esercizi
Elementi di statistica
Frequenze
1
I voti riportati da una classe in una esercitazione sono stati i seguenti:
7, 6, 7, 4, 5, 8, 7, 8, 8, 5
Dopo aver disposto i dati in una tabella:
a) determinare la frequenza assoluta e relativa per ciascun voto;
b) determinare la frequenza cumulata assoluta per ciascun voto.
2
Le età dei dipendenti di una ditta sono (in anni):
55, 25, 34, 27, 51, 42, 39, 34, 35, 45, 36, 28
a) Disporre i dati in una tabella e determinare le frequenze assolute e relative per le classi di età:
20 30
31 40
41 50
51 60
b) determinare le frequenze cumulate.
3
Disporre in una tabella i 100 valori che figurano nella ordinaria tavola pitagorica.
a) Scrivere esplicitamente i valori indicati.
b) Calcolare le rispettive frequenze.
4
Un sondaggio sulla diffusione del fumo ha dato le percentuali di risposte relative al numero di sigarette fumate giornalmente riportate in tabella.
Calcolare le frequenze relative che si ottengono decidendo
di trascurare quel 14% di intervistati che non hanno dato
alcuna risposta.
0-5
6-10
11-15
16-20
21-25
senza risposta
40,7%; 34,9%; 11,6%; 10,5%; 2,3%
5
35%
30%
10%
09%
02%
14%
Un sondaggio sui mezzi di trasporto usati in un certo periodo di tempo da un campione di cittadini ha dato le seguenti risposte:
Mezzo di trasporto
Cittadini
Treno
Autobus
Auto
Nave
Aereo
48
28
125
22
27
a) Calcolare le frequenze percentuali d’uso di ciascun mezzo di trasporto.
b) Costruire il diagramma a torta che rappresenta tali percentuali.
6
A un gruppo di 35 ragazzi si chiede di indicare lo sport preferito: 12 scelgono il calcio, 8 il
nuoto, 4 la pallavolo, 3 il tennis, 2 la pallacanestro.
a) Tracciare un diagramma a bastoni che illustri le risposte.
b) Calcolare le frequenze percentuali.
c) Costruire il diagramma a torta che rappresenta tali percentuali.
7
1
Su 2000 famiglie residenti in una cittadina la distribuzione di bambini di età inferiore ai
10 anni è la seguente: 300 famiglie non hanno bambini, 500 hanno un bambino, 800 hanno due bambini, 270 hanno tre bambini, 110 hanno quattro bambini, 20 hanno più quattro
bambini.
Costruire una tabella di frequenze, contenente le frequenze assolute, le frequenze percentuali,
le frequenze cumulate assolute e le frequenze cumulate percentuali.
85%
Qual è la percentuale di famiglie che ha almeno un bambino?
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esercizi
Elementi di statistica
8
La tabella che segue mostra la distribuzione di frequenze dei punteggi ottenuti da 120 concorrenti a un concorso.
Punteggio
Frequenza
assoluta
1-10
11-20
21-30
31-40
41-50
51-60
61-70
71-80
81-90
91-100
Frequenza
percentuale
Frequenza
cumulata
assoluta
Frequenza
cumulata
percentuale
01
03
07
11
21
34
25
13
04
01
Completare la tabella e rispondere alle seguenti domande:
a) quanti concorrenti hanno avuto un punteggio superiore a 60;
b) quale percentuale di concorrenti ha un punteggio che non supera 50;
c) quale percentuale ha un punteggio superiore a 80;
d) quale percentuale di concorrenti ha un punteggio maggiore di 50 e non superiore a 70;
e) tracciare il poligono delle frequenze assolute cumulate.
a) 43 • b) 35,8% • c) 4% • d) 49%
9
Sono riportate le altezze (in cm) dei 32 alunni di una classe:
155 134 162 174 126 158 148 163 142 154 159 176 145 136 184 166 151
131 173 168 157 143 165 152 140 149 154 167 172 157 160 158
a) Costruire una tabella raggruppando i dati in classi di ampiezza 10 cm iniziando da 120 cm.
b) Quale percentuale di allievi ha altezza inferiore a 150 cm?
c) Quale percentuale di allievi ha altezza superiore a 160 cm?
d) Tracciare un istogramma relativo alle frequenze cumulate percentuali.
b) 31,25% • c) 37,5%
10 Nazioni partecipanti alle Olimpiadi
Anno
1896
1900
1904
1908
1912
1920
1924
1928
1932
Città
Atene
Parigi
St. Louis
Londra
Stoccolma
Anversa
Parigi
Amsterdam
Los Angeles
Nazioni
Anno
Città
Nazioni
Anno
14
24
12
22
28
29
44
46
37
1936
1948
1952
1956
1960
1964
1968
1972
1976
Berlino
Londra
Helsinki
Melbourne
Roma
Tokyo
Città del Messico
Monaco
Montreal
49
59
69
72
83
93
112
121
92
1980
1984
1988
1992
1996
2000
2004
Città
Nazioni
Mosca
Los Angeles
Seul
Barcellona
Atlanta
Sidney
Atene
Dividere le Olimpiadi a seconda del numero delle nazioni partecipanti in classi [1; 50[,
[51; 100[, [101; 150[ [151; 201] e costruire una tabella di frequenze assolute e percentuali.
Disegnare un diagramma a torta relativo alle frequenze percentuali e un istogramma relativo
alle frequenze cumulate percentuali.
32%
Qual è la percentuale di Olimpiadi che hanno avuto più di 100 nazioni partecipanti?
11 Raccogliere i dati riguardanti le altezze degli alunni della propria classe e suddividerli in clas-
si di ampiezza 5 cm.
Calcolare le frequenze assolute e percentuali cumulate e costruire un istogramma con le frequenze percentuali cumulate.
2
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80
140
159
169
197
200
201
esercizi
Elementi di statistica
12 La penetrazione della distribuzione mondiale dell'e-commerce si distribuisce come riportato
nella tabella (da Il Sole - 24 ORE del 27 ottobre 1999).
Software
Hardware
Libri
Musica
Biglietti
Viaggi
Video
Altro
35%
13%
11%
9%
7%
7%
6%
12%
Dare una rappresentazione mediante un diagramma a torta e un diagramma a bastoni.
13 Nella tabella sono riportati i dati relativi agli alunni delle scuole della provincia di Verona
(Anno Scolastico 2002/2003 a confronto con Anno Scolastico 1993/1994).
Totale alunni
italiani e stranieri
A.S. 2002/2003
Totale alunni
stranieri
A.S. 2002/2003
Totale alunni
stranieri
A.S. 1993/1994
Scuole dell’infanzia
24.591
1.281
215
Scuole elementari
39.146
2.605
459
Scuole medie
23.595
1.462
142
Scuole superiori
31.763
0.784
061
Totale
………
……..
……..
Dare una rappresentazione mediante un diagramma a torta relativamente all’anno scolastico
2002/2003 delle otto categorie di alunni:
•
•
•
•
•
•
•
•
Italiani nelle Scuole dell'infanzia
Stranieri nelle Scuole dell'infanzia
Italiani nelle Scuole elementari
Stranieri nelle Scuole elementari
Italiani nelle Scuole medie
Stranieri nelle Scuole medie
Italiani nelle Scuole superiori
Stranieri nelle Scuole superiori
Calcolare inoltre la percentuale di stranieri in ogni tipo di scuola nell’anno 2002/2003 e l’aumento percentuale di studenti stranieri rispetto all’anno scolastico 1993/1994.
14 La tabella seguente indica la misura dei diametri di 80 bulloni misurati con la precisione di 0,01
mm, secondo l’ordine di uscita dalla macchina.
13,39
13,42
13,38
13,53
13,51
13,30
13,40
13,40
13,28
13,43
13,43
13,50
13,44
13,53
13,48
13,48
13,34
13,36
13,59
13,35
13,54
13,32
13,52
13,39
13,62
13,40
13,23
13,45
13,47
13,56
13,64
13,31
13,53
13,57
13,58
13,57
13,37
13,48
13,46
13,51
13,40
13,28
13,37
13,51
13,57
13,51
13,48
13,29
13,62
13,47
13,55
13,52
13,33
13,34
13,33
13,40
13,48
13,58
13,54
13,40
13,40
13,46
13,24
13,39
13,51
13,52
13,62
13,44
13,20
13,29
13,26
13,63
13,13
13,47
13,40
13,56
13,35
13,56
13,38
13,20
a) Mettere ciascun dato in classi di ampiezza 0,05 mm (la prima classe è 13,10 13,15) e costruire la tabella della distribuzione.
b) Tracciare l’istogramma delle frequenze.
c) Tracciare l’istogramma delle frequenze cumulate.
3
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esercizi
Elementi di statistica
15 Completare la seguente tabella che fornisce la distribuzione della popolazione di un paese ru-
rale a seconda del tipo di impiego lavorativo
Frequenza
assoluta
Agricoltori
Artigiani
Operai
Impiegati
Funzionari
Dirigenti
Totale
389
124
310
98
42
19
…..
Frequenza
percentuale
Vero o falso?
Rappresentare la distribuzione di frequenze con un diagramma semicircolare (1% corrisponde
a 1,8°).
Si consideri la seguente tabella, relativa all’anno 2000 e si indichi la risposta corretta.
Popolazione
Linee
telefoniche
Utenti
Internet
57.612.615
25.259.000
9.400.000
9.900.000
Europa
373.716.200
197.046.300
41.000.000
140.000.000
Usa
274.028.000
170.568.200
80.000.000
158.940.000
6.000.000.000
743.661.700
195.000.000
426.000.000
Italia
Mondo
Personal
Computer
1. La popolazione italiana è ≅ l’1% della popolazione mondiale.
V
F
2. La popolazione italiana è ≅ il 20% della popolazione europea.
V
F
V
F
V
F
V
F
3. In Europa la diffusione di linee telefoniche tra la popolazione è maggiore
rispetto agli USA.
1
4. In Europa la percentuale di utenti Internet nella popolazione è circa di
2
quella degli USA.
5. Il numero più alto di computer per abitante si raggiunge in USA e
corrisponde a 0,75 computer per abitante.
6. La distribuzione delle frequenze per l’Italia è rappresentata dal seguente istogramma:
0,50
0,43
0,36
Linee telefoniche
Utenti Internet
Personal computer
0,28
0,21
0,14
0,05
0,00
4
V
F
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esercizi
Elementi di statistica
Media aritmetica
Calcolare la media aritmetica di ciascuno dei seguenti insiemi di dati.
16 7; 8; 4; 5; 10
6,8
17 15; 1; 37; 86
34,75
18 6,1; 6,1; 6,1; 7,5; 7,5; 9; 9; 9
7,5375
19 44; 0; 0; 15; 28; –28; 23; 34
14,5
20 –15; –11; 0; 32; 45; 88; 97; –24; 32; –12; 41
24,8
21 Calcolare la media aritmetica della statistica (18, 19, 20, …, 26, 27).
22,5
22 Calcolare la media aritmetica della statistica (11, 12, 13, …, 19, 20).
15,5
23 Calcolare la media aritmetica della statistica (20, 22, 24, …, 38, 40).
30
24 Un insegnante di matematica insegna in due diverse sezioni A e B. Propone lo stesso test alle
due classi: nella 1a A, che ha 20 studenti, la media del punteggio ottenuto è 92 mentre nella 1a
B, composta da 25 studenti, la media è 83. Se il professore mette insieme i risultati delle due
87
classi, quale media ottiene?
25 Determinare a tale che la media aritmetica tra i numeri {a; 2a; 3a;…; 10a} valga 1.
a=
2
11
26 Calcolare le medie aritmetiche a e b della statistiche (1, 2, 3, 4, 5) e {6, 7, 8, 9, 10} e control-
lare se la loro media a + b è la media della statistica formata dai primi 10 numeri naturali.
2
a = 3; b = 8
27 Determinare la media dei primi n numeri naturali e riconoscere per quali n risulta intera.
n +1
n(n + 1)
; n dispari
...]
[La somma dei primi n numeri naturali è
2
2
28 Determinare la differenza tra la media dei primi n numeri naturali e quella dei primi 2n.
−
n
2
29 Calcolare la media aritmetica della statistica S composta da n valori uguali ad a e m valori
uguali a b.
na + mb
n+m
30 La statistica S sia composta da n valori uguali ad a e da m valori uguali a b. Per quali scelte
di m, n, a, b la media vale a + b ?
2
n = m, ∀a, b; n ≠ m se a = b
31 L’esame di ingresso a una scuola di specializzazione in elettronica, le cui votazioni sono in
ventesimi, consiste in tre prove:
• Matematica: peso 4
• Fisica: peso 3
• Italiano: peso 2
5
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esercizi
Elementi di statistica
Si supera la prova se si ottiene un punteggio maggiore o uguale a 10.
Considerare le seguenti situazioni:
a) Luca ha ottenuto 10 in matematica, 12 in fisica, 8 in italiano. Ha superato la prova?
b) Nicola ha ottenuto 10 in matematica, 11 in italiano. Quale deve essere il voto minimo in fisica perché possa superare la prova?
c) Giulio ha avuto 10 in fisica. Il voto in matematica è il doppio del voto in italiano. La sua
media è 10. Quali sono i voti in matematica e in italiano?
a) sì • b) 10 • c) 12; 6
32 A una gara di pesca i risultati del pescato sono riportati nella seguente tabella:
Quesiti a risposta multipla
a)
b)
c)
d)
e)
Massa m (in g)
Numero dei pescatori
0000 < m ≤ 0500
0500 < m ≤ 1000
1000 < m ≤ 1500
1500 < m ≤ 2000
2000 < m ≤ 2500
20
10
06
01
03
Qual è il numero di pescatori che ha partecipato alla gara?
Qual è il numero di concorrenti che ha pescato più di 1500 g?
Qual è la percentuale di concorrenti che hanno pescato al massimo 1 kg?
Qual è la percentuale di concorrenti che hanno pescato tra 1 kg e 1,5 kg?
Qual è la media del pescato?
a) 40 • b) 4 • c) 75% • d) 15% • e) 712,5 g
Dati i 12 valori:
2,
2,
2,
4,
1. la media aritmetica è uguale a
a 3
b 6
5,
5,
8,
c
8
8,
8,
8,
9,
d
11
11
2. se tutti i termini vengono moltiplicati per 3 allora la media aritmetica
a non varia
c viene moltiplicata per 3
12
=4
b viene moltiplicata per
d aumenta di 3
3
3. se a ogni termine si aggiunge 3 allora la media aritmetica
a aumenta di 3
c viene moltiplicata per 3
b aumenta di 12 ⋅ 3 = 36
d non varia
4. se ogni termine viene moltiplicato per 3 e poi a ognuno di essi si aggiunge 3, la media
aritmetica
a non varia
c è uguale a 21
b aumenta di 3
d è uguale a 9
5. lo scarto di 4 dalla media è
a 2
b 0
6
c
3
d
−2
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esercizi
Elementi di statistica
Moda
Calcolare la moda di ciascuno dei seguenti insiemi di dati.
33 57; 11; 24; 48; 11; 81; 48; 48
48
34 7; 13; 5; 6; 4; 5; 6; 6; 5; 4; 10
5e6
35 3; 4; 5; 2; 3; 4; 2; 7; 3; 1; 2; 3; 5; 11
3
36 −1; 0; −2; −1; 1; 1; −3; −2; 0; 1; −2; 0; −1; −2; 0; 1; −1
37 21,6; 18,3; 32,4; 7,2;
24,1; 42,8; 31,6;
12,5; 26,9
0; −1; −2,1
non esiste
38 100; 1000; 10; 0; 100; 10; 0; 1000; 10; 1000; 100; 100; 1000; 10; 1000
1000
39 Un’indagine condotta su un gruppo di ragazzi in relazione al numero di ore dedicate settima-
nalmente ai giochi al computer ha prodotto la seguente tabella:
Numero ore
Frequenza
02
24
46
68
8 10
8
2
7
11
2
a) Costruire l’istogramma delle frequenze assolute e quello delle frequenze relative.
b) Quanti sono i ragazzi intervistati?
c) Qual è la classe modale?
40 I lanci di un dado hanno dato i risultati riportati nella seguente tabella:
Numero faccia
1
2
3
4
5
6
Frequenza
12
3
24
1
7
3
a)
b)
c)
d)
e)
Costruire l’istogramma delle frequenze assolute.
Costruire l’istogramma delle frequenze cumulate assolute.
Quante volte è stato lanciato il dado?
Qual è la moda? La moda è un buon indicatore per la serie di valori? Perché?
Qual è la media aritmetica?
Mediana
Calcolare la mediana di ciascuno dei seguenti insiemi di dati.
41 5,
7,
11,
1,
20
7
42 51,
10,
8,
43,
36,
22
43 35,
3,
13,
81,
18,
7,
44 12,
71,
98,
64,
39,
24,
29
27
18
70,
43
53,5
45 Calcolare la media aritmetica e la mediana della seguente distribuzione: 4, 5, 8, 3, 7, 2, 9.
5,4; 5
7
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esercizi
Elementi di statistica
46 I numeri 3, 6, 4, 12, 10, 4, 12, a hanno per media aritmetica 7:
Vero o falso?
a) calcolare il valore di a;
b) calcolare la mediana della distribuzione.
a) a = 5 • b) mediana = 5,5
1. La moda della serie 3, 6, 1, 8, 5, 10 è 6.
V
F
2. La moda di una serie di dati dipende da tutti gli elementi della serie.
V
F
3. In una serie di dati vi possono essere più mode.
V
F
4. La mediana della serie 3, 6, 1, 8, 5, 10 è 5,5.
V
F
5. La mediana di una serie di dati dipende da tutti i termini della serie.
V
F
6. In un grafico di frequenze cumulate relative la mediana è l’elemento che
corrisponde alla frequenza cumulata del 50%.
V
F
7. Se tutti i termini di una serie aumentano di 8 unità anche la mediana aumenta
di 8 unità.
V
F
47 Le auto transitate in un certo orario davanti a un punto di rilevazione sono occupate da 1, …, 6
persone secondo la seguente statistica:
Persone
1
2
3
4
5
6
Auto
45
198
121
76
52
13
Calcolare la media aritmetica, la moda e la mediana.
2,86; 2; 3
48 I punteggi ottenuti da 250 concorrenti all’esame scritto di un concorso sono suddivisi in clas-
si e rappresentati nella seguente tabella:
Punteggi
0-9 10-19 20-29 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99
Frequenza
0
2
6
24
36
47
55
40
27
13
Calcolare:
a) la media;
b) la classe modale;
c) la classe mediana.
a) 60,82 • b) 60-69 • c) 60-69
49 A un concorso 20 candidati hanno ottenuto votazioni superiori a 50/60. La distribuzione delle
frequenze è la seguente:
Votazione
51
52
53
54
55
56
58
60
Frequenza
2
4
1
3
2
3
2
3
Calcolare la mediana, il primo e il terzo quartile, la media aritmetica.
54,5; 52; 57; 54,95
8
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esercizi
Elementi di statistica
50 Nelle due tabelle sono riportate le altezze (in cm) di 80 ragazze e di 80 ragazzi sotto i 14 anni
appartenenti a un gruppo sportivo.
Altezze
Ragazze
Altezze
Ragazzi
a)
b)
c)
d)
120125 125130 130135 135140 140145 145150 150155 155160 160165 165170
1
3
6
12
17
18
15
5
2
1
120125 125130 130135 135140 140145 145150 150155 155160 160165 165170
1
4
8
16
20
14
10
4
2
1
Calcolare la media, la moda e la mediana della prima distribuzione.
Calcolare la media, la moda e la mediana della seconda distribuzione.
Disegnare il poligono delle frequenze relativo alle due distribuzioni.
Fare qualche osservazione dopo aver confrontato i due diagrammi.
a) 144,9; 145 150; 145 150 • b) 143,2; 140 145; 140 145
51 Un’indagine effettuata sulla composizione delle famiglie di un certo Comune ha dato i se-
guenti risultati circa il numero dei figli:
Figli
Famiglie
1
2
3
4
5
214
328
97
26
3
Calcolare:
a)
b)
c)
d)
il numero totale dei figli;
il numero medio di figli per famiglia;
le frequenze relative e cumulate;
la mediana, dopo aver disegnato il grafico delle frequenze relative cumulate.
a) 1280 • b) 1,9 • c) 32%, 49,1%, 14,5%, 4%, 0,4% • d) 2
52 La distribuzione dei punti, assegnati da 0 a 100, riportati da 1250 studenti in una gara nazio-
nale ha le seguenti frequenze:
Punteggio
010
Frequenza
-
1120 2130 3140 4150 5160 6170 7180 8190 91100
7
10
24
170
420
426
160
28
4
a) determinare tre quartili;
b) determinare la media aritmetica, la classe modale, la mediana.
esercizio risolto
Un rilevamento sugli intervalli di tempo tra il passaggio di un’auto e della successiva ha
prodotto il grafico di frequenze cumulate riportato a fianco.
Dalla lettura del grafico dedurre:
a) quante auto sono state rilevate;
b) qual è l’intervallo di tempo corrispondente alla mediana della statistica ottenuta;
c) quale percentuale di auto distava dalla successiva per meno di 25 secondi.
9
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esercizi
Elementi di statistica
a) Il numero di auto osservate corrisponde al
valore più alto del grafico delle frequenze
cumulate, 80.
frequenze cumulate
80
b) Il valore della mediana e il numero di auto
con distanze superiori a 25 secondi si ricavano dal grafico a fianco.
Il tempo mediano corrisponde a quello per
il quale il grafico delle frequenze cumulate
raggiunge la sua quota media, 40: si tratta
quindi del tempo 20 secondi.
60
c) La parte degli 80 veicoli osservati che presentava un distacco di più di 25 secondi si
ottiene elevando la verticale da 25, linea
che interseca il grafico delle frequenze cumulate alla quota 55: questo significa che
55 macchine su 80 hanno presentato una
distanza in tempo dalla successiva minore
o uguale a 25 secondi, ovvero 25 veicoli su
80, il 31%, hanno un intervallo superiore a
25 secondi.
70
50
40
30
20
10
0
0
5
10 15 20 25 30 35 40
distanza temporale
frequenze cumulate
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
5
10 15 20 25 30 35 40
distanza temporale
53 Le stature dei 50 abitanti di un condominio, bambini, ragazzi e adulti, presentano il seguente
diagramma delle frequenze cumulate. Determinare:
a) la statura mediana;
b) la percentuale di condomini che superano
1,80 m;
c) la percentuale dei condomini al di sotto di
un metro.
54 100 studenti di una scuola hanno riportato a
una prova d’esame voti distribuiti secondo il
seguente diagramma di frequenze cumulate.
Determinare:
a) il voto mediana e i voti dei due quartili;
b) la percentuale di studenti che ha riportato la
sufficienza, cioè un voto maggiore o uguale
a 6;
c) la percentuale di studenti che hanno riportato voti compresi tra i due voti quartili.
frequenza cumulata
50
40
30
20
10
0
0
frequenza cumulata
100
80
60
40
20
0
0
10
75 100 125 150 175 200 statura
5
5
7
8
9
10
voti
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esercizi
Elementi di statistica
55 50 confezioni da 100 g di un noto prodotto alimentare hanno fornito, controllate a posteriori,
i seguenti 50 pesi differenti:
100,7
99,0
101,6
100,0
98,2
99,5
102,5
98,8
101,1
99,0
102,1
100,2
101,3
101,6
97,6
99,9
101,2
98,9
100,0
101,0
98,9
100,6
101,4
98,2
100,2
101,8
100,2
97,6
100,2
101,5
98,6
102,0
99,7
98,7
100,1
101,0
98,3
98,6
100,4
98,3
100,2
98,8
98,6
101,4
102,3
101,0
100,8
98,5
98,5
101,7
a) Disegnare il diagramma delle frequenze cumulate dei diversi pesi riscontrati.
b) Determinare il peso mediana e i due pesi quartili.
c) Determinare la percentuale di confezioni di peso superiore ai 100 grammi dichiarati.
56 Due campioni di 100 pezzi ciascuno di prodotti alimentari in confezione da 100 grammi, rela-
tivi a due marche diverse hanno offerto i due seguenti diagrammi delle frequenze cumulate rispetto ai diversi pesi effettivi. Calcolare:
100
100
80
90
60
80
40
70
20
60
0
99
100
101
102
0
Campione A
99
100
101
102
Campione B
a) il peso mediana del campione A e di quello B;
b) la percentuale delle confezioni A di peso inferiore ai 100 g dichiarati;
c) la percentuale delle confezioni B di peso superiore a 101 g.
57 In una sala cinematografica sono presenti 80 spettatori di età distribuite come segue:
• 8 bambini sui 6 anni,
• 10 ragazzi di circa 12 anni,
• 15 giovani ventenni,
• 20 trentenni,
• 10 cinquantenni,
• 17 ultrasessantenni.
Vero o falso?
a) Calcolare la mediana e la media delle età degli spettatori.
b) Calcolare la percentuale di minorenni.
L’istogramma a fianco rappresenta la distribuzione di frequenze per classi di età delle persone
che frequentano una palestra.
frequenza assoluta
60
50
36 45
40
30
26 35
46 55
16
26
36
46
56
25
35
45
55
65
16 25
20
56 65
10
0
classi di età
11
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esercizi
Elementi di statistica
1. Più del 45% ha età inferiore a 36 anni.
2. Il 25% è nella classe 4655.
3. Il 25% è nella classe 3645.
4. La classe 3645 è la classe modale.
5. La classe mediana è la classe 3645.
6. La media della distribuzione è superiore a 36 anni.
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
vero o falso?
Indici di dispersione
Osservando il diagramma a bastoni di una serie statistica, indicare
la risposta corretta.
frequenze
7
6
5
4
3
0
1
3
4
6
8
1. Il numero totale degli elementi della serie è 20.
2. La moda è 3.
3. La media aritmetica coincide con un termine della serie.
4. La media aritmetica è 4,08.
5. Tutti gli scarti dalla media aritmetica sono positivi.
6. Le frequenze cumulate sono: 5, 12, 16, 22, 25
7. Una mediana è 3,5.
8. Il range è 8.
9. 1 ha una frequenza relativa uguale a 20%.
10. Se tutti i termini della serie vengono moltiplicati per 10 la moda non varia.
58 Calcolare il campo di variazione delle seguenti distribuzioni:
a) 31, 33, 54, 21, 27, 5
b) 13, 28, 81, 84, 85, 61, 74
c) 41, 44, 37, 55, 48, 44, 38
d) –2, –7, –11, 0, 5, 3, –4
59 In un’azienda ci sono sei tipi di categorie di impiego. La distribuzione dei salari mensili è da-
ta nella tabella che segue:
Salari in euro
Frequenza
1000
1100
1400
1900
2200
3000
3300
1
2
3
6
5
2
1
a) Verificare che il salario medio è di 1955 euro.
b) È vero che il 60% dei salari è superiore alla media?
c) Calcolare il campo di variazione dei salari.
12
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esercizi
Elementi di statistica
60 In un torneo di calcio giocano 4 squa-
dre A, B, C, D. Attribuendo 3 punti a
ogni partita vinta, 1 punto a ogni pareggio, completare la tabella e fare la classifica.
Determinare:
a) la squadra vincitrice;
b) il punteggio medio;
Squadra
Vinte
Pari
Perse
A
B
C
D
3
2
7
0
05
05
03
11
4
5
2
1
Punteggio
c) il campo di variazione;
d) lo scarto semplice medio.
61 Il medagliere alle Olimpiadi invernali di Torino del 2006 (per le prime 15 nazioni)
Nazioni
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Germania
USA
Austria
Russia
Canada
Svezia
Corea del Sud
Svizzera
Italia
Francia
Olanda
Estonia
Norvegia
Cina
Croazia
Oro
Argento
Bronzo
11
9
9
8
7
7
6
5
5
3
3
3
2
2
1
12
9
7
6
10
2
3
0
0
2
2
0
8
4
2
6
7
7
8
7
5
2
6
6
4
4
0
9
5
0
Punteggio
Supponendo di dare un peso a ciascuna medaglia conquistata: 3 per l’oro, 2 per l’argento, 1
per il bronzo:
a) completare la tabella con i punteggi ottenuti da ciascuna nazione; l’ordine si conserva?
b) calcolare il punteggio medio, la moda e la mediana della distribuzione;
c) qual è il campo di variazione dei punteggi ottenuti?
d) dividere i punteggi in classi di ampiezza 20 e determinare la classe modale.
62 Calcolare la media e lo scarto semplice medio dei primi 10 numeri naturali.
11
5
media =
; scarto =
2
2
63 Assegnate le due statistiche S = {1; 2; …, 9; 10} e Z = {3; 3; 3; 3; 3; 8; 8; 8; 8; 8}:
a) calcolare le medie a e b delle due statistiche;
b) calcolare i rispettivi scarti semplici medi.
a) a = b = 5,5 • b) scarti uguali =
Che cosa si può osservare?
5
2
64 Sia S = {1; −1; 2; −2; …; 10; −10}: calcolare il range e lo scarto semplice; esaminare di quan-
to cambia la media se si aumenta uno degli elementi di 5.
range = 20, scarto = 5,5 se si aumenta un elemento di 5 la media passa da 0 a 0,25
65 Assegnate le due statistiche {2; 4; 6; 8; …; 18; 20} e {3; 3; 5; 5; …; 21; 21}:
a) calcolare le medie a e b delle due statistiche;
b) calcolare i rispettivi scarti semplici medi.
a) a = 11, b = 12 • b) scarto della prima = 5, scarto della seconda = 5
13
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esercizi
Elementi di statistica
66 Si consideri la statistica S dei primi 10 numeri naturali. Calcolare:
a) di quanto cambia la media se aumentiamo di 1 uno dei 10 valori che formano S;
b) di quanto cambia in conseguenza lo scarto semplice.
a) media = 5,6 • b) scarto = 2,4 oppure 2,6 a seconda che si aumenti un valore prima di 5 o dopo 5
67 Determinare per quali b lo scarto semplice della statistica {b; 2b; 3b; …; 10b} è minore di 0,1.
0,1
b<
= 0, 04
2, 5
68 Assegnata la statistica S = {1; 2; …; 10; a}:
a) indicare per quale a la media di S è la stessa della statistica dei soli primi 10 numeri naturali;
b) per tale valore di a confrontare lo scarto semplice medio di S con quello della statistica dei
soli primi 10 numeri naturali.
a) a =
11
5
41
• b) scarto primi 10 naturali = , scarto con a =
2
2
22
69 Assegnata la statistica S = {1; 2; 3; 4; 5} e avuta la possibilità di aumentare di 1 uno dei
suoi elementi, scegliere quale modificare per ottenere la maggiore riduzione dello scarto
semplice medio.
aumentando il 2 si abbassa lo scarto a 1,04
Esercizi di riepilogo
70 Sia S la statistica delle aree dei rettangoli di lati di misure intere prese nell’intervallo
[1; …; 5]:
a) determinare le frequenze;
b) calcolare la media;
c) calcolare la mediana;
d) calcolare lo scarto semplice medio.
Le aree possibili sono {1, 2, 3, 4, 5, 4, 6, 8, 10, 9, 12, 15, 16, 20, 25}
a) Le frequenze sono tutte 1 tranne quella del 4 che vale 2 • b) 140 • c) 8 • d) 5,6
15
71 La produzione di un certo distretto industriale ha dato i seguenti risultati mensili, misurati in
numero di container spediti.
Mesi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Container
24
37
16
15
24
45
10
13
27
48
15
20
a) Rappresentare la statistica della produzione mensile sotto forma di istogramma.
b) Calcolare la produzione mensile media e lo scarto semplice medio.
c) Costruire la statistica della produzione per trimestri e calcolarne la media e lo scarto semplice medio.
b) produzione media mensile = 24,5; scarto = 9,833 •
c) statistica per trimestri = {25,6; 28; 16,6; 27,6}, media per trimestri = 24,5, scarto = 3,9
72 Una serie di misure sperimentali sul punto di solidificazione di un liquido ha per media arit-
metica μ e deviazione standard σ rispettivamente:
μ = 4,34 °C
σ = 0,47 °C
Se tutte le misure vengono convertite in gradi Kelvin, come si modificano μ e σ?
[Se T è la temperatura in gradi Kelvin e t° la temperatura in gradi Celsius, si ha: T = t° + 273,14...]
μ = 4, 34 + 273,16 K = 277,5 K; σ = 0,47 K
14
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esercizi
Elementi di statistica
73 Il medagliere delle Olimpiadi di Atene 2004 (per le prime 15 nazioni)
Nazioni
Oro
Argento
Bronzo
1
Stati Uniti
35
39
29
2
Cina
32
17
14
3
Russia
27
27
38
4
Australia
17
16
16
5
Giappone
16
9
12
6
Germania
14
16
18
7
Francia
11
9
13
8
Italia
10
11
11
9
Corea del Sud
9
12
9
10
Gran Bretagna
9
9
12
11
Cuba
9
7
11
12
Ucraina
9
5
9
13
Ungheria
8
6
3
14
Romania
8
5
6
15
Grecia
6
6
4
Punteggio
Supponendo di dare un peso a ciascuna medaglia conquistata: 3 per l’oro, 2 per l’argento, 1
per il bronzo:
a) completare la tabella con il punteggi ottenuti da ciascuna nazione;
b) dividere i punteggi in classi di ampiezza 30 e costruire una tabella delle frequenze f, dove f
è il numero di nazioni che hanno punteggio nella classe;
c) calcolare il punteggio medio;
d) calcolare lo scarto semplice medio.
74 Calcolare lo scarto quadratico medio
x
della distribuzione riportata in tabella, avendo indicato con f la frequenza
assoluta di ciascun valore.
61
64
67
70
73
f
05
18
42
27
08
2,92
75 Calcolare media aritmetica e scarto
quadratico medio per la distribuzione
di altezze riportata in tabella.
Altezze
Frequenze
148,5 153,5
153,5 158,5
158,5 163,5
163,5 168,5
168,5 173,5
173,5 178,5
02
04
11
14
05
04
164,5; 6,245
15
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esercizi
Elementi di statistica
76 Calcolare mediana, media aritmetica e scarto quadratico medio della seguente distribuzione:
5, 4, 2, 2, 1, 7, 4, 6, 6, 3, 3, 2, 8, 4, 2, 3, 3, 1, 5, 6, 9, 7, 5, 6, 4
4; 4,32; 2,13
77 Calcolare lo scarto semplice medio, la varianza e lo scarto quadratico medio della distribuzione:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
2,25; 15; 3,87
78 Una classe di 25 alunni ha riportato agli esami di maturità i seguenti voti:
Voti
36
39
42
44
45
46
48
50
54
60
Frequenze
2
1
3
2
3
2
5
2
3
2
Calcolare la media aritmetica, il campo di variazione, lo scarto semplice medio, lo scarto
47; 24; 4,68; 5,73
quadratico medio.
79 Raggruppare le votazioni della tabella precedente in cinque classi:
36 40
40 45
45 50
50 55
55 60
Calcolare, mediante il centro di ogni classe, la media aritmetica, lo scarto semplice medio
e lo scarto quadratico medio.
Constatare che i risultati sono diversi da quelli ottenuti in precedenza.
Per quale distribuzione di voti ci sarebbe stata coincidenza?
80 La distribuzione di frequenze per classi di reddito di 100 famiglie italiane è la seguente:
Classe di reddito (in migliaia di euro)
0 20
20 40
40 60
60 100
26
42
20
12
Frequenze
Utilizzando i valori centrali di ciascuna classe, calcolare la media aritmetica, lo scarto
semplice medio, lo scarto quadratico medio.
34,8; 16,928; 21,470
81 I 100 giocatori di un torneo che prevede la conquista di 10 punti hanno riportato i seguenti
risultati:
Punti
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Giocatori
3
9
12
15
22
16
10
8
3
2
a) Calcolare il punteggio medio, lo scarto semplice medio e la deviazione standard.
b) Disegnare il grafico delle frequenze cumulate.
c) Calcolare la mediana e i due quartili.
a) media = 5,04, scarto semplice medio = 1,6088, deviazione standard = 2,0441 •
c) La mediana e i due quartili sono leggibili dal grafico delle frequenze cumulate
82 Agli alunni di una classe è stato chiesto di indicare a occhio, senza orologio, la durata di 1 minuto.
Le risposte ottenute, controllate con l’orologio dell’insegnante, sono state le seguenti:
Risposte in secondi
Alunni
21-30
31-40
41-50
51-60
61-70
71-80
81-90
1
3
6
12
3
3
2
a) Calcolare la media e la deviazione standard.
16
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esercizi
Elementi di statistica
b) Rappresentare la statistica con un istogramma.
c) Calcolare il numero di risposte che si discostano dalla media per non più della deviazione
standard.
[c) L’intervallo con centro la media proposto copre le tre fasce [41-50], [51-60], [61-70]; le risposte
sono pertanto 21, il 70% del totale delle risposte]
a) media = 55, deviazione standard = 9,7
83 Un primo gruppo A di persone presenta le seguenti altezze {1,62; 1,73; 1,60; 1,75; 1,75} un
secondo gruppo B le seguenti {1,79; 1,84; 1,56; 1,74; 2,20; 1,35; 1,35}.
Calcolare le altezze medie dei due gruppi e le relative deviazioni standard.
A e B hanno la stessa media = 1,69. La deviazione standard di A è 0,004 quella di B è 0,08
84 I valori {4; 5; 7; 8; x} hanno come media 6.
a) Determinare il valore necessariamente assunto da x.
b) Determinare la deviazione standard.
a) x = 6 • b) = 2
85 Un dado lanciato 120 volte ha dato i seguenti risultati:
Punto
1
2
3
4
5
6
Frequenza
21
20
19
20
19
21
a) Calcolare il punteggio medio.
b) Calcolare la deviazione standard.
c) Calcolare il numero di lanci che ha dato un risultato che si discosta da quello medio per non
più della deviazione standard.
a) punteggio medio = 3,49; • b) deviazione standard = 3,24 •
c) tutti i 120 lanci hanno dato risposta appartenente all’intervallo assegnato
86 Consideriamo le tabelle A e B, la seconda delle quali è ottenuta dalla prima moltiplicando cia-
scun valore per 5 e aggiungendo 121. Calcolare le rispettive medie e deviazione standard.
Tabella A
Tabella B
Valori
0
1
2
3
4
5
Frequenze
2
3
5
6
5
4
121
126
131
136
141
146
2
3
5
6
5
4
Valori
Frequenze
media della tabella A = 2,84; media della tabella B = 121 + 5 ⋅ 2,84 = 135,2;
deviazione standard della A = 1,488, deviazione standard della B = 1,488 ⋅ 5 = 7,440
87 In una gara di pesca i 25 concorrenti hanno ottenuto i seguenti risultati, misurati in kilogram-
mi di pescato.
Pescato (in kg)
Concorrenti
0-0,4
0,5-0,9
1,0-1,4
1,5-1,9
2,0-2,4
4
1
8
10
2
a) Calcolare il peso medio e la deviazione standard.
b) Determinare il numero di concorrenti che hanno ottenuto un pescato che differisce dalla
media per non più della deviazione standard.
c) Disegnare il grafico delle frequenze cumulate e determinare mediana e quartili.
a) media = 1,3, deviazione standard = 0,5830 • b) 18 concorrenti, il 72%, rientra nell’intervallo indicato •
c) Dal grafico si riconosce che la mediana è circa 1,25, mentre i due quartili sono circa 1 e 1,5
17
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Vero o falso?
esercizi
Elementi di statistica
1. Il range di un campione è sempre minore o uguale al range dell’intera
popolazione.
V
F
2. La deviazione standard è nulla se e solo se tutti i valori della statistica sono
uguali.
V
F
3. La deviazione standard è fortemente influenzata dai valori estremi.
V
F
Sia 500 il punteggio medio di un test con deviazione standard 100; se ciascun punteggio è
incrementato di 25 allora:
4. la media e la deviazione standard risultano incrementate di 25 unità
V
F
5. la media e la deviazione standard risultano inalterate
V
F
6. la media risulta incrementata di 25 unità e la deviazione standard resta inalterata
V
F
Sia 500 il punteggio medio di un test con deviazione standard 100; se ciascun punteggio è
incrementato di 25% allora:
7. la media è 500 e la deviazione standard è 100
V
F
8. la media è 525 e la deviazione standard è 100
V
F
9. la media è 625 e la deviazione standard è 100
V
F
10. la media è 625 e la deviazione standard è 125
V
F
1997 1998 1999 2000 2001
Il seguente grafico a barre mostra la percentuale di abitazioni della città con riscaldamento a gas metano e a gasolio.
metano
gasolio
metano
gasolio
metano
gasolio
metano
gasolio
metano
gasolio
0%
66%
29%
65%
29%
60%
32%
59%
33%
58%
34%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
Da questi dati si può dedurre che:
18
11. la percentuale di abitazioni che usano il gasolio non è mai aumentata da
un anno all’altro.
V
F
12. la percentuale di abitazioni che usano il gas metano è aumentata da un anno
all’altro
V
F
13. la percentuale di abitazioni che usano combustibili diversi dal gasolio e dal
gas metano non è aumentata da un anno all’altro
V
F
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esercizi
Elementi di statistica
L’istogramma seguente rappresenta i prezzi delle case (in migliaia di euro) messe in vendita da un’agenzia.
frequenza
2,5
50
75
100
125
150
175
3
2,5
2
75
100
125
150
175
200
1,5
1
0,5
0
prezzo in migliaia di euro
Si può dedurre che:
14. la mediana della distribuzione è 125 000 euro
V
F
15. le case che costano tra 100 000 euro e 125 000 euro sono più numerose di
quelle che costano più di 125 000 euro
V
F
La classe 1a A fa un test e ottiene un punteggio con deviazione standard 11,2; la classe 1a B
fa lo stesso test e ottiene un punteggio con deviazione standard 5,6:
19
16. la 1a A è meno eterogenea della 1a B.
V
F
17. la 1a B è più omogenea della 1a A.
V
F
18. la 1a B ha risultati due volte superiori a quelli della 1a A.
V
F
19. la 1a A non va bene come la 1a B.
V
F
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