Triangoli: confronto di angoli e di segmenti

Classe prima Liceo Scientifico
Triangoli: confronto di angoli e di segmenti
(applicazione del primo teorema dell’angolo esterno per un triangolo)
Problema_1-Sia ABC un triangolo qualsiasi e P un punto interno allo stesso. Considerata la semiretta di
origine B e passante per P, sia D il punto in cui essa interseca il lato AC. Congiungere P con il vertice C.
Dimostrare che l’angolo BPC è maggiore dell’angolo BAC.
Dimostrazione
Facciamo riferimento alla figura riportata. Occorre dimostrare che sussiste la disuguaglianza
BPC  BAC .
Osserviamo che l’angolo BPC è esterno al
triangolo CDP ed in virtù del primo teorema
dell’angolo esterno per un triangolo risulta
maggiore di ciascuno degli angoli interni ad
esso non adiacenti, dunque
BPC  PDC
(1)
Consideriamo ora il triangolo ABD e
notiamo che l’angolo PDC è esterno
rispetto ad esso, per cui, sempre per il primo
teorema dell’angolo esterno, risulta
PDC  BAD
(2)
Utilizzando le due disuguaglianze (1) e (2), per la transitività della relazione d’ordine otteniamo
BPC  PDC  BAD ,
cioè BPC  BAC , che è la tesi.
Nota per gli utenti di GeoGebra
Impostando le opzioni in modo da far apparire nella figura le ampiezze dei degli angoli BPC , PDC ,
B AC e muovendo il punto P all’interno del triangolo ABC si può verificare come risulti verificata la
tesi.
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Problema_2-Considerata nel piano una retta r sia P un punto non appartenente ad r ed M la proiezione
ortogonale di P su r. Fissare su r due punti A e B da parti opposte rispetto ad M, con MA<MB e unire P
con A e B. Dimostrare che PA<PB.
Dimostrazione
Facciamo riferimento alla figura riportata a
lato.
Consideriamo il punto A simmetrico di A
rispetto ad M e notiamo che dall’ipotesi
MA<MB si deduce che MA<MB, pertanto
A si trova tra M e B.
Osserviamo che i due triangoli AMP,
AMP, rettangoli in M, sono congruenti
perché hanno i cateti ordinatamente
congruenti (PM r per ipotesi è lato
comune ed MAMA perché A è
simmetrico di A rispetto ad M), dunque
risulta anche PAPA , cioè il triangolo PAA è isoscele sulla base AA. Ricordiamo che gli angoli alla
base di un triangolo isoscele sono congruenti tra loro ed acuti per cui l’angolo P A 'B essendo adiacente
all’angolo acuto P A 'A sarà ottuso e quindi è il maggiore degli angoli del triangolo PAB. Poiché in un
triangolo all’angolo maggiore si oppone il lato maggiore, nel triangolo PAB il lato maggiore è PB, da
cui, PB>PA. Ricordato che PAPA, segue immediatamente la tesi PB>PA.
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Problema_3-Si consideri nel piano un angolo acuto rOs e sia P un qualsiasi punto interno all’angolo.
Indicato con A il punto sulla semiretta r tale che OAOP, tracciare la semiretta t di origine A e passante
per P.
i)
ii)
Dimostrare che la semiretta t interseca il secondo lato s dell’angolo rOs .
Detto B il punto di intersezione tra t ed s, dimostrare che OB>OA
Dimostrazione
Facciamo riferimento alla figura riportata a lato.
i)
Notiamo subito che il triangolo OAP è
isoscele per costruzione sulla base AP e
quindi l’angolo O AP è acuto. Proviamo che
la semiretta t avente origine in A e passante
per P deve necessariamente intersecare il
secondo lato Os dell’angolo acuto rOs .
Infatti, se t non intersecasse s sarebbe ad essa
parallela e gli angoli O AP , rOs , formando una coppia di angoli coniugati interni rispetto a
dette parallele tagliate dalla trasversale r dovrebbero essere supplementari, quindi la somma
delle loro ampiezze sarebbe 180°. Ciò però non è possibile perché entrambi gli angoli sono acuti
ii)
( rOs lo è per ipotesi e O AP perché angolo alla base di un triangolo isoscele). Dunque t
incontra s. Sia B il punto di intersezione.
Abbiamo precisato nella dimostrazione del precedente punto che il triangolo OAP è isoscele su
AP e dunque, ribadiamo, gli angoli adiacenti alla base AP sono acuti. Osservato che l’angolo
OPB è esterno rispetto al triangolo OAP e che è adiacente all’angolo acuto OPA , si deduce
che OPB è ottuso e quindi il triangolo OPB è ottusangolo e OB è il lato maggiore perché
opposto all’angolo maggiore: OB>OP; dall’essere OP  OA segue la tesi OB>OA. C.V.D.
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