TESINA AIDS LAZIO - Dipartimento di Ingegneria dell`Informazione

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DELLA CALABRIA
CORSO DI LAUREA IN :
INGEGNERIA INFORMATICA
DIPARTIMENTO DI ELETTRONICA E SISTEMISTICA
Elaborato per il Corso di “Teoria dei Sistemi”
a.a 2001 / 2002
UN MODELLO MATEMATICO PER ANALIZZARE LA DIFFUSIONE
DELL’AIDS TRA I TOSSICODIPENDENTI DEL LAZIO
Docente :
Alunni :
Alessandro Casavola
Giuseppina Salsone
Fortunato Villella
- INDICE DEI CONTENUTI -
UN MODELLO MATEMATICO PER ANALIZZARE LA DIFFUSIONE ............................................ 1
DELL’AIDS TRA I TOSSICODIPENDENTI DEL LAZIO .................................................................... 1
- INDICE DELLE TABELLE E DELLE FIGURE -................................................................................. 3
Tabelle:....................................................................................................................................................... 3
1.1 EZIOPATOGENESI: Ciclo biologico e riproduttivo del virus .......................................................... 4
1.2 MODALITA’ DI TRASMISSIONE .................................................................................................... 7
1.3 DECORSO CLINICO.......................................................................................................................... 8
1.4 COME COMBATTERLO: Terapie e speranze ................................................................................... 9
1.5 LE CIFRE DELL’AIDS IN ITALIA: .................................................................................................. 9
Le fasce d' età più colpite: .................................................................................................................... 10
2. IPOTESI SUL MODELLO:................................................................................................................. 13
2.1 IL MODELLO : ................................................................................................................................. 13
? S?(t ) ? ?? S (t )[ H (t )? A(t )] ? ? S (t ) ? NTD
? ?
? H (t ) ? ? S (t )[ H (t )? A(t )] ? ? H (t ) ? ? H (t )
??
................................................................................. 13
? A(t ) ? ? H (t ) ? ? A(t )
? R?(t ) ? ? A(t ) ? ? H (t ) ? ? S (t )
?
2.2 DESCRIZIONE : ............................................................................................................................... 13
2.3 I PARAMETRI :................................................................................................................................ 14
2.4 DATI STATISTICI: ........................................................................................................................... 16
3. SIMULAZIONI: .................................................................................................................................. 20
SIMULINK: ..................................................................................................................................... 20
3.1 “Risposta Libera” (NTD=0, N=15000):............................................................................................. 22
3.2 CONFRONTI STATISTICI: ............................................................................................................. 25
4. MODIFICHE AL MODELLO : ? VARIABILE ................................................................................. 30
5. CONCLUSIONI:.................................................................................................................................. 33
6. CODICE PROGRAMMI: .................................................................................................................... 35
7.TABELLE EXCEL :............................................................................................................................. 37
BIBLIOGRAFIA :................................................................................................................................... 38
- INDICE DELLE TABELLE E DELLE FIGURE -
Tabelle:
Tabella 1 Distribuzione dei casi di AIDS in Italia per regione e per anno di diagnosi (aggiornati al 31
dicembre 98)..................................................................................................................................... 11
Tabella 2 Nuove diagnosi di infezione da HIV . Distribuzione per provincia di residenza..................... 17
Tabella 3 Distribuzione dei casi di AIDS per provincia di residenza ...................................................... 18
Tabella 4................................................................................................................................................... 23
Tabella 5................................................................................................................................................... 25
Tabella 6: Numero di TD affetti da AIDS nel Lazio................................................................................ 37
Tabella 7:Numero di TD affetti da HIV e ancora vivi nel Lazio ............................................................ 37
Figure:
Figura 1 Prospettiva esterna del virus ....................................................................................................... 5
Figura 2 Prospettiva esterna del virus ........................................................................................................ 5
Figura 3 Momento di attacco del virus ad un macrofago e ad un linfocita T-Helper . ............................. 7
Figura 4 Casi notificati a fine '99 ............................................................................................................. 12
Figura 5: le curve phi e gamma in funzione del tempo trascorso dall'inizio dell'infezione (teta)............ 16
Figura 6 : Modello simulink del sistema dinamico in esame................................................................... 21
Figura 7 : Andamento delle funzioni S(t),H(t) e A(t) nel caso H(0)=A(0)=0.Il punto così definito ,con
S(t) arbitrario ,è asintoticamente stabile poichè H(t) e A(t) restano nulli e S(t) tende a zero com'era
prevedibile........................................................................................................................................ 22
Figura 8: a confronto la risposta libera dei tre stati. ................................................................................. 24
Figura 9: “Risposta libera” del sistema. A confronto il numero dei suscettibili, il numero dei casi di HIV
e di AIDS.......................................................................................................................................... 24
Figura 10: confronto tra dati statistici e curva A(t) ottenuta tramite simulink. ........................................ 26
Figura 11: Particolare del confronto tra dati statistici e dati simulati -A(t)- intorno all'anno 1992.
Avendo elaborato un sistema TC ,sono presenti i valori della simulazione anche per frazioni di
anno .................................................................................................................................................. 27
Figura 12: Previsione a lungo termine dell'andamento degli individui affetti di AIDS e confronto con
dati statistici. .................................................................................................................................... 28
Figura 13:Confronto tra dati stimati e dati statistici-Nuove diegnosi di AIDS ........................................ 29
Figura 14:Dettaglio del confronto sulle diagnosi intorno agli anni 1991-1996 ....................................... 29
Figura 15: Andamento della curva ipotetica ? (t) .................................................................................... 30
Figura 16: Confronto tra dati statistici e dati simulati sul numero di individui in vita effettuato col
modello modificato .......................................................................................................................... 31
Figura 17: Confronto tra dati statistici e dati simulati.Nuove diagnosi per anno ..................................... 32
Figura 18: Confronto tra dati statistici e dati simulati-Nuove diagnosi per anno.Dettaglio anni 19911998.................................................................................................................................................. 32
Introduzione
1. INTRODUZIONE:
La sigla A.I.D.S. sta per Sindrome da Immuno-Deficienza Acquisita ( Acquired ImmunoDeficiency Sindrome ) e si riferisce ad una patologia degenerativa ad eziopatogenesi virale,
caratterizzata dal progressivo indebolimento di tutte le difese immunitarie dell’ organismo.
1.1 EZIOPATOGENESI: Ciclo biologico e riproduttivo del virus
Anni di intense indagini, svolte utilizzando conoscenze e metodiche molecolari, virologiche,
immunologiche ed epidemiologiche , hanno condotto a considerare l ’ agente eziologico
dell’ A.I.D.S. l’ HIV, come un virus ad alta eterogenericità genetica, biologica e clinica.
Attualmente si conoscono due tipi di HIV. : HIV - 1, più virulento e più diffuso principalmente in
Europa, Stati Uniti, India, Africa ed HIV - 2 caratterizzato da un più potente potere patogeno e
tipico dell’ Africa occidentale. In termini di organizzazione genetica i due tipi sono molto simili
in quanto si differenziano solo per un gene.
Nel mondo però esistono numerosissime varianti del virus, fenomeno questo dovuto
prevalentemente ad eventi di ricombinazione tra virus piuttosto che
a mutazioni a carico del
genoma. Indipendentemente dal tipo specifico di variante, il virus dell’ A.I.D.S. è un virus
appartenente alla famiglia dei Retroviridae ( Lentivirus), che trascrivono il proprio genoma dall’
RNA con un procedimento a “ritroso” rispetto alle cellule e agli altri virus ad RNA o a DNA.
La microscopia ottica mostra una struttura icosaedrica con peculiare organizzazione: un involucro
esterno (capside) costituito da un doppio strato fosfolipidico, sulla cui superficie, possono essere
presenti molecole caratteristiche come gli antigeni maggiori di istocompatibilità (MHC-1 ; MHC2).Dalla superficie del capside sporgono 72 protruberanze (capsomeri), costituite da una
glicoproteina ,gp120, che funge da sito di riconoscimento della molecola CD4 presente sulla
superficie delle cellule bersaglio del virus; al di sotto della gp120 ripiegata verso il lato idrofobo
della membrana fosfolipidica, è presente un’ altra glicoproteina, gp41.
L’ insieme dell’ involucro fosfolipidico e delle glicoproteine di superficie viene indicato anche
come “envelope” (busta ) del virus.
Introduzione
La parte interna , il core, è costituita invece da due filamenti di RNA a singola elica, identici tra
loro, e da proteine ad essi legate; i filamenti sono il genoma virale vero e proprio, mentre le
proteine sono enzimi indispensabili per la replicazione. Una rappresentazione schematica della
peculiare architettura del virus può essere la seguente:
Figura 1 Prospettiva esterna del virus
Figura 2 Prospettiva esterna del virus
5
Introduzione
L’ HIV è un esempio tipico di virus a ciclo litico ovvero di virus che provoca la lisi della cellula
ospite, meccanismo questo, che si esplica attraverso una rigorosa sequenza di eventi
biomolecolari:
1. Attacco e penetrazione;
2. Trascrizione ed integrazione genomica;
3. Attivazione genica ;
4. Lisi della cellula ospite;
Le cellule umane che esprimono sulla loro superficie la molecola CD4 ( principalmente linfociti
T4 e monoliti/ macrofagi) sono il bersaglio specifico per il virus. La molecola gp120, infatti si
lega alla molecola CD4 con un’ affinità estremamente alta e selettiva. Questa interazione
altamente specifica è responsabile della variazione della conformazione sterica della gp120, con
conseguente esposizione della sottostante gp41, molecola questa molto idrofoba che tende
pertanto ad inserirsi nello strato lipidico della membrana citoplasmatica della cellula aggredita,
stabilizzazione l’ ancoraggio e dando inizio al processo di internalizzazione del virione.
Dopo l’ internalizzazione il virus va incontro ad un processo di “ vestimento “ ( uncoating) :
inizia quindi la replicazione del materiale genetico ad opera di un eterodimero proteico, la
trascrittasi inversa. Non tutto il DNA prodotto dal virus viene integrato nel nucleo della cellula
ospite, persistendo talvolta anche in quantità notevoli all’ interno del citoplasma.
Dopo l ’ integrazione nel nucleo cellulare , si può avere una fase di latenza del virus assai lunga
( 10-12 anni ), fase che cessa quando alcuni agenti “attivanti” promuovono l’ attivazione dei geni
virali. Una volta attivato, il DNA virale utilizza i sistemi enzimatici e le strutture della cellula
ospite per formare mRNA, trasferirlo nel citoplasma e trascriverlo in proteine strutturali del
virione ed RNA virale definitivo (v. Figura 3).
6
Introduzione
Figura 3 Momento di attacco del virus ad un macrofago e ad un linfocita T-Helper .
1.2 MODALITA’ DI TRASMISSIONE
L’ HIV è stato isolato in tutti i liquidi biologici ed i tessuti di un soggetto sieropositivo. Tuttavia
la semplice presenza del virus in un materiale biologico non significa che il contatto con quello
stesso materiale rappresenti un evento efficace per la trasmissione dell’ infezione. Perché ciò
avvenga è necessario che si verifichino due condizioni:
??Una idonea via di trasmissione ;
??Una adeguata quantità di virus;
Una quantità di virus ( carica virale) sufficiente a trasmettere l’ infezione si può ritrovare solo in
determinati liquidi biologici, quali sangue, liquido seminale, secreto vaginale. Altri materiali sono
7
Introduzione
considerati a rischio solo se contaminati dal sangue infetto, in quanto la concentrazione del virus
e’ troppo bassa perché la trasmissione possa avvenire.
Tuttavia, anche se esistono diverse vie di trasmissione quali la trasfusione, l’ esposizione
accidentale, la trasmissione sessuale è la modalità di contagio prevalentemente nel mondo,ed è il
fattore maggiormente responsabile della rapida espansione nei Paesi asiatici.
E’ comunque difficile stabilire con certezza la percentuale di rischio di contagio in seguito a
rapporto sessuale; infatti ci sono persone contagiate dopo un singolo rapporto, mentre altre non
hanno contratto l’ infezione anche dopo anni di rapporti. Ci sono infatti molti
fattori che
influenzano la possibilità che si verifichi effettivamente il contagio, fattori individuali e fattori
legati al virus.
1.3 DECORSO CLINICO
Il decorso dell’ infezione e il tempo di sopravvivenza nei soggetti con infezione da H.I.V.-1 varia
considerevolmente da individuo a individuo, anche se la storia naturale della malattia segue
modalità ben precise.
A partire dal 1993, infatti, si distinguono in genere tre stadi dell’ infezione:
??STADIO A : Comprende l’ infezione acuta e la fase asintomatica che compare dopo poche
settimane dall’ infezione e si manifesta con una febbre passeggera e talvolta ingrossamento
linfonodale;
??STADIO B : E’ caratterizzato da sintomi dovuti al forte indebolimento del sistema
immunitario, quali micosi a vari livelli, non ancora riconducibili alle patologie associate all’
A.I.D.S;
??STADIO C : E’ lo stadio finale dell’ infezione; è dovuto al collasso del sistema immunitario
ed e’ caratterizzato da quadri clinici specifici, con infezioni e varie forme di tumori.
8
Introduzione
1.4 COME COMBATTERLO: Terapie e speranze
Negli ultimi due anni sono stati fatti notevoli passi avanti nella terapia dell’ infezione da H.I.V.
Ciò che ha reso possibile questo miglioramento può essere riassunto in questi punti:
??Una miglior comprensione della patogenesi dei danni prodotti dal virus;
??La possibilità di determinare la carica infettante e di avere così un parametro diretto della
replicazione del virus;
??La disponibilità di farmaci con una potente attività antiretrovirale;
??La comprensione della necessità di utilizzare combinazioni terapeutiche con più farmaci
contemporaneamente.
La principale strategia terapeutica consiste nell’ iniziare il prima possibile la terapia in modo da
bloccare la replicazione del virus quando il sistema immunitario è ancora efficiente . Nella pratica
clinica questa teoria si scontra con altri aspetti quali:
??La difficile tollerabilità dei farmaci;
??La possibile insorgenza di resistenze;
??La difficile penetrazione dei farmaci nei cosiddetti santuari del virus.
Sono attualmente disponibili in Italia 10 farmaci antiretrovirali, che agiscono sulla replicazione
del virus ma non sono in grado di ucciderlo.Tali farmaci pertanto non sono attualmente curativi ,
ma sono in fase di sperimentazione clinica numerosi vaccini.
1.5 LE CIFRE DELL’AIDS IN ITALIA:
Dal 1982, anno della prima diagnosi di Aids in Italia, al 31 dicembre 2000 sono stati notificati al
COA (Centro Operativo Aids) 47mila e 503 casi cumulativi di Aids. Di questi il 78 per cento
9
Introduzione
erano di sesso maschile, l'1,5 in età pediatrica e il 5,1 stranieri. L' età media, alla diagnosi,
calcolata per gli adulti è di 33 anni per i maschi e di 31 anni per le femmine. Nel secondo
semestre del 2000 sono stati notificati al Centro Operativo Aids 945 nuovi casi. I decessi nel 2000
sono stati 326, circa la metà rispetto all'anno precedente (623) e sostanzialmente meno rispetto al
1998 (953).
Le regioni più colpite, nel 2000 così come negli anni precedenti, sono la Lombardia (421 nuovi
casi), l 'Emilia Romagna (166), il Lazio (159), la Toscana (102) e il Piemonte (101). Le regioni
con minor numero di casi sono state la Valle d' Aosta (2), il Molise e la Basilicata (3 ). E' evidente
la persistenza di un gradiente Nord-Sud nella diffusione della malattia nel nostro Paese, come
risulta dai tassi d'incidenza che continuano a essere mediamente più bassi nelle regioni
meridionali.
Le fasce d' età più colpite:
Il 72,8 per cento del totale dei casi si concentra nella fascia d'età 25-39 anni. In particolare è
aumentata la quota di casi nella fascia d'età 35-39 anni (per i maschi dal 11,5 per cento nel 1989 al
29 nel 1999 e per le femmine dal 5,7 nel 1989 al 25,3 nel 1999).
L'età media alla diagnosi dei casi adulti di Aids mostra un aumento nel tempo, sia tra i maschi che
tra le femmine. Infatti, se nel 1985 l'età media era di 29 anni per i maschi e di 24 per le femmine,
nel 2000 l'età media è salita rispettivamente a 39 e 35 anni. Nell'ultimo decennio la proporzione di
pazienti di sesso femminile tra i casi adulti è andata progressivamente aumentando, passando dal
16 per cento del 1985 al 23,8 del 2000.
La distribuzione dei casi adulti evidenzia come il 62,7 per cento del totale dei casi sia attribuibile
alle pratiche associate all'uso di sostanze stupefacenti per via endovenosa. La distribuzione nel
tempo mostra un aumento della proporzione dei casi attribuibili alla trasmissione sessuale
(omosessuale ed eterosessuale ).(v. tabella 1)
10
Introduzione
Regione
'82-'91 1992
1993 1994 1995 1996 1997 1998 Totale
Lombardia
4199
1248
1504
1741
1678
1499
933
475
13277
Lazio
1641
542
623
647
737
644
466
301
5601
Emilia-Romagna
1246
425
437
572
568
492
310
186
4236
Piemonte
902
290
309
371
362
345
222
131
2932
Toscana
787
251
277
333
364
284
203
120
2619
Veneto
782
269
304
332
317
277
178
101
2560
Liguria
730
237
233
283
284
258
157
92
2274
Sicilia
562
182
220
235
218
165
143
99
1824
Puglia
414
169
192
172
218
225
151
77
1618
Campania
391
175
150
198
208
182
126
91
1521
Sardegna
417
144
171
173
185
144
92
37
1363
Marche
199
66
67
80
89
79
54
42
676
Calabria
122
40
43
53
57
59
30
22
426
Friuli-Venezia Giulia
98
34
41
38
39
49
26
11
336
Umbria
74
38
30
40
48
52
27
18
327
Abruzzo
86
24
37
40
48
41
31
13
320
Trentino Prov. Trento
65
30
38
32
37
29
24
12
267
Alto Adige Prov. Bolzano
40
24
16
18
25
27
17
12
179
Basilicata
29
9
19
12
18
17
7
7
118
Valle D’Aosta
17
5
6
5
7
9
3
5
57
Molise
7
2
5
4
5
3
2
3
31
Ignota
52
41
67
111
109
97
62
44
583
Estero
85
16
29
32
38
20
28
27
275
Totale
12945 4261
4818 5522 5659 4997 3292 1926 43420
Tabella 1 Distribuzione dei casi di AIDS in Italia per regione e per anno di diagnosi (aggiornati al 31 dicembre 98)
11
Introduzione
Come si può notare dalla figura sotto il Lazio insieme alla Lombardia e all’Emilia Romagna sono
le regioni più colpite dalla piaga dell’AIDS.
Figura 4 Casi notificati a fine '99
In particolare nel Lazio dal 1983 al 30 giugno 2000 sono state effettuate 6776 diagnosi di
AIDS.L'incidenza annuale è aumentata fino al 1995 (801 diagnosi), per poi diminuire a partire dal
1996 (746 diagnosi nel 1996, 329 nel 1999 e 101 nel primo semestre del 2000).Nel 1999 a Roma
sono stati diagnosticati 6.2 nuovi casi di AIDS ogni 100.000 abitanti.
12
Il modello
2. IPOTESI SUL MODELLO:
Abbiamo considerato i tossicodipendenti del Lazio come popolazione omogenea, senza
distinzione di sesso, età o condizioni fisiche, ipotizzando che l’unica via di trasmissione del virus
fosse lo scambio di siringhe infette. Questa scelta progettuale è una notevole semplificazione della
realtà: difatti se avessimo utilizzato un modello a due sessi non avremmo potuto trascurare la via
della trasmissione sessuale (in un ambiente come quello della tossicodipendenza è semplice
intuire come i rapporti siano per lo più non protetti). Numerose altre scelte sono state dettate
dall’esigenza di semplificare il lavoro e dall’assoluta mancanza di dati statistici relativi a
particolari classi di individui (ad esempio non sono stati trovati dati statistici sulla popolazione
divisa per sessi o per fasce d’età).
2.1 IL MODELLO :
Il modello da noi elaborato a tempo continuo si presenta nella seguente forma:
? S?(t ) ? ?? S (t )[ H (t )? A(t )] ? ? S (t ) ? NTD
? ?
? H (t ) ? ? S (t )[ H (t )? A(t )] ? ? H (t ) ? ? H (t )
??
? A(t ) ? ? H (t ) ? ? A(t )
? R?(t ) ? ? A(t ) ? ? H (t ) ? ? S (t )
?
2.2 DESCRIZIONE :
Rispetto ai modelli SIR in cui la popolazione è suddivisa in Suscettibili – Infetti - Rimossi,
abbiamo utilizzato un modello che meglio rispettasse le caratteristiche della malattia in esame, in
particolar modo il fatto che la malattia attraversa due stadi:il primo asintomatico,la cui durata
varia dai 6 mesi ai 10 anni , in cui il malato è portatore sano e il secondo in cui si manifestano i
sintomi e la mortalità diviene molto elevata.
Il modello
Abbiamo scelto di utilizzare quattro variabili di stato S(t), H(t), A(t) e R(t). In ogni istante di
tempo i tossicodipendenti sono quindi suddivisi in quattro classi:
?? S(t) sono quelli che non hanno contratto la malattia, s’intende tutta la popolazione dei
tossicodipendenti che sono soggetti all’infezione, corrisponde alla categoria dei
suscettibili;
?? H(t) sono quelli che hanno contratto il virus dell’HIV,abbiamo ipotizzato che sia una
variabile di stato “shadow” (nel senso che non abbiamo dati statistici certi poiché questa
fase della malattia è asintomatica); è stata quindi considerata come una variabile interna
non confrontabile con i dati statistici;
?? A(t) sono i TD che hanno sviluppato i sintomi dell’AIDS, insieme a H(t) costituiscono la
categoria degli infetti del modello SIR;
?? R(t) corrisponde alla classe dei rimossi nel sistema SIR ( non ha importanza per i conforti
con i dati statistici) .
2.3 I PARAMETRI :
Per quanto riguarda la definizione dei parametri abbiamo deciso di non stimarli con i metodi
classici (stimatori): in parte li abbiamo estrapolati dalla letteratura scientifica e in parte li abbiamo
dedotti con metodi statis tici dalle tabelle in nostro possesso.
Andiamo ad analizzare il loro significato:
?? ? ? [0,1] è la mortalità per cause legate all’aids. Questo parametro è stato estrapolato dai
dati statistici utilizzando la semplice formula ? ?
n ? morti
. Ci siamo resi conto che
n? individui
non era possibile considerare questo parametro costante per il modo i cui questo variava
nel corso degli anni (vedi tabella in appendice).
?? ? =0.04 è la mortalità dei tossicodipendenti che non sono infetti né dall’hiv , né dall’aids. Il
valore numerico utilizzato è dato dalla correzione della mortalità intrinseca per motivi
fortuiti (età, trattamento … ) .
14
Il modello
?? ? =0.04 è la mortalità degli individui che sono stati infettati dal virus dell’ HIV ( cioè che
non hanno manifestato i sintomi dell’immunodeficienza). Abbiamo scelto di considerarlo
uguale al parametro ? poiché dal punto di vista medico (e statistico) la mortalità degli
individui portatori sani non è sensibilmente diversa dai tossicodipendenti.
I parametri che seguono sono stati “stimati”, cioè sono stati estrapolati da studi scientifici e da
ipotesi mediche:
?? ? ? [0,1] è l’infettività del virus dell’ HIV. Nel nostro modello rappresenta la probabilità
che un gruppo di individui suscettibili (i tossicodipendenti) si infetti incontrando individui
cui è stato diagnosticato l’ HIV o che hanno manifestato i sintomi dell’immunodeficienza.
Ci si è rifatti a curve ipotetiche elaborate in campo medico; ad esempio quella in figura
descrive il modo in cui l'infettività è distribuita lungo il periodo di incubazione. Si tratta di
una curva ipotetica (Figura 5) il cui andamento qualitativo, con due picchi di infettività, è
suggerito sulla base di alcuni dati sulla presenza del virus HIV nel sangue di un individuo
(1). L’uso di questa curva presupponeva l’utilizzo di un modello alle derivate parziali,
poiché oltre alla variabile indipendente tempo, sarebbe stata necessaria la variabile ? che
indicava il tempo dall’inizio dell’infezione in ciascun individuo, con la conseguenza che
non avremo potuto utilizzare il software di simulazione a nostra disposizione (simulink).
Si è scelto quindi di rendere costante ? e di scegliere il valore opportuno in base a
riflessioni di tipo statistico (v. tabelle excel).
?? ? =0.071 è il parametro che regola la durata dell’incubazione, cioè il periodo che intercorre
tra la diagnosi dell’ HIV e il manifestarsi dei sintomi dell’AIDS. Anche in questo caso
abbiamo effettuato una notevole semplificazione: difatti in origine (2) si trattava di una
curva statistica ?(?) , che in particolare è una stima sulla distribuzione del periodo
d’incubazione. La curva in questione rappresentava la probabilità che si verificassero i
sintomi dell’aids su individui con HIV in funzione del tempo dall’inizio dell’infezione (da
quando si era contratto il virus). Abbiamo deciso di rendere questo parametro costante e
abbiamo scelto il valore medio (media) della curva.
1
Blythe SP, Anderson RM.
Distributed incubation and infectious periods in models of the transmission dynamics of the human immunodeficiency virus
(HIV). IMA J Math Applied in Medicine and Biology, 5:1-19, 1988.
2
P. Bacchetti and A.R. Moss. Incubation period of AIDS in San Francisco. Nature , 338:251-253, 989.
15
Il modello
Inoltre il parametro NTD=600 è una costante, che rappresenta il tasso di entrata di nuovi
tossicodipendenti, questo è stato suggerito da (3).
Figura 5: le curve phi e gamma in funzione del tempo trascorso dall'inizio dell'infezione (teta)
2.4 DATI STATISTICI:
Nonostante l’enorme quantità di materiale statistico trovato su internet abbiamo trovato difficoltà
a trovare dati che a noi servissero, quali ad esempio il numero di diagnosi di HIV oppure i dati
relativi al numero di tossicodipendenti anno per anno. Queste difficoltà sono giustificate dal fatto
che i dati sui tossicodipendenti, ad esempio non sono reali, in quanto non si
effettivamente il numero di
conosce
tossicodipendenti nel Lazio, le statistiche in questo caso sono
ricostruite stimando i dati in possesso della prefettura, delle cooperative che si occupano del
problema e dei S.E.R.T .
Per questo abbiamo scelto di analizzare
la popolazione dei
tossicodipendenti del Lazio: su questi le statistiche sono particolarmente accurate e adatte al
nostro studio.
3
M. Iannelli e A. Pugliese ,Un modello matematico per analizzare l'epidemia da HIV/AIDS fra i tossicodipendenti.
16
Il modello
Ci siamo rifatti ad un documento dell’ O.E.R.L, osservatorio epidemiologico della regione Lazio
dal titolo “INFEZIONI HIV ED AIDS LAZIO, 1985-1998, Sistema di sorveglianza:
aggiornamento al 31 Dicembre 1998” su cui sono state trovate, oltre a numerosi grafici
sull’incidenza dell’aids, molte tabelle che seguivano l’andamento delle diagnosi negli anni
dividendo la popolazione in classi di rischio (TD,Omosex…). La scelta di una statistica siffatta ci
ha inoltre influenzato nella scelta di un periodo di simulazione che tenesse conto della limitatezza
dati statistici a nostra disposizione per meglio confrontarli con i dati simulati.
Riportiamo qui di seguito tabelle e grafici relativi alla situazione nella regione Lazio:
PROVINCIA
DI
RESIDENZA
ANNO DI DIAGNOSI
1997
N
ROMA – Città
ROMA – Provincia
VITERBO
RIETI
LATINA
FROSINONE
FUORI REGIONE
(%)
N
1998
(%)
differenza %
811
542
-33,2
484 (59.7)
98 (12.1)
337 (62.2)
76 (14.0)
-30,4
-22,4
18
5
41
16
(2.2)
(0.6)
(5.1)
(2.0)
149 (18.4)
13
7
27
10
(2.4)
(1.3)
(5.0)
(1.8)
-27,8
40,0
-34,1
-37,5
72 (13.3)
-51,7
Tabella 2 Nuove diagnosi di infezione da HIV . Distribuzione per provincia di residenza
17
Il modello
Diagnosi di infezione HIV. Notifiche e nuove diagnosi.
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
19
97
19
94
19
91
19
88
19
85
0
Trimestre di esecuzione del test
Notifiche
PROVINCIA
di
RESIDENZA
Nuove diagnosi
ANNO DI DIAGNOSI
1997
N
(%)
1998
N
(%) differenza
%
TOTALE
492
361
-26,6
ROMA - Città
ROMA - Provincia
341 (69.3)
60 (12.2)
253 (70.1)
56 (15.5)
-25,8
-6,7
VITERBO
RIETI
LATINA
FROSINONE
20
1
30
13
(4.1)
(0.2)
(6.1)
(2.6)
FUORI REGIONE
27 (5.5)
Tabella 3 Distribuzione dei casi di AIDS per provincia di residenza
18
12
1
14
4
(3.3)
(0.3)
(3.9)
(1.1)
-40,0
0,0
-53,3
-69,2
21 (5.8)
-22,2
Il modello
Diagnosi di AIDS per trimestre di diagnosi e deceduti per tutte le cause per trimestre di
morte*.
250
200
150
100
50
<1
986
19
86
I
19 I
86
IV
19
87
II
19
87
IV
19
88
I
19 I
88
IV
19
89
I
19 I
89
IV
19
90
I
19 I
90
IV
19
91
I
19 I
91
IV
19
92
I
19 I
92
IV
19
93
I
19 I
93
IV
19
94
I
19 I
94
IV
19
95
I
19 I
95
IV
19
96
I
19 I
96
IV
19
97
I
19 I
97
IV
19
98
I
19 I
98
IV
0
Diagnosi
Deceduti
*Le informazioni sullo stato in vita sono ottenute dal follow-up attivo di mortalità, aggiornato al 30-6-1998.
Diagnosi di AIDS nel Lazio. Andamento temporale secondo le due diverse definizioni di
caso adottate nel 1987 e nel 1993.
450
400
350
300
250
200
150
100
50
Trimestre di diagnosi
CDC 1993
CDC 1987
19
97
II
97
IV
96
II
96
IV
95
IV
95
II
94
II
94
IV
93
II
93
IV
92
II
92
IV
91
IV
91
II
90
IV
90
II
89
II
89
IV
88
II
88
IV
87
IV
87
II
0
Simulazioni
3. SIMULAZIONI:
Abbiamo deciso di non preoccuparci a fondo dello studio analitico del modello, concentrandoci
sullo studio numerico per poi confrontare i risultati ottenuti con le proiezioni statistiche
corrispondenti. Il software da noi usato è Simulink che fa parte del pacchetto Matlab.
SIMULINK:
La scelta di considerare a tempo continuo il sistema ci ha dato la possibilità di sintetizzarlo con
semplicità in simulink, attraverso integratori TC, operatori di somma e di prodotto. I risultati di
tutte le simulazioni sono convogliati in “sinks” che sono ,a seconda dei casi, “scope” o variabili
“to workspace” ,utilizzati successivamente per i confronti con i dati reali. Accanto al modello
sono stati elaborati numerosi programmi matlab (.m) che restituiscono i dati statistici e
raffigurano mediante grafici i risultati ottenuti. Per quanto riguarda i parametri delle simulazioni
abbiamo utilizzato integratori tempo continuo (in particolare il metodo ODE45) e abbiamo scelto
come tempo di simulazione t0=1985 e tf =1998. C’è da specificare che se avessimo dovuto
procedere in maniera rigorosa, anche t0 sarebbe dovuto esser stimato. In alcuni studi (4) il tempo di
inizio dell’infezione è stato stimato come t0 =1980, ma nel nostro caso avendo difficoltà ad
ottenere dati statistici relativi a quel periodo si è scelto di concentrare la nostra attenzione sul
periodo sopracitato per ottenere migliori e più semplici confronti.
4
Gonzo M, Iannelli M, Milner FA, Pugliese A.
The HIV/AIDS epidemics among intravenous drug users: a study of contact structure through a mathematical model.
Preprint UTM, 433, 1994.
20
Simulazioni
Figura 6 : Modello simulink del sistema dinamico in esame
21
Simulazioni
3.1 “Risposta Libera” (NTD=0, N=15000):
In primo luogo abbiamo analizzato “la risposta libera” del nostro sistema, cioè quella ad ingressi
nulli, considerando i nuovi tossicodipendenti come un ingresso: questa situazione corrisponde a
considerare i tossicodipendenti “isolati”. Abbiamo stimato il numero di tossicodipendenti pari
N=15000, valore utilizzato anche da (5). Se il numero di individui affetti da HIV fosse stato nullo
H(0)=0, non ci sarebbe stato alcun caso di infezione, il numero di individui affetti da HIV sarebbe
restato nullo e lo stesso avrebbe fatto A(t), mentre S(t) sarebbe andato diminuendo secondo il
tasso di mortalità intrinseco(Figura 7) fino a tendere a zero per tempi molto lunghi.
Figura 7 : Andamento delle funzioni S(t),H(t) e A(t) nel caso H(0)=A(0)=0.Il punto così definito ,con S(t) arbitrario ,è
asintoticamente stabile poichè H(t) e A(t) restano nulli e S(t) tende a zero com'era prevedibile.
5
Iannelli M, Loro R, Milner FA, Pugliese A, Rabbiolo G.
An AIDS model with distributed incubation and variable infectiousness: application to IV-drug users in Latium. Eur J
Epidemiology, 8:585-93, 1992.
22
Simulazioni
PARAMETRO SIGNIFICATO
VALORE
?
Mortalità aids
?
Mortalità hiv
Variabile in base a dati
statistici - vedi tabelle excel.
0.04 (anno -1)
?
Mortalità TD
0.04 (anno -1)
?
Tasso infettività
0.0001 (anno -1)
?
Tasso comparsa sintomi
0.071 (anno-1)
t0
Tempo inizio simulazione
1985
tf
Tempo fine simulazione
2010
S(0)
N° TD iniziale
15000
H(0)
N° individui affetti da HIV
1
A(0)
N° individui affetti da AIDS
0
NTD
Tasso di entrata nuovi TD
0 (anno -1)
Tabella 4
Considerando i parametri come specificato in tabella 4 si ottengono i risultati in Figura 8. Si nota che il
numero dei suscettibili decresce e tende a zero in un tempo ragionevolmente breve, difatti se il tasso di
nuovi TD è nullo, quelli restanti contrarranno il virus o moriranno. Il numero degli infetti da HIV
aumenta fino ad avere un picco circa nel 1995 per poi decrescere a zero; la forma caratteristica “a
campana” del numero degli infetti è tipica del modello S-I-R. Il numero di infetti da AIDS aumenta
sempre poiché il tasso di mortalità (statistico) per aids tende a decrescere ed è addirittura nullo per gli
anni 1996-1997-1998; ciò ci fa prevedere che nel futuro sia sempre più basso, cosicchè tutti i casi di
HIV diventino col tempo casi di AIDS conclamato. Inoltre dalla Figura 8 si nota come in seguito alla
comparsa dell’epidemia il numero dei suscettibili diminuisca abbastanza velocemente, mentre dopo, il
picco di infezioni di HIV,decresca con una velocità simile a quella con cui decresce S(t) prima
dell’epidemia.
23
Simulazioni
Figura 8: a confronto la risposta libera dei tre stati.
Per quanto riguarda la “risposta all’impulso” non ha senso studiarla per il sistema in analisi, perché, pur
considerando il tasso di entrata di tossicodipendenti come un’ingresso del sistema, la malattia non si
diffonderebbe se H(0)=A(0)=0. A questa conclusione si può arrivare anche secondo semplici riflessioni:
difatti perchè l’epidemia abbia inizio è necessario che sia presente almeno un caso di AIDS o di HIV.
Figura 9: “Risposta libera” del sistema. A confronto il numero dei suscettibili, il numero dei casi di HIV e di AIDS.
24
Simulazioni
3.2 CONFRONTI STATISTICI:
A parte le simulazioni fatte in precedenza, c’è da dire che la bontà del modello da noi proposto
può essere misurata soltanto confrontando i dati ottenuti dalle simulazioni al calcolatore e i dati
statistici.Abbiamo cercato di scegliere i parametri di controllo del nostro sistema in modo da
minimizzare l’errore. Abbiamo già parlato della mancanza di dati statistici precisi e di stime
corrette. Ciò è dovuto certamente al carattere della malattia, alla difficoltà di diagnosi nei casi di
HIV, alle numerose correzioni delle statistiche fatte a posteriori e, non ultimo, alla ridefinizione di
malattia effettuata dal 1987 in poi (6).
Forti di queste considerazioni abbiamo proceduto al confronto e alla raffinazione di alcuni
parametri in modo che la curva del numero di tossicodipendenti affetti da aids si avvicinasse il più
possibile ai dati a nostra disposizione (vedi 2.4 ).
Scegliendo i parametri come specificato nella Tabella 55 si ottengono i risultati in
Tabella 5
6
PARAMETRO SIGNIFICATO
VALORE
?
Mortalità aids
?
Mortalità hiv
Variabile in base a dati
statistici - vedi tabelle excel.
0.06 (anno -1)
?
Mortalità TD
0.04 (anno -1)
?
Tasso infettività
0.0001 (anno -1)
?
Tasso comparsa sintomi
0.071 (anno-1)
t0
Tempo inizio simulazione
1985
tf
Tempo fine simulazione
1998
S(0)
N° TD iniziale
15000
H(0)
N° individui affetti da HIV
1
A(0)
N° individui affetti da AIDS
0
NTD
Tasso di entrata nuovi TD
400 (anno-1)
Vedi documenti del Gruppo Abele- http://www.gruppoabele.it
25
Simulazioni
Confronto tra dati statistici e dati simulati
3000
2500
Dati simulati
Dati statistici
2000
1500
N° Malati
1000 di AIDS
500
Stima "esatta"
(1992)
0
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998
ANNO
Figura 10: confronto tra dati statistici e curva A(t) ottenuta tramite simulink.
Dalla fig. 10 si nota immediatamente che il modello da noi studiato si avvicina molto alla realtà
fisica del fenomeno. Difatti non solo l’andamento qualitativo della curva è molto simile ai dati
statistici, ma anche dal punto di vista quantitativo i risultati sono ottimi. Ad esempio nel 1992 i
due valori sono molto vicini (Stimati=316, Statistca=322) con un errore di soli 6 casi(fig.11). Per
ottenere risultati migliori avremmo dovuto stimare con appositi strumenti matematici (metodo dei
minimi quadrati…), ma ciò sarebbe andato oltre le finalità di questo lavoro.
Dalla stessa simulazione sono stati estrapolati altri dati, quelli relativi ai “nuovi” casi di AIDS, ciò
corrisponde a tenere sotto controllo la variabile A(t).
26
Simulazioni
Particolare del confronto tra dati simulati e statistici- Anno 1992
326
Dato Statistico
(322 individui)
324
322
320
N° Individui
318
316
Dato Simulato
(316 individui)
314
1991.7
1991.8
1991.9
1992
ANNO
1992.1
1992.2
1992.3
Figura 11: Particolare del confronto tra dati statistici e dati simulati -A(t)- intorno all'anno 1992. Avendo elaborato
un sistema TC ,sono presenti i valori della simulazione anche per frazioni di anno
L’ approssimazione che effettua il nostro modello si vede meglio se prolunghiamo i tempi di
simulazione. Difatti se guardiamo al modello su scala temporale più lunga otteniamo uno sguardo
d’insieme su quello che potrebbe essere l’evoluzione della malattia nel futuro.
Le previsioni (Figura 12) non sono certo rosee, l’esplosione del numero di individui con AIDS è dovuto
al fatto che negli ultimi anni grazie a cure mediche migliorate, il tasso di mortalità per AIDS è
diminuito sensibilmente fino assestarsi intorno allo 0.1%. C’è anche da sottolineare che la situazione in
Lazio è certamente migliore rispetto al sud del mondo in cui la mortalità è altissima e quindi, seppure
ogni anno il numero di nuovi casi sia sempre in aumento, gli individui in vita sono in diminuzione (7).
7
Vedi Organizzazione Mondiale della Sanità -http://www.oms.onu.net
27
Simulazioni
Contronto a lungo termine
9000
8000
Simulati -A(t)
Statistica
7000
6000
5000
4000
Individui in vita
3000
2000
1000
0
1985
1987
1989
1991
1993
1995
1997 1999
ANNO
2001
2003
2005
2007
2009
Figura 12: Previsione a lungo termine dell'andamento degli individui affetti di AIDS e confronto con dati statistici.
Se invece ci occupiamo delle diagnosi di AIDS confrontando i dati statistici col valore di A?(t ) ,
scegliendo i parametri come in Tabella 5, otteniamo i grafici in Figura 13 . I risultati in questo caso,
anche se non esaltanti, ci rassicurano sulla bontà del modello, anche perché i dati scelti per la
popolazione di TD sono stimati da (4), come già spiegato in precedenza e non c’è nessun modo di
controllare che il parametro N e soprattutto il “coefficiente d’entrata” -NTD- cioè il numero di “nuovi”
tossicodipendenti siano rispondenti a tendenze reali. Nonostante ciò è palese come l’andamento
qualitativo dei dati ottenuti dalle simulazioni corrisponda con quello dei dati reali soprattutto nel
periodo 1991-1996 , anche se oltre il 1997 la nostra stima si fa alquanto lontana dai dati statistici.
In particolari anni anche dal punto quantitativo la stima è abbastanza precisa: ad esempio nel 1995 si
hanno 419 diagnosi stimate contro 428 registrate dalle statistiche ufficiali con un errore di solo 9
diagnosi (-2,01%).
28
Simulazioni
Confronto tra dati statistici e dati simulati- Nuove Diagnosi AIDS
700
600
Dati Simulati
Dati Statistici
500
400
300
Numero Diagnosi
200
100
0
1984
1985
1986
1987
1988 1989 1990 1991 1992
ANNO
1993
1994
1995 1996 1997 1998
Figura 13:Confronto tra dati stimati e dati statistici-Nuove diegnosi di AIDS
Confronto tra Dati Statistici e Dati Simulati - Nuove Diagnosi AIDS- 1991-1996
450
Dati Simulati
Dati Statistici
400
350
Nuove Diagnosi
300
250
1991
1991.5
1992
1992.5
1993
1993.5
ANNO
1994
1994.5
1995
1995.5
1996
Figura 14:Dettaglio del confronto sulle diagnosi intorno agli anni 1991-1996
29
Modello modificato
4. MODIFICHE AL MODELLO : ? VARIABILE
Viste le simulazioni fatte fino a questo punto e i confronti con i dati reali, ci siamo resi conto di
aver tralasciato qualche particolare sul modello “reale” su cui abbiamo concentrato l’attenzione.
Riflettendo sull’andamento delle nostre stime sulle diagnosi a lungo termine, in particolar modo
dopo il 1996, abbiamo capito che era accaduto qualche cambiamento del fenomeno e il modello
andava modificato. Quello che non avevamo tenuto in debito conto era il tasso di infettività, o
meglio, la sua natura. Non è possibile considerarlo una costante, soprattutto perché, proprio a
ridosso degli anni 90, l’AIDS si è imposto alla ribalta come nuova malattia, si è creato un vero e
proprio “caso AIDS” con tutto quello che ne deriva: in primo luogo sono iniziate vere e proprie
campagne informative sul fenomeno e sulle modalità di infezione, ma soprattutto sono iniziate,
anche nel Lazio delle campagne di sensibilizzazione soprattutto verso quelle categorie più a
rischio, tra queste certamente i tossicodipendenti e le prostitute. Sono stati creati anche dei centri
pilota che distribuivano siringhe monouso e si è creata, anche tra i tossicodipendenti, una
“coscienza” del problema. Tutto questo ha sicuramente modificato il numero di tossicodipendenti
che decidevano di “scambiarsi” le siringhe con un forte impatto sull’infettività della malattia.
Abbiamo deciso quindi di modificare il parametro ? , che in precedenza avevamo considerato
costante, rendendolo variabile nel tempo e ipotizzandone l’andamento sicuramente decrescente
(Figura 15).
-4
1.2
Andamento della curva di infettività -phi(t)
x 10
1
0.8
0.6
Infettività
0.4
0.2
0
1986
1988
1990
1992
1994
1996
1998
Anno
Figura 15: Andamento della curva ipotetica ? (t)
30
2000
Modello modificato
Effettuando nuove simulazioni abbiamo cercato di modificare l’andamento di questa curva
(ottenuta per interpolazione bicubica) per avvicinare i dati statistici a quelli simulati
minimizzando così l’errore del modello da noi proposto. I risultati sono stati positivi, in quanto
abbiamo notato non solo un miglioramento qualitativo degli andamenti delle diagnosi e degli
individui infetti da AIDS, ma anche un miglioramento quantitativo soprattutto per quanto riguarda
il numero delle diagnosi tra il 1996 e il 1998 e l’andamento nel futuro poiché i dati statistici ci
suggerivano un andamento decrescente, mentre con ? costante ottenevamo un andamento
crescente, addirittura esplosivo.
Confronto Dati Statistici-Dati Simulati-Individui in vita- Modello modificato
3500
Dati Simulati
DatiStatistici
3000
2500
2000
1500
Individui in vita
1000
500
0
1985
1990
1995
ANNO
2000
2005
Figura 16: Confronto tra dati statistici e dati simulati sul numero di individui in vita effettuato col modello
modificato
31
Modello modificato
Modello modificato - Contronto tra dati statistici e dati reali
450
400
Dati Simulazione
Dati Statistici
350
300
250
200
Numero diagnosi
150
100
50
0
1985
1990
1995
ANNO
2000
2005
Figura 17: Confronto tra dati statistici e dati simulati.Nuove diagnosi per anno
Modello modificato - Contronto tra dati statistici e dati reali - Dettaglio
440
Dati Simulazione
Dati Statistici
420
400
380
360
340
Numero diagnosi
320
300
280
1991
1992
1993
1994
ANNO
1995
1996
1997
1998
Figura 18: Confronto tra dati statistici e dati simulati-Nuove diagnosi per anno.Dettaglio anni 1991-1998.
32
Conclusioni
5. CONCLUSIONI:
Nel presente lavoro abbiamo elaborato un modello matematico per lo studio della trasmissione del
virus dell’ HIV ,che
partendo dai dati relativi ad un gruppo di tossicodipendenti della regione
Lazio,non distinti per sesso, negli anni dal 1985 al 1998, riesce a prevedere l’andamento della
dinamica dell’epidemia.
La scelta di tale regione per il nostro studio non è casuale, è stata dettata infatti dal fatto che il
Lazio è una delle regioni più colpite da tale fenomeno e soprattutto è la regione sulla quale si
riescono a reperire le statistiche più approfondite sul fenomeno,anche se comunque i dati a
disposizione sono insufficienti per un’analisi molto approfondita.
Per tale motivo abbiamo inizialmente considerato un modello semplice che tenesse in
considerazione i principali fattori che comunemente si suppongono responsabili della dinamica
dell’AIDS,successivamente analizzando il modello e i risultati ottenuti , abbiamo reso variabile il
tasso di infettività che dipendendo da una serie di fattori esterni non poteva essere considerato
costante.Si è notato infatti che tale parametro diminuisce in seguito ad esempio al diffondersi di
campagne per la distribuzione di siringhe monouso, ma soprattutto al diffondersi delle conoscenze
sull’AIDS.
Dall’osservazione dei risultati ottenuti ( si veda Figura 17 ) si può però notare come la
diminuzione del tasso di infettività porta ad una riduzione dei casi di AIDS a lungo termine,ciò
significa che limitandoci al caso di trasmissione del virus tramite scambio di siringhe infette il
fenomeno dovrebbe annullarsi nell’arco di 5-6 anni ,ovvero che nel 2005-2006 il numero dei
tossicodipendenti infetti da HIV dovrebbe essere quasi nullo.Tali risultati sono infatti avvalorati
dai dati statistici che ci presentano una netta diminuzione del numero di infezioni di persone
tossicodipendenti, che rappresentavano circa il 70 per cento del totale dei casi diagnosticati prima
del 1991 e che sono passati al 55 per cento a fine 2000.Ma ciò non è sufficiente affinché
l’epidemia si arresti .E’ noto infatti come l’epidemia possa diffondersi anche con un solo caso.
Senza dubbio però dai risultati emerge anche una importante considerazione e cioè che la
prevenzione (con la conseguente diminuzione del tasso di infettività) è una delle armi migliori per
tentare di ridimensionare il fenomeno.
33
Conclusioni
I modelli elaborati (con ? costante e ? variabile) quindi sembrano descrivere abbastanza bene
l’andamento dei casi di AIDS fino a questo momento.Per quanto riguarda invece le previsioni a
lungo termine è chiaro che esse dipenderanno non solo da fattori scientifici (perlopiù prevedibili)
ma soprattutto da fattori comportamentali che al contrario è alquanto difficile prevedere.
34
Codice programmi
6. CODICE PROGRAMMI:
I programmi utilizzati nel presente lavoro sono qui di seguito riportati:
1) Funzione leggiGamma legge la curva dal file gamma.dat e ne calcola la media:
function [x]=leggiGamma()
fid = fopen('gamma.dat');
gamma = fscanf(fid,'%g %g',[2 inf])
gamma = gamma';
fclose(fid);
ga=mean(gamma,1);
x=ga(2);
2) Funzione viviAids restituisce il numero di malati di aids ancora in vita per anno:
function [t,x]=viviAids()
t=1985:1:1998;
x=[3 27 53 92 124 183 258 322 418 539 796 1153 1515 1866];
t=t';
x=x';
%plot(t,x);
3) Funzione casiAids restituisce il numero di nuovi casi di AIDS nel Lazio:
function [t,x]=casiAids()
t=1985:1:1998;
x=[4 24 75 159
223
261
t=t';
x=x';
%plot(t,x);
295
356
422
397
428
378
251
143];
4) Funzione tassoInfettivita restituisce il tasso di infettività modificato :
function [t,x]=tassoInfettivita()
t=1986:0.25:1999;%vettore su cui interpolare
ty=[1986 1990 1999];
y=[0.0001 0.0001 0.00001];%assumiamo un tasso di infettività decrescente
x=interp1(ty,y,t,'spline');%interpolazione bicubica
t=t';
x=x';
%plot(t,x);
5) Funzione inizializza si riferisce al modello con phi costante ed inizializza tutti i parametri:
function inizializza()
global beta gamma delta phi t mortaAids s_0 h_0 a_0 NTD;%da dichiarare anche nel
workspace
beta=.06;%Mort. HIV
delta=0.04;%Mort. TD
gamma=0.071;%tasso comparsa sintomi
phi=0.0001;%Infettività - costante
35
Codice programmi
s_0=15000;%S(0)
h_0=1;%H(0)
a_0=0;%A(0)
NTD=600;%Nuovi TD per anno
[t,mortaAids]=mortAids;%prendo il tasso di mortalità dalla funzione
s_h_a;%viene richiamato il modello simulinkl
6) Funzione inizializza2 si riferisce al modello con phi variabile ed inizializza i parametri:
function inizializza2()
global beta gamma delta phi t mortaAids s_0 h_0 a_0 NTD;%da dichiarare anche nel
workspace
beta=.06;%Mort. HIV
delta=0.04;%Mort. TD
[t,phi]=tassoInfettivita;%prendo il tasso di mortalità dalla curva ipotetica
%gamma=0.071;%tasso comparsa sintomi
gamma=0.04;%tasso comparsa sintomi
s_0=15000;%S(0)
h_0=3;%H(0)
a_0=0;%A(0)
NTD=400;%Nuovi TD per anno
[t,mortaAids]=mortAids;%prendo il tasso di mortalità dalla funzione
s_h_a_2;%viene richiamato il modello simulink
7) Funzione confrontaGraf per il confronto con i dati statistici:
function confrontaGraf()
global viviAidsSimulazione CasiAIDSAnnui;%da dichiarare anche nel workspace
[t,x]=viviAids;
figure(3);
plot(viviAidsSimulazione.time,viviAidsSimulazione.signals.values,t,x,'s');
[t1,x1]=casiAids;
%errore=abs(viviAidsSimulazione.signals.values-yy);
figure(2);
plot(CasiAIDSAnnui.time,CasiAIDSAnnui.signals.values,t1,x1,'o');
8) Funzione mortAids restituisce la mortalità nel Lazio:
function [t,x]=mortAids()
t=1986:0.25:1999;
x=[0.903225806 0.785714286 0.8125
0.714285714 0.814814815 0.8125
0.780487805
0.755555556 0.773584906 0.796875 0.810810811 0.788888889 0.75 0.75 0.733333333
0.697183099 0.620967742 0.613333333 0.614583333 0.54494382 0.513661202 0.502538071
0.52293578 0.484162896 0.53875969 0.501901141 0.471910112 0.451724138 0.450310559
0.426934097 0.402631579 0.342036554 0.325358852 0.307692308 0.291497976 0.268571429
0.215213358 0.224555735 0.202723147 0.168741355 0.144472362 0.111880046
0.082191781 0.062141491 0.034692108 0.02733119 0.026745914 0.013995801
0.00660066 0.000 0.000 0.000 0.000];
t=t';
x=x';
%t1=1986:.01:1999;
%y=spline(t,x,t1);
%plot(t1,y);
36
Tabelle Excel
7.TABELLE EXCEL :
Le tabelle a cui fanno riferimento i files viviAids,mortAids e casiAids sono le seguenti :
TD CON AIDS IN LAZIO
TD M
TD F
TD M+F
<1986
3
1
4
1986
20
4
24
57
18
75
1987
1988
130
29
159
1989
167
56
223
230
31
261
1990
1991
235
60
295
1992
276
80
356
1993
329
93
422
1994
312
85
397
326
102
428
1995
1996
296
82
378
194
57
251
1997
1998
109
34
143
2684
732
3416
Tabella 6: Numero di TD affetti da AIDS nel Lazio
TD HIV LAZIO
TD M
TD F
TD F+M
287
92
379
1985
1986
653
264
917
1987
889
288
1177
1988
613
186
799
712
213
925
1989
1990
672
235
907
1991
553
180
733
1992
480
151
631
1993
406
133
539
1994
312
84
396
1995
275
81
356
1996
154
62
216
1997
141
48
189
1998
57
21
78
6204 2038
8242
Aids vivi
3
27
53
92
124
183
258
322
418
539
796
1153
1515
1866
Tabella 7:Numero di TD affetti da HIV e ancora vivi nel Lazio
37
phi
0,008733333
0,001538562
0,000416146
0,000245684
0,000174256
0,00011006
7,60699E-05
5,2999E-05
3,14286E-05
2,53561E-05
1,17647E-05
8,22992E-06
2,94451E-06
Bibliografia
BIBLIOGRAFIA :
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39
40
41
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