III.
La matematica
delle civiltà mesopotamiche
La terra
fra i due
fiumi
Linea di costa nel III millennio
Area di influenza delle prime
città stato sumere (IV-III
millennio a. C.)
Area di influenza degli Accadi
all’epoca di Sargon I (2350 a. C.)
Confini del regno di Hammurabi
(1792-1750 a. C.)
1
Tavola cronologica
L’arte sumerica
non ha come fine
la ricerca estetica
del bello, ma
nasce come
manifestazione
dello spirito
religioso che
permea ogni
realtà.
Staticità
Ripetizione
“Stendardo di Ur” (metà III millennio a.C., BM)
mosaico di conchiglie, lapislazzuli e calcare rosso che rappresenta scene di guerra
2
L’elemento architettonico più caratteristico dell’architettura
mesopotamica è la Ziggurat, torre a terrazze.
[1850]
[1924]
Ziggurat di Ur sulla cui sommità era costruito il tempio dedicato al dio
della luna Nanna (L. Woolley)
P. Bruegel
il Vecchio (1563)
La Ziggurat di Babilonia, la
Torre di Babele, constava di 7
terrazze. Era alta 90 metri e
all’ultimo piano c’era la cella
del Dio Marduk.
Torre di Babele
Tavoletta (229 a. C) con la pianta e le
misure, Ricostruzione di Wiseman
3
Gilgamesh, V re della I dinastia di Uruk
“Ercole sumerico”
L’epopea di Gilgamesh affronta i
grandi temi dell’umanità:
angoscia davanti alla morte,
desiderio dell’immortalità e la
vana ricerca della felicità.
“I giorni dell’uomo
sono contati:
qualunque cosa egli faccia
non è altro che vento”
Gilgamesh, VIII sec a. C.
Parigi, Louvre
Gilgamesh contro il toro celeste
(sigillo cilindrico accadico)
Fonti per la matematica mesopotamica
circa 300 tavolette di argilla scritte in caratteri cuneiformi risalenti a
tre periodi:
3000-2100 a.C.
Epoca paleobabilonese 1800-1595 a. C.
Epoca Seleucide (304-141 a. C.)
Tavole di calcolo
Tavole di problemi
Tavole di moltiplicazione, tavole di
inversi, elenchi di misure con
passaggi da un’unità di ordine
inferiore a una di ordine superiore e
viceversa, tavole di potenze, tavole di radici
quadrate,ecc.
con o senza soluzione
ricette di calcolo
niente simbolismo
nessuna dimostrazione
4
Lettera di Pietro della Valle (1621), uno dei primi
esempi di caratteri cuneiformi pervenuti in Europa.
G.F. Grotefend
H.C. Rawlinson
J. Oppert,
F. Thureau-Dangin
contribuirono alla
decifrazione della
la scrittura cuneiforme
(1802-1905)
H.C. Rawlinson
Roccia di Behistun
con iscrizione trilingue
I contributi decisivi allo studio
delle tavolette matematiche
risalgono però solo agli anni
1930-1960.
Neugebauer, Thureau-Dangin,
Bruins
Caratteri delle matematiche mesopotamiche
La matematica non è intesa come un’attività speculativa astratta, ma
un prodotto sociale generato dai bisogni di una società in continua
espansione. Nasce e si sviluppa nei templi come strumento per
l’amministrazione della città (costruzione di edifici e canali, computo
dei giorni necessari per condurre a termine un lavoro, divisione di
eredità, calcolo di interessi, riscossione di imposte, …)
“Ricopiare testi modello costituiva una parte essenziale del programma
di studi delle scuole paleobabilonesi (1900-1500 a.C.). Molti testi
contenevano elenchi e tabelle ... Eseguendo questi compiti di ricopiatura,
lo studente si esercitava nella scrittura cuneiforme e al tempo stesso
accumulava una piccola biblioteca personale di tavolette” [Friberg 1984]
♦ la veste concreta dei problemi è dovuta alla funzione didattica
dei testi
♦ la classificazione dei problemi a seconda del tipo di soluzione è
sintomo di consapevolezza della generalità
5
L’origine dei segni numerici e le
“bullae” di argilla con gettoni
Le bullae molto probabilmente
servivano nelle transazioni
commerciali. I gettoni contenuti
descrivevano la merce inviata.
Rompendo la bulla l’acquirente
poteva verificare se la merce
corrispondeva. Successivamente si
iniziò ad imprimere sulla
superficie
della bulla i vari gettoni
Bulla con gettoni, Susa,
ca 3300 a.C., Louvre
4 mucche
70 montoni
1
Bassa Mesopotamia, 3100 a. C.
10
60
600
3600
36000
Passaggio dai gettoni ai simboli numerici
Sistema di numerazione sumerico (3000 a. C.)
Sistema di numerazione additivo,
sessagesimale misto,
basato sull’uso congiunto
della base 60 e 10
uomo
Esisteva anche il termine šar-gal
(= grande šar) per indicare
216000 (603), ma non il simbolo
6
Tavoletta sumera del 2850 a. C.
In un primo tempo le tavolette erano scritte secondo linee verticali
da destra a sinistra
15
vo
la
til
i
40
s.
di
?
60
s.
di
?
Firma
?
15
vo
la
til
i
30
s. di
grano
15
sacchi
di
orzo
145
sacchi
vari
Verso il 2600 a. C. i segni subirono una rotazione di 90° in senso
antiorario e vennero disposti in linee orizzontali da sinistra a destra
Colonna 1
60+10+10
montoni maschi
60+60+10+
+10+10+10+6
capretti
Tavoletta sumerica
2300 a. C.
7
La più
antica
divisione,
2650 a. C.
1 granaio
d’orzo
7 silà
36000 36000
36000 36000
3600 3600 3600
3600 3600
Ogni uomo
riceve
600 600 60
600 600 60
10 10 10 10 10 1
I suoi
uomini?
1 granaio d’orzo =
= 1152000 silà = 32×36000 silà
3 silà d’orzo
rimasti
32×36000 : 7
Come ha trovato la soluzione lo scriba?
Probabilmente con una serie di divisioni successive con
opportune conversioni da un’unità a quella
immediatamente inferiore. [Guitel 1963]
32×36000 : 7
32 × 36000
resto 4 × 36000 pari a 40 × 3600
resto 5 × 3600 pari a 3 0 × 600
resto 2 × 600 pari a 2 0 × 60
resto 6 × 60 pari a 36 × 10
resto 1 × 10 pari a 10 × 1
7
4 × 36000
5 × 3600
4 × 600
2 × 60
5 × 10
1
resto 3
La risposta è
164571
8
Sistema di numerazione sessagesimale posizionale
Fa la sua comparsa nell’ambiente colto all’inizio del II millennio a.C.
come strumento per la matematica e più tardi per l’astronomia
I numeri da 1 a 59 sono scritti in modo additivo con la base
ausiliaria 10, per i numeri superiori a 60 è utilizzato il principio
di posizione
Manca lo zero sia in posizione mediale che finale
Testo V di Susa
Ci troviamo davanti a due tipi di
ambiguità:
- una derivante dalla mancanza dello zero
- l’altra derivante dalla difficoltà di sapere
come devono essere raggruppati i segni
“Lo zero è la cifra più importante. È un
colpo di genio fare di un nulla qualcosa
attribuendogli un nome e creando un
simbolo per esso” [Van der Waerden]
9
Fronte
Retro
50 × 25 = 1250 =
= 20 × 60+ 50
10 × 25 = 250 =
= 40 × 60+ 10
Tavola di
moltiplicazione
per 25 (ca 1600
a.C.) [TMS, 35]
Ci sono pervenute numerose tavole di moltiplicazione, di quadrati
(n a-rá n), di radici quadrate (n2-e n íb-si8), di radici cubiche (n3-e
n ba-si8), di somme di quadrati e di cubi, di an al variare di n, di
inversi (igi n gál-bi 1/n), ...
Cilindro A 7897 [MCT, 24-25]
tavole di moltiplicazioni “combinate”
10
La divisione
La divisione viene effettuata moltiplicando il dividendo
per l’inverso del divisore.
L’inverso di ogni numero regolare, cioè contenente cioè solo
i fattori 2, 3, 5 ( i fattori primi di 60) è esprimibile con una
frazione sessagesimale finita
1 30
=
2 60
1 20
=
3 60
1 10
=
6 60
1
=
16
0;30
0;20
0;10
1
60
2
1
= 2×
3
3
5
1
= 5×
6
6
0;1
0;40
0;50
1 15 12 3
3
+
×
60
16 = 4 = 4 4 = 3 +
4 = 3 + 45
60
60 60 × 60 60 602
60
60
60 ×
→ 0;3,45
Le frazioni sessagesimali sono poste sullo stesso piano degli
interi, fatto notevole se si pensa che il sistema di numerazione
indiano (che diviene il nostro) concerneva solo l’espressione
degli interi e si passò assai tardi alla nozione di frazioni
decimali che cominciarono a diffondersi in Europa solo alla
fine del ‘500 [S. Stevin, De Thiende, 1585]
11
Gli inversi dei numeri irregolari come 7, 11, 13, … danno
luogo a frazioni sessagesimali infinite periodiche
Nella più antica tavola di inversi (1800 a.C. circa) ci sono gli inversi
dei numeri da 2 a 60.
2 Igi 30
la metà [di 60] è 30
3 Igi 20
la terza parte [di 60] è 20
…….
59 Igi nu
la cinquantanovesima parte [di 60] non c’è
1 Igi 1
la sessantesima parte [di 60] è 1
Quando si tratta di calcolare gli inversi di 7, 11, 13, …59 lo scriba
scrive che tali numeri non hanno inverso.
In YBC 10529 (Yale) c’è il calcolo approssimato degli inversi di
numeri irregolari, per es. 1/59
0;1,1,1 [MCT, 16]
Tabella di inversi di numeri compresi fra 1 e 3
[MKT, I, 14-22]
Louvre AO 6456
Igi 3
gál-bi
20
12
Approssimazione di
2 , circa 1800 a.C.
YBC 7289
MCT,42-43
Sul lato del quadrato è scritto 30 e sulla diagonale sono
segnati i numeri 1; 24, 51, 10 e 42; 25, 35.
La diagonale è ottenuta così: 42; 25, 35 = 30 × 1; 24, 51, 10
2×302
42; 25, 35 = 30 × 1; 24, 51, 10
AC = 30
2
B
1; 24, 51, 10 = 1, 414213
A
C
302
approssimazione molto buona di
2
Questa tavoletta da sola non dimostra che i Babilonesi
conoscessero il “teorema di Pitagora” nella sua generalità,
ma esistono altre tavolette in cui questo teorema viene
usato in modo palese [p. e. MCT,142]
13
Plimpton 322 (1800 a.C., MCT, 38-39)
La tavoletta mostra un elenco ordinato di numeri relativi a 15 terne pitagoriche,
cioè terne di numeri interi che soddisfano la relazione a 2 + b 2 = c 2
La I colonna della tavoletta presenta i valori corrispondenti al rapporto b2 a 2
mentre la II e la III i valori di b e di c, rispettivamente. L’ultima colonna indica
invece semplicemente i numeri d’ordine, da 1 a 15, delle terne.
Le terne sono tutte primitive (con a e b primi fra
loro) tranne la 11a e la 15a
Numeri
d’ordine
c
b
a
a 2 + b2 = c2
722+652=5184+4225= 9409=972
È possibile che i
Babilonesi
conoscessero
il meccanismo
di formazione della
terne pitagoriche :
a = 2uv
b = u 2 − v2
c = u 2 + v2
u e v interi
u>v
Euclide, Elementi, X,28.1
14
Tavoletta AO 6484 (epoca seleucide)
1
Somma dei quadrati dei naturali
da 1 a 10
3
“Quadrati da 1 volte 1 fino a 10 volte 10: 100
Qual è il numero?
Tu moltiplicherai 1 per 1/3: 1/3
Lurje 1948
Tu moltiplicherai 10 per 2/3: 20/3.
1/3 + 20/3: 7.
Tu moltiplicherai 7 per 55: 385.
Il numero è 385”.
4
5
2⎞
⎛ 1
⎜ 1 × + 10 × ⎟ × 55 = 385
3⎠
⎝ 3
⎛ 1 2 n ⎞ n ( n + 1)
⎜ +
⎟×
2
⎝3 3 ⎠
n
1
∑ i 2 = n ( n + 1)( 2 n + 1)
i =1
6
1
n=5
1 cubetto unitario
4 cubetti unitari
9 cubetti unitari
16 cubetti unitari
25 cubetti unitari
3
4
5
La somma dei cubetti
unitari del solido a
scalini rappresenta la
somma dei quadrati
dei numeri da 1 a 5.
Assemblando tre di questi
solidi ottengo un
parallelepipedo di dimensioni
5× (5+1) × 5 più una scala
formata da (1+2+3+4+5)
cubetti unitari.
=
n =10
1
2
3S = n( n + 1)n +
1
2
n(n + 1)
=
2
n(n + 1)
(2n + 1)
2
n
n
n+1
15
Il calcolo algebrico in Mesopotamia
Il simbolismo algebrico è assente.
Le incognite del problema sono espresse con termini tratti dalla
geometria, ma sono usati in modo del tutto astratto:
lunghezza
uš
larghezza
sag
area
a-sa
Vengono affrontate equazioni di 2° grado, particolari equazioni
di grado superiore al 2°, particolari sistemi
- metodo del completamento del quadrato
- metodo della semisomma e della semidifferenza
- uso sistematico di identità notevoli
⎧ xy = P
- riduzione di problemi quadratici alla forma ⎨
⎩x + y = S
Identità notevoli usate dai babilonesi e loro
visualizzazione geometrica
(a + b)2 = a2+2ab+b2
(a - b)2 = a2-2ab+b2
(a + b)2+ (a - b)2 = 2 (a2+b2)
(a + b)(a - b) = a2 - b2
(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab
Formidabili calcolatori
16
Traduzione
Interpretazione
Ho addizionato la superficie e
il lato del mio quadrato: 0;45
Tu porrai 1 l’unità
Tu dividerai in due l’unità:
0;30
Tu moltiplicherai 0;30 e 0;30
: 0;15
Tu aggiungerai 0;15 a 0;45
1 è il quadrato di 1
0;30 che tu hai moltiplicato, lo
sottrai da 1
0;30 è il lato del quadrato
x2+x = 3/4
(0;45 = 45/60)
1 = 60/60
1/2 = 30/60
(1/2)2 = 1/4
Si
calcolava
solo la
radice
positiva
3/4 + 1/4 = x2+x + 1/4
(x+1/2)2 = 3/4 + 1/4 =1
⎛1⎞
2
3
1
x = ⎜ 2 ⎟ + 4 − 2 = 1/2 (=0;30)
⎝ ⎠
3
Problema 1,
x2 + x =
BM 13901
4
2
metodo del completamento del 2
3 1
⎛1⎞
x + x + ⎜ ⎟ = + =1
quadrato
2
4 4
⎝ ⎠
Traduzione
Problema 9,
BM 13901
metodo della
semisomma e
semidifferenza
Interpretazione
Ho sommato la superficie dei
miei due quadrati: 21,40, l’uno
supera l’altro di 10
Tu dividerai in due 21,40, tu
scriverai 10,50
Tu dividerai in due 10 : 5
Tu moltiplicherai 5 per 5 : 25
Tu sottrarrai 25 da 10,50:
10,25
Questo è il quadrato di 25
x2 + y2 = 1300 (= 21,40)
x – y = 10
(x2 + y2)/2 = 650 (=10,50)
(x – y )/2= 5
((x – y )/2)2= 25
(x2 + y2)/2 - ((x – y )/2)2 = 625
(=10,25)
2
x2 + y2 ⎛ x − y ⎞
−⎜
⎟ = 25
2
⎝ 2 ⎠
Utilizzo due volte (x + y )/2= 25
Scriverai 25 due volte
Aggiungerai il 5, che hai
x+ y x− y
+
= 30 (= x)
moltiplicato, al primo 25: 30, è
2
2
il primo quadrato
Sottrarrai 5 dal secondo 25: 20 x + y x − y
−
= 20 (= y )
è il secondo quadrato
2
2
x2 + y 2 ⎛ x + y ⎞ ⎛ x − y ⎞
=⎜
⎟ +⎜
⎟
2
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
2
2
17
Testo IX delle tavolette di Susa
cambiamento di variabile
Traduzione
Interpretazione
Io sommo la superficie, la lunghezza e la
larghezza: fa 1
Prendo 3 volte la lunghezza e 4 volte la
larghezza, aggiungo la sua 17a parte alla
lunghezza: ottengo 0;30
Tu: Prendi 0;30 17 volte, tu troverai 8;30.
A 17 volte la larghezza aggiungi 4 volte
la larghezza, tu troverai 21: poni 21 come
coefficiente della larghezza ; 3, il triplo
della lunghezza, come coefficiente della
lunghezza: qual è il significato di 8;30?
È la somma di 3 volte la lunghezza e di
21 volte la larghezza.
Aggiungi 1 alla lunghezza e 1 alla
larghezza e fai la moltiplicazione.
Tu hai aggiunto 1 alla somma della
superficie, lunghezza e larghezza, e tu
trovi la superficie 2
Come ho moltiplicato la lunghezza e la
larghezza della superficie 2 e 1;20 la
larghezza … 1 la costante additiva della
lunghezza e 1 quella della larghezza, … la
somma: 2, tu trovi 32;30.
Ecco ciò che stai cercando: 3 volte la
lunghezza addizionata a 21 volte la
larghezza, moltiplica 3 volte la lunghezza
per 21 volte la larghezza e moltiplica
ancora per 2, la superficie, tu trovi 2,6
Fraziona in due 32;30 della somma, tu
trovi 16;15, fai il quadrato di questa metà,
tu trovi 4.24;3.45; sottrai 2;6 da
4.24;3.45, tu trovi 2.18;3.45.
La radice quadrata è 11;45. Somma 11;45
a 16;15, tu troverai 28.
In secondo luogo sottrai (16;15-11;45); tu
troverai 4;30
Fai l’inverso del triplo della lunghezza,
trovi 20. 20 a 4;30 … Porta 20 a 4;30 e
ottieni 1;30
1;30 è la lunghezza di 2 volte la superficie
... 21 volte la larghezza che dà 28 per
prodotto. 1;20 è la larghezza di due volte
la superficie.
Sottrai 1 a 1;30, trovi 0;30. Sottrai di
nuovo 1 da 1;20 e ottieni 0;20.
xy + x + y = 1
y + 1/17(3x + 4y) = 0 ;30 (1/2)
17y +3x +4y = 0;30 × 17 = 8;30
(8+1/2)
(17 +4) y + 3x = 21y + 3x = 8;30
Si introducono le incognite ausiliarie
X = x+1
Y = y+1
XY = (x+1)(y+1) =
xy + y + x + 1 =1+1
XY= 2
21y+21 +3x+3 = 8 ;30 +24
21Y +3X = 32;30
Riduzione a forma normale
3X·21Y = 3·21·2 = 2,6 ( = 126)
3X + 21Y = 32 ;30
Z2 – 32 ;30Z + 2,6 = 0
2
⎛ 32;30 ⎞
⎜
⎟ − 2, 6
⎝ 2 ⎠
Z1 =16;15 + 11;45 =28=21Y
Riduzione
a forma
normale
Z = 1/2·32;30 ±
Z2=16;15 - 11;45 = 4 ;30 =3X
3X = 4 ;30
(1/3) ·4;30 =1;30 = x+1
21Y = 28
Y = 1 ;20 = y + 1
Calcola
le 2 radici
positive
x =1 ;30 – 1 = 0 ;30
y = 1 ;20 – 1 = 0 ;20
18
Schema riassuntivo dei metodi risolutivi dei problemi di 1° e 2°
grado delle tavolette babilonesi
1, AO 8862
9, BM 13901
1, BM 13901
III, IX Susa
La geometria in Mesopotamia
Ha un forte carattere algebrico.
Fra il 2000 e il 1600 a. C. erano note le regole
generali per il calcolo delle aree dei rettangoli,
dei triangoli e dei trapezi e i volumi dei solidi
più semplici. Per esempio il volume del tronco
di piramide era calcolato scorrettamente
moltiplicando l’altezza per la metà della
somma delle basi.
Per usi pratici usavano un’approssimazione
del rapporto circonferenza diametro (π) =3,
però nel 1936 sono state riportate alla luce
delle tavolette dove si trova l’approssimazione
π = 3;7, 30 = 3, 125
19
Gli scavi della Missione Italiana di Roma, iniziati nel 1964, hanno
portato alla luce i resti della splendida civiltà di Ebla (III millennio
a. C.) e una biblioteca di 15000 tavolette (testi di tipo economico
amministrativo, testi storici e giuridici, testi lessicali e grammaticali
e letterari, enciclopedie, …)
Pettinato 1979
Il problema dello
scriba di Kĭš, Išma-Ia
(2500 a. C.)
600 gal
3600 gal
36000 gal
360000 gal
360000 × 6 gal
non svolto
Problema
dello
scriba
di Kiš
Išma-Ia
La chiave interpretativa sta nel simbolo
che letteralmente significa “ grande”
[Viola 1981, 278].
[Friberg, 1986,10]
20
Presso i Sumeri esisteva il termine šar-gal (= grande šar)
per indicare 216000 (603), anche se non esisteva il simbolo.
In questo caso gal ha il valore di fattore moltiplicativo, 3600 × 60
Se si interpreta anche qui gal come fattore moltiplicativo × 60,
allora il problema dello scriba di Kiš è
Qual è quel numero che moltiplicato per 60 dà 600, 3600,…?
600
3600
36000
360000
360000 × 6
= 60 × 10
= 60 × 60
= 60 × 600
= 60 × 6000
= 60 × 36000
“Le serie di problemi strettamente connesse e le regole
generali che si accompagnano alla soluzione numerica
costituiscono di fatto uno strumento che si avvicina molto a
un’operazione puramente algebrica...
Non si devono tuttavia sopravvalutare queste conquiste.
Nonostante l’abilità numerica e algebrica e, nonostante
l’interesse astratto, che è così cospicuo in un numero così
elevato di esempi, il contenuto della matematica babilonese
resta profondamente elementare”
[Neugebauer 1974]
Influenza sulla logistica greca, su Diofanto
e sulla matematica araba
21
Bibliografia
essenziale
Boyer C., 1980, Storia della matematica, Mondadori, Milano,
Cap. 3.
Giacardi L., 1987, Sistema di numerazione e calcolo algebrico
nella “Terra tra i due fiumi”, in AA.VV., L’alba dei
numeri, Dedalo, Bari.
Giacardi L., Roero C.S., 1979, La matematica delle civiltà
arcaiche. Egitto, Mesopotamia, Grecia,
Stampatori, Torino, Cap. 3.
Kline M., 1991, Storia del pensiero matematico, Torino, Einaudi,
I, Cap. 1
I testi cuneiformi
BRUINS E.M., RUTTEN M., 1961, Mémoires de la Mission Archéologique en Iran,
Tome XXXIV, Textes matbématiques de Suse, Librairie orientaliste Paul
Geuthner, Paris.
NEUGEBAUER O., 1973, Mathematische Keilschrift-Texte, I, II, III, Reprint,
Springer Verlag, Berlin.
NEUGEBAUER O., SACHS A., 1945, Mathematical Cuneiform Texts, American
Oriental Society, New Haven.
THUREAU-DANGIN, F., 1938, Textes mathématiques babyloniens, E.J. Brill,
Leiden.
22
