Segno dell’accelerazione
L’accelerazione è positiva quando è diretta nel verso positivo
dell’asse, negativa nel caso opposto.
Attenzione al significato del segno !!!
Il segno dell’accelerazione non vuol sempre dire che l’oggetto sta
aumentando o diminuendo la sua velocità !
Se un’automobile con velocità iniziale v=-25m/s viene frenata fino
all’arresto in 5.0 s, risulta a=+5.0m/s2: l’accelerazione è positiva
ma la macchina ha rallentato !!!!!
Se i segni di velocità e accelerazione sono concordi
l’oggetto sta
aumentando la sua velocità, se i segni sono opposti l’oggetto rallenta.
Esempio: accelerazione media
Un ghepardo può accelerare da fermo alla sua velocità massima
(30.6ms-1) in 5 secondi. Qualè la sua accelerazione media?
variazione di velocità
accelerazi one media =
variazione tempo
30 .6ms −1 − 0ms −1
=
= 6.1ms − 2
5s
7
Moto uniformemente accelerato
Un moto si dice uniformemente accelerato se durante il
moto l’accelerazione istantanea rimane costante.
a (t ) = cost ≡ a
In un moto uniformemente
accelerato l’accelerazione
istantanea e quella
media coincidono per ogni ∆v e
intervallo di tempo ∆t.
a (t ) = a = a =
∆v
∆t
Se un corpo si muove di moto uniformemente accelerato, possiamo calcolare la sua
accelerazione facendo il rapporto tra un ∆v qualsiasi e il suo corrispondente ∆t.
Velocità in un moto uniformemente
accelerato
Se conosciamo l’accelerazione di un moto uniformemente
accelerato, possiamo calcolare la velocità in un determinato
∆v
intervallo di tempo.
Infatti a =
e quindi ∆v = a ∆t
∆t
Se con v0 indichiamo la velocità iniziale (v1) e con v quella finale (v2):
∆v ≡ v (t ) − v(t0 ) = a ∆t ≡ a (t − t0 )
v(t ) = v(t0 ) + a (t − t0 )
Nel moto uniformemente
accelerato la velocità v(t) è
una funzione lineare di t.
8
Legge oraria nel moto uniformemente accelerato
Per un moto uniformemente accelerato:
v(t ) = v(t0 ) + a (t − t0 ) (2.11)
Del resto, dalla definizione di velocità media si ha:
v=
x(t ) − x(t0 )
t − t0
e quindi x(t ) = x (t0 ) + v (t − t0 )
(2.12)
Dato che la velocità è una funzione lineare in t (2.11), la velocità media in qualunque
intervallo di tempo (per esempio tra t=t0 un generico istante successivo t, è data dalla
media fra la velocità al tempo iniziale t0, (v0 ) e la velocità in t (cioè v). Si ha quindi:
v=
1
(v(t0 ) + v(t ))
2
(2.13)
Sostituendo a v l’espressione (2.11) si ha
che
sostituita
in (2.12):
1
v = v(t0 ) + a(t − t0 )
2
1
2
x(t ) = x(t0 ) + v(t0 )(t − t0 ) + a(t − t0 )
2
Legge oraria del moto
uniformememte
accelerato
Consideriamo la corsa dei 100m
Poniamo l’origine sulla linea di partenza
Posizione iniziale
Posizione finale
x0 =
0m
xf = +100m
9
Velocità media
Velocità iniziale
v0 = 0 ms-1.
Velocità media
v=
x(t f ) − x(t0 )
t f − t0
=
100m
= 10ms −1
10s
Verso pari al segno di xf - x0.
Velocità media e velocità finale
Poichè assumiamo accelerazione costante
vale la (2.13) per la velocità media:
E risolvendo per la
velocità finale:
v=
v(t 0 ) + v(t f )
2
v (t f ) = 2v − v(t 0 )
= 2(10ms −1 ) − 0ms −1 = 20ms −1
10
Esempio
Una persona che corre i
100m ha una velocità
iniziale pari a 15 ms-1 e
decelera uniformemente a
-1ms-2 durante i 100m.
Qual’è la velocità finale
della persona?
x
100m
a
-1ms-2
v
?
t
v0
15 ms-1
Usare equazione (4)
v2(t) = v2(t0) + 2 a x(t) = (15 ms-1)2 + 2(-1ms-2)(100m)
= (225-200)m2s-2
v = √25 m2s-2 = ±5ms-1
Cinematica di un moto accelerato generico
Supponiamo di conoscere l’accelerazione istantanea a(t) di un moto generico.
Come si può calcolare la velocità istantanea sapendo che in t=t0 v(t)=v(t0)?
La definizione di accelerazione istantanea:
Si può scrivere formalmente come:
dv(t )
= a (t )
dt
dv(t ) = a (t )dt
L’integrazione formale dell’ultima equazione
nell’intervallo di tempo [t0,t] fornisce
v(t )
t
v ( t0 )
t0
dv = a (τ ) dτ
E calcolando l’integrale a primo membro si ha:
t
v(t ) = v(t0 ) + a (τ )dτ
Velocità istantanea di
moto accelerato.
t0
13
Legge oraria di un moto accelerato generico
dx(t )
= v (t )
dt
Una volta nota la velocità istantanea v(t) si può calcolare
la x(t) attraverso la definizione di velocità istantanea:
cioè
dx(t ) = v(t )dt
t
x(t ) = x(t0 ) + v(τ )dτ
Procedendo come nel caso della velocità si ottiene:
t0
τ
t
x(t ) = x(t0 ) +
Se ora inseriamo
l’espressione
della velocità istantanea
in termini di a(t) si
ottiene la legge oraria di
un moto accelerato
generico:
v(t0 ) + a ( s )ds dτ
t0
t0
t
τ
t
= x(t0 ) + v(t0 )dτ + dτ
t0
a ( s ) ds
t0
t0
τ
t
= x(t0 ) + v(t0 )(t − t0 ) + dτ
t0
a( s) ds
t0
Caso particolare: il moto uniformemente accelerato
In questo caso l’accelerazione istantanea è costante pertanto l’integrale
t
t0
τ
dτ
τ
t
t
a ( s )ds = dτ a ds = a dτ (τ − t0 )
t0
t0
t0
t0
Integrando una seconda
volta si ottiene:
t
t0
τ
dτ
t
a ( s) ds = a dτ (τ − t0 ) =
t0
t0
1
2
a (t − t0 )
2
E quindi la legge oraria diventa:
1
2
x(t ) = x(t0 ) + v(t0 )(t − t0 ) + a(t − t0 )
2
Che corrisponde a quella precedentemente trovata per il moto
uniformemente accelerato.
14
Moto di un corpo in caduta libera
• Le equazioni del moto uniformemente
accelerato si applicano al problema della
caduta libera di un corpo vicino alla
superficie della terra.
• Si applica a qualunque oggetto in volo
verticale sia verso il basso che verso l’alto
quando gli effetti dell’aria possono essere
trascurati.
Corpi in caduta libera
• La gravità fa muovere gli oggetti verso il basso
• Se si possono trascurare gli effetti della resistenza dell’aria, un
corpo in caduta libera è sottoposto ad una accelerazione di gravità
g di valore
g = 9.81ms-2 (valore al livello del mare)
• L’accelerazione dovuta alla gravità è la stessa per tutti i corpi (non
dipende dalla massa) .
Galileo Galilei (1564-1642)
• Le 4 equazioni della cinematica per il moto uniformemente
accelerato si applicano al moto in caduta libera.
• La direzione del moto è collocata sull’asse verticale y con il verso
positivo verso l’alto. L’accelerazione in caduta libera risulta quindi
negativa e nelle equazioni si può sostituire a con –g.
1
Esempio 1
Un sasso viene lasciato cadere
da una finestra posta a 40m
dal suolo.
(a) Quando toccherà terra?
y
-40m
a
-9.81ms-2
v
v0
0ms-1
t
?
Usare l’equazione (3),
y = v0t + 1/2 at2 = 1/2 at2, t2 = 2y/a = 2(-40m) /(-9.81ms-2) = 8.15s2
t = 2.86s = 2.9s
(b) Qual’è la velocità del sasso quando tocca terra?
Usare l’ equazione (1),
v = v0 + at = 0ms-1 + (-9.81ms-2)(2.86s) = -28.1ms-1=-28 m/s
Esempio Salto verticale.
Un salmone salta verticalmente
fuori dall’acqua con velocità
iniziale di 6ms-1. Sarà in grado
di superare una cascata alta
1.5m ?
y
a
v
v0
t
-2
-1
-1
?>1.5m -9.81ms 0ms 6ms
Usare l’equazione (4)
v2 = v02 + 2ay, notare che v is 0ms-1
2ay = - v02
y = - v02/2a = - (36m2s-2) /2(-9.81ms-2) = 1.83m=1.8m
2
Velocità vettoriale media e istantanea
In analogia con il caso unidimensionale la velocità vettoriale media:
v=
∆r ∆x ˆ ∆y ˆ ∆z ˆ
=
i+
j+ k
∆t
∆t ∆t
∆t
mentre la velocità vettoriale istantanea:
v=
dr dx ˆ dy ˆ dz ˆ
=
i+
j+ k
dt dt
dt
dt
che si può anche scrivere:
v = v x ˆi + v y ˆj + v z kˆ dove v x =
dx
dy
dz
, v y = , vz =
dt
dt
dt
Accelerazione media e istantanea
In analogia con il caso unidimensionale l’accelerazione media:
a=
∆v ∆v x ˆ ∆v y ˆ ∆ v z ˆ
=
i+
j+
k
∆t
∆t
∆t
∆t
mentre la accelerazione istantanea:
a=
dv dv x ˆ dv y ˆ dvz ˆ
=
i+
j+
k
dt
dt
dt
dt
che si può anche scrivere:
a = a x ˆi + a y ˆj + a z kˆ dove a x =
dv
dv x
dv
, a y = y , az = z
dt
dt
dt
5
Velocità in 2-Dimensioni
In 2D la velocità
v
ha componenti vx e vy.
Il valore di tali componenti
sono dati rispettivamente da:
vx = v cosθ and vy = v sinθ
e dal teorema di Pitagora,
v2 = vx2 + vy2
(modulo del vettore v al quadrato)
Esempio - componenti di un vettore bidimensionale
Un uccello vola con una velocità di 1ms-1 lungo una direzione di 30°
sopra l’orizzonte (asse x).
Quali sono le componenti orizzontale e verticale della velocità?
Sia l’asse x l’asse orizzontale e l’asse
y quello verticale.
cosθ
θ = vx /v
vx = vcosθ
θ = (1ms-1)cos30°
= 0.866ms-1
sin θ = vy /v
vy = vsinθ
θ = (1ms-1)sin30°
0.5ms-1
=
6
Equazioni della cinematica per moto in due-dimensioni
Componente x:
Componente y:
1) vx(t) =vx(t0)+ax(t −t0)
1) vy (t) = vy (t0) +ay (t −t0)
1
1
2) x(t) =x(t0)+ (vx(t0)+vx(t))(t −t0) 2) y(t) = y(t0) + (vy (t0) +vy (t))(t −t0 )
2
2
1
1
2
2
3) y(t) = vy (t0)(t −t0) + ay (t −t0 )
3) x(t) =vx(t0)(t −t0)+ ax(t −t0)
2
2
4) vy2(t) = vy2(t0) +2ay ( y(t) − y(t0))
4) vx2(t) =vx2(t0)+2ax(x(t)−x(t0))
La parte x del moto si svolge esattamente come se la parte y non
avvenisse affatto. Analogamente, la parte y del moto si svolge
esattamente come se la parte x non avvenisse affatto.
Quindi il moto x e il moto y sono indipendenti l’uno dall’altro
equivale a studiare due moti unidimensionali.
Moto dei proiettili
Consideriamo un corpo che si muove in due dimensioni, in
caduta libera, con velocità iniziale v0 e accelerazione di
gravità g costante e diretta verso il basso. Per questo tipo
di corpo si parla di moto di un proiettile.
N.B. Si trascurano gli effetti della resistenza dell’aria
La velocità iniziale si può esprimere in componenti come:
v (t0 ) = v x (t0 )ˆi + v y (t0 )ˆj
dove
vx (t0 ) = v(t0 ) cos ϑ0 , v y (t0 ) = v(t0 ) sin ϑ0
Durante il moto il proiettile non possiede accelerazione orizzontale
ma solo accelerazione (costante) verso il basso.
7
d
Traiettoria di un proiettile lanciato
dal punto x0=0 e y0=0 con velocità
iniziale v0=0. Notare che la
componente orizzontale della velocità
rimane costante mentre quella verticale
varia con continuità. La gittata R è la
distanza orizzontale che il proiettile
ha coperto quando ripassa alla quota di
lancio (in questo caso y= y(t0)=0).
La traiettoria di due palline da golf mentre
cadono (una con velocità orizzontale
diversa da zero e l’altra no) chiarisce l’indipendenza
dei due moti (quello orizzontale e quello verticale).
N.B. Siamo sempre in assenza di effetti di resistenza
dell’aria.
Equazioni del moto dei proiettili
Moto orizzontale
Non essendoci accelerazione orizzontale
Il moto orizzontale è un moto rettilineo
uniforme (v costante = v0)
In questo caso la velocità coincide
con quella iniziale e ponendo t0=0
Equazione del
moto orizzontale.
∆x = vx ∆t
x (t ) − x(0) = v x (0)t
x(t ) − x(0) = (v(0) cos ϑ0 )t
(4.15)
8
Equazioni del moto dei proiettili
Moto verticale
In questo caso si ha un’accelerazione verticale costante verso il
basso. Il moto verticale corrisponde a quello di un corpo in caduta
libera: (moto uniformemente accelerato)
1
1
y(t) − y(0) = vy (0)t − gt2 = (v(0) sinϑ0t ) − gt2 (4.16)
2
2
L’ equazione della velocità si potrà scrivere ricordando le eq.
della cinematica in due dimensioni:
Dall eq. (1)
Dall eq. (4)
v y (t ) = (v(0) sin ϑ0 ) − gt
v 2 y (t ) = (v (0) sin ϑ0 ) − 2 g ( y (t ) − y (0) )
2
Equazione delle traiettoria
Eliminando t
dalle equazioni:
x(t ) − x(0) = (v(0) cosϑ0 ) t
y (t ) − y (0) = (v(0) sin ϑ0t ) −
1 2
gt
2
Si ottiene: (ponendo x0=y0=0 per semplicità)
gx 2 (t )
y (t ) = (tan ϑ0 )x(t ) −
2
2(v(0) cos ϑ0 )
Traiettoria parabolica
9
Moto circolare uniforme
• Una particella che si muove su una
circonferenza o su un arco di circonferenza
con il modulo della velocità costante si
dice in moto circolare uniforme.
• In realtà la direzione del vettore velocità
cambia durante il moto e quindi si ha
un’accelerazione.
La figura mostra la relazione
tra i vettori velocità e accelerazione:
Al procedere del moto entrambi i vettori restano
costanti in modulo
ma variano le direzioni in modo continuo.
La velocità è sempre diretta lungo la tangente al cerchio nel verso del
moto mentre l’accelerazione è sempre diretta radialmente verso il
centro. Si parla di accelerazione centripeta.
Il suo modulo vale:
v2
a=
r
Durante il moto la particella percorre
la circonferenza nel tempo T dato da:
T=
2π r
v
11
Velocità angolare nel moto circolare uniforme
r
(x,y) Moto uniforme
negli angoli
θ
2π
(t − t0 ) = ϑ0 + ω (t − t0 )
T
x(t ) = r cos ϑ (t )
y (t ) = r sin ϑ (t )
ϑ (t ) = ϑ0 +
Coordinate polari come
coordinate naturali del moto
Se t0 = 0,
2π : T = ϑ : t
r (t ) = r (cos ϑ (t )i + sin ϑ (t ) j)
= r (cos(ωt ) i + sin (ωt ) j)
ϑ0 = 0
ω=
2π
T
Velocità
angolare
v (t ) = Rω (− sin (ωt ) i + cos(ωt ) j)
a(t ) = Rω 2 (− cos(ωt ) i − sin (ωt ) j)
Moto lungo una circonferenza
(x,y)
r
θ
Coordinate polari come
coordinate naturali del moto
x(t ) = r cos ϑ (t )
y (t ) = r sin ϑ (t )
r (t ) = r (cos ϑ (t )i + sin ϑ (t ) j)
Se il moto è uniforme negli angoli (il corpo “spazza” angoli uguali in
Intervalli di tempo uguali):
2π : T = ϑ : t
ϑ (t ) = ϑ0 +
2π
(t − t0 ) = ϑ0 + ω (t − t0 )
T
ω=
2π
T
Velocità
angolare
12
r (t ) = r (cos ϑ (t )i + sin ϑ (t ) j)
= r (cos(ωt ) i + sin (ωt ) j)
Se t0 = 0,
ϑ0 = 0
v (t ) =
dr (t )
= rω (− sin (ωt ) i + cos(ωt ) j)
dt
a (t ) =
d v (t )
= rω 2 (− cos(ωt ) i − sin (ωt ) j)
dt
(
)
v (t ) = r 2ω 2 sin 2 (ωt ) + cos 2 (ωt ) = r 2ω 2
2
v (t ) ≡ v = rω
Relazione tra modulo della
velocità tangenziale e
velocità angolare ω
(
)
a (t ) = r 2ω 4 sin 2 (ωt ) + cos 2 (ωt ) = r 2ω 4
2
2
a (t ) ≡ a = rω 2 = v (t ) / r
13
