Fiammetta Conforto — Francesco Oliveri
MATEMATICA DI BASE
Matematica di Base
Note per il Test di Accesso alla Facoltà di Scienze MM.FF.NN.
Università di Messina
Fiammetta Conforto — Francesco Oliveri
Dipartimento di Matematica
Facoltà di Scienze mm.ff.nn.
Università di Messina
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
c F. Conforto, F. Oliveri – 2011.
Queste note possono essere liberamente distribuite e riprodotte purché non
a fini commerciali.
Prodotto dagli autori mediante il sistema di composizione tipografica LATEX2.
2
Prefazione
Queste note contengono alcuni richiami alle nozioni matematiche di base
richieste per il superamento del test di ingresso ai corsi di laurea triennale
della Facoltà di Scienze MM.FF.NN. dell’Università di Messina. Tali nozioni
dovrebbero essere patrimonio di ogni studente che si accinge ad iscriversi
all’Università. In linea di principio queste note dovrebbero quindi essere
superflue, ma l’esperienza insegna che purtroppo così non è.
È comunque auspicabile che non siano inutili e che gli studenti–lettori
(muniti di un bloc notes e di una penna), svolgendo autonomamente gli esercizi (per molti dei quali è esplicitamente fornito il procedimento risolutivo,
con una pletora di dettagli a volte irritante), ne traggano qualche beneficio.
Negli esercizi le risposte esatte sono marcate con un asterisco. Se alla fine la
reazione della maggior parte dei lettori sarà di fastidio per avere tra le mani
del materiale a loro ben noto, gli autori si riterranno comunque soddisfatti.
Il materiale contenuto è tratto dalle presentazioni tenute l’anno scorso durante i corsi di allineamento organizzati dal Preside della Facoltà di
Scienze dell’Università di Messina, prof. Mario Gattuso. Altri colleghi del
Dipartimento di Matematica (Roberto Amato, Maddalena Bonanzinga, Patrizia Rogolino, Antoinette Tripodi) hanno contribuito nella formulazione
degli esercizi e nello svolgimento delle lezioni dei vari corsi di allineamento.
Il prof. Francesco Santoro (Liceo Scientifico Statale “Archimede” di Messina) è l’autore del modulo 5 sul calcolo combinatorio e la probabilità. Alcuni
dottorandi del Dottorato di Ricerca in Matematica (Serena Sammarco, Cecilia Spinelli, Paola Lea Staglianò) hanno altresì contribuito ad una versione
preliminare delle presentazioni.
Un’avvertenza è necessaria: nessuno scritto è esente da errori e/o imperfezioni, e questo non fa eccezione, anche alla luce del fatto che si tratta di una
versione 1.0. Gli autori hanno controllato il testo e gli esercizi, ma l’errore,
come il diavolo, è solito nascondersi nei dettagli! Segnalazioni di errori e/o
3
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
imprecisioni saranno gradite (E-mail: [email protected]) in modo da
produrre versioni più accurate.
Agosto 2011
Fiammetta Conforto, Francesco Oliveri
4
Indice
1 MATEMATICA DI BASE – MODULO 1
1.1 Insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Diagrammi di Eulero–Venn . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 L’insieme vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Operazioni tra insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Prodotto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Logica Booleana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Proprietà delle operazioni logiche . . . . . . . . . . .
1.2.3 Implicazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Numeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Massimo comune divisore e minimo comune multiplo
1.4.2 Fattoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Radice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Esponenziali e logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Numero di cifre di un numero . . . . . . . . . . . . .
1.5.5 Manipolazione di espressioni aritmetiche e notazione
scientifica dei numeri reali . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.6 Percentuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.3 Numeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Matematica di Base
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Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Numeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2 MATEMATICA DI BASE – MODULO 2
2.1 Espressioni letterali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Identità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Equazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Soluzione di un’equazione . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Classificazione delle equazioni . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Equazioni di primo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Principi di equivalenza . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Equazioni di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Casi particolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Soluzioni dell’equazione di secondo grado . . . . . . . .
2.3.3 Proprietà delle soluzioni di un’equazione di secondo grado
2.3.4 Regola di Cartesio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Disequazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Disequazioni quadratiche . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Metodo di sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.3 Metodo del confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.4 Metodo di riduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.5 Metodo di Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Espressioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Disequazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.3 Sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Espressioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2 Disequazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.3 Sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3 MATEMATICA DI BASE – MODULO 3
3.1 Matematica: concetti primitivi . . . . . . .
3.2 Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια) . . . .
3.2.1 Nozioni comuni . . . . . . . . . . .
3.2.2 Definizioni . . . . . . . . . . . . . .
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3.4
3.5
3.6
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F. Conforto, F. Oliveri
3.2.3 Postulati . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Figure piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Poligonali . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Poligono . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Punti notevoli di un triangolo . . . . . .
3.3.4 Triangoli simili . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Quadrilateri . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.6 Poligoni regolari . . . . . . . . . . . . . .
3.3.7 Circonferenza . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.8 Perimetro e area di figure piane . . . . .
3.3.9 Teoremi notevoli sui triangoli rettangoli .
Solidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Piano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Distanza tra due punti . . . . . . . . . .
3.5.2 Retta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Circonferenza . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Geometria piana . . . . . . . . . . . . .
3.6.2 Geometria solida . . . . . . . . . . . . .
3.6.3 Geometria analitica . . . . . . . . . . . .
Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Geometria piana . . . . . . . . . . . . .
3.7.2 Geometria solida . . . . . . . . . . . . .
3.7.3 Geometria analitica . . . . . . . . . . . .
4 MATEMATICA DI BASE – MODULO 4
4.1 Relazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Proprietà delle relazioni su un insieme A
4.2 Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Funzioni reali di variabile reale . . . . .
4.2.2 Rappresentazione grafica . . . . . . . . .
4.2.3 Grafici . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Funzioni iniettive . . . . . . . . . . . . .
4.2.5 Grafici e iniettività . . . . . . . . . . . .
4.2.6 Funzioni suriettive . . . . . . . . . . . .
4.2.7 Grafici e suriettività . . . . . . . . . . .
4.2.8 Funzioni biettive o biunivoche . . . . . .
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Matematica di Base
4.3
4.4
4.2.9 Grafici e biettività
4.2.10 Funzione composta
4.2.11 Funzione inversa .
4.2.12 Funzioni notevoli .
Esercizi svolti . . . . . . .
4.3.1 Funzioni . . . . . .
Esercizi proposti . . . . .
4.4.1 Funzioni . . . . . .
F. Conforto, F. Oliveri
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5 MATEMATICA DI BASE – MODULO 5
5.1 Calcolo Combinatorio . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Cenni storici . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Disposizioni semplici di n elementi a k a k
5.1.4 Permutazioni di n elementi . . . . . . . . .
5.1.5 Inversioni sulle permutazioni . . . . . . . .
5.1.6 Combinazioni di n elementi a k a k . . . .
5.1.7 Proprietà del coefficiente binomiale . . . .
5.1.8 Binomio di Newton . . . . . . . . . . . . .
5.2 Calcolo delle probabilità, cenni storici . . . . . . .
5.2.1 Giochi di dadi e calcolo delle probabilità .
5.3 Teoria della probabilità . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Teoria assiomatica . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Notazioni abbreviate . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Probabilità condizionata . . . . . . . . . .
5.3.4 Probabilità totale . . . . . . . . . . . . . .
5.3.5 Eventi indipendenti . . . . . . . . . . . . .
5.4 Paradossi nel calcolo delle probabilità . . . . . . .
5.4.1 Paradosso del compleanno . . . . . . . . .
5.4.2 Problema di Monty Hall . . . . . . . . . .
5.5 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Calcolo combinatorio . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Calcolo delle probabilità . . . . . . . . . .
5.6 Esercizi proposti . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1 Calcolo combinatorio . . . . . . . . . . . .
5.6.2 Calcolo delle probabilità . . . . . . . . . .
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. 182
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. 191
. 194
Capitolo 1
MATEMATICA DI BASE –
MODULO 1
Insiemi — Logica — Numeri
1.1
Insiemi
Intuitivamente, con il termine insieme si indica una collezione di oggetti
chiamati elementi.
Gli elementi di un insieme lo caratterizzano univocamente.
x∈A
x∈
/A
l’elemento x appartiene all’insieme A;
l’elemento x non appartiene all’insieme A.
Due insiemi coincidono se e solo se hanno gli stessi elementi, cioè, due
insiemi A e B coincidono se per ogni elemento x tale che x ∈ A risulta x ∈ B,
e per ogni elemento x ∈ B risulta x ∈ A, o, più concisamente:
A=B
⇔
(∀x ∈ A ⇒ x ∈ B) e (∀x ∈ B ⇒ x ∈ A).
Nota 1 Il simbolo ∀ (quantificatore universale) si legge “per ogni”. L’altro
quantificatore, ∃ (quantificatore esistenziale), che presto farà la sua comparsa, si legge “esiste”. Il simbolo ⇒ si legge “implica”, mentre il simbolo ⇔ si
legge “è equivalente”.
9
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Un insieme può essere descritto in maniera estensiva (elencando gli elementi che lo compongono), ad esempio
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},
o in maniera intensiva (le proprietà possedute dai suoi elementi), ad esempio
A = {gli studenti di quest’aula il cui compleanno cade in settembre}.
Per gli elementi di un insieme non si fa caso all’ordine degli elementi.
Quindi
A = {x, y, z} e B = {y, z, x}
rappresentano lo stesso insieme.
Un insieme B si dice sottoinsieme dell’insieme A, e si indica con
B ⊆ A,
se e solo se per ogni elemento x ∈ B risulta x ∈ A, o, più concisamente:
B⊆A
⇔
∀ x ∈ B ⇒ x ∈ A.
Se esiste almeno un elemento x ∈ A che non appartiene a B (cioè x ∈
/ B)
allora si dice che B è una parte propria di A e si scrive
B ⊂ A;
più concisamente si scrive:
B⊂A
⇔
(∀ x ∈ B ⇒
x ∈ A) e (∃x ∈ A tale che x ∈
/ B).
In particolare, due insiemi A e B coincidono se risulta
B ⊆ A e A ⊆ B.
Due insiemi si dicono disgiunti se non hanno elementi in comune:
(∀x ∈ A
⇒
x∈
/ B) e (∀x ∈ B
10
⇒
x∈
/ A).
Matematica di Base
1.1.1
F. Conforto, F. Oliveri
Diagrammi di Eulero–Venn
Un diagramma di Eulero–Venn è la rappresentazione grafica di un insieme
che consiste nel racchiuderne gli elementi all’interno di una regione delimitata
da una linea chiusa non intrecciata.
Gli elementi dell’insieme vengono evidenziati con punti interni alla regione, gli elementi che non appartengono all’insieme con punti esterni ad
essa.
A⊂B
1.1.2
Insiemi disgiunti
L’insieme vuoto
Si chiama insieme vuoto l’insieme che non contiene nessun elemento. Tale
insieme si indica con il simbolo ∅ oppure con le parentesi graffe aperte e
chiuse
{} (insieme vuoto).
L’insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi altro insieme (incluso se stesso).
L’insieme vuoto è importante per definire in maniera generale le operazioni tra insiemi.
11
Matematica di Base
1.1.3
F. Conforto, F. Oliveri
Operazioni tra insiemi
L’unione di due insiemi A e B,
A ∪ B,
è l’insieme formato da tutti gli elementi che appartengono all’insieme A o
all’insieme B o a entrambi.
L’intersezione di due insiemi A e B,
A ∩ B,
è l’insieme formato da tutti gli elementi che appartengono ad entrambi gli
insiemi A e B.
La differenza B meno A,
B \ A,
è data dall’insieme formato dai soli elementi di B che non appartengono ad
A,
B \ A = {x : x ∈ B e x ∈
/ A}.
La differenza tra B e A si dice anche complementare di A rispetto a B.
La differenza simmetrica tra due insiemi è l’insieme degli elementi che
appartengono ad A e non a B oppure che appartengono a B e non ad A:
A ∆ B = (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B).
Nota 2 Nella definizione di insiemi il simbolo “:” si legge “tale che”.
Esempio 1
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},
B = {4, 5, 6, 7, 8, 9},
A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
A ∩ B = {4, 5, 6, 7},
A \ B = {0, 1, 2, 3},
A ∆ B = {0, 1, 2, 3, 8, 9}.
12
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Dati due insiemi A, ed U, con A ⊆ U, si definisce complementare di A
rispetto ad U l’insieme formato dagli elementi che appartengono ad U ma
non appartengono ad A:
A = {x : x ∈ U e x ∈
/ A}.
Nella figura seguente il complementare di A rispetto ad U è identificata dalla
parte in rosso.
Esempio 2
A = {x : x numero intero e 0 < x < 12}
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15}
A∪B
A∩B
A\B
A∆B
1.1.4
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
= {1, 3, 5, 7, 9, 11}
= {2, 4, 6, 8, 10}
= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 13, 14, 15}
Prodotto cartesiano
Il prodotto cartesiano di due insiemi A e B è l’insieme di tutte le possibili
coppie ordinate (a, b) con a ∈ A e b ∈ B:
A × B = {(a, b) : a ∈ A e b ∈ B}.
Esempio 3 Se
A = {a, b, c},
B = {1, 2, 3, 4}
risulta
A × B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4),
(c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}.
13
Matematica di Base
1.2
F. Conforto, F. Oliveri
Logica
La Logica classica è la scienza che tratta tutta la validità e le articolazioni
di un discorso in termini di nessi inferenziali relativamente alle proposizioni che lo compongono. La prima formulazione della logica come scienza
propedeutica a ogni possibile conoscenza si deve ad Aristotele.
La logica aristotelica si basa sul fatto che esistono solo due valori di verità:
Vero (V) e Falso (F).
Ogni proposizione è Vera oppure (in senso esclusivo) Falsa.
È questo il cosiddetto Principio del Terzo Escluso (tertium non datur ).
1.2.1
Logica Booleana
A metà dell’Ottocento George Boole (1815–1864), evidenziando l’analogia
tra i simboli che rappresentano le proposizioni logiche e opportuni simboli
algebrici, ridusse la logica ad una disciplina matematica.
Boole ha di fatto creato un’algebra, detta Algebra Booleana, che opera su
variabili logiche, cioè, variabili in grado di assumere due soli valori, vero, che
nel seguito indicheremo con il simbolo V, e falso, che nel seguito indicheremo
con il simbolo F. L’Algebra Booleana è il fondamento del funzionamento
dei calcolatori elettronici digitali in quanto tutte le operazioni si possono
ricondurre a particolari operazioni logiche.
Le operazioni logiche sono operazioni che coinvolgono delle variabili logiche e che danno come risultato delle variabili logiche. Poiché una variabile
logica ha due possibili valori (vero o falso), è comodo identificare questi due
valori di verità con i due simboli dell’alfabeto binario: possiamo identificare
il simbolo 0 con il valore di verità F, e il simbolo 1 con il valore di verità
V. Le operazioni logiche fondamentali sono not, or, and e xor. Chiariremo il significato di queste operazioni logiche specificando la corrispondente
tavola di verità (che è l’analogo delle tabellina di un’operazione aritmetica),
indicando le variabili logiche con delle lettere minuscole, a, b, . . . .
Cominciamo con l’operazione not: si tratta di un’operazione unaria, che
richiede un solo argomento. Essa non è altro che l’operazione di negazione
logica: restituisce un risultato falso se il suo argomento è vero, mentre restituisce il valore vero se il suo argomento è falso. La corrispondente tavola di
verità è la seguente:
14
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
a
F
V
not(a)
V
F
Quando non c’è pericolo di ambiguità, si usa la notazione compatta a per
indicare not(a), essendo a una variabile logica.
L’operazione logica or (detta anche “o” non esclusivo, somma logica,
oppure disgiunzione logica: corrisponde al termine latino vel ) è un’operazione
binaria che restituisce il valore di verità falso solo nel caso in cui entrambi gli
operandi sono falsi, e vero in tutti gli altri casi. Una notazione alternativa
per (a or b) è (a ∨ b).
L’operazione logica and (detta anche “e” logico, congiunzione logica, oppure prodotto logico) è un’operazione binaria che fornisce un risultato vero
solo quando entrambi gli operandi sono veri, e falso in tutti gli altri casi. Una
notazione alternativa per (a and b) è (a ∧ b).
L’operazione logica xor (“o” esclusivo, corrispondente al termine latino
aut; il nome xor è un acronimo di “eXclusive OR”) è un’operazione binaria
che dà come risultato il valore di verità vero quando i suoi due operandi sono
diversi, mentre dà come risultato il valore di verità falso quando i suoi due
operandi sono uguali1 .
Le tavole di verità delle operazioni logiche or, and e xor sono presto
scritte:
a
V
V
F
F
b
V
F
V
F
a or b a and b a xor b
V
V
F
V
F
V
V
F
V
F
F
F
È facile vedere che l’operazione di xor può essere ricondotta ad una
opportuna combinazione di operazioni not, or ed and. Infatti, sussiste
l’identità
a xor b = (not(a) and b) or (a and not(b)),
che si dimostra confrontando le tavole di verità di entrambi i membri,
1
In italiano, ‘o’ e ‘oppure’ vengono usati indifferentemente sia in senso esclusivo (ad es.,
“o ti mangi questa minestra o ti butti dalla finestra”) che in senso non esclusivo (ad es.,
“si assumono individui di sesso maschile o femminile”). In latino, invece, i due significati
erano associati a parole diverse: vel per il senso non esclusivo, ed aut per il senso esclusivo.
15
Matematica di Base
a
V
V
F
F
b
V
F
V
F
F. Conforto, F. Oliveri
(a and b) or (a and b) a xor b
F
F
V
V
V
V
F
F
da cui si evince la coincidenza delle ultime due colonne.
1.2.2
Proprietà delle operazioni logiche
Le operazioni logiche verificano alcune proprietà che si chiamano tautologie,
in quanto sono verificate per ogni possibile valore di verità dei loro argomenti.
Consideriamo le tautologie che riguardano le operazioni not, or e and.
Doppia negazione:
not(not(a)) = a,
che corrisponde alla nota asserzione “due negazioni affermano.”
Proprietà Commutativa:
a or b = b or a;
a and b = b and a.
Proprietà Associativa:
(a or b) or c = a or (b or c);
(a and b) and c = a and (b and c).
Proprietà di Idempotenza:
a or V = V;
a and V = a;
a or F = a;
a and F = F.
Proprietà Distributiva:
a or (b and c) = (a or b) and (a or c);
a and (b or c) = (a and b) or (a and c).
Leggi di De Morgan:
not(a or b) = (not(a)) and (not(b));
not(a and b) = (not(a)) or (not(b)).
16
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Per quando riguarda l’operazione logica xor si hanno, tra le altre, le
seguenti tautologie (identità logiche vere qualunque sia il valore di verità
delle proposizioni logiche coinvolte):
a xor b = b xor a;
(a xor b) xor c = a xor (b xor c);
a xor V = not(a);
a xor F = a;
not(a xor b) = (a or not(b)) and (not(a) or b).
Dimostriamo, in particolare, l’ultima tautologia:
not(a xor b) = not((not(a) and b) or (a and not(b))) =
= not(not(a) and b) and not(a and not(b)) =
= (a or not(b)) and (not(a) or b).
1.2.3
Implicazione
La notazione
p ⇒ q,
dove p e q sono delle espressioni logiche, indica che da p segue q. L’implicazione è vera
1. se p è vera e q è vera,
2. se p è falsa e q è vera,
3. se p è falsa e q è falsa,
ed è falsa solo se p è vera e q è falsa. I casi 2 e 3 corrispondono alla ben nota
proprietà che da una proposizione falsa è possibile dedurre qualunque cosa.
Non è difficile rendersi conto delle seguenti equivalenze:
p⇒q
p⇒q
⇔
⇔
not(p) or q;
not(q) ⇒ not(p).
17
Matematica di Base
1.3
F. Conforto, F. Oliveri
Numeri
Insiemi importanti in Matematica sono quelli i cui elementi sono i numeri.
I numeri sono rappresentati mediante cifre, secondo un sistema di numerazione (decimale, binario, ottale, esadecimale, . . . ).
1. Numeri Naturali: N = {0, 1, 2, 3, . . .}.
2. Numeri Relativi: Z = {0, ±1, ±2, ±3 . . .}.
3. Numeri Razionali: Q = {
m
con m, n ∈ Z, n 6= 0}.
n
15
−3
3
3
,
=
=− .
229
4
−4
4
3
,
2
√
4. Numeri Irrazionali: 2 = 1.414 . . ., π = 3.14159 . . ., e = 2.71828 . . ..
5. Numeri Reali: R, unione dei Razionali e degli Irrazionali.
√
6. Numeri Complessi: C = {a + ib : a, b ∈ R, i = −1}.
3 + 5i,
1.4
2.45 − 3.61i,
3 π
+ i.
5 6
Numeri interi
Un numero primo è un numero naturale che è divisibile solamente per se
stesso e per 1.
I numeri primi sono infiniti (dimostrato da Euclide nel IV secolo a.C.):
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, . . .
Un numero composto è un numero naturale che ha più di due divisori;
6 = 2 × 3,
280 = 2 × 2 × 2 × 5 × 7
sono esempi di numeri composti.
Teorema 1 (Teorema fondamentale dell’Aritmetica) Ogni numero naturale diverso da 1 può essere scomposto nel prodotto di numeri primi. Tale
scomposizione è unica a meno dell’ordine dei fattori.
23244 = 2 × 2 × 3 × 13 × 149.
18
Matematica di Base
1.4.1
F. Conforto, F. Oliveri
Massimo comune divisore e minimo comune multiplo
Il massimo comune divisore (MCD) di due interi è il più grande numero
naturale che li divide entrambi. Ad es.,
M CD(30, 18) = 6,
M CD(242, 180) = 2.
Due numeri a, b si dicono coprimi se M CD(a, b) = 1.
Il minimo comune multiplo (mcm) di due interi è il più piccolo numero
naturale multiplo di entrambi. Ad es.,
mcm(30, 18) = 90.
Vale la relazione
mcm(a, b) =
a·b
.
M CD(a, b)
M CD(23244, 1456)
Scomposizione in fattori primi:
23244 = 22 × 3 × 13 × 149,
1456 = 24 × 7 × 13.
Dunque:
M CD(23244, 1456) = 22 × 13 = 52,
23244 × 1456
mcm(23244, 1456) =
= 650832.
52
Usare la scomposizione in fattori primi per calcolare il MCD (e anche il
mcm) non è il metodo più efficiente.
Si può calcolare il MCD di due numeri più facilmente che scomponendo
in primi ricorrendo alle seguenti proprietà:
•
M CD(m, 0) = m se m 6= 0;
•
M CD(m, n) = M CD(m − n, n),
se m > n;
•
M CD(m, n) = M CD(n, r),
dove r è il resto della divisione tra m ed n.
19
se n > 0,
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
L’ultima proprietà (alla base del cosiddetto Algoritmo di Euclide) è quella
che rende il calcolo del massimo comune divisore più veloce.
Esempio 4 Per calcolare
MCD(23244, 1456)
si divide 23244 per 1456 (quoziente 15 e resto 1404). Dunque
MCD(23244, 1456) = MCD(1456, 1404).
Si divide 1456 per 1404 (quoziente 1 e resto 52) e quindi
MCD(1456, 1404) = MCD(1404, 52).
Si divide 1404 per 52 (quoziente 27 e resto 0) da cui
MCD(1404, 52) = MCD(52, 0) = 52.
Esempio 5 Per calcolare
MCD(31287 + 1, 31287 − 1)
l’uso del metodo di cui all’esercizio precedente non è agevole (i numeri coinvolti hanno più di 600 cifre!).
IL MCD si può calcolare semplicemente facendo la differenza tra i due
numeri; si ha:
MCD(31287 + 1, 31287 − 1) = MCD(2, 31287 − 1).
Poiché il secondo numero è pari (e quindi divisibile per 2), il MCD è
semplicemente 2.
Il MCD e il mcm sono fondamentali nella manipolazione delle frazioni.
I numeri razionali non hanno una rappresentazione unica! Le frazioni
3
,
4
6
,
8
21
,
28
rappresentano tutte lo stesso numero 0.75.
20
−243
−324
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
La rappresentazione è unica se si considerano le frazioni ridotte ai minimi
termini, in cui numeratore e denominatore non hanno fattori in comune
(basta dividerli per il loro MCD). Ad es.,
23244
23244/52
447
=
=
.
1456
1456/52
28
Il mcm serve quando si eseguono operazioni aritmetiche tra numeri razionali.
E il MCD per semplificare eventualmente il risultato.
1
7
5
9 + 14 − 5
18
1
+
−
=
=
= .
4 18 36
36
36
2
1.4.2
Fattoriale
Dato un numero intero positivo n, si definisce il fattoriale di n:
n! = 1 · 2 · · · (n − 1) · n,
dato dal prodotto dei primi n naturali. Per definizione, nonché per consistenza logica, è
0! = 1.
1.5
Numeri reali
Quando si opera con i numeri reali si ha spesso a che fare con intervalli. Nel
seguito a e b sono numeri reali assegnati con a ≤ b.
• Intervalli chiusi:
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b};
• Intervalli aperti a sinistra:
]a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b};
• Intervalli aperti a destra:
[a, b[= {x ∈ R : a ≤ x < b};
21
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
• Intervalli aperti:
]a, b[= {x ∈ R : a < x < b}.
• Intervalli aperti illimitati a destra:
]a, +∞[= {x ∈ R : x > a}.
• Intervalli chiusi illimitati a destra:
[a, +∞[= {x ∈ R : x ≥ a}.
• Intervalli aperti illimitati a sinistra:
] − ∞, a[= {x ∈ R : x < a}.
• Intervalli chiusi illimitati a sinistra:
] − ∞, a] = {x ∈ R : x ≤ a}.
• Intervallo illimitato a destra e a sinistra:
] − ∞, +∞[= R.
Le disuguaglianze tra numeri reali possono essere manipolate utilizzando
le seguenti proprietà:
a<b
a≤b
a<b
a≤b
a<b
a≤b
a<b
a≤b
a<b
a≤b
⇔ a + c < b + c, ∀a, b, c ∈ R,
⇔ a + c ≤ b + c, ∀a, b, c ∈ R,
⇔ a · c < b · c, ∀a, b, c ∈ R, c > 0,
⇔ a · c ≤ b · c, ∀a, b, c ∈ R, c > 0,
⇔ a · c > b · c, ∀a, b, c ∈ R, c < 0,
⇔ a · c ≥ b · c, ∀a, b, c ∈ R, c < 0,
e c < d ⇒ a + c < b + d, ∀a, b, c, d ∈ R,
e c < d ⇒ a + c < b + d, ∀a, b, c, d ∈ R,
e c ≤ d ⇒ a + c < b + d, ∀a, b, c, d ∈ R,
e c ≤ d ⇒ a + c ≤ b + d, ∀a, b, c, d ∈ R.
22
Matematica di Base
1.5.1
F. Conforto, F. Oliveri
Potenze
Dato un numero reale x e un numero naturale n la potenza n–esima di x,
xn ,
è data dal prodotto
xn = x
· . . . · x} .
| · x {z
n volte
Proprietà delle potenze.
x0 = 1 (a patto che x 6= 0, altrimenti è indeterminato),
xm · xn = xm+n ,
xm
= xm−n ,
n
x
(xm )n = xm·n .
1.5.2
Radice
La radice n–esima (n numero naturale) del numero x,
tale che y n = x, cioè
√
y = n x ⇔ y n = x.
√
n
x, è quel numero y
Se n è pari x non può essere negativo.
Dalla definizione di radice n–esima e dalle proprietà delle potenze, si può
scrivere
√
n
x = x1/n .
1.5.3
Esponenziali e logaritmi
Generalizzando il concetto di potenza, si può introdurre il concetto di esponenziale,
ax ,
dove a > 0 è un numero reale positivo, e x è un numero reale. Per definire
ax è opportuno prima definire ex , dove
e ≈ 2.718281828459045 . . .
23
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
è il numero di Nepero. L’esponenziale ex si definisce come somma della serie
infinita
∞
X
x2 x3 x4
xk
ex = 1 + x +
+
+
... =
.
2
3!
4!
k!
k=0
Il logaritmo in base e (logaritmo naturale) di un numero x > 0,
ln x,
è il valore y per cui ey = x. Si ha dunque che il logaritmo naturale è
l’operazione inversa dell’esponenziale ex , cioè,
x = ey ,
⇔
y = ln x
o, anche:
eln x = x ∀x > 0,
ln ex = x ∀x ∈ R.
A partire da ex si può definire l’esponenziale ax di base a come segue:
ax = e(ln a)x .
Valgono le seguenti identità:
a0 = 1,
1
a−1 = ,
a
a1 = a,
(ax )y = axy ,
ax ay = ax+y ,
ax
= ax−y .
ay
Oltre a quelli naturali, importanti logaritmi sono quelli in base 10 (log10 x),
e, per il loro uso in Informatica, i logaritmi in base 2 (log2 x).
In generale, presa una generica base a positiva e diversa da 1, possiamo
definire il logaritmo in base a di x, loga x. Risulta
y = loga x
⇔
x = ay ,
o, anche:
aloga x = x ∀x > 0,
loga ax = x ∀x ∈ R.
Valgono le seguenti relazioni:
loga 1 = 0,
loga xn = n loga x,
logb a = 1/loga b,
loga (x · y) = loga x + loga y,
loga (x/y) = loga x − loga y,
logb a = logc a/logc b.
24
Matematica di Base
1.5.4
F. Conforto, F. Oliveri
Numero di cifre di un numero
Il logaritmo in base 10 può essere usato per sapere con quante cifre si
rappresenta un numero nel sistema decimale. Poiché è:
log10 1 = 0,
log10 100 = 2, . . . , log10 10n = n, . . .
log10 10 = 1,
e
x<y
⇒
log10 x < log10 y,
aggiungendo 1 alla parte intera del logaritmo in base 10 di un numero si
ottiene il numero di cifre della sua rappresentazione decimale.
Numero di cifre(1952799 ) = 1 + log10 1952799 = 1 + 2799 log10 195 ≈ 6410
Per sapere quanti bit ha la rappresentazione binaria di un numero, in
maniera analoga basta aggiungere 1 al logaritmo in base 2.
1.5.5
Manipolazione di espressioni aritmetiche e notazione scientifica dei numeri reali
Esempio 6
1
3
4
=
4
1 · 34
4
3
=
= .
3 4
1
3
·
4 3
Esempio 7
1
3
8
9
4+9
3
4
12
=
7
32−63
4
36
13 −36
· 31
12
−31 −36 =
· 31
36
+
−
=
13
12
−31
36
468
− 372
=
1
=
=−
39
31
Nella notazione scientifica i numeri reali vengono rappresentati con una
1
mantissa compresa tra 10
e 1 (escluso) moltiplicata per una opportuna potenza del 10.
710 = 0.71 · 103
0.0013609 = 0.13609 · 10−2
25
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Esempio 8
0.9 · 105
0.9 105
0.9
· 107 = 0.03 · 107 = 3 · 105 .
=
=
−2
−2
30 · 10
30 10
30
Esempio 9
10−8
1
= · 10−8 = 0.5 · 10−8 = 5 · 10−9 .
2
2
−8
Il risultato non è né 5 né 10−4 (come qualche buontempone potrebbe
pensare)!
Esempio 10
10−2 + 0.5 · 10−3
1 · 10−2 + 0.05 · 10−2
=
=
2 + 3.2 · 10−2
2 + 0.032
1.05
(1 + 0.05) · 10−2
=
· 10−2 = 0.516732 · 10−2
=
2.032
2.032
Esempio 11
√
√
72
23 · 32
√
√
=
=
3
3
54
2 · 33
√
(23 · 32 )1/2
23/2 · 3
23/2
6
7/6
1+1/6
=
=
=
=
2
=
2
=
2
2.
3
1/3
1/3
1/3
(2 · 3 )
2 ·3
2
Esempio 12 Il numero più grande tra
45
46
e
46
47
è il secondo, perché
45 · 47 < 462 .
Esempio 13 Individuare i due numeri interi consecutivi tra i quali è compreso il numero
√
27 + 1.
√
27 è maggiore di 5 (52 = 25) e minore di 6 (62 = 36), cioè
√
√
√
5 < 27 < 6 ⇒ 5 + 1 < 27 + 1 < 6 + 1 ⇒ 6 < 27 + 1 < 7.
26
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Esempio 14 Stimare (senza usare la calcolatrice) il numero
√
√
3
141 − 5.
Si ha:
√
3
√
3
√
141 > 5 perché 141 > 53 = 125;
141 < 6 perché 141 < 63 = 216;
5 è compreso tra 2 e 3.
Dunque:
√
√
3
5 < 141 < 6, 2 < 5 < 3,
√
√
3
5 + (−3) < 141 + (− 5) < 6 + (−2)
1.5.6
√
−3 < − 5 < −2.
√
√
3
⇒ 2 < 141 − 5 < 4.
Percentuali
Il p% di una quantità x si calcola moltiplicando x per p e dividendo il risultato
per 100. Ad es.,
Il 17% di 234 è :
1989
234 · 17
=
= 39.78.
100
50
Che valore assume una quantità x se viene aumentata del p%?
x+x·
p
x(100 + p)
=
.
100
100
Ad es., se x = 35 e p = 7, il valore che si ottiene è
35(100 + 7)
749
=
= 37.45.
100
20
Se una quantità x, diminuita del p% vale y, quanto vale x? Deve essere:
y =x−x
p
x(100 − p)
=
100
100
⇒
x=
100y
.
100 − p
Se nel periodo dei saldi una maglietta, scontata del 30%, viene pagata
59.99 Euro, il prezzo originale era:
100 · 59.99
= 85.70 Euro.
100 − 30
27
Matematica di Base
1.6
F. Conforto, F. Oliveri
Esercizi svolti
1.6.1
Insiemi
1. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) Se A ∩ B = A, allora A = B
b) Se A \ B = A, allora B è vuoto
c) Se A ∪ B = B, allora A ⊆ B
(∗)
d) Nessuna delle precedenti
Svolgimento. Esaminando la risposta a), l’affermazione A ∩ B = A
implica, per definizione di intersezione tra 2 insiemi, che A ⊆ B. È
quindi chiaro che la risposta a) è errata, perché l’affermazione fatta
risulta essere vera anche se A ⊂ B. Esaminando la risposta b), l’affermazione A \ B = A implica che gli elementi dell’insieme B non possono
essere contenuti nell’insieme A, ovvero che gli insiemi A e B hanno
intersezione vuota, e quindi che l’insieme B sia vuoto è solo una possibilità. Esaminando la risposta c), l’affermazione A ∪ B = B implica,
per definizione di unione di 2 insiemi, che A ⊆ B. È quindi chiaro
che la risposta c) è esatta. Pertanto, la risposta d) non può che essere
errata.
2. Se A \ B = A allora
a) B = ∅
b) A ⊆ B
c) B ⊆ A
d) A ∩ B = ∅ (∗)
Svolgimento. L’affermazione A \ B = A implica che gli elementi
dell’insieme B non possono essere contenuti nell’insieme A, ovvero che
gli insiemi A e B hanno intersezione vuota, e quindi la risposta esatta è
la c). La risposta a) è sbagliata perché che l’insieme B sia vuoto è solo
una possibilità. Se fossa vera la risposta b), si avrebbe che A \ B = ∅.
Se fossa vera la risposta c), si avrebbe che se B ⊂ A, allora A \ B ⊂ A,
se invece A = B, allora A \ B = ∅.
28
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
3. Dati gli insiemi A e B tali che A ⊂ B, quale delle seguenti affermazioni
è vera?
a) A ∩ B = B
b) A ∪ B = A
c) A ∩ B ⊆ B
(∗)
d) A ∪ B ⊆ A
Svolgimento. L’affermazione A ⊂ B implica che A ∩ B = A ⊂ B e
quindi a) è falsa e c) è vera. Per completezza, l’affermazione A ⊂ B
implica che A ∪ B = B ⊂ B e quindi sono false anche le b) e d).
4. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) Se A ∩ B = A, allora A ⊆ B
(∗)
b) Se A ∪ B = A, allora B è vuoto
c) Se a ∈ A e a ∈ A \ B, allora a ∈ B
d) Se A ha 10 elementi e B ha 7 elementi, allora A \ B ha 3 elementi
Svolgimento. Esaminando la risposta a), l’affermazione A ∩ B = A
implica, per definizione di intersezione tra 2 insiemi, che A ⊆ B. È
quindi chiaro che la risposta a) è esatta. Esaminando la risposta b),
l’affermazione A ∪ B = A implica che B ⊆ A e quindi che l’insieme B
sia vuoto è solo una possibilità. La risposta c) è certamente falsa in
quanto l’affermazione a ∈ A \ B implica, per definizione di differenza
di 2 insiemi, che a ∈
/ B. La risposta d) è anch’essa certamente falsa in
quanto, per definizione di differenza di 2 insiemi, l’affermazione è vera
solo nell’ulteriore ipotesi che B ⊂ A, cioè che i 7 elementi di B siano
tutti contenuti nell’insieme A.
5. Se A \ B = ∅ allora
a) A = B
b) A ⊆ B
(∗)
c) A = ∅
d) Nessuna delle precedenti affermazioni è vera
29
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Svolgimento. L’affermazione A \ B = ∅ implica che gli elementi dell’insieme A devono appartenere tutti anche all’insieme B, cioè A ⊆ B, e
quindi la risposta esatta è la b). Le risposte a) e c) sono casi particolari
della più generale risposta b).
1.6.2
Logica
1. Se si afferma che “tutte le persone ricche sono felici ”, quale frase si
puòcertamente dedurre dall’affermazione fatta?
a) Se una persona è infelice, allora è povera
(∗)
b) Ogni persona felice è ricca
c) Tutte le persone felici sono ricche
d) Non esistono persone povere e felici
Svolgimento. L’affermazione
A
⇒
B,
che in questo caso coincide con la seguente affermazione
ricco
⇒
felice ,
equivale logicamente all’implicazione
B
⇒
A,
infelice
⇒
povero ,
e cioè
e quindi la risposta esatta è la a). Tutte le altre risposte sono logicamente errate.
2. Se non è vero che “ogni adolescente italiano pratica il calcio o il basket”,
allora quale delle seguenti affermazione è vera?
a) Nessun adolescente italiano pratica il calcio o il basket
b) Gli adolescenti italiani non praticano né il calcio né il basket
c) Almeno un adolescente italiano non pratica alcun tipo di sport
30
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
d) Qualche adolescente italiano non pratica né il calcio, né il basket
(∗)
Svolgimento. La negazione logica dell’affermazione “ogni adolescente
italiano pratica il calcio o il basket” è “almeno un adolescente italiano
non pratica né il calcio, né il basket”, e quindi la risposta esatta è la
d). Tutte le altre risposte sono logicamente errate.
3. In un palazzo abitano 15 bambini; di questi, 5 hanno la bicicletta, 7 il
pallone e 3 sia la bicicletta, che il pallone. Quanti di loro non hanno
né la bicicletta, né il pallone?
a) 0
b) 6
(∗)
c) 5
d) 9
Svolgimento. Dei 15 bambini, 5 hanno la bicicletta (e potrebbero
avere anche il pallone), 7 il pallone (e potrebbero avere anche la bicicletta) e 3 sia la bicicletta, che il pallone. In definitiva, il numero di
bambini che hanno almeno una delle 2 cose è: 5 + 7 − 3 = 9. Il numero
di bambini che non hanno né la bicicletta, né il pallone è: 15 − 9 = 6.
4. Se p è la proposizione a ∧ b, quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) p è vera se a è falsa
(∗)
b) p è vera solo se a è falsa
c) Se a è vera, allora p è falsa
d) Se b è vera, allora p è falsa
Svolgimento. La proposizione p si può scrivere equivalentemente come
segue:
p = a ∧ b = a ∨ b = a ∨ b,
cioè p è vera o se a è falsa, o se b è vera. La risposta esatta è quindi
la a). La risposta b) è falsa perché p è vera anche se è vera solo b. La
risposta c) è falsa perché, anche se a è vera, p è vera se è vera solo b.
La risposta d) è falsa perché, se b è vera, p è certamente vera.
31
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
5. Sia p la proposizione a ∨ b. Sapendo che b è una proposizione vera,
quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) Se a è vera, allora p è vera
b) p è vera solo se a è vera
c) Se a è falsa, allora p è vera
(∗)
d) Se a è falsa, allora p è falsa
Svolgimento. La proposizione p si può scrivere equivalentemente come
segue:
p = a ∨ b = a ∧ b = a ∧ b,
cioè p è vera se a è falsa e contemporaneamente b è vera. La risposta
esatta è quindi la c). La risposta a) è falsa perché se a è vera, allora
p è certamente falsa. La risposta b) è falsa perché, come abbiamo già
osservato, se a è vera, allora p è certamente falsa. La risposta d) è falsa
perché a è falsa, allora p può essere vera.
1.6.3
Numeri
1. Dati i numeri
1 π
1 27
2
, − ,
, − ,
π
4 2
5 10
quali delle seguenti affermazioni è vera?
e,
1
1
2
π
27
a) − < − < < < e <
5
4
π
2
10
1
1
2
π
27
b) − < − < < < e <
4
5
π
2
10
1
1
2
π
27
c) − < − < < <
< e (∗)
4
5
π
2
10
d) nessuna delle precedenti affermazioni è vera
Svolgimento. I numeri certamente più piccoli sono quelli negativi e
cioè −1/4 e −1/5; per stabilire il loro ordinamento procediamo con le
seguenti considerazioni:
4<5
⇒
1
1
<
5
4
32
⇒
1
1
− <− ;
4
5
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
il numero successivo nel senso dell’ordinamento è certamente 2/π, poiché è l’unico numero positivo minore di 1 perché il numeratore è minore
del denominatore (π = 3.14 . . .), mentre i rimanenti numeri sono tutti
maggiori di 1 (il loro numeratore è maggiore del denominatore) e quindi
possiamo affermare che
1
2
1
− <− < ;
4
5
π
dalla relazione
3 < π = 3.14 . . . < 4
dividendo l’intera disuguaglianza per 2, si ha:
1.5 =
3
π
4
< < = 2;
2
2
2
infine, poiché e = 2.718 . . . e dalla relazione
20 < 27 < 30
dividendo l’intera disuguaglianza per 10, si ha:
2=
27
30
20
<
= 2.7 <
= 3,
10
10
10
possiamo affermare che tra i 3 numeri rimanenti la relazione d’ordine è
la seguente
π
27
<
< e,
2
10
e la risposta esatta è dunque la c).
p
√
√
2. Dati i numeri 3 3 , 5 5 , 3 log3 30, quali delle seguenti affermazioni è
vera?
p
√
√
a) 3 3 < 3 log3 30 < 5 5
p
√
√
b) 3 log3 30 < 3 3 < 5 5
p
√
√
c) 5 5 < 3 3 < 3 log3 30 (∗)
d) nessuna delle precedenti affermazioni è vera
33
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
√
√
Svolgimento. Per confrontare i numeri 3 3 e 5 5 , si utilizza la proprietà che dati due numeri reali positivi a e b e un numero naturale
n ≥ 1, si può affermare che
a<b
⇔
an < bn ;
possiamo certamente affermare che
√
√
3
5
5< 3
perché se eleviamo ambo i membri della disuguaglianza al minimo comune multiplo dei due indici di radice, 3 e 5, e cioè 15 = mcm {3, 5},
si ha:
15
15
1
1
51/5
< 31/3
⇔ 5 5 ·15 < 3 3 ·15 ⇔ 53 < 35 ⇔ 125 < 243 .
p
√
Per confrontare i numeri 3 3 e 3 log3 30, utilizziamo la stessa proprietà
di prima e le seguenti due proprietà dei logaritmi:
i) dato un numero reale a > 0, a 6= 1, ed un numero reale b, possiamo
affermare che:
b = loga ab ;
ii) dato un numero reale a > 1, e 2 numeri reali b, c > 0, possiamo
affermare che:
b < c ⇔ loga b < loga c ;
quindi
√
3
3<
p
3
log3 30
perché se eleviamo al cubo ambo i membri della disuguaglianza, si ha:
3 < log3 30
e se, utilizzando la proprietà i), scriviamo il numero 3 come 3 =
log3 33 = log3 27, otteniamo che
log3 27 < log3 30
⇔
27 < 30
che è vero per la proprietà ii). La risposta esatta è pertanto la c).
3. Se compro della merce con lo sconto del 25% e spendo 660 EURO,
quanti EURO avrei speso se non avessi goduto di alcuno sconto?
34
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
(∗)
a) 880
b) 165
c) 495
d) 825
Svolgimento. Se indichiamo con x l’incognita del problema, cioè il
costo originario (senza sconto) della merce, il problema si può formulare
come segue:
25
x = 660 euro ;
x−
100
sommando le frazioni in x al primo membro, si ha:
75
x = 660 euro
100
e moltiplicando ambo i membri per 100/75
x=
100
· 660 euro = 880 euro .
75
4. Quanto vale il rapporto tra 0.009 · 10−3 e 0.03 · 10−2 ?
a) 0.3 · 10−5
b) 0.003
c) 0.03 (∗)
d) nessuna delle precedenti
Svolgimento. Osserviamo innanzitutto che i 2 numeri si possono
scrivere come segue:
0.009 · 10−3 = 9 · 10−3 · 10−3 = 9 · 10−3−3 = 9 · 10−6 ,
0.03 · 10−2 = 3 · 10−2 · 10−2 = 3 · 10−2−2 = 3 · 10−4 ;
utilizzando le espressioni precedentemente ottenute, il rapporto tra i 2
numeri è
0.009 · 10−3
9 · 10−6
9 10−6
=
=
·
= 3·10−6−(−4) = 3·10−6+4 = 3·10−2 = 0.03 .
0.03 · 10−2
3 · 10−4
3 10−4
La risposta esatta è dunque la c).
35
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
√
6
5. L’espressione 0.125 è uguale a
r
3 1
a)
2
1
b) √
3
2
r
6 5
c)
4
d) nessuna delle precedenti espressioni
(∗)
Svolgimento. Il numero assegnato si può scrivere come segue:
s
r
r
r
r
61
3
3
3
√
125
5
5
5
1
6
6
6
6
6 1
6
0.125 =
=
=
=
=
=
=
3
3
3
3
3
1000
10
(2 · 5)
2 ·5
2
23
1
=
16
1
(23 ) 6
=
1
r
√
1
1
1
= 1 =√ =√ =
.
2
2
2
22
1
1
2 (3· 6 )
Se si osserva che le risposte a) e b) sono uguali, in quanto
r
1
3 1
,
= √
3
2
2
ed entrambe, evidentemente, errate, come pure la risposta c), si può
affermare che la risposta esatta è la d).
1.7
1.7.1
Esercizi proposti
Logica
• Se si afferma che “ogni persona colta è intelligente”, quale frase si può
certamente dedurre dall’affermazione fatta?
a) Tutte le persone intelligenti sono colte
b) Non esistono persone ignoranti che sono intelligenti
c) Se una persona è stupida, allora è ignorante
d) Se una persona è intelligente, allora è colta
36
(∗)
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
• Se si afferma che “tutti gli anziani sono saggi”, quale frase si può
certamente dedurre dall’affermazione fatta?
a) Se una persona non è saggia, allora non è anziana
(∗)
b) Non esistono giovani saggi
c) Ogni persona saggia è anziana
d) Se una persona è saggia, allora è anziana
• Se si afferma che “ogni persona intelligente è onesta”, quale frase si può
certamente dedurre dall’affermazione fatta?
a) Se una persona non è intelligente allora non è onesta
b) Se una persona è onesta, allora è intelligente
c) Tutte le persone oneste sono intelligenti
d) Una persona disonesta non è intelligente
(∗)
• Se si afferma che “ogni persona ricca è felice”, quale frase si può certamente dedurre dall’affermazione fatta?
a) Se una persona è felice, allora è ricca
b) Nessuna persona povera è felice
c) Tutte le persone felici sono ricche
d) Ogni persona infelice è povera
(∗)
• Se si afferma che “ogni libro scientifico è interessante”, quale frase si
può certamente dedurre dall’affermazione fatta?
a) Se un libro è interessante, allora è scientifico
b) Tutti i libri interessanti sono scientifici
c) Se un libro non è interessante allora non è scientifico (∗)
d) Se un libro non è scientifico allora non è interessante
• Se non è vero che “tutti gli adolescenti italiani praticano il calcio o il
basket”, allora quale delle seguenti affermazione è vera?
a) Nessun adolescente italiano pratica il calcio o il basket
37
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
b) Ci sono adolescenti italiani che non praticano alcun tipo di sport
c) Almeno un adolescente italiano non pratica né il calcio, né il basket
(∗)
d) Nessun adolescente italiano pratica alcuno sport
• Se p è la proposizione a ∧ b, quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) p è vera solo se a è falsa
b) p è vera solo se b è vera
c) Se a è vera, allora p è falsa
d) Se b è vera, allora p è vera
(∗)
• Se p è la proposizione a ∧ b, quale delle seguenti affermazioni è vera?
a) Se b è vera, allora p è vera (∗)
b) p è vera solo se b è vera
c) Se a è vera, allora p è vera
d) Se a è falsa, allora p è falsa
1.7.2
Numeri
p
√
√
• Dati i numeri 4 2 , 5 3 , 5 log3 30, quali delle seguenti affermazioni è
vera?
p
√
√
a) 4 2 < 5 3 < 5 log3 30 (∗)
p
√
√
b) 5 3 < 5 log3 30 < 4 2
p
√
√
c) 5 log3 30 < 4 2 < 5 3
d) nessuna delle precedenti affermazioni è vera
p
√
√
• Dati i numeri 3 2 , 5 4 , 5 log2 25, quali delle seguenti affermazioni è
vera?
p
√
√
a) 3 2 < 5 4 < 5 log2 25
p
√
√
b) 5 4 < 5 log2 25 < 3 2
p
√
√
c) 5 log2 25 < 3 2 < 5 4 (∗)
38
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
d) nessuna delle precedenti affermazioni è vera
p
√ √
• Dati i numeri 3 2 , 5 10 , 3 log5 10, quali delle seguenti affermazioni è
vera?
p
√
√
a) 3 2 < 3 log5 10 < 5 10
p
√
√
b) 3 log5 10 < 5 10 < 3 2
p
√
√
c) 3 log5 10 < 3 2 < 5 10 (∗)
d) nessuna delle precedenti affermazioni è vera
• Quanto vale il rapporto tra 0.0018 · 10−3 e 0.02 · 10−2 ?
a) 0.9 · 10−2
(∗)
b) 0.0009
c) 9 · 102
d) nessuna delle precedenti
• Quanto vale il rapporto tra 0.00021 · 10−3 e 0.03 · 10−4 ?
a) 0.7 · 10−1
(∗)
b) 0.0007
c) 7 · 10−14
d) nessuna delle precedenti
• Quanto vale il rapporto tra 0.00016 · 10−2 e 0.008 · 10−5 ?
a) 0.002 · 104
(∗)
b) 0.0002
c) 2 · 104
d) nessuna delle precedenti
• Quanto vale il rapporto tra 0, 024 × 10−3 e 0, 8 × 10−6 ?
a) 3 × 103
b) 0,03
c) 0, 3 × 102
(∗)
39
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
d) 3 × 10−3
s
• L’espressione
3
5
a) 2ayx− 5 b−2
32a5 b−10
è uguale a
x3 y −5
(∗)
2ab2
b) p
5
x3 y 5
2ay
c) − 3
x 5 b−2
d) nessuna delle precedenti
s
9a6 b2
è uguale a
• L’espressione 3
32x3 y −1
2/3
a2 x 3b
a)
2
2y
2 1/3 2/3
3
ax
b
b)
2y
2
2/3
a2 3
c)
y 1/3 (∗)
b
2x 2
d) nessuna delle precedenti
s
9x6 ab2
• L’espressione 3
è uguale a
64yz 3 c−5
3c
a)
(bc)2/3
z
1/3 a
x 2
y
2
1/3 a
x 2
3 2/3 −5/3
b c
z
y
2
1/3 c
a
x 2
2/3
c)
(3bc)
z
y
2
b)
(∗)
d) nessuna delle precedenti
40
Matematica di Base
r
• L’espressione
a)
b)
c)
d)
9
F. Conforto, F. Oliveri
8x3 y 6
è uguale a
27a9 b6
1/9
2xy
a
3b
−1/3 −2/3
3
b
a−1
2x
y
1/3
2xy
a
3b
−1/3 −2/3
b
3
−1
a
2
xy
−1
• L’espressione 4
x −2/3
b
(∗)
z −2
è uguale a
y 3 a−1/3
s
64ab2
(∗)
x2 y 9 z 6
r
x z2
b) −4 3
b ay
a)
3
(xz)−2
(by)−3
d) nessuna delle precedenti espressioni
c) 4a3
41
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
42
Capitolo 2
MATEMATICA DI BASE –
MODULO 2
Espressioni algebriche — Equazioni di primo e secondo grado
— Disequazioni — Sistemi lineari
2.1
Espressioni letterali
Espressioni aritmetiche come
3
1 + 21
2 − 0.54
hanno la loro naturale estensione nelle espressioni letterali, in cui gli operatori
aritmetici combinano numeri e lettere, ad es.:
3−4/5
a + 2b
2 − b4 + c
Le lettere che compaiono in un’espressione letterale possono avere due
significati: costanti, generalmente indicate dalle prime lettere dell’alfabeto
(a, b, c, . . .), o variabili, indicate dalle ultime lettere dell’alfabeto (x, y, z, t).
2.1.1
Identità
Una identità è una uguaglianza tra due espressioni verificata per qualunque
valore assegnato alle lettere in esse contenute e per cui le espressioni hanno
significato.
43
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Ecco alcuni esempi di identità:
(a − b)(a + b) = a2 − b2 ,
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ,
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 ,
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 ,
(a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 ,
(a + b + c)2 = a2 + 2ab + 2ac + b2 + 2bc + c2 ,
1 + a3 = (1 + a)(1 − a + a2 ),
1 − a3 = (1 − a)(1 + a + a2 ),
1 + a5 = (1 + a)(1 − a + a2 − a3 + a4 ),
1 − a5 = (1 − a)(1 + a + a2 + a3 + a4 ).
2.1.2
Equazioni
Una equazione è una uguaglianza tra due espressioni verificata solo per particolari valori (le soluzioni ) assegnati ai simboli (le incognite) in esse contenute
e per cui le espressioni hanno significato.
Ecco alcuni esempi di equazioni:
3(x − 2) = x + 4, ⇒ x = 5;
x2 − 5x = −6, ⇒ x = 2 oppure x = 3;
x3 + 11x = 6(x2 + 1) ⇒ x = 1 oppure x = 2 oppure x = 3.
2.1.3
Soluzione di un’equazione
Risolvere un’equazione significa determinare l’insieme delle soluzioni, ovvero l’insieme dei valori che assegnati alle variabili, soddisfano identicamente l’equazione. Una classificazione delle equazioni può essere fatta in base
all’esistenza e al numero delle soluzioni.
Un’equazione si dice:
• determinata se ammette un numero finito di soluzioni:
x2 − 14x + 24 = 0,
⇒
x = 2 oppure x = 12;
• indeterminata se ammette infinite soluzioni:
x+y =1
⇒
y = 1 − x con x valore arbitrario, è soluzione;
44
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
• impossibile se non ammette soluzioni.
x2 + 1 = 0
⇒
nessun numero reale può soddisfarla.
Nota 3 La classificazione di un’equazione in determinata, indeterminata e
impossibile dipende dall’insieme numerico in cui si cercano le soluzioni. Ad
esempio, l’equazione
x2 − 2 = 0
è determinata nell’insieme
√ dei numeri reali, ma impossibile nell’insieme dei
numeri razionali (perché 2 non è un numero razionale). Così l’equazione
x2 + 1 = 0,
che è impossibile nei numeri reali, diventa determinata nell’insieme dei numeri complessi, dove ha soluzioni x = ±i.
2.1.4
Classificazione delle equazioni
Le equazioni si classificano anche in base alle espressioni e operazioni coinvolte:
1. equazioni algebriche in cui sono coinvolte le 4 operazioni aritmetiche e
l’estrazione di radice; esempi di equazioni algebriche sono:
• le equazioni polinomiali:
x3 − 3x + 4 = 0;
• le equazioni razionali fratte:
x2 + 1
+ x3 = 0;
x−2
• le equazioni irrazionali:
√
x3 − 1 = 5x;
2. equazioni trascendenti in cui compaiono funzioni trascendenti; esempi
di equazioni trascendenti sono:
45
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
• le equazioni esponenziali:
e2x+3 = 7;
• le equazioni logaritmiche:
log(x + 1) − 1 = 0;
• le equazioni trigonometriche:
sin(x) cos2 (x) − 2 sin(x) = 1.
2.2
Equazioni di primo grado
Una equazione di primo grado (o lineare) nella sua forma canonica è espressa
dalla scrittura:
a·x=b
dove a è detto il coefficiente, e b è il termine noto.
Tre casi vanno distinti:
• a 6= 0:
x=
b
a
è l’unica soluzione (equazione determinata);
• a = 0, b = 0: l’equazione è indeterminata e ogni valore di x è soluzione
dell’equazione;
• a = 0, b 6= 0; l’equazione è impossibile e non ha soluzioni.
Data un’equazione di primo grado non in forma canonica, per risolverla
è necessario ridurla alla sua forma canonica e risolverla discriminando i tre
casi.
Attraverso quali operazioni possiamo trasformare un’equazione di primo grado
in forma canonica?
Definizione 1 Due equazioni sono equivalenti se tutte le soluzioni della prima equazione lo sono anche della seconda, e viceversa.
Per ridurre un’equazione lineare in forma canonica dobbiamo usare operazioni che non fanno perdere soluzioni e che non ne introducano di spurie.
In tal modo l’equazione canonica finale è equivalente a quella di partenza e
le soluzioni dell’ultima sono le soluzioni di quella originale!
46
Matematica di Base
2.2.1
F. Conforto, F. Oliveri
Principi di equivalenza
Data una equazione, se ne ottiene una equivalente, aggiungendo o togliendo ad entrambi i membri uno stesso numero o una stessa espressione algebrica contenente o no l’incognita, purché quest’ultima non compaia al
denominatore (primo principio di equivalenza).
Regola 1 Dal primo principio di equivalenza deriva la regola del trasporto.
In una equazione, un termine può essere trasportato da un membro all’altro
purché venga cambiato di segno. In formule:
a = b ⇔ a + c = b + c ∀a, b, c ∈ R,
a = b ⇔ a − c = b − c ∀a, b, c ∈ R,
a + c = b ⇔ a = b − c ∀a, b, c ∈ R.
Data una equazione, se ne ha una equivalente moltiplicando o dividendo
entrambi i membri per lo stesso numero (diverso da zero) o per la stessa
espressione letterale diversa da zero e non contenente l’incognita (secondo
principio di equivalenza).
Regola 2 Il secondo principio di equivalenza si traduce nelle formule:
a=b
⇔
a=b
⇔
a · c = b · c ∀a, b, c ∈ R, c 6= 0,
b
a
=
∀a, b, c ∈ R, c 6= 0.
c
c
È quindi possibile cambiare il segno a tutti i termini dell’equazione (significa moltiplicare entrambi i membri per −1) ed eliminare dall’equazione
eventuali denominatori.
Esempio 15 Risolvere l’equazione di primo grado
3x − 5 = x − 7.
1. Aggiungere 5 ad entrambi i membri:
3x − 5 + 5 = x − 7 + 5
⇒
3x = x − 2;
⇒
2x = −2;
2. aggiungere −x ad entrambi i membri:
3x − x = x − 2 − x
47
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
3. dividere entrambi i membri per 2:
2x = −2
⇒
x = −1.
Esempio 16 Risolvere l’equazione di primo grado
3x − 5 =
x 3
− .
5 2
1. Moltiplicare ambo i membri per 5 e semplificare:
x 3
15
5(3x − 5) = 5
−
⇒ 15x − 25 = x − ;
5 2
2
2. moltiplicare ambo i membri per 2 e semplificare
15
2(15x − 25) = 2 x −
⇒ 30x − 50 = 2x − 15;
2
3. trasportare 2x al primo membro e semplificare:
30x − 50 = 2x − 15
⇒
30x − 2x = 50 − 15
⇒
28x = 35;
4. dividere entrambi i membri per 28 e semplificare la frazione dividendo
per 7 (massimo comune divisore tra 35 e 28):
28x = 35
2.3
⇒
x=
5
35
= .
28
4
Equazioni di secondo grado
Una equazione di secondo grado nella sua forma canonica ha la forma:
ax2 + bx + c = 0,
dove a (coefficiente quadratico), b (coefficiente lineare), c (termine noto) sono
costanti e a 6= 0 (altrimenti non è un’equazione di secondo grado).
2.3.1
Casi particolari
• c = 0: l’equazione ax2 + bx = 0 è detta spuria;
• b = 0: l’equazione ax2 + c = 0 è detta pura.
48
Matematica di Base
2.3.2
F. Conforto, F. Oliveri
Soluzioni dell’equazione di secondo grado
Equazione spuria
ax2 + bx = 0,
x(ax + b) = 0
⇒
⇒ x(ax + b) = 0;
x=0
oppure
ax + b = 0 ⇒ x = − ab
Equazione pura
ax2 + c = 0,
c
x + =0
a
2
⇒
⇒
c
x =−
a
2
x2 +
c
= 0;
a
⇒
r
c
x=± −
a
Nota 4 Se i coefficienti a e c sono concordi (hanno cioè lo stesso segno),
non ci sono soluzioni perché nessun numero reale è la radice quadrata di un
numero negativo.
Equazione completa: ax2 + bx + c = 0
Si calcola il discriminante: ∆ = b2 − 4ac.
1. se ∆ > 0 si hanno due soluzioni reali e distinte:
√
√
−b + b2 − 4ac
−b − b2 − 4ac
x1 =
, x2 =
;
2a
2a
2. se ∆ = 0 si hanno due soluzioni reali e coincidenti:
x1 = x2 = −
b
;
2a
3. se ∆ < 0 le soluzioni non sono reali ma complesse e coniugate:
√
√
−b + i 4ac − b2
−b − i 4ac − b2
x1 =
, x2 =
.
2a
2a
49
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Esempio 17
3x2 − 5x + 2 = 0
∆ = (−5)2 − 4 · 3 · 2 = 25 − 24 = 1 > 0.
Le soluzioni (reali e distinte) sono:
√
√
−(−5) + 1
−(−5) − 1
2
x1 =
= 1, x2 =
= .
6
6
3
Sostituendo al posto di x i valori di x1 e di x2 l’equazione è soddisfatta.
Esempio 18
√
16x2 − 8 3x + 3 = 0
√
∆ = (−8 3)2 − 4 · 16 · 3 = 82 · 3 − 192 = 192 − 192 = 0.
Le due soluzioni (reali e coincidenti) sono:
√
√
3
−(−8 3)
=
.
x1 = x2 =
2 · 16
4
Esempio 19
−7x2 + 4x − 3 = 0
∆ = 42 − 4 · (−7) · (−3) = 16 − 84 = −68 < 0.
Le due soluzioni (complesse e coniugate) sono:
√
√
√
√
2 − i 17
−4 − i 68
2 + i 17
−4 + i 68
=
, x2 =
=
.
x1 =
−14
7
−14
7
Nota 5 I principi di equivalenza che abbiamo illustrato prima con le equazioni di primo grado si applicano a tutte le equazioni.
Esempio 20 Risolvere l’equazione:
3x(x − 1) + 5 = x2 − 7x
x
2
+3 .
Moltiplichiamo ambo i membri per 2 per eliminare il denominatore:
x
2(3x(x − 1) + 5) = 2 x2 − 7x
+3 ;
2
Sviluppiamo i prodotti e semplifichiamo:
6x2 − 6x + 10 = 2x2 − 7x2 − 42x;
Portiamo tutti i termini a primo membro e semplifichiamo:
11x2 + 36x + 10 = 0,
che è in forma canonica.
50
Matematica di Base
2.3.3
F. Conforto, F. Oliveri
Proprietà delle soluzioni di un’equazione di secondo grado
Sia data una generica equazione di secondo grado
ax2 + bx + c = 0.
Se x1 e x2 denotano le sue soluzioni, allora valgono le proprietà:
b
x1 + x2 = − ,
a
c
x1 · x2 = .
a
√
√
−b + ∆ −b − ∆
−2b
b
x1 + x 2 =
+
=
=− .
2a
2a
2a
a
√ !
√ !
−b + ∆
b2 − ∆
4ac
c
−b − ∆
x1 · x2 =
·
=
= 2 = .
2
2a
2a
4a
4a
a
Esempio 21 Assegnati due numeri x1 e x2 , determinare l’equazione di secondo grado che le possiede come soluzioni.
Soluzione.
Si calcolano
s = x1 + x2 , p = x1 · x2 .
L’equazione di secondo grado cercata è:
x2 − sx + p = 0.
Esempio 22 Trovare l’equazione di secondo grado le cui soluzioni sono x1 =
−3 e x2 = 25 .
5
1
15
s = −3 + = − , p = −
2
2
2
1
15
x2 + x −
= 0, ⇒ 2x2 + x − 15 = 0.
2
2
Esempio
23√ Trovare l’equazione di secondo grado le cui soluzioni sono x1 =
√
3 e x2 = 2 3.
√
s = 3 3, p = 6
√
x2 − 3 3x + 6 = 0.
51
Matematica di Base
2.3.4
F. Conforto, F. Oliveri
Regola di Cartesio
Dalle proprietà delle soluzioni delle equazioni di secondo grado discende la
Regola di Cartesio, che si applica però solo alle equazioni di secondo grado
con ∆ > 0.
Elencando nell’ordine i segni dei coefficienti a, b, c, ad ogni variazione di
segno corrisponde una soluzione reale positiva, ad ogni permanenza di segno
una soluzione reale negativa.
Esempio 24 Applicazione della regola di Cartesio:
• x2 + 5x + 6 = 0,
negative.
+ + +:
due permanenze
⇒
due soluzioni
• x2 +3x−6 = 0, + + −: una permanenza e una variazione
una soluzione negativa e una soluzione positiva.
• −x2 + 9x − 15 = 0,
positive.
2.4
− + −:
due variazioni
⇒
⇒
due soluzioni
Disequazioni
Una disequazione nell’incognita x nella sua forma canonica può assumere una
delle seguenti forme:
f (x) > 0,
oppure f (x) ≥ 0,
dove f (x) è un’espressione (algebrica o trascendente). Le corrispondenti
disequazioni con i segni di < o ≤ si ottengono cambiando il segno di f (x).
Come per le equazioni, una disequazione può amettere un insieme finito
di soluzioni, o un insieme infinito di soluzioni, o nessuna soluzione.
Disequazioni non in forma canonica come
f (x) ≥ g(x)
si possono ridurre in forma canonica attraverso dei principi di equivalenza.
Data una disequazione
f (x) ≥ g(x),
si ha
f (x) ± h(x) ≥ g(x) ± h(x)
52
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
dove h(x) è una funzione di x. Analogo discorso vale per f (x) ≤ g(x)
Questa proprietà è la stessa di quella che vale per le equazioni. Ciò
significa che in una disequazione possiamo spostare termini da un membro
all’altro, previo cambio di segno.
Data una disequazione
f (x) ≥ g(x),
sia h(x) > 0 una funzione positiva di x; si ha
f (x) · h(x) ≥ g(x) · h(x) e
g(x)
f (x)
≥
.
h(x)
h(x)
Se invece h(x) < 0, si ha
f (x) · h(x) ≤ g(x) · h(x) e
f (x)
g(x)
≤
.
h(x)
h(x)
Questa proprietà ci dice che se moltiplichiamo ambo i membri di una disequazione per una quantità positiva il segno della disuguaglianza non cambia, mentre se moltiplichiamo ambo i membri di una disequazione per una
quantità negativa il segno della disuguaglianza si inverte.
Esempio 25 Disequazione di primo grado
Risolvere la disequazione
3x +
3x
1−x
−5>
+ 4.
2
5
1. Moltiplichiamo entrambi i membri per 10 (mcm dei denominatori):
30x + 5(1 − x) − 50 > 6x + 40,
⇒
25x − 45 > 6x + 40.
2. Portiamo i termini in x al primo membro e i termini noti al secondo:
25x − 6x > 45 + 40
3. Dividiamo ambo i membri per 19: x >
⇒
19x > 85.
85
.
19
Esempio 26 Disequazione di primo grado
Risolvere la disequazione
3|x| +
1−x
3x
−5>
+ 4,
2
5
⇒
30|x| + 5(1 − x) − 50 > 6x + 40.
53
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
x≥0
30x + 5(1 − x) − 50 > 6x + 40;
85
19x > 85 ⇒ x > .
19
x<0
− 30x + 5(1 − x) − 50 > 6x + 40;
85
− 41x > 85 ⇒ x < − .
41
Dunque la soluzione è:
85
x<−
41
2.4.1
85
oppure x >
19
85
85
⇒ x ∈ −∞, −
,∞ .
∪
41
19
Disequazioni quadratiche
Per determinare il segno di un’espressione quadratica
ax2 + bx + c
al variare di x è sufficiente discriminare i tre casi secondo il segno di
∆ = b2 − 4ac.
Caso ∆ < 0
Se ∆ < 0 non ci sono soluzioni reali dell’equazione
ax2 + bx + c = 0.
Dunque, l’espressione non si annulla mai. Per valori elevati di x il termine
ax2 ha il segno di a e in valore assoluto predomina sugli altri due termini.
Dunque l’espressione ha sempre il segno di a.
Esempio 27
3x2 − 5x + 15,
∆ = (−5)2 − 4 · 3 · 15 = −155 < 0.
3x2 − 5x + 15 > 0,
3x2 − 5x + 15 ≤ 0,
sempre, cioè ∀x ∈ R,
mai.
54
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Caso ∆ = 0
Se ∆ = 0 possiamo scrivere
ax2 + bx + c = a(x − x1 )2 ,
x1
soluzione dell’equazione di secondo grado.
Dunque il segno dell’espressione è sempre quello di a tranne in x = x1 dove
si annulla.
Esempio 28
−x2 + 4x − 4 = 0,
∆ = 42 − 4 · (−1) · (−4) = 0,
− x2 + 4x − 4 > 0,
− x2 + 4x − 4 < 0,
x1 = 2.
mai,
∀x ∈ R : x 6= 2.
Caso ∆ > 0
Se ∆ > 0 possiamo scrivere
ax2 +bx+c = a(x−x1 )(x−x2 ),
x1 < x2
soluzioni dell’eq. di secondo grado.
Dunque il il segno dell’espressione è sempre quello opposto a quello di a per
x1 < x < x2 e quello di a per x < x1 oppure x > x2 ; l’espressione si annulla
per x = x1 e per x = x2 .
Esempio 29
x2 − 5x + 6 = 0,
x2 − 5x + 6 > 0,
x2 − 5x + 6 < 0,
∆ = (−5)2 − 4 · 1 · 6 = 1,
x1 = 2, x3 = 3.
per x < 2 o x > 3, x ∈] − ∞, 2]∪]3, ∞[,
per 2 < x < 3, x ∈]2, 3[.
Esempio 30 Risolvere la disequazione
3x2 + 2x − 16
< 0.
x2 + 6x + 5
Innanzitutto deve essere x2 + 6x + 5 6= 0,
⇒
x 6= −5, x 6= −1.
• L’equazione 3x2 + 2x − 16 = 0 ha soluzioni x1 = − 38 , x2 = 2.
55
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
• Il numeratore è positivo per valori non appartenenti all’intervallo [− 38 , 2]
e negativo all’interno dell’intervallo.
• Il denominatore è positivo per valori non appartenenti all’intervallo
[−5, −1] e negativo all’interno dell’intervallo.
• La frazione è negativa se numeratore e denominatore hanno segni opposti.
Dunque la soluzione è: −5 < x < − 83 ,
−1 < x < 2.
Esempio 31
•
•
r
x2 − 4
< −3,
x+1
1
2
≤ 2
,
x+9
x +4
•
−
•
2.5
Impossibile perché la radice è positiva.
1
x < −9 oppure − ≤ x ≤ 1.
2
3x + 1
2x + 7 2x − 5
+
−x≤
− 2,
9
6
2
x3 − 5x
≤ 0,
x−7
x≥−
2
.
43
√
√
− 5 ≤ x ≤ 0 oppure 5 ≤ x < 7.
Sistemi lineari
Un sistema lineare di due equazioni in due incognite ha la forma:
ax + by = c
a0 x + b 0 y = c 0
dove a, b, c, a0 , b0 , c0 sono dei coefficienti noti, e x, y sono le incognite.
Risolvere un sistema lineare significa trovare le soluzioni comuni alle due
equazioni.
Un sistema lineare si dice:
• determinato se ha un numero finito di soluzioni;
• indeterminato se ha un numero infinito di soluzioni;
• impossibile se non esistono soluzioni.
56
Matematica di Base
2.5.1
F. Conforto, F. Oliveri
Soluzione
ax + by = c
a0 x + b 0 y = c 0
• se ab0 − a0 b 6= 0, il sistema è determinato, e la soluzione (unica! ) è:
x=
b0 c − bc0
,
ab0 − a0 b
y=
ac0 − a0 c
;
ab0 − a0 b
• se ab0 − a0 b = 0, allora
– se esiste una costante k tale che a0 x + b0 y − c0 = k(ax + by − c) il
sistema è indeterminato (infinite soluzioni!);
– altrimenti il sistema è impossibile (nessuna soluzione!).
Nota 6 Inutile provare a ricordare la formula! Meglio usare un metodo e
risolvere di volta in volta il sistema che si ha davanti.
Esistono vari metodi differenti ma equivalenti (il quarto si giustifica nell’ambito dell’algebra lineare):
1. metodo di sostituzione;
2. metodo del confronto;
3. metodo di riduzione;
4. metodo di Cramer.
2.5.2
Metodo di sostituzione
Si risolve un’equazione rispetto ad un’incognita e si sostituisce l’espressione
trovata nell’altra equazione.
Esempio 32 Sistema Determinato
2x − 4y = 1.
3x + 2y = 7,
Dalla prima eq. si ricava
2
x=
7 − 2y
− 4y = 1
3
7−2y
3
⇒
e si sostituisce nella seconda:
16y = 11,
57
⇒
y=
11
16
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Si usa questo valore nella prima (o nella seconda) equazione:
3x + 2
11
=7
16
⇒
24x + 11 = 56
⇒
x=
45
15
= .
24
8
Esempio 33 Sistema Indeterminato
2x + y = 7,
x=
Dalla prima eq. si ricava
6
7−y
+ 3y = 21
2
⇒
7−y
2
6x + 3y = 21.
e si sostituisce nella seconda:
21 − 3y + 3y = 21,
⇒
21 = 21
La seconda equazione non dà informazioni perché è una conseguenza della
prima. Ci sono infinite soluzioni,
x=
7−y
,
2
y arbitrario.
Ad es.,
7
(x = , y = 0),
2
(x = 3, y = 1),
(x = 4, y = −1)
...
sono tutte soluzioni.
Esempio 34 Sistema Impossibile
2x + y = 7,
6x + 3y = 20.
Dalla prima equazione si ricava
x=
7−y
2
e si sostituisce nella seconda:
6
7−y
+ 3y = 20
2
⇒
21 − 3y + 3y = 20,
⇒
21 = 20 (?).
Siamo pervenuti ad una contraddizione: quindi non ci sono soluzioni.
58
Matematica di Base
2.5.3
F. Conforto, F. Oliveri
Metodo del confronto
Si risolvono le due equazioni rispetto alla stessa incognita e si confrontano i
risultati.
Esempio 35
2x − 5y = 4
⇒
x+y =1
5y+4
7y = −2
=1−y
2
⇒
x=1−y
x=1−y
2.5.4
x = 5y+4
2
x=1−y
y = − 27
⇒
x=1+
2
7
= 97 .
Metodo di riduzione
Si moltiplica ogni equazione per un numero in modo tale che i coefficienti
di un’incognita siano uguali (a meno eventualmente del segno) nelle due
equazioni. Ognuna delle due equazioni può essere sostituita dalla somma o
dalla differenza delle due equazioni.
Esempio 36
2x − 5y = 4
x+y =1
⇒
2x − 5y = 4
5x + 5y = 5
Si “sommano” le due equazioni: 2x + 5x = 4 + 5 ⇒ x = 79 .
2x − 5y = 4
2x − 5y = 4
⇒
x+y =1
2x + 2y = 2
Si “sottraggono” le due equazioni: −5y − 2y = 4 − 2
2.5.5
⇒
y = − 27 .
Metodo di Cramer
Si usa il formalismo matriciale. Si calcolano i determinanti di 3 matrici e si
eseguono due divisioni.
Esempio 37
∆ = x − 7y = 5
2x + 3y = 8
5 −7 1 5 1 −7 = −2.
= 17, ∆x = = 71, ∆y = 2 3 8 3 2 8 59
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
∆x
71
∆y
2
= , y=
=− .
∆
17
∆
17
Ovviamente, deve essere ∆ 6= 0, altrimenti il sistema è indeterminato o
impossibile.
x=
I metodi di risoluzione per i sistemi lineari di due equazioni in due incognite si estendono ai sistemi lineari con più di due equazioni.
2.6
Esercizi svolti
2.6.1
Espressioni algebriche
s
1. L’espressione
3
27a9 b−6
è uguale a
x3 y −3
3a3 b2
a) − √
3 xy
b) 3a3 yx−1 b−2
(∗)
3
3a y
x−1 b−2
d) nessuna delle precedenti
c)
Svolgimento. Il numero assegnato si può scrivere come segue:
s
1
9 −6 3
9 b−6
1
27a
27a
b
3
3 9 −6 −3 3 3
=
=
3
a
b
x
y
=
x3 y −3
x3 y −3
= 33
13
a9
31
b−6
31
x−3
13
y3
31
=
1
1
1
1
1
= 3(3· 3 ) a(9· 3 ) b(−6· 3 ) x(−3· 3 ) y (3· 3 ) =
= 3a3 b−2 x−1 y ,
da cui si deduce immediatamente che la risposta esatta è la b).
2. L’espressione
1−
x+
1
3
1
2
x−
+
1
2
a) 0
60
1
3
x − 12
è uguale a
− 1 x + 21
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
16x
3(4x2 − 1)
12x
c)
(∗)
4x2 − 1
d) nessuna delle precedenti
b)
Svolgimento. Se osserviamo subito che
1−
x+
1
3
1
2
x−
+
1
2
1
3
=
x − 21
=
− 1 x + 12
2
3
x + 12
−
x − 12
2
3
2
3
x + 12
x − 21
+ 2
− 3 x + 12
x − 21
x − 12
x + 21
si evince che il mcm dei 2 denominatori è
2
1
2
1
2
1
1
mcm
x−
,
x+
=
x−
x+
;
3
2
3
2
3
2
2
e quindi si ha:
2
2
x2 + x + 41 − x2 − x + 14
x + 12 − x − 12
=
=
= 2
2
1
1
2− 1
x
−
x
+
x
3
2
2
3
4
=
x2 + x + 14 − x2 + x −
2
2− 1
x
3
4
1
4
=
2x
2
3
4x2 −1
4
=
2x
4x2 −1
6
da cui si evince che la riposta giusta è la c).
3. L’espressione
x−a
x+a
−
è uguale a
b (x + a) b (x − a)
a) 0
b) −
c)
4ax
b(x2 − a2 )
(∗)
2(x2 + a2 )
b(x2 − a2 )
d) nessuna delle precedenti
61
= 2x·
6
12x
= 2
,
−1
4x − 1
4x2
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Svolgimento. Se osserviamo subito che
mcm {b (x + a) , b (x − a)} = b (x + a) (x − a) ;
riducendo l’espressione assegnata si ha:
x+a
(x − a)2 − (x + a)2
x−a
−
=
=
b (x + a) b (x − a)
b (x + a) (x − a)
=
=
x2 − 2ax + a2 − (x2 + 2ax + a2 )
=
b (x2 − a2 )
x2 − 2ax + a2 − x2 − 2ax − a2
=
b (x2 − a2 )
=
−4ax
,
b (x2 − a2 )
da cui si evince che la riposta giusta è la b).
4. L’equazione letterale x(m − 1)(m − 3) = −2(m − 1) risulta determinata
per:
a) m = 1 , m = 3
b) ogni valore di m
c) m 6= 3
d) m 6= 1 , m 6= 3 (∗)
Svolgimento. Osserviamo subito che si tratta di un’equazione di primo grado nell’incognita x ∈ R, in cui è presente il parametro m ∈ R;
com’è noto, affinché un’equazione di primo grado sia determinata (ovvero, sia possibile dedurne l’unica soluzione), è necessario che si possano
dividere ambo i membri dell’equazione per il coefficiente dell’incognita,
e cioè (m − 1)(m − 3). Quindi, se
(m − 1)(m − 3) 6= 0
⇔
m 6= 1 e m 6= 3
l’equazione è determinata ed ammette l’unica soluzione
x=−
62
2
.
m−3
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Resta da verificare se per m = 1 e m = 3 (valori che sono stati esclusi
nelle precedenti considerazioni) l’equazione ammette una soluzione. Se
sostituiamo m = 1 nell’equazione assegnata si ottiene l’identità
0=0
che è ovviamente soddisfatta per ogni valore di x ∈ R, ma che ovviamente non è un’equazione determinata. Se, infine, sostituiamo m = 3
nell’equazione assegnata si ottiene invece
0 = −4 ,
che è evidentemente falso. Pertanto, la risposta esatta è la d).
√
5. L’equazione 2 + 5 − x = 0 è soddisfatta:
a) per ogni valore reale di x
b) x = 9
c) x = 5
d) mai
(∗)
Svolgimento. Osserviamo subito che si tratta di un’equazione irrazionale nell’incognita x ∈ R, che pertanto deve soddisfare la condizione
di esistenza della radice quadrata, e cioè:
5−x≥0
⇔
x ≤ 5.
Precisiamo quindi che l’equazione non avrà mai soluzioni reali per tutti
i numeri x > 5.
Per quanto riguarda i valori x ≤ 5, basta osservare che per la definizione
di radice quadrata, si può affermare che
√
5 − x ≥ 0 ∀x ≤ 5
e conseguentemente, sommando 2 da ambo i membri della precedente
disequazione, si ha:
√
2 + 5 − x ≥ 2 ∀x ≤ 5
il che esclude che l’equazione assegnata
√ possa essere mai soddisfatta da
un x ≤ 5, in quanto il numero 2 + 5 − x è un numero reale maggiore
63
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
o uguale a 2 e non potrà mai essere uguale a zero. Come ulteriore
precisazione, osserviamo che, se l’equazione data viene scritta isolando
la radice al primo membro, e cioè
√
5 − x = −2
risulta evidente che il primo membro, che per le considerazioni fatte
sulla positività della radice è positivo per ogni x ≤ 5, non potrà mai
essere uguale a −2.
2.6.2
Disequazioni
Nota 7 Per le disequazioni che coinvolgono esponenziali, logaritmi e funzioni trigonometriche può essere utile leggere il capitolo 4.
3x + 1 < 2 è soddisfatta:
1. La disequazione 2 5
a) − < x < 1 (∗)
3
b) per ogni valore reale di x
5
c) x > −
3
d) x < 1
Svolgimento. Utilizziamo innanzitutto la proprietà
a |a|
,
=
b
|b|
ottenendo così:
3x + 1 |3x + 1|
|3x + 1|
=
.
2 =
|2|
2
La disequazione diventa
|3x + 1|
<2
2
e moltiplicando ambo i membri della disequazione data per 2, si ottiene:
2·
|3x + 1|
< 2 · 2,
2
64
⇔
|3x + 1| < 4 .
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Una volta che la disequazione è stata scritta nella precedente forma,
possiamo applicare la seguente proprietà:
|a| < b
⇔
−b < a < b ∀ a, b ∈ R , b > 0
e la disequazione si può riscrivere come segue:
−4 < 3x + 1 < 4 ,
che, sommando −1 (o, equivalentemente, sottraendo 1) a ciascun membro della precedente disuguaglianza, diventa:
−4 − 1 < 3x + 1 − 1 < 4 − 1 ,
⇔
−5 < 3x < 3 ,
e quindi, dividendo per 3 (o, equivalentemente, moltiplicando per 1/3)
ciascun membro della della precedente disuguaglianza, si ottiene
−5
3x
3
<
< ,
3
3
3
⇔
5
− < x < 1,
3
che rappresenta l’insieme delle soluzioni della disequazione assegnata.
La risposta esatta è dunque la a).
2. La disequazione
2
1
1
− ≤ 2
è soddisfatta:
x−1 x
x −1
a) 1 < x < 2
b) x < −1 , 0 < x < 1 (∗)
c) per ogni valore reale di x
d) x < 0 , x > 1
Svolgimento. Trattandosi di una disequazione razionale fratta, la
prima condizione da imporre è che tutti i denominatori siano diversi da
0, ottenendo così:
x 6= 1
x − 1 6= 0
x 6= 1
x 6= 0
x 6= 0
x 6= 0
⇔
⇔
2
2
x − 1 6= 0
x 6= 1 ⇔ x 6= ±1
x 6= −1
Ciò comporta che i valori x = 0, x = 1 e x = −1 non potranno essere
soluzioni della disequazione.
65
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Sia quindi x 6= 0 e x 6= ±1. Com’è noto, per risolvere la disequazione
bisogna ricondurla alla forma
p(x)
≤ 0,
q(x)
e a tale scopo, bisogna innanzitutto determinare il mcm dei denominatori, x − 1, x e x2 − 1. L’unica considerazione necessaria per procedere
alla determinazione del mcm, è relativa al termine di secondo grado
x2 − 1 che può essere scomposto nel prodotto di 2 fattori di primo grado nell’incognita x. Se osserviamo, infatti, che l’equazione x2 − 1 = 0
ammette le 2 soluzioni, reali e distinte, x = 1 e x = −1, possiamo
scrivere che:
x2 − 1 = (x − 1)(x + 1) ,
possiamo concludere che
mcm x − 1, x, x2 − 1 = x(x2 − 1) = x(x − 1)(x + 1) .
Raccogliendo tutti i termini al primo membro
1
1
2
− − 2
≤0
x−1 x x −1
e riducendo, si ha:
2x(x + 1) − (x2 − 1) − x
≤0
x(x2 − 1)
2x2 + 2x − x2 + 1 − x
≤0
x(x2 − 1)
x2 + x + 1
≤ 0.
x(x2 − 1)
Studiamo, a questo punto, il segno di ciascun fattore che interviene
nella frazione al primo membro:
i) x2 + x + 1 ≥ 0 è un’equazione di secondo grado; il suo discriminante
è
∆ = b2 − 4ac = 1 − 4 = −3 < 0
66
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
e quindi possiamo affermare che
x2 + x + 1 > 0 ∀ x ∈ R ,
il che vuol dire che il numeratore è strettamente positivo ∀ x ∈ R
(e non si annulla per nessun valore di x, dunque l’uguaglianza
della frazione a zero non è mai verificata).
ii) relativamente al segno del primo fattore al denominatore (che, come
abbiamo già commentato, non si può annullare) non c’è nulla da
precisare
x > 0.
iii) relativamente al segno del secondo fattore al denominatore, osserviamo che x2 − 1 > 0 è un’equazione di secondo grado; il suo
discriminante, come abbiamo già avuto modo di commentare è
positivo
∆ = b2 − 4ac = 4 > 0
e le soluzioni dell’equazione x2 − 1 = 0 sono x = ±1; quindi
possiamo affermare che
x2 − 1 > 0 ∀ x ∈ R : x < −1 , x > 1 .
Riportando lo studio del segno dei singoli fattori su un unico diagramma, otteniamo:
0
----------|+++++++++++
-1
+1
+++++|----------|+++++
e possiamo concludere che la disequazione è soddisfatta per tutti i valori
che rendono negativo il rapporto e cioè i valori della risposta b).
2x + 1 < 2 è soddisfatta:
3. La disequazione x−3 5
(∗)
4
b) per ogni valore reale di x
a) x <
67
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
c) x > 3
d) x < 1
Svolgimento. Trattandosi di una disequazione razionale fratta, la
prima condizione da imporre è che il denominatore sia diverso da 0,
ottenendo così:
x − 3 6= 0 ⇔ x 6= 3
il che implica che x = 3 non potrà essere soluzione della disequazione.
Procediamo con la risoluzione per x 6= 3. Utilizzando la proprietà già
enunciata nell’esercizio 1., e cioè
|a| < b
⇔
−b < a < b ∀ a, b ∈ R , b > 0
e la disequazione si può riscrivere come segue:
−2 <
2x + 1
<2
x−3
che equivale al seguente sistema di 2 disequazioni razionali fratte:
2x + 1
2x + 1
2x + 1 − 2x + 6
<
2
−
2
<
0
<0
x−3
x−3
x−3
2x + 1
> −2
x−3
2x + 1
+2>0
x−3
7
x−3 <0
2x + 1 + 2x − 6
>0
x−3
4x − 5
>0
x−3
Relativamente alla prima delle 2 disequazioni, e cioè
7
< 0,
x−3
il segno della frazione è dato dal segno del denominatore, che è positivo
per x > 3 e negativo per x < 3. Possiamo dunque concludere che
la disequazione è soddisfatta per tutti i valori che rendono negativo il
rapporto e cioè
x < 3.
68
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Procediamo quindi con la seconda delle 2 disequazioni, e cioè
4x − 5
> 0,
x−3
esaminando il segno del numeratore e del denominatore; il segno del
numeratore è
5
4x − 5 > 0 ⇔ x > ;
4
come sopra, il segno del denominatore è
x−3>0
⇔
x > 3;
riportando lo studio del segno su un unico diagramma, otteniamo:
5/4
------|+++++++++++++++
3
------------|+++++++++
e possiamo concludere che la disequazione è soddisfatta per tutti i valori
che rendono strettamente positivo il rapporto e cioè
x<
5
,
4
x > 3.
Dunque le due disequazioni sono soddisfatte per
x<3
5
x<
4
oppure x > 3
La disequazione assegnata è soddisfatta per tutti i valori di x che
verificano entrambe le disequazioni, e cioè
x<
5
,
4
e la risposta esatta è dunque la a).
√
4. La disequazione x − 1 − x2 > 0 è soddisfatta:
a) per ogni valore reale di x
69
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
√
2
< x ≤ 1 (∗)
2
√
√
2
2
<x<−
c) −
2
2
d) mai
b)
Svolgimento. Trattandosi di una disequazione irrazionale, bisogna
innanzitutto scriverla nella forma:
p
p(x) < q(x)
e quindi sfruttare la sua equivalenza con il sistema:
p(x) ≥ 0
q(x) > 0
p(x) < [q(x)]2
Procedendo come detto, la disequazione data
√
1 − x2 < x
equivale al sistema:
1 − x2 ≥ 0
x>0
1 − x2 < x2
2
x −1≤0
x>0
2
2x − 1 > 0
−1 ≤ x ≤ 1
x>0 √
x < − 22 , x >
√
2
2
Le prime due disequazioni sono soddisfatte per 0 < x ≤ 1. Poiché dalla
terza disequazione
i valori positivi ammissibili della x devono essere
√
maggiori di 22 , che è minore di 1, segue che la disequazione assegnata
è soddisfatta per
√
2
< x ≤ 1,
2
e la risposta esatta è dunque la b).
√
5. La disequazione x + 6 > x è soddisfatta:
a) per ogni valore reale di x
b) −6 ≤ x < 3 (∗)
70
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
c) −2 < x < 3
d) mai
Svolgimento. Trattandosi di una disequazione irrazionale, bisogna
innanzitutto scriverla nella forma:
p
p(x) > q(x)
e quindi sfruttare la sua equivalenza con l’unione dei 2 sistemi:
p(x) ≥ 0
q(x) ≥ 0
∨
q(x) < 0
p(x) > [q(x)]2
Procedendo come detto, la disequazione data
√
x+6>x
equivale a:
x+6≥0
x<0
∨
x ≥ −6
x<0
∨
x≥0
x + 6 > x2
x≥0
x2 − x − 6 < 0
x ≥ −6
x<0
x ≥ −6
x<0
∨
∨
−6 ≤ x < 0
x≥0
x2 − x − 6 < 0
x≥0
−2 < x < 3
∨
0≤x<3
−6 ≤ x < 3
e la risposta esatta è dunque la b).
√
6. La disequazione − 3 2x − 1 < 1 è soddisfatta:
a) per ogni valore reale di x
b) per x > 0
(∗)
c) per x < 0
d) per x < 1
71
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Svolgimento. Trattandosi di una disequazione irrazionale con indice
di radice dispari, è possibile utilizzare la proprietà:
a<b
⇔
an < bn
∀ a, b ∈ R , ∀ n ∈ N dispari
pertanto, elevando ambo i membri della disequazione data al cubo,
otteniamo:
√
√
(− 3 2x − 1)3 < 13 ⇔ −( 3 2x − 1)3 < 1 ⇔ −(2x − 1) < 1
−2x + 1 < 1
⇔
−2x < 0
⇔
x>0
e la risposta esatta è dunque la b).
7. La disequazione 53x−1 > 5 · 5x−1 è soddisfatta:
a) per ogni valore reale di x
1
b) x >
(∗)
2
c) x > 2
d) nessuna delle precedenti
Svolgimento. Trattandosi di una disequazione esponenziale in cui è
possibile far intervenire solo esponenziali in base 5, e cioè:
53x−1 > 5 · 5x−1
53x−1 > 51+x−1
⇔
⇔
53x−1 > 5x
possiamo sfruttare la seguente proprietà:
a<b
⇔
ca < cb
∀ a, b, c ∈ R , c > 1
pertanto, otteniamo:
53x−1 > 5x
⇔
3x − 1 > x
⇔
2x > 1
e la risposta esatta è dunque la b).
8. La disequazione 32x − 4 · 3x + 3 > 0 è soddisfatta:
a) per ogni valore reale di x
b) x < 0 , x > 1 (∗)
72
⇔
x>
1
2
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c) 0 < x < 5
d) x < 1 , x > 3
Svolgimento. Trattandosi di una disequazione esponenziale in cui non
è possibile far intervenire solo esponenziali nella stessa base, procediamo, mediante la sostituzione 3x = t, e la considerazione che
32x = (3x )2 = t2
a scriverla sotto forma di una disequazione di secondo grado nell’incognita t, e cioè:
32x − 4 · 3x + 3 > 0
t2 − 4t + 3 > 0 ,
⇔
che, essendo ∆ = 16 − 12 = 4 > 0 , ammette le seguenti soluzioni:
t < 1,
t>3
che nell’incognita originale x diventano:
3x < 1 ,
3x > 3 ,
⇔
3x < 30 ,
3x > 31
possiamo sfruttare la proprietà dell’esercizio precedente:
a<b
⇔
ca < cb
∀ a, b, c ∈ R , c > 1
x < 0,
x>1
otteniamo così le soluzioni:
e la risposta esatta è dunque la b).
9. La disequazione
ex
≤ 0 è soddisfatta:
2x + 3−x
a) per ogni valore reale di
b) mai
(∗)
c) per x ≥ 0
d) per x ≤ 0
73
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Svolgimento. Trattandosi di una disequazione fratta, la prima condizione da imporre è che il denominatore sia diverso da 0, ottenendo così
la condizione:
2x + 3−x 6= 0 ⇔ 2x 6= −3−x ,
che è verificata per ogni x ∈ R per la proprietà
ax > 0 ∀ a, x ∈ R , a > 0 .
A questo punto, possiamo occuparci dello studio del segno del numeratore e del denominatore della frazione; relativamente al numeratore,
per la suddetta proprietà, possiamo affermare che:
ex > 0 ∀ x ∈ R ,
cioè che il numeratore è strettamente positivo per ogni x ∈ R; per
quanto riguarda il segno del denominatore, e cioè
2x + 3−x > 0 ,
possiamo affermare che tale disuguaglianza risulta essere verificata,
sempre per la suddetta proprietà, in quanto, essendo
2x > 0 ∀ x ∈ R ,
e
3−x > 0 ∀ x ∈ R ,
la somma di 2 numeri strettamente positivi è anch’essa strettamente
positiva. Possiamo concludere che la frazione al primo membro della disequazione data è senz’altro un numero strettamente positivo, in
quanto rapporto di 2 numeri positivi, cioè
ex
>0
2x + 3−x
e dunque la disequazione assegnata non è mai verificata e la risposta
esatta è la b).
10. La disequazione 4 − cos2 x > 0 è soddisfatta:
a) per ogni valore reale di x
(∗)
74
Matematica di Base
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π
3
5
7
< x < π, π < x < π
4
4
4
4
π 3
5
7
c) 0 < x < , π < x < π , π < x < 2π
4 4
4
4
d) 0 < x < 2π
b)
Svolgimento. Tale disequazione trigonometrica, si risolve immediatamente se si sfrutta la seguente proprietà:
−1 ≤ cos x ≤ 1
0 ≤ cos2 x ≤ 1 ∀ x ∈ R .
⇔
Se osserviamo che
0 ≤ cos2 x ≤ 1 ∀ x ∈ R
⇔
−1 ≤ cos2 x ≤ 0 ∀ x ∈ R
e che sommando 4 ad ambo i membri dell’ultima disuguaglianza
4−1 ≤ 4−cos2 x ≤ 4+0 ∀ x ∈ R
⇔
3 ≤ 4−cos2 x ≤ 4 ∀ x ∈ R ,
risulta evidente che il numero 4 − cos2 x, in quanto compreso tra 3 e 4,
è positivo per ogni x ∈ R e la risposta esatta è la a).
11. La disequazione sin x − cos2 x + 1 > 0 è soddisfatta:
a) per ogni valore reale di x
π
b) 0 < x <
2
c) π < x < 2π
d) 0 < x < π
(∗)
Svolgimento. Si tratta di una disequazione trigonometrica che è possibile trasformare in una disequazione di secondo grado mediante un
cambiamento di variabile; se si tiene conto della relazione fondamentale
della trigonometria:
cos2 x + sin2 x = 1 ,
∀x ∈ R,
cos2 x = 1 − sin2 x ,
∀x ∈ R,
da cui si ricava che:
75
Matematica di Base
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la disequazione data
sin x − cos2 x + 1 > 0
si riscrive come segue:
sin x − 1 − sin2 x + 1 > 0 ,
sin x − 1 + sin2 x + 1 > 0 ,
sin2 x + sin x > 0 .
La disequazione ottenuta si può scrivere sotto forma di una disequazione di secondo grado mediante la posizione
sin x = t ,
da cui
sin2 x = t2 ,
e quindi, si ottiene la seguente disequazione di secondo grado nell’incognita t:
t2 + t > 0 ,
le cui soluzioni sono:
t < −1 ,
∨ t > 0,
che riscritte nell’incognita originaria x diventano:
sin x < −1 ,
∨
sin x > 0 .
La prima delle 2 disequazioni, sin x < −1, è sempre falsa perché in
contrasto con la ben nota proprietà:
−1 ≤ sin x ≤ 1 ,
x ∈ R,
quindi non ammette soluzioni. Relativamente all’intervallo [0, 2π], la
seconda delle 2 disequazioni, sin x > 0, è verificata
0 < x < π.
Le soluzioni della disequazione data si ottengono dall’unione delle soluzioni delle 2 disequazioni appena esaminate, e cioè
0 < x < π;
pertanto, la risposta esatta è la d).
76
Matematica di Base
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12. La disequazione sin x > cos x è soddisfatta:
a) per ogni valore reale di x
b) mai
c) 0 < x < π , π < x < 2π
π
5π
d)
<x<
(∗)
4
4
Svolgimento. Si tratta di una disequazione trigonometrica per la cui
risoluzione è conveniente raccogliere i termini ad uno dei due membri
e scriverli sotto forma di prodotto. Se infatti passiamo tutto al primo
membro, la disequazione può essere scritta nella seguente forma equivalente supponendo cos x 6= 0, e quindi x 6= π/2 + kπ, k ∈ Z (cioè,
relativamente all’intervallo [0, 2π], x 6= π/2 e x 6= 3π/2)
sin x
− 1 > 0 ⇔ cos x (tan x − 1) > 0
sin x − cos x > 0 ⇔ cos x
cos x
e le soluzioni della disequazione data saranno i valori di x ∈ R che
rendono strettamente positivo il prodotto dei 2 fattori, cos x e tan x−1;
studiando il segno del primo fattore, e cioè:
cos x > 0 ,
relativamente all’intervallo [0, 2π], deve essere:
3
π
∨
π < x ≤ 2π ;
2
2
studiando il segno del secondo fattore, e cioè:
0≤x<
tan x − 1 > 0
⇔
tan x > 1 ,
relativamente all’intervallo [0, 2π], deve essere:
π
π
5
3
<x<
∨
π < x < π.
4
2
4
2
Riportando, infine, le soluzioni delle 2 disequazioni su un unico diagramma, otteniamo il seguente schema dei segni dei 2 fattori:
π
3
0
π
2π
2
2
+ + + + + + − − − − −− − − − + + + + ++
− − − + + + − − − − −− + + + − − − − −−
π
π
5
3
0
π
π
2π
4
2
4
2
77
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
e possiamo concludere che la disequazione assegnata è soddisfatta per
tutti i valori di x, x 6= π/2 e x 6= 3π/2, che rendono positivo il prodotto
dei 2 fattori, e cioè
π
π
<x<
4
2
∨
π
5
< x < π.
2
4
Per concludere la risoluzione, è necessario studiare i 2 valori esclusi dal
metodo risolutivo utilizzato, e cioè x = π/2 e x = 3π/2. Sostituendo
x = π/2 nella disequazione originale, si ha:
sin
π
π
> cos
2
2
⇔
1 > 0,
che è vera, e quindi anche x = π/2 è una soluzione della disequazione;
sostituendo, invece, x = 3π/2 nella disequazione originale, si ha:
sin
3
3
π > cos π
2
2
⇔
−1 > 0 ,
che è falsa, e quindi x = 3π/2 non è una soluzione della disequazione. Dall’unione delle soluzioni trovate, si ottiene che la disequazione è
soddisfatta per
5
π
< x < π,
4
4
e la risposta esatta è dunque la d).
2.6.3
Sistemi lineari
x + 2y = 0
y+z =0
1. Le soluzioni del sistema
sono:
x + 2y + z = 1
a) nessuna soluzione
b) x = −2 , y = 1 , z = 5
c) x = 0 , y = 1 , z = 0
d) x = 2 , y = −1 z = 1 (∗)
Svolgimento. Procediamo con il metodo di sostituzione, utilizzando
la prima equazione per esplicitare l’incognita x in funzione di y e la
78
Matematica di Base
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seconda equazione per esplicitare l’incognita z sempre in funzione di y;
si ottiene così il sistema
x = −2y
z = −y
x + 2y + z = 1
sostituendo le prime 2 equazioni nella terza, si ha:
x = −2y
x = −2y
z = −y
z = −y
⇔
(−2y) + 2y + (−y) = 1
−2y + 2y − y = 1
x = −2y
z = −y
y = −1
⇔
⇔
x = −2(−1)
z = −(−1)
y = −1
⇔
x = −2y
z = −y
⇔
−y = 1
x=2
z=1
y = −1
e la risposta esatta è dunque la d).
2.7
Esercizi proposti
2.7.1
Espressioni algebriche
• L’espressione
x−1
x+1
−
è uguale a
2 (x − 1) 3 (x + 1)
a) 1/6
b)
2x
− 1)
3(x2
x2 + 10x + 1
c)
6(x2 − 1)
(∗)
d) nessuna delle precedenti
• L’espressione
x−1
−
1 − 21 (x + 1)
a) 0
b) −
8x
4x2 − 1
79
1
2
x+1
è uguale a
− 1 (x − 1)
Matematica di Base
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x2 + 1
(∗)
x2 − 1
d) nessuna delle precedenti
c) 4
• L’espressione
x+a
x−a
+
è uguale a
b (x + a) b (x − a)
a) 0
b) −
c)
4ax
b(x2 − a2 )
2(x2 + a2 )
b(x2 − a2 )
(∗)
d) nessuna delle precedenti
2.7.2
Disequazioni
• La disequazione |2x − 5| < 7 è soddisfatta:
a) per ogni valore reale di x
b) x < 1 , x > 3
c) x > 0
d) −1 < x < 6 (∗)
• La disequazione
1
≤ x è soddisfatta:
x
a) per ogni valore reale di x 6= 0
b) mai
c) per −1 ≤ x < 0, x ≥ 1
(∗)
d) per −1 ≤ x ≤ 1, con x 6= 0
• La disequazione
2
x
≥
è soddisfatta:
x−3
3−x
a) per ogni valore reale di x
b) x ≤ −2 , x > 3 (∗)
c) x ≥ −2
80
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
d) mai
• La disequazione
2
1
≤ 2
è soddisfatta:
x−1
x −1
1
a) x < −1 , − ≤ x < 1 (∗)
2
1
b) −1 < x ≤ − , x > 1
2
c) per ogni valore reale di x
1
d) x ≤ −
2
• La disequazione 1 −
1
2x − 7
> 2
è soddisfatta:
2x + 3
4x − 9
a) per ogni valore reale di x 6=
3
3
b) x < − , x >
2
2
c) 1 < x < 4
1
2
(∗)
d) x < 1 , x > 3
• La disequazione
x−2
x
<
è soddisfatta:
x−1
x+1
a) per ogni valore reale di x
b) mai
c) x < −1 , x > 1 (∗)
1
d) x >
2
√
• La disequazione −x2 − 5x + 2 ≥ 1 è soddisfatta:
a) per ogni valore reale di x
b) per −5 ≤ x ≤ 0
(∗)
√
−5 − 21
c) per −5 ≤ x ≤
2
d) mai
81
Matematica di Base
• La disequazione
√
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√
x2 − 1 > − 8 è soddisfatta:
a) per ogni valore reale di x
b) x ≤ −1 , x ≥ 1 (∗)
c) −3 < x < 3
d) mai
• La disequazione 2−x
2 +x
<
1
è soddisfatta:
64
a) x ≤ 0
b) x < −2 , x > 3 (∗)
c) x ≥ 0
d) −2 < x < 3
• La disequazione 32x−1 > 3 · 31−x è soddisfatta:
a) per ogni valore reale di x
1
b) x >
2
c) x > 1 (∗)
d) nessuna delle precedenti
2.7.3
Sistemi lineari
• Le soluzioni del sistema
x − 2y = 3
sono:
3x − y = 4
a) nessuna soluzione
b) x = −1 , y = 1
c) x = 1 , y = −1 (∗)
d) x = 2 , y = −2
3x + y = 0
2x − z = 0
• Le soluzioni del sistema
sono:
x + 2y + z = 3
a) x = 0 , y = 1 , z = 0
82
Matematica di Base
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b) x = 1 , y = −3 , z = 2
c) x = −1 , y = 3 z = −2 (∗)
d) nessuna soluzione
• Le soluzioni del sistema
2x + 3y = 12
3x − y = 7
sono:
a) x = 3 , y = 2 (∗)
b) x = 0 , y = 1
c) x = 3 , y = 1
d) nessuna soluzione
2x − z = 0
x − y + 3z = 1 sono:
• Le soluzioni del sistema
x + 2y = 3
a) x = 1 , y = 6 , z = 2
b) x = 0 , y = 1 , z = 0
4
2
1
z=
c) x = , y =
3
3
3
d) nessuna soluzione
(∗)
83
Matematica di Base
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84
Capitolo 3
MATEMATICA DI BASE –
MODULO 3
Geometria del Piano — Perimetri e Aree di Figure Piane —
Superfici e Volumi di Solidi — Geometria Analitica
3.1
Matematica: concetti primitivi
Anche in Matematica da qualche parte bisogna pur partire! I punti di partenza sono i cosiddetti concetti primitivi, cioè i concetti che non sono suscettibili
di una definizione che non sia circolare (cioè una definizione che di fatto definisce un oggetto usando dei sinonimi). Se ne fissano soltanto le proprietà
elencando i cosiddetti assiomi o postulati. Per la Geometria è tradizione
riferirsi agli Elementi di Euclide.
3.2
3.2.1
Gli Elementi di Euclide (Στ oιχια)
Nozioni comuni
1. Cose uguali a un’altra medesima sono tra loro uguali.
2. Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, allora si ottengono cose
uguali.
3. Se da cose uguali si tolgono cose uguali, allora si ottengono cose uguali.
85
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
4. Cose che possono essere portate a sovrapporsi l’una con l’altra sono
uguali tra loro.
5. Il tutto è maggiore della parte.
3.2.2
Definizioni
1. Un punto è ciò che non ha parti.
2. Una linea è una lunghezza senza larghezza.
3. Gli estremi di una linea sono punti.
4. Una retta è una linea che giace ugualmente rispetto ai punti su di essa.
5. Una superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e larghezza.
6. Gli estremi di una superficie sono linee.
7. Una superficie piana è quella che giace ugualmente rispetto alle rette
su di essa.
8. Un angolo piano è l’inclinazione reciproca di due linee in un piano le
quali si incontrino e non giacciano in linea retta.
9. Quando le linee che comprendono l’angolo sono rette, l’angolo è detto
rettilineo.
10. Quando una retta innalzata a partire da un’altra retta forma con essa
angoli adiacenti uguali fra loro, ciascuno dei due angoli è retto, e la
retta si dice perpendicolare a quella su cui è innalzata.
11. Dicesi angolo ottuso l’angolo maggiore di un angolo retto.
12. Dicesi acuto l’angolo minore di un angolo retto.
13. Dicesi termine ciò che è estremo di qualche cosa.
14. Dicesi figura ciò che è compreso da uno o più termini.
15. Dicesi cerchio una figura piana delimitata da un’unica linea tale che
tutte le rette che terminano su di essa a partire da un medesimo punto
fra quelli interni alla figura, siano uguali fra loro.
86
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
16. Quel punto si chiama centro del cerchio.
17. Dicesi diametro del cerchio una retta condotta per il centro e terminata
da ambedue le parti dalla circonferenza del cerchio, la quale retta taglia
anche il cerchio per metà.
18. Dicesi semicerchio la figura compresa dal diametro e dalla circonferenza
da esso tagliata. E centro del semicerchio è quello stesso che è anche
centro del cerchio.
19. Si dicono rettilinee le figure delimitate da rette, vale a dire: figure
trilatere quelle comprese da tre rette, quadrilatere quelle comprese da
quattro rette e multilatere quelle comprese da più di quattro rette.
20. Dicesi triangolo equilatero la figura trilatera che ha i tre lati uguali,
triangolo isoscele quella che ha soltanto due lati uguali, e scaleno quella
che ha i tre lati disuguali.
21. Dicesi inoltre triangolo rettangolo la figura trilatera che ha un angolo
retto, triangolo ottusangolo quella che ha un angolo ottuso, e triangolo
acutangolo quella che ha i tre angoli acuti.
22. Dicesi quadrato la figura quadrilatera che ha i lati uguali e gli angoli
retti.
23. Diconsi parallele rette giacenti nello stesso piano che, prolungate illimitatamente in entrambe le direzioni, non si incontrino fra loro da
nessuna delle due parti.
3.2.3
Postulati
1. È possibile condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro
punto.
2. È possibile prolungare illimitatamente una retta finita in linea retta.
3. È possibile descrivere un cerchio con qualsiasi centro e distanza (raggio)
qualsiasi.
4. Tutti gli angoli retti sono uguali fra loro.
87
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
5. Se (in un piano) una retta, intersecando due altre rette, forma con
esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma minore di due
angoli retti, allora queste due rette indefinitamente prolungate finiscono
con l’incontrarsi dalla parte detta.
3.3
Figure piane
Una figura i cui punti appartengono tutti ad un piano si dice figura piana.
Nel caso contrario si parla di figura solida.
3.3.1
Poligonali
Consideriamo dei punti nel piano e congiungiamoli con dei segmenti a due a
due consecutivi: otteniamo una poligonale o spezzata.
Spezzata
chiusa
3.3.2
Spezzata
aperta
Spezzata
non intrecciata
Spezzata
intrecciata
Poligono
Si chiama poligono la figura formata da una spezzata chiusa non intrecciata
e dalla parte finita di piano da essa limitata.
I segmenti che compongono la spezzata chiusa si dicono lati del poligono.
Un poligono ha sempre un ugual numero di lati, di vertici e di angoli. Tale
numero dà il nome al poligono:
• 3 angoli → triangolo;
• 4 angoli → quadrangolo;
• 5 angoli → pentagono;
• 6 angoli → esagono;
• 10 angoli → decagono;
88
Matematica di Base
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• 15 angoli → pentadecagono;
• n angoli → n–agono;
Il triangolo è una figura piana che ha tre angoli e tre lati.
Proprietà 1 La somma degli angoli interni di un triangolo è pari ad un
angolo piatto (1800 o π radianti).
Si distinguono i triangoli in:
• ISOSCELI, se due dei tre lati sono uguali (più esattamente: congruenti);
• EQUILATERI, se tutti e tre i lati sono uguali;
• SCALENI, se i tre lati sono tutti di lunghezza diversa.
• RETTANGOLI, se un angolo è retto (900 , o, più propriamente,
radianti).
• ACUTANGOLI, se tutti gli angoli sono acuti (minori di 900 );
• OTTUSANGOLI, se un angolo è ottuso (maggiore di 900 );
89
π
2
Matematica di Base
3.3.3
F. Conforto, F. Oliveri
Punti notevoli di un triangolo
• Circoncentro: punto d’intersezione degli assi;
• Ortocentro: punto d’intersezione delle altezze;
• Incentro: punto d’intersezione delle bisettrici;
• Baricentro: punto d’intersezione delle mediane;
• Excentri : centri delle circonferenze tangenti esternamente ad un lato
ed ai prolungamenti degli altri due lati.
Nota 8 Nel triangolo equilatero tutti questi punti coincidono.
• Le altezze partono da un angolo e cadono perpendicolarmente (formando 2 angoli retti) sul lato opposto.
• Le mediane partono da un angolo e cadono nel punto medio (ossia a
metà) del lato opposto.
• Le bisettrici dividono in 2 parti congruenti l’angolo da cui partono.
• Gli assi partono dal punto medio di un segmento perpendicolarmente
al segmento stesso.
3.3.4
Triangoli simili
Se due triangoli hanno lati corrispondenti proporzionali ed angoli ordinatamente uguali, essi sono simili.
Criteri di Similitudine
• Due triangoli sono simili se hanno due angoli ordinatamente uguali;
• Due triangoli sono simili se hanno un angolo uguale compreso fra lati
proporzionali;
• Due triangoli sono simili se hanno i tre lati ordinatamente proporzionali.
90
Matematica di Base
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Corollari
• Tutti i triangoli equilateri sono simili fra loro;
• Due triangoli isosceli sono simili se hanno l’angolo al vertice uguale
• Due triangoli rettangoli sono simili se hanno un angolo acuto rispettivamente uguale, o quando i cateti dell’uno sono proporzionali a quelli
dell’altro.
Nota 9 In un triangolo qualsiasi c’è al massimo un angolo retto. In un
triangolo qualsiasi c’è al massimo un angolo ottuso.
Questi fatti sono conseguenza del fatto che la somma degli angoli interni
di un triangolo è un angolo piatto.
3.3.5
Quadrilateri
I quadrilateri sono figure con quattro lati e quattro angoli.
Proprietà
• La somma degli angoli interni è di 360◦ (2π radianti); in generale la
somma degli angoli interni di un poligono è pari a tanti angoli piatti
quanti sono i lati diminuiti di 2;
• Le diagonali di un quadrilatero, ovvero i segmenti che uniscono due
vertici non consecutivi, sono sempre due.
Classi particolari di quadrilateri sono:
• i trapezi: quadrilateri con due lati paralleli;
91
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
• i parallelogrammi: quadrilateri dove i lati opposti sono paralleli;
• i rettangoli: quadrilateri che hanno tutti gli angoli retti;
• i rombi: quadrilateri che hanno tutti i lati uguali e quelli opposti sono
paralleli, in effetti esso risulta essere un particolare parallelogramma
con i lati uguali;
• i quadrati: quadrilateri che sono ROMBI e RETTANGOLI contemporaneamente.
3.3.6
Poligoni regolari
Un poligono regolare è un poligono in cui tutti i lati e tutti gli angoli sono
uguali.
In pratica i poligoni regolari sono: equilateri ed equiangoli.
Un poligono può essere equilatero senza essere equiangolo e viceversa.
• il rombo è equilatero ma non è equiangolo;
• il rettangolo è equiangolo ma non è equilatero.
Poligoni regolari: esempi
• triangolo equilatero;
• quadrato;
• pentagono regolare;
• esagono regolare;
• ...
Esistono infiniti poligoni regolari.
92
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Ad ogni poligono regolare si può inscrivere e circoscrivere una circonferenza. Le due circonferenze hanno lo stesso centro.
3.3.7
Circonferenza
Si chiama circonferenza il luogo geometrico dei punti P di un piano che sono
equidistanti da un punto prefissato, C, detto centro.
1. La distanza tra ogni punto della circonferenza e il suo centro si chiama
raggio;
2. Ogni segmento che congiunge due punti distinti della circonferenza si
chiama corda;
3. Una qualsiasi corda passante per il centro si chiama diametro.
93
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
4. In una circonferenza una qualunque corda non passante per il centro è
minore del diametro;
5. Se indichiamo con H il piede della perpendicolare condotta dal centro C
di una circonferenza ad una corda AB della stessa circonferenza allora
tale perpendicolare dimezza la corda;
6. Se due corde appartenenti alla stessa circonferenza sono isometriche
(cioè, hanno la stessa lunghezza) allora esse sono equidistanti dal centro
della circonferenza;
7. Se due corde sono equidistanti dal centro della circonferenza allora tali
corde sono isometriche.
Teorema 2 Ogni angolo alla circonferenza è uguale alla metà del corrispondente angolo al centro.
Corollari
• Ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è un triangolo rettangolo, la cui ipotenusa coincide con il diametro della semicirconferenza;
• Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco, o su
archi isometrici, sono uguali fra loro.
94
Matematica di Base
3.3.8
F. Conforto, F. Oliveri
Perimetro e area di figure piane
Ad ogni figura piana si possono associare due valori numerici:
• perimetro, che è pari alla somma delle misure dei lati della figura piana;
• area, che è la misura della superficie occupata dalla figura piana.
95
Matematica di Base
3.3.9
F. Conforto, F. Oliveri
Teoremi notevoli sui triangoli rettangoli
Primo Teorema di Euclide
In ogni triangolo rettangolo il quadrato avente come lato uno dei cateti è
equivalente (ha la stessa area) al rettangolo che ha per dimensioni l’ipotenusa
e la proiezione del predetto cateto sull’ipotenusa.
Teorema di Pitagora
In ogni triangolo rettangolo, l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è
equivalente alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.
96
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Nell’enunciato del teorema di Pitagora, i quadrati possono essere sostituiti
da altre figure, come ad esempio triangoli, esagoni, o anche figure irregolari,
purché simili tra loro.
Le figure simili sono quelle che differiscono solo per grandezza, ma non per
forma. In altre parole, due figure simili sono l’una l’ingrandimento dell’altra.
Secondo Teorema di Euclide
In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei
cateti sull’ipotenusa.
97
Matematica di Base
3.4
F. Conforto, F. Oliveri
Solidi
Esempi di solidi sono: Prisma, Parallelepipedo, Piramide, Cilindro, Cono,
Sfera, Poliedri Regolari.
Un poliedro si dice regolare quando le sue facce sono poligoni regolari
tutti uguali e i suoi angoloidi sono tutti uguali fra di loro.
A differenza dei poligoni regolari, che sono infiniti, esistono solo 5 poliedri
regolari, che sono i cosiddetti solidi platonici.
• Tetraedro regolare: 4 facce triangolari;
• Ottaedro regolare: 8 facce triangolari;
• Icosaedro regolare: 20 facce triangolari;
• Esaedro regolare o cubo: 6 facce quadrate;
• Dodecaedro regolare: 12 facce pentagonali.
98
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Volume di solidi elementari
Il volume o capacità è la misura dello spazio occupato da un corpo.
Formule
• Volume del Cubo: V = s3 , dove s è la lunghezza dei lati;
• Volume del Prisma retto a base rettangolare: V = a · b · c dove a, b,
c sono rispettivamente lunghezza, larghezza e altezza del Prisma; per
i prismi generici il volume V = Ab h, dove Ab indica l’area di base e h
l’altezza;
• Volume del Cono di raggio r e altezza h: V = 13 πr2 h;
• Volume della Sfera di raggio r: V = 43 π · r3 ;
• Volume della Piramide V = 13 A·h, dove A è l’area di base ed h l’altezza.
3.5
Piano cartesiano
• Prendiamo nel piano due rette orientate (asse x e asse y) tra di loro
perpendicolari e indichiamo con O il loro punto di intersezione;
• Fissiamo una unità di misura u.
99
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Tale piano viene detto Piano Cartesiano Ortogonale.
• Un punto qualsiasi P del piano sarà individuato da due numeri (x1 , y1 ):
– x1 è la misura (con segno) del segmento determinato da O e dal
punto di intersezione tra la perpendicolare passante per P all’asse
x e l’asse x stesso;
– y1 è la misura (con segno) del segmento determinato da O e dal
punto di intersezione tra la perpendicolare passante per P all’asse
y e l’asse y stesso;
• I numeri reali x1 , y1 sono le coordinate cartesiane del punto P (rispettivamente: ascissa e ordinata del punto P );
• I due assi cartesiani dividono il piano in quattro quadranti (Il primo
quadrante è quello dei punti con entrambe le coordinate positive; gli
altri nell’ordine si susseguono ruotando in senso antiorario).
3.5.1
Distanza tra due punti
Considerati due punti P≡ (x1 , y1 ) e Q≡ (x2 , y2 ), per determinare la distanza
fra due punti si ha la seguente formula che deriva dal Teorema di Pitagora:
p
d = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
vale a dire:
In coordinate ortogonali la distanza di due punti è data dalla radice quadrata
della somma dei quadrati delle differenze tra le coordinate omologhe.
100
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
La distanza di un punto P≡ (x1 , y1 ) dall’origine è data da
q
OP = x21 + y12
cioè è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle coordinate.
3.5.2
Retta
• La retta o linea retta è uno degli enti geometrici fondamentali della
geometria euclidea. Viene definita da Euclide nei suoi Elementi come
un concetto primitivo.
• La retta è illimitata in entrambe le direzioni, cioè infinita.
• Due rette nel piano possono essere:
– incidenti se si intersecano (in uno e un solo punto);
– parallele se non si intersecano (nella geometria proiettiva si dicono
che si incontrano all’infinito, cioè, scherzando, quando non gliene
frega più niente).
• Per un punto si possono tracciare un infinito numero di rette;
• Per due punti passa una e una sola retta.
Equazione della retta
Ogni retta è rappresentata da una equazione di primo grado in due variabili:
x e y.
101
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
• Equazione della retta in forma implicita
ax + by + c = 0
dove i coefficienti a, b e c sono dei numeri reali fissati, con a e b non
contemporaneamente nulli.
• Se b 6= 0 oppure a 6= 0 , è possibile descrivere la stessa retta in forma
esplicita rispettivamente in una delle due forme seguenti:
y = mx + q,
oppure x = m0 y + q 0 ,
dove
a
b
m = − , m0 = −
b
a
è il coefficiente angolare (rispetto all’asse x o all’asse y) e quantifica la
pendenza della retta.
Nell’eq. y = mx + q il coefficiente angolare m
è la tangente trigonometrica dell’angolo che
la retta forma con il semiasse positivo delle
x. Il coefficiente q (l’intercetta) l’ordinata del
punto di intersezione con l’asse y.
Retta: Esempi
Consideriamo la retta
y = x − 1.
Tutti i punti di questa retta godono di avere per coordinate le coppie di
numeri
(x, x − 1), per ogni scelta di x.
Cioè, coppie di numeri che, sostituiti ordinatamente al posto delle variabili
x e y nell’equazione, soddisfano l’equazione stessa.
102
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Retta: Proprietà
Assegnata quindi una retta
ax + by + c = 0
i punti del piano cartesiano rimangono suddivisi in 3 insiemi, per semplicità
chiamiamoli A, B, C, che sono rispettivamente
•
A = {P ≡ (x, y) : ax + by + c = 0}
•
B = {P ≡ (x, y) : ax + by + c > 0}
•
C = {P ≡ (x, y) : ax + by + c < 0}
Retta per due punti
Dati due punti di coordinate (x1 , y1 ) (x2 , y2 ), per essi passa una ed una sola
retta!
L’equazione della retta passante per essi è:
y − y1
x − x1
=
.
x2 − x 1
y2 − y1
Questa formula rappresenta il modo più pratico per scrivere l’equazione della
retta, non parallela ad alcun asse coordinato, passante per i punti suddetti.
Parallelismo e ortogonalità tra rette
Date due rette, r, di equazione y = mx + p, ed r0 , di equazione y = m0 x + p0 ,
allora
• condizione di parallelismo: m = m0 ;
• condizione di perpendicolarità m · m0 = −1.
103
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Esempio 38 Data la retta r di equazione
ax + by + c = 0,
e un punto P ≡ (x0 , y0 ), la retta r0 di equazione
b(x − x0 ) − a(y − y0 ) = 0,
è perpendicolare alla retta r e passa per P .
Infatti:
• l’equazione della retta r0 è identicamente soddisfatta per x = x0 e y =
y0 ;
• è perpendicolare alla retta r in quanto il prodotto dei rispettivi coefficienti angolari è −1.
Fascio di rette
Tutte le rette passanti per un punto P ≡ (x0 , y0 ) (fascio di rette) hanno
equazione
y − y0 = m(x − x0 ).
Intersezione tra due rette
Date due rette, di equazione
ax + by + c = 0,
a0 x + b0 y + c0 = 0
che non sono parallele (il che analiticamente corrisponde alla condizione a ·
b0 − a0 · b 6= 0), il loro punto di intersezione si trova risolvendo il sistema
lineare
ax + by + c = 0, a0 x + b0 y + c0 = 0,
che è determinato e ha un’unica soluzione.
Nel caso di rette parallele si ha un sistema indeterminato (le due equazioni
identificano la stessa retta) o impossibile (le due equazioni identificano due
rette parallele ma distinte).
104
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Rette: casi particolari
• Retta parallela all’asse delle ordinate
x = k,
(per k = 0 si ha l’asse y)
• Retta parallela all’asse delle ascisse
y = k,
(per k = 0 si ha l’asse x)
Retta passante per l’origine
y = mx;
• se m = 1, si ha la bisettrice del primo e terzo quadrante;
• se m = −1, si ha la bisettrice del secondo e quarto quadrante.
Distanza di un punto dalla retta
Preso un punto P ≡ (x0 , y0 ), e una retta r di equazione ax + by + c = 0, la
distanza di P da r è la distanza tra il punto P e l’intersezione tra la retta r
e la perpendicolare alla retta r passante per il punto P . In formule:
d(P, r) =
|ax0 + by0 + c|
√
.
a2 + b2
La formula si ricava con i seguenti passi:
105
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
• si scrive l’equazione della retta passante per P e perpendicolare alla
retta r:
b(x − x0 ) − a(y − y0 ) = 0;
• si determina il punto Q di intersezione tra questa retta e la retta r;
• si calcola la distanza tra P e Q.
Esempio 39 Calcolare perimetro e area dei triangoli di vertici:
• A ≡ (3, −5), B ≡ (3, 4), C ≡ (−1, 7);
• A ≡ (2, 3), B ≡ (1, 0), C ≡ (0, 1);
• A ≡ (−1, 4), B ≡ (−1, 0), C ≡ (3, 0).
È sufficiente calcolare la distanza tra A e B (base) e la distanza tra C e la
retta passante per A e B (altezza). Il semiprodotto di base e altezza fornisce
l’area. Trovando la distanza tra B e C, e la distanza tra A e C possiamo
calcolare il perimetro.
Noto il perimetro, potremmo calcolare l’area con la formula di Erone:
A=
p
p(p − a)(p − b)(p − c),
dove p è il semiperimetro, e a, b, c i tre lati.
Esempio 40 Determinare il valore di k per√ cui, dati i punti A ≡ (2k −
1, 3k − 5) e B ≡ (k − 2, 2k − 6), sia AB = 2 2
Si ha:
p
AB = (xB − xA )2 + (yB − yA )2
p
= (k − 2 − 2k + 1)2 + (2k − 6 − 3k + 5)2
p
√
= (k + 1)2 + (k + 1)2 = |k + 1| 2.
Dovendo essere:
√
√
|k + 1| 2 = 2 2 ⇒ |k + 1| = 2 ⇒ k + 1 = ±2 ⇒ k = 1 o k = −3.
106
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Baricentro di un triangolo
Le cordinate del baricentro di un triangolo sono date dalle medie aritmetiche
delle rispettive coordinate dei suoi tre vertici.
Esempio 41 Determinare le coordinate del baricentro G del triangolo OAB
di vertici O ≡ (0, 0), A ≡ (3, 2), B ≡ (6, −4)
Le coordinate del baricentro sono date da:
xG =
0+3+6
,
3
yG =
0+2−4
3
⇓
2
G ≡ (3, − )
3
Esempio 42 Determinare il coefficiente angolare delle rette passanti per i
punti:
• A = (2, − 34 ), B = ( 21 , 58 );
• A = (−5, 4), B = (1, 4);
• A = (1, −3), B = (1, 1);
Il coefficiente angolare di una retta passante per i punti A = (x1 , y1 ) e
A = (x2 , y2 ) è dato da:
y2 − y1
m=
x 2 − x1
purché x1 6= x2 . Si ha quindi, per la prima coppia di punti:
m=
5
8
1
2
11
+ 43
11
= 83 = − .
12
−2
−2
. . . al resto pensateci voi!
3.5.3
Circonferenza
L’equazione di una circonferenza di centro C ≡ (x0 , y0 ) e raggio r è
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 ,
che traduce analiticamente che i punti di coordinate (x, y) della circonferenza
hanno distanza pari a r dal centro C ≡ (x0 , y0 ).
107
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Intersezione di una circonferenza e una retta
L’intersezione tra una circonferenza e una retta si studia determinando le
soluzioni del sistema
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 ,
ax + by + c = 0.
Le soluzioni di questo sistema si trovano risolvendo l’equazione della
retta rispetto ad x oppure rispetto ad y e sostituendo nell’equazione della
circonferenza. Ad es., sostituendo
c
a
y =− x−
b
b
nell’equazione della circonferenza, si trova un’equazione di secondo grado in
x. Se per questa equazione risulta:
• ∆ > 0: ci sono due soluzioni distinte di x che sono le ascisse dei punti
di intersezione; si calcolano poi i corrispondenti valori di y; la retta
interseca la circonferenza in due punti (retta secante);
• ∆ = 0: ci sono due soluzioni coincidenti di x cui corrispondono due
valori uguali di y; la retta è tangente alla circonferenza;
• ∆ < 0: non ci sono soluzioni reali per x; la retta è esterna.
Determinare le intersezioni (se esistono) tra:
1. Retta 3x + 2y − 1 = 0 e circonferenza di centro C ≡ (0, 0) e raggio 1.
2. Retta y = 1 e circonferenza di centro C ≡ (1, 0) e raggio 1.
3. Retta 5x + 4y − 20 = 0 e circonferenza di centro C ≡ (1, 1) e raggio 12 .
1.
√
√ !
3−4 3 2+6 3
,
,
13
13
√
√ !
3+4 3 2−6 3
,
(retta secante).
13
13
2. Una sola intersezione, (1, 1) (retta tangente).
3. Non ci sono intersezioni (retta esterna).
108
Matematica di Base
3.5.4
F. Conforto, F. Oliveri
Parabola
La parabola è il luogo dei punti del piano equidistante da una retta fissa detta
direttrice e da un punto fisso detto fuoco non appartenente alla direttrice.
La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice è l’asse di
simmetria della parabola. Il punto di intersezione tra la parabola e l’asse di
simmetria è il vertice della parabola, ed è il punto medio tra il fuoco e la sua
proiezione ortogonale sulla direttrice.
In un piano cartesiano, scegliendo gli assi in maniera che la direttrice
coincida con l’asse x, e quindi la direttrice è caratterizzata dall’equazione
y = 0,
e l’asse y passi per il fuoco, e quindi ha coordinate (0, f ) (f 6= 0), l’equazione
della parabola diventa:
f
x2
+ .
y=
2f
2
In generale, una parabola ad asse verticale (non necessariamente coincidente
con l’asse y) ha equazione
y = ax2 + bx + c,
a, b, c ∈ R,
Le coordinate del vertice sono
b 4ac − b2
− ,
,
2a
4a
109
a 6= 0.
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
mentre le coordinate del fuoco sono:
b 1 + 4ac − b2
− ,
,
2a
4a
e l’equazione della direttrice è:
y=−
1 + b2 − 4ac
.
4a
In maniera analoga, una parabola ad asse orizzontale (non necessariamente coincidente con l’asse x) ha equazione
x = ay 2 + by + c,
Le coordinate del vertice sono
4ac − b2 −b
,
4a
2a
a, b, c ∈ R.
,
mentre le coordinate del fuoco sono:
b
1 + 4ac − b2
,− , ,
4a
2a
e l’equazione della direttrice è:
x=−
3.6
3.6.1
1 + b2 − 4ac
.
4a
Esercizi svolti
Geometria piana
1. Sia data una circonferenza di centro O ed una sua tangente nel punto
A. Preso un punto P sulla tangente, si consideri il triangolo OAP .
Sapendo che l’angolo AP̂ O è di 28o , quanto misura l’angolo AÔP ?
110
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
a) 62o
(∗)
b) 78o
c) 90o
d) 152o
Svolgimento. Il triangolo OAP è rettangolo in A in quanto, com’è
noto, la tangente ed il raggio formano un angolo retto. Ricordando,
inoltre, che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180o , si può
concludere che:
AÔP = 180o − OÂP − AP̂ O = 180o − 90o − 28o = 62o ,
e la risposta esatta è la a).
2. Un triangolo ABC è simile ad un triangolo A0 B 0 C 0 . Sapendo che il lato
BC misura 12 cm, l’area di A0 B 0 C 0 misura 9 cm2 ed il lato B 0 C 0 corrispondente al lato BC misura 3 cm, quanto misura l’area del triangolo
ABC?
a) 144cm2
(∗)
b) 64cm2
c) 400cm2
d) 32cm2
Svolgimento. Per la similitudine dei due triangoli, il rapporto tra le
misure dei lati corrispondenti BC e B 0 C 0 , che vale
BC
12 cm
=
=4
3 cm
B0C 0
⇔
BC = 4 B 0 C 0
sarà uguale al rapporto della corrispondenti altezze h e h0 relative ai
lati BC e B 0 C 0 , cioè
h
=4
h0
⇔
111
h = 4h0 .
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
È chiaro quindi che, dette S ed S 0 le aree dei due triangoli, si ha:
S=
4 B 0 C 0 · 4h0
BC · h
B 0 C 0 · h0
=
= 16
= 16 S 0 = 16·9 cm2 = 144 cm2
2
2
2
e la risposta esatta è pertanto la a).
3. In un triangolo rettangolo il cateto minore è 9 cm e la sua proiezione
9
della stessa ipotenusa. Quanto misura il perimetro?
sull’ipotenusa è
25
a) 36 cm
(∗)
b) 32 cm
c) 24 cm
d) 48 cm
Svolgimento. Osservando la figura, i dati del problema sono: AB =
9 cm e BH = (9/25)BC. Per il primo teorema di Euclide, si ha:
2
AB = BC · BH ,
che sostituendo, fornisce:
(9 cm)2 = BC ·
9
BC
25
⇔
(9 cm)2 =
9
2
BC .
25
Estraendo la radice quadrata di ambo i membri dell’ultima equazione,
si ha:
3
9 cm = BC
5
e moltiplicando ambo i membri per 5/3, si ottiene la lunghezza dell’ipotenusa BC
5
5 3
· 9 cm = · BC
3
3 5
112
⇔
BC = 15 cm .
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Per poter calcolare il perimetro, resta da determinare la lunghezza dell’altro cateto. Noti un cateto e l’ipotenusa, si applica il teorema di
Pitagora:
q
√
√
2
2
AC = BC − AB = 225 cm2 − 81 cm2 = 144 cm2 = 12 cm .
Il perimetro è quindi dato da:
p = AB + BC + AC = 9 cm + 15 cm + 12 cm = 36 cm
e la risposta esatta è la a).
4. Il rapporto tra la superficie di un quadrato e quella di un triangolo
equilatero di eguale lato è
√
3
a)
4
b) 2
√
2 3
c)
3
√
4 3
d)
(∗)
3
Svolgimento. Detta ` la misura comune dei lati del quadrato e del
triangolo equilatero, la superficie del quadrato misura:
SQ = `2 .
Per determinare la superficie del triangolo bisogna determinarne l’altezza h che si ottine applicando il teorema di Pitagora ad uno dei due
triangoli rettangoli uguali che si ottengono tracciandone una qualsiasi
altezza. Relativamente al triangolo rettangolo così ottenuto, uno dei
un cateti è l’altezza del triangolo equilatero, l’altro cateto è metà di
un lato del triangolo equilatero e l’ipotenusa è un lato del triangolo
equilatero; l’altezza del triangolo equilatero è quindi data da:
s
r
r
2 r
2
2 − `2
`
`
4`
3`2
`√
= `2 −
=
=
=
3;
h = `2 −
2
4
4
4
2
113
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
la superficie del triangolo equilatero è:
√
` · 2` 3
`2 √ 1
`2 √
ST =
=
3· =
3.
2
2
2
4
Il rapporto richiesto è quindi
√
√
SQ
`2
4
4 3
4 3
2 4
= `2 √ = ` √ = √ = √ √ =
,
ST
3
3
`2 3
3
3 3
4
e la risposta esatta è la d).
5. Se i lati di un rettangolo misurano 2a e 3a, quanto vale il perimetro di
un rettangolo simile la cui superficie misura 150a2 ?
a)
b)
c)
d)
50a
250a
50
250
(∗)
Svolgimento. Se denotiamo ABCD il rettangolo di dimensioni AB =
2a e BC = 3a, il rettangolo simile A0 B 0 C 0 D0 deve avere dimensioni
corrispondenti proporzionali, e cioè:
A0 B 0 = kAB = 2ak ,
B 0 C 0 = kBC = 3ak ,
k > 0.
Del rettangolo A0 B 0 C 0 D0 è nota la misura della superficie:
SA0 B 0 C 0 D0 = A0 B 0 · B 0 C 0 = 150a2
e quindi, sostituendo a A0 B 0 e B 0 C 0 le loro espressioni in termini del
fattore di proporzionalità k, si ottiene la seguente equazione:
2ak · 3ak = 150a2
⇔
6a2 k 2 = 150a2
da cui, dividendo per 6a2 6= 0 ambo i membri, si ottiene:
k 2 = 25
⇔
k = 5;
ciò consente di affermare che
A0 B 0 = 2a · 5 = 10a ,
B 0 C 0 = 3a · 5 = 15a ,
ed il perimetro richiesto è:
p0 = 2 · A0 B 0 + 2 · B 0 C 0 = 2 · 10a + 2 · 15a = 20a + 30a = 50a
e la risposta esatta è la a).
114
Matematica di Base
3.6.2
F. Conforto, F. Oliveri
Geometria solida
1. La somma di tutti gli spigoli di un prisma retto avente per base un
triangolo equilatero è 36 cm e il suo lato di base misura 3 cm. Quanto
misura lo spigolo laterale?
a) 3 cm
b) 12 cm
c) 4 cm
d) 6 cm
(∗)
Svolgimento. La prima cosa da capire è quanti sono gli spigoli del
solido e quanti sono uguali tra loro. Trattandosi di un prima retto, il
solido ha due basi parallele ed uguali tra loro, che sono due triangoli
equilateri, e quindi gli spigoli del solido relativi alle due basi sono in
tutto 6, 3 per ciascuna delle basi, e tutti uguali tra loro; gli spigoli
rimanenti sono quelli relativi alla superficie laterale del prisma ed essendo le basi dei triangoli, gli spigoli della superficie laterale sono in
tutto 3, ovviamente uguali tra loro. Sapendo che ciascun lato di base
misura 3 cm, la somma delle misure degli spigoli relativi alle due basi è
6 · 3 cm = 18 cm ;
sottraendo dalla somma di tutti gli spigoli, la somma di quelli delle due
basi, si ottiene la somma delle misure degli spigoli laterali, e cioè
36 cm − 18 cm = 18 cm ;
sapendo che gli spigoli laterali sono in tutto 3, la misura di ciascuno di
essi è dunque
18 cm : 3 = 6 cm
e la risposta esatta è la d).
2. Un solido è formato da un cilindro circolare retto e da due mezze sfere
sovrapposte alle sue basi e aventi lo stesso raggio di 2 dm. Sapendo che
l’altezza del cilindro è 15 dm, quanto misura il volume del solido?
a)
200
π dm3
3
115
Matematica di Base
212
π dm3
3
424
π dm3
c)
3
400
d)
π dm3
9
b)
F. Conforto, F. Oliveri
(∗)
Svolgimento. Il volume del solido è dato dalla somma del volume del
cilindro di raggio di base r = 2 dm ed altezza h = 15 dm che è
Vc = πr2 · h = π(2 dm)2 · 15 dm = 4 · 15 π dm3 = 60π dm3 ,
e di quelli delle 2 semisfere, che sono equivalenti ad una sfera, di raggio
r = 2 dm e cioè
4
4
4
32
Vs = πr3 = π · (2 dm)3 = · 8 π dm3 =
π dm3 ,
3
3
3
3
ed è quindi pari a
VT OT = Vc + Vs = 60π dm3 +
32
180 + 32
212
π dm3 =
π dm3 =
π dm3
3
3
3
e la risposta esatta è la b).
3. Un solido è formato da un cubo sormontato da una piramide retta
avente per base una faccia del cubo e lo spigolo laterale della piramide
è 75 di quello del cubo. Sapendo che la somma di tutti gli spigoli del
solido è 176 cm, quanto misura la superficie del solido?
√
a) (400 + 20 171)cm2
√
b) (600 + 171)cm2
√
c) (100 + 171)cm2
√
d) (500 + 20 171)cm2 (∗)
Svolgimento. Detta ` la misura dello spigolo del cubo, lo spigolo
laterale della piramide misura
`0 =
7
`.
5
Il solido ha in tutto 16 spigoli, 12 del cubo (4 dei quali in comune con
la base della piramide) che misurano `, e 4 della superficie laterale della
116
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
piramide che misurano `0 . L’ulteriore dato del problema afferma che la
somma di tutti gli spigoli del solido è 176 cm e cioè
12 ` + 4 `0 = 176 cm ⇔ 12 ` + 4
28
7
` = 176 cm ⇔ 12 ` +
` = 176 cm
5
5
60 + 28
88
5
` = 176 cm ⇔
` = 176 cm ⇔ ` =
176 cm ⇔ ` = 10 cm .
5
5
88
Abbiamo anche che
`0 =
7
7
` = 10 cm = 14 cm .
5
5
La superficie del solido è data dalla somma delle superficie Sq = `2 di 5
facce del cubo, una base e la superficie laterale (4 facce) (si ricorda che
una faccia del cubo è interna al solido e coincide con la base della piramide), e della superficie laterale della piramide costituita da 4 triangoli
isosceli, di base ` = 10 cm e lati uguali `0 = 14 cm. Per determinare
l’area dei triangoli isosceli bisogna determinarne l’altezza, che si può
calcolare applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo che
si ottiene tracciando l’altezza relativa alla base ` e che divide la base
in due parti uguali. Il triangolo rettangolo così ottenuto ha come cateti l’altezza h del triangolo isoscele e metà della base `/2 del triangolo
isoscele e come ipotenusa lo spigolo laterale della piramide `0 ; si ha
dunque
s
2
√
√
`
02
= 196 cm2 − 25 cm2 = 171 cm ,
h= ` −
2
e quindi l’area di ciascuna faccia della superficie laterale della piramide
è data da:
√
√
`·h
10 cm · 171 cm
St =
=
= 5 171 cm2 .
2
2
In definitiva, la superficie totale è data da:
√
√
ST OT = 5·Sq +4·St = 5·(10 cm)2 +4·5 171 cm2 = (500+20 171) cm2
e la risposta esatta è la d).
117
Matematica di Base
3.6.3
F. Conforto, F. Oliveri
Geometria analitica
1. A quanto è uguale la distanza del punto P = (3, 4) dall’origine?
a) 7
b) 5 (∗)
c) 1
d) 12
Svolgimento. Ricordando la formula della distanza d(A, B) di 2 punti
A = (xA , yA ) e B = (xB , yB ) che è:
p
d(A, B) = (xA − xB )2 + (yA − yB )2 ,
la distanza del punto P dall’origine O = (0, 0) è data da:
p
√
√
√
d(O, P ) = (3 − 0)2 + (4 − 0)2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5 ,
e la risposta esatta è la b).
2. Dati i punti A = (7, 8) e M = (2, 3), quali sono le coordinate del punto
B tale che M sia il punto medio del segmento di estremi A e B?
a) (−3, −2) (∗)
9 11
,
b)
2 2
5 5
c)
,
2 2
d) (3, 2)
Svolgimento. Ricordando che dati 2 punti A = (xA , yA ) e B =
(xB , yB ), le coordinate del loro punto medio M = (xM , yM ) sono date
da:
xA + xB
yA + yB
xM =
, yM =
,
2
2
se sostituiamo nella formula le coordinate dei punti A e M , otteniamo
le relazioni:
7 + xB
8 + yB
2=
, 3=
;
2
2
118
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
moltiplichiamo ambo i membri di entrambe per 2
2·2=
7 + xB
· 2,
2
3·2=
8 + yB
· 2,
2
si ha
4 = 7 + xB ,
6 = 8 + yB ,
da cui, ricavando xB dalla prima e yB dalla seconda, si ottiene:
xB = 4 − 7 = −3 ,
yB = 6 − 8 = −2 ,
e la risposta esatta è la a).
3. Dato il punto P = (2, 3) e la retta r di equazione x − y + 1 = 0,
quanto misura la distanza dell’origine dalla retta condotta per P e
perpendicolare ad r?
√
a)
2
2
b) √
2
√
c) 5 2
5
d) √
(∗)
2
Svolgimento. Prima di poter calcolare la distanza della retta dall’origine, è necessario dedurre l’equazione della retta. Tale retta passa
per il punto P ed è perpendicolare ad r, cioè ne conosciamo il coefficiente angolare. Ricordando che il coefficiente angolare della retta di
equazione ax + by + c = 0, con b 6= 0, è
a
m=− ,
b
il coefficiente angolare della retta r è:
mr = −
1
= 1,
−1
e quindi, il coefficiente angolare dell’altra retta, che chiameremo r0 ,
dovrà verificare la condizione di ortogonalità e cioè:
mr0 = −
1
1
= − = −1 .
mr
1
119
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
A questo punto, se richiamiamo l’equazione di una retta passante per
un punto P = (xP , yP ) e di noto coefficiente angolare, mr0 , e cioè:
y − yP = mr0 (x − xP ) ,
l’equazione della retta r0 si ottiene dalla equazione precedente sostituendo il valore di mr0 e le coordinate di P :
y − 3 = −1 · (x − 2) ,
y − 3 = −x + 2 ,
y − 3 + x − 2 = 0,
x + y − 5 = 0.
Ricordiamo infine che la distanza di un punto P = (xP , yP ) da una
retta r di equazione ax + by + c = 0 è data da:
d(P, r) =
|axP + byP + c|
√
,
a2 + b 2
e quindi la distanza dall’origine O = (0, 0) della retta r0 di equazione
x + y − 5 = 0 è data da:
d(P, r) =
|1 · 0 + 1 · 0 − 5|
5
|0 + 0 − 5|
|−5|
√
= √
= √ =√
1+1
12 + 12
2
2
e la risposta esatta è la d).
4. Qual è la parallela alla retta 3x + 2y = 5 condotta per il centro della
circonferenza: x2 + y 2 − 6x + 2y − 3 = 0?
a) 2x + 3y = 10
b) 3x + 2y = 10
c) 3x + 2y = 7 (∗)
d) 2x − 3y = 7
Svolgimento. Per poter dedurre l’equazione della retta, che chiamiamo r0 , dobbiamo usare il suo passaggio per il punto C = (xC , yC ),
centro della circonferenza data, ed il suo parallelismo alla retta, che
120
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
chiamiamo r di equazione 3x + 2y = 5. Ricordando che il coefficiente
angolare della retta di equazione ax + by + c = 0, con b 6= 0, è
a
m=− ,
b
il coefficiente angolare della retta r è:
3
mr = − ,
2
e quindi, il coefficiente angolare della retta r0 , dovrà verificare la condizione di parallelismo tra 2 rette e cioè:
3
mr0 = mr = − .
2
Ricordando inoltre che data la circonferenza di equazione x2 +y 2 +ax+
by + c = 0, le coordinate del suo centro sono date da:
b
a
xC = − , yC = − ,
2
2
le coordinate di C sono:
2
−6
= 3 , yC = − = −1 .
xC = −
2
2
A questo punto, se richiamiamo l’equazione di una retta passante per
un punto C = (xC , yC ) e di noto coefficiente angolare, mr0 , e cioè:
y − yC = mr0 (x − xC ) ,
l’equazione della retta r0 si ottiene dalla equazione precedente sostituendo il valore di mr0 e le coordinate di C:
3
y − (−1) = − (x − 3) ,
2
moltiplicando ambo i membri per 2, si ha:
3
2(y + 1) = −2 · (x − 3) ,
2
2y + 2 = −3 (x − 3) ,
2y + 2 = −3x + 9 ,
2y + 2 + 3x − 9 = 0 ,
3x + 2y − 7 = 0
e la risposta esatta è la c).
121
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
5. Qual è l’equazione della circonferenza che passa per il punto (2, 5) e
taglia l’asse x nei punti di ascissa 4 e −2?
a) 5x2 + 5y 2 − 10x − 17y = 0
b) 5x2 + 5y 2 − 10x − 17y − 40 = 0 (∗)
c) 5x2 + 5y 2 − x − y − 40 = 0
d) 5x2 + 5y 2 − 40 = 0
Svolgimento. Per poter dedurre l’equazione della circonferenza bisogna utilizzare il suo passaggio per 3 punti noti, uno dato esplicitamente,
(2, 5), e gli altri 2 che sono i punti in cui la circonferenza interseca l’asse
x e cioè (4, 0) e (−2, 0). Se la generica circonferenza di equazione
x2 + y 2 + ax + by + c = 0
(3.1)
deve passare per i 3 punti suddetti, le loro coordinate devono soddisfare identicamente l’equazione, e quindi sostituendo opportunamente
le coordinate dei 3 punti nell’equazione della circonferenza si ottiene
il seguente sistema di 3 condizioni nelle incognite a, b e c, che sono i
coefficienti che caratterizzano l’equazione richiesta:
2
2 + 52 + a · 2 + b · 5 + c = 0,
42 + 02 + a · 4 + b · 0 + c = 0,
(−2)2 + 02 + a · (−2) + b · 0 + c = 0,
cioè:
4 + 25 + 2a + 5b + c = 0,
16 + 4a + c = 0,
4 − 2a + c = 0;
utilizziamo la terza equazione per esplicitare c in funzione di a e sostituiamo l’espressione di c ottenuta nelle altre 2 equazioni:
29 + 2a + 5b + 2a − 4 = 0,
16 + 4a + 2a − 4 = 0,
c = 2a − 4,
da cui
4a + 5b + 25 = 0,
6a + 12 = 0,
c = 2a − 4,
122
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
e quindi
4a + 5b = −25,
6a = −12.
c = 2a − 4;
ricavando a dalla seconda equazione e
nella prima e nella terza, si ha:
4 · (−2) + 5b = −25
= −2
a = −12
⇔
6
c = 2 · (−2) − 4
5b = −17
a = −2
⇔
⇔
c = −8
sostituendo la sua espressione
−8 + 5b = −25
a = −2
c = −4 − 4 = −8
b = − 17
5
a = −2
c = −8
⇔
Sostituendo i valori a = −2, b = −17/5 e c = −8 nell’equazione della
circonferenza (3.1) otteniamo la seguente equazione:
x2 + y 2 − 2x −
17
y − 8 = 0.
5
La risposta esatta è la b) e si vede moltiplicando per 5 ambo i membri
dell’equazione.
6. Data la parabola di equazione y = x2 − 3x + 2, quali sono i punti di
intersezione con gli assi?
a) A = (1, 0),
B = (2, 0)
b) A = (1, 0),
B = (0, 2)
c) A = (1, 1),
B = (2, 2)
d) A = (1, 0),
B = (2, 0),
C = (0, 2) (∗)
Svolgimento. Per poter determinare i punti di intersezione tra 2 curve, bisogno risolvere il sistema costituito dalle loro 2 equazioni nelle
incognite x e y che rappresentano le coordinate (x, y) dei loro punti di
intersezione (se esistono). I punti di intersezione con l’asse x, la cui
equazione è y = 0, sono dati dalle soluzioni del sistema
y = x2 − 3x + 2
0 = x2 − 3x + 2
x=1 ∨ x=2
⇔
⇔
y=0
y=0
y=0
123
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
che fornisce i punti A = (1, 0) e B = (2, 0). La parabola data, avendo
asse di simmetria parallelo all’asse y, ha sempre un punto di intersezione
con l’asse y, la cui equazione è x = 0, che sarà dato dal seguente sistema:
y = x2 − 3x + 2
y = 02 − 3 · 0 + 2
y=2
⇔
⇔
x=0
x=0
x=0
L’esistenza di un ulteriore punto di intersezione C = (0, 2) stabilisce
che la risposta esatta è la d).
7. Qual è l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y, passante
per l’origine e avente il vertice nel punto (2, −4)?
a) x = y 2 − 4y + 2
b) x = y 2 − 4y
c) y = x2 − 4x (∗)
d) y = x2 − 4x + 1
Svolgimento. L’equazione della generica parabola avente asse di simmetria parallelo all’asse y è:
y = ax2 + bx + c ,
(3.2)
con a, b, c, ∈ R, a 6= 0. Se sappiamo, inoltre, che tale parabola passa
per l’origine, deve necessariamente essere c = 0, per cui l’equazione
della parabola richiesta deve avere la forma:
y = ax2 + bx ,
(3.3)
Se ricordiamo che le coordinate del vertice V di una parabola con asse
parallelo all’asse y sono date da:
∆
b
, yV = − ,
∆ = b2 − 4ac
(3.4)
2a
4a
otteniamo le seguenti 2 equazioni nelle incognite a e b che sono i coefficienti che caratterizzano l’equazione richiesta; sostituendo le coordinate
del vertice nelle 2 relazioni (3.4) si ottiene:
b
2 = − 2a
∆
−4 = −
4a
xV = −
124
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Moltiplichiamo ambo i membri della prima equazione per −2a, ottendo
b in funzione di a; contemporaneamente, moltiplichiamo ambo i membri
della seconda equazione per 4a (osserviamo che tali fattori sono non
nulli perché a 6= 0):
b
2 · (−2a) = − 2a · (−2a)
−4a = b
b = −4a
⇔
⇔
2
−16a
=
−b
16a = b2
2
b
−
4a
·
0
−4 · 4a = −
· 4a
4a
b = −4a
b = −4a
b = −4a
b = −4
⇔
⇔
⇔
16a = (−4a)2
16a = 16a2
1=a
a=1
Sostituendo i valori a = 1 e b = −4 nell’equazione della parabola (3.3),
in cui si è già tenuto conto del fatto che c = 0, si ottiene l’equazione
richiesta, e cioè:
y = x2 − 4x
e la risposta esatta è la c).
8. Qual è l’equazione della parabola avente il vertice nel punto V = (5, −2)
e come direttrice la retta di equazione y = −4?
1
a) x = y 2 −
8
1
b) x = y 2 −
8
1
c) y = x2 −
8
1
d) y = x2 −
8
5
9
y+
4
8
5
y
4
5
9
x+
4
8
5
x
4
(∗)
Svolgimento. Se osserviamo che la direttrice è una retta parallela
all’asse x, la parabola richiesta ha asse parallelo all’asse y e quindi, la
sua equazione sarà della forma:
y = ax2 + bx + c .
Come nell’esercizio precedente, se ricordiamo che le coordinate del
vertice V di una parabola con asse parallelo all’asse y sono date da:
xV = −
b
,
2a
yV = −
125
∆
,
4a
∆ = b2 − 4ac
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
otteniamo le seguenti 2 equazioni nelle incognite a, b e c che sono i coefficienti che caratterizzano l’equazione richiesta; sostituendo le coordinate
del vertice nelle 2 relazioni (3.4) si ottiene:
b
5 = − 2a
∆
−2 = −
4a
Se ricordiamo inoltre che l’equazione della direttrice è data da:
y=−
1+∆
4a
alle 2 condizioni precedenti si aggiunge quella che il secondo membro
dell’equazione precedente deve essere uguale a −4, e quindi:
b
b
5=−
5=−
2a
2a
∆
b2 − 4ac
⇔
−2 = −
−2 = −
4a
4a
2
−4 = − 1 + ∆
−4 = − 1 + b − 4ac
4a
4a
che è un sistema di 3 equazioni nelle 3 incognite a, b e c. Moltiplicando
la prima equazione per −2a, la seconda e la terza per −4a, si ha:
b
5 · (−2a) = − · (−2a)
2a
−10a = b
2
b − 4ac
8a = b2 − 4ac
⇔
· (−4a)
−2 · (−4a) = −
4a
16a = 1 + b2 − 4ac
2
−4 · (−4a) = − 1 + b − 4ac · (−4a)
4a
b = −10a
b = −10a
2
8a = (−10a) − 4ac
8a = 100a2 − 4ac
⇔
⇔
2
2
16a = 1 + (−10a) − 4ac
16a = 1 + 100a − 4ac
126
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
b = −10a
2 = 25a − c
⇔
⇔
16a = 1 + 100a2 − 4ac
b = −10a
b = −10a
c = 25a − 2
c = 25a − 2
⇔
⇔
2
16a = 1 + 100a − 4a(25a − 2)
16a = 1 + 100a2 − 100a2 + 8a
10
5
1
b = −10 · = − = −
8
8
4
b
=
−10a
1
25
25 − 16
9
c = 25a − 2 ⇔
c = 25 · − 2 =
−2=
=
8
8
8
8
8a = 1
a= 1
8
Sostituendo i valori a = 1/8, b = −5/4 e c = 9/8 nella generica
equazione della parabola
5
9
1
y = x2 − x + ,
8
4
8
si vede facilmente che la risposta esatta è la c).
3.7
3.7.1
Esercizi proposti
Geometria piana
• In un triangolo isoscele la base misura 8 dm e l’altezza ad essa relativa
misura 3 dm. Quanto misura il perimetro?
a) 38 dm
b) 18 dm (∗)
c) 13 dm
d) 28 dm
4
• In un triangolo rettangolo un cateto è dell’ipotenusa ed il perimetro
5
è 96 cm. Quanto misura l’ipotenusa?
a) 40 cm (∗)
127
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
b) 32 cm
c) 24 cm
d) 48 cm
• Un rettangolo ha il perimetro di 14 cm e un lato di 4 cm. Quanto misura
la sua diagonale?
a) 5 cm (∗)
b) 6 cm
c) 7 cm
d) 9 cm
3.7.2
Geometria solida
• Siano C1 e C2 due cubi i cui spigoli sono, rispettivamente, l1 ed l2 . Se
C1 ha volume V = 64m3 e C2 ha superficie totale St = 24m2 , quanto
l1
vale il rapporto ?
l2
4
3
b) 1
a)
8
3
d) 2
c)
(∗)
• Le tre dimensioni di un parallelepipedo rettangolo sono misurate, in
centimetri, da tre numeri interi consecutivi. Sapendo che l’area della
superficie totale è 94 cm2 , quanto misura il volume del solido?
a) 70 cm3
b) 60 cm3
(∗)
c) 30 cm3
d) 120 cm3
128
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
• Sia dato un parallelepipedo avente per base un rettangolo. Sapendo
che l’area di base è 48 cm2 , che un lato del rettangolo misura 6 cm e
che l’altezza del prisma è 15 cm, quanto misura la superficie totale del
prisma?
a) 516 cm2
(∗)
b) 96 cm2
c) 180 cm2
d) 240 cm2
• Un rettangolo ha il perimetro di 14 cm e un lato di 4 cm. Quanto misura
la sua diagonale?
a) 5 cm
(∗)
b) 6 cm
c) 7 cm
d) 9 cm
4
• In un triangolo rettangolo un cateto è dell’ipotenusa ed il perimetro
5
è 96 cm. Quanto misura l’ipotenusa?
a) 40 cm
(∗)
b) 32 cm
c) 24 cm
d) 48 cm
• In un triangolo isoscele la base misura 8 dm e l’altezza ad essa relativa
misura 3 dm. Quanto misura il perimetro?
a) 38 dm
b) 18 dm
(∗)
c) 13 dm
d) 28 dm
129
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
• In un triangolo isoscele la misura di ciascuno dei due lati uguali misura
35 cm, mentre l’altro lato (base) misura 15 cm. Quanto misura ciascuno
dei due lati uguali di un triangolo isoscele simile a quello dato e la cui
base misura 9 cm?
a) 28 cm
b) 21 cm
(∗)
c) 42 cm
d) 20 cm
3.7.3
Geometria analitica
• Quali sono le coordinate del punto medio del segmento AB con A =
(5, 4) e B = (3, 2)?
a) (5, 3)
b) (3, 3)
c) (4, 4)
d) (4, 3) (∗)
• Qual è il punto medio M del segmento di estremi A = (−1, 2) e
1
?
B = 2,
2
3 3
a) M = − ,
2 2
5
b) M = 1,
2
1 5
c) M =
,
2 2
1 5
d) M =
,
(∗)
2 4
• Quanto misura la distanza del punto P = (−5, −1) dalla retta di
equazione 2x − 3y + 1 = 0?
130
Matematica di Base
3
13
5
b) √
3
1
c) √
2
6
d) √
13
F. Conforto, F. Oliveri
a)
(∗)
• Sia P il punto di intersezione delle rette di equazioni x+y = 1 e x−2y =
1. Qual è l’equazione della retta passante per P e perpendicolare alla
bisettrice del primo e terzo quadrante?
a) 2x − y − 2 = 0
b) x − y − 1 = 0
c) x = 1
d) x + y − 1 = 0 (∗)
• Quali sono le coordinate dei punti di intersezione della retta 2x + y = 1
con la circonferenza di equazione: x2 + y 2 − 6x + 3y − 4 = 0?
4 9
,−
a) A = (0, 1) , B =
5 5
4 9
b) A = (1, 1) , B =
,−
5 5
16 27
c) A = (0, 1) , B =
,−
(∗)
5
5
16 27
d) A = (0, 0) , B =
,−
5
5
• Quali sono le coordinate del vertice della parabola di equazione y =
−x2 + 5?
√
a) (− 5, 0)
√
b) ( 5, 0)
c) (0, 0)
d) (0, 5) (∗)
131
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
• Data la parabola P di equazione y = x2 − 3 e la retta r di equazione
x − y = 1, quali sono i punti di intersezione tra P e r?
a) A = (−2, −1) e B = (1, 2)
b) A = (−2, 1) e B = (1, −2)
c) A = (2, 1) e B = (−1, −2)
d) A = (2, −1) e B = (−1, 2)
132
(∗)
Capitolo 4
MATEMATICA DI BASE –
MODULO 4
Relazioni tra Insiemi — Funzioni — Grafici di Funzioni
4.1
Relazioni
Dati due insiemi non vuoti A e B, una relazione R tra essi è una legge
qualsiasi che associa ad elementi dell’uno elementi dell’altro.
Da un punto di vista matematico, una relazione R tra due insiemi non
vuoti A e B è un sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B. I due insiemi
possono anche coincidere.
Esempio 43
A = {uva, casa, tavolo, gatto}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
La relazione associa ad ogni parola il numero di
lettere. Le coppie di elementi in relazione,
{(uva, 3), (casa, 4), (tavolo, 6), (gatto, 5)},
costituiscono un sottoinsieme (proprio) del prodotto cartesiano A × B.
Esempio 44
A = {3, 4, 5, 6, 7},
133
B = {2, 3, 4}.
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Definiamo la relazione R dicendo che x ∈ A è in relazione con y ∈ B se x è
un multiplo di y.
R = {(3, 3), (4, 2), (4, 4), (6, 2), (6, 3)},
che è un sottoinsieme del prodotto cartesiano
A × B = {(3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 2), (5, 3), (5, 4),
(6, 2), (6, 3), (6, 4), (7, 2), (7, 3), (7, 4)}.
Da notare che gli elementi 5 e 7 sono single (non hanno alcun elemento
di B con cui essere in relazione).
Esempio 45 Poiché una relazione è un insieme, si può definire enunciando
una proprietà caratteristica. Dati gli insiemi
A = {1, 2, 3, 4},
B = {−1, 0, 1}
definiamo la relazione tra x ∈ A e y ∈ B se risulta x + y = 3
R = {(x, y) ∈ A × B : x + y = 3}.
R = {((2, 1), ((3, 0), (4, −1)}
4.1.1
Proprietà delle relazioni su un insieme A
Una relazione R ⊆ A × A si dice:
• Riflessiva: se ∀ x ∈ A, (x, x) ∈ R;
• Simmetrica: se ∀ (x, y) ∈ R anche (y, x) ∈ R;
• Antisimmetrica: se (x, y) ∈ R e (y, x) ∈ R allora x = y;
• Transitiva: se (x, y) ∈ R e (y, z) ∈ R allora (x, z) ∈ R.
134
Matematica di Base
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Relazione di Equivalenza
Una Relazione si dice di Equivalenza se è riflessiva, simmetrica e transitiva
(ad es., la relazione di parallelismo tra rette del piano, o la relazione di
uguaglianza).
Relazione di Ordine
Una Relazione si dice di Ordine se è riflessiva, antisimmetrica e transitiva
(ad es., la relazione ≤ tra i numeri reali).
Esercizio 1 Nell’insieme N dei numeri naturali sia definita la relazione
R = {(x, y) | x + y è pari}.
Quale delle seguenti affermazioni corretta?
1. La relazione è riflessiva.
2. La relazione è simmetrica.
3. La relazione è transitiva.
4. Le precedenti affermazioni sono tutte corrette.
Risposta corretta: Le precedenti affermazioni sono tutte corrette.
Esercizio 2 Nell’insieme N dei numeri naturali sia definita la relazione
R = {(x, y) | x · y è pari}.
Quale delle seguenti affermazioni è corretta?
1. La relazione R non è riflessiva, ma è simmetrica.
2. La relazione R è riflessiva e simmetrica.
3. La relazione R non è né riflessiva né simmetrica.
4. La relazione R è riflessiva ma non simmetrica.
Risposta corretta: La relazione R non è riflessiva, ma è simmetrica.
135
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Esercizio 3 Nell’insieme N dei numeri naturali definita la relazione
R = {(x, y) | x, y divisi per 3 danno lo stesso resto}.
Quale delle seguenti affermazioni corretta?
1. È una relazione d’equivalenza perché è riflessiva, simmetrica, transitiva.
2. È una relazione d’ordine perché è riflessiva, antisimmetrica, transitiva.
3. Non è né d’ordine né di equivalenza perché non è né simmetrica né
antisimmetrica.
4. Nessuna delle precedenti affermazioni è corretta.
Risposta corretta: È una relazione d’equivalenza.
4.2
Funzioni
Le funzioni da un insieme A ad un insieme B sono particolari relazioni. In
una relazione ci possono essere elementi di A che non sono in relazione con
nessun elemento di B, o che sono in relazione con più elementi di B.
Una funzione
f : A → B, x 7→ y = f (x)
è una relazione che associa ad ogni elemento x ∈ A un unico elemento y ∈ B.
• l’insieme A si dice dominio della funzione;
• l’insieme B si dice codominio della funzione;
• x è la variabile indipendente, e y = f (x) è la variabile dipendente; y si
dice anche immagine di x tramite la funzione f .
Esempio 46 Siano
A = {Leonardo, Michelangelo, De Chirico, Van Gogh},
B = {La Gioconda, Le muse inquietanti, I girasoli, L’uomo di Vitruvio, Urlo};
la Relazione che associa ad un artista una sua opera non è una Funzione.
Infatti:
136
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
• a Leonardo corrispondono due immagini: “La Gioconda” e “L’uomo di
Vitruvio”; (Problema)
• a Michelangelo non corrisponde alcuna immagine (!); (Problema)
• a De Chirico corrisponde ‘Le muse inquietanti”; (OK)
• a Van Gogh corrisponde “I girasoli”; (OK)
• “Urlo” non è l’immagine di alcun artista. (OK)
4.2.1
Funzioni reali di variabile reale
Si ha una funzione reale di variabile reale se A e B sono sottoinsiemi di R.
Esempio 47 Funzioni Una funzione si definisce indicando il dominio, il codominio e la legge che fa passare da un generico elemento del dominio al
corrispondente elemento del codominio:
f : R → R,
x 7→ x2 − 7x + 9;
2
f : R → R+ , x 7→ e−x /2 ;
f : R+ − {0} → R, x 7→ log x − 5x;
f : R → R, x 7→ sin(x2 ) − 3 cos(x).
Ad esempio, le funzioni
f : R → R, x 7→ sin(x),
f : R → [−1, 1], x 7→ sin(x)
sono diverse in quanto differiscono per il codominio.
4.2.2
Rappresentazione grafica
Le funzioni reali di variabili reali si rappresentano graficamente in un sistema
di assi cartesiani.
137
Matematica di Base
4.2.3
F. Conforto, F. Oliveri
Grafici
Si definisce Grafico di una funzione f : A → B l’insieme G di tutte le coppie
ordinate (x, y) che si ottengono prendendo un valore di x ∈ A e trovando il
corrispondente valore di y = f (x) ∈ B. Un punto P ≡ (x0 , y0 ) è un punto
del grafico della funzione f se y0 = f (x0 ).
Grafico di una Funzione
4.2.4
Grafico di una Relazione
Funzioni iniettive
Una funzione f : A → B si dice iniettiva se ad elementi distinti di A
corrispondono elementi distinti di B.
Esempio 48 La funzione
138
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
f : R+ − {0} → R,
x 7→ log(x)
è iniettiva perché non esistono valori reali positivi distinti che hanno lo stesso
logaritmo. Invece, la funzione
f : R → R+ ,
x 7→ x4 + x2
non è iniettiva perché numeri opposti hanno la stessa immagine (ad es., x = 1
e x = −1 hanno come immagine y = 2).
4.2.5
Grafici e iniettività
Grafico di una
Funzione Iniettiva
4.2.6
Grafico di una
Funzione Non Iniettiva
Funzioni suriettive
Una funzione f : A → B si dice suriettiva se ogni elemento di B è immagine
di almeno un elemento di A.
Esempio 49 La funzione
f : R → R,
x 7→ x3 + 1
è suriettiva perché per ogni y ∈ R esiste un x ∈ R, x =
y = x3 + 1.
Viceversa, la funzione
f : R → R,
√
3
y − 1, tale che
x 7→ sin(x)
non è suriettiva perché solo i numeri reali dell’intervallo [−1, 1] sono il seno
di un angolo.
139
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Nota 10 Ogni funzione può essere resa suriettiva restringendo il suo codominio all’insieme delle sue immagini. Ad es.,
f : R → [−1, 1], x 7→ sin(x) è suriettiva.
4.2.7
Grafici e suriettività
Grafico di una
Funzione f : R → R
Suriettiva
4.2.8
Grafico di una
Funzione f : [−1, 1] → [−1, 1]
Non Suriettiva
Funzioni biettive o biunivoche
Una funzione f : A → B si dice biettiva se ogni elemento di B è immagine
di uno e uno solo elemento di A.
Una funzione f : A → B è biettiva se e solo se è contemporaneamente
iniettiva e suriettiva.
Esempio 50 Le funzioni
f : R → R,
x 7→ x3
è biettiva perché numeri diversi hanno terze potenze diverse (iniettività) e
ogni numero reale ha una radice cubica (suriettività).
Anche la funzione
f : R → R,
x 7→ ex − e−x
è biettiva.
140
Matematica di Base
4.2.9
F. Conforto, F. Oliveri
Grafici e biettività
Grafico di una
Funzione da R in R Biettiva
Nota 11 È possibile restringere dominio e codominio di una funzione per
renderla biunivoca.
f :R→R
non è né Iniettiva né Suriettiva Suriettiva
4.2.10
f : R+ → R+
è Biettiva
Funzione composta
Siano date due funzioni
f : A → B,
x 7→ y = f (x);
g : B → C,
y 7→ z = g(y).
La funzione definita da A in C che associa all’elemento x ∈ A l’elemento
z = g(f (x)) è la funzione composta mediante f e g:
g ◦ f : A → C,
x 7→ z = g(f (x)).
141
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Esempio 51 Siano date le funzioni
f : R → R,
g : R → R,
x 7→ y = 2x
y 7→ z = y 2
Possiamo costruire le funzioni composte
g ◦ f : R → R,
f ◦ g : R → R,
x 7→ (2x)2 = 4x2 ,
x 7→ 2(x)2 = 2x2 .
La composizione di funzioni non è in generale commutativa:
g ◦ f 6= f ◦ g.
4.2.11
Funzione inversa
Sia
f : A → B,
x 7→ y = f (x)
una funzione biunivoca da A in B. Ad ogni elemento di A corrisponde un
unico elemento di B, e viceversa.
Se con f si passa dall’elemento x ∈ A all’elemento y = f (x) ∈ B,
possiamo definire una funzione,
f −1 : B → A,
y 7→ f −1 (y) = x,
che dall’elemento y ∈ B fa ritornare all’elemento x ∈ A. La funzione f −1 è
detta funzione inversa della f .
Una funzione è invertibile se e solo se è biunivoca. Se la funzione f non
è biunivoca si può tentare di restringere il dominio e/o il codominio per
renderla biunivoca e calcolare l’inversa.
142
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Componendo una funzione f con la sua inversa f −1 si ottiene la funzione
identità:
f : A → B,
x 7→ f (x),
−1
f : B → A,
y→
7 f −1 (y),
f ◦ f −1 : A → A,
x→
7 f ◦ f −1 (x) ≡ x,
f −1 ◦ f : B → B,
y 7→ f −1 ◦ f (y) ≡ y.
Esempio 52 La funzione esponenziale
f : R → R+ − {0},
x 7→ y = exp(x) = ex
(dove e ≈ 2.71828 . . . è il numero di Nepero) è biunivoca. È tale che
1
,
exp(x)
exp(x1 + x2 ) = exp(x1 ) · exp(x2 ).
exp(0) = 1,
exp(−x) =
Ammette quindi funzione inversa, la funzione logaritmo naturale:
f −1 : R+ − {0} → R,
ln(1) = 0,
x 7→ ln(x).
ln e = 1,
ln(x1 · x2 ) = ln(x1 ) + ln(x2 ),
ln
x1
x2
= ln(x1 ) − ln(x2 ).
Esempio 53 La funzione seno
f : R → R,
x 7→ y = sin(x)
non è biunivoca. Infatti non è né iniettiva (la funzione è periodica di periodo
2π) né suriettiva (i valori della funzione seno sono compresi nell’intervallo
[−1, 1]).
Restringendo dominio e codominio troviamo una funzione
h π πi
g: − ,
→ [−1, 1], x 7→ sin(x)
2 2
che è biunivoca. Essa ammette quindi un’inversa, la funzione arcoseno:
h π πi
g −1 : [−1, 1] → − ,
, y 7→ arcsin(y).
2 2
143
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Esempio 54 La funzione coseno
f : R → R,
x 7→ y = cos(x)
non è biunivoca. Infatti non è né iniettiva (la funzione è periodica di periodo
2π) né suriettiva (i valori della funzione coseno sono compresi nell’intervallo
[−1, 1]).
Restringendo dominio e codominio troviamo una funzione
g : [0, π] → [−1, 1],
x 7→ cos(x)
che è biunivoca. Essa ammette quindi un’inversa, la funzione arcocoseno:
g −1 : [−1, 1] → [0, π],
4.2.12
Funzioni notevoli
Funzione costante
f : R → R,
x 7→ k
(k costante)
Funzione Lineare
f : R → R, x 7→ ax + b
(a, b costanti)
144
y 7→ arccos(y).
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Funzione quadratica
f : R → R, x 7→ ax2 + bx + c
(a, b, c costanti, a 6= 0)
Funzione potenza
f : R → R,
(n ∈ N)
x 7→ xn
n pari
n dispari
Funzione potenza con esponente negativo
f : R \ {0} → R,
(n ∈ N)
x 7→ x−n
n pari
145
n dispari
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Funzione radice quadrata
f : R+ → R+ ,
x 7→
√
x
Funzione radice cubica
f : R → R,
x 7→
√
3
x
146
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Funzione Valore Assoluto (Modulo)
f : R → R+ ,
x 7→ |x|
Funzione esponenziale
f : R → R+ ,
x 7→ ax ,
a>0
a>1
0<a<1
Funzione logaritmo
f : R+ \ {0} → R,
x 7→ loga (x),
147
a>0
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
a>1
0<a<1
Funzioni trigonometriche
Le funzioni trigonometriche, utili nella risoluzione dei triangoli, si possono
definire a partire dalla circonferenza unitaria, cioè una circonferenza il cui
raggio è 1. La circonferenza unitaria è usualmente centrata nell’origine (0, 0)
in un sistema di coordinate cartesiane nel piano euclideo.
Se (x, y) è un punto della circonferenza unitaria del primo quadrante,
allora x e y sono le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo la cui ipotenusa ha lunghezza 1. Quindi, per il teorema di Pitagora, x e y soddisfano
l’equazione
x2 + y 2 = 1
Poiché x2 = (−x)2 per ogni x, e poiché la riflessione di ogni punto della
circonferenza unitaria sull’asse x (o y) appartiene ancora alla circonferenza
unitaria, l’equazione precedente vale per ogni punto (x, y) della circonferenza
unitaria, non solo nel primo quadrante.
Le funzioni trigonometriche coseno e seno possono essere definite sulla
circonferenza unitaria come segue. Se (x, y) è un punto della circonferenza
unitaria, e se il raggio dall’origine (0, 0) a (x, y) forma un angolo θ con l’asse
x positivo, (l’angolo misurato nel versio antiorario), allora
cos(θ) = x
sin(θ) = y,
cioè, l’ascissa x è il coseno dell’angolo θ, cos(θ), e l’ordinata y è il seno
dell’angolo θ (sin(θ)) Per definizione delle funzioni seno e coseno, l’equazione
x2 + y 2 = 1 fornisce la relazione fondamentale
cos2 (θ) + sin2 (θ) = 1
148
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
che è vera per ogni θ.
t è definito come un angolo orientato, che cioè assume un segno positivo in
un verso e negativo nell’altro, a seconda della convenzione oraria o antioraria
adottata. Solitamente si adotta la convenzione antioraria, e si suppone che
l’angolo sia positivo spostandosi dall’asse delle ascisse in senso antiorario.
Una circonferenza con tale angolo orientato è detta circoferenza goniometrica.
Nota 12 Gli angoli, oltre che in gradi sessagesimali (angolo giro: 3600 ; angolo piatto: 1800 ; angolo retto: 900 ) si misurano in radianti. Un radiante è
la misura di un angolo che spazza un arco di circonferenza di lunghezza pari
al raggio della circonferenza stessa (angolo giro: 2π radianti; angolo piatto:
π
radianti).
π radianti; angolo retto:
2
Per angoli maggiori di 2π radianti o minori di −2π radianti, si può semplicemente immaginare di compiere più giri intorno al cerchio. In questo modo,
il seno ed il coseno diventano funzioni periodiche di periodo 2π.
sin(θ) = sin (θ + 2πk) ,
cos(θ) = cos (θ + 2πk)
per ogni angolo θ e per ogni k intero.
A partire dal seno e dal coseno si introducono le altre funzioni trigonometrice:
sin(θ)
• tangente: tan(θ) =
,
cos(θ)
149
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
• cotangente: cot(θ) =
• secante: sec(θ) =
cos(θ)
,
sin(θ)
1
,
cos(θ)
• cosecante: csc(θ) =
1
,
sin(θ)
la cui interpretazione geometrica (insieme ad altre funzioni derivate) è visibile
nella figura precedente.
La tangente e la secante di un angolo non sono definite per θ = π2 + kπ
(k ∈ Z), mentre la cotangente e la cosecante non sono definite per θ = kπ,
(k ∈ Z).
Proprietà delle funzioni trigonometriche
Le seguenti relazioni sono valide qualunque sia il valore di θ per cui le funzioni
si possono calcolare:
π
−θ ,
2π
tan(θ) = cot
−θ ,
2
sin(−θ) = − sin(θ),
tan(−θ) = − tan(θ),
sin(θ) = sin(π − θ),
tan(θ) = − tan(π − θ),
sin(θ) = − sin(π + θ),
tan(θ) = tan(π + θ),
sin(θ) = cos
π
−θ ,
2π
cot(θ) = tan
−θ ,
2
cos(−θ) = cos(θ),
cot(−θ) = − cot(θ),
cos(θ) = − cos(π − θ),
cot(θ) = − cot(π − θ),
cos(θ) = − cos(π + θ),
cot(θ) = cot(π + θ).
cos(θ) = sin
150
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Formule di addizione, sottrazione e di Werner
Valgono le seguenti formule per la somma o differenza di angoli:
sin(θ + φ) = sin(θ) cos(φ) + cos(θ) sin(φ),
sin(θ − φ) = sin(θ) cos(φ) − cos(θ) sin(φ),
cos(θ + φ) = cos(θ) cos(φ) − sin(θ) sin(φ),
cos(θ − φ) = cos(θ) cos(φ) + sin(θ) sin(φ),
tan(θ) + tan(φ)
tan(θ + φ) =
,
1 − tan(θ) tan(φ)
tan(θ) − tan(φ)
tan(θ − φ) =
,
1 + tan(θ) tan(φ)
cot(θ) cot(φ) − 1
cot(θ + φ) =
,
cot(θ) + cot(φ)
cot(θ) cot(φ) + 1
cot(θ − φ) =
,
cot(θ) − cot(φ)
cos(θ − φ) − cos(θ + φ)
sin(θ) sin(φ) =
,
2
cos(θ − φ) + cos(θ + φ)
cos(θ) cos(φ) =
,
2
sin(θ − φ) + sin(θ + φ)
sin(θ) cos(φ) =
,
2
In particolare, dalle formule di addizione, se φ = θ si ottengono le formule
per la duplicazione dell’angolo:
sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ),
cos(2θ) = cos2 (θ) − sin2 (θ) = 2 cos2 (θ) − 1 = 1 − 2 sin2 (θ),
2 tan(θ)
,
tan(2θ) =
1 − tan2 (θ)
cot2 (θ) − 1
cot(2θ) =
,
2 cot(θ)
1 − cos(2θ)
sin2 (θ) =
,
2
1 + cos(2θ)
cos2 (θ) =
,
2
sin(2θ)
sin(θ) cos(θ) =
.
2
151
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Dalle formule di duplicazione dell’angolo, ponendo θ = x2 , si ricava:
x
x
2 sin x2 cos x2
sin(x) = 2 sin
cos
=
2
2
sin2 x2 + cos2 x2
2 tan x2
,
=
1 + tan2 x2
cos2 x − sin2 x 2 x
2 x
2
2
cos(x) = cos
− sin
=
2
2
sin2 x2 + cos2 x2
1 − tan2 x2
,
=
1 + tan2 x2
Ponendo
t = tan
x
2
,
si hanno le formule parametriche in funzione della tan
x
2
:
2t
,
1 + t2
1 − t2
cos(x) =
,
1 + t2
2t
tan(x) =
,
1 − t2
sin(x) =
l’ultima delle quali si ricava dalle due precedenti. Queste ultime sono importanti nella risoluzione di alcune equazioni e disequazioni trigonometriche.
Funzione seno
f : R → [−1, 1],
x 7→ sin(x)
152
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Funzione coseno
f : R → [−1, 1],
x 7→ cos(x)
Funzione tangente
f :R\
nπ
o
+ kπ : k ∈ Z → R,
2
x 7→ tan(x)
Funzione cotangente
f : R \ {kπ : k ∈ Z} → R,
x 7→ cot(x)
Esercizio 4 Considerando i seguenti grafici di due funzioni f e g,
153
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
quanto vale la differenza f (−2) − g(−2)?
Esercizio 5 Se il punto P ≡ (c, 3) appartiene al grafico della funzione
y = 2x ,
quanto vale c? Deve essere
3 = 2c
⇒
c = log2 (3).
Esercizio 6 Sia
f (x) = mx + q;
verificare che vale la relazione:
f (x + 2) − 2f (x + 1) + f (x) = 0.
f (x + 2) − 2f (x + 1) + f (x) =
= [m(x + 2) + q] − 2[m(x + 1) + q] + [mx + q] =
= mx + 2m + q − 2mx − 2m − 2q + mx + q = 0.
Esercizio 7 Sapendo che un cilindro ha volume V = 3, scrivere il raggio di
base r in funzione dell’altezza h.
Il volume di un cilindro di raggio r e altezza h è
V = πr2 h.
Nel nostro problema è
3 = πr2 h
⇒
3
r2 =
πh
154
r
⇒
r=
3
.
πh
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Esercizio 8 Date le seguenti funzioni dire per quali valori del parametro il
relativo grafico passa per il punto scritto a lato:
1. y = 2x + a,
P ≡ (3, 1);
2. y = (k − 1)x + 3,
P ≡ (0, 1);
3. y = (m − 1)x + 3 − m,
P ≡ (1, 2).
Risposta:
1. 1 = 2 · 3 + a
⇒ a = −5;
2. 1 = 3: Contraddizione! Quindi MAI.
3. 2 = (m − 1) + 3 − m
⇒
2=2
⇒
per qualsiasi valore di m.
Esercizio 9 Date le seguenti funzioni, determinare il dominio in cui sono
definite.
1
1. y = x5 − 7x2 + ;
5
x2 − 1
;
x2 − 4
√
3. y = x + 5;
p
4. y = |x2 − 1|;
√
3
5. y = −x5 + 1;
2. y =
2
6. y = 3x +5x−1 ;
1/(1−x2 )
1
7. y =
.
2
Risposta:
1. ∀x ∈ R;
2. ∀x ∈ R, x 6= ±2, perché deve essere x2 − 4 6= 0; il dominio è quindi:
[−∞, −2[ ∪ ] − 2, 2[ ∪ ]2, +∞[;
155
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
3. x ≥ −5, perché deve essere x + 5 ≥ 0; il dominio è quindi: [−5, +∞[;
4. ∀x ∈ R;
5. ∀x ∈ R;
6. ∀x ∈ R;
7. ∀x ∈ R, x 6= ±1 perché deve essere 1 − x2 6= 0; il dominio è quindi:
[−∞, −1] ∪ ] − 1, 1[∪ [1, +∞[.
4.3
Esercizi svolti
4.3.1
Funzioni
1. Quali sono le ascisse dei punti della curva di equazione x2 + y 2 + 5x +
y − 12 = 0 aventi per ordinata −3?
a) 6 , −1
b) −6 , 1 (∗)
c) −4 , 3
d) la curva non ha alcun punto di ordinata −3
Svolgimento. Il punto è determinare i valori di x, se esistono, tali che
i punti di coordinate (x, y = −3) soddisfino identicamente l’equazione
della curva; se si sostituisce il valore y = −3 nell’equazione della curva,
si ottiene un’equazione di secondo grado nell’incognita x del problema
e cioè:
x2 +(−3)2 +5x+(−3)−12 = 0 ⇔ x2 +9+5x−15 = 0 ⇔ x2 +5x−6 = 0
che fornisce le soluzioni x = −6 e x = 1, e quindi la risposta esatta è
la b).
√
−x
2. Per quali valori di x ∈ R il numero y =
è reale?
x−1
a) x < 1 ∧ x 6= 0
b) x ≥ 0 ∧ x 6= 1
156
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
c) x < 0
d) x ≤ 0 (∗)
Svolgimento. Le uniche 2 condizioni di esistenza da imporre sono
quelle del rapporto e della radice quadrata, che forniscono il seguente
sistema:
x≤0
−x ≥ 0
⇔
⇔ x≤0
x − 1 6= 0
x 6= 1
e la risposta esatta è dunque la d).
√
3. Per quali valori di x ∈ R il numero y = 2−1/
x2 −6x+9
è reale?
a) per ogni valore reale di x
b) per ogni x 6= 3
(∗)
c) mai
d) nessuna delle precedenti
Svolgimento. Le uniche 2 condizioni di esistenza da imporre sono
quelle del rapporto e della radice quadrata, che forniscono il seguente
sistema:
2
x
√ − 6x + 9 ≥ 0
x2 − 6x + 9 6= 0
che equivalgono all’unica condizione
x2 − 6x + 9 > 0
che è una disequazione di secondo grado con ∆ = 0, che ammette come
soluzioni tutti i numeri reali x 6= 3 e la risposta esatta è dunque la b).
p
4. Per quali valori di x ∈ R, y = log7 (x2 − 8x + 8) è reale?
a) x ≤ 1 , x ≥ 7
(∗)
b) per ogni valore reale di x
c) 0 ≤ x ≤ 7
d) x > 0
157
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Svolgimento. Le uniche 2 condizioni di esistenza da imporre sono
quelle del logaritmo e della radice quadrata, che forniscono il seguente
sistema:
2
x − 8x + 8 > 0
log7 (x2 − 8x + 8) ≥ 0
la prima è una disequazione di secondo grado con ∆ = 32 > 0, che è
soddisfatta per
√
√
x < 4 − 2 2 ∨ x > 4 + 2 2.
La seconda è una disequazione logaritmica che, tenuto conto della
proprietà:
0 = loga 1 , ∀ a > 0 , a =
6 1,
e quindi
0 = log7 1 ,
si può scrivere nella forma equivalente:
log7 x2 − 8x + 8 ≥ log7 1 ;
tale disequazione, se si utilizza la proprietà:
loga b ≥ loga c
⇔
b ≥ c ∀ a, b, c > 0 , a 6= 1 ,
fornisce la seguente disequazione di secondo grado:
x2 − 8x + 8 ≥ 1
⇔
x2 − 8x + 7 ≥ 0
che è soddisfatta per
x≤1
∨
x ≥ 7.
Abbiamo ottenuto che la disequazione data è soddisfatta se
√
√
x<4−2 2 ∨ x>4+2 2
x≤1 ∨ x≥7
Per poter riportare le soluzioni delle due disequazioni del sistema su
un unico diagramma, è necessario
stabilire
√
√ la relazione d’ordine che
intercorre
tra
i
numeri
4
−
2
2,
4
+
2
2, 1 e 7. Dal momento che
√
2 ≈ 1.41, dalla relazione
√
1.4 < 2 < 1.5 ,
158
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
moltiplicando ciascun membro per 2, si ottiene:
√
2.8 < 2 2 < 3 ,
che, cambiando di segno
√
−3 < −2 2 < −2.8 ,
e sommando 4 a ciascun membro, fornisce
√
1 < 4 − 2 2 < 1.2 ,
da cui è chiaro che:
√
√
1 < 4 − 2 2 < 4 + 2 2.
Mediante
√ analoghe considerazioni, ci occupiamo di stimare il numero
4 + 2 2: dalla relazione
√
1.4 < 2 < 1.5 ,
moltiplicando ciascun membro per 2,
√
2.8 < 2 2 < 3 ,
e sommando 4 a ciascun membro, si ha:
√
6.8 < 4 + 2 2 < 7 ,
da cui è chiaro infine che:
√
√
1 < 4 − 2 2 < 4 + 2 2 < 7.
Riportando su un unico diagramma le soluzioni ottenute (S indica che
la disequazione è soddisfatta, N che non lo è)
1
7
SSS N N N N N N N N N N N N
N N N SSS
SSS SSS
N N√
N N N N N N N√ N N N SSS
4− 2
4+2 2
possiamo concludere che le soluzioni della disequazione data sono:
x≤1
∨
e che quindi la risposta esatta è la a).
159
x ≥ 7,
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
s
5. Per quali valori di x ∈ R, y =
a) 0 ≤ x ≤
log10
π 5
, π ≤ x ≤ 2π
6 6
3
− sin x
2
è reale?
(∗)
π
2
c) 0 ≤ x ≤ π
b) x ≥
d) mai
Svolgimento. Le uniche 2 condizioni di esistenza da imporre sono
quelle del logaritmo e della radice quadrata, che forniscono il seguente
sistema:
3
− sin x > 0 2
log10 32 − sin x ≥ 0
La prima è una disequazione trigonometrica la cui risoluzione è banale,
se si isola la funzione sin al primo membro, e cioè
sin x <
3
;
2
tenendo conto della proprietà:
−1 ≤ sin x ≤ 1 ∀ x ∈ R ,
possiamo concludere che:
sin x ≤ 1 <
3
2
∀x ∈ R.
La seconda è una disequazione logaritmica che, come nell’esercizio
precedente, tenuto conto della proprietà:
0 = loga 1 ,
∀ a > 0 , a 6= 1 ,
e quindi
0 = log10 1 ,
si può scrivere nella forma equivalente:
3
log10
− sin x ≥ log10 1 ;
2
160
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
tale disequazione, se si utilizza la proprietà:
loga b ≥ loga c
⇔
b ≥ c ∀ a, b, c > 0 , a 6= 1 ,
fornisce la seguente disequazione trigonometrica:
3
− sin x ≥ 1
2
⇔
sin x ≤
1
2
che è soddisfatta per
0≤x≤
π
6
∨
5
π ≤ x ≤ 2π .
6
Abbiamo ottenuto che la disequazione data è soddisfatta se
∀x ∈ R
0 ≤ x ≤ π6 ∨ 56 π ≤ x ≤ 2π
da cui segue immediatamente che le soluzioni della disequazione data
sono:
π
5
0≤x≤
∨
π ≤ x ≤ 2π ,
6
6
e che quindi la risposta esatta è la a).
6. Data la funzione y =
3
a) x = y
2
b) x = 2 + 3y
3
c) x =
2y − 1
1
3
d) x = +
2 2y
1
3
, con x 6= , qual è la sua funzione inversa?
2x − 1
2
(∗)
Svolgimento. Per determinare l’espressione della funzione inversa,
dobbiamo trattare l’espressione
y=
161
3
2x − 1
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
come un’equazione nell’incognita x e dedurre x in funzione della variabile y; a tale scopo, moltiplichiamo per 2x − 1 ambo i membri della
precedente espressione (osservando che certamente 2x − 1 6= 0)
3
y(2x − 1) =
(2x − 1) ⇔ y(2x − 1) = 3 ⇔ 2xy − y = 3
2x − 1
isolando x al primo membro e trattando l’espressione come un’equazione di primo grado nell’incognita x, si ottiene:
3
y
3
1
3+y
=
+
=
+
2xy = 3 + y ⇔ x =
2y
2y 2y
2y 2
in cui abbiamo dovuto porre y 6= 0. La la risposta esatta è pertanto la
d).
7. Data la funzione y = (x + 1)−1 , qual è la sua funzione inversa?
a)
b)
c)
d)
x = (y + 1)−1
x = (y − 1)−1
x = y −1 − 1 (∗)
nessuna delle precedenti
Svolgimento. Per determinare l’espressione della funzione inversa,
dobbiamo trattare l’espressione
y = (x + 1)−1
come un’equazione nell’incognita x, che va determinata in funzione della variabile y; a tale scopo, se osserviamo che x appare nell’argomento
di una funzione potenza con esponente −1, è chiaro che per esplicitare
x bisogna applicare ad ambo i membri dell’espressione predente ancora
la funzione potenza con esponente −1, in quanto inversa della funzione
che opera su x (più precisamente su x + 1); eleviamo quindi a −1 ambo
i membri (osservando che deve essere x + 1 6= 0 ⇔ x 6= −1 e bisogna
porre y 6= 0), ed otteniamo:
−1
y −1 = (x + 1)−1
⇔ y −1 = (x + 1)(−1)·(−1) ⇔ y −1 = x + 1
trattando l’espressione come un’equazione di primo grado nell’incognita
x ed isolando quindi x al primo membro e si ottiene:
x = y −1 − 1 .
La risposta esatta è pertanto la c).
162
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
√
8. Data la funzione y = e
√
a) x = ln y
x
, qual è la sua funzione inversa?
b) x = ln (y 2 )
c) x = (ln y)2
(∗)
d) nessuna delle precedenti
Svolgimento. Cominciamo con l’osservazione squisitamente teorica
che l’espressione data ha senso in R solo se x ≥ 0. Per determinare
l’espressione della funzione inversa, dobbiamo trattare l’espressione
√
y=e
x
come un’equazione nell’incognita x, che va determinata in funzione della variabile y; a tale scopo, se osserviamo che x appare nell’argomento
di una funzione esponenziale in base e, è chiaro che per esplicitare x
bisogna applicare ad ambo i membri dell’espressione predente la funzione logaritmo in base √
e, in quanto inversa della funzione che opera su
x (più precisamente su x); applicando quindi la funzione ln = loge ad
ambo i membri (osservando che deve essere y > 0, mentre il secondo
membro è senz’altro positivo), otteniamo:
√
√
ln y = ln e x ⇔ ln y = x .
Anche quast’ultima espressione va interpretata come un’equazione nell’incognita x, che deve ancora essere determinata in funzione della variabile y; se osserviamo che x appare nel radicando di una radice quadrata,
è chiaro che per esplicitare x bisogna elevare al quadrato ambo i membri
dell’espressione predente (applicare la funzione potenza con esponente
2, in quanto inversa della funzione che opera su x), per ottenere così:
(ln y)2 =
√ 2
x
e la risposta esatta è pertanto la c).
9. Se 2x−2 = 9, allora x è uguale a
a) 2 + log2 9
(∗)
b) 2 + log9 2
163
⇔
(ln y)2 = x
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
c) log2 9
d) 0
Svolgimento. Per determinare x, l’espressione data
2x−2 = 9
va trattata come un’equazione esponenziale nell’incognita x; se osserviamo che x appare nell’argomento di una funzione esponenziale in base
2, è chiaro che per esplicitare x bisogna applicare ad ambo i membri dell’espressione predente la funzione logaritmo in base 2, in quanto inversa
della funzione che opera su x (più precisamente su x − 2); applicando quindi la funzione log2 ad ambo i membri (osservando che ambo i
membri sono senz’altro positivi), otteniamo:
log2 2x−2 = log2 9
⇔
x − 2 = log2 9
⇔
x = log2 9 + 2
e la risposta esatta è pertanto la a).
10. Data la funzione y = log2 (x − 1), qual è l’ascissa del punto del grafico
di ordinata y = −2?
a) x = −1
b) x = 2
5
(∗)
4
d) non esiste alcun punto di ordinata −2
c) x =
Svolgimento. Per determinare x, dobbiamo risolvere l’equazione
−2 = log2 (x − 1),
da cui
2−2 = x − 1
⇔
1
=x−1
4
164
⇔
5
x= .
4
Matematica di Base
4.4
4.4.1
F. Conforto, F. Oliveri
Esercizi proposti
Funzioni
√
x2 − 4
• Per quali valori di x ∈ R, y = √
è reale?
1 − x2
a) −2 ≤ x < −1 , 1 < x ≤ 2
b) per nessun valore di x
(∗)
c) −2 ≤ x ≤ 2
d) −1 < x < 1
√
x2 − 9
• Per quali valori di x ∈ R, y = √
è reale?
25 − x2
a) −3 < x < 3
b) per ogni valore reale di x
c) −5 < x < 5
d) −5 < x ≤ −3 , 3 ≤ x ≤ 5
• Per quali valori di x ∈ R, y =
(∗)
q
4
(x2 − 16)2
è reale?
x2 − 16
a) x < −4 , x > 4
b) x 6= ±4
(∗)
c) −4 < x < 4
d) per ogni x ∈ R
x−1
• Per quali valori di x ∈ R il numero y = 3 x+1 è reale?
a) x 6= −1 (∗)
b) x > −1
c) x < −1
d) −1 < x < 1
• Per quale dei seguenti valori di x il numero y = log2 x non è reale?
165
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
a) x = −2 (∗)
b) x = 4
1
c) x =
2
d) x = 2
3x + 1
• Per quale dei seguenti valori di x ∈ R il numero y = ln √
è reale?
x
a) x > 0
(∗)
1
b) x < − , x > 0
3
1
c) − < x < 0
3
d) nessuna delle precedenti
• Per quali valori di x ∈ R, y =
√
3 + 2 cos x − cos2 x è reale?
5
π
≤x≤ π
3
3
b) 0 < x < π
a)
c) −1 ≤ x ≤ 3
d) per ogni x ∈ R
• Data la funzione y =
2−y
2
2
b) x = 1 −
y
2
c) x =
2−y
2
d) x = 2 −
y
(∗)
2
, con x 6= 2, qual è la sua funzione inversa?
2−x
a) x =
(∗)
• Data la funzione y =
1
3
, x 6= − , qual è la sua funzione inversa?
2x + 3
2
166
Matematica di Base
1
3
−
2y 2
1
b) x =
2y + 3
1
c) x =
y
y−1
d) x =
2y + 3
a) x =
F. Conforto, F. Oliveri
(∗)
• Se 3x+1 = 7, allora x è uguale a
a) 0
b) log7 3 − 1
c) log3 7
d) log3 7 − 1
(∗)
• Se 5x−1 = 10, allora x èuguale a
3
2
b) 1 + log5 10
a)
(∗)
c) 3
d) 1 + log10 5
167
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
168
Capitolo 5
MATEMATICA DI BASE –
MODULO 5
Calcolo Combinatorio — Calcolo delle Probabilità
5.1
Calcolo Combinatorio
Il Calcolo Combinatorio ha per oggetto lo studio delle proprietà dei diversi
gruppi che si possono formare, in base a leggi assegnate, con un numero finito
di dati elementi di natura qualunque.
In particolare, si propone la ricerca di metodi che permettano di formare
tutti questi gruppi e di calcolarne il loro numero.
5.1.1
Cenni storici
Le origini di questo ramo dell’Analisi risalgono a
• B. Pascal (Traité du triangle arithmetique) scritto nel 1654;
• G. W. Leibniz, al quale si deve la denominazione di Ars Combinatoria;
• J. Wallis;
• B. Frénicle de Bessy;
• J. Bernoulli;
• A. De Moivre.
169
Matematica di Base
5.1.2
F. Conforto, F. Oliveri
Definizioni
Consideriamo un insieme finito di n (n numero intero positivo!) elementi
di natura qualunque che si denotano con una sola lettera munita di indice
(a1 , a2 , a3 , . . . , an ), oppure con gli indici stessi (1, 2, 3, . . . , n).
I gruppi più importanti che si possono formare sono: le disposizioni, le
permutazioni e le combinazioni.
Le disposizioni e le combinazioni potranno essere semplici o con ripetizione.
5.1.3
Disposizioni semplici di n elementi a k a k
Tutti i gruppi di k elementi distinti, tratti da un insieme di n elementi distinti,
che si distinguono o per almeno un elemento o per l’ordine in cui gli elementi
sono considerati formano le disposizioni di n elementi a k a k e si indicano
con Dn,k :
Dn,k = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1)
Esempio 55 Le disposizioni degli elementi dell’insieme {1, 2, 3} a 2 a 2 sono
D3,2 = 3 · 2 = 6,
e precisamente:
(1, 2),
5.1.4
(1, 3),
(2, 1),
(2, 3),
(3, 1),
(3, 2).
Permutazioni di n elementi
Tutti i gruppi di n elementi distinti, tratti da un insieme di n elementi distinti che si distinguono esclusivamente per l’ordine in cui gli elementi sono
considerati, formano le permutazioni di n elementi e si indicano con Pn ;
Pn = Dn,n = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − n + 1) = n(n − 1) · · · 1 = n!
Esempio 56 Le permutazioni degli elementi dell’insieme {1, 2, 3} sono
P3 = 3! = 6,
e precisamente:
(1, 2, 3),
(1, 3, 2),
(2, 1, 3),
(2, 3, 1),
170
(3, 1, 2),
(3, 2, 1).
Matematica di Base
5.1.5
F. Conforto, F. Oliveri
Inversioni sulle permutazioni
Dati n elementi distinti, si fissi ad arbitrio una delle loro n! permutazioni,
chiamandola permutazione principale.
Si dice allora che in una permutazione qualsiasi due elementi, consecutivi
o no, presentano una inversione quando in essa si seguono in ordine opposto
a quello in cui si trovano nella permutazione principale.
Una permutazione si dice di classe pari o di classe dispari secondo che
contiene un numero pari o dispari di inversioni. Due permutazioni che appartengono ad una medesima classe, oppure a classi diverse, mantengono
questa proprietà se si cambia la permutazione principale.
Esempio 57 Fissata la permutazione principale (1, 2, 3),
• la permutazione (1, 3, 2) è di classe dispari;
• la permutazione (2, 3, 1) è di classe pari.
5.1.6
Combinazioni di n elementi a k a k
Tutti i gruppi di k elementi distinti, tratti da un insieme di n elementi distinti che si distinguono per almeno uno degli elementi (ma non per l’ordine!)
formano le Combinazioni di n elementi a k a k e si indicano con Cn,k ;
Cn,k
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
n!
Dn,k
=
=
=
=
Pk
k!
k!(n − k)!
n
,
k
dove nk è detto coefficiente binomiale (interviene nello sviluppo della potenza
n–esima di un binomio).
Esempio 58 Le combinazioni degli elementi dell’insieme {1, 2, 3} a 2 a 2
sono
3
3·2
C3,2 =
=
= 6,
2
2!
e precisamente;
(1, 2),
(1, 3),
171
(2, 3).
Matematica di Base
5.1.7
F. Conforto, F. Oliveri
Proprietà del coefficiente binomiale
n
n
=
k
n−k
n
n−1
n−1
=
+
k
k
k−1
n
n−k+1
n
=
k
k
k−1
5.1.8
Binomio di Newton
n X
n n−k k
(a + b) =
a b
k
k=0
n
Ad es.,
4 4
4 3
4 2 2
4
4 4
3
(a + b) =
a +
a b+
ab +
ab +
b =
0
1
2
3
4
= a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 .
4
5.2
Calcolo delle probabilità, cenni storici
Gerolamo Cardano (Pavia 24/9/1501, Roma 20/9/1576) è il primo intellettuale nel mondo occidentale a considerare il Calcolo delle Probabilità degno
di attenzione (prima di lui esistono solo sporadici accenni ad alcuni problemi
sul gioco dei dadi, come nella Summa di Luca Pacioli).
Cardano raccoglie le sue riflessioni sull’argomento in quello che può riguardarsi come il primo trattato della storia sul calcolo delle probabilità (Liber
de ludo aleae, 1524 ). Non si tratta solo di riflessioni teoriche; Cardano, di
umili origini, usò nel gioco d’azzardo le sue scoperte riuscendo a finanziare i
propri studi alla scuola medica di Pavia. Egli ebbe chiare le quattro nozioni
basilari di quella che stata poi chiamata la “teoria classica” della probabilità:
1. la frequenza con cui si verifica ognuno dei possibili esiti di un esperimento, non esattamente prevedibile ma ripetuto in condizioni controllate (com’è il lancio di un dado), può essere prevista a priori con
buona approssimazione ricorrendo ad un calcolo matematico che sfrutti
accortamente le simmetrie implicite nelle modalità dell’esperimento;
172
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
2. il risultato di questo calcolo è un numero fra 0 e 1, definito probabilità
del dato evento, che allo stesso tempo esprime il grado di fiducia che
riponiamo nel verificarsi del dato evento e fornisce una buona stima
della frequenza per un numero elevato di prove;
3. il passo essenziale per eseguire con successo il calcolo di una probabilità
è individuare correttamente il novero degli esiti possibili equiprobabili
di un dato esperimento; per esempio, nel lancio di due dadi gli esiti
possibili della somma sulle due facce sono undici (2, 3, 4, . . . , 12), ma
Cardano sapeva che non si tratta di eventi equiprobabili, mentre tali
sono i 36 eventi definiti dalle coppie ordinate dei risultati che compaiono
sulle facce dei due dadi
(1, 1), (1, 2), . . . , (1, 6), (2, 1), . . . , (2, 6), (3, 1), . . . , (6, 6);
4. la probabilità di un evento è il rapporto fra il numero dei casi ad esso
favorevoli e il numero totale dei casi possibili (purché tutti equiprobabili,
o, meglio, egualmente possibili).
5.2.1
Giochi di dadi e calcolo delle probabilità
Intorno al 1654, uno sfaccendato francese dedito al gioco, si accorge che certi
eventi, da lui ritenuti più probabili di altri, si verificano in realtà meno spesso
di quanto egli si aspetta. Egli conosce un giovane di talento, Blaise Pascal
(un genio precoce che a 16 anni pubblica un Trattato sulle sezioni coniche, a
18 inventa una macchina calcolatrice, intorno ai 20 pone le basi della statica
dei fluidi), un genio destinato tuttavia ad un’altrettanto precoce decadenza
psicofisica (poco dopo i 32 anni sprofonderà nella melassa delle disquisizioni
teologiche.
A Pascal il nostro cavaliere invia il seguente quesito: Se si lanciano 3
dadi, è un fatto che la somma 11 tende a uscire più spesso del 12.
Invece, secondo il cavaliere, i due eventi hanno le stesse chances, dal
momento che entrambi si possono formare in sei soli diversi modi:
11 = 6 + 4 + 1 = 6 + 3 + 2 = 5 + 5 + 1 = 5 + 4 + 2 = 5 + 3 + 3 = 4 + 4 + 3
12 = 6 + 5 + 1 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3 = 5 + 5 + 2 = 5 + 4 + 3 = 4 + 4 + 4
Allora perché l’esperienza al tavolo da gioco mostra che conviene scommettere sull’uscita del numero 11 piuttosto che sul 12? La risposta è semplice se si
173
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
tiene conto che la somma è commutativa e quindi, ad esempio, la combinazione 6 + 4 + 1 può verificarsi in 6 modi diversi (tutte le possibili permutazioni),
6!
mentre la combinazione 5 + 5 + 1 si può totalizzare in 3 modi diversi ( ), e
2!
la combinazione 4 + 4 + 4 si può realizzare in un solo modo.
Quindi, 11 si può totalizzare in
6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 = 27
modi diversi, mentre 12 si può totalizzare in
6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25
modi diversi.
Circa 40 anni dopo, la storia sembra ripetersi. Un altro nobile sfaccendato, dedito al gioco d’azzardo, con idee ancor più erronee sul calcolo delle
probabilità, ma altrettanto coscienzioso nell’annotare i fatti al tavolo da gioco, un certo Samuel Pepys, noto nei circoli londinesi dell’epoca, ha la fortuna
di conoscere Newton, sicché nell’anno 1693 gli sottopone un altro “paradosso”:
È più facile ottenere un 6 (almeno uno) lanciando 6 dadi o due 6 (almeno
due) lanciandone 12?
Newton, con un calcolo semplice, diede la risposta giusta. Ma Mr. Pepys non accettò la conclusione e sfidò Newton a fornire argomenti. Allora
Newton gli mostrò i calcoli, ma neanche questo servì a convincerlo; questo
ci consente ancora oggi di additarlo ad esempio di testarda ottusità. A sua
parziale discolpa, si deve riconoscere che questa ostinazione nel perseverare
nei propri errori è tipica nell’ambito del calcolo delle probabilità, la cui storia
è costellata di abbagli clamorosi presi anche da personalità insigni (è recente
il caso del Paradosso di Monty Hall ). La maggior parte di questi errori sono dovuti o all’ambiguità delle formulazioni o all’incapacità di riconoscere la
non equiprobabilità degli eventi elementari posti alla base del calcolo; la parte restante a fraintendimenti del significato della cosiddetta legge dei grandi
numeri o alla confusione fra probabilità a priori e probabilità a posteriori.
Per calcolare la probabilità di ottenere almeno un 6 lanciando 6 dadi è
meglio calcolare la probabilità che non esca neanche un 6. Con un dado ci
sono cinque casi su sei che non esca fuori il 6 e quindi la probabilità che non
5
esca alcun 6 è . Lanciando sei dadi, trattandosi di eventi indipendenti, la
6
probabilità che non esca neanche un 6 è:
6
5
= 0.334898,
6
174
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
e quindi la probabilità che esca almeno un 6 è:
1 − 0.334898 = 0.665102
La formula che fornisce questa probabilità si può scrivere anche come
6 k 6−k
X
6
1
5
k
6
6
k=1
che fornisce la probabilità che esca un 6, oppure due 6, . . . , oppure sei 6.
Analogamente, lanciando 12 dadi, la probabilità che escano almeno due
6 sarà data da:
12 k 12−k
X
5
12
1
= 0.618667.
6
6
k
k=2
Quindi, è più facile fare almeno un 6 con sei dadi che almeno due 6 con
dodici dadi!
5.3
Teoria della probabilità
Esistono vari approcci alla teoria della probabilità.
Classica Definizione di probabilità di carattere aprioristico, come rapporto
fra il numero dei casi favorevoli e quello dei casi totali equiprobabili [P.
S. Laplace, Théorie analytique des probabilités, Paris, 1812].
Frequentista Definizione di probabilità basata sul concetto di frequenza
relativa, cioè la probabilità di un evento ripetibile non è altro che il
rapporto tra il numero di volte che l’evento si è verificato diviso per il
numero di esperimenti [R. von Mises, Wahrscheinlichkeit, Statistik und
Wahrheit, Springer-Verlag, Vienna, 1936].
Soggettivista Definizione di probabilità come misura di una opinione (simile ai ragionamenti di carattere induttivo del mondo delle scommesse)
[B. De Finetti, Logos, organo della Biblioteca filosofica di Palermo,
anno XIV (1931) p.163-219].
Assiomatico Definizione assiomatica di probabilità [A. Kolmogorov, Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Ergebn. Math., vol 2, N.3,
1933].
175
Matematica di Base
5.3.1
F. Conforto, F. Oliveri
Teoria assiomatica
Nella teoria assiomatica della probabilità si rinuncia all’inizio a dire come
calcolare la probabilità e si elencano solo le proprietà che deve avere una
qualche misura di probabilità.
La probabilità attinente ad un evento A è quindi un numero P (A) assegnato a questo evento. Tale numero, peraltro non meglio specificato, obbedisce
ai tre seguenti postulati (assiomi):
1. P (A) ≥ 0.
2. La probabilità dell’evento certo S : P (S) = 1.
3. Se A e B si escludono a vicenda P (A + B) = P (A) + P (B).
5.3.2
Notazioni abbreviate
• AB corrisponde al verificarsi simultaneo di A e B (A ∩ B);
• A + B corrisponde al verificarsi di A o di B o di entrambi (A ∪ B);
• A − B corrisponde al verificarsi di A ma non di B;
• A|B corrisponde al verificarsi di A, ammesso che si sia già verificato B;
• A evento contrario di A (A = S − A).
• ∅ corrisponde all’evento impossibile.
Corollari
Dagli assiomi del calcolo delle probabilità discendono subito delle semplici
conseguenze.
Corollario 1
P (∅) = 0.
Infatti, poiché
P (A) = P (A + ∅) = P (A) + P (∅),
deve essere
P (∅) = 0.
176
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Corollario 2
P (A) = 1 − P (A).
Infatti, poiché
A+A=S
AA = ∅
e
si ha:
P (A + A) = P (A) + P (A) = 1
⇒
P (A) = 1 − P (A).
Corollario 3 Per ogni evento A si ha:
P (A) ≤ 1
Infatti, poiché deve essere
P (A) = 1 − P (A) ≥ 0
segue che
P (A) ≤ 1.
Corollario 4 Per ogni coppia di eventi A e B risulta:
P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB) ≤ P (A) + P (B).
Infatti:
A + B = A + AB
e B = AB + AB,
da cui segue
P (A + B) = P (A) + P (AB) e P (B) = P (AB) + P (AB);
eliminando
P (AB),
si ottiene:
P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB),
da cui, essendo
P (AB) ≥ 0,
si ha:
P (A + B) = P (A) + P (B) − P (AB) ≤ P (A) + P (B).
177
Matematica di Base
5.3.3
F. Conforto, F. Oliveri
Probabilità condizionata
Assegnato un evento M con probabilità non nulla P (M ) > 0 si definisce probabilità dell’evento A, condizionata dall’evento M , e si indica con P (A|M ),
il rapporto fra la probabilità dell’evento AM e quella dell’evento M . In
formule:
P (AM )
P (A|M ) =
P (M )
La quantità P (A|M ) soddisfa gli assiomi della teoria della probabilità e
cioè:
1. P (A|M ) ∈ [0, 1];
2. P (S|M ) = 1;
3. Se AB = ∅ allora P ((A + B)|M ) = P (A|M ) + P (B|M ).
Dimostrazione
1. Dalla definizione di probabilità condizionata come rapporto di quantità
positive si deduce che P (A|M ) ≥ 0;
2. Essendo SM = M si ha: P (S|M ) =
P (SM )
P (M )
= 1;
3.
P ((A + B)M )
P (AM + BM )
P (AM ) + P (BM )
=
=
P (M )
P (M )
P (M )
P (AM ) P (BM )
+
= P (A|M ) + P (B|M ).
=
P (M )
P (M )
P ((A + B)|M ) =
5.3.4
Probabilità totale
Dati n eventi A1 , A2 , . . . , An tali che Ai Aj = ∅ ∀i 6= j = 1, 2, . . . , n e
A1 + A2 + . . . + An = S e sia B un evento arbitrario, allora:
P (B) = P (B|A1 )P (A1 ) + P (B|A2 )P (A2 ) + . . . + P (B|An )P (An ).
Infatti, essendo
B = BS = B(A1 + . . . + An ) = BA1 + . . . + BAn ,
(BAi )(BAj ) = ∅ ∀i 6= j
178
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
si può scrivere
P (B) = P (BA1 ) + P (BA2 ) + . . . + P (BAn ),
da cui, essendo
P (BAi ) = P (B|Ai )P (Ai ),
si ottiene la probabilità totale.
Teorema 3 Teorema di Bayes
P (Ai |B) =
P (B|Ai )P (Ai )
P (B|A1 )P (A1 ) + P (B|A2 )P (A2 ) + . . . + P (B|An )P (An )
Essendo gli Ai disgiunti a coppie e formanti un insieme completo di eventi. Infatti, dalla definizione di probabilità condizionata si ha: P (Ai B) =
i )P (Ai )
P (Ai |B)P (B) = P (B|Ai )P (Ai ) da cui si ricava che P (Ai |B) = P (B|A
P (B)
e ricordando la probabilità totale si ottiene il teorema di Bayes.
5.3.5
Eventi indipendenti
Due eventi A e B si dicono indipendenti se e solo se:
P (AB) = P (A)P (B)
da cui segue che
P (A|B) = P (A);
5.4
P (B|A) = P (B).
Paradossi nel calcolo delle probabilità
Il calcolo delle probabilità fornisce semplici esempi di risultati paradossali e
controintuitivi. Due classici esempi sono forniti dal problema del compleanno
e dal problema di Monthy Hall.
5.4.1
Paradosso del compleanno
Ad una festa (in cui non ci sono 4 gatti, ma neanche tantissime persone)
conviene scommettere sul fatto che ci sono almeno due persone che fanno il
compleanno lo stesso giorno?
179
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Il problema collegato a questa scommessa prende il nome di paradosso
del compleanno, posto nel 1939 da Richard von Mises. Il paradosso afferma
che la probabilità che almeno due persone in un gruppo compiano gli anni lo
stesso giorno è largamente superiore a quanto potrebbe dire l’intuito: infatti
già in un gruppo di 23 persone la probabilità è circa 0.51; con 30 persone
essa supera 0.70, con 50 persone tocca addirittura 0.97, anche se per arrivare
all’evento certo occorre considerare un gruppo di almeno 367 persone (per il
principio dei cassetti e la possibilità di anni bisestili: se abbiamo n cassetti
ed n + 1 oggetti, almeno due oggetti devono stare nello stesso cassetto!).
Per effettuare il calcolo, usiamo la formula per la probabilità degli eventi
indipendenti: per rendere più semplice il calcolo assumiamo che gli anni siano
tutti di 365 giorni e che i compleanni siano equiprobabili, anche se ciò non
è esatto. Aggiungere il giorno bisestile peggiora leggermente la probabilità,
ma in compenso il fatto che i compleanni non siano equiprobabili la alza.
Il modo più semplice per calcolare la probabilità P (n) che ci siano almeno
due persone appartenenti ad un gruppo di n persone che compiano gli anni
lo stesso giorno è calcolare dapprima la probabilità P1 (n) che ciò non accada.
Data una qualunque persona del gruppo (indipendentemente dalla data
del suo compleanno), vi sono 364 casi su 365 in cui il compleanno di una
seconda persona avvenga in un giorno diverso; se si considera una terza
persona, ci sono 363 casi su 365 in cui compie gli anni in un giorno diverso
dalle prime due persone e così via. Esprimendo in formule quanto sopra, la
probabilità che tutti i compleanni cadano in date diverse è:
P1 (n) =
364 363 362
365 − (n − 1)
365!
·
·
···
=
.
n
365 365 365
365
365 (365 − n)!
L’evento che ci interessa ha quindi probabilità
P (n) = 1 −
365n
365!
.
· (365 − n)!
Nella seguente tabella calcoliamo il valore di P (n) per vari valori di n:
180
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
n P (n) (%)
20 41.1438
21 44.3688
22 47.5695
23 50.7297
24 53.8344
25
56.87
26 59.8241
27 62.6859
28 65.4461
29 68.0969
30 70.6316
35 81.4383
40 89.1232
45 94.0976
50 97.0374
55 98.6262
60 99.4123
65 99.7683
70
99.916
75
99.972
80 99.9914
85 99.9976
90 99.9994
5.4.2
Problema di Monty Hall
Il problema di Monty Hall è un famoso problema di teoria della probabilitè,
legato al gioco a premi americano Let’s Make a Deal. Prende il nome da
quello del conduttore dello show, Maurice Halprin, noto con lo pseudonimo
di Monty Hall.
Nel gioco vengono mostrate al concorrente tre porte chiuse; dietro ad
una si trova un’automobile, mentre ciascuna delle altre due nasconde una
capra. Il giocatore può scegliere una delle tre porte, vincendo il premio
corrispondente. Dopo che il giocatore ha selezionato una porta, ma non l’ha
ancora aperta, il conduttore dello show, che conosce ciò che si trova dietro
ogni porta, apre una delle altre due, rivelando una delle due capre, e offre
181
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
al giocatore la possibilità di cambiare la propria scelta iniziale, passando
all’unica porta restante. Che fare?
Cambiare porta migliora le possibilità del giocatore di vincere l’automobile? La risposta è contrariamente all’intuizione, sì: infatti, cambiando porta,
1 2
le probabilità di successo raddoppiano passando da a .
3 3
Il problema è anche noto come paradosso di Monty Hall, poiché la soluzione può apparire controintuitiva, sebbene non si tratti di una vera antinomia,
non generando nessuna contraddizione logica. La seguente figura mostra in
maniera semplice perché conviene cambiare porta.
5.5
Esercizi svolti
5.5.1
Calcolo combinatorio
1. In quanti modi si possono sedere 6 persone nei 6 posti di uno scompartimento ferroviario?
Svolgimento. La prima persona può scegliere uno qualunque dei 6
posti, la seconda uno qualunque dei 5 posti rimanenti, la terza uno
qualunque dei 4 posti rimanenti, e così via. Dunque il numero dei
modi in cui si possono sedere le 6 persone nei 6 posti è dato dalle
permutazioni di 6 elementi: 6! = 720.
182
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
2. Calcolare quanti anagrammi (anche senza significato) si possono formare con la parola CASSA.
a) 120
b) 30
(*)
c) 480
d) nessuna delle risposte precedenti
Svolgimento. Se tutte le lettere fossero distinte i possibili anagrammi
sarebbero le permutazioni di 5 elementi, P5 = 5! = 120. Poiché ci
sono lettere ripetute, una permutazione di lettere ripetute non cambia
l’anagramma; bisogna quindi dividere le permutazioni di 5 elementi per
le permutazioni di 2 elementi (per la lettera “A” ripetuta due volte) e
per le permutazioni di 2 elementi (per la lettera “S” ripetuta due volte).
Il risultato è quindi
5!
P5
120
=
=
= 30.
P2 · P 2
2! · 2!
2·2
3. Tra tutti i numeri di 10 cifre diverse tra loro, quanti sono quelli le cui
prime 5 cifre sono dispari?
Svolgimento. Poiché le cifre sono tutte diverse e le prime 5 sono
dispari, le ultime 5 cifre devono essere pari. Tutti i possibili gruppi
di 5 cifre dispari sono 5! e così tutti i possibili gruppi di 5 cifre pari.
Dunque, la risposta è 5! · 5! = 14400.
4. Quanti sono gli anagrammi della parola MATEMATICA?
Svolgimento. Le permutazioni di 10 elementi sono 10!. Poiché ci sono
delle lettere ripetute (3 “A”, 2 “M” e 2 “T”) il numero di anagrammi è
3628800
10!
=
= 151200.
3! · 2! · 2!
24
5. In un autobus vi sono 12 posti numerati. In quanti modi diversi 5
persone possono occuparli?
Svolgimento. La prima persona può scegliere uno qualunque dei 12
posti, la seconda uno qualunque degli 11 posti rimanenti, . . . , la quinta
183
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
persona uno qualunque degli 8 posti rimanenti. La risposta è quindi
data dalle disposizioni di 12 elementi a 5 a 5:
D12,5 = 12 · 11 · 10 · 9 · 8 = 95040.
6. Tra tutti i numeri di 3 cifre, tutte dispari e diverse tra loro, quanti sono
i multipli di 5?
Svolgimento. I numeri di 3 cifre con le cifre dispari e diverse tra loro
sono 5 · 4 · 3 = 60. Infatti, la prima cifra può essere scelta in 5 modi
diversi, la seconda cifra in 4 modi diversi e l’ultima cifra in 3 modi
diversi. I multipli di 5 sono quelli che hanno l’ultima cifra uguale a 5.
Dunque, la prima cifra può essere scelta in 4 modi diversi e la seconda
in 3 modi diversi (la cifra “5” è vincolata ad essere l’ultima cifra). La
risposta è quindi 4 · 3 = 12.
7. Quanti ambi, terni, quaterne si possono formare con i novanta numeri
del lotto?
Svolgimento. Il numero di ambi diversi sono le combinazioni di 90
elementi a 2 a 2, il numero di terni le combinazioni di 90 elementi a 3
a 3, il numero di quaterne le combinazioni di 90 elementi a 4 a 4:
90
C90,2 =
= 4005,
Numero di ambi;
2
90
C90,3 =
= 117480,
Numero di terni;
3
90
= 2555190,
Numero di quaterne.
C90,4 =
4
8. Dodici amici, dopo una cena, si salutano ed ognuno di essi stringe la
mano a tutti gli altri. Quante sono le strette di mano?
Svolgimento. La risposta è data dalle combinazioni di 12 elementi a
2 a 2:
12
C12,2 =
= 66.
2
9. Si mescolano 10 carte e se ne distribuiscono 5 al giocatore A e 5 al
giocatore B. In quanti modi diversi può avvenire la distribuzione?
184
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Svolgimento. Le combinazioni di 10 elementi a 5 a 5 caratterizzano le
carte che riceve il giocatore A; le carte che rimangono sono del giocatore
B. La distribuzione può quindi avvenire in
10
C10,5 =
= 252
5
modi diversi.
10. Si mescolano 12 carte e se ne distribuiscono 3 al giocatore A, 3 a B, 3
a C e 3 a D. In quanti modi diversi può avvenire la distribuzione?
Svolgimento. Le combinazioni di 12 elementi a 3 a 3 caratterizzano
le carte che riceve il giocatore A, le combinazioni di 9 elementi 3 a 3 le
carte che riceve il giocatore B, le combinazioni di 6 elementi a 3 a 3 le
carte che riceve il giocatore C. Al giocatore D vanno le carte rimanenti.
La distribuzione può quindi avvenire in
12
9
6
C12,3 · C9,3 · C6,3 =
·
·
= 369600
3
3
3
modi diversi.
11. In quanti modi diversi si possono sistemare in una fila di sedie 5 ragazzi
e 6 ragazze, con la condizione che i ragazzi stiano tutti vicini tra loro
così come anche le ragazze?
a) 2 · 5! · 6!
(*)
b) C11,2
c) D11,2
d) 11!
Svolgimento. Il numero di modi di sistemazione dei 5 ragazzi è dato
dalle permutazioni di 5 elementi, mentre il numero di modi di sistemazione dei 6 ragazzi è dato dalle permutazioni di 6 elementi. INfine,
poiché si possono sistemare prima i ragazzi e poi le ragazze, o viceversa, il numero dei modi di sistemazione dei 5 ragazzi e delle 6 ragazze è
quindi
2 · P5 · P6 = 5! · 6! = 2 · 120 · 720 = 172800.
185
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
12. Quante stringhe diverse di 10 lettere si possono costruire anagrammando la parola PIANOFORTE (si è interessati a tutti gli anagrammi a
prescindere dal fatto che si abbia un significato)
a) 10!
b) 10! 3!
10!
(∗)
c)
2!
d) nessuna delle risposte precedenti
Svolgimento. Se tutte le lettere fossero distinte i possibili anagrammi
sarebbero le permutazioni di 10 elementi, P10 = 10! = 3628800. Poiché
ci sono due “O” ripetute, bisogna dividere per le permutazioni di 2
elementi. Il risultato è quindi
3628800
P10
10!
=
= 1814400.
=
P2
2!
2
13. Quanti oggetti possiamo differenziare con delle targhe di due simboli di
cui il primo è una lettera dell’alfabeto italiano e il secondo è una cifra
da 0 a 7?
a) 21 · 7
b) 29
c) 168 (∗)
d) 15
Svolgimento. Il primo simbolo si può scegliere in 21 modi diversi e il
secondo in 8 modi diversi. Le possibili targhe sono quindi
21 · 8 = 168.
14. 5 palline rosse, 2 bianche, 3 azzurre devono essere sistemate in fila, se tutte le palline dello stesso colore sono indistinguibili, quante
sistemazioni sono possibili?
a) 5! · 2! · 3!
b) D10,5
186
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
c) 10!
d)
10!
5! · 2! · 3!
(∗)
Svolgimento. In tutto si hanno 10 palline che possono essere sistemate in 10! modi diversi. Poiché le palline dello stesso colore sono
indistinguibili, bisogna dividere tale numero per 5! · 2! · 3!. La risposta
è quindi
10!
= 2520.
5! · 2! · 3!
5.5.2
Calcolo delle probabilità
1. Qual è la probabilità di fare ambo, terno, quaterna e cinquina in una
estrazione del lotto?
Svolgimento. Il numero di possibili giocate è
90
C90,5 =
= 43949268.
5
Poiché si giocano 5 numeri, il numero possibile di giocate con un ambo
sono
C88,3 = 109736.
La probabilità di fare un ambo è quindi
2
109736
C88,3
=
= 2.49688 · 10−3
=
C90,5
43949268
801
Analogamente, la probabilità di fare terno è
C87,2
3741
1
=
=
= 8.51209 · 10−5 ,
C90,5
43949268
11748
la probabilità di fare quaterna è
86
86
1
=
=
= 1.9568 · 10−6 ,
C90,5
43949268
511038
e la probabilità di fare cinquina è
1
C90,5
=
1
= 2.27535 · 10−8 ,
43949268
187
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
2. Giocando a poker con 32 carte, qual è la probabilità di vedersi servire
un poker d’assi?
Svolgimento. Tutte le combinazioni di 5 carte estratte da 32 sono
32
C32,5 =
= 201376.
5
Tutte le combinazioni di poker d’assi sono 28: 4 assi e una carta qualunque tra le rimanenti 28. Dunque, la probabilità di vedersi servire
un poker d’assi è
1
28
=
.
201376
7192
3. Si lanciano 10 monete. Qual è la probabilità che escano 5 teste?
Svolgimento. Gli esiti possibili sono le 210 = 1024 stringhe di 10
simboli scelti nell’insieme {T, C}. Di queste, le stringhe che contengono
5 teste sono
10
= 252.
5
Infatti, c’è
una sola stringa con 10 “T”, 10 = 10
stringhe con 9 “T”,
1
10
10
45 = 2 stringhe con 2 “T”, . . . , k stringhe con k “T”. La probabilità
è quindi
10
252
63
5
=
=
= 0.246094.
210
1024
256
4. Si lancia due volte un dado. Calcolare la probabilità che nei due lanci
si presenti la stessa faccia.
Svolgimento. Nel primo lancio la faccia che esce non è importante.
Nel secondo lancio una sola faccia garantisce il successo. Dunque, la
probabilità è 61 .
5. Calcolare la probabilità che lanciando 4 volte una coppia di dadi si
realizzi, almeno una volta, il doppio sei.
Svolgimento. La probabilità che in un lancio si presenti il doppio sei
1
35
è p = 36
mentre la probabilità che non esca il doppio sei è q = 36
.
Per semplicità di calcolo conviene calcolare la probabilità dell’evento
complementare, cioè che nei quattro lanci non esca mai il doppio sei.
188
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Poiché i quattro lanci sono eventi indipendenti, la probabilità che nei
quattro lanci non esca mai il doppio sei è:
4
35
= 0.945216.
36
Dunque, la probabilità che esca nei quattro lanci almeno un doppio sei
è
4
35
= 0.054784.
1−
36
6. 4 studenti su 10 vengono esaminati dal docente gli altri dall’assistente. La probabilità di superare l’esame sono 0.6 e 0.8 rispettivamente.
Uno studente ha superato l’esame. Qual è la probabilità che sia stato
esaminato dal docente?
Svolgimento. Se A è l’evento esame, B è l’evento esame sostenuto
con il docente, e C l’evento esame sostenuto con l’assistente, si ha:
P (A|B) = 0.6,
P (B) = 0.4,
P (A|C) = 0.8,
P (C) = 0.6.
Applicando il teorema delle probabilità totali, si ha:
P (A) = P (A|B) · P (B) + P (A|C) · P (C)
= 0.6 · 0.4 + 0.8 · 0.6 = 0.24 + 0.48 = 0.72.
7. Un’urna contiene venti palline numerate da 1 a 20. Si estrae una pallina.
Calcolare la probabilità che il numero sorteggiato sia multiplo di 5 o di
7:
a) 0.3
(*)
b) 0.4
c) 0.1
d) nessuna delle precedenti risposte
Svolgimento. I multipli di 5 sono 4 (5, 10, 15 e 20), mentre i multipli
3
6
= 10
= 0.3.
di 7 sono 2 (7 e 14). La probabilità è quindi 20
8. Su 625 alunni di un istituto 225 sono iscritti al centro sportivo e 150
seguono un corso di informatica. Calcolare la probabilità che un alunno
sia iscritto al centro sportivo o al corso di informatica nell’ipotesi che
nessun alunno svolge entrambe le attività:
189
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
a) 0.36
b) 0.24
c) 0.6
(*)
d) 0.12
Svolgimento. Poiché nessun alunno svolge entrambe le attività, il
numero di alunni che svolge almeno un’attività è 225 + 150 = 375. La
probabilità che un alunno svolga almeno un’attività è quindi
3
375
= = 0.6.
625
5
9. Qual è la probabilità di estrarre un asso oppure un 10 di cuori oppure
un 2 di picche da un mazzo di 52 carte?
3
52
3
b)
(∗)
26
3
c)
13
d) nessuna delle risposte precedenti
a)
Svolgimento. I casi favorevoli sono 6 (4 assi, il 10 di cuori e il 2 di
6
, cioè quella
picche) su un totale di 52 casi. La probabilità è quindi 52
della risposta b).
10. In un’urna vi sono 8 palline bianche e 7 nere. Quante palline nere devo
aggiungere affinché la probabilità di estrarre una pallina bianca scenda
a 0, 4?
8
15
b) 7
a)
c) 5 (∗)
7
d)
15
190
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
Svolgimento. Il numero x di palline nere da aggiungere perché la probabilità di estrarre una pallina bianca sia pari a 0.40 è tale da soddisfare
la seguente condizione:
8
4
= ,
x + 15
10
da cui si ricava che deve essere x = 5, cioè la risposta c).
11. Si effettuano due lanci di una moneta. Qual è la probabilità che si
presenti “testa” almeno una volta?
1
2
1
b)
8
3
c)
4
3
d)
8
a)
(∗)
Svolgimento. I risultati possibili dei due lanci sono “TT”, “TC”, “CT”
e “CC”; in tre casi su quattro si presenta almeno una volta “T” e quindi
la risposta esatta è la c).
5.6
5.6.1
Esercizi proposti
Calcolo combinatorio
• Ad una gara partecipano 20 concorrenti. In quanti modi potrebbe
essere formata la classifica finale dei 20 concorrenti?
a) C20,2
b) D20,2
c) 20! · 19!
d) 20!
(*)
• Quante partite di scacchi diverse possono essere giocate da sei giocatori?
a) 6!
191
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
b) D6,2
c) 62
d) C6,2
(∗)
• In quanti modi si possono trovare disposte le carte di un mazzo da 40?
a) 5!
b) 40! (∗)
c) 40 · 39
d) nessuna delle risposte precedenti
• Quante stringhe diverse di 12 lettere si possono costruire anagrammando la parola CALTANISETTA (si è interessati a tutti gli anagrammi a
prescindere dal fatto che si abbia un significato)
a) 12!
b) 12! 3! 3!
c) 12! 2! 3!
d) nessuna delle risposte precedenti
(∗)
• 7 palline rosse, 5 bianche, 4 azzurre devono essere sistemate in fila, se tutte le palline dello stesso colore sono indistinguibili, quante
sistemazioni sono possibili?
a) 7! 5! 4!
16!
b)
7! 5! 4!
c) 16!
(∗)
d) D16,5
• Si consideri una data estrazione in una determinata ruota del lotto.
Calcolare quante sono le possibili cinquine che contengono i numeri 1
e 90.
a) C88,3
(∗)
b) D90,5
192
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
c) C90,5
d) D88,3
• L’alfabeto italiano contiene 16 consonanti e 5 vocali. Quante stringhe
di 6 lettere si possono formare con lettere tutte diverse in modo tale
che contengano a e b?
a) C6,2 · D19,4
b) D19,4
c) C19,4 · 20 · 20
d) C6,2 · 2 · 19 · 18 · 17 · 16
(∗)
• Quattro giocatori di tennis vogliono giocare un doppio. Quante coppie
distinte si possono formare?
a) C4,2
(∗)
b) D4,2
r
c) C4,2
d) 4! 2!
• In quanti modi diversi possono essere collocati in una libreria 7 libri
scelti tra 20?
a) 20! 7!
b) D20,7
(∗)
c) 720
d) C20,7
• Quante stringhe diverse di 7 lettere si possono costruire anagrammando
la parola MESSINA (si è interessati a tutti gli anagrammi a prescindere
dal fatto che si abbia un significato)
a) 2520
(∗)
b) 7!
c) 7! 2!
d) 252
193
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
• Supponiamo che il menu di un ristorante consista di 5 antipasti, 6 primi,
6 secondi e 4 dolci: quanti pasti completi (di quattro piatti) possiamo
ordinare?
a) C21,4
b) D21,4
c) 720
(∗)
d) 5! 6! 6! 4!
• Quanti oggetti possiamo differenziare con delle targhe di due simboli di
cui il primo è una lettera dell’alfabeto italiano e il secondo è una cifra
da 0 a 9?
a) 31
b) 189
c) 200
d) 210 (∗)
5.6.2
Calcolo delle probabilità
• Qual è la probabilità di estrarre un asso oppure un 10 da un mazzo di
52 carte?
a) 2/13 (∗)
b) 2/52
c) 5/52
d) nessuna delle risposte precedenti
• Un’urna contiene 10 palline bianche, 15 nere, 20 blu e 25 rosse. Qual è
la probabilità che una pallina estratta sia bianca, nera o blu:
a) 5/14
b) 9/14 (∗)
c) 1/2
d) nessuna delle risposte precedenti
194
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
• Un’urna contiene 12 palline numerate da 1 a 12. Si estrae una pallina.
Calcolare la probabilità che il numero sorteggiato sia multiplo di 3 o di
7.
a) 0, 4
b) 1/10
c) 1/4
d) 5/12 (∗)
• Un’urna contiene 15 palline numerate da 1 a 15. Si estrae una pallina.
Calcolare la probabilità che il numero sorteggiato sia multiplo di 4 o 5.
a) 0, 4
b) 2/3 (∗)
c) 6/5
d) nessuna delle risposte precedenti
• Un’urna contiene 20 palline numerate da 1 a 20. Si estrae una pallina.
Calcolare la probabilità che il numero sorteggiato sia multiplo di 4 o 5.
a) 0, 4 (∗)
1
b)
10
1
c)
4
1
d)
5
• Si estragga un numero della tombola (da 1 a 90). Qual è la probabilità
che sia un multiplo di 7?
1
5
2
b)
15
7
c)
90
11
d)
90
a)
(∗)
195
Matematica di Base
F. Conforto, F. Oliveri
• Un’urna contiene 10 palline bianche, 15 nere, 20 blu e 25 rosse. Qual è
la probabilità che una pallina estratta sia bianca o nera?
3
14
2
b)
5
1
c)
7
5
d)
14
a)
(∗)
196
