1. Simboli matematici, costanti, alfabeto greco

G. Sammito, A. Bernardo,
F. Cimolin, L. Barletta, L. Lussardi
Formulario di matematica
Simboli matematici
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1. Simboli matematici, costanti, alfabeto greco
1.1 Simboli comuni
+
−
⋅
a
oppure a/b
b
ab
%
a
n
a
n!= n ⋅ (n − 1) ⋅ … ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
⎛n⎞
n!
⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝ k ⎠ k!(n − k )!
±
∓
=
≠
∝
<
>
≤
≥
∞
= def
m|n
a ≡ b mod n
mcm
MCD
i
Re(z )
Im( z )
|z|
arg ( z )
z
più
meno
per
a fratto b
a elevato a b
percento
radice quadrata di a
radice ennesima di a
n fattoriale ( n numero naturale)
coefficiente binomiale, n su k
più o meno
meno o più
uguale
diverso
proporzionale
minore
maggiore
minore o uguale
maggiore o uguale
molto minore
molto maggiore
infinito
uguale per definizione
m divide n
a e b sono congrui modulo n , cioè a − b è multiplo di n
minimo comune multiplo
massimo comun divisore
unità immaginaria ( i 2 = −1 )
parte reale di z
parte immaginaria di z
modulo di z
argomento di z
coniugato di z
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1.2 Insiemi numerici
N
Z
Z+
Z−
Insieme dei numeri naturali {0,1,2,3,… , }
Insieme dei numeri interi {… ,−3,−2,−1,0,+1,+2,+3,...}
Insieme dei numeri interi positivi (zero escluso)
Insieme dei numeri interi negativi (zero escluso)
1 1
2 2⎫
⎧
Insieme dei numeri razionali ⎨0,+1,+2,…,−1,−2,…,+ ,− ,…,+ ,− ⎬
2 2
3 3⎭
⎩
Insieme dei numeri razionali positivi (zero escluso)
Q
Q+
Q−
Insieme dei numeri razionali negativi (zero escluso)
1 1
⎧
⎫
Insieme dei numeri reali ⎨0, +1, −1,… , + , − ,… , 2, 3, π , e,…⎬
2 2
⎩
⎭
Insieme dei numeri reali positivi (zero escluso)
Insieme dei numeri reali negativi (zero escluso)
Insieme dei numeri complessi {0,+1,+i,−1,−i, i + 1,2 − 3i,…}
R
R+
R−
C
1.3 Simboli insiemistici
∈
∉
⊆
⊂
∀
∃
∪
∩
\
Δ
×
Ac oppure C A
∅
℘( A)
max
min
sup
inf
appartiene
non appartiene
inclusione (contenuto o uguale)
inclusione (stretta)
per ogni
esiste
non esiste
unione insiemistica
intersezione insiemistica
differenza insiemistica
differenza simmetrica
prodotto cartesiano
complementare di A (rispetto all'ambiente)
insieme vuoto
insieme delle parti di A
massimo
minimo
estremo superiore
estremo inferiore
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1.4 Geometria
//
⊥
≡
≈
AB
a
PQ
ABˆ C
d ( P, Q )
parallelo
perpendicolare (o ortogonale)
coincidente
congruente
simile
lunghezza del segmento AB
vettore a
vettore PQ con origine in P e fine in Q
angolo ABC con vertice in B
distanza PQ
1.5 Logica
vero
falso
or inclusivo
V
F
∨
⋅
∨
∧
¬
⇒
⇐
⇔
| oppure :
or esclusivo
and logico
not
implica, se ... allora
solo se
se e solo se, doppia implicazione
tale che
1.6 Funzioni particolari
|x|
valore assoluto
⎡x ⎤
⎣x ⎦
sgn( x)
xk
ex
ax
ln( x)
Log ( x )
parte intera alta, approssimazione per eccesso
parte intera bassa, approssimazione per difetto
segno
potenza k -esima
esponenziale in base e
esponenziale in base a
logaritmo naturale (in base e )
logaritmo in base 10
log a ( x)
sin ( x)
cos( x)
tan ( x)
cot ( x)
arcsin( x)
arccos( x)
logaritmo in base a
seno
coseno
tangente
cotangente
arcoseno
arcocoseno
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arctan( x)
arccot( x)
sec( x)
csc( x)
sinh ( x)
cosh ( x)
tanh ( x)
coth ( x)
settsinh( x)
settcosh( x)
Γ( x)
β ( x, y )
arcotangente
arcocotangente
secante
cosecante
seno iperbolico
coseno iperbolico
tangente iperbolica
cotangente iperbolica
settore seno iperbolico
settore coseno iperbolico
Gamma di Eulero
Beta di Eulero
1.7 Calcolo combinatorio
⎛n⎞
n!
⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝ k ⎠ k!(n − k )!
Pn = n!
(n + n + … nh )!
Pn∗ ,n ,…,n = 1 2
1 2
h
n1!⋅n2 !⋅… ⋅ nh !
Cn ,k
coefficiente binomiale
permutazioni semplici
permutazioni con ripetizione
combinazioni semplici
Cn∗,k
combinazioni con ripetizione
Dn ,k
disposizioni semplici
∗
n,k
disposizioni con ripetizione
D
1.8 Analisi
[ a, b]
]a, b[ , (a, b)
[a, b[ , [a, b)
]a, b] , (a, b]
∂A
A
intervallo chiuso
intervallo aperto
intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra, a è incluso, b è escluso
intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra, a è escluso, b è incluso
frontiera dell'insieme A
chiusura dell'insieme A
A
D ( A)
conv( A)
interno dell'insieme A
derivato dell'insieme A (insieme dei punti di accumulazione di A )
involucro convesso di A , intersezione di tutti gli insiemi convessi
contenenti A
successione
{an }
∑
∏
n
x = x1 + x2 + … + xn
sommatoria per i che va da 1 a n di xi
x = x1 ⋅ x2 ⋅ … ⋅ xn
produttoria per i che va da 1 a n di xi
i =1 i
n
i =1 i
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→
lim an = a
tende a
il limite della successione an , per n che tende all'infinito, è a
n →+∞
+∞
N
∑ an = lim
∑a
∏a
∏a
N →+∞
n =0
+∞
n =0
n
= lim
N →+∞
n =0
N
n =0
n
n
f :A→ B
f : A→ B
x
f ( x)
f ( x)
f −1 ( y )
dom( f )
Im( f )
f ( x1 , x2 , … , xn )
lim x→ x0+ f ( x) = l
serie come limite della successione delle somme parziali
prodotto della successione an
funzione f da A in B
f è una funzione da A in B che a x ∈ A associa f ( x) ∈ B
immagine di x tramite f , funzione diretta
controimmagine di y tramite f , funzione inversa
dominio di f
immagine di f
funzione in n variabili
il limite della funzione f per x che tende a x0 da destra è l
lim x→ x0− f ( x) = l
il limite della funzione f per x che tende a x0 da sinistra è l
lim x→ x0 f ( x) = l
f ( x) = o( g ( x))
f ( x) = O( g ( x))
Δx
Δf
df
d
f ′( x) oppure
f ( x)
dx
d2
f ′′( x) oppure 2 f ( x)
dx
∂f
( x, y )
∂x
∂2 f
( x, y )
∂y∂x
il limite della funzione f per x che tende a x0 è l
o piccolo, f è infinitamente piccola rispetto a g
O grande, f è dominata localmente da g
differenza tra due valori di x
differenza tra due valori di f
differenziale totale di f
derivata prima di f calcolata in x
derivata seconda di f calcolata in x
derivata prima parziale di f rispetto a x calcolata in ( x, y )
derivata seconda mista, prima rispetto a x poi rispetto a y , di f
calcolata in ( x, y )
∂ f
( x, y )
∂x 2
∇f
Jf
Hf
2
divF = ∇ ⋅ F =
derivata seconda di f rispetto a x due volte calcolata in ( x, y )
gradiente di f
matrice jacobiana di f
matrice hessiana di f
∂F1 ∂F2 ∂F3
+
+
∂x ∂y
∂z
divergenza del campo vettoriale F = ( F1 , F2 , F3 )
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rot (F )
rotore del campo vettoriale F
∂2 f ∂2 f ∂2 f
Δf ( x, y, z ) = ∇ f ( x, y, z ) = ∇ ⋅ (∇f ( x, y, z )) = 2 + 2 + 2
∂x
∂y
∂z
F{g (t )}( f ) = G ( f )
G ( f ) è la trasformata di Fourier di g (t )
L{g (t )}( s ) = G ( s )
G (s ) è la trasformata di Laplace di g (t )
2
∫ f ( x)dx
∫ f ( x)dx
∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx
∫ ∫ f ( x, y)dxdy
∫ ∫ ∫ f ( x, y, z )dxdydz
∫γ f ( z )dz
∫∫ f (u, v )dudv
b
a
+∞
t
t → +∞
a
a
A
A
operatore di Laplace
integrale indefinito di f , cioè insieme delle primitive di f
integrale fra a e b della funzione f
integrale improprio
integrale doppio della funzione f sull'insieme A
integrale triplo della funzione f sull'insieme A
integrale curvilineo di f su γ
integrale di superficie di f su Σ
Σ
+∞
( f ⊗ g )(t ) = ∫ f (t − τ ) g (τ )dτ
−∞
1.9 Spazi funzionali
C ([a, b], R)
C 1 ([a, b], R)
C n ([a, b], R)
C ∞ ([a, b], R)
Lp ([ a, b ] ,
)
prodotto di convoluzione fra f e g
insieme delle funzioni continue definite su [a, b] a valori in R
insieme delle funzioni definite su [a, b] a valori in R derivabili
(almeno) una volta con derivata prima continua
insieme delle funzioni definite su [a, b] a valori in R derivabili
(almeno) n volte con derivata n -esima continua
insieme delle funzioni definite su [a, b] a valori in R derivabili con
continuità infinite volte
insieme delle funzioni definite su [a, b] a valori in R con modulo
elevato alla potenza p integrabile secondo Lebesgue
1.10 Algebra Lineare
⎛ a11 a12 … a1n ⎞
⎟
⎜
⎜ a21 a22 … a2 n ⎟
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ am1 am 2 … amn ⎟
⎟
⎜
⎠
⎝
O
E oppure I
tr ( A)
dim(V )
matrice con m righe ed n colonne
matrice nulla
matrice identità, gli elementi sulla diagonale valgono 1 e gli altri 0
traccia di A
dimensione dello spazio vettoriale V
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span(V )
ai , j
insieme delle combinazioni lineari finite degli elementi di V
elemento di posto i, j della matrice A
A −1
AT
det ( A)
ker ( A)
Im( A)
null ( A)
rank ( A)
⊕
⟨⋅,⋅⟩
× oppure ∧
⊗
inversa di A
trasposta di A
determinante della matrice A
nucleo di A
immagine di A
dimensione del nucleo di A
rango di A , cioè dimensione dell'immagine di A
somma diretta fra spazi vettoriali
prodotto scalare
prodotto vettoriale
prodotto tensoriale
1.11 Probabilità e statistica
Ω
∅
P( A)
P( B | A)
FX (x)
f X ( x)
FX ,Y ( x, y )
evento certo
evento impossibile
probabilità di A
probabilità condizionale di B rispetto ad A
funzione di distribuzione di probabilità di X
funzione di densità di probabilità di X
funzione di distribuzione congiunta di X e Y
f X ,Y ( x, y )
densità di probabilità congiunta di X e Y
f X |Y ( x | y )
densità di probabilità condizionale di X dato Y = y
E[ X ]
Var ( X )
valore atteso, o media, di X
varianza di X
σ X2
σX
σ
Cov( X , Y )
ρ X ,Y
varianza di X
deviazione standard di X
scarto quadratico medio
covarianza fra X e Y
coefficiente di correlazione fra X e Y
ΣX
E X |Y [ X | y ]
matrice di covarianza di X
valore atteso condizionale di X dato Y = y
X ∼ U ( a, b)
X ∼ N (μ ,σ 2 )
Bin (n, p)
Poisson (λ )
Exp(λ )
X è una variabile aleatoria uniformemente distribuita fra a e b
X è una variabile aleatoria gaussiana con media μ e varianza σ 2
Variabile aleatoria Binomiale, n prove, probabilità di successo singolo p
Variabile aleatoria di Poisson di tasso λ
Variabile aleatoria esponenziale di parametro λ
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1.12 Costanti matematiche
e = 2, 71828182845904523536028747135266249…
π = 3,14159265358979323846264338327950288…
2 = 1.41421356237309504880168872420969807 …
1 (1 grado) ≈ 0, 0174532925 radianti
1 radiante ≈ 57 17′44,8′′
5 +1
≈ 1,61803 (rapporto aureo)
2
γ = 0,57721566490153286060651209008240243…
φ=
costante di Eulero-Mascheroni
1.13 Alfabeto greco
Lettera
Alfa
Beta
Gamma
Delta
Epsilon
Zeta
Eta
Theta
Iota
Cappa
Lambda
Mi (mu)
Ni (nu)
Xi
Omicron
Pi
Rho
Sigma
Tau
Ipsilon (uspilon)
Phi
Chi
Psi
Omega
Maiuscola
A
B
Γ
Δ
E
Z
H
Θ
I
K
Λ
M
N
Ξ
O
Π
P
Σ
T
Y
Φ
X
Ψ
Ω
Minuscola
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θ
ι
κ
λ
μ
ν
ξ
o
π
ρ
σ
τ
υ
ϕ
χ
ψ
ω
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1.14 Multipli e sottomultipli
Prefisso
deca
etto
kilo
mega
giga
tera
peta
exa
zetta
yotta
Valore
101
10 2
103
106
9
10
1012
1015
1018
10 21
10 24
Simbolo
da
h
k
M
G
T
P
E
Z
Y
Prefisso
deci
centi
milli
micro
nano
pico
femto
atto
zepto
yocto
Valore
10 −1
10 −2
10 −3
10 −6
−9
10
10 −12
10 −15
10 −18
10 −21
10 −24
Simbolo
d
c
m
μ
n
p
f
a
z
y
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