
3
mL
⋅ RL
= 88463, 6 K m
mT
con periodo :
1
4 ⋅ π 2 ⋅ r PL
3
T PL =
K
2
L
2
= 27, 32166 g = T nL
Rileviamo infine che, l’allontanamento della Luna dalla Terra comporta
anche un incremento graduale del momento angolare che si associa
al sistema Terra–Luna.
Per verificare il principio di conservazione, il momento angolare del
sistema si riporta al valore iniziale con una riduzione della velocità di
rotazione della Terra su se stessa, ed un conseguente aumento della
durata del giorno.
Quando la Luna avrà abbandonato definitivamente la Terra, quest’ultima si
muoverà nello spazio rotante solare con una rotazione sincrona, fornita dalla
velocità di scorrimento :
58
58
1
2
K 2S
v=
4⋅R
⋅ rp
3
p
2
che viene imposta dallo spazio rotante solare K s .
9 – Venere : consideriamo i dati noti :
m v = 4, 869 ⋅ 10 24 K g
K 2v = 324888
;
3
Km
sec
2
l’orbita circolare stabile associata al pianeta vale :
R nV =
R1
=
5536⋅10 6 K m
72
n2
= 112, 98 ⋅ 10 6 K m
Non avendo satelliti, il pianeta rotorivoluisce sull’orbita direttamente con la
sua sfera planetaria di raggio :
1
r ∗PV =
K
2
V
K
2
S
3
⋅ R V = 1522703 K m
In pratica, per l’eccentricità dell’orbita, il pianeta riesce a portare in rotazione
una sfera planetaria avente raggio leggermente più grande di quello che è
stato calcolato, precisamente :
r PV = 1536598 K m
Il periodo di rotazione imposto dal pianeta risulta quindi :
1
2
4 ⋅ π 2 ⋅ r PV
3
T PV =
K
= 243, 02 g
2
V
Attualmente il pianeta Venere si muove su un’orbita più bassa rispetto a
59
59
quella circolare stabile ad esso associata e quindi il periodo di rivoluzione
risulta minore di quello di rotazione ; precisamente si ha :
1
2
4 ⋅ π2 ⋅ RV
3
T nV =
K 2S
1
2
=
4⋅π ⋅
2
108,2⋅10 6
132,725⋅10 9
Km
3
= 224, 66 g
3
K
m
sec 2
Il raggio della sfera rotante che sostiene il moto di rivoluzione del pianeta
vale :
r V0 =
mV
⋅
R V = 264, 9 K m
< 6051, 8 K m
mS
Venere presenta dunque un nucleo interno che ruota su se stesso con
velocità periferica :
1
2
2
v = V nV =
KS
= 35, 024
RV
Km
sec
Sia il raggio del nucleo interno che la sua velocità di rotazione hanno
un valore molto elevato, per cui viene sviluppata un’energia termica
molto alta, dello stesso ordine di grandezza di quella sviluppata dal
nucleo terrestre.
Nel caso di Venere però il nucleo si trova quasi esattamente al centro
del pianeta e quindi, diversamente da quanto abbiamo visto per la
Terra, non si creano, in questo caso, vie preferenziali per la risalita del
materiale fuso.
I fenomeni termici che si manifestano sulla superficie risultano quindi
distribuiti più o meno uniformemente e, per questo, saranno di ridotta
intensità e poco vistosi.
60
60
Si deve notare che, se la Terra non avesse in orbita la Luna, si troverebbe
in condizioni assolutamente analoghe a quelle di Venere, con nucleo interno
rotante perfettamente centrato ed una sfera planetaria :
1
r PT =
K
3
2
T
1
⋅ R nT =
K 2S
3
398754
132,725⋅10 6
⋅ 153. 8 ⋅ 10 6 K m = 2219255 K m
con periodo di rotazione :
1
T PT =
4 ⋅ π2 ⋅ r
K
2
3
PT
= 380, 74 g > 365, 24 g
2
T
Anche laTerra apparirebbe dunque con rotazione retrograda.
10 – Mercurio : sono noti :
m M = 0, 33022 ⋅ 10
24
; K = 22034
2
M
Kg
3
Km
sec
2
l’orbita circolare stabile associata vale :
R nM =
R1
=
5536⋅10 6 K m
10 2
n2
= 55, 36 ⋅ 10 6 K m
Essendo nota l’eccentricità dell’orbita, e = 0, 205638 , possiamo ricavare il
valore del perielio associato all’orbita minima :
R PM = R M ⋅
1−
e
= 43, 976 ⋅ 10 6 K m .
Il raggio della sfera planetaria che si muove, con rotazione sincrona, solidale
con il pianeta, vale :
1
r ∗PM =
K 2M
K
3
⋅
2
S
R PM
= 241692 K m
La sfera che realmente il pianeta riesce a portare in rotazione è leggermente
più grande, precisamente si ha
r PM = 242893 K m .
61
61
Il periodo di rotazione risulta quindi :
1
2
4 ⋅ π 2 ⋅ r PM
3
T PM =
K
= 58, 65 g
2
M
A questo punto notiamo che la sfera planetaria, r PM = 242893 K m , è quella
con la quale Mercurio ruota lungo tutta l’orbita, per cui tale valore individua la
sfera di spazio rotante che riesce a restare solidale con il pianeta anche nel
punto in cui l’azione contraria del Sole è massima, ossia al perielio.
Se il pianeta, solidale con questa sfera di spazio fisico, si muovesse su una
orbita circolare con raggio pari alla distanza raggiunta al perielio, l’equilibrio
con lo spazio rotante solare sarebbe perfetto e ne risulterebbe un periodo di
rivoluzione :
1
4⋅π ⋅R
2
T ∗nPM =
K
3
PM
1
2
2
=
2
S
4⋅π ⋅
2
44,22⋅10 6
132,725⋅10 9
Km
3
= 58, 65 g
3
K
m
sec 2
e la rotazione risulterebbe perfettamente sincrona, con T P
= T n , come viene
previsto dalla teoria.
Nella realtà però, Mercurio non continua il moto sull’orbita circolare alla quale
è associata la sfera planetaria, bensì si muove su un’orbita ellittica di raggio
medio molto più elevato, R M
T nM = 88 g
= 57, 9 ⋅ 10 6 K m , con periodo di rivoluzione
e quindi il moto di rotazione non appare più sincrono.
La coincidenza dell’afelio di Mercurio con l’orbita circolare minima che
corrisponde a n = 9, indica che il pianeta deve essere giunto in tempi
recenti nella posizione attuale ed è per questo motivo che la sua orbita
è ancora molto eccentrica.
Il raggio della sfera rotante che sostiene il moto di rivoluzione vale :
r M0 =
mM
⋅
R M = 9, 61 K m
< 2439, 7 K m
mS
62
62
Mercurio presenta dunque un nucleo interno rotante alla velocità :
1
2
K 2S
v = V nM =
= 47, 88
RM
Km
sec
Anche se il nucleo è molto piccolo, la sua velocità di rotazione risulta
piuttosto elevata.
In queste condizioni, prevedere gli effetti dell’energia termica sviluppata
diventa difficile.
Può essere utile un confronto con la Terra i cui effetti ci sono ben noti.
Consideriamo il valore dell’energia termica sviluppata dalla rotazione del
nucleo su se stesso proporzionale alla forza di attrito interno ( proporzionale
a v 2 ) ed al volume del nucleo. Scriviamo dunque :
E t = α 1 ⋅ r 30 ⋅ v 2 = α 2 ⋅ m 3 ⋅ R 2 = α 3
δ ⋅ r 3P
⋅
n4
In un discorso molto semplificato, possiamo supporre che gli effetti termici
prodotti in superficie siano proporzionali alla energia termica che giunge sulla
superficie unitaria.
Trascurando l’energia che viene irradiata dal Sole rispetto a quella interna, si
avrà dunque :
eS =
Et
S
= α4
⋅
δ ⋅ rP
n4
Tra Mercurio e la Terra si ha il rapporto :
e ST
e SM
=
δT ⋅ rT
⋅
10 4
δM ⋅ rM
64
= 20, 5
Con tale rapporto, nella posizione attuale, sulla superficie di Mercurio non si
hanno effetti termici apprezzabili.
63
63
Secondo la nostra teoria, tutti i pianeti " cadono " lentamente sul Sole
passando da un’orbita circolare stabile alla successiva e quindi si può
dire che nessun pianeta è nato sull’orbita che occupa oggi.
Questo vuol dire che tutti, compreso la Luna, sono passati attraverso la fascia
dei pianetini.
Per giustificare alcune osservazioni attuali, può quindi essere utile valutare le
condizioni passate e confrontarle con quelle di oggi.
Come abbiamo visto, la fascia degli asteroidi ha un raggio medio :
R F ≃ 418 ⋅ 10 6 K m
al quale si può considerare associato n ≃ 3, 64.
Se poniamo su tale orbita il pianeta Mercurio, si ricavano i valori associati al
nucleo rotante :
r ∗M0 = r M0 ⋅
10
3,64
2
= 72, 53 K m
in queste condizioni risulta :
e ST
e SM
; v∗ = v ⋅
3.64
10
= 17, 43
Km
sec
∗
=
e ST
e SM
⋅
3,64
10
4
= 0, 36
Per quanto sia approssimato, il risultato è indicativo del fatto che quando il
pianeta Mercurio si trovava nella fascia degli asteroidi, l’energia termica
prodotta dal suo nucleo rotante era in grado di generare effetti termici circa
tre volte più intensi di quelli che si producono oggi sulla Terra.
Il pianeta ha avuto dunque, nel suo passato, un’attività termica molto
più intensa e una struttura molto più plastica di quelle attuali.
Inoltre, essendo la fascia degli asteroidi ad elevata densità di corpuscoli di
tutte le dimensioni, certamente avrà avuto almeno un satellite e quindi non
orbitava con rotazione sincrona, esponendo così in maniera uniforme la sua
superficie alla caduta di asteroidi ( a bassa temperatura ).
L’attuale configurazione della superficie di Mercurio, con tutti i suoi
crateri, è testimone di questa fase della sua evoluzione.
64
64
Per quanto riguarda il sistema Terra–Luna, si deve osservare che, essendo
la rotazione lunare sincrona, nel satellite si distinguono nettamente i due
emisferi con una grande dissimmetria nella esposizione alla caduta di corpi
provenienti dall’esterno.
Non essendo oggi visibile questa dissimmetria sulla superficie della Luna, si
deve cercare una giustificazione nella storia passata.
Abbiamo visto che attualmente la Luna non ha alcun nucleo rotante e
quindi non si ha nemmeno produzione di energia termica.
E’ chiaro che, se la Luna è sempre stata alla distanza R L dalla Terra,
non ha mai avuto produzione di energia interna.
Dato che questo risultato è in contrasto con la forma sferica del nostro
satellite, che si può realizzare solo se si passa attraverso una fase
fluida, dobbiamo pensare che questa condizione fosse presente nella
Luna prima che entrasse in orbita terrestre, nella fascia di Kuiper.
Abbiamo già visto che la formazione del sistema Terra–Luna può essere
avvenuta ad una distanza dal Sole
R T0
≃ 7949 ⋅ 10 6 K m .
Per poter rivoluire direttamente nello spazio rotante solare, a questa distanza,
la Luna doveva presentare una sfera di raggio :
r ∗L0 =
mL
⋅ R T0 = 294 K m < 1737, 4 K m
mS
Si tratta dunque di un nucleo interno e rotante alla velocità :
1
v=
K 2S
2
= 4, 086
R T0
Km
sec
.
Associando all’orbita R T0 (non necessariamente stabile) il numero n = 0, 696,
possiamo valutare gli effetti termici prodotti dal nucleo rotante lunare, per
confrontarli con quelli prodotti attualmente sulla Terra.
Si ricava così :
65
65
per unità di superficie :
e ST
e
complessivamente :
=
∗
SL
ET
E ∗L
δT ⋅ rT
6
=
⋅
6
4
= 0, 00106
δL ⋅ rL
4
δ T ⋅ r 3T
0, 696 4
⋅
0, 696 4
δL ⋅ r
= 0, 0143
3
L
Secondo quest’ultimo risultato, la Luna, prima di unirsi alla terra, nella
fascia di Kuiper, produceva, per attrito interno, una energia circa cento
volte maggiore di quella prodotta attualmente dalla Terra, con effetti in
superficie circa mille volte più grandi.
Possiamo dunque ragionevolmente pensare che essa fosse completamente
allo stato fluido con una imponente attività geologica.
Nella fascia degli asteroidi, la Luna ha certamente acquisito nel suo spazio
rotante almeno un corpuscolo e quindi la sua rotazione sull’orbita terrestre
non poteva essere sincrona.
In queste condizioni il nostro satellite esponeva, durante il moto di rivoluzione,
tutta la sua superficie alla caduta di asteroidi con una distribuzione più o
meno uniforme degli urti.
Essendo, la Luna, nella posizione attuale, priva di nucleo interno rotante, e
dunque fredda, le tracce lasciate in questa fase sulla sua superficie si sono
conservate nel tempo.
A questo punto facciamo notare che esiste una evidente somiglianza tra la
storia evolutiva della superficie di Mercurio e quella della Luna ed una grande
analogia strutturale tra il pianeta Venere e la Terra.
Se teniamo conto anche del fatto che i due pianeti si trovano su due orbite
contigue molto vicine, si potrà, ragionevolmente, ipotizzare che Venere e
Mercurio abbiano avuto origine dalla separazione di un sistema primordiale
unico analogo a quello formato da Terra – Luna.
Secondo questa ipotesi, entrambi i sistemi hanno avuto origine nella fascia
66
66
di Kuiper, subito dopo l’esplosione della stella compagna del Sole.
Come, per il sistema Terra – Luna, supponiamo che anche per il sistema
Venere – Mercurio, si abbia l’ultima orbita stabile, in corrispondenza della
orbita di Marte, con
R 5 = 221, 4 ⋅ 10 6 K m .
Su questa orbita il punto neutro di Venere risulta :
R5
R NV5 =
= 345852 K m
1
1
2
mS
+
mV
Possiamo assumere tale valore come raggio dell’orbita di Mercurio in
moto come satellite del pianeta Venere.
Considerando il rapporto tra le dimensioni, ipotizziamo che inizialmente si
sia formato un sistema doppio.
Con l’ipotesi semplificativa che le masse siano rimaste invariate nel tempo,
questo tipo di unione è possibile se nel punto dello spazio in cui si verifica,
viene soddisfatta la relazione :
1
n
n
da cui
2
V
2
M
nV
=
R NVS0
R NMS0
= 1, 96
;
≃
2
mV
=
mM
assumiamo :
nM
Con
nV
4,869 ⋅ 10 24 K g
24
0,33022 ⋅ 10 K g
=2 =
nM
= 3, 84
6
3
n v = 6 ; n M = 3 ; d VM = 345852 K m
il valore del punto neutro nel punto dello spazio in cui si è verificata l’unione
delle due masse risulta :
67
67
R NVS0 = d VM ⋅ n 2v
= 12450672 K m
R NMS0 = d VM ⋅ n 2M
= 3112668 K m
Il sistema doppio Venere – Mercurio si sarebbe dunque formato ad una
distanza dal Sole fornita dalle relazioni :
1
R VM0 = R NVS0 ⋅
2
mS
1+
= 7970, 4 ⋅ 10 6 K m
mV
oppure :
1
R VM0 = R NMS0 ⋅
2
mS
1+
= 7642, 5 ⋅ 10 6 K m
mM
Questi valori sono praticamente coincidenti con quelli che abbiamo ricavato
per il sistema Terra – Luna.
Sull’orbita attuale il pianeta Venere presenta un punto neutro, rispetto al Sole :
RV
R NVS =
1
mS
1+
2
mV
108,2⋅10 6 K m
=
1+
1,9891⋅10 30 K
4,869⋅10 24 K
g
1
2
= 169021 K m << 345852 K m = d VM
g
In questa posizione il sistema non sarebbe assolutamente stabile.
Mercurio potrebbe aver abbandonato Venere gradualmente oppure, come
dimosrtano diverse osservazioni della sua superficie, potrebbe essere stato
rimosso, dallo spazio rotante di Venere, da un urto frontale con un asteroide
di grandi dimensioni, verificatosi nella zona equatoriale.
10 – Chirone : E’ un corpo irregolare avente raggio medio di circa 80 K m .
68
68
2 ⋅
E’ in moto sulla falda associata al numero quantico
4
3
.
L’afelio è quasi coincidente con l’orbita di Urano e questo, secondo la nostra
teoria, indica che Chirone ha abbandonato da poco tempo l’orbita associata
a
n=
2 , iniziando il moto sull’orbita attuale con una eccentricità molto alta.
Osserviamo infine come tutti i pianeti di grande massa abbiano anelli stabili
in prossimità delle orbite più vicine alla superficie, associate ai valori di n
più elevati.
Non abbiamo alcun motivo per pensare che gli stessi meccanismi non siano
applicabili al Sole.
Riprendiamo dunque la relazione che esprime la condizione di stabilità di una
sfera in orbita :
R 2Pmin ⋅ r Pmax =
sostituendo : R Pmin
=
R 1S
n
Si ottiene :
,
δS
δP
⋅
r 3s
ricaviamo il valore massimo r Pmax
.
2
r Pmax =
δS
r 3S
⋅
δP
R
⋅ n4
2
1S
1
oppure :
n max =
δP
δS
R 21S
⋅
r
3
S
4
⋅ r Pmax
In analogia a quanto viene rilevato in prossimità dei grandi pianeti gassosi,
piccoli corpi possono trovarsi oggi, e/o comunque si sono trovati in passato,
sulle orbite vicine al Sole formando anelli di detriti di piccole dimensioni.
Se consideriamo, per esempio, un corpo della consistenza lunare, con le
caratteristiche :
δ ≃ 3, 34
g
cm
3
;
r = 1737, 4 K m
69
69
si ricava :
n max = 24, 73
e quindi :
R Pmin =
R 1S
= 9, 05 ⋅ 10 6 K m
n 2max
Questo risultato indica che il nostro satellite, durante la sua caduta sul Sole,
conserverà le sue dimensioni fino all’orbita associata a n = 24 e, quando
giungerà ad una distanza di circa 9 ⋅ 10 6 K m dal Sole, comincerà a perdere
massa, trasformandosi in polvere, che andrà ad alimentare, probabilmente,
anelli già esistenti.
Se si considera che a questa distanza la radiazione solare risulta circa 300
volte più intensa di quella che investe la Terra, si può anche pensare che si
abbia una rilevante produzione di sostanze volatili con la formazione di aloni,
difficilmente rilevabili, al posto degli anelli.
Concludiamo queste brevi note facendo notare come tra la struttura di tutto il
Sistema Solare e quella dei sistemi planetari in esso presenti vi siano delle
importanti differenze nonostante siano governati dalle stesse leggi universali.
La differenza più vistosa risiede nella distribuzione delle masse.
Infatti, nel Sistema Solare i pianeti che hanno dimensioni minori occupano le
orbite più interne, mentre, fatto eccezione per Plutone, sulle orbite periferiche
troviamo i grandi pianeti gassosi.
La posizione di Plutone non rispetta questa regola perchè è passato
dalla fascia di Kuiper alla prima orbita stabile del Sistema Solare solo
in tempi recenti, come dimostra il valore dell’eccentricità dell’orbita.
Abbiamo infatti visto che la formazione di un sistema doppio, per soddisfare
il principio di conservazione del momento angolare, comporta lo scorrimento
del sistema formato verso l’interno dello spazio rotante centrale.
In tutti i sistemi planetari, senza eccezioni, i satelliti orbitano sempre all’interno
del punto neutro con le masse minori sulle orbite periferiche e quelle aventi
dimensioni maggiori su quelle centrali.
La differente distribuzione delle masse è dovuta al diverso meccanismo che,
dopo l’esplosione della stella, porta alla formazione del Sistema Solare e dei
sistemi planetari.
70
70
Infatti, il Sistema Solare si forma attraverso l’interazione
tra lo spazio rotante solare, fisso, ed i detriti prodotti dalla
esplosione, che giungono tutti dall’esterno.
I sistemi multipli e quelli planetari vengono generati dalla
aggregazione tra gli stessi detriti che vengono generati
dalla frantumazione della stella esplosa, i quali si muovono
però tutti nello stesso verso, divergendo dal punto in cui
si è verificata l’esplosione.
Le condizioni che determinano l’equilibrio, nei due casi, sono decisamente
diverse.
A pagina 78 abbiamo analizzato sommariamente il destino dei detriti emessi,
in tutte le direzioni, durante l’esplosione ed abbiamo visto che solo una parte
veramente esigua si trova in condizioni di poter trovare equilibrio stabile nello
spazio rotante della stella non esplosa.
Come abbiamo ricordato a pagina 90, l’incremento della velocità che viene
impresso dall’esplosione a una sfera materiale di densità
data da una relazione del tipo :
ΔV =
α
δ⋅r
δ
e raggio
r
è
⋅ Δt
secondo la quale le masse minori ricevono una maggiore energia specifica
e si allontanano maggiormente dal punto in cui si verifica l’esplosione e nello
spazio rotante che le riceve giungeranno dunque più vicino al centro.
Durante l’esplosione, due masse vicine, che, per semplicità, pensiamo con la
stessa densità δ , si muovono con una velocità relativa :
V 12 = V 1 – V 2 =
α
δ
⋅
1
r1
−
1
⋅ Δt
r2
oppure :
V 12 =
α
δ ⋅ r1
⋅
1−
r1
⋅ Δt
r2
71
71
Contemporaneamente alla pressione generata dall’esplosione, sulle masse
agisce la reciproca azione gravitazionale che contrasta l’azione divergente,
tendendo ad avvicinarle con la forza :
F 12 = G ⋅
m1 ⋅ m2
d
=
β
d
2
⋅
r1 ⋅ r2
3
.
2
Se abbiamo r 1 << r 2 , oppure, in maniera del tutto equivalente
velocità relativa diventa massima con il valore :
V 12max =
α
δ ⋅ r1
mentre la forza raggiunge il valore minimo :
r 1 → 0 , la
⋅ Δt
F 12min →
0.
In queste condizioni, si ha un accostamento trascurabile tra le due masse e
la velocità relativa di equilibrio viene raggiunta rapidamente sulle prime orbite
periferiche, con formazione di sistemi planetari con piccoli satelliti in orbita.
Se r 1 ≃ r 2 , la forza di attrazione gravitazionale tra le due masse raggiunge
il valore massimo, mentre continuano a muoversi in ogni momento entrambe
con la stessa velocità, fornendo una velocità relativa : V 12min → 0 .
Se i valori delle due masse sono esattamente uguali, e tali da produrre una
azione gravitazionale capace di vincere l’impulso centrifugo iniziale fornito
dall’esplosione, gradualmente si avvicinano fino a formare un solo aggregato.
Se invece, come generalmente accade, si ha m 1 ≠ m 2 ma dello stesso
ordine di grandezza, man mano che esse si avvicinano, lentamente aumenta
la loro velocità relativa fino a raggiungere a breve distanza una condizione di
equilibrio come sistema doppio rotante attorno al comune centro di massa.
Se applichiamo queste considerazioni al Sistema Solare e ai suoi sistemi
planetari, otteniamo esattamente la distribuzione delle masse che si osserva.
Se, in particolare, prendiamo in considerazione le coppie Terra – Luna e
Venere – Mercurio, otteniamo :
72
72
F TL << F VM
V TL >> V VM
mT > mV
→
VT < VV
Dalla prima relazione vediamo che il sistema doppio Terra – Luna si forma
con una distanza della Luna dalla Terra maggiore di quella che si ottiene nel
sistema Venere – Mercurio.
La seconda relazione ci dice che il sistema Terra – Luna si forma prima del
sistema Venere – Mercurio.
Infine, la terza e la quarta relazione ci dicono che la coppia Terra – Luna si
allontana, dal punto in cui si è verificata l’esplosione, più lentamente di quella
formata da Venere – Mercurio e quindi quest’ultima raggiunge la condizione
di equilibrio su un’orbita più vicina al centro dello spazio rotante solare.
Concludiamo queste brevi note, riportando nelle pagine seguenti le curve che
descrivono, secondo la teoria degli spazi rotanti, l’evoluzione e la posizione
attuale dei pianeti del Sistema Solare.
73
74
74
75
75