L’insieme dei numeri reali
“L’INSIEME DEI NUMERI REALI”
Erasmo Modica
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Per introdurre l’insieme dei numeri reali si hanno a disposizione diversi modi. Generalmente al
biennio si preferisce introdurre tale insieme in maniera costruttiva, cioè assumendo i numeri
naturali come concetti primitivi, per costruire l’insieme dei numeri razionali e, successivamente,
quelli irrazionali.
Lo scopo di queste pagine è quello di presentare l’insieme
in maniera assiomatica, prestando
particolare attenzione alle sue proprietà. Infatti, si introdurrà il risultato di Richard Dedekind (18351916) del 1872, il quale partì dalla differenza intuitiva tra ciò che caratterizza il continuo rispetto ai
numeri razionali.
STRUTTURA ALGEBRICA
Definizione: Si definisce campo un insieme non vuoto
in cui sono definite due operazioni
interne:
:K K
:K K
K
K
che godono delle seguenti proprietà:
Associativa
Commutativa
Elemento neutro
Simmetrico
a b
c a
b c
a b c a b c
a b b a
a 0 0 a a
a
a
Proprietà distributiva della
moltiplicazione rispetto all’addizione
a
a 0
a b c
a b b a
a1 1a a
a
1
a
1
a 1
a
con a
0
a b a c
Osservazione: Poiché l’insieme dei numeri reali soddisfa tutte le precedenti proprietà possiamo
affermare che
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è un campo.
1
L’insieme dei numeri reali
ORDINAMENTO
L’insieme dei numeri reali è totalmente ordinato in senso stretto in quanto valgono le seguenti
proprietà:
a b
TRANSITIVA
b c
a c
vale solo una delle seguenti relazioni:
a b; a b; b a
, con a, b 1 , esiste
, con a 0 , esiste
sempre
tale che:
sempre
tale che:
n
na b
a b
, con a b , fra di essi sono compresi infiniti
numeri reali.
LEGGE DI TRICOTOMIA
PROPRIETÀ ARCHIMEDEA
DENSITÀ
CONTINUITÀ
Definizione: Si definisce classe di numeri razionali un qualsiasi insieme costituito da numeri
razionali.
Definizione: Due classi A e B non vuote di numeri razionali si dicono separate in senso debole se
ogni numero della classe A è minore di ogni numero della classe B, cioè:
a
A, b B
a b
Osservazione: Dalla definizione di classi separate segue che le due classi A e B possono avere al più
un solo elemento in comune.
Definizione: Date due classi A e B di numeri razionali separate si dice elemento separatore ogni
numero razionale r tale che a r b ,
a
Ae
b
B.
Definizione: Due classi A e B non vuote di numeri razionali si dicono contigue se godono delle
seguenti proprietà:
1. sono separate;
2. per ogni numero
0 , esistono sempre un numero a
b a
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2
A e un numero b B tali che:
L’insieme dei numeri reali
La coppia A, B prende il nome di coppia di classi contigue in .
Osservazione: La proprietà di cui godono le classi contigue è anche detta proprietà
dell’avvicinamento indefinito in quanto due insiemi contigui possono essere immaginati come due
insiemi i cui elementi si avvicinano sempre di più.
Esempio:
Le classi
1
e
sono due classi contigue in
.
Osservazione: L’elemento separatore di due classi separate può non essere un numero razionale!
Infatti se consideriamo le classi
e
, si dimostra
facilmente che:
sono separate, in quanto ogni elemento di A è minore di ogni elemento di B;
sono contigue, infatti, dalla seguente tabella, è facile intuire che comunque si fissi un numero
0 piccolo a piacere, è possibile trovare un elemento in A e un elemento in B tali che la loro
differenza sia minore di
.
2
x
1
1,96
1,9881
1,999396
1,99996164
1,9999899241
1,999998409369
…
La classe contigua
1
Con il simbolo
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A
x
B
y
y2
1
1,4
1,41
1,414
1,4142
1,41421
1,41421
…
2
1,5
1,42
1,415
1,4143
1,41422
1,414214
…
4
2,25
2,0164
2,002225
2,00024449
2,000018208
2,000001237796
…
ammette un unico elemento separatore che è
si indica l’insieme dei numeri naturali privato dello zero.
3
2 e non è razionale.
L’insieme dei numeri reali
PROPRIETÀ DI CONTINUITÀ O ASSIOMA DI DEDEKIND
Se
è una coppia di classi contigue in , esiste sempre un numero r che non è inferiore ad
alcun numero di A e non è superiore ad alcun numero di B. Il numero r prende il nome di
elemento separatore delle due classi contigue A e B e si scrive:
Si dimostra il seguente:
Teorema: Ogni coppia di classi contigue in
ammette un unico elemento separatore.
Data una coppia di classi contigue si possono quindi presentare due casi:
1. esiste un numero razionale r maggiore o uguale di ogni numero di A e minore o uguale di ogni
numero di B, in questo caso r è l’elemento di separazione delle classi A e B e si scriverà
;
2. non esiste un tale numero e quindi le classi sono separate da un nuovo ente
nome di numero irrazionale e si scriverà
che prende il
.
Quindi ogni coppia di classi contigue definisce un numero razionale oppure un numero irrazionale
e si ha la seguente:
Definizione: Si definisce numero reale ogni coppia di classi contigue in
.
DISTANZA EUCLIDEA
Definizione: Si definisce valore assoluto del numero reale a il numero così definito:
a
a
se a 0
a
se a 0
Osservazione: Si ricordi che la scrittura " a " va letta come “l’opposto di a” in quanto il segno “-“
davanti alla lettera a, nell’immaginario collettivo, lascia intendere che il numero a sia negativo,
mentre sappiamo che tutto dipende, appunto, da a. Infatti se a
numero negativo!
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4
3 , allora a 3 che non è un
L’insieme dei numeri reali
Osservazione: Dalla definizione precedente segue che:
a
a
a
a;
0.
PROPRIETÀ DEL VALORE ASSOLUTO
P1
a
a
P2
P3
P4
0
a
a 0
a
b
a b oppure a
b
, con b 0 , si ha:
a b
b a b;
a
P5
P6
b
a b o a b.
Se a ed b sono costanti, con b 0 , si ha:
x a b
a b x a b
Il valore assoluto della somma di due numeri reali è minore o uguale alla somma dei valori
assoluti dei singoli numeri, cioè:
a b a b 2
si ha:
ab a b ;
P7
a
a
b
b
Definizione: Nell’insieme dei numeri reali si definisce distanza euclidea dei numeri a e b il
numero non negativo:
La distanza euclidea gode delle seguenti proprietà:
NON NEGATIVITÀ
SIMMETRIA
DISUGUAGLIANZA
TRIANGOLARE
L’insieme dei numeri reali, grazie a queste proprietà, si dice che è uno spazio metrico euclideo.
2
Vale l’uguaglianza se a e b sono concordi.
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L’insieme dei numeri reali
INTERVALLI E INTORNI
Definizione: Si considerino i numeri reali a e b, con
, si definisce:
intervallo aperto di estremi a e b, l’insieme di tutti i numeri reali x tali che a
a
x b , cioè:
b
intervallo aperto a destra di estremi a e b, l’insieme di tutti i numeri reali x tali che a
x b,
cioè:
a
b
intervallo aperto a sinistra di estremi a e b, l’insieme di tutti i numeri reali x tali che a
x b,
cioè:
a
b
intervallo chiuso di estremi a e b, l’insieme di tutti i numeri reali x tali che a
a
x b , cioè:
b
Spesso per indicare gli intervalli aperti si utilizzano le parentesi tonde al posto delle parentesi
quadre, cioè:
con
si indica anche l’intervallo aperto a, b ;
con
si indica anche l’intervallo aperto a destra a, b ;
con
si indica anche l’intervallo aperto a sinistra a, b .
Esempio: L’intervallo aperto a destra 2,5 indica l’insieme di tutti i numeri reali che sono
compresi tra 2 e 5 ad esclusione dell’estremo 5.
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L’insieme dei numeri reali
Definizione: Si consideri il numero reale a, si definiscono:
intervalli illimitati inferiormente, rispettivamente aperto e chiuso, gli insiemi:
a
a
intervalli illimitati superiormente, rispettivamente aperto e chiuso, gli insiemi:
a
a
Osservazione: Esiste una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei numeri reali e l’insieme dei
punti di una retta orientata. Grazie a tale corrispondenza è possibile scambiare la parola numero con
la parola punto.
Definizione: Si definisce:
intorno completo di
intorno sinistro di
un qualsiasi intervallo aperto contenente x0 ;
un qualsiasi intervallo aperto a sinistra avente come estremo destro
x0 , cioè: a, x0 ;
intorno destro di
un qualsiasi intervallo aperto a destra avente come estremo sinistro x0
cioè: x0 , a ;
intorno di
intorno di
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ogni intervallo illimitato inferiormente;
ogni intervallo illimitato superiormente;
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L’insieme dei numeri reali
intorno di
ogni insieme di numeri reali del tipo:
a
b,
b
intorno circolare del punto x0 un qualsiasi intervallo aperto del tipo x0 a, x0 a
x
x-a
,a
x+a
intorno circolare di infinito un qualsiasi intervallo aperto del tipo
,a
a,
a
a
Nota
Generalmente gli intorni circolari del punto x0 si indicano con
essendo
un numero reale maggiore di zero che prende il nome di raggio dell’intorno di centro xa0
. Inoltre l’ampiezza di un siffatto intorno è pari a 2 .
Proposizione: L’intersezione di due intorni del punto x0 è un ancora un intorno del punto x0 .
INSIEMI LIMITATI E ILLIMITATI
Definizione: Si consideri un sottoinsieme non vuoto A di , si dice che l’insieme A è:
limitato superiormente se esiste un numero reale k , detto maggiorante di A, che risulta essere
maggiore o uguale di ogni elemento di A, cioè:
limitato inferiormente se esiste un numero reale h , detto minorante di A, che risulta essere
minore o uguale di ogni elemento di A, cioè:
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L’insieme dei numeri reali
illimitato superiormente se comunque si scelga un numero reale k esistono sempre elementi di
A che siano maggiori di k , cioè:
illimitato inferiormente se comunque si scelga un numero reale h esistono sempre elementi di
A che siano minori di h , cioè:
limitato se è limitato sia superiormente che inferiormente, cioè:
illimitato se non è limitato né superiormente né inferiormente.
Esempi:
1. L’insieme dei numeri razionali è illimitato.
2. L’insieme dei numeri naturali è limitato inferiormente ed illimitato superiormente.
ESTREMI DI UN INSIEME
Definizione: Sia A un sottoinsieme non vuoto di , se:
esiste un numero reale m
A tale che, per ogni x
A , si abbia m x , allora m prende il nome
di minimo di A e si scrive m min A ;
esiste un numero reale M
A tale che, per ogni x
nome di massimo di A e si scrive M
A , si abbia x M , allora M prende il
max A .
Osservazione: Ogni insieme finito e non vuoto di numeri reali ammette sempre massimo e minimo,
mentre se un insieme è infinito non è detto che li ammetta. Infatti l’insieme:
è dotato di massimo 1 max A , ma, anche se è limitato inferiormente dallo zero, non ammette
minimo (perché
).
Esempi:
1. L’intervallo 0,3 ha come massimo il numero 3, ma non ammette minimo.
2. L’insieme dei numeri naturali ammette lo 0 come minimo ma non ammette massimo, in quanto
non è limitato superiormente.
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L’insieme dei numeri reali
Dato che non sempre ha senso parlare di massimo e minimo di un insieme, si introduce il concetto
più generale di estremo superiore e di estremo inferiore di un insieme.
Definizioni:
1. Un numero reale l si dice estremo inferiore per l’insieme A
, e si indica con inf A , se:
a. ogni elemento di A è maggiore o uguale a l;
b. preso comunque
0 , esiste almeno un elemento di A tale che sia minore di l
2. Un numero reale L si dice estremo superiore per l’insieme A
.
, e si indica con sup A , se:
a. ogni elemento di A è minore o uguale a L;
b. preso comunque
0 , esiste almeno un elemento di A tale che sia maggiore di L
.
TEOREMA DELLA COMPLETEZZA
Se un insieme
di numeri reali è limitato superiormente, allora ammette uno e un solo
estremo superiore; se è limitato inferiormente allora ammette uno e un solo estremo inferiore.
IL CAMPO
È COMPLETO
Nota
Se un insieme è illimitato superiormente, ammette
illimitato inferiormente, ammette
come estremo superiore; invece se è
come estremo inferiore.
In base a ciò possiamo affermare che ogni sottoinsieme non vuoto di
ammette sempre un estremo
superiore e un estremo inferiore che possono essere finiti o meno.
Osservazione: Riprendendo l’insieme
possiamo notare che di certo
non ammette un minimo perché lo 0 non appartiene all’insieme, però tutti gli elementi di A sono
maggiori di zero e all’aumentare di n gli elementi di A “si avvicinano” sempre più allo 0 senza mai
raggiungerlo.
Quindi lo 0 è un limite inferiore per l’insieme A ed è il “più vicino” agli elementi di A, in quanto
ogni intorno destro di 0, anche se piccolissimo contiene sempre elementi di A. Per tale ragione si
parla di estremo inferiore di A. Ne deduciamo che l’estremo inferiore non è necessariamente un
punto di A.
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L’insieme dei numeri reali
Esempi:
1. L’intervallo a, b non ammette massimo in quanto è aperto a destra, ma b è il suo estremo
superiore. Invece a è l’estremo inferiore dell’intervallo ed è anche minimo.
2. Determiniamo estremi superiore ed inferiore dell’insieme
x
. Da
n 1
1
, segue che 1 x 2 , cioè che A è un insieme limitato e, per il teorema di
1
n
n
completezza, ammette estremo superiore ed estremo inferiore. Per n 1 si ottiene x
2 , di
conseguenza 2 max A sup A .
Essendo 1 x 2 , possiamo subito dire che 1 soddisfa la prima condizione della definizione di
estremo inferiore; proviamo la seconda condizione:
0, x
A: x 1
Bisogna quindi risolvere la seguente disuguaglianza:
1
1
1
n
da cui segue che:
1
n
Quindi tutti i numeri x
1
n
1
n 1
1
che si ottengo per valori di n maggiori di
risultano minori di
n
. Possiamo concludere che 1 inf A .
ELEMENTI DI TOPOLOGIA DELLA RETTA REALE
Definizioni: Sia A un sottoinsieme non vuoto di
e sia
. Il punto x0 si dice:
interno all’insieme A
se esiste un intorno
esterno all’insieme A
se esiste un intorno
che non contiene alcun punto di A, ovvero è
costituito solo da punti appartenenti al complementare di A, cioè:
di frontiera per A
tutto contenuto in A, cioè:
se non è né interno né esterno ad A, cioè se in ogni intorno di x0 cadono
di accumulazione per A
almeno un punto di A ed almeno un punto di AC
se in ogni intorno di x0 cadono infiniti punti di A
isolato per A
se esiste un intorno
cioè:
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che non ha punti in comune con A eccetto x0 ,
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L’insieme dei numeri reali
Esempio: Dimostrare che lo 0 è punto d’accumulazione per l’insieme
.
0 , nell’intorno –
Per dimostrare ciò basta dimostrare che preso comunque
cadono infiniti
punti di A.
Considerando
0
1
n
n
possiamo dedurre che per ogni valore di n maggiore di
1
1
si ricavano infiniti numeri di A tutti
e quindi anche nell’intervallo –
interni all’intervallo
. Lo 0 è quindi punto di
accumulazione per l’insieme A.
Osservazione: L’esempio mette in luce il fatto che un punto di accumulazione per un insieme può
non appartenere allo stesso, infatti lo 0 è punto d’accumulazione per A ma non appartiene ad A.
Teorema: Ogni sottoinsieme di
infinito e limitato ammette almeno un punto d’accumulazione.
È possibile generalizzare il suddetto teorema se si adottano le seguenti convenzioni:
o se A è un insieme non limitato, l’infinito è un punto di accumulazione;
o se A è un insieme non limitato inferiormente (superiormente), meno infinito (più infinito) è un
punto di accumulazione.
Teorema: Ogni sottoinsieme di
trova in un punto di
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infinito ammette sempre almeno un punto d’accumulazione che si
o all’infinito.
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L’insieme dei numeri reali
ESERCIZI
ESERCIZIO 1
Verificare che l’insieme
ammette come estremi superiore e inferiore
rispettivamente i numeri reali 5 e 3.
ESERCIZIO 2
Determinare l’estremo superiore e l’estremo inferiore del seguente insieme:
ESERCIZIO 3
Verificare che il numero reale x0
1 è un punto d’accumulazione per l’insieme
L’insieme A ammette punti isolati? In caso di risposta affermativa portare degli esempi.
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